考研数学三解答题专项强化真题试卷38(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷38 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1．
正确答案：
2． 设矩阵A＝且A3＝0． (I)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X．
正确答案：解 (I)由于A3＝0，所以 于是a＝0 (Ⅱ)由于 X－XA2－AX＋AXA2＝E 所以 (E－A)X(E－A2)＝E由(I)知 因为E－A，E－A2均可逆，所以 X＝(E－A)－1(E－A2)－1
3． (13年)设D是由曲线y＝，直线χ＝a(a＞0)及χ轴所围成的平面图形，Vχ，Uy分别是D绕χ轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy＝10Vχ，求a的值．
正确答案： 由Vy＝10Vχ，即，解得a＝7 涉及知识点：微积分
4． (09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．
正确答案：由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ 曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ 由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ 即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ 上式两端对t求导得 f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t)
(*) 继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t) 即(2y－t)＝2y (其中y＝f(t)) 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝知，C＝，即t＝． 则所求曲线方程为2y＋－3χ＝0． 涉及知识点：微积分
5． (88年)设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量Y＝e2X的概率密度f(y)．
正确答案：X的概率密度为：fX(χ)＝ 而Y的分布函数FY(y)＝P{Y≤y}＝P{e2X≤y}． 由X的取值范围，可见 当y≤0时，FY(y)＝0，∴f(y)＝F′Y(y)＝0； 当y＞0时，FY(y)＝P{2X≤lny}＝P{X≤lny}＝fx(χ)dχ，
故得f(y)＝ 涉及知识点：概率论与数理统计
6． (2017年)求极限
正确答案：先对变上限积分作变量代换u=x—t，得则由洛必达法则可知
涉及知识点：微积分
7． 求曲线y=e—xsinx(x≥0)与x轴之间图形的面积．
正确答案：要计算S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx，首先要计算∫e—xsinxdx=e—x(cosx+sinx)+C，当k=0，2，4，6，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，当k=1，3，5，7，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx==．
[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个自球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球个数．
8． 求P(X=1|Z=0)；
正确答案：解一 P(Z=0)=P(两次取球都没有取到白球)，该事件包括下述几种情况(考虑取球的次序)：{X=1，Y=1}={第一次取到一红球，第二次取到一黑球}+{第一次取到一黑球，第二次取到一红球}，共有C11C21+C21C11=4种取法；
{X=2，Y=0}={第一次取到一红球，第二次取到一红球}，共有C11C11=1种取法；
{X=0，Y=2}={第一次取到一黑球，第二次取到一黑球}，共有C11C21=4种取法． 由命题3．3．1．2知，两次取球有放回，每次取一个，取两次的样本空间Ω共含有nm=62个样本点，故P(Z=0)=(C11C21+C21C11+C11C121+C21C21)／62=9／36=1／4，又 P(X=1，Z=0)=P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9． 故 P(X=1|Z=0)=P(X=1，Z=0)／P(Z=0)=(1／9)／(1／4)=4／9． 解二
P(X=1|Z=0)=P(在没有取到白球的情况下，取到一次红球)，也可利用缩减样本空间法求得P(X=1|Z=0)=(C11C21+C21C11)／32=4／9． 注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm． 涉及知识点：概率论与数理统计
9． 求二维随机变量(X，Y)的概率分布．
正确答案：X，Y的可能取值为0，1，2，利用命题3．3．1．2得到 P(X=0，Y=0)=P(Z=2)=C31C31／62=9／36=1／4， P(X=0，Y=1)=P(Y=1，Z=1)=(C21C31+C31C21)／62=1／3， P(X=0，Y=2)=(C10C21+C21C10)／62=1／9， P(X=1，Y=0)=P(X=1，Z=1)=(C11C31+C31C11)／62=1／6， P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9， P(X=1，Y=2)=P(X=2，Y=1)=P(X=2，Y=2)=0． P(X=2，Y=0)=(C11C11)／62=1／36， 故二维随机变量(X，Y)的概率分布如下： 注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm． 涉及知识点：概率论与数理统计
10． [2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3．向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A的特征值和特征向量．
正确答案：由命题2．5．1．3知，三阶矩阵A有一个特征值3，且α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量． 或由知，3是A的一个特征值，α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量，则A的属于特征值3的所有特征向量为c1α2，c1为不等于0的任意常数． 又由命题2．5．1．10知，α1，α2是A的属于特征值0的特征向量，或由Aα1=0α1，Aα2=0α2也可看出这一点，所以A的特征值为3，0，0，且属于λ=0的特征向量为 k1α1+k2α2=k1[－1，2，－1]T+k2[0，－1，1]T (k1，k2为不全为0的常数)． 注：命题2．5．1．1 λ0是矩阵A的特征值当且仅当|λ0E－A|=0． 对于数字型矩阵，常用特征方程|λE-A|=0求其特征值λ． 为求特征值λi所对应的所有特征向量，只需解方程组(λiE－A)X=0． 命题2．5．1．10 设α≠0为An×n=0的解，则α为A的属于特征值0的特征向量． 涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (14年)行列式 【 】
A．(ad－bc)2
B．－(ad－bc)2
C．a2d2－b2c2
D．b2c2－a2d2
正确答案：B
解析：按第1列展开，得所求行列式D等于 D＝ ＝－ad(ad－bc)＋bc(ad－bc)＝－(ad－bc)2 知识模块：线性代数
2． (89年)设A和B都是n×n矩阵，则必有 【 】
A．｜A＋B｜＝｜A｜＋｜B｜
B．AB＝BA
C．｜AB｜＝｜BA｜
D．(A＋B)-1＝A-1＋B-1
正确答案：C 涉及知识点：线性代数
3． (94年)设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B＝AC的秩为r1，则 【 】
A．r＞r1．
B．r＜r1．
C．r＝r1．
D．r与r1的关系依C而定．
正确答案：C
解析：因为，用可逆矩阵C右乘矩阵A相当于对A施行若干次初等列变换，而初等变换不改变矩阵的秩，故有r(AC)＝r(A)． 知识模块：线性代数
4． (96年)设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则
【 】
A．(A*)*＝｜A｜n-1A
B．(A*)*＝｜A｜n+1A
C．(A*)*＝｜A｜n-2A
D．(A*)*＝｜A｜n+2A
正确答案：C
解析：由A*＝｜A｜A-1，得(A*)*＝｜A*｜(A*)-1，又｜A*｜＝｜A｜n-1，故(A*)*＝｜A｜n-1(｜A｜A-1)-1＝｜A｜n-1A＝｜A｜n-2A．故C正确． 知识模块：线性代数
5． (97年)设A、B为同阶可逆矩阵，则 【 】
A．AB＝BA．
B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝
B．
C．存在可逆矩阵C，使CTAC＝
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件 【 】
A．A1，A2，A3相互独立．
B．A2，A3，A4相互独立．
C．A1，A2，A3两两独立．
D．A2，A3，A4两两独立．
正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计
2． (07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 【 】
A．3p(1－p)2．
B．6p(1－p)2．
C．3p2(1－p)2．
D．6p2(1－p)2．
正确答案：C
解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计
3． (09年)设事件A与事件B互不相容，则 【 】
A．P()＝0．
B．P(AB)＝P(A)P(B)．
C．P(A)＝1－P(B)．
D．P()－1．
正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计
4． (14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝ 【 】
A．0．1
B．0．2
C．0．3
D．0．4
正确答案：B
解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)． 故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A)
考研数三真题试卷
考研数三真题试卷
考研数学三（简称“数三”）是中国研究生入学考试中数学科目的一种，主要面向理工科考生。数三的真题试卷通常包含选择题、填空题、解答题等多种题型，旨在考察考生的数学基础知识、运算能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
# 试卷结构
数三试卷一般包含以下几个部分：
1. 选择题：这部分题目通常考察基本概念和计算能力，考生需要从四个选项中选择正确答案。
2. 填空题：考生需要在空白处填入正确的数值或数学表达式。
3. 解答题：这部分题目要求考生给出详细的解题过程，考察考生的逻辑推理和证明能力。
# 考试内容
数三的考试内容通常包括但不限于以下几部分：
- 高等数学：包括微积分、级数、多元函数微分学、偏微分方程等。
- 线性代数：涉及矩阵运算、线性方程组、向量空间、特征值与特征向量等。
- 概率论与数理统计：包括随机事件的概率、随机变量及其分布、多维随机变量、大数定律和中心极限定理等。
# 真题示例
选择题：
1. 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则根据中值定理，至少存在一点c∈(a,b)，使得f(c)=0。这种说法是否正确？
填空题：
2. 若矩阵A为3×3的正交矩阵，则|A|=______。
解答题：
3. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是增函数。
# 复习建议
1. 系统复习：按照教材和考试大纲，系统复习高等数学、线性代数和概率论与数理统计的知识点。
2. 练习真题：通过历年的考研数三真题，熟悉考试题型和难度，提高解题速度和准确率。
3. 强化训练：对于自己的薄弱环节，进行专项训练，提高解题技巧和方法。
4. 模拟考试：定期进行模拟考试，检验复习效果，及时调整复习策略。
希望以上内容能够帮助考生更好地准备考研数学三的考试。记住，持续的努力和正确的复习方法是成功的关键。祝所有考生考试顺利！
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编8(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编8 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 行列式=( )
A．(ad一bc)2。
B．一(ad一bc)2。
C．a2d2一b2c2。
D．一a2d2+b2c2。
正确答案：B
解析：由行列式的展开定理展开第一列。 =一ad(ad一bc)+bc(ad—bc)=一(ad一bc)2。故选B。 知识模块：线性代数
2． 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )
A．E一A不可逆，E+A不可逆。
B．E—A不可逆，E+A可逆。
C．E—A可逆，E+A可逆。
D．E—A可逆，E+A不可逆。
正确答案：C
解析：(E—A)(E+A+A2)=E一A3=E，(E+A)(E—A+A2)=E+A3=E。故E—A，E+A均可逆。 知识模块：线性代数
3． 设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )
A．E一ααT不可逆。
B．E+ααT不可逆。
C．E+2ααT不可逆。
D．E一2ααT不可逆。
正确答案：A
解析：由α是n维单位列向量可知 (ααT)α=α(αTα)=α，且1≤r(ααT)≤r(α)=1，即1是矩阵ααT的特征值，且r(ααT)=1，所以ααT的特征值为0(n一1重)和1。 矩阵E一ααT的特征值为1(n一1重)和0，则E一ααT不可逆。E+ααT的特征值为1(n一1重)和2，E+2ααT的特征值为1(n一1重)和3，E一2ααT的特征值为1(n一1重)和一1，三者的矩阵行列式均不为零，因此均可逆。不可逆的只有A选项。 知识模块：线性代数
4． 设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵。若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为( )
A．。
考研数学三(填空题)专项练习试卷31(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷31 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设A是三阶矩阵，且|A|=4，则=________．
正确答案：2
解析：=|2A一1|=23|A一1|=2． 知识模块：线性代数
2． 设f(x)连续，且F(x)==__________
正确答案：a2f(a)
解析： 知识模块：微积分
3． 已知A2－2A+E=O，则(A+E)－1=_________．
正确答案：(3E－A)
解析：A2－2A+E=O，(A+E)(A－3E)=－4E，(A+E)－1=(3E－A)． 知识模块：线性代数
4． 设A是3阶矩阵，已知｜A+E｜=0，｜A+2E｜=0，｜A+3E｜=0，则｜A+4E｜=_________．
正确答案：6
解析：由｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0，知A有特征值λ=－1，－2，－3，A+4E有特征值λ=3，2，1，故｜A+4E｜=6． 知识模块：线性代数
5． 设
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
6． 函数y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．
正确答案：一2n(n一1)!
解析：将ln(1+t)按照泰勒展开式展开成级数的形式令t=一2x代入第n项可得比较系数可得y=ln(1—2x)在x=0处的n阶导数为y(n)(0)=一2n(n一1)!(n=1，2，3，…) 知识模块：一元函数微分学
7． 设fˊ(ex)=1+x，则f(x)=_________．
正确答案：xlnx+C，其中C为任意常数
解析：设u=ex，则x=lnu，由fˊ(ex)=1+x，得fˊ(u)=1+lnu，f(u)=∫(1+1nu)du=ulnu+C，因此f(x)=xlnx+
C． 知识模块：一元函数积分学
8． D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则
正确答案：
解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域用极坐标表示为 知识模块：微积分
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编3(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (93年)设函数 则f(χ)在χ＝0处 【 】
A．极限不存在．
B．极限存在但不连续．
C．连续但不可导．
D．可导．
正确答案：C
解析：由于当χ→0时，sin为有界变量，为无穷小量， 则＝0，且f(0)＝0，则f(χ)在χ＝0处连续． 但不存在， 则f(χ)在χ＝0处不可导． 知识模块：微积分
2． (94年)曲线y＝的渐近线有 【 】
A．1条．
B．2条．
C．3条．
D．4条．
正确答案：B
解析：由于 则y＝为其一条水平渐近线，又＝∞ 则χ＝0为原曲线一条垂直渐近线． 知识模块：微积分
3． (95年)设f(χ)为可导函数，且满足条件＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(1，f(1))处的切线斜率为 【 】
A．2
B．－1
C．
D．－2
正确答案：D
解析：由＝－1 得f′(1)＝－2．所以，应选
D． 知识模块：微积分
4． (97年)若f(－χ)＝f(χ)(－∞＜χ＜＋∞)，在(－∞，0)内f′(χ)＞0，且f〞(χ)＜0，则在(0，＋∞)内有 【 】
A．f′(χ)＞0，f〞(χ)＜0
B．f′(χ)＜0，f〞(χ)＜0
C．f′(χ)＞0，f〞(χ)＞0
D．f′(χ)＜0，f〞(χ)＞0
正确答案：C
解析：由f(－χ)＝f(χ) (－∞＜χ＜＋∞)知，f(χ)的图形关于y轴对称． 由在(－∞，0)内f′(χ)＞0且f〞(χ)＜0知，f(χ)的图形在(－∞，0)内单调上升且是凸的；由对称性知，在(0，＋∞)内．f(χ)的图形单调下降，且是凸的，则C为正确选项． 知识模块：微积分
5． (98年)设周期函数f(χ)在(－∞，＋∞)内可导，周期为4，又＝－1，则曲线y＝f(χ)在点(5，f(5))处的切线斜率为 【 】
考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷23(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷23 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1．
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
2． 设f(x)=求常数a与b的值，使f(x)在(一∞，+∞)上处处连续．
正确答案： 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 设向量a＝｛3，－4，2｝，轴u的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，试求：(1)向量a在轴u上的投影；(2)向量a与轴u的夹角．
正确答案：设u轴上的单位向量为uo，则uo＝｛cosα，cosα，cosα｝ 于是 3cos2α＝1(方向角应满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1) 涉及知识点：综合
4． 设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一y)，且ρXY=记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．
正确答案：E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞yf(一y)dy．令y=一x，则∫-∞+∞yf(一y)dy=∫+∞-∞(一x)f(x)d(一x)=一∫-∞+∞xf(x)dx，所以 E(Z)=0．又 D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=E(Y2)-[一E(X)]2，而
E(Y2)=∫-∞+∞y2f(一y)dy=∫+∞-∞(一x)2f(x)d(一x)=∫-∞+∞x2f(x)dx=E(X2)，所以 D(Y)=E(Y2)一[一E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)=1．于是D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y) 涉及知识点：概率论与数理统计
5． 证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)若随机变量X与自己独立，则存在C，使得P(X=C)=1．
正确答案：证明：(1)x＜a时，P(X≤x)=0，故P(X≤x，Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)=0；x≥a时，P(X≤x)=1，故P(X≤x，Y≤y)=P(y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)。∈R2，有P(X≤x，Y≤y)=P(X≤x)P(y≤y)，即X与Y独立；(2)由已知得：∈R2，有P(X≤X，Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)，记X的分布函数为F(x)，则F(x)=P(X≤x)前式中令y=x即得F(x)=[F(x)]2，可见F(x)只能取0或1，又由F(一∞)一0，F(+∞)=1，知必存在C(常数)，使得故P{X=C}=1． 涉及知识点：概率与数理统计
考研数学一(解答题)高频考点模拟试卷38(题后含答案及解析)
考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷38 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设幂级数在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．
正确答案：由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知的收敛半径R=｜b｜，其收敛域为一｜b｜≤x＜｜b｜．注意到幂级数分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是R=｜b｜． 涉及知识点：无穷级数
2． 设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x＞0)．
正确答案：令φ(x)=e－xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=1，φ’(x)=e－x[f’(x)－f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)． 涉及知识点：高等数学
3． 设D＝是正定矩阵，其中A，B分别是m，n阶矩阵．记P＝． (1)求PTDP． (2)证明B－CTA-1C正定．
正确答案：(1) (2)因为D为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定．于是由上例的结果，得B－CTA-1C正定． 涉及知识点：二次型
4． 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x→a的n阶无穷小，求证：f(x)的导函数f’(x)当x→a时是x→a的n－1阶无穷小．
正确答案：f(x)在x=a可展开成f(x)=f(a)+f’(a)(x－a)+f”(a)(x－a)2+…+f(n)(a)(x－a)n+o((x－a)n)(x→a)．由x→a时f(x)是(x－a)的／1,阶无穷小f(a)=f’(a)=…=f(n－1)(a)=0，f(n)(a)≠0．又f(x)在x=a邻域n1阶可导，f(n－1)(x)在x=a可导．证明由g(x)=f’(x)在x=a处n－1阶可导g(x)=g(a)+g’(a)(x－a)+…+g(n－1)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1)，即f’(x)=f’(a)+f”(a)(x－a)+…+f(n)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1)=f(n)(a)(x－a)n－1+o((x－a)n－1)．因此f’(x)是x－a的n－1阶无穷小(x→a)． 涉及知识点：高等数学
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编10 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设随机变量X和y相互独立，其概率分布为 则下列式子正确的是：
A．X＝Y
B．P{X－Y}＝0
C．P{X－Y}＝
D．P{X＝Y}＝1
正确答案：C
解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝ 知识模块：概率论与数理统计
2． 设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)＝φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有
A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχ
B．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχ
C．F(－a)＝F(a)
D．F(－a)＝2F(a)－1
正确答案：B
解析：由概率密度的性质和已知，可得 1－∫－∞＋∞φ(χ)dχ＝2∫0＋∞φ(χ)dχ，∴∫0＋∞φ(χ)dχ＝ 而F(－a)＝∫－∞－aφ(χ)dχ∫＋∞aφ(－t)(－dt)＝∫a＋∞φ(t)dt ＝∫0＋∞φ(χ)dχ－∫0aφ(χ)dχ＝－∫0aφ(χ)dχ 故选
B． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设随机变量X～N(／μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ)
A．单调增大．
B．单调减小．
C．保持不变．
D．增减不定．
正确答案：C
解析：由已知X～N(μ，σ2)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝Ф(1)－Ф(－1) 故选
C． 知识模块：概率论与数理统计
4． 设两个随机变量X与Y相互独立且同分布。P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝．P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是
A．P(X＝Y)＝
B．P(X＝Y)＝1
C．P(X＋Y＝0)＝
D．P(XY＝1)＝
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编28(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编28 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (2004年)设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且则（ )
A．x=0必是g(x)的第一类间断点．
B．x=0必是g(x)的第二类间断点．
C．x=0必是g(x)的连续点．
D．g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．
正确答案：D
解析：由于若a=0，则g(x)在点x=0处连续；若a≠0，则g(x)在点x=0处连续．故应选
D．
2． (2017年)若函数在x=0处连续，则( )
A．
B．
C．ab=0．
D．ab=2．
正确答案：A
解析：要使f(x)在x=0处连续，则须故应选A
3． (1987年)若f(x)在(a，b)内可导且a＜x1＜x2＜b，则至少存在一点ξ，使得（ )
A．f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a) (a＜ξ＜b)
B．f(b)一f(x1)=f(ξ)(b一x1) (x1＜ξ＜b)
C．f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2一x1) (x1＜ξ＜x2)
D．f(x2)一f(a)=f(ξ)(x2一a) (a＜ξ＜x2)
正确答案：C
解析：由f(x)在(a，b)内可导知，f(x)在[x1，x2]上连续，在(x1，x2)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ，使 f(x2)一f(x1)=f’(ξ)(x2—x1)x1＜ξ＜x2所以应选
C．A、B、D均不正确．因为由f(x)在(a，b)内可导，不能推得f(x)在[a，b]，[x1，b]，[a，x2]上连续，故A、B、D选项均不满足拉格朗日中值定理条件．
4． (2005年)当a取下列哪个值时，函数f(x)=2x3一9x2+12x—a恰有两个不同的零点．( )
A．2
B．4