导数与微分(教案)
第二章 导数与微分教案
M (x0 , f (x0 )) 处的切线方程为 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 )
如 果 f (x0 ) 0 ， 那 么 曲 线 y f (x) 在 点 M (x0 , f (x0 )) 处 的 法 线 方 程 为
y
f (x0 )
f
1 (x (x0 )
x0 )
3
例 4 求曲线 y x 2 的通过点（1，4）的切线方程．
《 数学基础 》教案
标题
2.1 导数的概念
【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义
编号
【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义
【教学难点】导数的几何意义
【教学方法】讲授 实施步骤
【教学时数】 教学内容提要
时间
【课外作业】
1
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 导数概念的引例
既然导数是比值 y 当 x 0 的极限，那么，下面两个极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ， lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
x x0
x0
x
分别叫做函数 y f (x) 在点 x0 处的左导数和右导数，且分别记为 f (x0 ) 和
8
sin 2 x 1 cos2 x
y
1 cos x
1 cos x 1 cos x
y (1 cosx) sin x
三、反函数求导法则 若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y) 0 ，则 它的反函数 y f (x) 在对应区间 I x 内也可导，且
f (x) 1 ( y)
备注：
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案第一章：微分中值定理概述1.1 引言引入微分中值定理的概念和意义。
解释微分中值定理在数学分析和物理学中的应用。
1.2 罗尔定理介绍罗尔定理的定义和条件。
通过示例解释罗尔定理的应用。
1.3 拉格朗日中值定理阐述拉格朗日中值定理的表述和条件。
通过图形和示例解释拉格朗日中值定理的应用。
第二章：导数的应用2.1 函数的单调性引入函数的单调性的概念。
解释导数与函数单调性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的单调性。
2.2 函数的极值介绍极值的概念和分类。
解释导数与函数极值的关系。
通过示例说明如何利用导数找到函数的极值点。
2.3 函数的凹凸性引入函数凹凸性的概念。
解释导数与函数凹凸性的关系。
通过示例说明如何利用导数判断函数的凹凸性。
第三章：微分中值定理的应用3.1 洛必达法则介绍洛必达法则的定义和条件。
通过示例解释洛必达法则的应用。
3.2 泰勒公式阐述泰勒公式的定义和意义。
通过示例解释泰勒公式的应用。
3.3 微分中值定理在其他领域的应用举例说明微分中值定理在物理学、工程学等领域的应用。
第四章：导数在经济学的应用4.1 边际分析介绍边际分析的概念和意义。
解释如何利用导数进行边际分析。
通过示例说明导数在边际分析中的应用。
4.2 优化问题介绍优化问题的概念和分类。
解释如何利用导数解决优化问题。
通过示例说明导数在优化问题中的应用。
第五章：微分中值定理与导数的实际应用5.1 实际应用案例介绍介绍一个实际应用案例，如工程设计、经济决策等。
解释该案例中如何应用微分中值定理和导数。
5.2 学生实践项目分配一个实际应用项目给学生们。
指导学生如何利用微分中值定理和导数解决该项目。
5.3 项目成果展示与讨论让学生们展示他们的项目成果。
进行讨论和交流，分享各自的解题思路和经验。
第六章：导数与函数图像6.1 切线与导数解释导数在函数图像上的几何意义。
展示如何从函数的导数得到函数图像上的切线。
通过实例演示导数与切线的关系。
高等数学-第2章 导数与微分§2.1 导数的概念
第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。
微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。
本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。
如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。
这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。
如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。
显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。
当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。
数学导数与微分的应用
数学导数与微分的应用教案主题：数学导数与微分的应用引言：数学的导数与微分是非常重要的概念，在实际生活中存在着广泛的应用。
本教案将通过几个充满趣味的实例，介绍导数与微分在生活中的应用，并通过一些练习题，帮助学生更好地掌握这些概念。
1. 缓解交通拥堵的方案（800字）在城市中，交通拥堵是一个普遍存在的问题。
那么，如何通过数学的导数和微分概念来缓解交通拥堵呢？让我们通过具体的例子来展开讨论。
2. 金融投资中的应用（600字）在金融投资中，通过导数和微分的概念，我们可以更好地理解收益率和风险之间的关系，并做出更明智的投资决策。
让我们通过实际案例来解释这个概念。
3. 生态系统中的物种数量变化（600字）在生态学中，研究生态系统的物种数量变化是非常重要的。
通过导数和微分的概念，我们可以建立物种数量与时间的数学模型，了解物种数量的波动规律，并提出保护生物多样性的措施。
4. 电子设备中的电池寿命（600字）在现代生活中，电子设备已经成为我们生活中的重要组成部分。
如何延长电池的寿命是一个需要解决的问题。
通过导数和微分的知识，我们可以建立电池寿命与使用时间之间的数学模型，以提供更好的电池管理策略。
5. 彩票中的概率计算（600字）彩票是许多人都参与的游戏。
我们可以通过导数和微分的概念，来计算不同类型彩票中获奖的概率，并分析不同投注方式的胜率，以帮助人们制定更有效的投注策略。
6. 最佳路径规划（600字）在日常生活中，我们经常需要选择最佳路径来节省旅行时间。
通过导数和微分的概念，我们可以根据道路的变化率计算不同路径的最佳选择，并为人们提供最佳的导航方案。
结论：通过本教案的学习，我们了解了导数与微分的应用在现实生活中的重要性。
无论是在交通、金融、生态学、电子设备还是彩票等领域，导数与微分都起着关键的作用。
通过运用导数与微分的知识，我们可以更好地理解和解决各种问题。
因此，学习导数与微分不仅是学习数学的基础，也是培养学生综合应用知识解决实际问题能力的重要一环。
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算
高中数学备课教案多元函数的偏导数与全微分的计算高中数学备课教案：多元函数的偏导数与全微分的计算一、引言在微积分中，多元函数的偏导数与全微分是重要的概念和计算方法。
它们在解决实际问题和优化函数时起着关键作用。
本教案将重点介绍多元函数的偏导数和全微分的计算方法，以帮助学生深入理解和掌握这一内容。
二、多元函数的偏导数2.1 一元函数的导数回顾我们首先回顾一下一元函数的导数概念。
对于函数 $y = f(x)$，其在点 $x_0$ 处的导数 $f(x_0)$ 定义为：$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$2.2 多元函数的偏导数定义对于多元函数 $z = f(x, y)$，我们可以将其变为一元函数的形式来定义偏导数。
偏导数是指在某一点上，对其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数。
具体地，对于函数 $z = f(x, y)$，其关于 $x$ 的偏导数记作 $\frac{\partial z}{\partial x}$，表示在点 $(x, y)$ 处，将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导。
$$\frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x}$$同样地，我们可以定义关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，需要注意将其他自变量视为常数。
2.3 偏导数的求解示例现在我们通过一个实例来计算多元函数的偏导数。
考虑函数 $z =x^2 + 2xy + y^2$，计算其关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
对于 $\frac{\partial z}{\partial x}$，我们将 $y$ 视为常数，所以可以直接对 $x$ 求导。
大学数学分析方法教案
大学数学分析方法教案大学数学分析方法教学内容：第一部分：函数与极限1.函数的概念及性质定义函数，函数的分类，函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
2.数列极限数列的概念，数列极限的定义，极限存在判定定理。
3.函数极限函数极限的定义，函数极限的性质，极限存在判定定理。
4.连续性函数的连续性概念，连续函数性质，间断点。
第二部分：导数与微分1.导数概念导数的定义，导数的性质，导数的几何意义。
2.微分学基本公式微分的概念，微分学基本公式，微分中值定理。
3.导数的应用导数的物理意义，最大值与最小值，曲率与余曲率，泰勒公式。
第三部分：积分与反演定理1.定积分定积分的定义，定积分的性质，定积分计算。
2.不定积分不定积分的定义，常见函数的不定积分，积分表。
3.反演定理反演定理的概念，拉普拉斯反演定理，傅里叶反演定理。
第四部分：多元函数微积分1.多元函数的导数多元函数的偏导数，多元函数的全导数，多元函数的导数和微分。
2.重积分二重积分的定义，性质，计算方法；三重积分的定义，性质，计算方法。
3.曲线积分和曲面积分第一类曲线积分的定义，计算方法；第二类曲线积分的定义，计算方法；曲面积分的定义，计算方法。
教学方法：本课程的授课方式采用理论与实践相结合的教学法，注重讲明概念、定理与公式，并通过数学应用实例深入阐述其具体的计算方法，以便学生真正理解学习到的知识。
在课程的教学中，特别注重实战操作，为学生提供大量实验、计算及解题实例，增强学习者的实践能力，使学生能够更好地理解抽象的数学原理与方法，并能将其灵活应用于实际中去。
总结：通过本课程学习，学生将掌握数学分析基本概念、优化方法及其计算应用等全面而深入的知识体系，加深对数学的理解，并提升数学分析能力，为其今后的求学、研究及实践积累了更深入的理论基础和实践技能。
高等数学2导数与微分3.
《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。
=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。
dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。
通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。
d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。
dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。
解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。
解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。
《高等数学教案》课件
《高等数学教案》PPT课件第一章：导数与微分1.1 导数的概念引入导数的定义解释导数的几何意义举例说明导数的计算方法1.2 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数总结常用函数的导数公式1.3 微分的概念与应用引入微分的定义解释微分的几何意义举例说明微分的计算方法介绍微分在实际问题中的应用第二章：积分与微分方程2.1 积分的概念引入积分的定义解释积分的几何意义举例说明积分的计算方法2.2 基本函数的积分计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的积分总结常用函数的积分公式2.3 微分方程的概念与解法引入微分方程的定义解释微分方程的意义举例说明微分方程的解法介绍微分方程在实际问题中的应用第三章：级数与极限3.1 级数的概念引入级数的定义解释级数的收敛性与发散性举例说明级数的计算方法3.2 幂级数的概念与应用引入幂级数的定义解释幂级数的收敛区间与收敛半径举例说明幂级数的计算方法介绍幂级数在实际问题中的应用3.3 极限的概念与性质引入极限的定义解释极限的意义举例说明极限的计算方法介绍极限在实际问题中的应用第四章：向量与矩阵4.1 向量的概念与运算解释向量的几何意义举例说明向量的运算方法4.2 矩阵的概念与运算引入矩阵的定义解释矩阵的意义举例说明矩阵的运算方法4.3 向量空间与线性变换引入向量空间的概念解释线性变换的意义举例说明线性变换的性质介绍向量空间与线性变换在实际问题中的应用第五章：概率与统计5.1 概率的基本概念引入概率的定义解释概率的意义举例说明概率的计算方法5.2 随机变量的概念与分布引入随机变量的定义解释随机变量的意义举例说明随机变量的分布方法5.3 统计的基本概念与方法解释统计的意义举例说明统计的计算方法介绍统计在实际问题中的应用第六章：多变量微积分6.1 多元函数的概念引入多元函数的定义解释多元函数的意义举例说明多元函数的计算方法6.2 偏导数与全微分引入偏导数的定义解释偏导数的意义举例说明偏导数的计算方法介绍全微分的概念与应用6.3 多重积分的概念与应用引入多重积分的定义解释多重积分的意义举例说明多重积分的计算方法介绍多重积分在实际问题中的应用第七章：常微分方程7.1 常微分方程的概念引入常微分方程的定义解释常微分方程的意义举例说明常微分方程的解法7.2 线性微分方程与非线性微分方程引入线性微分方程与非线性微分方程的定义解释线性微分方程与非线性微分方程的区别与联系举例说明线性微分方程与非线性微分方程的解法7.3 常微分方程的应用介绍常微分方程在物理、工程等领域的应用举例说明常微分方程解决实际问题的方法第八章：数值计算方法8.1 数值计算方法的概念引入数值计算方法的定义解释数值计算方法的意义举例说明数值计算方法的计算过程8.2 数值积分与数值微分引入数值积分与数值微分的定义解释数值积分与数值微分的意义举例说明数值积分与数值微分的计算方法8.3 常微分方程的数值解法引入常微分方程的数值解法的定义解释常微分方程的数值解法的意义举例说明常微分方程的数值解法第九章：概率与统计（续）9.1 描述统计与推断统计引入描述统计与推断统计的定义解释描述统计与推断统计的意义举例说明描述统计与推断统计的方法9.2 假设检验与置信区间引入假设检验与置信区间的定义解释假设检验与置信区间的意义举例说明假设检验与置信区间的计算方法9.3 回归分析与相关分析引入回归分析与相关分析的定义解释回归分析与相关分析的意义举例说明回归分析与相关分析的方法第十章：高等数学在实际问题中的应用10.1 高等数学在物理学中的应用介绍高等数学在经典力学、电磁学等物理学领域中的应用举例说明高等数学解决物理学问题的方法10.2 高等数学在工程学中的应用介绍高等数学在土木工程、机械工程等工程领域中的应用举例说明高等数学解决工程学问题的方法10.3 高等数学在经济学、生物学等领域的应用介绍高等数学在经济学、生物学等领域中的应用举例说明高等数学解决经济学、生物学等领域问题的方法重点解析第一章：导数与微分重点：理解导数和微分的定义及其几何意义，掌握基本函数的导数和微分计算。
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《微积分》教案（上册）章节名称：第三章导数与微分主讲教师：岳斯玮联系方式：第三章导数与微分本章教学目标与要求理解导数的概念，会利用导数定义求导数。
了解导数的物理意义（速度），几何意义（切线的斜率）和经济意义（边际），掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数求导法则。
掌握反函数和隐函数求导法，对数求导法。
理解可导性与连续性的关系。
了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
理解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
了解导数在经济中的应用本章教学重点与难点1．导数概念及其求导法则； 2．隐函数的导数；3．复合函数求导；4教学目的与要求教学过程 一、引例导数的思想最初是由法国数学家费马(Fermat)为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼茨(Leibniz)分别在研究力学和几何学过程中建立起来的．下面我们以这两个问题为背景引入导数的概念．1．瞬时速度思考：已知一质点的运动规律为)(t s s ，0t 为某一确定时刻，求质点在0t 时刻的速度。
在中学里我们学过平均速度ts∆∆，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制不够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律.不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握.根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动.通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”.设质点运动的路程是时间的函数)(t s ，则质点在0t 到t t ∆+0这段时间内的平均速度为可以看出它是质点在时刻0t 速度的一个近似值，t ∆越小，平均速度v 与0t 时刻的瞬时速度越接近.故当0→∆t 时，平均速度的瞬时速度，即物体在0t00020200)21(lim 21)(21lim 0gt t g gt t gt t t g t t =∆+=∆-∆+→∆→∆。
.2．切线的斜率思考：圆的的切线的定义是什么？这个定义适用于一般的切线吗？引导学生得出答案：与圆只有一个交点的直线叫做圆的切线，但这个定义只适用于圆周曲线，并不适用于一般的曲线.因此，曲线的某一点的切线应重新定义.（1）切线的概念曲线C 上一点M 的切线的是指：在M 外另取C 上的一点N ，作割线MN ，当点N 沿曲线C 趋向点M 时，如果割线MN 绕点M 转动而趋向极限位置MT ，直线MT 就叫做曲线C 在点M 处的切线。
简单说：切线是割线的极限位置。
这里的极限位置的含义是：只要弦长MN 趋于0，NMT ∠也趋向于0.（如图所示）（2）求切线的斜率设曲线C 为函数)(x f y =的图形，C y x M ∈),(00，则)(00x f y =，点00(,)N x x y y +∆+∆为曲线C 上一动点，割线MN 的斜率为：根据切线的定义可知，当点N 沿曲线C 趋于M 时，即0x ∆→，割线的斜率趋向于切线的斜率。
也就是说，如果0x ∆→时，上式的极限存在，则此极限便为切线的斜率记为k ，即0000()()tan limlimx x f x x f x yk x xα∆→∆→+∆-∆===∆∆（2） 3.边际成本设某产品的成本C 是产量x 的函数()C C x =，试确定产量为0x 个单位时的边际成本。
用前两例类似的方法处理得：00()()C x x C x C x x+∆-∆=∆∆存在，则此极限就表示产量为0x 思考：但最终都归化为讨论形如（4）的极限问题.为了统一解决这1．导数的概念定义设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处取得增量x ∆（点x x ∆+0仍在该邻域内）时，函数相应地取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果极限存在，则这个极限叫做函数)(x f 在点0x 处的导数，记为当函数)(x f 在点0x 处的导数存在时，就说函数)(x f 在点0x 处可导，否则就说)(x f 在点0x 处不可导.特别地，当0→∆x 时，∞→∆∆xy，为了方便起见，有时就说)(x f y =在点0x 处的导数为无穷大.关于导数有几点说明：（1）导数除了定义中的形式外，也可以取不同的形式，常见的有（2）00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆反映是自变量x 从0x 改变到0x x +∆时，函数()f x 的平均变化速度，称为函数()f x 的平均变化率；而导数'00()lim x y f x x∆→∆=∆反映的是函数()f x 在点0x 处的变化速度，称为函数()f x 在点0x 处的变化率。
2．导函数的概念上面讲的是函数在某一点处可导，如果函数)(x f y =在开区间I 的每一点都可导，就称函数)(x f y =在开区间I 上可导，这时，I x ∈∀，都对应)(x f 的一个确定的导数值，就构在点0x 处的左导数和右导数，记为)(0x f -'和)(0x f +'.如同左、右极限与极限之间的关系，显然：函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数)(0x f -'和右导数)(0x f +'都存在并且相等.还应说明：如果)(x f 在开区间),(b a 上可导，且)(a f +'和)(b f -'都存在，就说)(x f 在闭区间],[b a 上可导.三、按定义求导数举例1．根据定义求函数的导数的步骤根据导数的定义可以总结出求函数某一点的步骤为： ①求增量：)()(x f x x f y -∆+=∆②算比值：xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( ③求极限：xyy x ∆∆='→∆0lim2．运用举例例1求C y =的导数（C 为常数）. 解求增量0=-=∆C C y作比值0=∆∆x y取极限0lim 0=∆∆→∆xyx所以0)('=C 即常量的导数等于零.例2求函数)(+∈=N x x y nx例如：xx 2)('=，2'11)(x x -=-例3求x x f sin )(=的导数. 解hxh x h x f h x f x h h sin )sin(lim )()(lim )(sin 00'-+=-+=→→ 即x x cos )(sin '=.用类似方法，可求得x x sin )(cos '-=.例4求)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数.解hx hh x h x y a h a a h )1(log lim log )(log lim 00'+=-+=→→ 所以特别地，当e a =时，有例5教材例3.4四、导数的几何意义由前面对切线问题的讨论及导数的定义可知：函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0'x f 在几何上表示曲线)(x f y =在点M （)(,点M （)(,00x f x 思考：程？)2处的切线的斜率，并写出该点处的切线方程和法线方程. )21(42--=-x y ，即044=-+y x . 法线的方程为)21(412-=-x y ， 即01582=+-y x .五、可导与连续的关系定理函数在某点处可导，则一定在该点连续.证明：因为如果函数)(x f y =在点x 处可导，即)(lim00x f x yx '=∆∆→∆， 从而有α+'=∆∆)(0x f x y，其中，)0(0→∆→x α，于是x x x f y ∆+∆'=∆α)(0，1.导数的表达式：xx x x ∆=∆→∆→∆lim lim00002.基本初等函数的导数：3.可导与连续的关系：函数在某点处可导，则一定在该点连续，反之不一定成立。
4.导数的几何意义：函数某一点处的导数值，在几何表示为曲线在此点的切线的斜率。
§3.2求导法则与导数的基本公式教学目标与要求1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2. 理解反函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 掌握隐函数的求导方法；5. 掌握并能运用对数求导法；6. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。
教学重点与难度1.2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数4. 教学过程x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且''''[()()]()()y u x v x u x v x =±=±。
同理可证：'''[()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。
注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即12''''12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±±±=±±±，即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1教材例3.92.函数积的求导公式定理2函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。
注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时，'''[()]()y cv x cv x ==，即常数因子可以从导数的符号中提出来。
而且将其与和、差的求导法则结合，可得：''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。
2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即''''12121212()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。
例2求下列函数的导数。
1）32325y x x x =+-+3解1） 2）'445sin y x x x=++ 例31）3sin y x x =+；23ln cos x x()v x '''2()()()()()]()()x u x v x u x v x v x v x -=。