线段的定比分点PPT课件
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《线段的定比分点》课件
线段的相等与比较
相等
当两条线段的长度相同，它们是相等的。
比较
当两条线段的长度不同，可以通过比较它们的长度确定它们的大小关系。
线段的中点
线段的中点位于线段的正中间，将线段分成两个等长的部分。
定义线段的等分点
内分点
在线段的内部，将线段分成若干个等长的部分。
外分点
在线段的延长线上，将线段的延长线分成若干个等长 的部分。
线段的内分点
等分点
线段上的内分点可以将线段分成不同的比例。
等分点
可以通过内分点将线段分成1:2、1:3、1:4等不同的比例。
线段的外分点
1
比例
外分点将线段延长，并将线段的延长部分分
应用
2
成1:2、1:3、1像变换等。
3
插值
外分点可以将线段分成多个等长的部分，用 于插值计算。
线段的定比分点
本PPT课件将介绍线段的概念、作图方法、相等与比较、中点、等分点、内分 点和外分点。
线段的概念
线段是由两个点之间连结起来的部分，具有起点和终点。
线段的作图方法
1 用尺规作图
使用尺子构造线段，用圆规确定线段的长度。
2 用坐标作图
根据给定的坐标点，在坐标系中绘制线段。
3 用徒手绘制
直接使用铅笔或画笔在纸上绘制线段。
《线段定比分点》课件
分享一些有用的网站资源，供学习者深入了解线段定比分点。
案例三：求P点坐标
给出一个复杂的几何问题，通过 使用分部计算求得线段上的特定 点的坐标。
总结
1
线段定比分点的应用
总结线段定比分点在数学和几何学中的实际应用。
2
需要注意的Байду номын сангаас题
强调学习线段定比分点时需要注意的一些常见问题。
参考资料
相关书籍
提供一些推荐的书籍来进一步学习线段定比分点和相关数学概念。
相关网址
线段定比分点
介绍线段定比分点，包括什么是线段定比分点以及为什么需要线段定比分点。
线段内分点
线段内分点
定义线段内分点并解释它的意义。
求线段内分点
介绍如何通过使用比例和坐标计算方法来求得线段内分点。
实际应用举例
提供具体的实际问题，使用线段内分点的概念来解决。
线段外分点
1 线段外分点
定义线段外分点并说明其用途。
2 求线段外分点
通过使用比例和坐标计算方法，解释如何求得线段外分点。
3 实际应用举例
展示具体的实例，说明线段外分点在实际问题中的应用。
相关习题
案例一：求C点坐标
案例二：求M点坐标
提供一个简单的几何问题，通过 计算求得线段上的特定点的坐标。
展示另一个几何问题，通过分割 线段并计算求得线段上的特定点 的坐标。
案例三：求P点坐标
给出一个复杂的几何问题，通过 使用分部计算求得线段上的特定 点的坐标。
总结
1
线段定比分点的应用
总结线段定比分点在数学和几何学中的实际应用。
2
需要注意的Байду номын сангаас题
强调学习线段定比分点时需要注意的一些常见问题。
参考资料
相关书籍
提供一些推荐的书籍来进一步学习线段定比分点和相关数学概念。
相关网址
线段定比分点
介绍线段定比分点，包括什么是线段定比分点以及为什么需要线段定比分点。
线段内分点
线段内分点
定义线段内分点并解释它的意义。
求线段内分点
介绍如何通过使用比例和坐标计算方法来求得线段内分点。
实际应用举例
提供具体的实际问题，使用线段内分点的概念来解决。
线段外分点
1 线段外分点
定义线段外分点并说明其用途。
2 求线段外分点
通过使用比例和坐标计算方法，解释如何求得线段外分点。
3 实际应用举例
展示具体的实例，说明线段外分点在实际问题中的应用。
相关习题
案例一：求C点坐标
案例二：求M点坐标
提供一个简单的几何问题，通过 计算求得线段上的特定点的坐标。
展示另一个几何问题，通过分割 线段并计算求得线段上的特定点 的坐标。
线段的-定比分点
∴ x-x1= λ(x2-x) 解得 x x1 x2
P1
y-y1= λ(y2-y)
1
y y1 y2
(1)
1
y
P2 l
P
0
x
公式（1）叫有向线段P1P2的定比分点坐标公式
当P点是线段P1P2的中点时， λ=1，得
x x1 x2
2
y y1 y2 2
（2)
公式（2）叫有向线段P1P2的中点坐标公式
(3)设D点坐标(x0, y0 )
x0
11 1 2
2
1 3
y0
7
2 1 2
2
11 3
D(1 ,11) AD (5 1)2 (1 11)2 14 2
33
3
33
11
课堂小结
1.有向线段P1P2的定比分点公式
x x1 x2 1
y y1 y2 1
有向线段P1P2中点公式
( x1 x2 , y1 y2 )
4
3.推导公式及举例
若把直线l放在坐标系中，设P1（x1,y1),P2(x2，y2),点P分有向线段P1P2所成 的比为λ，那么点P的坐标如何表示呢？由向量的坐标等于终点的坐标减去
起点的坐标得：
P1P=（x-x1,y-y1), PP2=(x2-x,y2-y)
∵ P1P= λPP2 ∴ (x-x1,y-y1)= λ(x2-x,y2-y)
A
(2)D点分BC的比；
(3)线段AD的长度。
B
D
C
分析 : 本题用到了两点间距离公式及三角形角平分线性质 : BD AB
解:
DC AC
(1) AB [5 (1)]2 (1 7)2 10 同理 : AC 5
《比例线段》PPT课件 (公开课获奖)2022年北京课改版 (5)
c d
，
则
ab cd bd
设参数法 acmk
bd
n
2、认真观察图形，特别注意图形中线段的和、 差，巧妙地与合比性质结合起来.
3、要运用方程的思想来认识比例式，设出未 知数，列出比例式，化为方程求解.
在相同时刻的物高与影长成比例. 如果一古塔 在地面上的影长为50 m ，同时，高为1.5 m 的 测竿的影长为2.5 m ，那么古塔的高是多少？
2、竖直上抛物体的高度h和时间t 符合
关系式
h
v0t
1 2
gt
2，其中重力加速度g
以10米/ 秒 2 计算.爆竹点燃后以初速度v0
＝20米/秒上升，问经过多少时间爆竹离
地15米？
作业
课后习题
6、7
2、比例的根本性质:
在比例式中，两个外思项考的：积由等于ad两＝个b内c项的积. 还可以得到哪些
如果 a c ，那么a比d 例= 式bc？.
bd 如果 ad = bc 且(bd≠0），那么 a c .
bd
3、判断四条线段成比例的方法：
〔1〕直接计算a：b 和 c：d 是否相等；
（2） ad = bc
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟 面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多 10米，那么绿地的长和宽各为多少？
解：设宽为x米，那么长为〔 x +10〕
米
x(x＋10)＝900
依题整意理得得： x2＋10x－900＝0
解得： x1 55 37 x2 55 37
所求的 x 1 ， x
内项
内项
a、b、c
外项 a ：b = c ：d. 的第四比
例项
外项
平行线分线段成比例ppt课件
,
2 3 2 3
=
=
1 2 1 2
,
2 3 1 3
1 2 1 2
,
2 3 1 3
=
=
1 2 1 2
,
1 3 1 3
1 2 1 3
,
1 3 2 3
=
=
1 2 1 3
,
1 3 2 3
1 3
.
2 3
=
1 3
C,D,E,F.
(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;
解:∵直线l1∥l2∥l3,
4
∴ =
= =
8
1
1
1
.
∴DE=
EF= ×12=6.
2
2
2
图4-2-4
探
究
与
应
用
2
(2)如果AB= AC,DF=9,求EF的长.
5
2
解:∵AB= AC,
5
∴
=
2
.∴
5
=
究
与
应
用
应用二 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求
线段的长
例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上
的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
解:∵EF=7,EB=5,FC=4,
·
∴AF=
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
计算
实例
探究
计算或证明
平行线分线段成 图形变换
2 3 2 3
=
=
1 2 1 2
,
2 3 1 3
1 2 1 2
,
2 3 1 3
=
=
1 2 1 2
,
1 3 1 3
1 2 1 3
,
1 3 2 3
=
=
1 2 1 3
,
1 3 2 3
1 3
.
2 3
=
1 3
C,D,E,F.
(1)如果AB=4,BC=8,EF=12,求DE的长;
解:∵直线l1∥l2∥l3,
4
∴ =
= =
8
1
1
1
.
∴DE=
EF= ×12=6.
2
2
2
图4-2-4
探
究
与
应
用
2
(2)如果AB= AC,DF=9,求EF的长.
5
2
解:∵AB= AC,
5
∴
=
2
.∴
5
=
究
与
应
用
应用二 利用平行线分线段成比例的基本事实的推论求
线段的长
例2 (教材典题)如图4-2-7,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上
的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少?
解:∵EF=7,EB=5,FC=4,
·
∴AF=
课
堂
小
结
与
检
测
[本课时认知逻辑]
计算
实例
探究
计算或证明
平行线分线段成 图形变换
03线段的定比分点及平移
2 + 5λ −1 + 3λ k − + 1 = 0 ⇒ (5k − 2)λ = −2k + 2 1+ λ 1+ λ
>0
点不能与B点重合 点重合， QP点不能与 点重合，所以 5k − 2 ≠ 0
2k + 2 2 ∴λ = − > 0得 − 1 < k < 5k − 2 5
进行平移， 6.将函数 y = − x 进行平移，使得到的图象与原函数的 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式. 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式.
3.三角形重心公式及推导 三角形重心公式及推导 x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 三角形重心公式： , ) 三角形重心公式： ( 3 3
二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上 图形平移： 是坐标平面内的一个图形， 图形平移 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 所有的点按照同一方向移动同样长度 即按向量 a 平 移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。 ， ，我们把这一过程叫做图形的平移。 r 2.平移公式：点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移到 P′ ( x', y' ) 平移公式： 平移公式
一、线段的定比分点 1.定义 设 P 、P2 是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 定义:设 1 上的两点, 定义 uuu r uuur P 、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P P = λ PP2 , 1 1 uuuu r λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比.(如图) 1
r r r 例 2 设函数 f ( x) = a ⋅ b ,其中向量 a = (2 cos x ,1) , 其中向量 r b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R .
>0
点不能与B点重合 点重合， QP点不能与 点重合，所以 5k − 2 ≠ 0
2k + 2 2 ∴λ = − > 0得 − 1 < k < 5k − 2 5
进行平移， 6.将函数 y = − x 进行平移，使得到的图象与原函数的 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式. 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式.
3.三角形重心公式及推导 三角形重心公式及推导 x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 三角形重心公式： , ) 三角形重心公式： ( 3 3
二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上 图形平移： 是坐标平面内的一个图形， 图形平移 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 所有的点按照同一方向移动同样长度 即按向量 a 平 移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。 ， ，我们把这一过程叫做图形的平移。 r 2.平移公式：点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移到 P′ ( x', y' ) 平移公式： 平移公式
一、线段的定比分点 1.定义 设 P 、P2 是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 定义:设 1 上的两点, 定义 uuu r uuur P 、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P P = λ PP2 , 1 1 uuuu r λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比.(如图) 1
r r r 例 2 设函数 f ( x) = a ⋅ b ,其中向量 a = (2 cos x ,1) , 其中向量 r b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R .
高三数学线段的定比分点
《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：
x
y
xA yA
xB
3 yB
xC yC
3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，
高中数学 5.3线段的定比分点与平移配套课件 理 新人教
，
y
y1 y2 y3
____3_____
即重心G的坐标为_(_x_1 __x3_2__x_3_,_y_1__y_32___y_3 )_.
【即时应用】 (1)已知A(-2，-2)，B(1，1)，C(0，3)，则线段AB的中点坐标 为_____，△ABC的重心的坐标为_____. (2)已知P1(-1,0),P2(0,2),点P分有向线段 P1P2所成的比λ =-3， 则点P的坐标为_____. (3)已知直线y=2x上三点A(-1，-2)、B(1，2)、C(2，4)，则点 C分有向线段 AB所成的比λ =_____.
【方法点睛】
1.确定λ 的值的常用方法 (1)定义法：由向量 P1P与 PP2的方向是否相同确定λ 的符号(相 同为正，相反为负)；由向量 P1P与 PP2 的长度确定λ 的绝对 值，即 | | | P1P | .
第三节 线段的定比分点与平移
三年3考 高考指数:★★ 1.掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练地运用所学 知识解决相关问题. 2.掌握平移公式，并能熟练地应用平移公式解决问题.
1.新课标教材中无本节内容，故大纲卷对线段的定比分点与平 移的考查有所淡化. 2.对线段的定比分点与平移的考查，各种题型都可能出现，主 要考查线段的定比分点坐标公式和向量平移公式.
1 0 13
1 2
, P( 1
, 3).
06 3
2
1 1 3
(3)由定比分点坐标公式，得 2 1 ，解得λ=-3.
1
答案：(1) ( 1， 1) ( 1，2) (2) (1，3)
22
33
2
(3)-3
3.平移公式
设P(x,y)是图形F上任一点，它按向量a=(h,k)平移后的图形
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§5.5 线段的定比分点
张掖二中 郭光飞
复习回顾:
1.向量共线充要条件:
2.平面向量的坐标运算：
新课: 问题: (1) 设有向线段 取不同于
所在的直线为
,在
上任
的一点 P , 则点 P 的位置有几种情形?
(2)P1P与PP2有何关系?
一
线段的定比分点的定义 设 是直线 上的两点，点 P 是 ，使 上不同于 的任意一点 , 则存在 一个实数
则
叫做点 P 分有向线段
的定比分点
所成的比.
则点 P 叫做 问题 : (1) 点 P 不同于
,对
有何影响? 内时, 的取值范围如何?
(2) 内分点: 即点 P 在
(3) 外分点: 即点 P 在
的取值范围又如何?
或
的延长线上时,
二.定比分点坐标公式
若点P1(x1，y1)，P2( x2，y2 )，P( x，y )，点P分 P1P2的比为λ,即P1P＝λPP2,则点P的坐标( x，y )满足 ：
D B G · C
O
x
1.求连结下列两点的线段的中点坐标： 练：
⑴ A(3，4)，B(－3，2)；
答案：(1) M(0,3) (2) M(－2,－ ）
⑵ A(－7，－1)，B(3，－6)
2.求与下列各点关于坐标原点O对称的点的坐标： P(2，3)，Q(－2，3)，
答案： (-2,-3)
(2,-3)
3.求与P(2，3) 关于点Q(－2，4)对称的点的坐标
(-6,5)
四 小 结：
1，定义
λ是关键，λ>0内分，λ<0外分，λ≠－1。
2，两个公式
线段定比分点公式：
中点坐标公式：
X＝ y＝
返
回
P117页习题5.5 T1(1)
T2 T4(2)
T5
及优化5.5们把①叫做有向线段P1P2的定比分点坐标公式
。
②叫做有向线段P1P2的中点坐标公式。
有向线段P1P2的定比分点坐标公式.
中点坐标公式。
要从方程的角度看定比分点公式
三
例题解析及练习
要从方程的角度看定比分点公式
例2:如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(x1，y1),B (x2，y2),C (x3，y3)，D是边AB的 中点，G是CD上一点，且CG：GD＝2。求 点G的坐标。 y A
张掖二中 郭光飞
复习回顾:
1.向量共线充要条件:
2.平面向量的坐标运算：
新课: 问题: (1) 设有向线段 取不同于
所在的直线为
,在
上任
的一点 P , 则点 P 的位置有几种情形?
(2)P1P与PP2有何关系?
一
线段的定比分点的定义 设 是直线 上的两点，点 P 是 ，使 上不同于 的任意一点 , 则存在 一个实数
则
叫做点 P 分有向线段
的定比分点
所成的比.
则点 P 叫做 问题 : (1) 点 P 不同于
,对
有何影响? 内时, 的取值范围如何?
(2) 内分点: 即点 P 在
(3) 外分点: 即点 P 在
的取值范围又如何?
或
的延长线上时,
二.定比分点坐标公式
若点P1(x1，y1)，P2( x2，y2 )，P( x，y )，点P分 P1P2的比为λ,即P1P＝λPP2,则点P的坐标( x，y )满足 ：
D B G · C
O
x
1.求连结下列两点的线段的中点坐标： 练：
⑴ A(3，4)，B(－3，2)；
答案：(1) M(0,3) (2) M(－2,－ ）
⑵ A(－7，－1)，B(3，－6)
2.求与下列各点关于坐标原点O对称的点的坐标： P(2，3)，Q(－2，3)，
答案： (-2,-3)
(2,-3)
3.求与P(2，3) 关于点Q(－2，4)对称的点的坐标
(-6,5)
四 小 结：
1，定义
λ是关键，λ>0内分，λ<0外分，λ≠－1。
2，两个公式
线段定比分点公式：
中点坐标公式：
X＝ y＝
返
回
P117页习题5.5 T1(1)
T2 T4(2)
T5
及优化5.5们把①叫做有向线段P1P2的定比分点坐标公式
。
②叫做有向线段P1P2的中点坐标公式。
有向线段P1P2的定比分点坐标公式.
中点坐标公式。
要从方程的角度看定比分点公式
三
例题解析及练习
要从方程的角度看定比分点公式
例2:如图，△ABC三个顶点的坐标分别为 A(x1，y1),B (x2，y2),C (x3，y3)，D是边AB的 中点，G是CD上一点，且CG：GD＝2。求 点G的坐标。 y A