《导数与微分》word版
高等数学第二章导数与微分
tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
其中 (
2
x x0
t 0
x
) 是切线M0T与x轴正向的夹角。
2 求变速直线运动的瞬时速度
用s表示质点运动的路程，以O为原点，沿质点运动的方向建
立数轴—s轴，如图2.1，显然路程s是时间t的函数，记作 s=f (t),
t∈[0,T]，现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).
dx
x
例5. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f (x0 )
1 2
f (x0 )
f (x0 )
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.2
第二章
导数的运算法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思路:
( 构造性定义 )
本节内容
(C ) 0
(sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设
cos y 0 , 则
则
y ( , ) ,
22
(sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
第二章 导数与微分
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
存在，则称函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，其极限 值称为函数 y f ( x ) 在点 x0 处的导数，记作
f ( x0 ), y | x x0
y f ( x) M0
3 1 1 2 解 y 2 x x
x 1
o
x
法线
k y
1 2
第二章 导数与微分
微积分部分
因此切线方程为 法线方程为
y 1
x 2y 3 0
2x y 1 0
1 2
x
1
，即
y 1 2 x 1
t 0 , t 0 t 上可近似的看作匀速运动,即速度看作
是不变的(实际上有一些微小的变化,但变化很小很 小).其平均速度为:
微积分部分 第二章 导数与微分
f ( t 0 t ) f ( t 0 ) S v t t
显然, t 越小,
S v ( t 0 ) 越接近.为此 与 t
dy , dx
x x0
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) lim 即 x 0 x 如果上述极限不存在,则称该函数在 x如果令 x 0 x x则 y f ( x )在 x 0点的导数又 可以表示为 f ( x ) lim f ( x ) f ( x 0 ) 0
令 t 0 ,对上式取极限得
f ( t 0 t ) f ( t 0 ) S v( t 0 ) lim lim t 0 t t 0 t
2.曲线上一点切线的斜率 k 设有一曲线 y f ( x ) , P( x0 , y0 ) 是其上一点,求 过该点的切线斜率 k. 设自变量由 x 0 点变化到了 x0 x ,则过 x0 x
第二章导数与微分-30页精选文档
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系
返回
兰州交通大学数理与软件工程学院
一、引例
1.自由落体运动的瞬时速度问题
如图, 求t0时刻的瞬时速度, 取一邻近于t0的时刻t, 运动时间 t ,
平均速度 v
s t
s s0 t t0
g 2 (t0 t).
返回
兰州交通大学数理与软件工程学院
二、导数的定义
1 函数在一点处的导数与导函数
定义
设函数
y
f
(
x
)在
点
x
的某
0
个
邻域
内
有
定义
,
当自
变
量
x在
x
处取得
0
增量
x
(
点
x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取
得增量y f ( x0 x) f ( x0 ); 如果y与
x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
f(x0)lh i0m f(x0h h )f(x0).
f(x0)xl ix0mf(xx)xf0(x0).
兰州交通大学数理与软件工程学院
关于导数的说明：
★ 点导数是因变x量 0处在 的点 变化 它率,
反 映因 了变 量 随 自 变 量 而的 变变 化化 的 快 慢程度.
★ 如果y函 f(数 x)在开I区 内间 的每点
xx0, xx0
讨 论 在 x0的点
可导性.
若 limf(x0x)f(x0)
x 0
x
lim (x0x)(x0)
x 0
x
f(x0)
2 .
2
微积分第三章导数与微分
y
y
y
0
x0
x
0
x0
x
0
x0
x
（1）曲线 f ( x) 在点
（2） 曲线 f ( x) 在点
（3）曲线 f ( x) 在点
x0
x0 处
x0 处有
处是尖点
间断
垂直切线
calculus
作业
先看书 再做练习
P89:T8； P106：T1(1)；T2；T5.
x 作业讲评 P88.5(2) y sin x
x
1 lim[(1 ) ] x x
x x x
1 x lim u ( x) lim (1 ) e 0 x x x
x 1 lim v( x) lim lim 0 x x x x x
原式 e 1
P89.6. (5).解法1： lim (1 1 ) x x
x
1 lim (1 ) x x
lim
1 1 2 x ( )
1 x2
lim e
x
x
1 x2
calculus
ln(1 1 ) x
e
x
lim
1 x2
ln(1
1 ) x
e x
即
f ( x) 在 x0 处可导,
y f ( x0 ) lim 存在 x 0 x lim y lim y x
x 0
x 0
y lim lim x 0 x 0 x x 0 所以,函数 y f ( x) 在 x0 处连续.
x
问题：连续是否一定可导？
二、导数的定义
calculus
定义1：设函数y f ( x)在点x0处的某邻域内有定义， 如果函数的改变量y f ( x0 x) f ( x0 )与自变量 的改变量x的比值当x 0的极限
第二章导数与微分127页文档
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
第二章导数与微分4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要源自育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
第二章 导数与微分(完整)
第二章 导数与微分一、导数与微分的定义[定义1] )(x f 在0x x =点的导数：000000)()(lim )()(lim)(0x x x f x f x x f x x f x f x x x --=∆-∆+='→→∆ [定义2] )(x f 在任意x 点的导数：hx f h x f x f x )()(lim )(00-+='→∆[定义3] )(x f 在0x x =点的左右导数： 左导数000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x x --=∆-∆+='--→→∆- 右导数000000)()(lim )()(lim )(0x x x f x f x x f x x f x f x x x --=∆-∆+='+-→→∆+ [定义4] )(x f 在0x x =点的微分：10．设)(x f 在0x x =的某邻域内有定义 20．x ∆是x 在0x x =点的增量 30．存在常数A 使)(x x A y ∆+∆=∆α 则称x A ∆为函数)(x f 在0x x =点的微分． 记作0|x x dy =；即dx x f x A dy x x )(|00'=∆==[定义5] )(x f 在x 点的微分：10．设)(x f 在x 的某邻域内有定义 20．x ∆是x 在x 点的增量30．存在常数A 使)(x x A y ∆+∆=∆α 则称x A ∆为函数)(x f 在x 点的微分． 记作dy ；即dx x f x A dy )('=∆= 二、导数与微分的几何意义，力学意义 1．导数的几何意义)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点切线斜率，切线方程：))(()(000x x x f x f y -'=-；法线方程：)()(1)(000x x x f x f y --=- 2．微分的几何意义dx x f dy x x )(|00'==是曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点切线增量， 且dx x f y )(0'≈∆ 3．导数的力学意义设质点的运动规律)(t s s =，则质点的速度)()(t s t v '=；加速度)()()(t s t v t a ''='= 三、导数与微分的性质1．)(x f 在0x x =点可导的充要条件为，)(x f 在0x x =点的左右导数存在，且相等 2．若)(x f 在0x x =点可导，则)(x f 在0x x =点连续3．函数)(x f 在0x x =点可微的充要条件为)(x f 在0x x =点可导 四、导数与微分的运算法则 1．四则运算2．复合函数的导数与微分 3．反函数的导数与微分 五、基本公式（1）c y = 0='y 0=dy （2）μx y = 1-='μμx y dx x dy 1-=μμ（6）x y cos = x y sin -='xdx dy sin -=（13）x y arctan = 211x y +=' dx x dy 211+=六、高阶导数 1．高阶导数的概念二阶导数])([22''==''x f dx y d y ；三阶导数])([33'''=='''x f dx yd y ；…；n 阶导数])([)1()('==-x f dxyd yn n n n2．莱布尼茨公式)()(1)()(i n i ni i n n v u C uv -=∑= 其中)(x u u =，)(x v v =，u u =)0(，v v =)0( 3．常用高阶导数公式（1）a a a n x n x ln )()(=； （2）)2sin()(sin )(πn kx k kx n n += （3）)2cos()(cos )(πn kx k kx n n +=（4）n m n m x n m m m m x -+---=)1()2)(1()()( （5）nn n x n x )!1()1()(ln 1)(--=- 七、例题 习题类型1．求导数，求微分，求高阶导数 2．求分段函数的一阶、二阶导数3．求隐含数和参数方程确定的函数一阶、二阶导数 4．求曲线的切线和法线方程 5．求质点运动的速度与加速度 （1）关于导数定义的题目【例1】设)(0x f '存在，则下列各极限为（1）=∆-∆+→∆x x f x x f x )()3(lim000 ； （2）=--→hx f h x f h )()(lim 000 ； （3）=∆∆+-∆-→∆x x x f x x f x )3()2(lim 000 ； （4）=--+→hh x f h x f h )()(lim 000 . 〖解〗（1）=∆-∆+→∆x x f x x f x )()3(lim 000)(33)()3(lim 30000x f xx f x x f x '=∆-∆+→∆（2）=--→h x f h x f h )()(lim 000)()()(lim 0000x f hx f h x f h '-=----→（3）=∆∆+-∆-→∆x x x f x x f x )3()2(lim000xx x f x f x f x x f x ∆∆+-+-∆-→∆)3()()()2(lim00000-∆--∆--=→∆x x f x x f x 2)()2(lim2000xx f x x f x ∆-∆+→∆3)()3(lim3000 )(3)(200x f x f '-'-=)(50x f '-= （4）=--+→h h x f h x f h )()(lim000hh x f x f x f h x f h )()()()(lim00000--+-+→+-+=→h x f h x f h )()(lim000hx f h x f h ---→)()(lim000)(20x f '= 【例2】设)(x f 在0x x =点可导，则（1）=-+→h x f h x f h )()2(lim000 ； （2）=--+∞→)]1()3([lim 00nx f n x f n n ； （3）0)0(=f ，=→xx f x )2(lim 0 .〖解〗（1）=-+→h x f h x f h )()2(lim 000)(22)()2(lim 20000x f hx f h x f h '=-+→（2）=--+∞→)]1()3([lim 00nx f n x f n n nn x f x f x f n x f n 1)1()()()3(lim0000--+-+∞→nx f n x f n x f n x f n n 1)()1(lim 3)()3(3lim 0000---+-+=∞→∞→)()(300x f x f '+'= )(40x f '= （3）由0)0(=f 得=→x x f x )2(lim)0(22)0()2(2lim 0f xf x f x '=-→ 【例3】选择题（1）若函数)(x f 在0x 点某领域内有定义，则)(x f 在0x 点可导的充分必要条件是（ ）.（A ）ααα)()(lim 000--+→x f x f 存在； （B ）hh x f h x f h 2)()(lim000--+→存在；（C ）)]1()1([lim 00nx f n x f n --+∞→存在； （D ）)]1()([lim 00t x f x f t t --∞→存在.（2）设函数)(x f 在0x 点某领域内有定义，则“)(lim 0x f x x '→存在且等于A ”是“)(0x f '存在且等A的（ ）.（A ）充分条件，非必要条件； （B ）必要条件，非充分条件； （C ）充分且必要条件； （D ）即非充分条件也非必要条件.〖解〗（1）由ααα)()(lim 000--+→x f x f )()()(lim 0000x f x f x f -→'=---=+ααα，知（A ）不对 由)(0x f '存在，得)(2)()(lim0000x f h h x f h x f h '=--+→存在；反之，取⎩⎨⎧=≠=000,1)(x x x x x f 带 入（B ）中，得02)()(lim000=--+→hh x f h x f h 存在，但)(x f 在0x 点不连续，即不可导。
第三章 导数与微分(全)
3、取极限：
n
nn 1 n 2 2 n nx0 x x0 x x n1 2! nx0 lim x 0 x n n 1 n1 若把上式中的 0换成x，即得f x nx ,即 x nx . x
n 1
推至一般，对于幂函数 y x 为常数，有
或
f x h f x f x lim . h 0 h
注意 上两式中虽然x可以取区间 a, b 内的任一数值, 但在求极
限的过程中, x 或 h是变量, x 是常量。
显然 f x0 f x
x x0
三、按定义求导数举例
例1 按定义求f x x n n N 在x a处的导数. 解 1、求增量： x在x x0处以增量x，得函数的增量 给
3 ( x ) | x x0 x 2
3 2
六、可导与连续的关系 设函数 y=f (x) 在点 x 处可导, 即 lim
y f x x
x 0
y f x 存在, x 0 x
其中 lim 0,
y f x x x
lim y 0.
x 0
所以函数 y=f (x) 在点 x 处连续. 结论 如果函数 y=f (x) 在点 x 可导, 则函数在该点必连续. 简记 可导必连续 注 逆命题不成立.
例10 y f x 3 x在区间 ， 内连续, 但在x 0处
f 0 h f 0 h
第三章
导数与微分
§3.1 导数的概念 §3.2 求导的四则运算法则 §3.3 反函数和复合函数的导数 §3.4 高阶导数 §3.5 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 §3.6 微分及其应用 §3.7 导数在经济学中的应用
同济大学_第二章_导数与微分
第二篇 一元函数微积分第二章 导数与微分微积分学包含微分学和积分学两部分，而导数和微分是微分学的核心概念．导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，微分则指明了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少，即函数的局部改变量的估值．本章主要讨论导数和微分的概念、性质以及计算方法和简单应用．第1节 导数的概念导数概念的引入质点做变速直线运动的瞬时速度问题现有一质点做变速直线运动，质点的运动路程s 与运动时间t 的函数关系式记为()s s t =，求在0t 时刻时质点的瞬时速度0()v t 为多少整体来说速度是变化的，但局部来说速度可以近似看成是不变的．设质点从时刻0t 改变到时刻0t t +∆，在时间增量t ∆内，质点经过的路程为00()()s s t t s t ∆=+∆-，在t ∆时间内的平均速度为00()()s t t s t s v t t+∆-∆==∆∆， 当时间增量t ∆越小时，平均速度v 越接近于时刻0t 的瞬时速度0()v t ，于是当0t ∆→时，v 的极限就是质点在时刻0t 时的瞬时速度0()v t ，即00000()()()lim limlim t t t s t t s t sv t v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆． 平面曲线的切线斜率问题已知曲线:()C y f x =，求曲线C 上点000(,)M x y 处的切线斜率．欲求曲线C 上点000(,)M x y 的切线斜率，由切线为割线的极限位置，容易想到切线的斜率应是割线斜率的极限．图2-1如图2-1所示，取曲线C 上另外一点00(,)M x x y y +∆+∆，则割线0M M 的斜率为000()()tan M M f x x f x y k x x+∆-∆===∆∆ϕ． 当点M 沿曲线C 趋于0M 时，即当0x ∆→时，0M M 的极限位置就是曲线C 在点0M 的切线0M T ，此时割线的倾斜角ϕ趋于切线的倾斜角α，故切线的斜率为00000()()lim tan limlimx x x f x x f x yk x x∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ϕ． 前面我们讨论了瞬时速度和切线斜率两个问题，虽然实际意义不同，但如果舍弃其实际背景，从数学角度看，却有着相同的数学形式，即当自变量的改变量趋于零时，求函数的改变量与自变量的改变量之比的极限．在自然科学、社会科学和经济领域中，许多问题都可以转化为上述极限形式进行研究，如电流强度、人口增长速度、国内生产总值的增长率、边际成本和边际利润等．因此，我们舍弃这些问题的实际意义，抽象出它们数量关系上的共同本质——导数．导数的概念函数在一点处的导数定义1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0(,)U x δ内有定义，自变量x 在0x 处取得增量x ∆，且00(,)x x U x δ+∆∈时，函数取得相应的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-，如果极限0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，那么称函数()y f x =在点0x 可导，并称此极限值为函数()y f x =在点0x 的导数，记作00()(),,,x x x x x x dy df x f x y dxdx ===''，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆．注：（1）由导数的定义可得与其等价的定义形式000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-；0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=．（2）若极限0limx yx∆→∆∆不存在，则称函数()y f x =在点0x 不可导．特别地，若0limx yx ∆→∆=∞∆，也可称函数()y f x =在点0x 的导数为无穷大，此时()y f x =在点0x 的切线存在，它是垂直于x 轴的直线0x x =．例1 设1()f x x=，求(3)f '． 解 根据导数的等价定义，可得333()(3)11111(3)limlim lim 33339x x x f x f f x x x x →→→--⎛⎫'==-==- ⎪--⎝⎭． 例2 设0()2f x '=-，求下列极限：（1）000(3)()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆； （2）000()()lim h f x h f x h h→+--．解（1）0000000(3)()(3)()lim3lim 3()63x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===-∆∆．（2）00000000()()()()()()lim limh h f x h f x h f x h f x f x f x h h h→→+--+-+--= 0000000()()()()lim lim 2()4h h f x h f x f x h f x f x h h→→+---'=+==--． 单侧导数导数是由函数的极限来定义的，因为极限存在左、右极限，所以导数也存在左、右导数的定义．定义2 （1）设函数()y f x =在点0x 的某左邻域内有定义，当自变量x 在点0x 左侧取得增量x ∆时，如果极限000()()lim x f x x f x x-∆→+∆-∆或000()()lim x x f x f x x x -→--存在，则称此极限值为()y f x =在点0x 的左导数，记为0()f x -'，即000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--'==∆-．（2）设函数()y f x =在点0x 的某右邻域内有定义，当自变量x 在点0x 右侧取得增量x ∆时，如果极限000()()lim x f x x f x x+∆→+∆-∆或000()()lim x x f x f x x x +→--存在，则称此极限值为()y f x =在点0x 的右导数，记为0()f x +'，即000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--'==∆-． 由极限存在的充要条件可得函数()y f x =在点0x 可导的充要条件如下：定理1 函数()y f x =在点0x 可导⇔0()f x -'和0()f x +'存在且相等． 例3 研究函数()f x x =在点0x =的可导性．解 因为,0(),0x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，所以00()(0)(0)lim lim 10x x f x f x f x x ---→→--'===--，00()(0)(0)lim lim 10x x f x f xf x x +++→→-'===-，从而(0)(0)f f -+''≠，因此()f x x =在点0x =不可导．导函数定义3 （1）若函数()y f x =在区间(,)a b 内每一点均可导，则称()y f x =在区间(,)a b 内可导；（2）若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，在区间左端点a 的右导数()f a +'和区间右端点b 的左导数()f b -'均存在，则称()y f x =在闭区间[,]a b 上可导．定义4 若函数()y f x =在区间I （可以是开区间、闭区间或半开半闭区间）上可导，且对于任意的x I ∈，都对应着一个导数值()f x '，其是自变量x 的新函数，则称()f x '为()y f x =在区间I 上的导函数，记作()(),,,df x dyf x y dx dx''，即 0()()()limx f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆或0()()()lim h f x h f x f x h→+-'=． 注：（1）在导函数的定义式中，虽然x 可以取区间I 上的任意值，但在求极限的过程中，x 是常数，x ∆和h 是变量．（2）导函数也简称为导数，只要没有指明是特定点的导数时所说的导数都是指导函数．显然函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x 处的函数值，即0()()x x f x f x =''=．下面利用导数的定义求一些简单函数的导数． 例4 求常值函数()f x C =（C 为常数）的导数． 解 00()()()limlim 0x x f x x f x C Cf x x x∆→∆→+∆--'===∆∆． 即得常值函数的导数公式：()0C '=．例5求正弦函数()sin f x x =的导数． 解 00()()sin()sin ()limlim x x f x x f x x x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆ 002sin cos sin 222limlim cos cos 22x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆∆⎛⎫∆+ ⎪∆⎛⎫⎝⎭==+= ⎪∆∆⎝⎭．即得正弦函数的导数公式：()sin cos x x '=．类似可得余弦函数的导数公式：()cos sin x x '=-．例6求指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠的导数．解 000()()1()lim lim lim x h x h xh h h f x h f x a a a f x a h h h+→→→+---'===．由于当0h →时，1ln ha h a -:，所以()0ln limln x x h h af x a a a h→'==．即得指数函数的导数公式：()ln xxa aa '=．特别地，()xxe e'=．例7 求对数函数()log (0,1)a f x x a a =>≠的导数． 解 000log ()log ()()1()limlim lim log a a ah h h x h x f x h f x x hf x h h h x→→→+-+-+'=== 001111lim log 1lim log 1log ln xha a a h h x h h e x h x x x x x a →→⎛⎫⎛⎫=⋅+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即得对数函数的导数公式：()1log ln a x x a '=． 特别地，()1ln x x'=． 例8 求幂函数()f x x μ=的导数．解 00()()()()lim lim h h f x h f x x h x f x h hμμ→→+-+-'==()011lim 0h h x x x h μμ→⎛⎫+- ⎪⎝⎭=≠， 因为当0h →时，0h x →，从而11h h x x μμ⎛⎫+- ⎪⎝⎭:，故()10lim h hx f x x x hμμμμ-→'=⋅=．即得幂函数的导数公式：()1x x-'=μμμ．导数的几何意义函数()f x 在0x 点可导时，导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线斜率（图2-1）．由此可得，曲线()y f x =在00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-．若0()f x '=∞，可得切线的倾斜角为2π或2-π，此时切线方程为0x x =．当0()0f x '≠时，曲线()y f x =在00(,())x f x 处的法线方程为0001()()()y f x x x f x -=--'． 若0()0f x '=，则法线方程为0x x =．例9 求函数2y x =在点(1,1)处的切线的斜率，并写出在该点的切线方程和法线方程． 解 根据导数的几何意义，函数2y x =在点(1,1)处的切线的斜率为11()22x x k f x x =='===．从而所求的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=．所求法线的斜率为1112k k =-=-， 从而所求的法线的方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=．函数可导性与连续性的关系定理2 如果函数()y f x =在点0x 处可导，那么()y f x =在点0x 处连续． 证明 因为()y f x =在点0x 处可导，即00()limx y f x x∆→∆'=∆，其中00()()y f x x f x ∆=+∆-，所以00000lim lim lim lim ()00x x x x y y y x x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆∆⎛⎫'∆=⋅∆=⋅∆=⋅= ⎪∆∆⎝⎭． 根据连续的定义可知()y f x =在点0x 处连续．注：（1）定理2的逆命题不成立，即连续函数未必可导．（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导．例10 讨论函数1sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处的连续性与可导性． 解 因为1lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→=⋅==， 所以()f x 在点0x =处连续．又因为001sin()(0)1(0)limlim lim sin 0x x x x f x f x f x x x→∆→∆→-'===-不存在，所以()f x 在点0x =处不可导．例11 讨论函数2,1()2,1x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩在点1x =处的连续性与可导性．解 因为11lim ()1,lim ()2x x f x f x -+→→==， 所以()f x 在点1x =处不连续，从而()f x 在点1x =处不可导．例12 设函数2,0(),0x e x f x x ax b x ⎧≤=⎨++>⎩在点0x =处可导，求,a b ．解 由于()f x 在点0x =处可导，所以()f x 在点0x =处必连续，即00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==． 因为lim ()lim 1x x x f x e --→→==， 20lim ()lim()x x f x x ax b b ++→→=++=， (0)1f =，所以可得1b =．又因为00()(0)1(0)lim lim 10xx x f x f e f x x ---→→--'===-， 200()(0)11(0)lim lim 0x x f x f x ax f a x x+++→→-++-'===-．要使()f x 在点0x =处可导，则应有(0)(0)f f -+''=，即1a =．所以，如果()f x 在点0x =处可导，则有1,1a b ==．习题2-11. 已知物体的运动规律为2(m)s t t =+，求： （1）物体在1s 到2s 这一时间段的平均速度； （2）物体在2s 时的瞬时速度．2. 设()f x ()4f '.3. 设()0f x '存在，指出下列极限各表示什么 （1）()()000limx f x x f x x ∆→-∆-∆； （2）()()000lim h f x f x h h →-+；（3）()limx f x x→（设()00f =且()0f '存在）. 4. 设函数()f x 在点1x =处连续，且()1lim21x f x x →=-，求()1f '.5. 已知函数()1,010,0x xx f x e x ⎧≠⎪=⎨+⎪=⎩，求()0f +'和()0f -'，判定()0f '是否存在6. 求曲线xy e =在点()0,1处的切线方程和法线方程.7. 试讨论函数()21sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性. 8. 设函数()2,1,1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，求,a b 的值.第2节 函数的求导法则在上一节中，利用导数的定义求得了一些基本初等函数的导数．但对于一些复杂的函数，利用导数定义去求解，难度比较大．因此本节将介绍几种常用的求导法则，利用这些法则和基本求导公式就能比较简单地求一般初等函数的导数．导数的四则运算法则定理1 如果函数()u x 和()v x 都在点x 处可导，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）都在点x 处可导，且（1）[()()]()()u x v x u x v x '''±=±．（2）[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=⋅+⋅． 特别地，[()]()C u x C u x ''⋅=⋅（C 为常数）． （3）2()()()()()(()0)()()u x u x v x u x v x v x v x v x '''⎡⎤⋅-⋅=≠⎢⎥⎣⎦． 特别地，21()(()0)()()v x v x v x v x ''⎡⎤=-≠⎢⎥⎣⎦． 证明（1）0[()()][()()][()()]limh u x h v x h u x v x u x v x h→+±+-±'±=00()()()()lim lim ()()h h u x h u x v x h v x u x v x h h→→+-+-''=±=±． （2）0()()()()[()()]lim h u x h v x h u x v x u x v x h→+⋅+-⋅'⋅=0()()()()lim ()()h u x h u x v x h v x v x h u x h h →+-+-⎡⎤=⋅++⋅⎢⎥⎣⎦0000()()()()limlim ()lim ()limh h h h u x h u x v x h v x v x h u x h h→→→→+-+-=⋅++⋅， 由于()v x 在点x 处可导，从而其在点x 处连续，故[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''⋅=⋅+⋅．（3）先考虑特殊情况．当()0v x ≠时，111()()()()lim lim ()()z x z x v z v x v z v x z x v z v x z x→→---=⋅-⋅-， 由于()v z 在点x 处可导，从而其在点x 处连续，故21()()()lim()()()z x v z v x v x v z v x z x v x →'--⋅=-⋅-．因此，函数1()v x 在点x 处可导，且21()(()0)()()v x v x v x v x ''⎡⎤=-≠⎢⎥⎣⎦．于是 2()1111()()()()()()()()()()()()u x v x u x u x u x u x u x v x v x v x v x v x v x ''''⎡⎤⎡⎤⎡⎤-''=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2()()()()(()0)()u x v x u x v x v x v x ''⋅-⋅=≠．注：（1）法则（1）可以推广到有限个可导函数的和与差的求导．如[]()()()()()()u x v x w x u x v x w x ''''±±=±±．（2）法则（2）可以推广到有限个可导函数的积的求导．如[]()()()()()()()()()()()()u x v x w x u x v x w x u x v x w x u x v x w x ''''⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅．例1 设2()3xf x x e =+-，求()f x '．解 ()()()()22()332x xxf x x e xe x e'''''=+-=+-=+．例2 设521()f x x x x=+-，求()f x '． 解 ()()525242111()52f x x x x x x x x x x ''⎛⎫⎛⎫'''=+-=+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．例3 设()sin xf x e x =，求()f x '．解 ()()()()()sin sin sin sin cos xxxxf x e xe x e x e x x ''''==+=+．例4 设()ln xf x xe x =，求()f x '．解 ()()()()()ln ln ln ln xxx x f x xe xx ex x e x xe x '''''==++()1ln ln 1ln ln x x xx e x xe x xe e x x x x=++=++． 例5 设()tan f x x =，求()f x '．解 ()()()2sin cos sin cos sin ()tan cos cos x x x x x f x x x x '''-⎛⎫''=== ⎪⎝⎭22222cos sin 1sec cos cos x x x x x+===．即得正切函数的导数公式：()2tan sec x x '=．类似可得余切函数的导数公式：()2cot csc x x '=-．例6 设()sec f x x =，求()f x '．解 ()()22cos 1sin ()sec sec tan cos cos cos x x f x x x x x x x ''⎛⎫''===-== ⎪⎝⎭． 即得正割函数的导数公式：()sec sec tan x x x '=．类似可得余割函数的导数公式：()csc csc cot x x x '=-．反函数的求导法则定理2 如果函数()x f y =在区间y I 内单调、可导且()0f y '≠，那么它的反函数1()y f x -=在区间{}(),x y I x x f y y I ==∈内也可导，且11()()f x f y -'⎡⎤=⎣⎦' 或 1dy dxdx dy=． 换句话说，即反函数的导数等于原函数的导数的倒数．证明 由于()x f y =在区间y I 内单调、可导（必连续），从而可知()x f y =的反函数1()y f x -=存在，且1()f x -在区间x I 内也单调、连续．取x x I ∀∈，给x 以增量()0,x x x x x I ∆∆≠+∆∈，由1()y fx -=的单调性可知()()110y f x x f x --∆=+∆-≠，于是有1y xx y∆=∆∆∆， 由于1()y fx -=连续，所以lim 0x y ∆→∆=，从而10011()lim lim ()x y y f x x x f y y-∆→∆→∆'⎡⎤===⎣⎦∆'∆∆． 例7 设arcsin (11)y x x =-<<，求y '．解 因为arcsin (11)y x x =-<<的反函数sin x y =在区间,22y I ⎛⎫=-⎪⎝⎭ππ内单调可导，且()sin cos 0y y '=≠．又因为在,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ内有cos y =间()1,1x I =-内有()()11arcsin cos sin x y y '===='． 即得到反正弦函数的导数公式：()()arcsin 11x x '=-<<．类似可得反余弦函数的导数公式：()()arccos 11x x '=-<<．例8 设arctan ((,))y x x =∈-∞+∞，求y '．解 因为arctan ()y x x =-∞<<+∞的反函数tan x y =在区间,22y I ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ内单调可导，且()2tan sec 0y y '=≠，所以在对应区间(),x I =-∞+∞内有()()2221111arctan sec 1tan 1tan x y y xy '====++'． 即得反正切函数的导数公式：()()21arctan (,)1x x x '=∈-∞+∞+． 类似可得反余切函数的导数公式：()()21arccot (,)1x x x '=-∈-∞+∞+．复合函数的求导法则定理3 如果函数()u g x =在点x 可导，函数()y f u =在相应点()u g x =可导，那么复合函数[()]y f g x =在点x 可导，且其导数为()()dyf ug x dx''=⋅ 或 dy dy du dx du dx =⋅． 证明 因为()y f u =在点u 可导，所以0lim()u yf u u ∆→∆'=∆存在，于是根据极限与无穷小的关系可得()yf u uα∆'=+∆， 其中α是0u ∆→时的无穷小．由于上式中0u ∆≠，在其两边同乘u ∆，可得()y f u u u α'∆=⋅∆+⋅∆，用0x ∆≠除上式两边，可得()y u uf u x x xα∆∆∆'=⋅+⋅∆∆∆， 于是00lim lim ()x x dy y u u f u dx x x x α∆→∆→∆∆∆⎡⎤'==⋅+⋅⎢⎥∆∆∆⎣⎦． 根据函数在某点可导必在该点连续可知，当0x ∆→时，0u ∆→，从而可得lim lim 0x u αα∆→∆→==．又因为()u g x =在点x 可导，所以0lim()x ug x x ∆→∆'=∆，故0lim ()()()x dy u u f u f u g x dx x x α∆→∆∆⎡⎤'''=⋅+⋅=⋅⎢⎥∆∆⎣⎦． 如果0u ∆=，规定0α=，那么0y ∆=，此时()y f u u u α'∆=⋅∆+⋅∆仍成立，从而仍有()()dyf ug x dx''=⋅． 注：（1）[](())f g x '表示复合函数对自变量x 求导，而[]()f g x '则表示函数()y f u =对中间变量u 求导．（2）定理的结论可以推广到有限个函数构成的复合函数．例如，设可导函数()()(),,y f u u g v v x ϕ===构成复合函数()()y f g x ϕ⎡⎤=⎣⎦，则()()()dy dy du dv f u g v x dx du dv dxϕ'''=⋅⋅=⋅⋅． 例9 设2sin y x =，求dy dx．解 因为2sin y x =由2sin ,y u u x ==复合而成，所以()()22sin cos 22cos dy dy du u x u x x x dx du dx''=⋅=⋅=⋅=． 例10 设()ln cos x y e =，求dydx．解 因为()ln cos x y e =由ln ,cos ,xy u u v v e ===复合而成，所以()()()()()1ln cos sin tan x x x x dy dy du dv u v e v e e e dx du dv dx u''=⋅⋅=⋅⋅=⋅-⋅=-． 从以上例子可以直观的看出，对复合函数求导时，是从外层向内层逐层求导，故形象地称其为链式法则．当对复合函数求导过程较熟练后，可以不用写出中间变量，而把中间变量看成一个整体，然后逐层求导即可．例11 设lnsin y x =，求y '． 解 ()11sin cos cot sin sin y x x x x x''=⋅=⋅=． 例12 设()5243y x x =-+，求y '．解 ()()()()442225434310243y x x xx x x x ''=-+⋅-+=--+．例13 设sin sin ny nx x =（n 为常数），求y '．解 ()()sin sin sin sin n ny nx x nx x '''=+()()11cos sin sin sin cos sin sin 1n n n n nx x nx n x x n x n x --=⋅+⋅=⋅+．例14 设ln y x =，求y '． 解 因为()ln ,0ln ln ,0x x y x x x >⎧==⎨-<⎩，所以，当0x >时，()()1ln ln x x x''==； 当0x <时，()()()()11ln ln x x x x x'''=-=-=-． 综上可得()1ln y x x''==．例15 设()f x 可导，求()2sin y f x =的导数．解 ()()()()()2222sin sin sin sin 2sin sin y f x f x x f x x x '''⎡⎤'''==⋅=⋅⋅⎣⎦()()22sin 2sin cos sin 2sin f x x x x f x ''=⋅=⋅．高阶导数变速直线运动的质点的路程函数为()s s t =，则速度()()()()0limt s t t s t v t s t t∆→+∆-'==∆，加速度()()()00limlim t t v t t v t va t t t ∆→∆→+∆-∆==∆∆，从而()()()a t v t s t '''==⎡⎤⎣⎦．这种导数的导数称为二阶导数，依次类推就产生了高阶导数的概念．一般地，可给出如下定义：定义1 若函数()y f x =的导数()f x '在点x 可导，则称()f x '在点x 的导数为函数()y f x =在点x 的二阶导数，记作()()()2222,,,d f x df x d d y d dy f x y dx dx dx dx dx dx ⎛⎫⎛⎫''''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()()limx f x x f x f x x∆→''+∆-''=∆．这时也称()f x 在点x 二阶可导．若函数()y f x =在区间I 上每一点都二阶可导，则称它在区间I 上二阶可导，并称()f x ''为()f x 在区间I 上的二阶导函数，简称为二阶导数．如果函数()y f x =的二阶导数()f x ''仍可导，那么可定义三阶导数：()()0lim x f x x f x x∆→''''+∆-∆，记作()()3333,,,d f x d yf x y dx dx ''''''．以此类推，如果函数()y f x =的1n -阶导数仍可导，那么可定义n 阶导数：()()(1)(1)0lim n n x f x x f x x--∆→+∆-∆， 记作()()()(),,,nn n n n nd f x d y f x y dx dx ．习惯上，称()f x '为()f x 的一阶导数，二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．有时也把函数()f x 本身称为()f x 的零阶导数，即()()(0)fx f x =．注：由高阶导数的定义可知，求高阶导数就是多次接连地求导数，所以前面学到的求导方法对于计算高阶导数同样适用．定理4 如果函数()u u x =和()v v x =都在点x 处具有n 阶导数，那么 （1）()()()()n n n u v u v ±=±．（2）()()()()0nn k n k k n k u v C u v -=⋅=⋅∑，其中()()()11!!!!kn n n n k n C k k n k --+==⋅-L ． 特别地，()()()n n Cu Cu =（C 为常数）． 定理4中的（2）式称为莱布尼兹（Leibniz ）公式．例16 设322537y x x x =-+-，求(4)y ．解 26103y x x '=-+，1210y x ''=-，12y '''=，(4)0y =． 一般地，设1110n n n n y a x a x a x a --=++++L ，则()(1)!,0n n n y n a y+=⋅=． 例17 设()0,1xy aa a =>≠，求()n y ．解 ln xy a a '=，2ln xy a a ''=，3ln xy a a '''=，()44ln x y a a =，…，由归纳法可得()()ln n x x n a a a =．特别地，当a e =时，()()n xx ee =．例18 设sin y x =，求()n y ．解 sin y x =，cos sin 2y x x π⎛⎫'==+ ⎪⎝⎭，cos sin sin 22222y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+=++=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，cos 2sin 322y x x ππ⎛⎫⎛⎫'''=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4)cos 3sin 422y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…，由归纳法可得()()()sin sin 2n n y x x n π⎛⎫==+⋅ ⎪⎝⎭．类似地，可得()()cos cos 2n x x n π⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．例19 设()ln 1y x =+，求()n y ．解 11y x '=+，()211y x ''=-+，()3121y x ⋅'''=+，()(4)41231y x ⋅⋅=-+，…， 由归纳法可得()()()()()1()1!ln 111n n n nn y x x --=+=-⎡⎤⎣⎦+．例20 设y x μ=（μ为任意常数），求()n y ．解 1y xμμ-'=，()21y xμμμ-''=-，()()312y xμμμμ-'''=--，()()()(4)4123y x μμμμμ-=---，…，由归纳法可得()()()()()()121n n n y x n x μμμμμμ-==---+L ．特别地，当n μ=时，可得()()()()1221!n n x n n n n =--⋅=L ．而()(1)0n n x +=．例21 设42534xy x x e =+-+，求()()4n y n >． 解 ()()()()()()()425425534345n n n n x x n x yx x e x x e e =+-+=+-+=．例22 设22xy e x =，求(4)y．解 设22,xu e v x ==，则22232(4)422,2,2,2x x x x u e u e u e u e ''''''====，(4)2,2,0v x v v v ''''''====．由莱布尼兹公式，可得(4)0(4)12444y C u v C u v C u v ''''''''=++4223222432422222!x x xe x e x e ⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ ()422243x e x x =⋅++．导数公式与基本求导法则基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、反函数的求导法则及复合函数的求导法则等在初等函数的求导运算中起着重要的作用．为了便于查阅，现在把这些导数公式和求导法则归纳如下：基本初等函数的导数公式（1）()0C '=（C 为常数）； （2）()1x xμμμ-'=；（3）()ln x xaaa '=； （4）()x x e e '=；（5）()1log ln a x x a '=； （6）()1ln x x'=； （7）()sin cos x x '=； （8）()cos sin x x '=-； （9）()2tan sec x x '=； （10）()2cot csc x x '=-；（11）()sec sec tan x x x '=； （12）()csc csc cot x x x '=-； （13）()arcsin x '=； （14）()arccos x '=；（15）()21arctan 1x x '=+； （16）()21arccot 1x x '=-+．导数的四则运算法则设函数()u u x =和()v v x =都可导，则（1）()u v u v '''±=±； （2）()u v u v u v '''⋅=⋅+⋅；（3）()C u C u ''⋅=⋅（C 为常数）； （4）2(0)u u v u v v v v '''⋅-⋅⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭； （5）()210v v v v ''⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭．反函数的求导法则如果函数()x f y =在区间y I 内单调、可导且()0f y '≠，那么它的反函数1()y f x -=在区间{}(),x y I x x f y y I ==∈内也可导，且11()()f x f y -'⎡⎤=⎣⎦' 或 1dy dxdx dy=． 复合函数的求导法则如果函数()u g x =在点x 可导，函数()y f u =在相应点()u g x =可导，那么复合函数[()]y f g x =在点x 可导，且其导数为()()()f x f u g x '''=⋅ 或dy dy du dx du dx=⋅． 高阶导数的运算法则如果函数()u u x =和()v v x =都在点x 处具有n 阶导数，那么 （1）()()()()n n n u v u v ±=±．（2）()()()()0nn k n k k n k u v C u v -=⋅=⋅∑，其中()()()11!!!!kn n n n k n C k k n k --+==⋅-L ． 特别地，()()()n n Cu Cu =（C 为常数）． 习题2-21. 求下列函数的导数.（1）23420y x x =-+； （2）345110y x x x=+-+； （3）3523x xy x e =-+； （4）2tan sec y x x =-；（5）1y x =+ （6）sin cos y x x =； （7）()sin cos x y e x x =+； （8）2ln cos y x x x =； （9）ln x y x =； （10）1sin 1sin xy x+=-. 2. 求曲线22sin y x x =+上横坐标为0x =的点处的切线方程和法线方程. 3. 求下列函数的导数.（1）()cos 52y x =-； （2）()2tan y x =；（3）y = （4）ln tan2xy =； （5）()ln ln ln y x =⎡⎤⎣⎦； （6）()ln cos tan y x x =+； （7）2231xx y e -+-=； （8）sin cos ny x nx =；（9）()223x y e x x -=-+； （10）2sin x y =；（11）y = （12）arcsin x y e e =.4. 设()f x 为可导函数，求下列函数的导数dydx. （1）()3y f x =； （2）1arcsin y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （3）()()f x x y f e e=+； （4）()2ln y x f x =.5. 求下列函数的二阶导数.（1）22cos y x x =+； （2）23x y e -=；（3）sin y x x =； （4）tan y x =； （5）211y x =+； （6）2cos ln y x x =. 6. 求下列函数所指定阶的导数. （1）cos xy e x =，求()4y ； （2）2sin y x =，求()n y.第3节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数的导数以解析式()y f x =的形式确定的函数称为显函数．例如cos x y e x =，ln y x x =．以二元方程(),0F x y =的形式确定的函数称为隐函数．例如310x y +-=，()sin 32x y x y +=-+．把一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化．例如从方程310x y +-=解出y =的．例如方程()sin 32x y x y +=-+所确定的隐函数就难以化成显函数．但在很多情况下，需要计算隐函数的导数，因此，我们希望找到一种方法，不论隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数．隐函数求导的基本思想是：把方程(),0F x y =中的y 看成自变量x 的函数()y x ，结合复合函数求导法，在方程两端同时对x 求导数，然后整理变形解出y '即可．y '的结果中可同时含有x 和y ．若将y 看成自变量，同理可求出x '．例1 求由方程()ln y x y =+所确定的隐函数的导数y '． 解 方程两端对x 求导，得()()111y x y y x y x y'''=+=+++， 从而11y x y '=+-．例2 求由方程0ye xy e +-=所确定的隐函数的导数y '． 解 方程两端对x 求导，得0y e y y x y ''⋅++⋅=，从而()0yyy y x ex e '=-+≠+．例3 求椭圆曲线22124x y +=上点(1,处的切线方程和法线方程． 解 方程两端对x 求导，得102x y y '+⋅=，故2x y y '=-．从而，切线斜率1k 和法线斜率2k 分别为(1k y '==211k k =-=所求切线方程为)1y x =-，即y =+法线方程为)1y x =-， 即22y x =+． 例4 求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数的二阶导数22d y dx ．解 方程两端对x 求导，得11cos 02dy dyy dx dx-+=， 从而22cos dy dx y=-． 上式两端再对x 求导，得()()22322sin 4sin 2cos 2cos dyyd y y dx dx y y -==---． 对数求导法对于以下两类函数：（1）幂指函数，即形如()()()()0v x y u x u x =>的函数．（2）函数表达式是由多个因式的积、商、幂构成的． 要求它们的导数，可以先对函数式两边取自然对数，利用对数的运算性质对函数式进行化简，然后利用隐函数求导法求导，这种方法称为对数求导法．例5 设()()cos ln 1xy x x =>，求y '．解 函数两端取自然对数，得()ln cos ln ln y x x =⋅，两端分别对x 求导，得()11sin ln ln cos ln y x x x y x x'=-⋅+⋅⋅， 所以()()()cos 11cos sin ln ln cos ln sin ln ln ln ln x x y y x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤'=-⋅+⋅⋅=-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．例6 设(()214xx y x e+=+，求y '． 解 先在函数两端取绝对值后再取自然对数，得1ln ln 1ln 12ln 43y x x x x =++--+-，两端分别对x 求导，得()11211314y y x x x '=+--+-+， 即(()()21112113144x x y x x x x e ⎡⎤+'=+--⎢⎥+-++⎣⎦． 容易验证，例6中的解法，若省略取绝对值这一步所得的结果是相同的，因此，在使用对数求导法时，常省略取绝对值的步骤．由参数方程所确定的函数的导数 一般地，若参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 确定了y 与x 之间的函数关系，则称此函数为由参数方程所确定的函数．定理1 设参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，其中()(),t t ϕψ均可导，且函数()x t ϕ=严格单调，()0t ϕ'≠，则有()()t dy dx t ψϕ'=' 或 dydy dtdxdx dt=． 证明 因为函数()x t ϕ=严格单调，所以其存在反函数()t t x =．又因为()t ϕ可导且()0t ϕ'≠，故()t t x =也可导，且有()1dt dx t ϕ='．对于复合函数()()y t t x ψψ==⎡⎤⎣⎦求导，可得()()dyt dy dy dt dt dx dx dt dx t dtψϕ'=⋅=='． 如果()(),x t y t ϕψ==还是二阶可导的，那么由定理1可得到函数的二阶导数公式：()()()()()()()()2221t t t t t d y d dy d dt dx dx dx dt t dx t t ψψϕψϕϕϕϕ⎛⎫'''''''-⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪''⎝⎭'⎡⎤⎝⎭⎣⎦， 即()()()()()232t t t t d y dx t ψϕψϕϕ''''''-='⎡⎤⎣⎦． 例7 设cos sin t tx e t y e t⎧=⎨=⎩，求dydx ． 解 因为()()sin cos ,cos sin ,t t dy dx e t t e t t dt dt=+=- 所以()()sin cos sin cos cos sin cos sin tt e t t dy t t dx e t t t t++==--． 例8 求星形线()33cos 0sin x a t a y a t⎧=>⎨=⎩在4t π=的相应点()00,M x y 处的切线方程和法线方程（图2-2）．图2-2解 由4t π=可得3300cos ,sin 4444x a a y a a ππ====， 星形线在点M 处的切线斜率1k 和法线斜率2k 分别为()()321234444sin 3sin cos tan 13cos sin cos t t t t a t dya t tk t dx a t ta t ππππ===='====-=--'，2111k k =-=．从而，所求切线方程为44y a x ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 即02x y a +-=． 所求法线方程为44y a x a -=-， 即y x =．例9 设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，求22d ydx ．解 （方法一）因为()()sin 1cos 1sin cos t dy dy ty dx dx dt t t t dt''==⋅==+'-， 所以()()()22222sin 1sin cos cos 1111sin 1sin 1sin 1sin t t t d y dy d t dx dx dx dt t t t t dt-+-'⎛⎫==⋅=⋅=- ⎪++⎝⎭++． （方法二）由于1sin ,cos ,cos ,sin t t t t x t x t y t y t ''''''=+===-，代入公式可得()()()()223322sin 1sin cos 11sin 1sin t t t t tt t t y x y x d y dx t t x ''''''-+--===-++'． 由极坐标方程所确定的函数的导数研究函数y 与x 的关系通常是在直角坐标系下进行的，但在某些情况下，使用极坐标系则显得比直角坐标系更简单．如图2-3所示，从平面上一固定点O ，引一条带有长度单位的射线Ox ，这样在该平面内建立了极坐标系，称O 为极点，Ox 为极轴．设P 为平面内一点，线段OP 的长度称为极径，记为()0r r ≥，极轴Ox 到线段OP 的转角（逆时针）称为极角，记为()02θθπ≤≤，称有序数组(),r θ为点P 的极坐标．图2-3若一平面曲线C 上所有点的极坐标(),r θ都满足方程()r r θ=，且坐标,r θ满足方程()r r θ=的所有点都在平面曲线C 上，则称()r r θ=为曲线C 的极坐标方程．将极轴与直角坐标系的正半轴Ox 重合，极点与坐标原点O 重合，若设点M 的直角坐标为(),x y ，极坐标为(),r θ，则两者有如下关系：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩或222tan x y r y x θ⎧+=⎪⎨=⎪⎩．设曲线的极坐标方程为()r r θ=，利用直角坐标与极坐标的关系可得曲线的参数方程为()()cos sin x r y r θθθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， 其中θ为参数．由参数方程的求导公式，可得()()()()sin cos cos sin r r dy dx r r θθθθθθθθ'+='-． 例10 求心形线1sin r θ=+在3πθ=处的切线方程（图2-4）． 图2-4解 由极坐标的求导公式得()()cos sin 1sin cos sin 2cos cos cos 1sin sin cos 2sin dy dx θθθθθθθθθθθθ+++==-+-． 当3πθ=时，011sin cos 1332x ππ⎛⎛⎫=+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，01sin sin 133y ππ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎝⎭， 32sincos 3312cos sin33dydx πθππππ=+==--， 所以，所求切线方程为11112y x ⎛⎫⎛+=-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即4450x y +--=．习题2-31. 求由下列方程所确定的隐函数的导数dydx.（1）2290y xy -+=； （2）3320x y xy +-=； （3）x yxy e+=； （4）()cos sin 0y x x y +-=；（5）22xyx y e +=； （6）arctanyx=. 2. 求曲线ln 1xy y +=在点()1,1处的切线方程和法线方程.3. 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数22d ydx.（1）1yy xe =+； （2）()tan y x y =+.4. 利用对数求导法求下列函数的导数.（1）xy x =； （2）()tan 21xy x=+；（3）()sin 21xy x=+； （4）31xx y x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭；（5）y =（6）)()4531x y x -=+.5. 求下列参数方程所确定的函数的指定阶的导数.（1）23x at y bt ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求dy dx ； （2）()1sin cos x t t y t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩，求dy dx ； （3）cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩，求22d y dx ； （4）22ttx ey te-⎧=⎪⎨=⎪⎩，求22d y dx . 6. 求四叶玫瑰线cos2r a θ=（a 为常数）在4πθ=对应点处的切线方程.第4节 函数的微分微分的概念在许多实际问题中，要求研究当自变量发生微小改变时所引起的相应的函数值的改变． 例如，一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由0x 变到0x x +∆（图2-5），问此薄片的面积改变了多少当x ∆很微小时，正方形的面积改变的近似值是多少图2-5设此正方形的边长为x ，面积为A ，则A 与x 存在函数关系2A x =．当边长由0x 变到0x x +∆，正方形金属薄片的面积改变量为()()2220002.A x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆从上式可以看出，A ∆分为两部分，第一部分02x x ∆是x ∆的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和，第二部分()2x ∆是图中右上角的小正方形的面积，当0x ∆→时，第二部分()2x ∆是比x ∆高阶的无穷小量，即()()2x o x ∆=∆．因此，当x ∆很微小时，我们用02x x ∆近似地表示A ∆，即02A x x ∆≈∆．故02x x ∆是正方形的面积改变的近似值．定义1 设函数()y f x =在某区间内有定义，0x 及0x x +∆在此区间内，如果函数的增量()()00y f x x f x ∆=+∆-可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是不依赖于x ∆的常数，那么称函数()y f x =在点0x 是可微的，而A x ∆叫做函数()y f x =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记为x x dy A x ==∆或()0df x A x =∆．微分与导数的关系定理1 函数()y f x =在点0x 可微的充要条件是函数()y f x =在点0x 可导，且当()y f x =在点0x 可微时，其微分一定是()00x x dy f x x ='=∆．证明 （必要性）设函数()y f x =在点0x 可微，即()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是不依赖于x ∆的常数．上式两边用x ∆除之，得()o x yA x x∆∆=+∆∆， 当0x ∆→时，对上式两边取极限就得到()00limlim x x o x yA A x x ∆→∆→∆∆=+=∆∆．即()0A f x '=．因此，若函数()y f x =在点0x 可微，则()y f x =在点0x 一定可导，且()00x x dy f x x ='=∆．（充分性）函数()y f x =在点0x 可导，即()00limx yf x x ∆→∆'=∆存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成()0yf x xα∆'=+∆， 其中0α→（当0x ∆→时），从而()()()00y f x x x f x x o x α''∆=∆+∆=∆+∆，其中()0f x '是与x ∆无关的常数，()o x ∆比x ∆是高阶无穷小，所以()y f x =在点0x 也是可微的．根据微分的定义和定理1可得以下结论：（1）函数()y f x =在点0x 处的微分就是当自变量x 产生增量x ∆时，函数y 的增量y ∆的主要部分（此时()00A f x '=≠）．由于dy A x =∆是x ∆的线性函数，故称微分dy 是y ∆的线性主部．当x ∆很微小时，()o x ∆更加微小，从而有近似等式y dy ∆≈．（2）函数()y f x =的可导性与可微性是等价的，故求导法又称微分法．但导数与微分是两个不同的概念，导数()0f x '是函数()f x 在0x 处的变化率，其值只与x 有关；而微分0x x dy =是函数()f x 在0x 处增量y ∆的线性主部，其值既与x 有关，也与x ∆有关．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 导数与微分教学要求:正确理解导数概念及其几何意义.知道导数值与导数的联系与区别.熟练掌握求导方法,记住求导的基本公式及求导法那么(四那么运算法那么,反函数、复合函数、隐函数、参数式函数的求导法那么，对数求导法).知道利用定义求导数的方法,会求分段函数分界点处的导数.会计算较简单的导数应用题.会求曲线在某点的切线和法线方程;会求一些物理量的变化率;会计算一些简单的相关变化率问题.理解高阶导数的定义,熟练掌握求二阶导数的方法.会求一些简单的初等函数(如1,,sin ,ln ,ln(1)x e x x x x). 正确理解微分的定义及其与导数的关系.理解微分与函数增量的关系,会用微分近似计算函数改变量和函数值的近似值.理解一阶微分形式不变性.明确可微(可导)与连续之间的关系.教学重点:导数与微分的概念;导数的几何意义和作为变化率的各种实际意义及其应用;函数连续、可导、 可微相互之间的关系；各类函数的求导法那么与求导方法;基本初等函数的导数与微分公式. 教学难点:复合函数求导法那么与高阶导数求导方法的应用.数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：(1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念.内容分布图示★ 引言★ 变速直线运动的瞬时速度★ 平面曲线的切线★ 导数的定义 ★ 关于导数的几点说明★利用定义求导数与求极限 ★例1★例2★ 例3★ 例4★ 例5 ★ 例6 ★ 例7★ 左右导数★ 例8 ★ 例9★ 导数的几何意义 ★ 例10 ★ 例11★ 导数的物理意义★ 可导与连续的关系★ 例12 ★ 例13 ★ 例14★ 内容小结★ 课堂练习★返回内容要点：一、引例： 引例1: 变速直线运动的瞬时速度； 引例2: 平面曲线的切线二、导数的定义：xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值x y ∆∆是函数y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='那么是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度.根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤：1． 求函数的增量： );()(x f x x f y -∆+=∆2． 求两增量的比值：x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(; 3． 求极限 .lim0xy y x ∆∆='→∆ 三、左右导数定理1 函数)(x f y =在点0x 处可导的充要条件是：函数)(x f y =在点0x 处的左、右导数均存在且相等.四、用定义计算导数五、导数的几何意义六、函数的可导性与连续性的关系定理2 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么它在0x 处连续.注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，那么它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.例题选讲：导数概念的应用例1 求函数3x y =在1=x 处的导数)1(f '.例2试按导数定义求下列各极限(假设各极限均存在).(1);)2()2(lim ax a f x f a x --→ (2) ,)(lim 0xx f x → 其中.0)0(=f 用定义计算导数例3 求函数C x f =)((C 为常数)的导数.例4设函数,sin )(x x f = 求)(sin 'x 及4|)(sin π='x x . 例5 求函数n x y =(n 为正整数)的导数.例6 求函数)1,0()(≠>=a a a x f x 的导数.例7 求函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数.左右导数例8 求函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x 在0=x 处的导数. 例9 设)(x f 为偶函数，且)0(f '存在. 证明.0)0(='f例10求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 例11 求曲线x y =在点)2,4(处的切线方程.例12 讨论函数||)(x x f =在0=x 处的连续性与可导性.例13 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性. 例14设函数⎩⎨⎧<≤+<=,10,10,)(2x x x a x f 问a 取何值时，)(x f 为可导函数. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，那么它在该点处一定不可导.在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不可导的例子(如第十一章第一节的Koch 雪花曲线描述的函数)，这与人们基于直观的普遍认识大相径庭，从而震惊了数学界和思想界. 这就促使人们在微积分研究中从依赖于直观转向理性思维，大大促进了微积分逻辑基础的创建工作.课堂练习1. 函数)(x f 在某点0x 处的导数)(0x f '与导函数)(x f '有什么区别与联系?2. 设)(x ϕ在a x =处连续, )()()(22x a x x f ϕ-=, 求)(a f '.3. 求曲线32x x y -=上与x 轴平行的切线方程.莱布尼茨 （Friedrich , Leibniz ，1597~1652）-----博学多才的数学符号大师出生于书香门第的莱布尼兹是德国一们博学多才的学者。
他的学识涉及哲学、历史、语言、数学、生物、地质、物理、机械、神学、法学、外交等领域。
并在每个领域中都有杰出的成就。
然而，由于他独立创建了微积分，并精心设计了非常巧妙而简洁的微积分符号，从而使他以伟大数学家的称号闻名于世。
莱布尼兹对微积分的研究始于31岁，那时他在巴黎任外交官，有幸结识数学家、物理学家惠更斯等人。
在名师指导下系统研究了数学著作，1673年他在伦敦结识了巴罗和牛顿等名流。
从此，他以非凡的理解力和创造力进入了数学前沿阵地。
莱布尼兹在从事数学研究的过程中，深受他的哲学思想的支配。
他的著名哲学观点是单子论，认为单子是“自然的真正原子……事物的元素”，是客观的、能动的、不可分割的精神实体。
牛顿从运动学角度出发，以“瞬”（无穷小的“0”）的观点创建了微积分。
他说dx 和x 相比，如同点和地球，或地球半径与宇宙半径相比。
在其积分法论文中，他从求曲线所围面积积分概念，把积分看作是无穷小的和，并引入积分符号⎰，它是把拉丁文“Summa ”的字头S 拉长。
他的这个符号，以及微积分的要领和法那么一直保留到当今的教材中。
莱布尼兹也发现了微分和积分是一对互逆的运算，并建立了沟通微分与积分内在联系的微积分基本定理，从而使原本各自独立的微分学和积分学成为统一的微积分学的整体。
莱布尼兹是数字史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师。
他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动，”正象印度——阿拉伯数学促进算术和代数发展一样，莱布尼兹所创造的这些数学符号对微积分的发展起了很大的促进作用。
欧洲大陆的数学得以迅速发展，莱布尼兹的巧妙符号功不可灭。
除积分、微分符号外，他创设的符号还有商“a /b ”，比“a :b ”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“ ”以及函数和行列式等符号。
牛顿和莱布尼茨对微积分都作出了巨大贡献，但两人的方法和途径是不同的。
牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的。
牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿。
在对微积分具体内容的研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹那么先有求积概念，后有导数概念。
除此之外，牛顿与莱布尼兹的学风也迥然不同。
作为科学家的牛顿，治学严谨。
他迟迟不发表微积分著作《流数术》的原因，很可能是因为他没有找到合理的逻辑基础，也可能是“害怕别人反对的心理”所致。
但作为哲学家的莱布尼兹比较大胆，富于想象，勇于推广，结果造成创作年代上牛顿先于莱布尼兹10年，而在发表的时间上，莱布尼兹却早于牛顿三年。
虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异，但殊途同归。
各自独立地完成了创建微积分的盛业，光荣应由他们两人共享。
然而在历史上曾出现过一场围绕发明微积分优先权的激烈争论。
牛顿的支持者，包括数学家泰勒和麦克劳林，认为莱布尼兹剽窃了牛顿的成果。