利息论第一章
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第一章 利息理论
季度的实际利率为 3% ：
年名义利率为 12% ，每年结转 4 次利息； 年名义利率为 12% ，每年复利 4 次； 年名义利率为 12% ，每个季度结转一次利息； 年名义利率为 12% ，每个季度复利一次。
相关术语
利息结转期：
interest conversion period ； 每月结转一次： convertible monthly ； 每季支付一次： payable quarterly ； 每半年复利一次： compound semiannually ；
例：
若在 1999 年 6 月 17 日存入 1000 元，到 2000 年 3 月 10 日取款，年单利利率为 8 ％，试分别 按下列规则计算利息金额：
1 ） “ 实际 /365 ” 规则。 2 ） “ 实际 /360 ” 规则。Fra bibliotek（ （ （
3 ） “ 30/360 ” 规则。
（ 1 ）从 1999 年 6 月 17 日到 2000 年 3 月 10 日的精确天数为267 ，因此在 “ 实际 /365 ” 规则下， t = 267/365 ，利息金额为：
单贴现与复贴现的关系（ 了解 ）
单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。 对于较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值， 而对较短时期情况则相反。 单贴现模式并不对应着单利的贴现模式，而复贴 现模式对应复利的贴现模式。
小结：
计算累积值和现值，既可以用利率，也可以用 贴现率。 如果 用利率计算累积值和现值 ，则有
期末的 1 元在期初的现值为：
此现值用贴现率d表示即为：
故有下图：
根据利率的定义，有
利率i与贴现率d的关系（3）
利息理论第一章——利息度量
n
n
lim
x0
exp
ln(1 x
ix)
lim
x0
exp
1
i
ix
ei
24
1.4 复利 (compound interest)
单利：本金保持不变。 复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即 “利滚利”。 例：
假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元， 因此在年末有1050元可以用来投资。
21
（1）精确天数为238，在“实际/365”规则下，t = 238/365， 利息金额为：
10000 0.08 238 521.6 365
（2）在“实际/360”规则下，t = 238/360，利息金额为：
10000 0.08 238 528.9 360
（3）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为：
累积函数：时间零点的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
7
例：
常见的几个积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t
(1 i)t
t 年累积因子：t-year accumulation factor
34
实际贴现率：d
(effective rate of discount with compound interest)
实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：
实际贴现率(d
)
利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
利息理论1
i
m
) 1 或
m
i
( m)
m m 1 i 1
21
例.贷款人A开价年利率为9%,贷款人B开价季度复 利8.75%，而贷款人C开价月度复利8.5%。某人需 要为期一年的贷款，问谁的贷款好？ 解:对B:
8.75% i 1 1 9.04% 4 8.5% i 1 1 8.83% 12
9
注（1)利率常用百分比表示。
（2）本金在整个时期内视为常数
（3)利率是一种度量，其中利息在期末支付。它 可用累积函数确定如下：
it1 ,t2
1.1.2. 单利和复利
a(t2 ) a(t1 ) a(t1 )
定义1.5 若有这样一种累积计算方式:1个货币单位 的投资，在每一时期中得到的利息为常数，则称对 应的利息计算方式为简单利息计算方式,简称单利 方式.对应的利息称为单利.
5
1.1.1 累积函数
定义1.1 考虑一单位本金，记原始投资为1时在 任何时刻的累积值为a(t)，称为累积函数。 a(t)的性质：
(1) a(0)=1;
(2) a(t)通常为增函数； 典型累积函数:
a(t ) 1 it
a(t ) (1 i) , t 1,2,...
t
6
a(t ) e
7
为了表示货币价值的相对变化幅度,度量利息的 常用方法是计算所谓的利率. 定义1.3 时间区间[t1, t2 ] 内总量函数A(t)的变化量 (增量)与期初货币量的比值称为在时间区间 [t1, t2 ] 内的利率,记为
it1 ,t2
特别地,当 t1
A(n) A(n 1) In in A(n 1) A(n 1)
刘占国《利息理论》课后答案
第一章 利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.11)0(=∴=b a 180)5(100=a ，508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b) 7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+-+ 12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k14.n n n n i i i i --+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式 19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）; (2)用公式（1-23） 22. 用公式（1-29）23.(1) 用公式（1-32）;(2) 用公式（1-34）及题6（2）结论 24. 用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 26.对于c)及d)，δn e n a =)(，1111)1(-=-=+==∴v di e a δ，∴c)中，v ln -=δ， d)中，δ--=ed 128.⎰=tdx x e t a 0)()(δ29.4411⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+j i ；he j =+131.（1）902天 39.t e tA dr +=⎰10δ )1ln(0t dr t A +=⎰∴δ，两边同时求导，tt A+=11)(δ，)(t B δ类似46.10009200.081000d -==，920)2108.01(288)08.01(=⨯-+-x第二章 年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A --⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xii i xi a y ii----+==⇒+=--+--===将1di d=-代入（*）7.解：()51218100010.0839169.84s -+=8.解：100.1100.15000s Ra = 9.解：100.1100.155000s Ra = 14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎫=- ⎪⎝⎭17.解：0.0081500100000m a = 解得95.6m ≈ 即正常还款次数为95次 95950.0081500(10.008)100000a f -++= 解得965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+++-++= 令105()1715f t t t t =+-+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i --=--(1.032)0.003186f =-1000 1000 1000 011718…23.解：()4660.0411 1.04i a i ---++，40.04114i ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24.解：修改于2009/11/4分解成两个数列：第一个数列：时刻0，2，4，…，20共付款11次，各期付款额成等比数列。
第一章利息理论
30
p P-300
P+336 p
0
1.
336 i p
p 2800 300 i
p 300
1
2.
Байду номын сангаас
336 p 336 300
d
d
p
2800
p
31
3.pi 336,pd=300 i d 336 300 1 i i 0.12 p 2800
4.i d id (产生36元利息差的原因是本金少了300元) 336-300=300i i=0.12 Q 0.12p 336 p=2800
32
1.2名义利率与名义贴现率
名义利率：
（1）一个度量周期内结转m次利息的利率
（2）度量的是资本在一个小区间
1 内的实际利率
m
（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相
12
保险精算的基本原理
➢ 大数法则：即对于大量的随机现象
（事件），由于偶然性相互抵消所呈 现的必然数量规律的一系列定理的统 称。常见的有三个大数法则： ✓切比雪夫（Chehyshev）大数法则 ✓贝努里（Bermulli）大数法则 ✓泊松（Poisson）大数法则
13
教材
李秀芳，傅安平，王静龙 《保险精算》， 中国人民大学出版社（教育部，保监会推 荐教材）
➢ 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展， 精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高， 精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入 我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国 际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方 式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸 收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。
p P-300
P+336 p
0
1.
336 i p
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p 300
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d
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p
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3.pi 336,pd=300 i d 336 300 1 i i 0.12 p 2800
4.i d id (产生36元利息差的原因是本金少了300元) 336-300=300i i=0.12 Q 0.12p 336 p=2800
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1.2名义利率与名义贴现率
名义利率：
（1）一个度量周期内结转m次利息的利率
（2）度量的是资本在一个小区间
1 内的实际利率
m
（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相
12
保险精算的基本原理
➢ 大数法则：即对于大量的随机现象
（事件），由于偶然性相互抵消所呈 现的必然数量规律的一系列定理的统 称。常见的有三个大数法则： ✓切比雪夫（Chehyshev）大数法则 ✓贝努里（Bermulli）大数法则 ✓泊松（Poisson）大数法则
13
教材
李秀芳，傅安平，王静龙 《保险精算》， 中国人民大学出版社（教育部，保监会推 荐教材）
➢ 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展， 精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高， 精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入 我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国 际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方 式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸 收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。
第一章 利息理论(利率问题)
Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
一、利息（Interest）的定义
d1 A 1 A 1 1 A 1 a 1 a 0 a 1 1 a 1 1
a 1 1 1 d 1
（3）利率与贴现率之间的关系 1）单利场合 2）复利场合
1）单利场合利率与贴现率的关系
dn
I ( n) A(n) a (n) a(n 1) a ( n) i 1 in
一、某公司招聘广告中对精算助理的 要求
岗位职责： 1、 根据市场、销售部门提出的开发新险种的需求，设计 符合市场及公司发展需要的产品； 2、 责任准备金的评估及计提； 3、 公司未来的现金流分析及利润预测； 4、 分析公司发生的各项管理费用的合理性； 5、 核算公司代理人体系的成本，进行成本效益分析； 6、 公司的利源分析，资产负债匹配分析； 7、 根据保监会的规定编制各种精算月报、季报、年报； 8、 各种发生率的经验分析，保险条款的订立与修正。
0
t
a(0) 1 1 特别的有：a (1) v折现因子，记为v.
3、金额函数（Amount function ）
A(t ) K a(t ) 显然有：A(0) K
K------------------------------ A(t ) 0
t
4、第N期利息
I ( n)
I (n) A(n) A(n 1)
利息理论 第1章 利息的基础知识
ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为：
1 ,2
时
n
积累函数值
n
a(n) e0tdt
e 0 11d t 12 2d tnn1nd t
e12 n
n
k e k 1
A1 A0 A0
a1 1
第二年：
i2
A2 A1 A1
a2 a1 a1
第 n年：
in
An An1 A n 1
a n a n1 a n1
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数），
a 5=126 , A0=100
求：A i at ct2d
10、 、 10
第n年的利率为
。 inaa (n (n )1)1en 1
现值函数值为：
n
k vn e k1
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1
例：设某项投资基金的利息力为，
k51 20 k,0k1,2,3
其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 为50，000元。
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一
d1v
及：
公式二
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？
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24
有关名义利率的几个概念 利息换算期(interest conversion period) 月换算（convertible monthly） 季换算（payable quarterly） 半年换算（compounded semiannually）
名义利率—— i(m) m 1 为一个度量期
中付息m次的名义利率. 也就是说, 名义利率i(m) 指每1/m个度量期支付实质利息为 i(m) /m的利 息一次。
注意：实质上实质利率是对期末支付利息的 度量；而实质贴现率是对期初支付利息的度 量。
18
现在，来讨论任意一期上的实质贴现率。
设 dn 为第n期的实质贴现率，则
dn
In
An
Pan Pan Pan
1
a n a n an
1
注意：1、在常数单利率下，各期实质贴
现率为
dn
a n a n 1 an
i 1 i n
则：i1
A0 A1 A0
50 1000
5%; i2
A2 A1 A1
50 1050
4.762%
10
1-3 单利与复利 引例：某企业今年产量为Q，如果年递
增a 则明年产量T？5年后呢T5？
T Q 1 a
T 5 Q 1 a 5
11
如果我们定义积累函数分别为： 1、 at 1it 则说该项投资是以单利i率 记息。称该种计息方式为单利。
e1e2
et
实际利率in
a n a n 1 a n 1
an a n 1
1
en
1
a n 1 i1 1 i2 1 in 当i1i2 in时 1 i n
36
例1.6.1书上例1-13 例1.6.2确定1000元按利息强度5%,投资10 年的积累值. 答案:1648.78
37
利息强度与其它度量之间的关系
利息度量 利息求解
第一章 利息的基本概念 1-1 利息的度量
利息: 是指在一个借贷关系中，由借款人（Borrower）为了取得一定数 量的资金在一定期限内的使用权，而支付给贷款人（Lender）的 报酬。其实质是一定期限内投资资金的价值增值 注意：1、利息不一定必须是货币形式。
2、所有形式的利息都可以通过货币价值形式进行度量。 怎样去度量利息?
25
两个利率等价概念： 初始本金相同，经过相同期限后积累值相同
名义利率 i(m) 与其等价的实质利率之间的
关系
1
i
1
i(m) m
m
i
1
i(m) m
m
1
即有：i(m)
m
1
1
im
1
27
名义贴现率—— d (m)
类似，可以定义 d (m) 为在一个标准度量期 内，换算m次，以实质贴现率 d (m)/m在每
1、贴现强度t
ln
a1
t
a d 1
dt
t
a1 t
t
2、如果利息强度在某度量期间为常数，则实质利率也为常数；
但是反之不然！
？？？？为何？
38
3、在利息强度为常数（从而实际利率为 常数）的情况下，各种利息度量之间的关 系：
i d d 1 d
20
2、
d i i 1 i
3、d i 1 v
事实上，因为贴现因子
1
1 i
4. i d id
21
复贴现率 单贴现率
a1 t 1 dt,0 t 1
d
例1.4.1书上例1-8
例14.2 A deposit of X is made into a fund with pays an annual effective interest rate of 6% for 10 years. At same time, X/2 is deposited into another fund which pays an annual effective rate of discount of d for 10 years. The amount of interest earned over the 10 years are equal for both fund, calculate d. Answer:9%
一个1/m期初支付利息一次。
同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
1 d
1
d m m
m
d
1
1
d m m
m
d
m
m
1 1
d
1 m
m
1
1 m
28
名义利率与名义贴现率之间的关系：
im
m
d n
n
1 m 1 i 1 n
对于任意的n,m成立
说明：1、m=n时， 1 im
表达式的推广：t
d dt
ln
A
2、利用导数的定义有t
t
d
AAttdt
ln a t
lim At
h0
h hA t
A
t
当 a(t) (1 i)t 时,有什么好的结果?
4、三个常用表达式
t 0
r dr
t
0
d
ln
Ar
ln
At A0
A
t
A0
exp
同理a t a 0
t
0 rdr
t
exp 0 rdr
2
我们称: 本金(principal)——开始时投资的金额 积累值（终值）(accumulated value)—— 一段时间后的总金额。 利息(interest) ——经过一段时间后增长 的数额
3
1.积累函数(accumulation function) a(t)=accumulated value at time t of an investment of 1 made at time 0.=1+(interest earned over the period (0,t) on 1) 2.金额函数(Amount function)或者叫做总量函数:原 始投资为k(k>0)在时刻t的积累值A(t).显然: A(t)=ka(t)=A(0)a(t) A(t)与a(t)有下列性质: ①t=0时,a(0)=1,A(0)=k ②两者在正利息下为增函数,在负利息下为减函数,在0 利息下为常数 ③如果利息连续计算,他们都是连续函数.
2、在常数复利率下，各期实质贴现率为
dn
a n a n 1 an
1 i n 1 i n1 1 i n
i 1 i
d
19
复利率、贴现率、贴现因子的关系：
➢ 实质贴现率与实质利率称为是等价的， 如果在相同的初始本金和相同的投资期 限内得到相同的终值。
➢ 对于等价的利率 i 和贴现率 d有关系：
1. 等式
利率（贴现率）——单位度量期内利息量；
名义利率（名义贴现率）——1/m个标准度 量期内利息量的度量；
如何度量任何一个时间点上的利息？
设一投资项目的累积总量函数为 ，到 时刻t的利息强度（也叫利息效力或利A息t 力） 为：
At at t At at
33
利息强度的性质：
1、 t 是利息在某一确定时间t的强度的 度量；
2、 at 1 it 则说该项投资是以复利i率
记息。称该种计息方式为复利。 注意： 常数单利意味着递减的实质利率,意味着每 一期的利息相等. 常数复利率意味着常数的实质利率,意味着 每一期的利息增加.
12
事实上：
1、单利率下 An An 1 P 1 in P 1 i n 1
in An 1
m
1
d m m
1
2、 im d m im d m
mm
mm
29
例1.5.1书上 例1-10 例1.5.2书上例1-11 例1.5.3At time t=0,John deposits 1000 into a fund which
credits interest at an annual interest rate of 10% compounded semiannually. At the same time, he deposits P into a different fund which credits interest an annual discount rate of 6% compounded monthly. At time t=20, the amount in each fund are equal. What is the annual effective interest rate earned on the total deposits 1000+P over the 20 years. ANSWER:7.84%
t
1时， 1 i t
1 it
2、增长形式不同。单利在同样长时间增
长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si(仅仅与s有关)
a
t
s a t
a t
1 i tst
1
1 i s
1仅仅与s有关
14
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4）
解：利用总累积函数单利时
A5 5000a5 5000156% 6500元
用复利计算有
A5 5000 a5 50001 6%5 6691.13元
15
例1.3.2有这样一种利息的积累方式,前5年按 年复利i计算,后来按年复利2i计算.一人投资 1元在0时刻,在第十年末积累到了3.09元,在 第20年末积累到了13.62元,问 第7年末的积 累值?
有关名义利率的几个概念 利息换算期(interest conversion period) 月换算（convertible monthly） 季换算（payable quarterly） 半年换算（compounded semiannually）
名义利率—— i(m) m 1 为一个度量期
中付息m次的名义利率. 也就是说, 名义利率i(m) 指每1/m个度量期支付实质利息为 i(m) /m的利 息一次。
注意：实质上实质利率是对期末支付利息的 度量；而实质贴现率是对期初支付利息的度 量。
18
现在，来讨论任意一期上的实质贴现率。
设 dn 为第n期的实质贴现率，则
dn
In
An
Pan Pan Pan
1
a n a n an
1
注意：1、在常数单利率下，各期实质贴
现率为
dn
a n a n 1 an
i 1 i n
则：i1
A0 A1 A0
50 1000
5%; i2
A2 A1 A1
50 1050
4.762%
10
1-3 单利与复利 引例：某企业今年产量为Q，如果年递
增a 则明年产量T？5年后呢T5？
T Q 1 a
T 5 Q 1 a 5
11
如果我们定义积累函数分别为： 1、 at 1it 则说该项投资是以单利i率 记息。称该种计息方式为单利。
e1e2
et
实际利率in
a n a n 1 a n 1
an a n 1
1
en
1
a n 1 i1 1 i2 1 in 当i1i2 in时 1 i n
36
例1.6.1书上例1-13 例1.6.2确定1000元按利息强度5%,投资10 年的积累值. 答案:1648.78
37
利息强度与其它度量之间的关系
利息度量 利息求解
第一章 利息的基本概念 1-1 利息的度量
利息: 是指在一个借贷关系中，由借款人（Borrower）为了取得一定数 量的资金在一定期限内的使用权，而支付给贷款人（Lender）的 报酬。其实质是一定期限内投资资金的价值增值 注意：1、利息不一定必须是货币形式。
2、所有形式的利息都可以通过货币价值形式进行度量。 怎样去度量利息?
25
两个利率等价概念： 初始本金相同，经过相同期限后积累值相同
名义利率 i(m) 与其等价的实质利率之间的
关系
1
i
1
i(m) m
m
i
1
i(m) m
m
1
即有：i(m)
m
1
1
im
1
27
名义贴现率—— d (m)
类似，可以定义 d (m) 为在一个标准度量期 内，换算m次，以实质贴现率 d (m)/m在每
1、贴现强度t
ln
a1
t
a d 1
dt
t
a1 t
t
2、如果利息强度在某度量期间为常数，则实质利率也为常数；
但是反之不然！
？？？？为何？
38
3、在利息强度为常数（从而实际利率为 常数）的情况下，各种利息度量之间的关 系：
i d d 1 d
20
2、
d i i 1 i
3、d i 1 v
事实上，因为贴现因子
1
1 i
4. i d id
21
复贴现率 单贴现率
a1 t 1 dt,0 t 1
d
例1.4.1书上例1-8
例14.2 A deposit of X is made into a fund with pays an annual effective interest rate of 6% for 10 years. At same time, X/2 is deposited into another fund which pays an annual effective rate of discount of d for 10 years. The amount of interest earned over the 10 years are equal for both fund, calculate d. Answer:9%
一个1/m期初支付利息一次。
同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
1 d
1
d m m
m
d
1
1
d m m
m
d
m
m
1 1
d
1 m
m
1
1 m
28
名义利率与名义贴现率之间的关系：
im
m
d n
n
1 m 1 i 1 n
对于任意的n,m成立
说明：1、m=n时， 1 im
表达式的推广：t
d dt
ln
A
2、利用导数的定义有t
t
d
AAttdt
ln a t
lim At
h0
h hA t
A
t
当 a(t) (1 i)t 时,有什么好的结果?
4、三个常用表达式
t 0
r dr
t
0
d
ln
Ar
ln
At A0
A
t
A0
exp
同理a t a 0
t
0 rdr
t
exp 0 rdr
2
我们称: 本金(principal)——开始时投资的金额 积累值（终值）(accumulated value)—— 一段时间后的总金额。 利息(interest) ——经过一段时间后增长 的数额
3
1.积累函数(accumulation function) a(t)=accumulated value at time t of an investment of 1 made at time 0.=1+(interest earned over the period (0,t) on 1) 2.金额函数(Amount function)或者叫做总量函数:原 始投资为k(k>0)在时刻t的积累值A(t).显然: A(t)=ka(t)=A(0)a(t) A(t)与a(t)有下列性质: ①t=0时,a(0)=1,A(0)=k ②两者在正利息下为增函数,在负利息下为减函数,在0 利息下为常数 ③如果利息连续计算,他们都是连续函数.
2、在常数复利率下，各期实质贴现率为
dn
a n a n 1 an
1 i n 1 i n1 1 i n
i 1 i
d
19
复利率、贴现率、贴现因子的关系：
➢ 实质贴现率与实质利率称为是等价的， 如果在相同的初始本金和相同的投资期 限内得到相同的终值。
➢ 对于等价的利率 i 和贴现率 d有关系：
1. 等式
利率（贴现率）——单位度量期内利息量；
名义利率（名义贴现率）——1/m个标准度 量期内利息量的度量；
如何度量任何一个时间点上的利息？
设一投资项目的累积总量函数为 ，到 时刻t的利息强度（也叫利息效力或利A息t 力） 为：
At at t At at
33
利息强度的性质：
1、 t 是利息在某一确定时间t的强度的 度量；
2、 at 1 it 则说该项投资是以复利i率
记息。称该种计息方式为复利。 注意： 常数单利意味着递减的实质利率,意味着每 一期的利息相等. 常数复利率意味着常数的实质利率,意味着 每一期的利息增加.
12
事实上：
1、单利率下 An An 1 P 1 in P 1 i n 1
in An 1
m
1
d m m
1
2、 im d m im d m
mm
mm
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例1.5.1书上 例1-10 例1.5.2书上例1-11 例1.5.3At time t=0,John deposits 1000 into a fund which
credits interest at an annual interest rate of 10% compounded semiannually. At the same time, he deposits P into a different fund which credits interest an annual discount rate of 6% compounded monthly. At time t=20, the amount in each fund are equal. What is the annual effective interest rate earned on the total deposits 1000+P over the 20 years. ANSWER:7.84%
t
1时， 1 i t
1 it
2、增长形式不同。单利在同样长时间增
长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si(仅仅与s有关)
a
t
s a t
a t
1 i tst
1
1 i s
1仅仅与s有关
14
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4）
解：利用总累积函数单利时
A5 5000a5 5000156% 6500元
用复利计算有
A5 5000 a5 50001 6%5 6691.13元
15
例1.3.2有这样一种利息的积累方式,前5年按 年复利i计算,后来按年复利2i计算.一人投资 1元在0时刻,在第十年末积累到了3.09元,在 第20年末积累到了13.62元,问 第7年末的积 累值?