利息理论第一章课后答案

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新编利息理论刘波课后答案

第一章习题答案1. 设总量函数为A(t) = t2 + 2t + 3 。

试计算累积函数a(t) 和第n 个时段的利息In 。

解: 把t = 0 代入得A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)/A(0)=（t2 + 2t + 3）/3 In = A(n) − A(n − 1)= (n2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从t 时刻到n(t < n) 时刻的利息: (1)Ir(0 < r <n); (2)Ir = 2r(0 < r < n). 解:()n n-1t 11I A (n )A (t)I I I n (n 1)/2t(t 1)/2+=-=+++=+-+・・・(2)1t 11I A (n )A (t) 22nn k k t I ++=+=-==-∑3. 已知累积函数的形式为:2a (t) at b=+。

若0 时刻投入的100 元累积到3 时刻为172 元，试计算：5 时刻投入的100 元在10 时刻的终值。

解: 由题意得a(0) = 1, a(3) =A(3)/A(0)= 1.72⇒ a = 0.08, b = 1∴ A(5) = 100 A(10) = A(0) ・ a(10) = A(5) ・ a(10)/a(5)= 100 × 3 = 300. 4. 分别对以下两种总量函数计算i5 和i10 :(1) A(t) = 100 + 5t; (2)tA (t) 100(1 0.1)=+.解：(1)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)=5120≈ 4.17% i10 =(A(10) − A(9))/A(9)=5145≈ 3.45% (2)i5 =(A(5) − A(4))/A(4)()()()544109109100(1 0.1)100(1 0.1)10%100(1 0.1)100(1 0.1)100(1 0.1)i (A 10A 9)/A 9 10%100(1 0.1)+-+==++-+=-==+5.设()n A 4 1000, i 0.01n==. 试计算A(7) 。

利息理论——第一章1.1

利息的基本概念
在给出利息的几种基本度量方式前，先引入几个基本概念。本金（Principal）：我们把每项业务开始时投资的初始金额称为本金，常用P表示。积累值（Accumulated Value）：把业务开始一定时间后回收的资金总额称为该时刻的积累值（或终值）。显然，积累值与本金的差额就是这一时期的利息金额。
积累函数

这里，我们假定，一旦给定了本金金额，则在任何时刻的积累值均可确定，并假定在投资期间不再加入或抽回本金。也就是说，该投资在数额上的任何变化全部是由于利息的影响而造成的。当然，以后将放松这一假设而允许在投资旗舰加入或抽回本金。

很显然，在上述假设下，决定积累值的两个最主要的因素就是本金金额和从投资日算起的时间长度。理论上，时间长度可以用许多不同的单位来度量。例如，日、周、月、季、半年、一年等。用来度量时间的单位称为 “度量期”或“期”（可以等同于我们之前讲过的计息期），最长用的期是年。以后各章除非另外声明，均可认为一个度量期为一年。
n
A(n 1)
A(n 1)

显然，(1.1.3)和(1.1.4a)式中的i记为i 更合适。
1

例3 某人到银行存入1 000元，第一年末他存折上的余额为 1 050元，第二年末他存折上的余额为1 100元，问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？解：显然，A(0)=1 000，A(1)=1 050，A(2)=1 100 因此，I1=A(1) － A(0)=50(元) I2=A(2) － A(1)=50(元) I1 50 i1 5% A(0) 1000 I2 50 i2 4.762% A(1) 1050 故，第一年的实际利率为5%，第二年的实际利率为4.762%。

利息理论第一章-1

n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等，从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两者是一致的。
19
例题

例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息，而仅付给张三94元；1年后，张三支付给银行100元。分析：从上面两个例子来看，实际利率是对期末支付利息的度量，而实际贴现率是对期初支付利息的度量。即实际利率说明了资本在期末获得利息的一种能力。而实际贴现率说明了资本在期初获得利息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义：一个度量期内的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一时期的利息金额。注意：假定一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入或抽回本金。

4

故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )；当t 1时，a(t)<a* (t )；

利息理论第1章利息的基础知识

第二种方法：购买时90元，一年后按面值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。-元为期初利息，元为期初利息是期末值的减少额。 -贴现额。贴现额。贴现额
.
2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn =
An An1 An
=
an an1 an
年贴现额=A 年贴现额 ndn=An-An-1 为标准的减少额。以An为标准的减少额。年利息=A 年利息 n-1 in=An-An-1 为标准的增加额。以An-1为标准的增加额。
3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1，例：94年1月1日的积累值为，000元，d=10% 年月日的积累值为元日的现值为多少？求：1）90年1月1日的现值为多少？）年月日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？）折现因子为多少？解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim

刘占国《利息理论》习题解答[1]

《利息理论》习题详解第一章利息的基本概念1、解：、解：（1）)()0()(t a A t A =又()25A t t t =++(0)5()2()1(0)55A A t t a t t A \===++ （2）3(3)(2)113(92)232 2.318I A A =-=+-+=+-=（3）4(4)(3)15(113)0.178(3)113A A i A --+===+ 2、证明：、证明：（1）123(1)()(2)(1)(3)(2)()(1)m m m m k I A m A m I A m A m I A m A m I A m k A m k ++++=+-=+-+=+-+=+-+-123123()()()()()m m m m k m m m n I I I I A m k A m n m k A n A m I I I I m n +++++++\++++=+-=+-=++++< 令有（2）()(1)()1(1)(1)n A n A n A n i A n A n --==---()1(1)()(1)(1)n n A n i A n A n i A n \+=-\=+-3、证明：、证明： (1) (1)112123123(1)(0)(0)(2)(0)(0)(0)(3)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(0)k nk i a a a i a a a i a i a a a i a i a i a n a a i a i a i a i \=+=++=+++=+++++第期的单利利率是又(0)1a =123123()1()(0)()1nna n i i i i a n a a n i i i i \=+++++\-=-=++++（2）由于第2题结论成立，当取0m =时有时有12()(0)n A n A I I I -=+++4、解：、解：（1）以单利积累计算）以单利积累计算1205003i =´ 1200.085003i \==´800(10.085)1120\+´=（2）以复利积累计算）以复利积累计算3120500500(1)i +=+0.074337i \=5800(10.074337)1144.97\+=5、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得解得 (0)794.1A =6、证明：设利率是i ，则n 个时期前的1元钱的当前值为(1)ni +，n 个时期后的1元钱的当前值为1(1)ni +又22211[(1)](1)20(1)(1)n nnni i i i +-=++-³++ ，当且仅当221(1)(1)1(1)n n n i i i +=Þ+=+，0i =即或者或者n=0n=0n=0时时等号成立。

东北财经大学智慧树知到“保险”《利息理论》网课测试题答案1

东北财经大学智慧树知到“保险”《利息理论》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.投资年法可以有效地避免投资组合法的固有缺陷。

()A.正确B.错误2.一项期初付永久年金(永续年金)每年付款1万元，年实际利率为5%。

根据以上信息，该年金的现值为()万元。

A.20B.21C.22.5D.253.某人在未来20年内以等额本金法来偿还一笔金额为100万元的贷款，贷款年利率为4%。

该人前10年内支付的利息总额为()万元。

A.30B.31C.32D.334.利用年金当前值的概念，如果{图}，则X、Y和Z分别等于()。

A.4﹔3﹔3B.3﹔4﹔3C.2﹔5﹔4D.2﹔4﹔45.金融函数与积累函数的关系式为：A(t)=A(0)×a(t)。

()A.正确B.错误6.债券账面值的递推公式为：。

()A.正确B.错误7.等额本息法和等额本金法的区别在于：前者的每期偿还额均相等，而后者的每期偿还额的本金部分均相等。

()A.正确B.错误8.等额本息法分期偿还表中，每期本金部分之和等于贷款金额。

()A.正确B.错误9.有一项年金，在前10年的每年末付款1，在后10年的每年末付款2，则该年金在第1年初的现值为{图}。

()A.正确B.错误10.如果年实际利率为6%，则年实际贴现率为()。

A.6/106B.6/94C.4/106D.4/10411.在1年内，本金X既可以产生336元利息，也可以产生300元贴息。

根据以上信息，X等于()元。

A.2500B.2800C.2900D.295012.某人在未来20年内以等额本息法来偿还一笔金额为100万元的贷款，贷款年利率为4%。

该人每年需要支付的偿还额为()元。

A.72581.75B.73581.75C.74581.75D.75581.7513.在根据投资组合法来分配收益时，如果投资者预期到未来利率可能上升，就可能出于投机心理而不追加投资甚或抽走资金，以提高投资收益。

第1章利息理论

i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i

例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投资3000元，投资20年的现值及积累值。如果投资在每年年初进行，那么投资20年的现值及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d

第一章利息理论(年金问题)

例1.12

某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？
例1.12答案
（1） Ra1512 0.465% 300000
例1.19:

某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到 10%,计算第10年年末时存款的积累值.
例1.19答案
前四次付款第四年年末积累值为 1000 4 0.06 4637 .09 s 这笔存款再按6%的年利率积累到第年年末, 积累值为 10 4637 .09 (1 6%)6 6577 .80 后六年年金积累到第十年的积累值为 1000 6 0.1 8487 .17 s 两笔年金积累值之和为: 6577 .80 8487 .17 15064 .97

分类

等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金

一般年金

二、基本年金

基本年金

等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定付款时刻不同：初付年金/延付年金付款期限不同：有限年金/永久年金

分类

基本年金图示
1.延付年金（期末付年金）
an v v 2 v n
记：an ——延付年金现值
2.初付年金（期初付年金）
记：an ——延付年金现值
an an sn
v (1 v n ) 1 v n v v v 1 v i 基本年金公式推导 1 v n 1 v v n 1 (1 i ) an d 1 (1 i ) n (1 i ) n 1 n 1 1 (1 i ) (1 i ) 1 (1 i ) i

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1•已知 A (t ) =2t+ f +5,求
A(t) 2
,t t ------
(1) 对应的 a (t ); A ( 0) =5 a (t ) = A(0) = 5 + 5 +1
I4
A ⑷- A(3) 2*4 .4 5 - (2*3
.3 5) 4-、3
(3) i 4； i 4= A (3) -
A(3) 一
113
一11、,3
2•证明：(1) A(n)-A(m)=l(m 1) l(m 2)
••…In
(2)
A(n) =(1 in)A(n -1).
(1)
A(n) _A(m) =A(n) _A(n -1) A(n -1) _A(n -2) ..••A(m 1)_A(m) = In In -1 ... Im 1 (m<n )
In An -A n -1
A n -1 一 A n -1 A( n)= (1 i n )A(n 1
3.(a)若 i k 是时期 k 的单利利率(k=1,2...,n )证明 a(n)-a(O)= »
i 2
... i n
(b) 若 i k 是时期 k 的复利利率(k=1,2....,n )证明 A(n) - A(0) = h T2 • .... • In
i + i ” + + i«
(a)
a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(1)-a(0)= i n
i
n ^ ..…i 1
(b)
A(n) -A(0) =A(n)-A(n-1) A(n-1)-A(n-2) ... A(1) - A(0)=人 1心 …」
4.已知投资500元，3年后得到120元的利息。

试分别确定以相同的单利利息，复利利息投资800元在5年后
的积累值。

①单利
a(t) =1 it 丨3
二 A(3)— A( 0)
500(1 i 3* =1)
1 20
120
i
0.08
150*3
A(5) =800(1 5*0.08) = 1120
②复利
a(t)二(1 i t )
l 3 二 A3 卜 A(0)
500 『1 - 尸 1
1 2 0
i =3.1.24 -1
A(5尸 800015=) 8 0 0*佯.24 元 144. 9 7
5.已知某笔投资在三年后的积累值为
1000元，第一年的利率为i 1 =10%，第二年的利率为
(2) I 3; I 3=A(3)-A(2)=2*3+
'、
3
+5-(2*2+
■ 2 +5)=2+
(2) i n
inA(n -1) =A(n) - A(n -1)
i 2
=8%，第三年的利率为i 3=6%，求该笔投资的原始金额
A(3) = A(0)(1 i i )(1 i 2)(1 i 3)
6证明：设当前所处时刻为
0,则过去n 期的一元钱的现值与未来
n 期后的一元钱的现值之
和大于等于2
1
过去n 期1元钱的现值为(1 i ^，未来n 期后一元钱的现值为(1 i)A
1
(1 - i)n ―-2
(1
(当n=0时，等号成立)
二 m = 30
..c?
9. 如果
A
⑴- ka b
d ，其中k,a,b,c,d 为常数，求
t t 2 c 1
A(t) =ka b d
&t 二他二kat bF lna 2昭心［血 kcQbSmdSc =飢 2tl nb E In d In c t A(t) k a t b t d c
10. 确定下列导数:
A(0)=
A(3)
(1 i i )(1i 2
1 000
)(13
= 79 4. 1 0
1. 1*1.08*1.06
7.( 1)对于8%的复利，确定
d 4 ； (2)对于8%的单利，确定
d 4 ；
(1)a(t) =(1 8%)
t d 4
I 4
(1 8%)4 -(1 8%)3
4
(1 8%)
-1
1
0.074 1.08
d 4
(2)
I 4 a(4)
1 8%*4 -1 一8%*3
1 8% *4
8% 0.061
1.32
8•已知
i (m) 1 ——
m
・(m)
I m
.(5)
5
)
i
6
，确定m
•(5)
1 i 十 1
-J5_)
■ (6)
丿
L_ 6
i (m) 1 i =(1
— m
j (5)5*m (1 • ) 5
5
.(6)
(1
m m m
=
(1 - i)?_6 = (1 f 6*
)6
t t 2
&t 的表达式
d 1
= (-1 nv) =■- d v v
(1
(d)
11. 用级数展开形式确定下列各项:
（a ） i 作为d 的函数；（b ） d 作为i 的函数；
・（m ）
（c ） i 作为i 的函数；（d ） v 作为二的函数；（e ）匚作为d 的函数。

d I i i 2 -i ‘ ……(-i)n (b)
1
i
・m
1 i =(1
—)m
(C)
m
s st
1 re
(a )
解：（a ）
(b)
d .
d
i
d d d d
Ai
d d ；
、1 i -i
d
(
rd ) =
d
(c ) d v
_ 1 2
(1 i)2
1 -d d 2-
(1-d)
1 2
(1 -d)
(d )
(c ) d
d v
解：（a ）
1-d
d n
1 1 i (m)
二m(1 i)m
-m 二m(1 •
m
_1)
m m j 2
2!
_2)
3!
—「"川［⑷“
m -1.2 i 2!m
(d)
-e —1 (Y ) ( U 2! 3! min =1 一二
(e )
二—ln(1
+
川川川川
12.若
t=1.4328
S X (20>S Y (20
e 4 =(1 i
f 0
0(3尸(1i 3 ) 1. 822 1
16.一投资者投资100元与基金X 中，同时投资利率j>0,基金X 以单利计息，年利率为五年末基金Y 中的金额。

证明：a t
1
丄v ；丄
1 r 1 r
其中. > /、 I
_P
V 2 乂。

证明:
-n(%))
d
t
a t
t
(
P
e
a (t)』s)t (^-^)
= 1 re
a t
st 1 re e 4p st
1 r
丄e-p st).丄尹
1 r
1 r
v ；-- 1 r 1 r
V 1 心
P S)
13.假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在t 时的利息力为 :匚t
t
=(3+2t )
/50 ,其中t 为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在 1985年1月1日的积累值。

1
1
3+2t dt
解：'t =1000e 1/2 "dt 日。

解：设在时刻t=0两基金存入的款项相同都为
1,两基金金额相等的下一刻为
t o
空)12t
12
S B _
t 2
S A = S B 1.0112t =e 石
15•基金X 中的投资以利息力 7=0.01t+0.1
（0乞t 乞20）积累；基金丫中的钱以实际利率
i 积累，现分别投资1元与基金X 、Y 中，在第基金Y 的积累值。

20年末，它们的积累值相同，求在第
3年末
解: S x (20)
20
(0.01t 0.1)d t e
4
e 0
=
色（20）
(1 i)20
100元于基金Y 中，基金Y 以复利计息，年
1.05j ，在第二年末，两基金中的金额相等。

求第
20
S x (2)二 S y (2)
S y (15) =100(1 i)5 =100(1
0.1)5 17•两项基金X 和Y 以相同金额开始，且有：
(1) 基金X 以利息强度5%计息； (2)
基金Y 以
每半年计息一次的年名义利率
j 计息；
(3) 在第8年末，基金X 中的金额是Y 中的1.05倍。

求j 。

8
解: S x (8)二e 05%4 乂0"
S y (8)=(1 j/2)16
S x (8) =1.05S y (8)
j =0.04439
解:
SJ2)飞 o (°.°牡 °.1)dt
=e 4
2
S y (2) =100(1 j)
= 161.051。