上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题

上海市第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．i是虚数单位， 的虚部是_______________．
2．复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是________．
3．双曲线 的渐近线方程________．
【详解】
（1）由题意，将点 代入双曲线方程得， ，又 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，设点 ，则 ，且 或 ，
则 ，
所以当 时， 取得最小值为 ，所以 的最小值为 .
20．（1） （ 且 ）；（2）当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，两焦点分别为 ， ；当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为 ， ．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
7．
【分析】
先求解出双曲线的右焦点坐标，然后设抛物线方程 ，根据抛物线的焦点列式求解 .
【详解】
由双曲线的方程可得，双曲线的右焦点坐标为 ，因为抛物线以双曲线C的右焦点为焦点，所以设抛物线方程为 ，由 ，得 ，所以抛物线方程为 .
联立方程组 ，解得 ，
即点 的坐标为 .
故答案为： .
【点睛】
方法点睛：本题解答的关键在于找出直线所过的顶点，以及垂直条件，求得点 的轨迹方程，以及结合题设条件联立方程组进行求解.
13．C
【分析】
根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.
【详解】
因为 ， ，
4．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为_________.
5．抛物线 的准线方程为_______.
6．已知复数 满足 （ 是虚数单位），则 ．
7．已知双曲线 ，则以双曲线C的中心为顶点，以双曲线C的右焦点为焦点的抛物线方程为_______________．
8．已知直线l过点 且垂直于x轴，若 被抛物线 截得线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_______________．
由①、②，可得 ， ， ，
所以 ．
所以三角形的面积为： ．
故答案为： ．
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用好椭圆与双曲线的定义，然后把问题转化为解三角形问题.
11．
【详解】
试题分析：由新定义可知，直线 与曲线 相离，
圆 的圆心到直线 的距离为 ，此时直线 与圆 相离，
根据新定义可知，曲线 到直线 的距离为 ，
故ABD均错误，C正确.
故选：C.
14．A
【分析】
根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.
【详解】
满足方程是 的解对应点都在曲线 上,曲线 上的点的坐标都满足方程，则曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，则不在曲线 上的点的坐标不可能满足方程 ，故A错误.
故选：A.
15．B
【分析】
化为圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由题意，复数 ，
可得复数 的虚部是 .
故答案为： .
2．
【详解】
复数 ,其共轭复数为 ,故填 .
3．
【分析】
先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
【详解】
∵双曲线 的a=2，b=1，焦点在x轴上
而双曲线 的渐近线方程为y=±
∴双曲线 的渐近线方程为y=±
17． .
【分析】
先设复数 ，根据实系数一元二次方程有虚根的情况及系数关系判断 ，得到 ，再计算 即可
【详解】
设复数 ，因为z是关于x的方程 的一个虚根，所以其共轭复数 也是该方程的根，根据两根之积 ，可知 ，故 .
18．（1） ， ；（2） ．
【分析】
（1）由抛物线的焦点坐标可求得 的值，可得出抛物线 的方程，进而可求得抛物线 的准线 的方程；
故答案为y=±
【点睛】
本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想
4．
【分析】
由椭圆方程求出 ，再根据椭圆的定义可求得结果.
【详解】
由 得 ，所以 ，
由椭圆的定义可得 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 .
故答案为：
5．
【分析】
由抛物线方程求出 ，判断焦点位置，从而可得答案.
9．如果双曲线 右支上一点 到双曲线右焦点的距离是 ，那么点 到 轴的距离是_______________．
10．设椭圆 和双曲线 的公共焦点为 、 ，P是两曲线的一个公共点，则 _______________．
11．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
所以 ②，
将①代入②可得曲线 的方程为 （ 且 ）；
（2）因为 且 ，
所以当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，
两焦点分别为 ， ；
当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为 ， ．
【点睛】
关于动点轨迹方程的求解，一般比较常用的方法是定义法、代入法以及相关点法，关于定义法需要掌握几种曲线的定义表示并判断题干条件符合哪个曲线的定义；代入法则直接代入计算，但需要注意定义域；相关点法的应用则需要寻找不同动点之间的关系列式，然后写出轨迹方程.
21．(1)见解析；(2) ；(3)存在，
【分析】
(1)根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边一半得到答案.
(2)过 三点的圆，半径为 ，圆心 ，圆心到直线 的距离为： ，再根据垂径定理得到答案.
(3)设直线为： ，联立方程，根据韦达定理得到： ，直线 ： ，取 化简得到答案.
【详解】
(1)在 中， ， 是 中点，故
【详解】
由题意，圆 ，消去参数，可得 ，
则圆心坐标为 ，半径为 ，
又由圆心到直线 的距离为 ，可得 ，
又由圆心不适合直线 方程，
所以直线与圆相交但不过圆心.
故选：B.
16．A
【详解】
由题意，可设切线的斜率为 （ 必存在），圆 的半径为 ，则切线的方程为 ，且 ， ，则点 的坐标分别为 ， ，且 即 ，所以
【分析】
（1）首先设出点 和点 的坐标，利用 ，确定点 和点 坐标之间的关系，再利用点 在单位圆 上运动，即可求得曲线 的方程；
（2）根据（1）中曲线 的方程，分别分析 和 两种情况下曲线 为何种圆锥曲线，再根据和点 满足 （ 且 ），
所以 ①，又因为点 在单位圆 上，
故答案为： .
8．
【分析】
根据截得线段长可求 ，从而可求焦点坐标.
【详解】
在抛物线 的方程中令 ，则 ，故 ，
故 ，所以抛物线的方程为： ，故其焦点坐标为： .
故答案为： .
9．
【分析】
由题意可知点 为双曲线的右顶点，由此可求得点 到 轴的距离.
【详解】
在双曲线 中， ， ， ，
所以，双曲线 的右焦点为 ，
(2)过 三点的圆，半径为 ，圆心
圆心到直线 的距离为：
根据垂径定理得到： 解得：
根据（1）知：
的方程为：
(3)存在定点，
， ，设直线为：
得到： , 在椭圆内，一定有两个交点.
故
直线 ：
取 得到
故存在定点
【点睛】
本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定点问题，综合性大，技巧性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
12．若 ，直线 与 交于点P，点P的轨迹C与x、y轴分别相交于A、B两点，O为坐标原点（A、B异于原点O），则满足 的位于第一象限内的点P坐标为_______________．
二、单选题
13．设 ，其中 ，则下列命题中正确的是（）
A．复数z可能为纯虚数
B．复数z可能是实数
C．复数z在复平面上对应的点在第一象限
（2）利用斜率公式求出点 的坐标，由 以及点 在抛物线 上可求得点 的坐标，利用抛物线的定义可求得线段 的长．
【详解】
（1）由于抛物线 的焦点为 ，则 ，可得 ，
所以，抛物线 的方程为 ，该抛物线的准线 的方程为 ；
（2）设点 ，则 ，可得 ，即点 ，
设点 ， ，则 ， ，即点 ，
因此， .
【点睛】
C．相切D．相离
16．如图，圆 分别与 轴正半轴， 轴正半轴相切于点 ，过劣弧 上一点 作圆 的切线，分别交 轴正半轴， 轴正半轴于点 ，若点 是切线上一点，则 周长的最小值为------------------------------------------------------------------( )
【详解】
由题意，将直线 变形为 ，
由 ，解得 ，即直线 过定点 ，
同理可得直线 过定点 ，且 ，
设点 的坐标为 ，则 ，
由 ，
可得 ，
整理得 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，即 ,
所以 时点 的轨迹圆的一条直径，则 ，
由勾股定理，可得 ，
联立方程组 ，解得 ，
由于点 在第一象限，则 ，
由两点间的距离公式，可得 ，
关键点点睛：本题考查利用抛物线的定义求焦半径，解题的关键就是求出点 的坐标，注意到 ，可以通过点 与点 之间的关系来求解.
19．（1） ；（2） ．
【分析】
（1）把点 代入双曲线的方程，直接求出 的值；（2）设点 ，由两点的距离公式表示出 ，然后化简得关于 的二次函数，利用二次函数的性质求解最小值.
A．10B．8C． D．12