2017春人教版高中数学必修五课件：2.4 第1课时 等比数列1
分析： 时间： 最初 经过1年 经过2年 经过3年 „ 经过n年
剩留量: 1 a1=0.84 a2=0.842 a3=0.843 „ an=0.84n
an a1 q
n1
【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是 an .由条件可得，数列{an }是一个等比数列，其中 a1 = 0.84,q = 0.84.
10 000×1.054 ，10 000×1.055
1.理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列
的通项公式、性质； (重点）
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关 系，提高数学建模能力；（难点） 3.体会等比数列与指数函数的关系.
探究点1
等比数列定义
看下列数列： 2 3 4 1. 1，2，2 ，2 ，2 , ;
n=1
输出A n=n+1 A=2A A= A n＞5? 是 结束 否
1 2
【解析】若将打印出来的数依次记为a1(即A),a2 ,a3 , .
由图可知， a1 =1 1 1 a2 =a1 = ， 2 2 1 1 a3 =a2 = ， 2 4 1 1 a4 =a3 = ， 2 8 1 1 a5 =a4 = . 2 16
【解析】设公差为 d，由题意得 a2 a5， 2＝a1· ∵a1＝1，∴(1＋d)2＝1＋4d， ∴d2－2d＝0，∵d≠0，∴d＝2， 10×9 ∴S10＝10×1＋ ×2＝100，故选 B. 2
例1
某种放射性物质不断变化为其他物质，每
经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物 质的半衰期为多长（精确到1年）？
1 1 2 1 3 1 4 10， 10 ,10 ( ) ,10 ( ) ,10 ( ) , 2 2 2 2
2.某人年初投资10 000元，如果年收益率为５％，
那么按照复利计算，５年内各年末的本利和依次为 10 000×1.05 , 10 000×1.052 , 10 000×1.053 ，
设an = 0.5，则0.84n = 0.5. 两边取对数，得 nlg0.84 = lg0.5. 用计算器算得n 4. 答：这种物质的半衰期大约为4年.
【变式练习】
培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并 且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以 得到下一代的 120 粒种子，到第 5 代大约可以得到 这个新品种的种子多少粒？ 【解析】由于每一代的每一粒种子都可得120粒种 子，所以每代的种子数是它的前一代种子数的120
公比通常用字母q表示 (q≠0).
等比数列的定义
a2 a3 a4 a5 an q a1 a 2 a 3 a 4 a n 1 an q (n 2， n N * ) an 1
an 1 q (n 1, n N * ) 或 an
注意：
1.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比，不能颠倒. 2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个 常数.
例3
一个等比数列的第3项和第4项分别是12
和18,求它的第1项和第2项.
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么 a1q 2 12， ① a1q 3 18. ② 3 ② ①，得 q . 2 ③
16 把③代入①，得 a1 = . 3
16 3 因此，a2 =a1q 8. 3 2 16 答：这个数列的第1项和第2项分别是 与8. 3
4.（2015·广东高考）若三个正数 a，b，c 成等比 数列，其中 a 5 2 6 ， c 5 2 6 ， 则 b=
1
．
【解析】因为三个正数 a，b，c 成等比数列，所以
b 2 ac 5 2 6 5 2 6 1 ，因为 b 0 ，所以 b=1.
5.(2015 ·浙江高考)已知 an 是等差数列，公差 d 不为 零．若 a2 ， a3 ， a7 成等比数列，且 2a1 a2 1 ， 则 a1
于是，可得递推公式 a1 =1， 1 an an1 ( n 1). 2 an 1 由于 = ，因此这个数列是等比数列， an1 2
1 n1 其通项公式是an （ ） . 2
【变式练习】 在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列， 则这个数列的公比为（ C ） 1 A.n 3 B. n 3 C.n1 3 D.n 2 3
相 同 点
（1）都强调每一项与前一项的关系； （2）差或比结果都必须是常数； （3）数列都可以由a1，d或a1，q确定. （1）若{an}为正项等比数列,则{logaan}（a>0且a≠1）为等差
联 系
数列； （2）若{an}为等差数列，则{ b a n }为等比数列（b≠0）.
百川东到海，何时复西归？少壮不努力， 老大徒伤悲。 ——汉乐府《长歌行》
探究点2
等比中项
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后， 这三个数就会成为一个等比数列： ±3 ，9 （1）1，____ ±6，-3 （3）-12，___
±2 ，-4 （2）-1，____
±1 ，1 （4）1，____
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等
比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
写出上面六个等比数列的通项公式(如下)，类比等差 数列的通项公式的推导过程，补全首项是 a1 ，公比 是q的等比数列 {an } 的通项公式.
n-1
1. 2
1 2. n-1 2
n
1 n-1 3. 10 （ ） 2
n 4. 10 000 （ 1.05）
5. 3
n
1 6. （- 1） n 2
an a1q
2 【解析】a4a6＝a2 ， a a ＝ a 5 2 4 3， 2 ∴(a3＋a5)2＝a2 ＋ 2 a a ＋ a ＝a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25， 3 3 5 5，
∴a3＋a5＝± 5.∵an>0，∴a3＋a5＝5.
【互动探究】 等差数列{an}的公差不为零，首项 a1＝1，a2 是 a1 和 a5 的等比中项，则数列{an}的前 10 项之和是( B ) A．90 B．100 C．145 D．190
1 1 1 1 2. 1， ， ， ， ， ; 2 4 8 16 1 1 2 1 3 1 4 3.10，10× ,10× ( ) ,10× ( ) ,10× ( ) , ; 2 2 2 2
4. 10 000 ×1.05 , 10 000 × 1.052 , 10 000 × 1.053 ， 10 000 × 1.054 ， 10 000 × 1.055 ; 5. 3，9，27，81，„;
a4 【解析】∵q ＝ ＝8.∴q＝2. a1
3
1 2．等比数列{an}中，a1＝ ，q＝2，则 a4 与 a8 的等 8 比中项是( A ) A．± 4 B．4 1 C．± 4 1 D. 4
1 n－ 1 － 【解析】由 an＝ · 2 ＝2n 4 知 a4＝1，a8＝24，其等 8 比中项为± 4.
【规律总结】
如果已知数列中的两项，并且知道项的序号，可
以求得数列的其他项.
【变式练习】 数列1，37，314，321，„中，398是这个数列的（ C ） A.第13项 B.第14项
C.第15项
D.不在此数列中
1 ．在等比数列 {an} 中， a1 ＝ 8 ， a4 ＝ 64 ，则公比 q 为( A ) A．2 B．3 C．4 D．8
2.4 等比数列
第1课时 等比数列
等差数列定义 1, 3, 5, 7, 9，„; (1)
3, 0, -3, -6, „ ; (2) 1 2 3 4 ， ， ， ， … （3） 10 10 10 10 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与 它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公 差通常用字母d表示.
an q(q 0) （n≥2，n ∈N*）； an 1 2.要会推导等比数列的通项公式：
a n a 1 q (q 0)
n 1
，并掌握其基本应用.
3.等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列 等比数列
不 （1）强调每一项与前一项的差；（1）强调每一项与前一项的比值； 同 （2）a1与q均不为零. （2）a1和d可以为零. 点
1 1 1 1 6 . , , , , . 2 4 8 16
思考：它们的共同特点是什么？ 提示：从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数.
等比数列的定义:
一般地，如果一个数列从第2项起，每一
项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个
数列叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，
2 3
，d
-1
．
2 ( a 2 d ) (a1 d )(a1 6d ) ， 【解析】由题可得， 1
故有 3a1 2d 0 ，又因为 2a1 a2 1 ，
2 即 3a1 d 1 ，所以 d 1, a1 3 .
1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式：
„
由此可知，等比数列 a n 的通项公式为
an a1 q (q 0)
n1
【即时练习】
1 1 1 已知等比数列前 3 项为 ，－ ， ，则其第 8 项是 2 4 8
1 － 256 ________ ．
1 1 1 【解析】∵a1＝ ，a2＝a1q＝ q＝－ ， 2 2 4 1 1 17 1 7 ∴q＝－2，∴a8＝a1q ＝2×(－2) ＝－256.
3.(2015·全国卷)等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7= ( B ) A.21 【解析】 选B.设等比数列的公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21, 又因为a1=3,所以q4+q2-6=0, 解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42. B.42 C.63 D.84
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人教版数学必修五2.4《等比数列》课件 (共17张PPT)
是
三、等比中项
如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a, G, b 成等比数列， 那么称这个数 G 为 a 与 b 的等比中项．
2 G ab ． a , b 即 G ab （ 同号）或
（1）只有两个同号的非零常数才有等比中项， G ab 0
2
（2）等比中项有两个值， G ab
（3）在等比数列中，若 m n p q ，则 am an a p aq ．
四、等比数列的性质
（4）若 {an } ， {bn } 均为等比数列，则 {an bn } ， {k an } (k 0) ，
1 1 { } 仍为等比数列，公比分别为 q1 q2 ， q1 ， ． an q1
32
a15 例 7、在等比数列 {an } 中， a5 a11 3, a3 a13 4 ，则 （ C ） a5
（A） 3
1 （B） 3
1 （C） 3 或 3
1 （D） 3 或 3
例 8、等差数列 an 中， d 0 ，且 a1 , a3 , a9 成等比数列，
a1 a3 a9 求 的值. a2 a4 a10
an 数列的公比，公比通常用字母 q 表示 q 0 ，即 q (q 0) ． an 1
（4） 0 q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递减； a1 0 ， {an } 递增；
q 1 时，当 a1 0 ， {an } 递增； a1 0 ， {an } 递减；
类比思想
an am
an am qnm
例 1、在等比数列 {an } 中
1 （1） a1 ， q 3 ，求 a5 ． 2
（2） a7 512 ， q 2 ，求 a1 ．
高中数学必修五第二章数列2.4.1
(2)设等比数列{bn}的公比为q,则b2=8,b3=16,
所以q= b3
b2
=2,b1=4,bn=2n+1,
b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后 再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最 后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.
则
a
2 3
=-1×(-9)=9,解得a3=±3,
设数列的公比为q,
因为a3=-1×q2<0,故a3=-3. 答案:-3
=
1 3
(an-1)-
1 3
(an-1-1),
得
an a n1
1，又a1=-
2
1 2
,
所以{an}是首项为- 1 ,公比为- 1 的等比数列.
2
2
【延伸探究】
1.将本例的条件改为“a1=
7 8
,且an+1=
1 2
a
n＋
1 3
”,求证
数列
{a n
2} 3
是等比数列.
【证明】因为an+1=
(1)已知an=128,a1=4,q=2,求n.
(2)已知an=625,n=4,q=5,求a1.
(3)a3=2,a2+a4=
20 3
,求通项公式an.
【解析】(1)因为an=a1qn-1, 所以4·2n-1=128,
所以2n-1=32,所以n-1=5,n=6.
(2)a1=
人教版高中数学必修五-等比数列课件
【变式训练】在等比数列{an}中，已知a1= 9，an= 1，q= 2，
则n为( )
8 33
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选C.等比数列{an}中，a1= an= q= 所以
an=a1qn-1=
所以
即n-981，=3，13n，=4.
2， 3
9 (2)n1 1， ( 2)n1 ( 2)3，
83 3
公比分别为p，q，因为 an b1 n1 an=1pbqn≠1 0，所以{an·bn}
一定是等比数列.
anbn an bn
2.令an+1+λ=2(an+λ)，与已知an+1=2an+3比较知λ=3，
所以an+1+3=2(an+3)，即 =2，
所以数列{an+3}是首项为aan11+33，公比为q=2的等比数列. an 3
A. 27
B. 45
C. 25
D. 47
2
4
2
4
2.一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三 项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32， 那么所得的三项又成等比数列.求原来的等比数列.
【解题指南】1.根据前3个数成等比数列，设出这两个数，再 由后三个数成等差数列列方程求解. 2.根据三个数成等比数列，设出这三个数，再根据条件建立方 程组求解.
注意什么？
提示：根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需 要注意：(1) =q(n∈N*)为常数.
((23))比数值列中a的n为1 每同aan一n一1 项个都常不数能. 为0. an
探究3：由等比数列的定义，要判断一个数列是否为等比数列，
高中数学人教版必修5课件：2.4.1等比数列(共21张PPT)
• G=＿＿＿。
自主学习(2min)
• 仿照“等差数列通项公式的推导”，完成任务：
已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
你能写出这个等比数列的第n项吗？
a1=a1 a2=a1 q a3=a2 q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
不完全归纳法
an=
.
3、等比数列的通项公式：
• 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公
请说出公比q。
√(1)2，8，32，128，…
q=4
(√2)-1，-0.5，-0.25，-0.125，… q=0.5
(√3)2，2，2，2，…
q=1
(√4)1，-3，9，-27，…
q=-3
×(5)1，2，4，16，64，…
×(6)1, 0, 1, 0, 1
先抢为快
抢答1:公比q的取值范围是什么呢？ 正数、负数，但是不能为零。
抢答2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？
常数列 抢答3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数
列吗？为什么？
常数列都是等差数列，但却不一定都是等比列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
抢答4：既是等差数列，又是等比数列的数列存 在吗？举例说明。
2、等比数列中项：
• 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一 个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫 做a与b的等比中项。
3、等比数列的通项公式：an= a1qn-1
4、学习的思想方法：类比思想方法
课后作业
• 1.P53 A组第1(1)~(3)题
1、等比数列的定义：
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项
与它的前一项的比等于同一个常数，这个
自主学习(2min)
• 仿照“等差数列通项公式的推导”，完成任务：
已知数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，
你能写出这个等比数列的第n项吗？
a1=a1 a2=a1 q a3=a2 q=a1q2 a4=a3q=a1q3 …
不完全归纳法
an=
.
3、等比数列的通项公式：
• 一般地，如果等比数列{an}的首项为a1，公
请说出公比q。
√(1)2，8，32，128，…
q=4
(√2)-1，-0.5，-0.25，-0.125，… q=0.5
(√3)2，2，2，2，…
q=1
(√4)1，-3，9，-27，…
q=-3
×(5)1，2，4，16，64，…
×(6)1, 0, 1, 0, 1
先抢为快
抢答1:公比q的取值范围是什么呢？ 正数、负数，但是不能为零。
抢答2:当公比q=1时的等比数列是什么样的数列？
常数列 抢答3:常数列一定是等差数列吗？一定是等比数
列吗？为什么？
常数列都是等差数列，但却不一定都是等比列。 如数列0，0，0，0，…是等差不是等比数列。
抢答4：既是等差数列，又是等比数列的数列存 在吗？举例说明。
2、等比数列中项：
• 与等差中项类似，如果在a与b中间插入一 个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫 做a与b的等比中项。
3、等比数列的通项公式：an= a1qn-1
4、学习的思想方法：类比思想方法
课后作业
• 1.P53 A组第1(1)~(3)题
1、等比数列的定义：
• 一般地，如果一个数列从第2项起， 每一项
与它的前一项的比等于同一个常数，这个
2017-2018学年高二数学人教A版必修5课件：2-4-1 等比
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
������5 -������1 = ������1 ������4 -������1 = 15, 解 因为 ������4 -������2 = ������1 ������3 -������1 ������ = 6,
探究三
思维辨析
解(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3, ∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15. 下面证明{an-n}是等比数列,
������������+1 -(������+1) ������������ -������
=
3������������ -2(������+1)+3-(������+1) 3������������ -3������ = =3(n=1,2,3,…). ������������ -������ ������������ -������
做一做1 等比数列3,6,12,24的公比q= . 答案:2 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a 与b的等比中项,这三个数满足关系式ab=G2. 做一做2 已知1,a,4成等比数列,则a=( ) A.2 B.-2 C.±2 D.16 解析:由已知a2=4,得a=±2. 答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究三等比数列的判定 【例3】 导学号20600052数列{an}满足a1=-1,且an=3an-12n+3(n∈N*,且n≥2). (1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. 分析利用等比数列的定义及通项公式求解.
高中数学必修5课件：第2章2-4-2等比数列的性质
数学 必修5
第二章 数列
温故知新
1.等比数列{an}，对于任意正整数 n，都有aan＋n 1＝________.
[答案] q 2．等比数列{an}，对于任意正整数 n、m 都有aamn＝________. [答案] qn－m
数学 必修5
第二章 数列
(4){|an|}是公比为|q|的等比数列；
(5){amn }(m是整数常数)是公比为qm的等比数列．
特别地，若数列{an}是正项等比数列时，数列{a
m n
}(m是实
数常数)是公比为qm的等比数列；
(6)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列 {an·bn}是公比为q1·q2的等比数列．
数学 必修5
第二章 数列
3．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，则a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
【错解】 因为a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，
所以a5＋a9＝178， 又因为a7是a5，a9的等比中项， a5·a9＝1.
所以a27＝a5·a9＝1，即a7＝±1.
数学 必修5
第二章 数列
【错因】 上述解法忽视了对a7符号的讨论，由于a5，a9
均为正数且公比为q＝±
a7 a5
＝±
第二章 数列
(1)本类题目与等差数列中的形式基本类似， 但相对等差数列来说，它的运算量远远高出等差数列，特别提 出一点，对于公比q一定要根据题意进行取舍，并给出必要的 讨论和说明．
高中数学必修五课件：2.4《等比数列(一)》(人教A版必修5)
特别提醒：(1)利用等比中项可在成等比数列
的三数中“知二求一”．
(2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比
中项有两个值，即 G＝± ab.
3．通项公式的应用 通项公式 an＝a1qn－1 反映了等比数列an的各项 与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”． 特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
【例
1】
等比数列an
中
，a2＝4，a5＝－12，求通项
公式． 解：由 a2＝4，a5＝－12知aa11qq＝ 4＝4－，12 ，
a1＝－8， 解得q＝－12，
∴所求通项公式为 an＝－8·－12n－1.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中 基本量的计算是最重要、最基本的问题．
的三数中“知二求一”．
(2)只有同号的两数才存在等比中项，且等比
中项有两个值，即 G＝± ab.
3．通项公式的应用 通项公式 an＝a1qn－1 反映了等比数列an的各项 与其序号 n 的函数关系，公式中含有 a1、q、n、an 四个量，常用作“知三求一”． 特别提醒：等比数列的通项公式体现了等比数 列的所有特性，可解决等比数列的有关问题，因而 要熟记公式，灵活地运用公式解决问题．
错因分析：注意b2的符号已经确定，且b2＜0，忽视 了这一隐含条件，就容易产生上面的错误．
正解：∵－1，a1，a2，－4 成等差数列，设公差为 d， 则 a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1， ∵－1，b1，b2，b3，－4 成等比数列， ∴b22＝(－1)×(－4)＝4，∴b2＝±2. 若设公比为 q，则 b2＝(－1)q2，∴b2＜0.
2 2 若 G 是 a5，a7 的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝ a1q4·a1q6＝a12q10＝962·1210＝9. ∴a5，a7 的等比中项是±3.
方法点评：(1)首项a1和q是构成等比数列的基本 量，从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基 本方法．
(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个， 它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中顶．
典例剖析
题型一 等比数列的通项公式
【例
1】
等比数列an
中
，a2＝4，a5＝－12，求通项
公式． 解：由 a2＝4，a5＝－12知aa11qq＝ 4＝4－，12 ，
a1＝－8， 解得q＝－12，
∴所求通项公式为 an＝－8·－12n－1.
方法点评：像等差数列的计算一样，等比数列中 基本量的计算是最重要、最基本的问题．
人教版高中数学必修五课件：2.4 等比数列(共17张PPT)
(1)等比数列的公比q能取0吗？等比数列 中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？ (3) 既是等差数列又是等比数列的数列
存在吗？ (4) 常数列都是等比数列吗？
自主探究
你能根据等比数列的定义推导出等比数 列的通项公式吗？
an q(n 2) an1
等比数列通项公式的推导： an an1
数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的 公比（q）。
其递推公式：
an q(n 2且 n N ) 或 an1 q(n N * )
a n 1
an
小试牛刀
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
例1. 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的首项和公比以及通项公式。
例2:
已知
a,
3 2
,
b,
243 32
,
c这五个数成等比数列,
求 a, b, c 的值。
课堂互动
1.在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
(2)已知a1
3, q
1 2
，求a5；
通项 变形
an
am
(n m)d
(n, m N *)
试一试
已知数列an 满足a1 1 ，an1 2an 1
（1）求证：数列 an 1 是等比数列；
（2）求数列 an 的通项公式。
qn 2
方法一:累乘法
a2 q
aa31 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
an q
存在吗？ (4) 常数列都是等比数列吗？
自主探究
你能根据等比数列的定义推导出等比数 列的通项公式吗？
an q(n 2) an1
等比数列通项公式的推导： an an1
数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的 公比（q）。
其递推公式：
an q(n 2且 n N ) 或 an1 q(n N * )
a n 1
an
小试牛刀
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) 1，3，9，27，81，…
是,公比 q=3
(2) 1 , 1 , 1 , 1 ,
2 4 8 16
例1. 一个等比数列的第3项与第4项分别是 12与18,求它的首项和公比以及通项公式。
例2:
已知
a,
3 2
,
b,
243 32
,
c这五个数成等比数列,
求 a, b, c 的值。
课堂互动
1.在等比数列{an}中：
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n;
(2)已知a1
3, q
1 2
，求a5；
通项 变形
an
am
(n m)d
(n, m N *)
试一试
已知数列an 满足a1 1 ，an1 2an 1
（1）求证：数列 an 1 是等比数列；
（2）求数列 an 的通项公式。
qn 2
方法一:累乘法
a2 q
aa31 q a2 a4 q
…a3 …
(n-1)个 式子
an q
高中数学 2.4等比数列(第1课时)课件 新人教A版必修5
当q 1
3
时，a19,an精 品9(1 3)n133n
8
例2： 某种放射性物质不断变化为其他物质，每 过1年剩留的这种物质是原来的80%，则这种物质 的半衰期为多少年(半衰期指放射性物质质量衰变 为原来的一半所需要的时间。附：lg20.3
解：设这种物质的原始质量为1，经过n年后，剩 余量为 a n ，由题意可以知道，数列{ a n } 为一等比 数列。其中，a10.8,q0.8，则
时，a1精1品3,6an13 6(2 3)n71
10 变式1：在等比数列 { a n } 中，a3 1,a2 a4 3 求通项公式。
解：由题意得
a1
q
2
1
a1 q
a1q 3
10 3
a1q a1q3 10
a1q2
3
1 q 2 10 q3
3q210q30
q 3或q 1 3
当 q 3 时，a19 1,an9 13n13n3
等比数列（一）
精品
1
【问题导学】
1、课本提到的以下几个例子：
① 1，2，4，8，…；② 1、1、1、1、 248
③ 1、 2、 0220、 230
它们的共同特征是 ：从第2项起，每一项与其前一 项的比是同一个常数.
2、等比数列的定义:从:：第2项起，每一项与其前一 项的比是同一个常数的数列，称为等比数列，
an 0.8n
设 an0.8n0.5， 两边取对数得 nlg0.8lg0.5
nlg0.5lg20.33 lg0.8 lg81 0.91
答：这种物质的半衰期大约为3年。
变式2、《必修5》P52 2 精品
9
课堂小结：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2017春人教版高中数学必修五课件：2.4 第1课时 等比数列1
1
n3
n2 3
第二十五页，编辑于星期六：三点 三分。
例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,
求它的第1项和第2项.
解：设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么
a1q2 12， ①
a1q3 18. ②
② ①，得 q 3 . ③ 2
把③代入①，得
a1
=
16 3
.
第二十六页，编辑于星期六：三点 三分。
an q(q 0)（n≥2，n ∈N*）； an1
2.要会推导等比数列的通项公式：
an
a1
qn1(q
，并掌握其基本应用.
0)
第三十四页，编辑于星期六：三点 三分。
3.等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列
等比数列
不 （1）强调每一项与前一项的差； （1）强调每一项与前一项的比值；
同
点 （2）a1和d可以为零.
例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经
过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的
半衰期为多长（精确到1年）？
分析：
时间： 剩留量:
最初
1
经过1年 a1=0.84 经过2年 a2=0.842 经过3年 a3=0.843 ……
经过n年 an=0.84n
an a1 qn1
第十九页，编辑于星期六：三点 三分。
比中项是( A )
A．±4 B．4
C．±14
1 D.4
【解析】由 an＝18·2n－1＝2n－4 知 a4＝1，a8＝24，其等
比中项为±4.
第三十页，编辑于星期六：三点 三分。
3.(2015·全国卷)等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,