江苏省无锡市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为．2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为米/秒2．3．圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是．4．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．5．设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为．6．若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为．9．给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是．10．设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．11．（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是．13．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．14．已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为．15．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ ∥平面APD．18．（14分）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．19．（16分）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．20．（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O 上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．21．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a 的取值范围．22．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为3．【考点】直线的倾斜角．【分析】由题中线的倾斜角和斜率的关系得到a．【解答】解：因为直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan45°=a﹣2=1，所以a=3；故答案为：3．【点评】本题考查了直线的倾斜角．直线的倾斜角为α，那么它的斜率为tanα（α≠90°）．2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为12米/秒2．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】利用导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），然后利用导数求解即可．【解答】解：∵v（t）=3t2﹣1，∴v'（t）=6t，根据导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），∴v'（2）=6×2=12，故答案为：12．【点评】本题主要考查导数的物理意义，以及导数的基本运算，比较基础．3．圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距为5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆的位置关系为相交．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0，即（x+2）2+（y﹣2）2 =16，表示以（﹣2，2）为圆心、半径等于4的圆．圆x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4，表示以（1，﹣2）为圆心、半径等于2的圆．两个圆的圆心距为d==5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于基础题．4．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由CC1∥BB1，知∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA1=2AB=2，则B1D1=，BB1=2，∴tan∠B1BD1==．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为（﹣1，3）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】求出两条直线的交点坐标，以及圆的圆心的距离小于半径，求解即可得答案．【解答】解：由题意可知：，解得，交点（1，1），交点M在圆（x﹣m）2+y2=5的内部，可得（1﹣m）2+1＜5，解得﹣1＜m＜3．∴实数m的取值范围为：（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题考查点与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是基础题．6．若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线y2=﹣8x的准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|的值．【解答】解：由于抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），其准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为5．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，利用圆锥的侧面积是50πcm2，求出此圆锥的底面半径．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，∵圆锥的侧面积是50πcm2，∴50π=π×R×2R，解得R=5cm．故答案为5．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为S2＜S3＜S1．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，由此能比较S1，S2，S3大小．【解答】解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，解得，a=，r=，∴S1=6×a2=6（）2=6=，S2=4πR2=4π（）2=，S3=2π=．∴S2＜S3＜S1．故答案为：S2＜S3＜S1．【点评】本题考查正方体、球与等边圆柱的表面积的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体、球与等边圆柱的体积和表面积的性质的合理运用．9．给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是①．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由命题p为真，得p或q为真命题；②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值；③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行；【解答】解：对于①，因为命题p为真，∴p或q为真命题，故正确；对于②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值，故错；对于③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行，故错；故答案为：①【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．10．（文）设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x）=cosx+2sinx，∴f′（）=cos+2sin=﹣+2×=，故答案为：【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值得求法，属于基础题．11．（2016秋•无锡期末）（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数k，使得=k，则，解得k=，s=，t=6．∴s+t=．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是③④．【考点】棱柱的结构特征．【分析】正四面体的平面展开图还原成正四面体，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：正四面体的平面展开图还原成正四面体，如图：在①中，GH与EF是异面直线，故①错误；在②中，BE与MN相交于点N，故②错误；在③中，∵GH∥AD，∴GH与AF成60°角，故③正确；在④中，∵MN∥AF，∴MN∥平面ADF，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出简图，由图中可得线段的长，从而得到b=2a，进而求双曲线的离心率．【解答】解：如图|OF|=c，|OM|=a，|FG|=2c；∴|F|=b，又∵M为PF的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF|=2b，∴|PF|﹣|PG|=2b﹣2a=2a；∴b=2a，∴c=a，∴e==．故答案为．【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．14．已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对任意的x∈（0，1），f（x）的值域为（2a，+∞），要使∃x2∈R，使f（x1）=g（x2），则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，对a进行分类讨论，得出a的范围．【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+为减函数，由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞），若若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，令g′（x）=e x﹣3a=0，则e x=3a，即x=ln3a，若ln3a≤1，即3a≤e，此时g（x）＞g（1）=e﹣3a，此时由e﹣3a≤2a得：≤a≤，若ln3a＞1，即3a＞e，g（x）=（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数，此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为[，+∞）故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了全称命题，对数函数的图象和性质，利用导数研究函数的最值，难度中档．15．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是[] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】确定直线过定点M（4，﹣5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50，即可求出线段CH长度的取值范围．【解答】解：由题意，圆心C（1，﹣2）在直线ax+by+c=0上，可得a﹣2b+c=0，即c=2b﹣a．直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，即a（2x+y﹣3）+b（4﹣x）=0，由，可得x=4，y=﹣5，即直线过定点M（4，﹣5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50，∵|CA|=4∴CH最小为5=，CH最大为4，∴线段CH长度的取值范围是[]．故答案为[]．【点评】本题考查直线过定点，考查线段CH长度的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）（2016秋•无锡期末）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条平行直线间的距离．【分析】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程．【解答】解：（1）若l1∥l2，则，∴m=6，∴l1：x﹣2y﹣1=0，l2：x﹣2y﹣6=0∴l1，l2之间的距离d==；（2）由题意，，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m（3﹣m）=+，∴m=时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3=0．【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•无锡期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ ∥平面APD．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明CD⊥PB，CD⊥BD，即可证明CD⊥平面PBD；（2）证明AP∥OQ，即可证明OQ∥平面APD．【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PB⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PB，∵AD=AB=BC，∠BAD=90°，∴BD=AD，BC=2AD，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥BD，∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；（2）∵AP∥平面BDQ，∴AP∥OQ，∵OQ⊄平面APD，AP⊂平面APD，∴OQ∥平面APD．【点评】本题考查空间线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2016秋•无锡期末）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用待定系数法，求出圆的圆心与半径即可得到圆的标准方程．（2）求出对称直线的方程与抛物线联立方程组，利用相切求解即可．【解答】解：（1）设M的方程为x2+（y﹣b）2=r2，（1，1）代入，可得1+（1﹣b）2=r2，①∵直线l与圆M相切，∴=r，②由①②可得b=3或，∴M的方程为x2+（y﹣3）2=5，或x2+（y﹣）2=，（2）因为直线l的方程为y=2x+n所以直线l′的方程为y=﹣2x+n．与抛物线联立得x2+12x﹣6n=0．△=144+24n①当n=﹣6，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；，切点坐标为（﹣6，6）②当n≠﹣6，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法，以及对称知识的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（16分）（2016秋•无锡期末）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】通过讨论a的范围，分别求出关于A、B的不等式的解集，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：对于集合A，由m2﹣am＜12a2，故（m﹣4a）（m+3a）＜0，对于集合B，解，解得：﹣4＜m＜2；①a＞0时，集合A：﹣3a＜m＜4a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：0＜a＜；②a＜0时，集合A：a＜m＜﹣3a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：﹣＜a＜0，综上：a∈（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的运算以及不等式问题，是一道中档题．20．（2016秋•无锡期末）（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC 的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与CD1所成角的余弦值．（2）求出平面CD1E的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），O（，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），D（0，0，0），设E（x0，y0，z0），∵=，∴=，∴（x0，y0，z0﹣1）=（，，﹣x0），解得x0=，y0=，z0=，E（，，），∴=（，，），CD1=（0，﹣1，1），∴cos＜，＞==，∴异面直线DE与CD1所成角的余弦值为．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），=（，0），=（0，﹣1，1），=（0，1，0），则，取z=1，得=（1，1，1），由=λ，得E（，，），=（，，），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣2，得=（﹣2，0，λ），∵二面角D1﹣CE﹣D为π，∴|cos|==，∵λ＜2，解得λ=8﹣2．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（16分）（2016秋•无锡期末）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出g（x）的最小值，求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣，f′（1）=1﹣a，f（1）=a﹣2，故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的曲线方程是：y﹣（a﹣2）=（1﹣a）（x﹣1），即（a﹣1）x+y﹣2a+3=0，又曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为：2x+y﹣3=0，故a=3；（2）由于f′（x）=，①若a≤0，对于x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，+∞）递增，故函数的递增区间是（0，+∞）；②若a＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（3）a＞0时，直线即y=﹣（a+1）x+2（a﹣1），令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]=lnx++（a+1）x﹣2a，g′（x）=，∵a＞0，x＞0，∴a+1＞0，x+1＞0，且∈（0，1），当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）在（0，）递减，x＞时，g′（x）＞0，g（x）在（，+∞）递增，故x=时，g（x）取得最小值ln+a+1+a﹣2a=1+ln，∵曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，故g（x）≥0，故g（x）min=1+ln＞0，＞，a＞，故a的范围是（，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22．（16分）（2016秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率e，可得a2=4b2，由过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，可得=1，解出即可得出．（2）①由椭圆方程求出两个顶点A的坐标，设出P点坐标，写出斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；②以BP为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x0）+y（y﹣y0）=0，把点Q代入得到方程左边大于0，即可判断Q与以BP为直径的圆外．【解答】解（1）：由离心率e===，可得a2=4b2，∵过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，∴=1，解得b=1，a=2，∴椭圆C方程为+y2=1．（2）①证明：令P（x0，y0），点A（﹣2，0）则直线PA的方程为y=（x+2），令x=2，得y=，则Q点的坐标为（2，）∴k1=，k2=．∴k1•k2=，∵P（x0，y0）满足+y2=1，则∴k1•k2=﹣，②以BP为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x0）+y（y﹣y0）=0，把Q点（2，）代入方程左边，得（﹣y0）=4=4•=4•．（*），∵x0∈（﹣2，2），∴x0+2＞0，∴（*）＞0，∴Q与以BP为直径的圆外，【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．。
化学-江苏省无锡市2016-2017学年高二上学期期末考试试卷
江苏省无锡市2016-2017学年高二上学期期末考试试卷本卷可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 N-14 0-16 Na -23 Mg-24 Al-27 S-32 Cl-35.5 K -39 Ca-40 Fe-56 Zn -65 Ba-137第I 部分（选择题69分）一、单项选择题：在每题的4个选项中，只有1个选项是符合题目要求的（本部分23题，每题3分，共69 分）。
1.2016年，世界海洋日我国确定的主题是“关注海洋健康，守护蔚蓝星球”。
下列做法不应该提倡的是（ ）A.从海水中可得到NaCl,电解熔融NaCl 可制备钠B.深海锰结核是未来可利用的潜力最大的金属矿产资源C.人类从海水中提取用途广泛的金属镁D.海洋有自净能力，不存在海水污染问题2.中科大教授联合美国科学家发现雾霾形成与硫酸氢铵有关，NH 4HSO 4属于（ ） A.氧化物 B.酸 C.碱 D.盐3.下列变化厲于物理变化的是（ ）A. 粮食酿酒B.酒精挥发C.牛奶变酸D.石油裂解 4.据报道,某些建筑材料会产生放射性同位素氡Rn 22286,从而对人体产生伤害。
该同位素原子的中子数与质子数之差是（ ） A. 50B. 136C.86D. 2225.下列化学用语正确的是（ ） A.HF 的电子式：B.Cl —离子的结构示意图：C.乙酸的结构简式：C 2H 3O 2D.硫酸钠的电离方程式：Na 2SO 4 =2Na ++SO 42-6.下列气体中，既能用浓硫酸干燥，又能用氢氧化钠固体干燥的是 （ ） A. O 2 B. NO 2 C.SO 2D.NH 37.下列实验装置、试剂选用或操作正确的是（ ）8.下列物质中含有共价键的、试离子化合物是（）A. H2OB.CaCl2C. Ba(OH)2D.H29.下列措施是为了降低化学反应速率的是（）A.用锌粉代替锌片与稀硫酸反成制取氧气B.食品放在冰箱中贮藏C.合成氨工业中使用催化剂D.在试管中进行铝和盐酸反应时，稍微加热10.在含有较多NH4+、Ba2+、NO3—C1—的溶液中还能大量共存的离子是（）A. Ag+B. Mg2+C.SO42—D. OH—11.下列关于含氮化合物的性质叙述正确的是（）A. 可用铁制容器储存稀硝酸B. 实验室用排空气集气法收集NO气体C. 实验室可用氨水与硫酸铝溶液反应制取氢氧化铝D. NO2与水发生化合反应生成硝酸12.下列化学反应属于吸热反应的是（）A.生石灰和水的反应B.木炭在氧气中燃烧C.三氧化硫溶于水D.氢氧化钡晶体与氯化铵晶体混合13.我国古代用炉甘石炼锌，主要反应为2C + ZnCO3高温Zn+3CO↑，该反应属于（）A. 置换反应B.化合反应C.分解反应D.分解反应14.下列有机化学方程式书写错误的是（）15.下列关于物质性质或用途的描述错误的是（）A. 硝酸是易挥发的强酸B. 水玻璃可用作木材防火剂C. CO是无色难溶于水的气体D. Fe3+可以与K5CN溶液反应生成血红色沉淀N为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）16.设ANA. 28g N2含有的原子数为ANB. 标准状况下22.4L水中含有的H20分子数为ANC. 6.5gZn均足量盐酸反应失去的电子数为0.2AND. 2mol • L-1NaCl溶液中含有Na+个数为2A17.ClO2是一种杀菌消毒效率高、二次污染小的水处理剂。
江苏省无锡市精选高二上期末数学测试卷(含详细答案)
2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末测试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是．2．命题“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是．3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为．4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是．5．“x＞0”是“x≠0”的条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为．8．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为．9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为cm2．10．下列命题，其中正确的是（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．11．椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为．12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为．13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为．14．已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．18．（文科班选做此题）已知a＞0，命题p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，命题q：点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．19．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是60°．【分析】根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，由直线的方程可得直线的斜率k=，进而可得tanα=，结合α的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，直线x﹣y+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，tanα=且0°≤α＜180°，则有α=60°，故答案为：60°【点评】本题考查直线倾斜角的计算，掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键．2．命题“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是∀x∈R，e x≠x﹣1．【分析】由题意，命题“∃x∈R，e x=x﹣1”，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可【解答】解：命题“∃x∈R，e x=x﹣1”是一个特称命题，其否定是一个全称命题所以命题“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定为“∀x∈R，e x≠x﹣1”故答案为：∀x∈R，e x≠x﹣1．【点评】本题考查特称命题的否定，解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的命题的书写规则，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y﹣2=0．【分析】设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入即可得出．【解答】解：设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入可得：﹣1+3+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：x+3y﹣2=0．故答案为：x+3y﹣2=0．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒．【分析】据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=4时的值，即为物体在4秒末的瞬时速度．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，求导函数可得s′=2t﹣1当t=4时，s′=2t﹣1=2×4﹣1=7，故物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒，故答案为：7米/秒．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的物理意义，属于基础题．5．“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）【分析】将题设中的命题改写成命题的形式，分别判断它的真假及其逆命题的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案【解答】解：原命题：若“x＞0”则“x≠0”，此是个真命题其逆命题：若“x≠0”，则“x＞0”，是个假命题，因为当“x≠0”时“x＜0”，也可能成立，故不一定得出“x＞0”，综上知“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．【点评】本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为+=1．【分析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），再由点（2，）、（，﹣）代入椭圆方程，解方程即可得到m，n，进而得到所求标准方程．【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），由题意可得，解得，即有椭圆方程为+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算求解能力，属于基础题．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为60°．【分析】连接B1D1和D1C，由BD∥B1D1，知∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．由△D1B1C是等边三角形，知异面直线DB与B1C所成角为60°．【解答】解：连接B1D1和D1C，∵BD∥B1D1，∴∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．在△D1B1C中，∵B1D1=D1C=B1C，∴∠D1B1C=60°．故答案为：60°【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化．8．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离与半径之间的关系是解决本题的关键．9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为8cm2．【分析】设出正四棱锥的底面边长为a=2，h为高，运用体积公式求解得出h=1，求解斜高h′=2，运用面积公式求解即可．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，∴a=2，h为高，即（2）2×h=4，h=1，∴斜高为：=2，∴侧面积为：4×2=8故答案为：【点评】本题考查了三棱锥的几何性质，运用求解斜高，侧面积公式，属于中档题，关键是把立体问题，转化为平面问题．10．下列命题，其中正确的是①（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．【分析】在①中，由线面垂直的性质得n⊥α在②中，α与β相交或平行；在③中，直线m与平面α有可能相交；在④中，∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补．【解答】解：①若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的性质得n⊥α，故①正确；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；③若直线m∥n，则直线m与平面α有可能相交，故③错误；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补，故④错误．故答案为：①．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为x2+（y﹣）2=．【分析】先根据中位线定理可推断出PF2垂直于x轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设|PF1|=t，根据勾股定理求得t和|PF2|，可得M的坐标，可得所求圆的标准方程．【解答】解：∵O是F1F2的中点，M为PF1的中点，∴PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴，∵c===2，∴|F1F2|=4设|PF1|=t，根据椭圆定义可知|PF2|=8﹣t，∴（8﹣t）2+16=t2，解得t=5，∴|PF2|=3，可得M（0，），|PM|=，即有所求圆的方程为x2+（y﹣）2=．故答案为：x2+（y﹣）2=．【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查圆的方程的求法，注意运用中位线定理和椭圆的定义，属于中档题．12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为y=±x．【分析】双曲线的焦点在y轴上，且=3，焦点到渐近线距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵一条准线方程为y=﹣3，∴双曲线的焦点在y轴上，且=3，∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，∴b=2，∴a=2，c=4∴渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，属于基础题．13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为（1，+∞）．【分析】由f′（x）＞1，f（x）＞x+1可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x+1），因为f（1）=2，f′（x）＞1，所以g（1）=f（1）﹣（1+1）=0，g′（x）=f′（x）﹣1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x+1的解集即是g（x）＞0=g（1）的解集．∴x＞1．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决此类问题的关键是构造函数g（x）=f（x）﹣（x+1），然后利用导数研究g（x）的单调性，从而解决问题，属于中档题．14．已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是（）．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标方位计算即可．【解答】解：由得，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜，＜x2＜2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1++x2﹣x1+a﹣ex2=+a+x2=3+x2，∵，＜x2＜2，∴＜3+x2＜4故答案为（）【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．【分析】（1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；（2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）取PD的中点M，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME∥FB，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）连接BD，∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，∴DF⊥AB，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DF，又由PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BE∥MF，（2）的关键是证明DF⊥平面PAB．17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．【分析】（1）利用导数的运算法则可得y′，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；（2）利用切线的方程即可得出点B，C的坐标，再利用三角形的面积公式，求得S（a），再由导数求得单调区间和最值，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y=x2，∴y'=2x，可得切线l的斜率为2a，∴切线l的方程是y﹣a2=2a（x﹣a），即2ax﹣y﹣a2=0；（2）由2ax﹣y﹣a2=0，令y=0，解得x=，∴B（，0）；令x=1，解得y=2a﹣a2，即C（1，2a﹣a2），∴|BD|=1﹣，|CD|=2a﹣a2，∴△BCD的面积S（a）=（1﹣）（2a﹣a2）=（a3﹣4a2+4a），S′（a）=（3a2﹣8a+4）=（3a﹣2）（a﹣2），令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=．当0＜a＜时，S'（a）＞0；当＜a＜1时，S'（a）＜0．∴a=时，S（a）有最大值．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，导数的几何意义等是解题的关键．18．（文科班选做此题）已知a＞0，命题p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，命题q：点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，若存在，请求出a的范围；若不存在，请说明理由．【分析】根据条件求出命题的成立的等价条件，根据复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若：∀x≥1，x﹣+2≥0，即x+2≥，即x2+2x≥a在x≥1时成立，设f（x）=x2+2x，则f（x）=（x+1）2﹣1，当x≥1时，函数f（x）为增函数，则函数f（x）的最小值为f（1）=1+2=3，则a≤3，即p：a≤3若点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，则（1﹣a）2+（1﹣a）2＞4，即（a﹣1）2＞2，即a＞1+或a＜1﹣，若存在正数a，使得p∨q为真命题；p∧q假命题，则p，q为一真一假，则此时p：0＜a≤3，q：a＞1+，若p真q假，则，得0＜a≤1+，若p假q真，则，得a＞3，综上0＜a≤1+或a＞3．【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键．19．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．【分析】（I）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=ax﹣lnx．我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）==f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，故此时（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0＜a≤ e【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f（x）的解析式是解答的关键．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出|y1﹣y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积，利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值；（3）设AB中点为H（x0，y0），运用中点坐标公式可得y0，再由两点的距离公式可得|GH|，再由弦长公式，可得|AB|，作差|GH|2﹣|AB|2，化简整理，即可判断G与AB为直径的圆的位置关系．【解答】解：（1）由题意可得2b=2，e==，由a2﹣b2=c2，解得b=1，a=，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由直线x=my﹣1代入椭圆的方程可得，（3+m2）y2﹣2my﹣2=0，判别式为4m2+8（3+m2）＞0恒成立，y1+y2=，y1y2=﹣，设直线与x轴的交点为N（﹣1，0），|y1﹣y2|===，S△AOB=|ON||y1﹣y2|=×1×=，令=t（t≥），则m2=t2﹣2，∴S△AOB==，∵t≥，t+是增函数，∴当t=，即m=0时，S△AOB取得最大值，最大值为=．（3）AB中点为H（x0，y0）．由（2）可得，y1+y2=，y1y2=﹣，∴y0==．G（﹣2，0），∴|GH|2=（x0+2）2+y02=（my0+1）2+y02=（1+m2）y02+2my0+1=（1+m2）++1，|AB|2=（1+m2）（y1﹣y2）2=（1+m2）[+]，故|GH|2﹣|AB|2=（1+m2）++1﹣（1+m2）[+] =＞0。
江苏无锡市2017-2018学年第一学期期末考试 高二数学试卷
江苏无锡市2017-2018学年第一学期期末考试高二数 学试卷2017.12注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．命题单位：滨湖区教研发展中心 审核：无锡市教育科学研究院一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．） 1．直线0x c +=的倾斜角的大小为 ▲ ．2．（文）命题“对任意的3210R x x x ∈-+，…”的否定是 ▲ ．（理）设(1,3,2)a =- ，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数m n -= ▲ ．3．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面 直线1BC 与AC 所成的角为 ▲ ．4．以1x =为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．5. 已知命题p : 多面体ABCD 为正三棱锥，命题q :多面体ABC D 为正四面体，则命题p 是命题q 的 ▲ 条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）6．若一个正六棱柱的底面边长为a ，侧面对角线的长为2a ，则它的体积为 ▲ ． 7. 函数()2cos (02)f x x x xπ=+剟的单调递减区间为 ▲ ．8．若双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为8，点(1,M 在其渐近线上，则C 的方程为 ▲ ．9．如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 ▲ ．10．已知点P 在抛物线28=y x 上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则P A P F + 的最小值是 ▲ ． 11. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆22+195x y =的左焦点F 发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点 F ，则光线所经过的总路程为 ▲ ．12. 已知,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ① 若,l αββ⊥⊥，则l α∥；② 若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥； ③ 若αγβγ⊥，∥，则αβ⊥；④ 若m α⊂，n α⊂，m β∥，n β∥，则βα//. 其中所．有．正确命题的序号是 ▲ ． 13．设k ∈R ，过定点A 的动直线0kx y +=和过定点B 的动直线20x ky k -+=交于点C 1D 1B 1A 1DCBA(,)(0)M x y x >，若2M B M A =，则点M 的坐标为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最大值是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） 设直线1:210l x y +-=，2:20l x y -+=，3:360l x my +-=． （1）若直线1l ，2l ，3l 交于同一点，求m 的值；（2）设直线l 过点(2,0)M ，若l 被直线1l ，2l 截得的线段恰好被点M 平分，求直线l 的方程．16. （本题满分14分）如图，在四面体PABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，PA AC =，90ACB ∠= ，D 为PC 的中点．（1）求证：AD BD ⊥；（2）若M 为PB 的中点，点N 在直线AB 上，且:1:2AN NB =， 求证：直线AD //平面CMN ． 17．（本题满分14分）MPNABDC（文科班选做此题）已知R m ∈，命题:p {m |方程221821y x mm =--+表示焦点在y 轴上的椭圆}，命题:q {m |方程22112y x m m =+-+表示双曲线}，若 命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数m 的取值范围．（理科班选做此题）如图，已知正方形ABCD 和矩形 ACEF所在平面互相垂直，AB =1AF =． （1）求二面角B DE C --的大小； （2）求点F 到平面BDE 的距离.18. （本题满分16分）已知圆C 的圆心为2(,)2t C t a(,0)R t t ∈≠，过定点(0,)A a (0)a >，且与x 轴交于点B ，D ．（1）求证：弦长BD 为定值；（2）设12a =，t 为整数，若点C 到直线260x y +-=，求圆C 的方程．19．（本题满分16分）BEFDCA已知函数32()(2)f x ax a x =-+（a 为实数）.（1） 若函数()f x 在1x =处的切线与直线60x y ++=平行，求实数a 的值； （2） 若1a =，求函数()f x 在区间[1,3]上的值域；（3） 若函数()f x 在区间[1,3]上是增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分16分）设动点M 是圆229x y +=上任意一点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，若点P 在线段MN 上，且满足2NPPM=． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线l 与C 交于A ，B 两点，点Q 坐标为(0,2)，若直线QA ，QB 的斜率之和为定值3，求证：直线l 必经过定点，并求出该定点的坐标．无锡市2017年秋学期期末考试参考答案及评分标准 2017.12高二数学一、填空题 (每空5分，共70分)1. 30°2. （文）32,10x x x ∃∈-+>R （理）83. 60°4. 24x y =-5. 必要不充分6. 392a 7. 5[,]66ππ 8.221412x y -= 9.35 10. 7 11.12 12. ②③ 13. 42(,)55 14. 11()2e e+ 二、解答题（共90分）15. 解：（1）解21020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，，得交点15(,)33C -． …………………………………3分直线123l l l ，，交于同一点，则点C 在直线3l 上，则153()6=033m -+-，解得21=5m ．…………………………………………………6分（2）设1l 上一点A (a ，1-2 a )，则点A 关于M （2，0）的对称点B (4-a ，2 a -1) ．………………………………………………………………………………………8分由点B 在2l 上，代入得4(21)20a a ---+=，∴a =73，∴711()33A ，-．………11分 直线l 过两点A 、M ，斜率为-11，∴ 直线l 的方程为11220x y +-=． ………14分16. 证明：(1) ∵PA=AC ，D 为PC 的中点，∴AD ⊥PC ． …… ………………………1分 ∵ PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴ PA ⊥BC ．∵ ∠ACB=90°，BC ⊥AC ，且PA AC =A ， ,PA AC ⊂平面PAC ∴ BC ⊥平面PAC ． ……………………………………………………………………3分 ∵ AD ⊂平面PAC ， ∴ BC ⊥AD ．……………………………………………………4分 且,,,AD PC AD PC D PC BC ⊥=⊂ 平面PBC ，∴AD ⊥平面PBC ． ………………………………… …………………………………6分 ∵ BD ⊂平面PBC ，∴AD ⊥BD ． ……………………………………………………7分 （2） 连接DM ，设BD 与CM 交于点G ，连接N G ，∵ D 、M 为中点，∴DM //BC 且12DM BC =，………………………………………9分∴ DG :GB=DM :BC =1:2．∵ AN :NB=1:2，∴AN :NB= DG:GB ．………………………………………………11分∴ △BNG ∽△BAD ，∴AD//NG ，∵AD ⊄平面CMN ，NG ⊂平面CMN ，∴ 直线AD //平面CMN ． …………………………………………………………14分17. （文科）解：命题p ：8210m m ->->，132m <<； …………………………2分 命题q ：（1m +）（2m -）<0, 12m -<<,………………………………………4分 命题p 且q:122m <<． ………………………………………………………………6分 由命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，则p 、q 一个为真命题，一个为假命题，……8分则13212m m m ⎧<<⎪⎨⎪-⎩，或，剠或1321 2.m m m ⎧⎪⎨⎪-<<⎩或，剠………………………………………………12分 解得23m <…或112m -<…． 所以实数m 的取值范围是1(1,][2,32- ）． ………………………………………14分 17. （理科）解： 正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B，0，0）， C0）， D （00），E1），F （0，0，1）．…………………………………………………1分（1）设平面CDE 的法向量为1=(0,1,0)h ，平面BDE 的法向量2=(,,)h x y z， ………2分由220,0.h BD h BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得2(1,1,h = . ………………………………………………4分 ∴1212121cos ,2||||h h h h h h ⋅<>==，………………………………………………………6分∴ 二面角 B —DE —C 等于60°． ……………………………………………………7分（2）2(1,1,FE h == ，…………………………………………………8分222cos ,||||EF h EF h EF h ⋅<>==， …………………………………………10分||2EF = ．设点到平面BDF 的距离为h ，则2cos ,.||hEF h EF <>=……………12分∴h =F 到平面BDE……………………14分18. 解：（1）圆C 的方程：222222()())22t t x t y t a a a-+-=+-（， ………………………3分 令y =0，得22()=x t a -，故=x t a -±，1=+x t a ，2=x t a -．…………………6分 弦长M N=21||x x -=2 a 为定值．……………………………………………………7分（2）∵点C 到直线260x y +-=的距离为2d ==，………………9分∴ 2+26t t -=2±，解得=1t - t =2或t =-4．……………………………13分 由t 为整数，∴ t =2或t =-4． …………………………………………………14分 ∴ 圆C 的方程为2265(2)(4)4x y -+-=和221025(+4)(16)4x y +-=． ………16分19. 解：(1)2()32(2)f x ax a x '=-+，(1)32(2)1f a a '=-+=-，解得3a =． ……………………………………4分（2）1a =时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =或2，………………………………6分………………………8分又(1)2f =-，(2)4f =-，(3)0f =，所以()f x 在[1,3]上的值域为[4,0]-．……10分 （3）2()32(2)f x ax a x '=-+，由()f x 在区间[1,3]上是增函数，则2()32(2)f x ax a x '=-+…0对于1≤x ≤3恒成立，所以(32)4a x -…．…………12分因320x ->，故432a x -…，记4()32g x x =-，则max ()a g x …，……………………14分而函数()g x 在[1,3]上为减函数，则max ()(1)4g x g ==，所以a …4． 所以a 的取值范围是[4,)+∞. ………………………………………………………16分20. 解：（1）设点P 、M 的坐标分别为 (x ，y )、 (x 0，y 0)，由2NP PM =，得00,,23x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴00,3.2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………3分由点M 在圆229x y +=上，故22009x y +=，代入得22994x y +=．…………5分 ∴ 点P 的轨迹C 的方程为 22194x y +=． ………………………………………6分 （2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为：0x x =， 设A ，B 两点的坐标分别为 (x 0，y 0)、(x 0，-y 0)， 由题意3QA QB k k +=，得0000223y y x x ---+=，解得043x =-， 所以直线l 的方程为：43x =-．……………………………………………………8分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=kx+b ，与C 联立， 消元得222(49)189(4)0k x bkx b +++-=． 设A ，B 两点的坐标分别为 (x 1，y 1)、 (x 2，y 2)，则1221849bkx x k -+=+，212294)=49b x x k -+（（*）． ……………………………………10分由题意3QA QB k k +=，得1212223y y x x --+=． 将y 1=kx 1+b 和y 2=kx 2+b 代入上式，可得121122)3k b x x +-+=（（）, 所以121222)3x x k b x x ++-=（．（**） ……………………………………………12分 将（*）代入（**），化简得2232bk k b -=+，解得3+24b k =（）， 代入直线l 方程，得3+233(1)442b y x b b x x =+=++（）． ……………………14分 不论b 怎么变化，当314x +=0即x =43-时，2y =-． …… ………………… 15分综上所述，直线l 恒过定点4(,2)3--． ………………………………………… 16分。
江苏省无锡市20162017学年高二(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为．2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为米/秒2．3．圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是．4．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．5．设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为．6．若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为．9．给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是．10．设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．11．（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是．13．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．14．已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为．15．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ ∥平面APD．18．（14分）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．19．（16分）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．20．（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．21．（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a 的取值范围．22．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．2016-2017学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共15小题，每小题5分，共70分）.1．若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，则实数a的值为3．【考点】直线的倾斜角．【分析】由题中线的倾斜角和斜率的关系得到a．【解答】解：因为直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°，所以直线的斜率为tan45°=a﹣2=1，所以a=3；故答案为：3．【点评】本题考查了直线的倾斜角．直线的倾斜角为α，那么它的斜率为tanα（α≠90°）．2．设一辆汽车在公路上做加速直线运动，假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒，则在2秒是加速度为12米/秒2．【考点】变化的快慢与变化率．【分析】利用导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），然后利用导数求解即可．【解答】解：∵v（t）=3t2﹣1，∴v'（t）=6t，根据导数的物理意义，可知t=2时物体的加速度为即为v'（2），∴v'（2）=6×2=12，故答案为：12．【点评】本题主要考查导数的物理意义，以及导数的基本运算，比较基础．3．圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把两个圆的方程化为标准方程，分别求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距为5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，可得两个圆的位置关系为相交．【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0，即（x+2）2+（y﹣2）2 =16，表示以（﹣2，2）为圆心、半径等于4的圆．圆x2+y2﹣2x+4y+1=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=4，表示以（1，﹣2）为圆心、半径等于2的圆．两个圆的圆心距为d==5，大于两圆的半径之差而小于半径之和，故两个圆的位置关系为相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系的判定方法，属于基础题．4．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1=2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由CC1∥BB1，知∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA1=2AB=2，则B1D1=，BB1=2，∴tan∠B1BD1==．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．设两条直线x+y﹣2=0，3x﹣y﹣2=0的交点为M，若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为（﹣1，3）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】求出两条直线的交点坐标，以及圆的圆心的距离小于半径，求解即可得答案．【解答】解：由题意可知：，解得，交点（1，1），交点M在圆（x﹣m）2+y2=5的内部，可得（1﹣m）2+1＜5，解得﹣1＜m＜3．∴实数m的取值范围为：（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题考查点与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是基础题．6．若点A（﹣6，y）在抛物线y2=﹣8x上，F为抛物线的焦点，则AF的长度为8．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线y2=﹣8x的准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|的值．【解答】解：由于抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），其准线方程为x=2，该抛物线的一点A到y轴距离为6，则点A到准线的距离为6+2=8，再由抛物线的定义可得|AF|=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．7．已知一个圆锥的侧面积是50πcm2，若母线与底面所成角为60°，则此圆锥的底面半径为5．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，利用圆锥的侧面积是50πcm2，求出此圆锥的底面半径．【解答】解：设圆锥的底面半径为R，则母线长为2R，∵圆锥的侧面积是50πcm2，∴50π=π×R×2R，解得R=5cm．故答案为5．【点评】本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．8．如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3大小关系为S2＜S3＜S1．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，由此能比较S1，S2，S3大小．【解答】解：设球的半径为R，正方体的棱长为a，等边圆柱的底面半径为r，且它们的体积都为V，则V=，解得，a=，r=，∴S1=6×a2=6（）2=6=，S2=4πR2=4π（）2=，S3=2π=．∴S2＜S3＜S1．故答案为：S2＜S3＜S1．【点评】本题考查正方体、球与等边圆柱的表面积的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意正方体、球与等边圆柱的体积和表面积的性质的合理运用．9．给出下列三个命题：①若命题p：2是实数，命题q：2是奇数，则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x），若f′（x0）=0，则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件．则真命题的序号是①．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，由命题p为真，得p或q为真命题；②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值；③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行；【解答】解：对于①，因为命题p为真，∴p或q为真命题，故正确；对于②，例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0，但f（0）不是f（x）的极值，故错；对于③，当a=0时，直线l1：：x+ay﹣3=0，l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行，故错；故答案为：①【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．10．（文）设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x），则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】先求导，再代值计算即可．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x）=cosx+2sinx，∴f′（）=cos+2sin=﹣+2×=，故答案为：【点评】本题考查了导数的运算法则和导数值得求法，属于基础题．11．（2016秋•无锡期末）（理）设向量=（2，2s﹣2，t+2），=（4，2s+1，3t﹣2），且∥，则实数s+t=．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴存在实数k，使得=k，则，解得k=，s=，t=6．∴s+t=．故答案为：．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是③④．【考点】棱柱的结构特征．【分析】正四面体的平面展开图还原成正四面体，利用数形结合思想能求出结果．【解答】解：正四面体的平面展开图还原成正四面体，如图：在①中，GH与EF是异面直线，故①错误；在②中，BE与MN相交于点N，故②错误；在③中，∵GH∥AD，∴GH与AF成60°角，故③正确；在④中，∵MN∥AF，∴MN∥平面ADF，故④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线，切点为M，延长FM交双曲线右支于点P，若M为FP的中点，则双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出简图，由图中可得线段的长，从而得到b=2a，进而求双曲线的离心率．【解答】解：如图|OF|=c，|OM|=a，|FG|=2c；∴|F|=b，又∵M为PF的中点，|PG|=2|OM|=2a，|PF|=2b，∴|PF|﹣|PG|=2b﹣2a=2a；∴b=2a，∴c=a，∴e==．故答案为．【点评】本题考查了学生的作图能力及分析转化的能力，考查了学生数形结合的思想应用，同时考查了双曲线的定义，属于中档题．14．已知f（x）=ax+，g（x）=e x﹣3ax，a＞0，若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则实数a的取值范围为[，+∞）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】对任意的x∈（0，1），f（x）的值域为（2a，+∞），要使∃x2∈R，使f（x1）=g（x2），则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，对a进行分类讨论，得出a的范围．【解答】解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+为减函数，由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞），若若对∀x1∈（0，1），存在x2∈（1，+∞），使得方程f（x1）=g（x2）总有解，则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，令g′（x）=e x﹣3a=0，则e x=3a，即x=ln3a，若ln3a≤1，即3a≤e，此时g（x）＞g（1）=e﹣3a，此时由e﹣3a≤2a得：≤a≤，若ln3a＞1，即3a＞e，g（x）=（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数，此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为[，+∞）故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查了全称命题，对数函数的图象和性质，利用导数研究函数的最值，难度中档．15．已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C为圆心）的周长，设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，过点P（6，9）作l的垂线，垂足为H，则线段CH长度的取值范围是[] ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】确定直线过定点M（4，﹣5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50，即可求出线段CH长度的取值范围．【解答】解：由题意，圆心C（1，﹣2）在直线ax+by+c=0上，可得a﹣2b+c=0，即c=2b﹣a．直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0，即a（2x+y﹣3）+b（4﹣x）=0，由，可得x=4，y=﹣5，即直线过定点M（4，﹣5），由题意，H在以PM为直径的圆上，圆心为A（5，2），方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50，∵|CA|=4∴CH最小为5=，CH最大为4，∴线段CH长度的取值范围是[]．故答案为[]．【点评】本题考查直线过定点，考查线段CH长度的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、解答题：本大题共7小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（14分）（2016秋•无锡期末）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0．（1）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线l2的方程．【考点】待定系数法求直线方程；两条平行直线间的距离．【分析】（1）若l1∥l2，求出m的值，即可求l1，l2之间的距离；（2）表示直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，配方法求出最大，即可求直线l2的方程．【解答】解：（1）若l1∥l2，则，∴m=6，∴l1：x﹣2y﹣1=0，l2：x﹣2y﹣6=0∴l1，l2之间的距离d==；（2）由题意，，∴0＜m＜3，直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m（3﹣m）=+，∴m=时，S最大为，此时直线l2的方程为2x+2y﹣3=0．【点评】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（14分）（2016秋•无锡期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB且AD=AB=BP=BC．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上，若AC与BD交于点O，且AP∥平面BDQ，求证：OQ ∥平面APD．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明CD⊥PB，CD⊥BD，即可证明CD⊥平面PBD；（2）证明AP∥OQ，即可证明OQ∥平面APD．【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD，PB⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴PB⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PB，∵AD=AB=BC，∠BAD=90°，∴BD=AD，BC=2AD，∠DBC=45°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥BD，∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；（2）∵AP∥平面BDQ，∴AP∥OQ，∵OQ⊄平面APD，AP⊂平面APD，∴OQ∥平面APD．【点评】本题考查空间线面平行、垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）（2016秋•无锡期末）已知直线l：y=2x+n，n∈R，圆M的圆心在y轴，且过点（1，1）．（1）当n=﹣2时，若圆M与直线l相切，求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′，试问直线l′与抛物线N：x2=6y是否相切？如果相切，求出切点坐标；如果不想切，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）利用待定系数法，求出圆的圆心与半径即可得到圆的标准方程．（2）求出对称直线的方程与抛物线联立方程组，利用相切求解即可．【解答】解：（1）设M的方程为x2+（y﹣b）2=r2，（1，1）代入，可得1+（1﹣b）2=r2，①∵直线l与圆M相切，∴=r，②由①②可得b=3或，∴M的方程为x2+（y﹣3）2=5，或x2+（y﹣）2=，（2）因为直线l的方程为y=2x+n所以直线l′的方程为y=﹣2x+n．与抛物线联立得x2+12x﹣6n=0．△=144+24n①当n=﹣6，即△=0时，直线l′与抛物线C相切；，切点坐标为（﹣6，6）②当n≠﹣6，即△≠0时，直线l′与抛物线C不相切．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求法，以及对称知识的应用，考查分析问题解决问题的能力．19．（16分）（2016秋•无锡期末）（文科）已知m∈R，集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆}，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，求a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】通过讨论a的范围，分别求出关于A、B的不等式的解集，结合集合的包含关系，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：对于集合A，由m2﹣am＜12a2，故（m﹣4a）（m+3a）＜0，对于集合B，解，解得：﹣4＜m＜2；①a＞0时，集合A：﹣3a＜m＜4a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：0＜a＜；②a＜0时，集合A：a＜m＜﹣3a，若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件，则，解得：﹣＜a＜0，综上：a∈（﹣，0）∪（0，）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的运算以及不等式问题，是一道中档题．20．（2016秋•无锡期末）（理科）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且=λ．（1）若λ=，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线DE与CD1所成角的余弦值．（2）求出平面CD1E的法向量和平面CDE的法向量，利用向量法能求出结果．【解答】解：（1）设正方体的棱长为1，分别以DA、DC、DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），O（，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），D（0，0，0），设E（x0，y0，z0），∵=，∴=，∴（x0，y0，z0﹣1）=（，，﹣x0），解得x0=，y0=，z0=，E（，，），∴=（，，），CD1=（0，﹣1，1），∴cos＜，＞==，∴异面直线DE与CD1所成角的余弦值为．（2）设平面CD1E的法向量为=（x，y，z），=（，0），=（0，﹣1，1），=（0，1，0），则，取z=1，得=（1，1，1），由=λ，得E（，，），=（，，），设平面CDE的法向量=（x，y，z），则，取x=﹣2，得=（﹣2，0，λ），∵二面角D1﹣CE﹣D为π，∴|cos|==，∵λ＜2，解得λ=8﹣2．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（16分）（2016秋•无锡期末）已知函数f（x）=lnx+﹣2，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0，求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，求正实数a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，根据切线方程求出a的值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调区间，从而求出g（x）的最小值，求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣，f′（1）=1﹣a，f（1）=a﹣2，故曲线y=f（x）在（1，f（1））处的曲线方程是：y﹣（a﹣2）=（1﹣a）（x﹣1），即（a﹣1）x+y﹣2a+3=0，又曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为：2x+y﹣3=0，故a=3；（2）由于f′（x）=，①若a≤0，对于x∈（0，+∞），f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，+∞）递增，故函数的递增区间是（0，+∞）；②若a＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（3）a＞0时，直线即y=﹣（a+1）x+2（a﹣1），令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]=lnx++（a+1）x﹣2a，g′（x）=，∵a＞0，x＞0，∴a+1＞0，x+1＞0，且∈（0，1），当0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）在（0，）递减，x＞时，g′（x）＞0，g（x）在（，+∞）递增，故x=时，g（x）取得最小值ln+a+1+a﹣2a=1+ln，∵曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方，故g（x）≥0，故g（x）min=1+ln＞0，＞，a＞，故a的范围是（，+∞）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22．（16分）（2016秋•无锡期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，过C的左焦点F1，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是点C上异于A，B的任意一点，直线AP交直线l于点Q．①设直线OQ，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；②当点P运动时，试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由离心率e，可得a2=4b2，由过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，可得=1，解出即可得出．（2）①由椭圆方程求出两个顶点A的坐标，设出P点坐标，写出斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；②以BP为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x0）+y（y﹣y0）=0，把点Q代入得到方程左边大于0，即可判断Q与以BP为直径的圆外．【解答】解（1）：由离心率e===，可得a2=4b2，∵过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1，∴=1，解得b=1，a=2，∴椭圆C方程为+y2=1．（2）①证明：令P（x0，y0），点A（﹣2，0）则直线PA的方程为y=（x+2），令x=2，得y=，则Q点的坐标为（2，）∴k1=，k2=．∴k1•k2=，∵P（x0，y0）满足+y2=1，则∴k1•k2=﹣，②以BP为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x0）+y（y﹣y0）=0，把Q点（2，）代入方程左边，得（﹣y0）=4=4•=4•．（*），∵x0∈（﹣2，2），∴x0+2＞0，∴（*）＞0，∴Q与以BP为直径的圆外，【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
江苏省无锡市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B=．2．函数的最小正周期为．3．若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=．4．在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=．6．已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．7．已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．8．函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣，]的值域为．9．在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=x+y，则x+y=．10．将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=．11．若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是．12．若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是．14．若函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．16．设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．17．某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a•b x．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．18．已知函数f（x）=（）x﹣2x．（1）若f（x）=，求x的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．19．已知t为实数，函数f（x）=2log a（2x+t﹣2），g（x）=log a x，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．20．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．设全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（∁U A）∪B={0，2，3} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与并集的定义，写出运算结果即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U A={0，3}，所以（∁U A）∪B={0，2，3}．故答案为：{0，2，3}．2．函数的最小正周期为π．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数，∵ω=2，∴T==π．故答案为：π3．若函数f（x）=，则f（f（﹣2））=5．【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，从而f（f（﹣2））=f（3），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2﹣1=3，f（f（﹣2））=f（3）=3+2=5．故答案为：5．4．在平面直角坐标系xOy中，300°角终边上一点P的坐标为（1，m），则实数m的值为﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，可得tan300°=﹣=，从而求得m的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，∵300°角终边上一点P的坐标为（1，m），∴tan300°=tan=﹣tan60°=﹣=，∴m=﹣，故答案为：﹣．5．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（）=4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=xα的图象过点（，），∴=，解得：α=﹣2，故f（x）=x﹣2，f（）==4，故答案为：4．6．已知向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，则与的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ的值，可得与的夹角θ 的值．【解答】解：∵向量与满足||=2，||=3，且•=﹣3，设与的夹角为θ，则cosθ===﹣，∴θ=，故答案为：．7．已知sin（α+π）=﹣，则sin（2α+）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据诱导公式和二倍角公式计算即可．【解答】解：∵sin（α+π）=﹣，∴sinα=，∴sin（2α+）=cos2α=1﹣2sin2α=1﹣=，故答案为：．8．函数y=log2（3cosx+1），x∈[﹣，]的值域为[0，2] ．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据x∈[﹣，]，得出1≤3cosx+1≤4，利用对数函数的性质，即可得出结论．【解答】解：∵x∈[﹣，]，∴0≤cosx≤1，∴1≤3cosx+1≤4，∴0≤log2（3cosx+1）≤2，故答案为[0，2]．9．在△ABC中，E是边AC的中点，=4，若=x+y，则x+y=﹣．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由E是边AC的中点，=4，可得=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．【解答】解：∵E是边AC的中点，=4，∴=，所以x=﹣，y=，x+y=﹣．故答案为：﹣．10．将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），那么所得图象的解析式为y=sin（4x+）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先求函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，图象的函数表达式，再求图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式．【解答】解：将函数y=sin（2x﹣）的图象先向左平移，得到函数y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象，将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为：y=sin（4x+）故答案为：sin（4x+）．11．若函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，则实数a的取值范围是（0，2）．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由条件利用二次函数的性质可得，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣ax+2a﹣4的一个零点在区间（﹣2，0）内，另一个零点在区间（1，3）内，∴，求得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．12．若=1，tan（α﹣β）=，则tanβ=．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]的值．【解答】解：∵═==，∴tanα=，又tan（α﹣β）=，则tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===，故答案为：．13．已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2] ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式，利用数形结合以及一元二次函数的性质进行求解即可．【解答】解：如x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=4x﹣x2，∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣4x+x2，∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，且f（﹣x）=﹣4x+x2=﹣f（x），则f（x）=4x+x2，x＜0，则函数f（x）=，则当x＞0，f（x）=4x﹣x2=﹣（x﹣2）2+4≤4，当x＜0，f（x）=4x+x2=（x+2）2﹣4≥﹣4，当x＜0时，由4x+x2=4，即x2+4x﹣4=0得x==﹣2﹣2，（正值舍掉），若函数f（x）在区间[t，4]上的值域为[﹣4，4]，则﹣2﹣2≤t≤﹣2，即实数t的取值范围是[﹣2﹣2，﹣2]，故答案为：[﹣2﹣2，﹣2]14．若函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞1）在区间[π，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[，] ．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得ω≤2，区间[π，]内的x值满足kπ+≤ωx+≤kπ+π，k∈z，求得k+≤ω≤（k+），k∈z，再给k取值，进一步确定ω的范围．【解答】解：∵函数f（x）=|sin（ωx+）|（ω＞0）在[π，π]上单调递减，∴T=≥，即ω≤2．∵ω＞0，根据函数y=|sinx|的周期为π，减区间为[kπ+，kπ+π]，k∈z，由题意可得区间[π，]内的x值满足kπ+≤ωx+≤kπ+π，k∈z，即ω•π+≥kπ+，且ω•+≤kπ+π，k∈z．解得k+≤ω≤（k+），k∈z．求得：当k=0时，≤ω≤，不符合题意；当k=1时，≤ω≤；当k=2时，≤ω≤，不符合题意．综上可得，≤ω≤，故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知向量=（﹣3，1），=（1，﹣2），=+k（k∈R）．（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；（2）若向量=（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由与向量2﹣垂直，可得•（2﹣）=0，解得k．（2）利用向量共线定理即可得出．【解答】解：（1）=+k=（﹣3+k，1﹣2k），2﹣=（﹣7，4）．∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）=﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）=0，解得k=．（2）k+=（k+1，﹣2k﹣1），∵与向量k+平行，∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）=0，解得k=．16．设α∈（0，），满足sinα+cosα=．（1）求cos（α+）的值；（2）求cos（2α+π）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用两角和的正弦公式求得sin（α+）的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+）的值．（2）利用二倍角公式求得cos（2α+）的值，可得sin（2α+）的值，从而求得cos（2α+π）=cos[（2α+）+]的值．【解答】解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=﹣=．17．某机构通过对某企业2016年的生产经营情况的调查，得到每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的部分数据如表：（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述y与x的变化关系，并说明理由，y=ax3+b，y=﹣x2+ax+b，y=a•b x．（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）由题意知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数，排除另2个函数，选二次函数模型进行描述；（2）由二次函数的图象与性质，求出函数y=﹣x2+10x+220在x取何值时有最小值．【解答】解：（1）由题目中的数据知，描述每月利润y（单位：万元）与相应月份数x的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数y=﹣x2+ax+b进行描述；（2）将（1，229），（4，244）代入y=﹣x2+ax+b，解得a=10，b=220，∴y=﹣x2+10x+220，1≤x≤12，x∈N，+y=﹣（x﹣5）2+245，∴x=5，y max=245万元．18．已知函数f（x）=（）x﹣2x．（1）若f（x）=，求x的值；（2）若不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）对所有θ∈[0，]都成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值．【分析】（1）由f（x）=（）x﹣2x=可求得2x=，从而可求得x的值；（2）由f（x）=（）x﹣2x可判断f（x）为奇函数，且为减函数，不等式f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）⇔2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，分离参数m，利用函数的单调性可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）令t=2x＞0，则﹣t=，解得t=﹣4（舍）或t=，…3分，即2x=，所以x=﹣2…6分（2）因为f（﹣x）=﹣2﹣x=2x﹣=﹣f（x），所以f（x）是定义在R上的奇函数，…7故f（0）=0，由f（2m﹣mcosθ）+f（﹣1﹣cosθ）＜f（0）=0得：f（2m﹣mcosθ）＜f（1+cosθ） (8)分，又f（x）=（）x﹣2x在R上单调递减，…9分，所以2m﹣mcosθ＞1+cosθ对所有θ∈[0，]都成立，…10分，所以m＞，θ∈[0，]，…12分，令μ=cosθ，θ∈[0，]，则μ∈[0，1]，y==﹣1+，μ∈[0，1]的最大值为2，所以m的取值范围是m＞2 (16)分19．已知t为实数，函数f（x）=2log a（2x+t﹣2），g（x）=log a x，其中0＜a＜1．（1）若函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为，求实数a的值．【考点】函数单调性的判断与证明；对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据偶函数的定义可得k的值；（2）构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），根据对数函数的图象和性质可得，只需要t＞﹣2x++2恒成立，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2log a（2x+2）|=2，得到x=或，即可得到n﹣m的最小值为（﹣）﹣=，求出a即可．【解答】解：（1）∵函数y=g（a x+1）﹣kx是偶函数，∴log a（a﹣x+1）+kx=log a（a x+1）﹣kx，对任意x∈R恒成立，∴2kx=log a（a x+1）﹣log a（a﹣x+1）=log a（）=x∴k=，（2）由题意设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=2log a （2x +t ﹣2）﹣log a x ＜0在x ∈[1，4]恒成立，∴2log a （2x +t ﹣2）＜log a x ， ∵0＜a ＜1，x ∈[1，4]，∴只需要2x +t ﹣2＞恒成立，即t ＞﹣2x ++2恒成立，∴t ＞（﹣2x ++2）max ，令y=﹣2x ++2=﹣2（）2++2=﹣2（﹣）2+，x ∈[1，4]，∴（﹣2x ++2）max =1，∴t 的取值范围是t ＞1， （3）∵t=4，0＜a ＜1，∴函数y=|f （x ）|=|2log a （2x +2）|在（﹣1，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，∵当x ∈[m ，n ]时，函数y=|f （x ）|的值域为[0，2]，且f （﹣）=0，∴﹣1＜m ≤≤n （等号不同时取到），令|2log a （2x +2）|=2，得x=或，又[﹣（﹣）]﹣[（﹣）﹣]=＞0，∴﹣（﹣）＞（﹣）﹣，∴n ﹣m 的最小值为（﹣）﹣=，∴a=．20．已知向量=（cos ，sin），=（cos ，﹣sin ），函数f （x ）=•﹣m |+|+1，x ∈[﹣，]，m ∈R ．（1）当m=0时，求f （）的值；（2）若f （x ）的最小值为﹣1，求实数m 的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】函数零点的判定定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数f（x）即可．（2）求出函数f（x）的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sinsin=cos（+）=cos2x，当m=0时，f（x）=•+1=cos2x+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵x∈[﹣，]，∴|+|===2cosx，则f（x）=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，令t=cosx，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或，∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．2017年1月25日。
数学2016-2017学年度第一学期期末考试试题
2016－2017学年度第一学期期末考试试题一、细心选一选.（每小题3分，共30分）1．在下列各式的计算中，正确的是 （ ）．A ．5x 3·（-2x 2）=-10x 5B ．4m 2n-5mn 2 = -m 2nC ．(-a)3÷(-a) =-a 2D ．3a+2b=5ab2．点M 1（a-1，5）和M 2(2,b-1)关于x 轴对称,则a,b 的值分别为（ ）．A ．3，－2B ．－3，2C ．4，－3D ．3，－4 3．下列图案是轴对称图形的有 （ ）．A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列说法正确的是( )．A ．等腰三角形任意一边的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．等腰三角形的一边不可以是另一边的两倍D ．等腰三角形的两底角相等5．如图所示,下列图中具有稳定性的是( )．6．下列各组线段中，能组成三角形的是（ ）．A ． a=2，b=3，c=8B ．a=7，b=6，c=13C ． a=12，b=14，c=18D ．a=4，b=5，c=67．下列多项式中，能直接用完全平方公式因式分解的是（ ）．A. x 2+2xy- y 2B. -x 2+2xy+ y 2C. x 2+xy+ y 2D. 42x -xy+y 28．在△ABC 和△DEF 中，给出下列四组条件：（1） AB=DE, BC=EF, AC=DF（2） AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF （3）∠B=∠E , BC=EF, ∠C=∠FDC B A（4） AB=DE, AC=DF, ∠B=∠E 其中能使△ABC ≌△DEF 的条件共有 ( ).A.1组B.2组C.3组D.4组9．已知 a=833， b=1625, c=3219, 则有（ ）.A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b10．如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠A 的平分线交BC 于D ．过C 点作CG ⊥AB 于G, 交AD 于E, 过D 点作DF ⊥AB 于F.下列结论：（1）∠CED=∠CDE （2）∠ADF=2∠FDB （3）CE=DF （4）△AEC 的面积与△AEG 的面积比等于AC:AG其中正确的结论是（ ）.A ．（1）（3）（4）B ．（2）（3）C ．(2) (3)（4）D ．(1)(2)(3)(4)二、耐心填一填.（每小题3分，共30分）11．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为0.00000156m ，这个数用科学记数法表示为__________ m. 12. 如果把分式yx x＋2中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值 ． 13.已知ab=1，m =a ＋11+b＋11 ,则m 2016的值是 . 14．如果一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1260°，那么这个多 边形为 边形．15．如图，若△ACD 的周长为19cm , DE为AB 边的垂直平分线,则 AC+BC= cm.16．若（x-1）0-2(3x-6)-2有意义，则x 的取值范围是 .17．如图，在直角△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，将AB 边沿AD 折叠， 发现B 的对应点E 正好在AC 的垂 直平分线上，则∠C= .18．如图，在△ABC 中,∠A=50°，点D 、E 分别在AB ，AC 上，EF 平分∠CED ，DF 平分∠BDE ，则 ∠F = ．19．已知等腰△ABC ，AB=AC,现将△ABC 折叠，使A 、B 两点重合，折痕所在的直 线与直线AC 的夹角为40°，则∠B 的 度数为 ．E DCBAGFEDCBAF EDC BA EDCBA20．如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 在AB 上，过点D 作DE ⊥AC 于E ，在BC 上取一点F ， 且点F 在DE 的垂直平分线上，连接DF ， 若∠C=2∠BFD ，BD=5，CE=11，则BC 的 长为 ． 三、用心答一答.（60分） 21．（9分）(1) 分解因式： 8xy+ (2x-y)2（2）先化简，再求值：(a+b)2- b(2a+b)- 4b ，其中a=-2， b=-43；（3）先化简，再求值：（4482＋－＋x x x -x －21）÷xx x 232－＋，其中 x=-222．（6分）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长为1，点A 、点B 和点C 在小正方形的顶点上， 请在图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：（1）在图1中画出以A 、B 、C 和D 为顶点的四边形，此四边形为轴 对称图形，并画出一条直线将此四边形分割为两个等腰三角形；（2）在图2中画出以A 、B 、C 和E 为顶点的四边形，此四边形为 轴对称图形，并画出此四边形的对称轴； （3）两个轴对称图形不全等．FEDCB A图1图223．（9分）已知关于x 的方程21＋＋x x - 1-x x = ）（＋1-)2(x x a的解是正数， 求a 的取值范围.24．(6分) 如图，△ABC 与△ABD 都是等边三角形，点E 、F 分别在BC ，AC 上，BE=CF,AE 与BF 交于点G.（1）求∠AGB 的度数；（2）连接DG,求证：DG=AG+BG.25．（10分）百姓果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完；由于水果畅销，第二次购买时，每千克进价比第一次提高10%，用1452元所购买的数量比第一次多20kg ，以每千克9元出售100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果. （1）求第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该果品店在这次销售中，总体是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？G F E DC B A26．（10分）（1）已知3x =4y =5z ，求yx y z 5332＋－的值．（2）已知6122－－－x x x =2＋x A +3－x B，其中A 、B 为常数， 求2A+5B 的值．（3）已知 x+y+z ≠0，a 、b 、c 均不为0，且zy x＋=a, x z y ＋=b ， yx z ＋=c 求证：a a ＋1+b b ＋1+cc ＋1=127．（10分）如图1，AD//BC,AB ⊥BC 于B ，∠DCB=75°，以CD 为边的等边△DCE 的另一顶点E在线段AB 上.（1）求∠ADE 的度数； （2）求证：AB=BC ；（3）如图2，若F 为线段CD 上一点，∠FBC=30°，求DF:FC 的值.D图1E CBA D图2FE CBA。
江苏无锡市2017-2018学年第一学期期末考试高二数学试卷
江苏⽆锡市2017-2018学年第⼀学期期末考试⾼⼆数学试卷江苏⽆锡市2017-2018学年第⼀学期期末考试⾼⼆数学试卷2017.12注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分．命题单位：滨湖区教研发展中⼼审核：⽆锡市教育科学研究院⼀、填空题（本⼤题共14⼩题，每⼩题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．） 1．直线0x c +=的倾斜⾓的⼤⼩为▲．2．（⽂）命题“对任意的3210R x x x ∈-+，…”的否定是▲．（理）设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数 m n -=▲．3．如图，已知正⽅体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异⾯直线1BC 与AC 所成的⾓为▲．4．以1x =为准线的抛物线的标准⽅程是▲．5. 已知命题p : 多⾯体ABCD 为正三棱锥，命题q :多⾯体ABCD 为正四⾯体，则命题p 是命题q 的▲条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分⼜不必要”之⼀）6．若⼀个正六棱柱的底⾯边长为a ，侧⾯对⾓线的长为2a ，则它的体积为▲． 7. 函数()2cos (02)f x x x xπ=+剟的单调递减区间为▲．8．若双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为8，点(1,M 在其渐近线上，则C 的⽅程为▲．9．如果⼀个圆锥的侧⾯积与其底⾯积之⽐是5:3，那么该圆锥的母线与底⾯所成⾓的正弦值为▲．10．已知点P 在抛物线28=y x 上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(5,2)，则P A P F +的最⼩值是▲． 11. 椭圆具有如下的光学性质：从⼀个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另⼀个焦点．现从椭圆22+195x y =的左焦点F 发出的⼀条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点F ，则光线所经过的总路程为▲．12. 已知,,αβγ是三个互不重合的平⾯，l 是⼀条直线，给出下列四个命题：①若,l αββ⊥⊥，则l α∥；②若,l l αβ⊥⊥，则αβ∥；③若αγβγ⊥，∥，则αβ⊥；④若m α?，n α?，m β∥，n β∥，则βα//. 其中所．有．正确命题的序号是▲． 13．设k ∈R ，过定点A 的动直线0kx y +=和过定点B 的动直线20x ky k -+=交于点C 1B 1A 1DCBA(,)(0)M x y x >，若2MB MA =，则点M 的坐标为▲．14．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知P 是函数()ln (0)f x x x =>图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交x 轴于点E ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点F ，设线段EF 的中点T 的横坐标为t ，则t 的最⼤值是▲．⼆、解答题（本⼤题共6⼩题，共90分．解答时应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）设直线1:210l x y +-=，2:20l x y -+=，3:360l x my +-=．（1）若直线1l ，2l ，3l 交于同⼀点，求m 的值；（2）设直线l 过点(2,0)M ，若l 被直线1l ，2l 截得的线段恰好被点M 平分，求直线l 的⽅程．16. （本题满分14分）如图，在四⾯体PABC 中，已知PA ⊥平⾯ABC ，PA AC =，90ACB ∠=，D 为PC 的中点．（1）求证：AD BD ⊥；（2）若M 为PB 的中点，点N 在直线AB 上，且:1:2AN NB =，求证：直线AD //平⾯CMN ． 17．（本题满分14分）MPNABDC（⽂科班选做此题）已知R m ∈，命题:p {m |⽅程221821y x mm =--+表⽰焦点在y 轴上的椭圆}，命题:q {m |⽅程22112y x m m =+-+表⽰双曲线}，若命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数m 的取值范围．（理科班选做此题）如图，已知正⽅形ABCD 和矩形所在平⾯互相垂直，AB =1AF =．（1）求⼆⾯⾓B DE C --的⼤⼩；（2）求点F 到平⾯BDE 的距离.18. （本题满分16分）已知圆C 的圆⼼为2(,)2t C t a(,0)R t t ∈≠，过定点(0,)A a (0)a >，且与x 轴交于点B ，D ．（1）求证：弦长BD 为定值；（2）设12a =，t 为整数，若点C 到直线260x y +-=，求圆C 的⽅程．19．（本题满分16分）BEFDCA已知函数32()(2)f x ax a x =-+（a 为实数）.（1）若函数()f x 在1x =处的切线与直线60x y ++=平⾏，求实数a 的值；（2）若1a =，求函数()f x 在区间[1,3]上的值域；（3）若函数()f x 在区间[1,3]上是增函数，求a 的取值范围．20．（本题满分16分）设动点M 是圆229x y +=上任意⼀点，过M 作x 轴的垂线，垂⾜为N ，若点P 在线段MN 上，且满⾜2NPPM=．（1）求点P 的轨迹C 的⽅程；（2）设直线l 与C 交于A ，B 两点，点Q 坐标为(0,2)，若直线QA ，QB 的斜率之和为定值3，求证：直线l 必经过定点，并求出该定点的坐标．⽆锡市2017年秋学期期末考试参考答案及评分标准 2017.12⾼⼆数学⼀、填空题 (每空5分，共70分)1. 30°2. （⽂）32,10x x x ?∈-+>R （理）83. 60°4. 24x y =-5. 必要不充分6. 392a 7. 5[,]66ππ 8. 221412x y -= 9.3510. 7 11.12 12. ②③ 13. 42(,)55 14. 11()2e e+ ⼆、解答题（共90分）15. 解：（1）解21020x y x y +-=??-+=?，，得交点15(,)33C -． …………………………………3分直线123l l l ，，交于同⼀点，则点C 在直线3l 上，则153()6=033m -+-，解得21=5m ．…………………………………………………6分（2）设1l 上⼀点A (a ，1-2 a )，则点A 关于M （2，0）的对称点B (4-a ，2 a -1) ．………………………………………………………………………………………8分由点B 在2l 上，代⼊得4(21)20a a ---+=，∴a =73，∴711()33A ，-．………11分直线l 过两点A 、M ，斜率为-11，∴直线l 的⽅程为11220x y +-=． ………14分16. 证明：(1) ∵PA=AC ，D 为PC 的中点，∴AD ⊥PC ． …… ………………………1分∵ PA ⊥平⾯ABC ，BC ?平⾯ABC ，∴ PA ⊥BC ．∵∠ACB=90°，BC ⊥AC ，且PAAC =A ， ,PA AC ?平⾯PAC∴ BC ⊥平⾯PAC ． ……………………………………………………………………3分∵ AD ?平⾯PAC ，∴ BC ⊥AD ．……………………………………………………4分且,,,AD PC ADPC D PC BC ⊥=?平⾯PBC ，∴AD ⊥平⾯PBC ． ………………………………… …………………………………6分∵ BD ?平⾯PBC ，∴AD ⊥BD ．……………………………………………………7分（2）连接DM ，设BD 与CM 交于点G ，连接N G ，∵ D 、M 为中点，∴DM //BC 且12DM BC =，………………………………………9分∴ DG :GB=DM :BC =1:2．∵ AN :NB=1:2，∴AN :NB= DG:GB ．………………………………………………11分∴△BNG ∽△BAD ，∴AD//NG ，∵AD ?平⾯CMN ，NG ?平⾯CMN ，∴直线AD //平⾯CMN ． …………………………………………………………14分17. （⽂科）解：命题p ：8210m m ->->，132m <<； …………………………2分命题q ：（1m +）（2m -）<0, 12m -<<,………………………………………4分命题p 且q: 122m <<． ………………………………………………………………6分由命题“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，则p 、q ⼀个为真命题，⼀个为假命题，……8分则13212m m m ?<1 2.m m m-<剠………………………………………………12分解得23m <…或112m -<…．所以实数m 的取值范围是1(1,][2,32-）． ………………………………………14分 17. （理科）解：正⽅形ABCD 和矩形ACEF 所在平⾯互相垂直，分别以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则A （0，0，0），B，0，0）， C，0）， D （0，0）， E,，1），F （0，0，1）．…………………………………………………1分（1）设平⾯CDE 的法向量为1=(0,1,0)h ，平⾯BDE 的法向量2=(,,)h x y z ， ………2分由220,0.h BD h BE ??=??=解得2(1,1,h =. ………………………………………………4分∴1212121cos ,2||||h h h h h h ?<>== ，………………………………………………………6分∴⼆⾯⾓ B —DE —C 等于60°． ……………………………………………………7分（2）2(2,2,0),(1,1,FE h ==，…………………………………………………8分 2222cos ,||||EF h EF h EF h ?<>===…………………………………………10分||2EF =．设点到平⾯BDF 的距离为h ，则2cos,.||hEF h EF <>=……………12分∴ 2h =?F 到平⾯BDE ． ……………………14分18. 解：（1）圆C 的⽅程：222222()())22t t x t y t a a a-+-=+-（， ………………………3分令y =0，得22()=x t a -，故=x t a -±，1=+x t a ，2=x t a -．…………………6分弦长M N=21 ||x x -=2 a 为定值．……………………………………………………7分（2）∵点C 到直线260xy +-=的距离为2d ==，………………9分∴ 2+26t t -=2±，解得=1t - t =2或t =-4．……………………………13分由t 为整数，∴ t =2或t =-4．…………………………………………………14分∴圆C 的⽅程为2265(2)(4)4x y -+-=和221025(+4)(16)4x y +-=． ………16分19. 解：(1)2()32(2)f x ax a x '=-+，(1)32(2)1f a a '=-+=-，解得3a =． ……………………………………4分（2）1a =时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =或2，………………………………6分………………………8分⼜(1)2f =-，(2)4f =-，(3)0f =，所以()f x 在[1,3]上的值域为[4,0]-．……10分（3）2()32(2)f x ax a x '=-+，由()f x 在区间[1,3]上是增函数，则2()32(2)f x ax a x '=-+…0对于1≤x ≤3恒成⽴，所以(32)4a x -…．…………12分因320x ->，故432a x -…，记4()32g x x =-，则max ()a g x …，……………………14分⽽函数()g x 在[1,3]上为减函数，则max ()(1)4g x g ==，所以a …4．所以a 的取值范围是[4,)+∞.………………………………………………………16分20. 解：（1）设点P 、M 的坐标分别为 (x ，y )、 (x 0，y 0)，由2NP PM =，得00,,23x x y y =??=∴00,3.2x x y y =??=……………………………………………………………………3分由点M 在圆229x y +=上，故22009x y +=，代⼊得22994x y +=．…………5分∴点P 的轨迹C 的⽅程为 22194x y +=． ………………………………………6分（2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的⽅程为：0x x =，设A ，B 两点的坐标分别为 (x 0，y 0)、(x 0，-y 0)，由题意3QA QB k k +=，得0000223y y x x ---+=，解得043x =-，所以直线l 的⽅程为：43x =-．……………………………………………………8分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的⽅程为y=kx+b ，与C 联⽴，消元得222(49)189(4)0k x bkx b +++-=．设A ，B 两点的坐标分别为 (x 1，y 1)、 (x 2，y 2)，则1221849bkx x k -+=+，212294)=49b x x k -+（（*）． ……………………………………10分由题意3QA QB k k +=，得1212223y y x x --+=．将y 1=kx 1+b 和y 2=kx 2+b 代⼊上式，可得121122)3k b x x +-+=（（）, 所以121222)3x x k b x x ++-=（．（**） ……………………………………………12分将（*）代⼊（**），化简得2232bk k b -=+，解得3+24b k =（），代⼊直线l ⽅程，得3+233(1)442b y x b b x x =+=++（）． ……………………14分不论b 怎么变化，当314x +=0即x =43-时，2y =-． …… ………………… 15分综上所述，直线l 恒过定点4(,2)3--． ………………………………………… 16分。
江苏省无锡市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共15小题,每小题5分,共70分）.1、（5分）若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°,则实数a的值为、2、（5分）设一辆汽车在公路上做加速直线运动,假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒,则在2秒是加速度为米/秒2、3、（5分）圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是、4、（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,若AA1=2AB,则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为、5、（5分）设两条直线x+y﹣2=0,3x﹣y﹣2=0的交点为M,若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内,则实数m的取值范围为、6、（5分）若点A（﹣6,y）在抛物线y2=﹣8x上,F为抛物线的焦点,则AF的长度为、7、（5分）已知一个圆锥的侧面积是50πcm2,若母线与底面所成角为60°,则此圆锥的底面半径为、8、（5分）如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等,设它们的表面积依次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3大小关系为、9、（5分）给出下列三个命题：①若命题p：2是实数,命题q：2是奇数,则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x）,若f′（x0）=0,则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0,l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件、则真命题的序号是、10、（5分）（文）设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x）,则f′（）=、11、（理）设向量=（2,2s﹣2,t+2）,=（4,2s+1,3t﹣2）,且∥,则实数s+t=、12、（5分）如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中,有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是、13、（5分）过双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为M,延长FM交双曲线右支于点P,若M为FP的中点,则双曲线的离心率是、14、（5分）已知f（x）=ax+,g（x）=e x﹣3ax,a＞0,若对∀x1∈（0,1）,存在x2∈（1,+∞）,使得方程f（x1）=g（x2）总有解,则实数a的取值范围为、15、（5分）已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C 为圆心）的周长,设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0,过点P（6,9）作l的垂线,垂足为H,则线段CH长度的取值范围是、二、解答题：本大题共7小题,共90分、解答写出文字说明、证明过程或演算过程、16、（14分）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0、（1）若l1∥l2,求l1,l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程、17、（14分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABCD,PB⊥AB且AD=AB=BP=BC、（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上,若AC与BD交于点O,且AP∥平面BDQ,求证：OQ∥平面APD、18、（14分）已知直线l：y=2x+n,n∈R,圆M的圆心在y轴,且过点（1,1）、（1）当n=﹣2时,若圆M与直线l相切,求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′,试问直线l′与抛物线N：x2=6y 是否相切？如果相切,求出切点坐标；如果不想切,请说明理由、19、（16分）（文科）已知m∈R,集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆},若“m∈A”是“m ∈B”的充分不必要条件,求a的取值范围、20、（理科）如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且=λ、（1）若λ=,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π,求λ的值、21、（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣2,a∈R、（1）若曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0,求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方,求正实数a的取值范围、22、（16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：+=1（a＞0,b＞0）的离心率为,过C的左焦点F1,且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1、（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,直线l经过点B且垂直于x 轴,点P是点C上异于A,B的任意一点,直线AP交直线l于点Q、①设直线OQ,BP的斜率分别为k1,k2,求证：k1•k2为定值；②当点P运动时,试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论、2018-2019学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共15小题,每小题5分,共70分）.1、（5分）若直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°,则实数a的值为3、【解答】解：因为直线（a﹣2）x﹣y+3=0的倾斜角为45°,所以直线的斜率为tan45°=a﹣2=1,所以a=3；故答案为：3、2、（5分）设一辆汽车在公路上做加速直线运动,假设t秒时的速度为v（t）=3t2﹣1米/秒,则在2秒是加速度为12米/秒2、【解答】解：∵v（t）=3t2﹣1,∴v'（t）=6t,根据导数的物理意义,可知t=2时物体的加速度为即为v'（2）,∴v'（2）=6×2=12,故答案为：12、3、（5分）圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0与圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的位置关系是相交、【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y﹣8=0,即（x+2）2+（y﹣2）2 =16,表示以（﹣2,2）为圆心、半径等于4的圆、圆x2+y2﹣2x+4y+1=0,即（x﹣1）2+（y+2）2=4,表示以（1,﹣2）为圆心、半径等于2的圆、两个圆的圆心距为d==5,大于两圆的半径之差而小于半径之和,故两个圆的位置关系为相交,故答案为：相交、4、（5分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,若AA1=2AB,则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为、【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,CC1∥BB1,∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角,设AA 1=2AB=2,则B1D1=,BB1=2,∴tan∠B1BD1==、∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为、故答案为：、5、（5分）设两条直线x+y﹣2=0,3x﹣y﹣2=0的交点为M,若点M在圆（x﹣m）2+y2=5内,则实数m的取值范围为（﹣1,3）、【解答】解：由题意可知：,解得,交点（1,1）,交点M在圆（x﹣m）2+y2=5的内部,可得（1﹣m）2+1＜5,解得﹣1＜m＜3、∴实数m的取值范围为：（﹣1,3）、故答案为：（﹣1,3）、6、（5分）若点A（﹣6,y）在抛物线y2=﹣8x上,F为抛物线的焦点,则AF的长度为8、【解答】解：由于抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2,0）,其准线方程为x=2,该抛物线的一点A到y轴距离为6,则点A到准线的距离为6+2=8,再由抛物线的定义可得|AF|=8,故答案为：8、7、（5分）已知一个圆锥的侧面积是50πcm2,若母线与底面所成角为60°,则此圆锥的底面半径为5、【解答】解：设圆锥的底面半径为R,则母线长为2R,∵圆锥的侧面积是50πcm2,∴50π=π×R×2R,解得R=5cm、故答案为5、8、（5分）如果正方体、球与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等,设它们的表面积依次为S1,S2,S3,则S1,S2,S3大小关系为S2＜S3＜S1、【解答】解：设球的半径为R,正方体的棱长为a,等边圆柱的底面半径为r,且它们的体积都为V,则V=,解得,a=,r=,∴S 1=6×a2=6（）2=6=,S2=4πR2=4π（）2=,S3=2π=、∴S2＜S3＜S1、故答案为：S2＜S3＜S1、9、（5分）给出下列三个命题：①若命题p：2是实数,命题q：2是奇数,则p或q为真命题；②记函数f（x）是导函数为f′（x）,若f′（x0）=0,则f（x0）是f（x）的极值；③“a=3”是“直线l1：：x+ay﹣3=0,l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行“的充要条件、则真命题的序号是①、【解答】解：对于①,因为命题p为真,∴p或q为真命题,故正确；对于②,例如函数f（x）=x3满足f′（0）=0,但f（0）不是f（x）的极值,故错；对于③,当a=0时,直线l1：：x+ay﹣3=0,l2：（a﹣1）x+2ay+1=0平行,故错；故答案为：①10、（5分）（文）设f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x）,则f′（）=、【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx+1的导函数为f′（x）=cosx+2sinx,∴f′（）=cos+2sin=﹣+2×=,故答案为：11、（理）设向量=（2,2s﹣2,t+2）,=（4,2s+1,3t﹣2）,且∥,则实数s+t=、【解答】解：∵∥,∴存在实数k,使得=k,则,解得k=,s=,t=6、∴s+t=、故答案为：、12、（5分）如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中,有以下结论：①GH与EF平行；②BE与MN为异面直线；③GH与AF成60°角；④MN∥平面ADF；其中正确结论的序号是③④、【解答】解：正四面体的平面展开图还原成正四面体,如图：在①中,GH与EF是异面直线,故①错误；在②中,BE与MN相交于点N,故②错误；在③中,∵GH∥AD,∴GH与AF成60°角,故③正确；在④中,∵MN∥AF,∴MN∥平面ADF,故④正确、故答案为：③④、13、（5分）过双曲线﹣=1（a＞0,b＞0）的左焦点F作圆x2+y2=a2的切线,切点为M,延长FM交双曲线右支于点P,若M为FP的中点,则双曲线的离心率是、【解答】解：如图|OF|=c,|OM|=a,|FG|=2c；∴|F|=b,又∵M为PF的中点,|PG|=2|OM|=2a,|PF|=2b,∴|PF|﹣|PG|=2b﹣2a=2a；∴b=2a,∴c=a,∴e==、故答案为、14、（5分）已知f（x）=ax+,g（x）=e x﹣3ax,a＞0,若对∀x1∈（0,1）,存在x2∈（1,+∞）,使得方程f（x1）=g（x2）总有解,则实数a的取值范围为[,+∞）、【解答】解：当x∈（0,1）时,f（x）=ax+为减函数,由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a,+∞）,若若对∀x1∈（0,1）,存在x2∈（1,+∞）,使得方程f（x1）=g（x2）总有解,则g（x）的值域B应满足（2a,+∞）⊆B,令g′（x）=e x﹣3a=0,则e x=3a,即x=ln3a,若ln3a≤1,即3a≤e,此时g（x）＞g（1）=e﹣3a,此时由e﹣3a≤2a得：≤a≤,若ln3a＞1,即3a＞e,g（x）=（1,ln3a）上为减函数,在（ln3a,+∞）上为增函数,此时当x=ln3a时,函数取最小值3a（1﹣ln3a）＜0＜2a满足条件；综上可得：实数a的取值范围为[,+∞）故答案为：[,+∞）、15、（5分）已知直线ax+by+c=0始终平分圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0（C 为圆心）的周长,设直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0,过点P（6,9）作l的垂线,垂足为H,则线段CH长度的取值范围是[] 、【解答】解：由题意,圆心C（1,﹣2）在直线ax+by+c=0上,可得a﹣2b+c=0,即c=2b﹣a、直线l：（2a﹣b）x+（2b﹣c）y+（2c﹣a）=0,即a（2x+y﹣3）+b（4﹣x）=0,由,可得x=4,y=﹣5,即直线过定点M（4,﹣5）,由题意,H在以PM为直径的圆上,圆心为A（5,2）,方程为（x﹣5）2+（y﹣2）2=50,∵|CA|=4∴CH最小为5=,CH最大为4,∴线段CH长度的取值范围是[]、故答案为[]、二、解答题：本大题共7小题,共90分、解答写出文字说明、证明过程或演算过程、16、（14分）设直线l1：mx﹣2my﹣6=0与l2：（3﹣m）x+my+m2﹣3m=0、（1）若l1∥l2,求l1,l2之间的距离；（2）若直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大,求直线l2的方程、【解答】解：（1）若l1∥l2,则,∴m=6,∴l1：x﹣2y﹣1=0,l2：x﹣2y﹣6=0∴l 1,l2之间的距离d==；（2）由题意,,∴0＜m＜3,直线l2与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积S=m（3﹣m）=+,∴m=时,S最大为,此时直线l2的方程为2x+2y﹣3=0、17、（14分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,ABCD是梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABCD,PB⊥AB且AD=AB=BP=BC、（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）已知点Q在PC上,若AC与BD交于点O,且AP∥平面BDQ,求证：OQ∥平面APD、【解答】证明：（1）∵平面PAB⊥平面ABCD,PB⊥AB,平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PB⊥平面ABCD,∵CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PB,∵AD=AB=BC,∠BAD=90°,∴BD=AD,BC=2AD,∠DBC=45°,∴∠BDC=90°,∴CD⊥BD,∵PB∩BD=B,∴CD⊥平面PBD；（2）∵AP∥平面BDQ,∴AP∥OQ,∵OQ⊄平面APD,AP⊂平面APD,∴OQ∥平面APD、18、（14分）已知直线l：y=2x+n,n∈R,圆M的圆心在y轴,且过点（1,1）、（1）当n=﹣2时,若圆M与直线l相切,求该圆的方程；（2）设直线l关于y轴对称的直线为l′,试问直线l′与抛物线N：x2=6y 是否相切？如果相切,求出切点坐标；如果不想切,请说明理由、【解答】解：（1）设M的方程为x2+（y﹣b）2=r2,（1,1）代入,可得1+（1﹣b）2=r2,①∵直线l与圆M相切,∴=r,②由①②可得b=3或,∴M的方程为x2+（y﹣3）2=5,或x2+（y﹣）2=,（2）因为直线l的方程为y=2x+n所以直线l′的方程为y=﹣2x+n、与抛物线联立得x2+12x﹣6n=0、△=144+24n①当n=﹣6,即△=0时,直线l′与抛物线C相切；,切点坐标为（﹣6,6）②当n≠﹣6,即△≠0时,直线l′与抛物线C不相切、19、（16分）（文科）已知m∈R,集合A={m|m2﹣am＜12a2（a≠0）}；集合B={m|方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆},若“m∈A”是“m ∈B”的充分不必要条件,求a的取值范围、【解答】解：对于集合A,由m2﹣am＜12a2,故（m﹣4a）（m+3a）＜0,对于集合B,解,解得：﹣4＜m＜2；①a＞0时,集合A：﹣3a＜m＜4a,若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件,则,解得：0＜a＜；②a＜0时,集合A：a＜m＜﹣3a,若“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件,则,解得：﹣＜a＜0,综上：a∈（﹣,0）∪（0,）、20、（理科）如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且=λ、（1）若λ=,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若二面角D1﹣CE﹣D为π,求λ的值、【解答】解：（1）设正方体的棱长为1,分别以DA、DC、DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系, 则A（1,0,0）,O（,0）,C（0,1,0）,D1（0,0,1）, D（0,0,0）,设E（x 0,y0,z0）,∵=,∴=,∴（x0,y0,z0﹣1）=（,,﹣x0）,解得x0=,y0=,z0=,E（,,）,∴=（,,）,CD1=（0,﹣1,1）,∴cos＜,＞==,∴异面直线DE与CD1所成角的余弦值为、（2）设平面CD1E的法向量为=（x,y,z）,=（,0）,=（0,﹣1,1）,=（0,1,0）,则,取z=1,得=（1,1,1）,由=λ,0≤λ≤1,得E（,,）,=（,,）,设平面CDE的法向量=（x,y,z）,则,取x=﹣2,得=（﹣2,0,λ）,∵二面角D1﹣CE﹣D为π,∴|cos|==,由0≤λ≤1,解得λ=8﹣2、21、（16分）已知函数f（x）=lnx+﹣2,a∈R、（1）若曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程为2x+y﹣3=0,求a的值；（2）求函数y=f（x）的单调区间；（3）若曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方,求正实数a的取值范围、【解答】解：（1）函数的定义域是（0,+∞）,f′（x）=﹣,f′（1）=1﹣a,f（1）=a﹣2,故曲线y=f（x）在（1,f（1））处的曲线方程是：y﹣（a﹣2）=（1﹣a）（x﹣1）,即（a﹣1）x+y﹣2a+3=0,又曲线y=f（x）在（1,f（1））处的切线为：2x+y﹣3=0,故a=3；（2）由于f′（x）=,①若a≤0,对于x∈（0,+∞）,f′（x）＞0恒成立,即f（x）在（0,+∞）递增,故函数的递增区间是（0,+∞）；②若a＞0,当x∈（0,a）时,f′（x）＜0,f（x）递减,x∈（a,+∞）时,f′（x）＞0,f（x）递增,故f（x）在（0,a）递减,在（a,+∞）递增；（3）a＞0时,直线即y=﹣（a+1）x+2（a﹣1）,令g（x）=f（x）﹣[﹣（a+1）x+2（a﹣1）]=lnx++（a+1）x﹣2a, g′（x）=,∵a＞0,x＞0,∴a+1＞0,x+1＞0,且∈（0,1）,当0＜x＜时,g′（x）＜0,g（x）在（0,）递减,x＞时,g′（x）＞0,g（x）在（,+∞）递增,故x=时,g（x）取得最小值ln+a+1+a﹣2a=1+ln,∵曲线y=f（x）都在直线（a+1）x+y﹣2（a﹣1）=0的上方,故g（x）≥0,故g（x）min=1+ln＞0,＞,a＞,故a的范围是（,+∞）、22、（16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：+=1（a＞0,b＞0）的离心率为,过C的左焦点F1,且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1、（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,直线l经过点B且垂直于x 轴,点P是点C上异于A,B的任意一点,直线AP交直线l于点Q、①设直线OQ,BP的斜率分别为k1,k2,求证：k1•k2为定值；②当点P运动时,试判断点Q与以BP为直径的圆的位置关系？并证明你的结论、【解答】解（1）：由离心率e===,可得a2=4b2,∵过点F 垂直于x轴的直线被椭圆所截得弦长为1,∴=1,解得b=1,a=2,∴椭圆C方程为+y2=1、（2）①证明：令P（x0,y0）,点A（﹣2,0）则直线PA的方程为y=（x+2）,令x=2,得y=,则Q点的坐标为（2,）∴k1=,k2=、∴k1•k2=,∵P（x0,y0）满足+y2=1,则∴k1•k2=﹣,②以BP为直径的圆的方程为（x﹣2）（x﹣x0）+y（y﹣y0）=0,把Q点（2,）代入方程左边,得（﹣y0）=4=4•=4•、（*）,∵x0∈（﹣2,2）,∴x0+2＞0,∴（*）＞0,∴Q与以BP为直径的圆外,。
2017年7月01日江苏省无锡市2016～2017学年度高二下学期期末考试文科数学试题及参考答案解析
2016～2017学年度江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）一.填空题（每题5分）1.（5分）（2013•扬州模拟）集合A={1,2},B={2,3},则A∪B=.2.（5分）（2017春•无锡期末）已知幂函数y=f（x）的图象过点,则=.3.（5分）（2017春•无锡期末）已知复数z=（其中i为虚数单位）,若z为纯虚数,则实数a=.4.（5分）（2017春•无锡期末）若角α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线y=﹣x（x≤0）,则sinα=.5.（5分）（2017春•无锡期末）用反证法证明结论“实数a,b,c至少有两个大于1.”需要假设“实数a,b,c至多有”.6.（5分）（2017春•无锡期末）已知tanα=2,则=.7.（5分）（2017春•无锡期末）已知平面向量,,满足=（m,2）,=（3,﹣1）,且（﹣）⊥,则实数m=.8.（5分）（2017春•无锡期末）函数f（x）=+定义域为.9.（5分）（2017春•无锡期末）若把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位,再把所得图象的横坐标变为原来的,纵坐标保持不变,得到函数图象C1；把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的,纵坐标保持不变,再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位,得到函数图象C2.若图象C1与C2重合,则φ的最小值为.10.（5分）（2017春•无锡期末）在等差数列{a n}中,若mp+np=mk+nt（m,n,p,q,k,t ∈N*）,则ma p+na q=ma k+na t；类比以上结论,在等比数列{b n}中,若mp+nq=mk+nt（m,n,p,q,k,t∈N*）,则.11.（5分）（2017春•无锡期末）已知α,β∈（﹣,）,tanα,tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根,则α+β=.12.（5分）（2017春•无锡期末）如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,AD=2,CD=1,M为AD的中点,若•=4,则•=.13.（5分）（2017春•无锡期末）在△ABC中,已知sinA+sinBcosC=0,则tanA的最大值为.14.（5分）（2017春•无锡期末）若函数f（x）=对任意实数b均恰好有两个零点,则实数a的取值范围是.二.解答题15.（14分）（2017春•无锡期末）已知函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）（x∈R）.（1）求函数y=f（x）的最大值,并指出此时x的值；（2）若α∈（﹣,）且f（α）=1,求f（2α）的值.16.（14分）（2017春•无锡期末）已知复数z满足|z|=,z2的虚部为﹣2,且z所对应的点在第二象限.（1）求复数z；（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤,求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.17.（14分）（2017春•无锡期末）在△ABC中,已知AB=2,AC=3,•=4,D为△ABC 所在平面内一点,且满足=+2.（1）求||；（2）cos∠BDC.18.（16分）（2017春•无锡期末）某创业投资公司拟投资某种新能源产品,研发小组经过初步论证,估计能获得10万元到100万元的投资效益,现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加,奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元,设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）.（1）试验证函数y=+1是否符合函数x模型请说明理由；（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=,试确定最小的正整数a的值.19.（16分）（2017春•无锡期末）已知函数f（x）=log a（）（0＜a＜1,b＞0）为奇函数,当x∈（﹣1,a]时,函数y=f（x）的值域是（﹣∞,1].（1）确定b的值；（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增,并求a的值；（3）若对于任意的t∈R,不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立,求k的取值范围.20.（16分）（2017春•无锡期末）已知函数y=f（x）,若存在零点x0,则函数y=f（x）可以写成：f（x）=（x﹣x0）g（x）.例如：对于函数f（x）=x3﹣2x2+3,﹣1是它的一个零点,则f（x）=（x+1）g（x）（这里g（x）=x2﹣3x+3）.若函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x+c存在零点x=2.（1）若f（0）=﹣2,且函数y=f（x）在区间[﹣2,2]上的最大值为0,求实数a的取值范围；（2）已知函数y=f（x）存在零点x1∈[﹣1,0],且|f（1）|≤1,求实数b的取值范围.2016-2017学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（每题5分）1.（5分）（2013•扬州模拟）集合A={1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3} .【考点】1D：并集及其运算.【专题】11 ：计算题.【分析】由集合A与B,求出两集合的并集即可.【解答】解：∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B={1,2,3}.故答案为：{1,2,3}【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.2.（5分）（2017春•无锡期末）已知幂函数y=f（x）的图象过点,则= 9.【考点】4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；3T：函数的值.【专题】11 ：计算题.【分析】设出幂函数解析式,因为幂函数图象过点,把点的坐标代入解析式后求解幂指数,然后求的值.【解答】解：因为函数y=f（x）是幂函数,设解析式为y=xα,又y=f（x）的图象过点,所以,所以α=﹣2,则y=f（x）=x﹣2,所以.故答案为9.【点评】本题考查了幂函数的概念,解析式和函数的值,考查了方程思想,此题是基础题.3.（5分）（2017春•无锡期末）已知复数z=（其中i为虚数单位）,若z为纯虚数,则实数a=.【考点】A5：复数的运算.【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5N ：数系的扩充和复数.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0列式求解.【解答】解：z===,∵z为纯虚数,∴2a﹣1=0,解得a=,故答案为：【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.4.（5分）（2017春•无锡期末）若角α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线y=﹣x（x≤0）,则sinα=.【考点】G9：任意角的三角函数的定义.【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值.【分析】由题意,在α的终边上任意取一点M（﹣1,）,利用任意角的三角函数的定义求得sinα的值.【解答】解：∵α的始边为x轴的非负半轴,终边为射线y=﹣x（x≤0）,在α的终边上任意取一点M（﹣1,）,则x=﹣1,y=,r=|OM|=2,sinα==,故答案为：.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.5.（5分）（2017春•无锡期末）用反证法证明结论“实数a,b,c至少有两个大于1.”需要假设“实数a,b,c至多有一个大于1”.【考点】FC：反证法.【专题】11 ：计算题；38 ：对应思想；4D ：反证法；5M ：推理和证明.【分析】根据用反证法证明数学命题的步骤,应先假设命题的反面成立,求出要证明题的否定,即为所求.【解答】解：用反证法证明数学命题时,应先假设命题的反面成立,而命题：“实数a,b,c至少有两个大于1”的否定是：“a,b,c至多有一个大于1”,故答案为：一个大于1【点评】本题主要考查反证法的定义,属于基础题.6.（5分）（2017春•无锡期末）已知tanα=2,则=.【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值.【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值.【分析】由三角函数的诱导公式化简,再由弦化切计算得答案.【解答】解：∵tanα=2,∴==.故答案为：.【点评】本题考查了三角函数的化简求值,考查了三角函数的诱导公式的应用,是基础题.7.（5分）（2017春•无锡期末）已知平面向量,,满足=（m,2）,=（3,﹣1）,且（﹣）⊥,则实数m=4.【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系.【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；5A ：平面向量及应用.【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出,再由（﹣）⊥,能求出m的值.【解答】解：∵平面向量,,满足=（m,2）,=（3,﹣1）,∴=（m﹣3,3）,∵（﹣）⊥,∴（﹣）•=3（m﹣3）﹣3=0,解得m=4.故答案为：4.【点评】本题考查实数值的求法,考查平面向量坐标运算法则、向量垂直等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.8.（5分）（2017春•无锡期末）函数f（x）=+定义域为[e,3] .【考点】33：函数的定义域及其求法.【专题】33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用.【分析】二次根式被开放式非负和对数函数的定义域,可得lnx≥1,且x（x﹣3）≤0,二次不等式的解法,即可得到所求定义域.【解答】解：f（x）=+有意义,可得lnx﹣1≥0,且x（3﹣x）≥0,即为lnx≥1,且x（x﹣3）≤0,即有x≥e,且0≤x≤3,可得e≤x≤3.则定义域为[e,3].故答案为：[e,3].【点评】本题考查函数的定义域的求法,注意运用二次根式被开放式非负和对数函数的定义域,以及二次不等式的解法,考查运算能力,属于中档题.9.（5分）（2017春•无锡期末）若把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位,再把所得图象的横坐标变为原来的,纵坐标保持不变,得到函数图象C1；把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的,纵坐标保持不变,再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位,得到函数图象C2.若图象C1与C2重合,则φ的最小值为.【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换.【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；57 ：三角函数的图像与性质.【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式,求得φ的最小值.【解答】解：把函数f（x）=sinx的图象向左平移φ（φ＞0）个单位,可得y=sin （x+φ）的图象；再把所得图象的横坐标变为原来的,纵坐标保持不变,得到函数C1：y=sin（4x+φ）的图象.把函数f（x）=sinx的图象的横坐标变为原来的,纵坐标保持不变,可得y=sin4x 的图象；再把所得图象向左平移φ（φ＞0）个单位,得到函数C2：y=sin（4x+4φ）的图象；若图象C1与C2重合,则2kπ+φ=4φ,k∈Z,即φ=,故当k=1时,φ取得最小值为,故答案为：.【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式,属于基础题.10.（5分）（2017春•无锡期末）在等差数列{a n}中,若mp+np=mk+nt（m,n,p,q,k,t ∈N*）,则ma p+na q=ma k+na t；类比以上结论,在等比数列{b n}中,若mp+nq=mk+nt （m,n,p,q,k,t∈N*）,则ma p•na q=ma k•na t.【考点】F3：类比推理.【专题】38 ：对应思想；4R：转化法；5M ：推理和证明.【分析】结合等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此等比数列类比到等差数列的：若m+n=p+q（m,n,p,q∈N*）,则a m•a n=a p•a q.【解答】解：类比上述性质,在等比数列{a n}中,若mp+nq=mk+nt（m,n,p,q,k,t∈N*）,则ma p•na q=ma k•na t,故答案为：ma p•na q=ma k•na t.【点评】本题主要考查等差数列类比到等比数列的类比推理,类比推理一般步骤：①找出等差数列、等比数列之间的相似性或者一致性.②用等差数列的性质去推测物等比数列的性质,得出一个明确的命题（或猜想）.11.（5分）（2017春•无锡期末）已知α,β∈（﹣,）,tanα,tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根,则α+β=﹣.【考点】GP：两角和与差的三角函数.【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值.【分析】利用韦达定理求得tan（α+β）的值,再根据α+β的范围,求得α+β的值.【解答】解：∵α,β∈（﹣,）,tanα,tanβ是二次方程x2+x+1+=0的两实根,∴tanα+tanβ=﹣,tanα•tanβ=+1,∴tan（α+β）===1,结合α+β∈（﹣π,π）,∴α+β=,或α+β=﹣,当α+β=时,不满足tanα+tanβ=﹣,故舍去,检验α+β=﹣,满足条件.综上可得,α+β=﹣,故答案为：﹣.【点评】本题主要考查韦达定理,根据三角函数的值求角,属于基础题.12.（5分）（2017春•无锡期末）如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,AD=2,CD=1,M为AD的中点,若•=4,则•=.【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算.【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；5A ：平面向量及应用.【分析】首先由已知求出角A的余弦值,然后利用平面向量的三角形法则将•用梯形的各边表示,展开分别求数量积即可.【解答】解：由已知得到cos∠A=,AB∥CD,AB=3,AD=2,CD=1,M为AD的中点,若•=4,则•=（）（）==2×3×+﹣1×3=；故答案为：.【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量的加减的几何意义,属于中档题13.（5分）（2017春•无锡期末）在△ABC中,已知sinA+sinBcosC=0,则tanA的最大值为.【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值.【专题】33 ：函数思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值.【分析】由sinA+sinBcosC=0,利用三角形内角和定理与诱导公式可得：sin（B+C）=﹣sinBcosC,展开化为：2sinBcosC=﹣cosBsinC,因此2tanB=﹣tanC,由tanA=﹣tan （B+C）展开代入利用基本不等式的性质即可得出答案.【解答】解：由sinA+sinBcosC=0,得,∴C为钝角,A,B为锐角且sinA=﹣sinBcosC.又sinA=sin（B+C）,∴sin（B+C）=﹣sinBcosC,即sinBcosC+cosBsinC=﹣sinBcosC,∴2sinBcosC=﹣cosBsinC∴2tanB=﹣tanC∴tanA=﹣tan（B+C）===,∵tanB＞0,根据均值定理,,∴,当且仅当时取等号.∴tanA的最大值为.故答案为：.【点评】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.14.（5分）（2017春•无锡期末）若函数f（x）=对任意实数b均恰好有两个零点,则实数a的取值范围是[1,2）.【考点】53：函数的零点与方程根的关系.【专题】38 ：对应思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用.【分析】求出f（x）=0的解,根据零点个数和定义域列不等式组得出a的范围.【解答】解：当x≥1时,令f（x）=0得x=e,当x＞1时,令f（x）=0得x=0（舍）或x=.∵f（x）恰好有两个零点,∴e≥1对任意实数b恒成立,且＞1,∴,解得1≤a＜2.故答案为：[1,2）.【点评】本题考查了分段函数的零点,一定要特别注意函数的定义域范围,属于中档题.二.解答题15.（14分）（2017春•无锡期末）已知函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）（x∈R）.（1）求函数y=f（x）的最大值,并指出此时x的值；（2）若α∈（﹣,）且f（α）=1,求f（2α）的值.【考点】HW：三角函数的最值.【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；56 ：三角函数的求值.【分析】（1）利用诱导公式、两角和差的正弦公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的最值,求得函数y=f（x）的最大值,并指出此时x的值.（2）由条件求得α的值,结合函数的解析式从而求得f（2α）的值.【解答】解：（1）函数f（x）=cos（﹣x）+sin（+x）=sinx+cosx=2sin （x+）,故当x+=2kπ+时,函数f（x）取得最大值为2,此时,x=2kπ+,k∈Z.（2）若α∈（﹣,）且f（α）=2sin（α+）=1,即sin（α+）=,∴α=﹣,∴f（2α）=2sin（﹣+）=0.【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用,正弦函数的最值,求三角函数的值,属于基础题.16.（14分）（2017春•无锡期末）已知复数z满足|z|=,z2的虚部为﹣2,且z所对应的点在第二象限.（1）求复数z；（2）若复数ω满足|ω﹣1|≤,求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.【考点】A5：复数的运算.【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；5N ：数系的扩充和复数.【分析】（1）设出复数z,利用已知列出方程组,求解可得复数z；（2）把复数z=﹣1+i代入,利用复数代数形式的乘除运算化简,由复数求模公式计算||,由复数ω满足|ω﹣1|≤,由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么,从而计算出对应面积.【解答】解：（1）设z=x+yi（x,y∈R）,则z2=x2﹣y2+2xyi,由|z|=,z2的虚部为﹣2,且z所对应的点在第二象限,得,解得：,∴z=﹣1+i；（2）由（1）知：复数z=﹣1+i,∴==,∴||=,∴复数ω满足|ω﹣1|≤,由复数的几何意义得：ω在复平面内对应的点的集合构成图形是以（1,0）为圆心,为半径的圆面,∴其面积为.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,也考查了复数模的求法与几何意义,是中档题.17.（14分）（2017春•无锡期末）在△ABC中,已知AB=2,AC=3,•=4,D为△ABC 所在平面内一点,且满足=+2.（1）求||；（2）cos∠BDC.【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算.【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；58 ：解三角形；5A ：平面向量及应用.【分析】（1）运用向量的平方即为模的平方,结合已知条件,计算即可得到所求值；（2）运用向量的加减运算和向量的模,分别求得•,||,||,再由cos∠BDC=,代入计算即可得到所求值.【解答】解：（1）AB=2,AC=3,•=4,由=+2,可得||=|+2|===2；（2）=﹣=﹣2,=﹣=﹣﹣,•=2•+22=2×4+2×9=26,||=2×3=6,||====,即有cos∠BDC===.【点评】本题考查向量的数量积的运算,以及向量的平方即为模的平方,向量的夹角公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.18.（16分）（2017春•无锡期末）某创业投资公司拟投资某种新能源产品,研发小组经过初步论证,估计能获得10万元到100万元的投资效益,现准备制定一个对研发小组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加,奖金不超过投资收益的20%且不超过9万元,设奖励y是投资收益x的模型为y=f（x）.（1）试验证函数y=+1是否符合函数x模型请说明理由；（2）若公司投资公司采用函数模型f（x）=,试确定最小的正整数a的值.【考点】5C：根据实际问题选择函数类型.【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用.【分析】（1）判断y=的单调性,求出函数的最大值与9的大小关系,判断﹣x≤0在[10,100]上是否恒成立；（2）令f（x）﹣≤0在[10,100]上恒成立,解出a的范围,再令f（100）≤9解出a的范围,求出a的范围,从而得出a的最小正整数解.【解答】解：（1）函数y=+1是增函数,当x=100时,y=＜9,∴奖金y随投资收益x的增加而增加,且奖金不超过9万元,令g（x）=≤0得x≥,∴当10≤x≤100时,奖金不超过投资收益的20%,综上,函数y=+1符合函数x模型.（2）f（x）==10﹣,显然,当a＞0时,f（x）是增函数,令f（100）=10﹣≤9得a≥,令f（x）﹣x=﹣≤0在[10,100]上恒成立,得15a≥﹣x2+48x,令h（x）=﹣x2+48x,则h（x）在[10,24]上单调递增,在（24,100]上单调递减,∴h（x）的最大值为h（24）=576,∴15a≥576,即a≥综上,a≥,∴最小的正整数a的值为38.【点评】本题考查了函数单调性的判断,函数恒成立问题与函数最值计算,属于中档题.19.（16分）（2017春•无锡期末）已知函数f（x）=log a（）（0＜a＜1,b＞0）为奇函数,当x∈（﹣1,a]时,函数y=f（x）的值域是（﹣∞,1].（1）确定b的值；（2）证明函数y=f（x）在定义域上单调递增,并求a的值；（3）若对于任意的t∈R,不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立,求k的取值范围.【考点】3R：函数恒成立问题；3N：奇偶性与单调性的综合.【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用.【分析】（1）根据函数f（x）为奇函数,建立方程关系即可求出b；（2）运用单调性的定义,可得g（x）==﹣1+在（﹣1,1）递减,再由复合函数的单调性,可得f（x）在（﹣1,1）递增；由题意可得f（a）=1,解方程可得a的值；（3）由f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）,f（x）在（﹣1,1）递增,可得t2﹣2t＞k﹣2t2,且﹣1＜t2﹣2t＜1,﹣1＜k﹣2t2＜1,可得k＜3t2﹣2t的最小值,运用二次函数的最值求法,可得最小值,即可得到k的范围.【解答】解：（1）∵函数f（x）=log a（）（0＜a＜1,b＞0）为奇函数,∴f（﹣x）=﹣f（x）,即f（﹣x）+f（x）=0,∴log a+log a=log a（•）=0,即•=1,∴1﹣x2=b2﹣x2,即b2=1,解得b=1（﹣1舍去）,当b=1时,函数f（x）=log a为奇函数,满足条件.（2）证明：设x1,x2∈（﹣1,1）,且x1＜x2,由g（x）==﹣1+,g（x1）﹣g（x2）=﹣=,x1,x2∈（﹣1,1）,且x1＜x2,可得x2﹣x1＞0,（1+x1）（1+x2）＞0,则g（x1）﹣g（x2）＞0,即有g（x）在（﹣1,1）递减,由f（x）=log a g（x）,0＜a＜1可得,f（x）在（﹣1,1）递增；∴函数f（x）=log a在x∈（﹣1,a）上单调递增,∵当x∈（﹣1,a]时,函数f（x）的值域是（﹣∞,1],∴f（a）=1,即f（a）=log a=1,∴=a,即1﹣a=a+a2,∴a2+2a﹣1=0,解得a=﹣1±,∵0＜a＜1,∴a=﹣1+；（3）对于任意的t∈R,不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立,即有f（t2﹣2t）＞﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2）,由f（x）在（﹣1,1）递增,可得t2﹣2t＞k﹣2t2,且﹣1＜t2﹣2t＜1,﹣1＜k﹣2t2＜1,可得k＜3t2﹣2t的最小值,由3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣,可得t=,取得最小值﹣,可得k＜﹣.检验成立.则k的取值范围是（﹣∞,﹣）.【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质的应用,以及复合函数的单调性的应用,考查函数性质的综合应用,属于中档题.20.（16分）（2017春•无锡期末）已知函数y=f（x）,若存在零点x0,则函数y=f（x）可以写成：f（x）=（x﹣x0）g（x）.例如：对于函数f（x）=x3﹣2x2+3,﹣1是它的一个零点,则f（x）=（x+1）g（x）（这里g（x）=x2﹣3x+3）.若函数f（x）=x3+（a﹣2）x2+（b﹣2a）x+c存在零点x=2.（1）若f（0）=﹣2,且函数y=f（x）在区间[﹣2,2]上的最大值为0,求实数a的取值范围；（2）已知函数y=f（x）存在零点x1∈[﹣1,0],且|f（1）|≤1,求实数b的取值范围.【考点】3H：函数的最值及其几何意义；52：函数零点的判定定理.【专题】33 ：函数思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用.【分析】（1）求出g（x）=x2+ax+1,令g（x）≥0在区间[﹣2,2]上恒成立,列不等式组得出a的范围；（2）求出g（x）=x2+ax+b,根据条件列出不等式组,作出平面区域,根据线性规划知识求出b的范围.【解答】解：（1）∵f（0）=﹣2,∴c=﹣2,设f（x）=（x﹣2）g（x）,则g（x）为二次函数,不妨设g（x）=（x2+mx+n）,则f（x）=（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n,∴,解得,∴g（x）=x2+ax+1,∵当x∈[﹣2,2]时,f（x）≤0,且x﹣2≤0,∴g（x）=x2+ax+1≥0在[﹣2,2]上恒成立,∴△=a2﹣4≤0,或,或,解得﹣2≤a≤2.（2）设f（x）=（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n,则,∴,∴g（x）=x2+ax+b,∵|f（1）|＜1,﹣1≤1+a+b≤1,即﹣2≤a+b≤0,∵f（x）存在零点x1∈[﹣1,0],∴g（x）在[﹣1,0]上存在零点x1,①若a2﹣4b=0,即b=≥0,且﹣1≤﹣≤0,∴0≤a≤2,∴a+b≥0,又﹣2≤a+b≤0,∴a=b=0,②若a2﹣4b＞0,∵g（x）在[﹣1,0]上存在零点x1,∴g（﹣1）g（0）≤0,即b（1﹣a+b）≤0,故而a,b满足的约束条件为：,作出约束条件表示的平面区域如图所示：联立方程组得A（﹣,﹣）.∴﹣≤b≤0.综上,﹣≤b≤0.【点评】本题考查了二次函数的性质,函数零点与线性规划,属于中档题.。
江苏省无锡市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是．2．“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是．3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为．4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是．5．“x＞0”是“x≠0”的条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为．8．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为．9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为cm2．10．下列，其中正确的是（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．11．椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为．12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为．13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为．14．已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．18．（文科班选做此题）已知a＞0，p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，q：点P（1，1）在圆（x ﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，若存在，请求出a 的范围；若不存在，请说明理由．19．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．直线x﹣y+a=0（a∈R，a为常数）的倾斜角是60°．【分析】根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，由直线的方程可得直线的斜率k=，进而可得tanα=，结合α的范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线x﹣y+a=0的倾斜角为α，直线x﹣y+a=0可以变形为y=x+a，其斜率k=，tanα=且0°≤α＜180°，则有α=60°，故答案为：60°【点评】本题考查直线倾斜角的计算，掌握直线的倾斜角与斜率的关系是解题的关键．2．“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定是∀x∈R，e x≠x﹣1．【分析】由题意，“∃x∈R，e x=x﹣1”，其否定是一个全称，按书写规则写出答案即可【解答】解：“∃x∈R，e x=x﹣1”是一个特称，其否定是一个全称所以“∃x∈R，e x=x﹣1”的否定为“∀x∈R，e x≠x﹣1”故答案为：∀x∈R，e x≠x﹣1．【点评】本题考查特称的否定，解题的关键是熟练掌握特称的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的的书写规则，特称的否定是全称，全称的否定是特称．3．过点A（﹣1，1）且与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为x+3y﹣2=0．【分析】设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入即可得出．【解答】解：设与直线x+3y+4=0平行的直线l的方程为：x+3y+m=0，把点A（﹣1，1）代入可得：﹣1+3+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：x+3y﹣2=0．故答案为：x+3y﹣2=0．【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知一个物体的运动方程是s=1﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒．【分析】据对位移求导即得到物体的瞬时速度，求出导函数在t=4时的值，即为物体在4秒末的瞬时速度．【解答】解：∵s=1﹣t+t2，求导函数可得s′=2t﹣1当t=4时，s′=2t﹣1=2×4﹣1=7，故物体在4秒末的瞬时速度是7米/秒，故答案为：7米/秒．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的物理意义，属于基础题．5．“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件；（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”）【分析】将题设中的改写成的形式，分别判断它的真假及其逆的真假，再依据充分条件，必要条件的定义作出判断得出正确答案【解答】解：原：若“x＞0”则“x≠0”，此是个真其逆：若“x≠0”，则“x＞0”，是个假，因为当“x≠0”时“x＜0”，也可能成立，故不一定得出“x ＞0”，综上知“x＞0”是“x≠0”的充分不必要条件故答案为：充分不必要．【点评】本题考查充分条件必要条件的判断，解题的关键是熟练掌握充分条件与必要条件的定义，本题是基本概念考查题，难度较低，在高考中出现的机率较小6．过点（2，）、（，﹣）的椭圆的标准方程为+=1．【分析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），再由点（2，）、（，﹣）代入椭圆方程，解方程即可得到m，n，进而得到所求标准方程．【解答】解：设椭圆的方程为mx2+ny2=1，（m，n＞0且m≠n），由题意可得，解得，即有椭圆方程为+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，注意运用待定系数法，考查运算求解能力，属于基础题．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C与BD所成的角为60°．【分析】连接B1D1和D1C，由BD∥B1D1，知∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．由△D1B1C是等边三角形，知异面直线DB与B1C所成角为60°．【解答】解：连接B1D1和D1C，∵BD∥B1D1，∴∠D1B1C就是异面直线DB与B1C所成角．在△D1B1C中，∵B1D1=D1C=B1C，∴∠D1B1C=60°．故答案为：60°【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化．8．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则b的取值范围为（2，12）．【分析】求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，则圆心坐标为（1，1），半径r=1，则若直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相交，则圆心到直线的距离d==＜1，即|b﹣7|＜5，则﹣5＜b﹣7＜5，即2＜b＜12，故答案为：（2，12）【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，利用点到直线的距离与半径之间的关系是解决本题的关键．9．若正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，则它的侧面积为8cm2．【分析】设出正四棱锥的底面边长为a=2，h为高，运用体积公式求解得出h=1，求解斜高h′=2，运用面积公式求解即可．【解答】解：∵正四棱锥的底面边长为，体积为4cm3，∴a=2，h为高，即（2）2×h=4，h=1，∴斜高为：=2，∴侧面积为：4×2=8故答案为：【点评】本题考查了三棱锥的几何性质，运用求解斜高，侧面积公式，属于中档题，关键是把立体问题，转化为平面问题．10．下列，其中正确的是①（填写序号）．①若m⊥α，m∥n，则n⊥α；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；③若直线m∥n，则直线m就平行于平面α内的无数条直线；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1．【分析】在①中，由线面垂直的性质得n⊥α在②中，α与β相交或平行；在③中，直线m与平面α有可能相交；在④中，∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补．【解答】解：①若m⊥α，m∥n，则由线面垂直的性质得n⊥α，故①正确；②若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故②错误；③若直线m∥n，则直线m与平面α有可能相交，故③错误；④若∠ABC和∠A1B1C1的边AB∥A1B1，AC∥A1C1，则∠ABC=∠A1B1C1或∠ABC和∠A1B1C1互补，故④错误．故答案为：①．【点评】本题考查真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．11．椭圆+=1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴正半轴上，那么以线段F1P为直径的圆的标准方程为x2+（y﹣）2=．【分析】先根据中位线定理可推断出PF2垂直于x轴，根据椭圆的标准方程求出焦距，进而设|PF1|=t，根据勾股定理求得t和|PF2|，可得M的坐标，可得所求圆的标准方程．【解答】解：∵O是F1F2的中点，M为PF1的中点，∴PF2平行于y轴，即PF2垂直于x轴，∵c===2，∴|F1F2|=4设|PF1|=t，根据椭圆定义可知|PF2|=8﹣t，∴（8﹣t）2+16=t2，解得t=5，∴|PF2|=3，可得M（0，），|PM|=，即有所求圆的方程为x2+（y﹣）2=．故答案为：x2+（y﹣）2=．【点评】本题考查椭圆的定义和方程的运用，考查圆的方程的求法，注意运用中位线定理和椭圆的定义，属于中档题．12．已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣3，则其渐近线方程为y=±x．【分析】双曲线的焦点在y轴上，且=3，焦点到渐近线距离为2，求出a，b，c，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵一条准线方程为y=﹣3，∴双曲线的焦点在y轴上，且=3，∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，∴b=2，∴a=2，c=4∴渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其渐近线方程、点到直线的距离公式，属于基础题．13．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1，且f（1）=2，在不等式f（x）＞x+1的解集为（1，+∞）．【分析】由f′（x）＞1，f（x）＞x+1可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣（x+1），因为f（1）=2，f′（x）＞1，所以g（1）=f（1）﹣（1+1）=0，g′（x）=f′（x）﹣1＞0，所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．所以f（x）＞x+1的解集即是g（x）＞0=g（1）的解集．∴x＞1．故答案为：（1，+∞）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，解决此类问题的关键是构造函数g（x）=f （x）﹣（x+1），然后利用导数研究g（x）的单调性，从而解决问题，属于中档题．14．已知动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆的实线上运动，若AB∥x，点N的坐标为（1，0），则三角形ABN的周长l的取值范围是（）．【分析】可考虑用抛物线的焦半径公式和椭圆的焦半径公式来做，先通过联立抛物线与椭圆方程，求出A，B点的横坐标范围，再利用焦半径公式转换为以B点的横坐标为参数的式子，再根据前面求出的B点横坐标方位计算即可．【解答】解：由得，抛物线y2=4x与椭圆在第一象限的交点横坐标为，设A（x1，y1），B（x2，y2），则0＜x1＜，＜x2＜2，由可得，三角形ABN的周长l=|AN|+|AB|+|BN|=x1++x2﹣x1+a﹣ex2=+a+x2=3+x2，∵，＜x2＜2，∴＜3+x2＜4故答案为（）【点评】本题考查了抛物线与椭圆焦半径公式的应用，做题时要善于把未知转化为已知．二、解答题：本大题共7小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45°时，求出直线的斜率，然后求出直线的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长．【解答】解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为y﹣2=（x﹣2），即x+2y﹣6=0．（3）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0．圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率，点到直线的距离；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=45°，AB=2，AD=，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．（1）求证：BE∥平面PDF；（2）求证：平面PDF⊥平面PAB．【分析】（1）取PD的中点M，由三角形的中位线定理，结合已知条件，易证明四边形MEBF是平行四边形，且BE∥MF，结合线面平行的判定定理，即可得到BE∥平面PDF；（2）连接BD，由∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，可得DF⊥AB，由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DF，结合线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAB，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PDF⊥平面PAB．【解答】证明：（1）取PD的中点M，∵E是PC的中点，∴ME是△PCD的中位线，∴ME∥FB，∴四边形MEBF是平行四边形，∴BE∥MF，∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF，∴BE∥平面PDF．（2）连接BD，∵∠BAD=45°，AB=2，AD=，F为AB的中点，∴DF⊥AB，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DF，又由PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB，又∵DF⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAB．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得BE∥MF，（2）的关键是证明DF⊥平面PAB．17．抛物线y=x2上有一点A的横坐标为a，其中a∈（0，1），过点A的抛物线的切线l交x轴及直线x=1于B，C两点，直线x=1交x轴于D点．（1）求直线l的方程；（2）求△BCD的面积S（a），并求出a为何值时S（a）有最大值．【分析】（1）利用导数的运算法则可得y′，利用导数的几何意义即可得到切线的斜率，进而得到切线的方程；（2）利用切线的方程即可得出点B，C的坐标，再利用三角形的面积公式，求得S（a），再由导数求得单调区间和最值，即可得出结论．【解答】解：（1）∵y=x2，∴y'=2x，可得切线l的斜率为2a，∴切线l的方程是y﹣a2=2a（x﹣a），即2ax﹣y﹣a2=0；（2）由2ax﹣y﹣a2=0，令y=0，解得x=，∴B（，0）；令x=1，解得y=2a﹣a2，即C（1，2a﹣a2），∴|BD|=1﹣，|CD|=2a﹣a2，∴△BCD的面积S（a）=（1﹣）（2a﹣a2）=（a3﹣4a2+4a），S′（a）=（3a2﹣8a+4）=（3a﹣2）（a﹣2），令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=．当0＜a＜时，S'（a）＞0；当＜a＜1时，S'（a）＜0．∴a=时，S（a）有最大值．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值，导数的几何意义等是解题的关键．18．（文科班选做此题）已知a＞0，p：∀x≥1，x﹣+2≥0恒成立，q：点P（1，1）在圆（x ﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，是否存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，若存在，请求出a 的范围；若不存在，请说明理由．【分析】根据条件求出的成立的等价条件，根据复合真假关系进行判断即可．【解答】解：若：∀x≥1，x﹣+2≥0，即x+2≥，即x2+2x≥a在x≥1时成立，设f（x）=x2+2x，则f（x）=（x+1）2﹣1，当x≥1时，函数f（x）为增函数，则函数f（x）的最小值为f（1）=1+2=3，则a≤3，即p：a≤3若点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4的外部，则（1﹣a）2+（1﹣a）2＞4，即（a﹣1）2＞2，即a＞1+或a＜1﹣，若存在正数a，使得p∨q为真；p∧q假，则p，q为一真一假，则此时p：0＜a≤3，q：a＞1+，若p真q假，则，得0＜a≤1+，若p假q真，则，得a＞3，综上0＜a≤1+或a＞3．【点评】本题主要考查复合真假的应用，根据条件求出的等价条件是解决本题的关键．19．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sin θ==．∴平面ADC 1与ABA 1所成二面角的正弦值为．【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的求法，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．20．已知函数f （x ）=（m ，n ∈R ）在x=1处取到极值2（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）设函数g （x ）=ax ﹣lnx ．若对任意的，总存在唯一的，使得g （x 2）=f （x 1），求实数a 的取值范围．【分析】（I ）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m 的方程，解方程求出m 值，即可得到f （x ）的解析式；（Ⅱ）由（I ）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f （X ）的单调性，由此易判断f （x ）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g （x 2）=f （x 1），及函数g （x ）=ax ﹣lnx ．我们分别对a 值与e 及e 2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）==f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，故此时（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0＜a≤ e【点评】本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f （x）的解析式是解答的关键．21．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短轴为2，离心率为，直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，O为坐标原点．（1）求椭圆E的方程；（2）求△OAB面积的最大值；（3）当m∈R时，判断点G（﹣2，0）与AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，求出|y1﹣y2|以及|0N|，表示出三角形OAB面积，利用换元法以及函数的单调性求出面积的最大值；（3）设AB中点为H（x0，y0），运用中点坐标公式可得y0，再由两点的距离公式可得|GH|，再由弦长公式，可得|AB|，作差|GH|2﹣|AB|2，化简整理，即可判断G与AB为直径的圆的位置关系．【解答】解：（1）由题意可得2b=2，e==，由a2﹣b2=c2，解得b=1，a=，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由直线x=my﹣1代入椭圆的方程可得，（3+m2）y2﹣2my﹣2=0，判别式为4m2+8（3+m2）＞0恒成立，y1+y2=，y1y2=﹣，设直线与x轴的交点为N（﹣1，0），|y1﹣y2|===，S△AOB=|ON||y1﹣y2|=×1×=，令=t（t≥），则m2=t2﹣2，∴S△AOB==，∵t≥，t+是增函数，∴当t=，即m=0时，S△AOB取得最大值，最大值为=．（3）AB中点为H（x0，y0）．由（2）可得，y1+y2=，y1y2=﹣，∴y0==．G（﹣2，0），∴|GH|2=（x0+2）2+y02=（my0+1）2+y02=（1+m2）y02+2my0+1=（1+m2）++1，|AB|2=（1+m2）（y1﹣y2）2=（1+m2）[+]，故|GH|2﹣|AB|2=（1+m2）++1﹣（1+m2）[+]=＞0。