18.2直接开平方和配方法(1)
一元二次方程的概念和解法(直接开平方法、配方法、公式法)
一元二次方程的概念和解法一、学习目标：1、掌握一元二次方程的概念和一般形式，会找出一元二次方程的各项及其系数；2、会用直接开平方法解一元二次方程。
二、旧知回顾与训练：1、什么叫方程？什么叫整式方程？什么叫方程的解？2、什么是一元一次方程？怎样理解方程“元”和“次”的含义？解一元一次方程的方法和步骤是怎样的？3、解方程：12223x x x -+-=-三、新知学习与训练：（一）一元二次方程的概念： 类比一元一次方程的概念得出一元二次方程的概念：只含有___个未知数，并且未知数的最高次数是___ 的 方程叫做一元二次方程。
思考：怎样理解一元二次方程的概念？ 方法小结：1、方程必须是整式方程；2、方程中只能有一个未知数，并且未知数的最高次数只能为二次；3、方程化简后含未知数的二次项的系数不能为0。
练习：下列方程中，哪些是关于x 的一元二次方程？（1）250x -= ； （22x -= ；（3）21230x x+-=； （4）330x x -=； （5）230x xy +-=； （6）-x 2＝0； （7）x （5x -2）＝x （x ＋1）＋4x 2 。
（二） 一元二次方程的一般形式：类比一元一次方程的一般形式得出一元二次方程的一般形式： 。
其中＿＿、＿＿＿、＿＿＿分别叫做二次项、一次项和常数项； 、分别叫做二次项系数、一次项系数。
二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。
思考：1、一元二次方程的一般形式的结构特征是什么？2、一元二次方程的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）中，为什么“a ≠0”？ 3、怎样把一元二次方程整理为一般形式？范例：例1、方程013)2(=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，求m 的值。
例2、把方程3x （x-1）＝2（x ＋1）＋8化成一般形式，并写出二次项，一次项系数及常数项？练习：1、下列关于x 的方程是否是一元二次方程？为什么？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：032)1(2=++x ax ；023)2(2=+mx x ；0128)1)(3(2=----m mx x m ；（4）（b 2＋1）x 2－bx ＋b ＝2；（5） 2tx （x -5）＝7-4tx 。
2用配方法求解一元二次方程
4.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2配方正 确的是 ( )
A.(x-p)2=5
B.(x-p)2=9
C.(x-p+2)2=9 D.(x-p+2)2=5
答案 B ∵x2-6x+q=0可配方为(x-p)2=7,即(x-p)2-7=0,则x2-6x+q=2可配 方为(x-p)2-7=2,即(x-p)2=9.故选B.
的长为
cm.
答案 6
解析 设小矩形的长为x cm,则小矩形的宽为(8-x)cm, 根据题意得x[x-(8-x)]=24. 解得x=6或x=-2(舍去). 故小矩形的长为6 cm.
3.某养牛场的一边靠墙,墙长25 m,另三边用栅栏围成,现有材料可制作 栅栏40 m. (1)养牛场的面积能达到200 m2吗?若能,请求出养牛场的长和宽,若不能, 请说明理由; (2)能围成面积为250 m2的养牛场吗?请说明理由.
一移
通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法,叫做配方法 将常数项移到方程等号的右边
步骤
二除 三配 四开
如果二次项系数不是1,将方程两边同时除以二次项系数,将其化为1
方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式 如果方程的右边是一个非负数,就可以直接开平方解方程;如果是一个负数,则原方程
2
程无解,∴不能围成面积为250 m2的养牛场.
一、选择题 1.(2017天津河北汇森中学模拟,8,★★☆)用配方法解下列方程,配方正 确的是 ( ) A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=4 B.x2-2x-9=0可化为(x-1)2=8 C.x2+8x-9可化为(x+4)2=16 D.x2-4x=0可化为(x-2)2=4 答案 D A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=3,故错误; B.x2-2x-9=0可化为(x-1)2=10,故错误; C.x2+8x-9=0可化为(x+4)2=25,故错误; D.x2-4x=0可化为(x-2)2=4,故正确.故选D.
直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程
(2019年1月最新最细）2018全国中考真题解析考点汇编☆直接开平方、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程一、选择题1.（2018•泰州，3，3分）一元二次方程x2=2x的根是（）A、x=2B、x=0C、x1=0，x2=2D、x1=0，x2=﹣2考点：解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题。
分析：利用因式分解法即可将原方程变为x（x﹣2）=0，即可得x=0或x﹣2=0，则求得原方程的根．解答：解：∵x2=2x，∴x2﹣2x=0，∴x（x﹣2）=0，∴x=0或x﹣2=0，∴一元二次方程x2=2x的根x1=0，x2=2．故选C．点评：此题考查了因式分解法解一元二次方程．题目比较简单，解题需细心．2.（2018湖北荆州，3，3分）将代数式x2+4x-1化成（x+p）2+q的形式（）A、（x-2）2+3B、（x+2）2-4C、（x+2）2-5D、（x+2）2+4 考点：配方法的应用．专题：配方法．分析：根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．解答：解：x2+4x-1=x2+4x+4-4-1=x+22-5，故选C．点评：本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．3.（2018•柳州）方程x2﹣4=0的解是（）A、x=2B、x=﹣2C、x=±2D、x=±4考点：解一元二次方程-直接开平方法。
专题：计算题。
分析：方程变形为x2=4，再把方程两边直接开方得到x=±2．解答：解：x2=4，∴x=±2．故选C．点评：本题考查了直接开平方法解一元二次方程：先把方程变形为x2=a（a≥0），再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解．4.（2018•湘西州）小华在解一元二次方程x2﹣x=0时，只得出一个根x=1，则被漏掉的一个根是（）A、x=4B、x=3C、x=2D、x=0考点：解一元二次方程-因式分解法。
人教版九年级数学上册一元二次方程的定义与解法(1)
(4)
y2
1 2
y
（_14_）_2 _
( y_1__)2 4
它们之间有什么关系?
总结归律:
p 2
p
x px ____ ( x __) 2 方 像程这（样m的－等1号)x两2＋边m都x是＋整1=式0为，关只于含x有的一一个元未二知次数方（程一则元m）的2，值为（
）
10×6x2=1500
22
课堂检测
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的 二次项系数，一次项系数及常数项：
1 5x2 1 4x； 24x2 81；
1 5x2 1 4x
一般式：5x2 4x 1 0.
二次项系数为５，一次项系数－4，常数项－1.
2 4x2 81
一般式：4x2 81 0.
二次项系数为4，一次项系数0，常数项－81.
x2－75x+350=0 ②
x2 x 56 ③
（１）这些方程的两边都是整式 （２）方程中只含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）， 并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
知识归纳
一元二次方程的概念 • 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未
x3 5 ， x3 5
或
解一次方程
x1 3 5 ，x2 3 5
新知探究
【例2】用配方法解方程：3x2+8x-3=0
解：两边除以3，
x2 8 x 1 0
3
得：
分析：配方法解一元二次方
移项，得： x2 8 x 1
程的一般步骤：
3
（1）把二次项的系数化为1； （2）把常数项移到等号的右 边；
直接开平方法、配方法
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方 式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法. 注意:配方时, 等式两边同时加上的是一次项 系数一半的平方.
1 2
1
，x2=
1 2
例2解下列方程： ⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
典型例题
分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个 整体，就可以运用直接开平方法求解； 解：（1）∵x+1是2的平方根
∴x+1= 即x1=-1+ 2
2
，x2=-1- 2
直接开平方法
1.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根。 用式子表示：
若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x=
知识回顾
a
或x= a 2 4 ±3 如：9的平方根是______ 的平方根是______ 5 25 2.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互 为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。 即x= a
思考：先用配方法解下列方程： （1） x2－2x－1＝0 （2） x2－2x＋4＝0 （3） x2－2x＋1＝0 然后回答下列问题： （1）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样 处理所遇到的问题的？ （2）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在 什么条件下才有实数根？
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一 半的平方
例1 解下列方程
（1） 8 x 1 0 x （ 2） 2 （ 3） 3
21.2.1配方法(第一课时)直接开平方法(人教版初中数学)
21.2.1配方法（第一课时）配方法是基本形式———直接开平方法（一）教学目标1.知识技能（1）理解一元二次方程降次的转化思想，会用直接开平方法解简单的一元二次方程.（2）会利用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程．2.过程方法通过观察思考，根据实际问题，向学生渗透知识来源于生活，获得一元二次方程的解法 “直接开平方法”.3.情感态度通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.（二）教学重难点1.重点：运用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程，领会降次转化的数学思想.2.难点：通过根据平方根的意义解形如x 2=p （p ≥0）的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程．（三）教学过程设计一、复习旧知：1.平方根的意义：2.说下列各数的平方根：9、81、0、8、1.5、916、34.3.判断下列方程是否是一元二次方程：（1）a 2−b 2=3； （2）1x +x 2=3；（3）2x 2+3=x −5； （4）3(x 2+2)=3x 2−2x +5.设计意图：课前准备二、探究新知1.探究一：出示问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，培养学生自学的能力.让学生独立完成列方程的过程，对于部分学生可以给予一定帮助，鼓励同学互相帮助.解题过程：（1）审题；（2）设未知数正方体的棱长为x；（3）找等量关系，列方程：10×6×x2=1500；（4）解方程：10×6×x2=1500化简得x2=25根据平方根的意义，得x=±5既x1=5，x2=−5.检验5和-5是方程的两个根，因为棱长不能说负值，所以盒子的棱长为5cm.小结：（1）将方程转化为x2=p形式；（2）直接开平方将一元二次方转化成一元一次方程；（3）分别解这两个一元一次方程得出方程的两个解.2.探索二：（1）一元二次方程(x+3)2=5、4x2=9与x2=25的形式有何联系；（2）对比x2=25的解题过程，求解(x+3)2=5、4x2=9；（3）分析上述方程在形式和解法上的异同之处。
一元二次方程的解法(直接开平方、因式分解)
直接开平方与因式分解的比较
直接开平方
适用于方程有重根或可以通过移项整理成平方项系数为正数的情况。计算简单， 但适用范围有限。
因式分解
适用于所有一元二次方程，但需要一定的技巧和经验，对于复杂的一元二次方 程可能较难操作。
不同解法的适用范围
直接开平方法
引力问题
在引力问题中，一元二次方程可以 用来描述万有引力定律，如求解天 体之间的引力等。
在实际生活中的应用
经济问题
一元二次方程在经济中有着广泛 的应用，例如求解最优价格、最
大利润等。
金融问题
在金融领域中，一元二次方程可 以用来描述复利、保险等问题。
交通问题
在交通领域中，一元二次方程可 以用来描述车辆行驶的轨迹、速
避免错误
在因式分解过程中，需要 注意符号和运算的准确性， 避免出现错误。
检验
因式分解后需要进行检验， 确保分解结果是正确的。
03 一元二次方程解法的应用
在数学中的应用
代数问题
一元二次方程是代数中常见的基本方 程，通过解一元二次方程可以解决代 数问题，如求解未知数、证明不等式 等。
几何问题
函数与导数
在配方过程中，要保 证等式的平衡和等价 变换。
开平方时要注意正负 号的取舍，根据方程 的系数和判别式的符 号确定。
02 一元二次方程的因式分解
定义与性质
定义
因式分解是将一个多项式表示为 几个整式的积的形式。
性质
因式分解是整式乘法的逆运算， 即如果多项式等于几个整式的积 ，则这些整式是多项式的因式。
因式分解的步骤
01
02
03
提取公因式
将多项式中的公因子提取 出来，形成几个整式的积。
18.2一元二次方程的解法求根公式法(沪科版)
在一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)
中，如果b2-4ac＜0，那么方程无实数根，这是
由于
b2 4ac无意义
概念巩固
1.把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0) 形式为_x_2___3_x 4 0 ， b2-4ac=_2_5_
2.用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正
∴ x 3 1 21
∴x1=-1，x2=-2
典型例题
例2 用公式法解下列方程： ⑵ 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。
解（2）移项，得2x2-7x-4=0 ∵a=2，b=-7，c=-4
b2-4ac=49-4×2×（-4）=81＞0
∴
方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）呢？
解：因为a≠0 ，所以方程两边都除以a，得
x2 b x c 0 aa
移项，得 x2 b x c aa
配方，得 x2 2 • b • x ( b )2 c ( b )2
2a
2a
a 2a
即 (x b )2 b2 4ac
2a
4a2
想一想：即
确的是（ D ）
A.x= 12 144 12 2
12 144 12
B.x=
2
C.x=12 144 12 D.x= 12 144 48
2
6
=
典型例题
例1 用公式法解下列方程： ⑴ x2＋3x＋2 = 0 ⑵ 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
解（1）∵a=1，b=3，c=2
b2-4ac=32-4×1×2=1＞0
解
作业设计
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X(x+6)=16
即 x 6 x 16 0
2
怎样解?
完全平方公式：
a a
2
2ab b (a b) ;
2 2
2
2ab b (a b) .
2 2
填一填
1 1 (1) x 2 x _____ ( x ___)
2
2
2
4 ( x ___) (2) x 8 x _____ 4 5 5 2 2 （ ） (3) y 5 y _____ ( y ___) 2 2
2 2
2
2
( 4) y
2
2 1 （1） 1 y ____ ( y ___) 4 4 2
2
x x 16 0 想一想解方程x 6 6 x 16 0的流程怎样?
2
2
x 6 x 16
2
移项
两边加上32,使左边配成
x 2bx b 的形式
2 2
x 6 x 3 16 3
如果方程能化成 x p或 mx n） p的形式， （
2 2
那么可得x p或mx n p .
化成两个一 元一次方程
问题2
要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且 2 面积为16 m , 场地的长和宽应各是多少?
,列方程
解:设场地的宽xm,长(x+6)m,根据矩形面积 2
为16mLeabharlann 即 x1 5， 2 5 x
经检验，5和-5是方程的根，但是棱长不能是负值， 所以正方体的棱长为5dm.
课本练习
• 用直接开平方法解下列方程：
（1） x 25
2
x2 0.81 0 （2）
（3） 3( x 1) 48
2
2( x 2)2 4 0 （4）
把此方程“降次”， 转化为两个一元 一次方程
例1 解下列方程
（1）x -4x-1=0 （2）2x -3x-1=0
2
2
配方法的步骤： 1.移项，把带有X的都挪到左边 2.左右两边都加上一个数的平方 3.左边凑成平方，之后使用直接开平方法
解一元二次方程：
直接开平方法
问题1 一桶油漆可刷的面积为1500 d m ，李林用这桶
油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部 外表面，你能算出盒子的棱长吗？
2
设正方体的棱长为xdm， 列方程10 6 x 1500
2
由此可得 x 25
2
x 5，
这种解法叫做什么? 直接开平方法
怎样解方程 (2 x 1) 5及
2
方程 x 6 x 9 2 ?
2
方程 x 6 x 9 2的左边是完全平方形式，
2 2
这个方程可以化成 x 3 2，进行降次， （ ）
x 3 _______, 得 __________ 2
3 2 方程的根为 x1 3 2 x2 __________ ______, .
2 2
2
(x 3) 25
2
左边写成完全平方形式 降次
x 3 5
x 3 5, x 3 5
得 : x 2, x 8
1 2
以上解法中,为什么在方程 x 两边加9?加其他数行吗?
2
6 x 16
像上面那样,通过配成完全平方形式来解一 元二次方程的方法, 叫做配方法.