高等数学教案ch_2_导数与微分.
高等数学-导数的概念-教案(完整资料).doc
t∆很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻的瞬时速度．且
x
x x x x ∆-∆+=→∆sin )sin(lim
0x
x x x x ∆∆⎪
⎭⎫ ⎝⎛
∆+=→∆2sin 2cos 2lim 0 x x x x x x cos 2
2sin 2cos lim 0=∆∆⎪⎭⎫ ⎝
⎛∆+=→∆， 即： x.cos (sin x)'=
类似可得：sin x. - x)'(cos = 定义 如果x x f x x f x ∆∆∆)
()(lim 000-+-
→存在，则称此极限值为f (x ) 在点 x 0 处的左导数，记作 f’(x 0)；同样，如果x x f x x f x ∆∆∆)()(lim 000-++
→存在，则称此极限值为 f (x ) 在点 x 0 处的右导数，记作 f’
+(x 0) .
显然，f (x ) 在 x 0 处可导的充要条件是 f’ -(x 0) 及 f ‘ +(x 0) 存在且相等 . 定义 如果函数 f (x ) 在区间 I 上每一点可导，则称 f (x ) 在区间 I 上可导. 如果 I 是闭区间[a , b ]，则端点处可导是指 f’+(a )、 f’-(b ) 存在 .
六、可导与连续的关系
定理 如果函数 y = f (x ) 在点 x 0 处可导, 则 f (x ) 在点 x 0 处连续，其逆不真.。
D.课堂小结
一、导数的定义
二、导数的几何意义 三、可导与连续的关系。
高中数学《导数与微分》教案
高中数学《导数与微分》教案第一章引言1.1 课程背景与目标在高中数学课程中，学习导数与微分是非常重要的内容之一。
通过本章的学习，学生将掌握导数的定义、求导规则以及应用导数解决实际问题的方法，为以后学习更深入的微积分内容打下坚实基础。
1.2 教学目标- 理解导数的几何与物理意义；- 掌握一元函数的导数定义；- 掌握常见函数的导数公式；- 理解导数的运算法则；- 能够利用导数求解实际问题。
第二章导数的引入2.1 导数的几何意义导数描述的是一个函数在某一点上的变化率。
引导学生通过直观的图像理解导数的几何意义，并通过练习题巩固理解。
2.2 导数的物理意义导数在物理中的应用非常广泛，例如速度、加速度等概念，都与导数有着紧密的关联。
通过一些生动的物理例子，帮助学生理解导数的物理意义。
第三章导数的定义3.1 函数的变化率介绍函数的变化率的概念，并引入导数的定义。
通过一些实例，帮助学生掌握导数的定义及其计算方法。
3.2 导数的基本性质探讨导数的基本性质，如导数恒为常数的函数、求导法则等内容，帮助学生建立导数的基本概念与技巧。
第四章常见函数的导数公式4.1 常数函数的导数介绍常数函数的导数及其求导方法，并通过练习巩固学生对此的掌握。
4.2 幂函数的导数探讨幂函数的导数计算方法，并引导学生通过求导计算出各种幂函数的导数。
4.3 指数函数的导数引入指数函数的导数定义，并通过练习题帮助学生掌握指数函数的导数规律。
4.4 对数函数的导数介绍对数函数的导数计算方法，并通过实例演示对数函数的导数求解过程。
第五章导数的运算法则5.1 导数的四则运算法则介绍导数的四则运算法则，即导数的和、差、积、商的计算方法，并通过练习题加深学生对运算法则的理解。
5.2 复合函数的导数探讨复合函数的导数计算方法，即复合函数的链式法则，并通过实例演示链式法则的应用过程。
第六章应用导数解实际问题6.1 极值问题介绍如何通过导数求解函数的极大值和极小值，并引导学生通过例题巩固应用能力。
高中数学教案：导数与微分的概念与计算
高中数学教案：导数与微分的概念与计算一、导数与微分的概念与计算导数与微分是高中数学中较为重要的概念与计算方法，它们在微积分领域具有重要的地位和应用。
理解和掌握导数与微分的概念和计算方法是学习高等数学和应用数学的基础，对于提高数学分析和问题解决能力具有重要意义。
本文将围绕导数与微分的概念和计算方法展开说明和探讨。
二、导数的概念与计算1. 导数的定义导数是函数在某一点上的瞬时变化率，也是函数在该点上的切线斜率。
用数学符号表示，对于函数y=f(x)，其导数记为f'(x)或dy/dx。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h->0)(f(x+h)-f(x))/h其中，lim表示函数的极限，h表示自变量x的增量。
2. 导数的计算方法导数的计算可以利用导数的定义公式进行推导和计算，也可以利用一些常见函数的导数规律进行求解。
常见的导数计算方法有以下几种：(1) 常数函数的导数计算：对于常数函数C，其导数为0，即f'(x) = 0。
(2) 幂函数的导数计算：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数计算公式为f'(x) = nx^(n-1)。
(3) 指数函数的导数计算：= a^x * ln(a)。
(4) 对数函数的导数计算：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为正常量且不等于1，其导数计算公式为f'(x) = 1/(x * ln(a))。
(5) 三角函数的导数计算：对于三角函数y = sin(x)，y = cos(x)，y = tan(x)，其导数计算公式分别为f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec^2(x)。
三、微分的概念与计算1. 微分的定义微分是导数的一种形式，是函数变化的近似量。
形式上，我们可以将微分表示为dy = f'(x) * dx，其中dy表示函数f(x)的微分量，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，dx表示自变量x的增量。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
导数与微分教案设计
导数与微分教案设计引言：导数与微分是高等数学中重要的概念之一，也是代数分析学的核心内容。
于此而言，作为任何一位数学老师，他们需要充分了解导数与微分的基本概念和相关知识，并且要掌握如何设计一套有效的教学方案。
因为只有这样，才能让学生在学习中更好的理解该主题并取得更加优秀的学习成绩。
本文将介绍关于导数与微分教案设计的相关内容。
一、基础知识概述1、导数的定义珂学一体版的定义为：设 y=f(x) 在点 x0 处有定义，则当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx 时，相应的函数增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果比值Δy/Δx 在Δx 趋于0 的意义下有极限，那么这个极限就是函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数，记为f′(x0)，即：f′(x0) =lim f(x0+Δx)-f(x0)/Δx（Δx→0）。
2、微分的定义微积分的定义为：设函数 y=f(x) 在点 x0 处具有导数f′(x0)，则当自变量 x 发生Δx 的变化时，相应的函数值的增量Δy 可以近似的用一次函数 y=f(x)的导数f′(x0)与自变量 x 的增量Δx之积表示，即：Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)。
3、微分与导数的区别微分与导数是密不可分的同义词。
微分是指在曲线上某一点出以解析形式给出的一次逼近公式，而导数则可看作切线斜率的代数值，它们之间的关系是极其密切的。
微分是导数形式化的表示，导数是微分形式的计算法则，它们的本质是相同的，但在具体的问题中应根据需要选择使用微分还是导数。
二、教学目标及重点1、教学目标：通过本次教学，学生应该能够：1）掌握导数和微分的定义，以及它们之间的关系。
2）掌握求导和求微分的方法，并能熟练运用到具体问题的解决中。
3）理解导数和微分在实际生活中的广泛应用，如：优化问题、极值问题等。
2、教学重点：1）导数和微分的定义及其区别。
2）导数的求法及其应用。
3）微分的求法及其应用。
三、教学方法1、导入教学内容导入阶段可以借助导数和微分在实际生活中的应用，引导学生认识到本次教学的重要性，并产生学习的兴趣和积极性。
大学数学导数与微分教案
#### 教学目标1. 知识目标：- 理解导数的定义及其几何意义。
- 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
- 熟悉基本初等函数的导数公式。
- 了解微分的概念和微分在近似计算中的应用。
- 掌握高阶导数的概念及其求法。
- 理解隐函数和由参数方程确定的函数的导数求法。
- 了解相关变化率的概念。
2. 能力目标：- 能够运用导数和微分解决实际问题。
- 提高逻辑推理能力和抽象思维能力。
3. 情感目标：- 培养学生对数学的兴趣和学习的积极性。
- 增强学生的团队合作意识和沟通能力。
#### 教学重点1. 导数的概念及其几何意义。
2. 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。
3. 基本初等函数的导数公式。
4. 高阶导数的概念及其求法。
5. 隐函数和由参数方程确定的函数的导数求法。
#### 教学难点1. 复合函数的求导法则。
2. 分段函数在分段点处的导数。
3. 隐函数的导数。
4. 由参数方程所确定的函数的二阶导数。
#### 教学过程##### 第一课时：导数的概念及其几何意义1. 导入：- 通过实际问题引入导数的概念，如速度、加速度等。
2. 新课讲解：- 介绍导数的定义：函数在某一点处的导数是函数在该点处切线的斜率。
- 介绍导数的几何意义：函数在某一点处的导数表示函数图像在该点切线的斜率。
3. 例题分析：- 讲解典型例题，如分段函数的导数求法。
4. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
##### 第二课时：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则1. 新课讲解：- 介绍导数的四则运算法则。
- 介绍复合函数的求导法则。
2. 例题分析：- 讲解典型例题，如复合函数的导数求法。
3. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
##### 第三课时：基本初等函数的导数公式1. 新课讲解：- 介绍基本初等函数的导数公式。
2. 例题分析：- 讲解典型例题，如基本初等函数的导数求法。
3. 课堂练习：- 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
高等数学导数与微分教案
高等数学导数与微分教案一、页高等数学导数与微分教案二、目录1.页2.目录3.摘要4.背景和现状分析4.1数学教育的重要性4.2导数与微分的在现代数学中的地位4.3当前教育方式与挑战5.项目目标5.1教学内容的深化与拓展5.2教学方法的创新与改进5.3学生能力的提升与评估6.教学内容安排7.教学方法与策略8.教学评估与反馈9.教学资源与材料三、摘要四、背景和现状分析4.1数学教育的重要性在当今科技迅速发展的时代，数学作为一门基础学科，对于培养学生的逻辑思维、抽象能力和创新能力具有不可替代的作用。
高等数学作为大学教育的重要组成部分，其深度和广度都对学生未来的学术和职业生涯产生深远影响。
4.2导数与微分的在现代数学中的地位导数与微分是高等数学中的核心概念，它们不仅是后续学习积分学、微分方程等高级数学课程的基础，而且在物理学、工程学、经济学等多个领域有着广泛的应用。
掌握导数与微分的基本原理和方法对于学生理解和解决实际问题至关重要。
4.3当前教育方式与挑战目前，高等数学的教学多采用传统的讲授方式，这种方式往往导致学生被动接受知识，缺乏主动探索和思考的机会。
由于导数与微分概念较为抽象，学生普遍感到难以理解和应用，这对教师的教学方法和学生的接受能力都提出了更高的要求。
五、项目目标5.1教学内容的深化与拓展本教案的目标之一是对导数与微分的教学内容进行深化与拓展。
除了涵盖基本概念、性质和计算方法外，还将引入一些高级主题和应用实例，以增强学生对导数与微分理解的深度和广度。
5.2教学方法的创新与改进教案将探索和实施一系列创新的教学方法，如翻转课堂、小组合作学习、问题导向学习等，以激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和自主学习能力。
5.3学生能力的提升与评估教案将注重学生能力的培养和评估，通过设计多样化的练习题和实际应用案例，帮助学生将理论知识转化为解决实际问题的能力。
同时，教案将包含定期的学习评估和反馈机制，以确保教学目标的达成。
导数与微分教学案
导数与微分教学案一、引言数学是一门基础学科，它涉及到许多重要的概念和工具。
其中，导数与微分是数学中的重要内容之一，也是高中数学课程中的重要知识点。
导数与微分的学习不仅能够提高学生的逻辑思维和问题解决能力，还具有一定的实际应用价值。
为此，本教学案旨在帮助学生理解导数与微分的概念、性质和应用，培养其数学思维和解决实际问题的能力。
二、导数与微分的基本概念1. 导数的定义导数是函数在某一点处的变化率。
具体而言，设函数$y=f(x)$，若极限$$\lim_{\Delta{x}\to0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}$$存在，则称该极限为函数$f(x)$在点$x$处的导数，记作$f'(x)$，读作“f的x导数”或“f的导数”。
2. 导数的几何意义导数反映了函数在某一点处的切线斜率。
对于函数$y=f(x)$，其导数$f'(x)$表示了函数曲线在点$(x,f(x))$处的切线的斜率。
3. 微分的定义微分是函数变化的一种近似表示。
设函数$y=f(x)$在点$x$处有导数$f'(x)$，则函数在该点附近的变化量可以近似表示为$$\Delta{y}=f'(x)\Delta{x}$$这里$\Delta{x}$是$x$的增量，$\Delta{y}$是相应的$y$的增量。
三、导数与微分的性质1. 基本导数公式导数具有一些基本的运算性质，这些性质包括导数的四则运算、常数的导数、幂函数的导数等。
在解决实际问题时，运用这些基本导数公式可以简化计算过程，提高效率。
2. 连续性与可导性的关系函数在某一点处可导，则在该点连续；但函数在某一点处连续，并不一定可导。
这一性质为我们判断函数可导性提供了依据。
四、导数与微分的应用1. 极值问题导数与微分可以用来解决极值问题。
对于一个连续函数，极值点一定是导数为零或不存在的点。
2. 函数的图像与性态导数与微分可以用来分析函数的图像与性态。
通过研究函数的增减性、凸凹性、拐点等性质，我们可以对函数的行为有更深入的了解。
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第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。
吐1导数概念一、引例1 .直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻t质点的坐标为s s是t的函数s f(t)求动点在时刻t0的速度考虑比值s S o f(t) f(t o) t t o t t o这个比值可认为是动点在时间间隔t t o内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t o的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令t t o o取比值f(t) f(t o )的极限如果这个极限存在 设为v 即t t o..f(t) f(t o ) v lim — t t o t t o这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻t 0的速度2.切线问题设有曲线C 及C 上的一点M 在点M 外另取C 上一点N 作割线MN 当点N 沿曲线C 趋 于点M 时 如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置 MT 直线MT 就称为曲线C 有点M 处的切 线设曲线C 就是函数y f(x)的图形 现在要确定曲线在点 M(x o , y o )(y o f(x o ))处的切线 只要定出切线的斜率就行了为此在点M 外另取C 上一点N(x, y)于是割线MN 的斜率为tan y y o f(x) f(x o )为割线MN 的倾角 当点N 沿曲线C 趋于点M 时x x o 如果当x o 时上式的极限存在 k 即f (x) f (x o ) k lim —— x x o x x o则此极限k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率 这里k tan 其中 是切线MT的倾角通过点M(x o , f(x o ))且以k 为斜率的直线 MT 便是曲线C 在点M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限f (x) f (x o ) lim ---------- ~°Lx x ox x o令 x x x o 则 y f(x o x) f(x o ) f(x) f(x o ) x x o 相当于 x O 于是 lim―"')成为.. y f (x o x) f (x o ) lim d 或 lim --------------- - -- x O x x O x定义 设函数y f(x)在点x o 的某个邻域内有定义当自变量x 在x o 处取得增量 x(点x o x仍在该邻域内)时相应地函数y 取得增量y f(x o x) f(x o )如果y 与x 之比当x O 时的极限 存在 则称函数y f(x)在点x o 处可导 并称这个极限为函数 y f(x)在点x o 处的导数 记为y |x x oy .. f (x o x) f (x o ) f (x 0)lim — lim 0 —x 0 x x 0其中 设为 存在于是函数f(x)在点x 0处可导有时也说成f(x)在点x 0具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式常见的有f (x °)lim f(x 0 hh f(x)f(x) f(x )) f (x 0) lim --- - -x ~ x x 0在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题 在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限1皿0—； f(x0)不存在 就说函数y f(x)在点x 。
处不可导也往往说函数y f(x)在点x 0处的导数为无穷大如果函数y f(x)在开区间I 内的每点处都可导 就称函数f(x)在开区间I 内可导 这时 对于 任一 x I 都对应着f(x)的一个确定的导数值 这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数y f(x)的导函数记作y f (x)釜或譬导函数的定义式.. f (x x) f (x) f(x h) f(x) y lim ------------- L ----- iim — ---------- ： ---x 0 x h 0 h f (x 0)与f (x)之间的关系函数f(x)在点x 0处的导数f (x)就是导函数f (x)在点x x 0处的函数值 即f(x 0)f (x)x x 0导函数f (x)简称导数 而f (x 0)是f(x)在x 0处的导数或导数f (x)在x 0处的值 左右导数所列极限存在则定义 f (x h) f(x°) f (x 0)h"m (x0hf(x)在x °的右导数 f (x °) lim f(x 0 hh f(x)如果极限叩0套则称此极限值为函数在 x 0的左导数也可记为y |x 为也 或df(x) dx x 冲 dx x x如果不可导的原因是由于1im f(x 0x) f(x 0)f(x)在x °的左导数如果极限pm。
f(x0 h) f(x0)存在则称此极限值为函数在X0的右导数导数与左右导数的关系 f (0 A f (x0) f (x°) A2. 例求导数举例1 .求函数f(x) C (C为常数)的导数f(x) hW h) f(x)即(C )求f(x)-的导数f(x)既鱼…1 lim* h 0h1x lim —L h 0 h(xh)x求f(x) 7x的导数f(x)耽心h) f(x)lim、x h、x h 0lim 1lim —-------- -h 0 h(、x h x)例2.求函数f(x) x n (n为正整数)在解f (a) lim f(x) f(a) x n lim —_a£lim (x n 1 ax1x a x a x a x a x a把以上结果中的 a 换成x得 f (x) nx n 1 即(x n) nx n(C)0 (1) x 1(x)1 2-x(x ) x 1x a处的导数n 211a n1) na nxsin x更一般地有(x )例3.求函数f(x) 解 f (x)既f (x h)其中为常数的导数f(x) sin(x现——h) sin xh1 C ， lim— 2 cos(x h 0 h h ..—)sin— 2 2.h sinh\ 2lim cos(x ) J h 0 2 即(sin x) cos x cosxh用类似的方法可求得 （cos x ） sin x例 4.求函数 f(x) a x(a>0 a f (x h)f(x) 解 f (x) limh 0 hax?m* 勺="^log a tl t)特别地有(e x ) e x例5.求函数f(x) log a x (a>0 a 1)的导数f (x h) f(x) loga(x h) log ax解 f (x) lim --------------- -- --- lim ——-——h 0 h h 0 hlim]log a (Q) Limxlog a (1 -) 1lim log a (1 质 h 0 h x x h 0h x x h 0 x1.1X^a e 赤解 f(x) lim loga(xh)logaxlim1log a (1 5 h 0hh 0h x1lim log a (1 h )h 【log ae — x h 0 x x xln aa x1 log a ea x ina(log a x)1xln a........ 1 特殊地 (ln x) x(^a x) (lnx)3 .单侧导数f(xh) 极限limh 0f(x)h存在的充分必要条件是 f (x h) f(x) f(x h) f(x) lim ------------ 1 及 lim — ----------- 1——h 0 h h 0 h都存在且相等1)的导数 a x h a x lim --- h 0 hf(x)在X。
处的左导数 f (X o) h lim f(x h) f(x)f(x h) f (x) f (x o) limf(x)在X o处的右导数h o h导数与左右导数的关系函数f(x)在点x。
处可导的充分必要条件是左导数左导数 f (x o)和右导数f (x o)都存在且相等如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导且右导数f (a)和左导数f (b)都存在就说f(x)有闭区间［a, b］上可导例6 .求函数f(x) x|在x o处的导数f(o h) f(o) r |h| .解 f (o) lim --------------- - --- --- lim 1h o h h o hf(o h) f(o) 「|h| df (o) lim lim 1h o h h o h因为f (o) f (o)所以函数f(x) |x|在x o处不可导四、导数的几何意义函数y f(x)在点x o处的导数f (x o)在几何上表示曲线y f(x)在点M(x o, f(x o))处的切线的斜率即如果y f(x)在点x o处的导数为无穷大这时曲线y f(x)的割线以垂直于x轴的直线x x o为极限位置即曲线y f(x)在点M(x o, f(x o))处具有垂直于x轴的切线x x o由直线的点斜式方程可知曲线y f(x)在点M(x o, y o)处的切线方程为f (x o) o法线的斜率为1从而法线方程为f (x o)y yo击(、xo)例8求等边双曲线y 1在点(1,2)处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方x 2程解y %所求切线及法线的斜率分别为x2ki ( »2 4 k2 ,所求切线方程为y 2 4(x 1)即4x y 4 0所求法线方程为y 2 jx 1)即2x 8y 15 0例9求曲线y x衣的通过点(0 4)的切线方程解设切点的横坐标为x o则切线的斜率为一 3 3 1 3 —f (x o) (x2) ~x2 ^J x02 x x0 2于是所求切线的方程可设为一 3y x°\ x°2, A(x A)根据题目要求点(0 4)在切线上因此——34 x0A 2 . x0(0 x0)解之得x0 4于是所求切线的方程为y 4<4 |V4(x 4)即3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数y f(x)在点x0处可导即Im。