利息理论第一章课后答案
利息理论——第一章1.1
利息的基本概念
在给出利息的几种基本度量方式前，先引入几 个基本概念。 本金（Principal）：我们把每项业务开始时投资 的初始金额称为本金，常用P表示。 积累值（Accumulated Value）：把业务开始一 定时间后回收的资金总额称为该时刻的积累值 （或终值）。 显然，积累值与本金的差额就是这一时期的利息 金额。
积累函数
这里，我们假定，一旦给定了本金金额，则 在任何时刻的积累值均可确定，并假定在投 资期间不再加入或抽回本金。也就是说，该 投资在数额上的任何变化全部是由于利息的 影响而造成的。当然，以后将放松这一假设 而允许在投资旗舰加入或抽回本金。
很显然，在上述假设下，决定积累值的两个 最主要的因素就是本金金额和从投资日算起 的时间长度。理论上，时间长度可以用许多 不同的单位来度量。例如，日、周、月、季、 半年、一年等。用来度量时间的单位称为 “度量期”或“期”（可以等同于我们之前 讲过的计息期），最长用的期是年。以后各 章除非另外声明，均可认为一个度量期为一 年。
n
A(n 1)
A(n 1)
显然，(1.1.3)和(1.1.4a)式中的i记为i 更合适。
1
例3 某人到银行存入1 000元，第一年末他存折上的余额为 1 050元，第二年末他存折上的余额为1 100元，问：第一年、 第二年的实际利率分别是多少？ 解： 显然，A(0)=1 000，A(1)=1 050，A(2)=1 100 因此，I1=A(1) － A(0)=50(元) I2=A(2) － A(1)=50(元) I1 50 i1 5% A(0) 1000 I2 50 i2 4.762% A(1) 1050 故，第一年的实际利率为5%，第二年的实际利率为4.762%。
刘占国《利息理论》习题解答
《利息理论》习题详解 第一章 利息的基本概念1、解： （1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =+(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-=== （3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -===2、解：202()(0)(1)1(1-6)180=100(a 5+1)4a=125a t at ba b i =+∴==+=∴∴用公式(8)300(83)386.4A a ∴=-=3、解：15545(4)(3)(1)100(10.04)0.05 5.2n n n I i A I A i A i i -=∴==+=+⨯=4、解： （1）1n n n I i A -=113355(1)(0)1101000.1(0)(0)100(3)(2)1301200.0833(2)(2)120(5)(4)1501400.0714(4)(4)140I A A i A A I A A i A A I A A i A A --∴====--====--====（2）1nn n I i A -=113355(1)(0)1101000.1(0)(0)100(3)(2)133.11210.1(2)(2)121(5)(4)161.051146.410.1(4)(4)146.41I A A i A A I A A i A A I A A i A A --∴====--====--====5、证明： （1）123(1)()(2)(1)(3)(2)()(1)m m m m k I A m A m I A m A m I A m A m I A m k A m k ++++=+-=+-+=+-+=+-+-123123()()()()()m m m m k m m m n I I I I A m k A m n m k A n A m I I I I m n +++++++∴++++=+-=+-=++++<令有（2）()(1)()1(1)(1)n A n A n A n i A n A n --==---()1(1)()(1)(1)n n A n i A n A n i A n ∴+=-∴=+-6、证明： （1）112123123(1)(0)(0)(2)(0)(0)(0)(3)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(0)k nk i a a a i a a a i a i a a a i ai a i a n a a i a i a i a i ∴=+=++=+++=+++++第期的单利利率是又(0)1a =123123()1()(0)()1nna n i i i i a n a a n i i i i ∴=+++++∴-=-=++++（2）由于第5题结论成立，当取0m =时有12()(0)n A n A I I I -=+++7、解：（1）由单利定义有()(0)()(0)(1)A t A a t A i t ==+ (5.5)50003000(1 5.5)A i ∴==+解得0.121i =（2）由复利定义有()(0)()(0)(1)t A t A a t A i ==+ 5.5(5.5)50003000(1)A i ∴==+解得0.0973i =8、解：（1）有单利积累公式建立方程有300200(10.058)t =+解得8.62t =（2）由复利积累公式建立方程有300200(10.058)t =+解得7.19t =9、解：（1）以单利积累计算1205003i =⨯1200.085003i ∴==⨯800(10.085)1120∴+⨯=（2）以复利积累计算3120500500(1)i +=+0.074337i ∴=5800(10.074337)1144.97∴+=10、解：设在第n 期等价于5%的实际利率有()(1)(1)n A n A n i A n --=-又()(0)(1),(1)(0)(1)A n A n i A n A n i i =+-=+-0.15%10.1(1)n i n ∴==+-解得11n =11、解：设该款项的金额为(0)A 有（1）在第三个月单利利息为：30.01(0)I A =单在第三个月复利利息为：323(0)1+0.01-(0)1+0.01=0.010201(0)I A A A =复（）（）33:=0.010.010201=0.98I I ∴单复：（2）在第六个月单利利息为：6=0.01(0)I A 单在第六个月复利利息为：656(0)1+0.01-(0)1+0.01=0.01051(0)I A A A =复（）（）66:=0.010.01051=0.951I I ∴单复：12、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得 (0)794.1A =13、证明： （1）令()(1)(1)t f i i it =+-+有(0)0f =，1()(1)t f i t i t -'=+-又对于所有0<i<1有111(1)=1(1)t ti i --+<+ 11()(1)0t i f i t i t -'∴<<=+-<当0时，，即()f i 在1i <<0是单调减函数，因此有当1i <<0时有()(1)(1)0,(1)(1)t t f i i it i it =+-+<+<+即，命题得证。
利息论第一章
有关名义利率的几个概念 利息换算期(interest conversion period) 月换算（convertible monthly） 季换算（payable quarterly） 半年换算（compounded semiannually）
名义利率—— i(m) m 1 为一个度量期
中付息m次的名义利率. 也就是说, 名义利率i(m) 指每1/m个度量期支付实质利息为 i(m) /m的利 息一次。
注意：实质上实质利率是对期末支付利息的 度量；而实质贴现率是对期初支付利息的度 量。
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现在，来讨论任意一期上的实质贴现率。
设 dn 为第n期的实质贴现率，则
dn
In
An
Pan Pan Pan
1
a n a n an
1
注意：1、在常数单利率下，各期实质贴
现率为
dn
a n a n 1 an
i 1 i n
则：i1
A0 A1 A0
50 1000
5%; i2
A2 A1 A1
50 1050
4.762%
10
1-3 单利与复利 引例：某企业今年产量为Q，如果年递
增a 则明年产量T？5年后呢T5？
T Q 1 a
T 5 Q 1 a 5
11
如果我们定义积累函数分别为： 1、 at 1it 则说该项投资是以单利i率 记息。称该种计息方式为单利。
e1e2
et
实际利率in
a n a n 1 a n 1
an a n 1
1
en
1
a n 1 i1 1 i2 1 in 当i1i2 in时 1 i n
36
例1.6.1书上例1-13 例1.6.2确定1000元按利息强度5%,投资10 年的积累值. 答案:1648.78
利息理论第一章-1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
利息理论 第1章 利息的基础知识
第二种方法：购买时90元，一年后按面 值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。-元为期初利息， 元为期初利息 是期末值的减少额。 -贴现额。 贴现额。 贴现额
.
2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn =
An An1 An
=
an an1 an
年贴现额=A 年贴现额 ndn=An-An-1 为标准的减少额。 以An为标准的减少额。 年利息=A 年利息 n-1 in=An-An-1 为标准的增加额。 以An-1为标准的增加额。
3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1， 例：94年1月1日的积累值为 ，000元，d=10% 年 月 日的积累值为 元 日的现值为多少？ 求：1）90年1月1日的现值为多少？ ） 年 月 日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？ ）折现因子为多少？ 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim
东北财经大学智慧树知到“保险”《利息理论》网课测试题答案1
东北财经大学智慧树知到“保险”《利息理论》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.投资年法可以有效地避免投资组合法的固有缺陷。
()A.正确B.错误2.一项期初付永久年金(永续年金)每年付款1万元，年实际利率为5%。
根据以上信息，该年金的现值为()万元。
A.20B.21C.22.5D.253.某人在未来20年内以等额本金法来偿还一笔金额为100万元的贷款，贷款年利率为4%。
该人前10年内支付的利息总额为()万元。
A.30B.31C.32D.334.利用年金当前值的概念，如果{图}，则X、Y和Z分别等于()。
A.4﹔3﹔3B.3﹔4﹔3C.2﹔5﹔4D.2﹔4﹔45.金融函数与积累函数的关系式为：A(t)=A(0)×a(t)。
()A.正确B.错误6.债券账面值的递推公式为：。
()A.正确B.错误7.等额本息法和等额本金法的区别在于：前者的每期偿还额均相等，而后者的每期偿还额的本金部分均相等。
()A.正确B.错误8.等额本息法分期偿还表中，每期本金部分之和等于贷款金额。
()A.正确B.错误9.有一项年金，在前10年的每年末付款1，在后10年的每年末付款2，则该年金在第1年初的现值为{图}。
()A.正确B.错误10.如果年实际利率为6%，则年实际贴现率为()。
A.6/106B.6/94C.4/106D.4/10411.在1年内，本金X既可以产生336元利息，也可以产生300元贴息。
根据以上信息，X等于()元。
A.2500B.2800C.2900D.295012.某人在未来20年内以等额本息法来偿还一笔金额为100万元的贷款，贷款年利率为4%。
该人每年需要支付的偿还额为()元。
A.72581.75B.73581.75C.74581.75D.75581.7513.在根据投资组合法来分配收益时，如果投资者预期到未来利率可能上升，就可能出于投机心理而不追加投资甚或抽走资金，以提高投资收益。
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
第一章 利息理论(年金问题)
例1.12
某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷 款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。 问：（1）他每月等额还款额等于多少？ （2）假如他想在第五年末提前还完贷款， 问除了该月等额还款额之外他还需一次性 付给银行多少钱？
例1.12答案
（1） Ra1512 0.465% 300000
例1.19:
某人每年年初存进银行1000元,前4次存款 的年利率为6%,后6次付款的年利率升到 10%,计算第10年年末时存款的积累值.
例1.19答案
前四次付款第四年年末积累值为 1000 4 0.06 4637 .09 s 这笔存款再按6%的年利率积累到第 年年末, 积累值为 10 4637 .09 (1 6%)6 6577 .80 后六年年金积累到第十年的积累值为 1000 6 0.1 8487 .17 s 两笔年金积累值之和为: 6577 .80 8487 .17 15064 .97
分类
等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
一般年金
二、基本年金
基本年金
等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 付款时刻不同：初付年金/延付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金
分类
基本年金图示
1.延付年金（期末付年金）
an v v 2 v n
记：an ——延付年金现值
2.初付年金（期初付年金）
记：an ——延付年金现值
an an sn
v (1 v n ) 1 v n v v v 1 v i 基本年金公式推导 1 v n 1 v v n 1 (1 i ) an d 1 (1 i ) n (1 i ) n 1 n 1 1 (1 i ) (1 i ) 1 (1 i ) i
利息理论课后习题答案
第一章利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.，11)0(=∴=b a 180)5(100=a 508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b)7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+−+12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k 14.nn nni i i i −−+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）;(2)用公式（1-23）22.用公式（1-29）23.(1)用公式（1-32）;(2)用公式（1-34）及题6（2）结论24.用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎞+=++⎜⎟−⎝⎠⎛⎞−⎜⎟⎝⎠26.对于c)及d)，，，c)中，，δn e n a =)(1111)1(−=−=+==∴v di e a δ∴v ln −=δd)中，δ−−=ed 128.∫=tdxx e t a 0)()(δ29.；4411⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+j i h e j =+131.（1）902天39.，两边同时求导，，类似t e tA dr +=∫10δ)1ln(0t dr tA +=∫∴δtt A +=11)(δ)(t B δ46.，10009200.081000d −==9202108.01(288)08.01(=×−+−x 第二章年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A −−⎛⎞−+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠=+⋅++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y i i −−−−+==⇒+=−−+−−===将代入（*）1d i d=−7.解：100010001000011718…()51218100010.0839169.84s −+=&&8.解：100.1100.15000s Ra =&&&&9.解：100.1100.155000s Ra =&&&&14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠17.解：解得即正常还款次数为95次0.0081500100000m a =95.6m ≈解得95950.0081500(10.008)100000a f −++=965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎞−+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠∴+++−++=令105()1715f t t t t =+−+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i −−=−−(1.032)0.003186f =−23.解：，()4660.0411 1.04i a i −−−++40.04114i ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠24.解：R 1.1025R 1.205R 01423得4321.05 1.1025 1.05 1.1025 1.05 1.205 1.0511000R R R R ×+++=2212.147R =25.解：()()()1211111nn nn n a i n i i i a iii −−−−∂−++−++=∴=∂其中通过公式（2-76）得到0.1020.116.8670.10.002n n n n i a a a i==∂−∴==∂L n29.解:7777111v a v i a iKi−=∴=−=−类似地，111811181111v ia iL v ia iM=−=−=−=−，从而71118(1)(1)1v v v iK iL iM =∴−−=−Q L K M i KL+−=31.解：(2)(12)(2)(12)(12)1112nn nnnv v i i aaa id i−−⎛⎞===+⎜⎟⎝⎠&&，32.解：()500lim 110000tn i n a i −→∞+=&&半半，()()122111111i i i d d−+==+⇒+=−−半半()1211i d −=−−半()1120ti i −+∴=半半36.解：()()()2020201195.36n n anv a i n i Ia ii−−+−+=∴=&&37.解：110123……1该永续年金现值为1i11123……6541该永续年金现值为：()()24111(2)i i i i−−++++=+L ∴所求年金现值为：113(2)(2)i i i i i i++=++39.解：()01ntkt v dt f g h−=−−∫11lim lim n n n n v f a δδ→∞→∞−===1(1)ng kn v δ=−⋅40.解：011()1tdrr a t e t+∫==+1001()ln(1)1nnn a a t dt dt n t−===++∫∫42.解：后五年等比()()()551051111000105011k i s s i i i k+⎛⎞−⎜⎟+⎝⎠−+×++−&&&&43.解：120567……10983…414684468111v v v v a a a i i i i i i i vd−+−+−+=+++=−L L 45.解：2300.015251.0215KsKa−=+&&&&46.解：1010120180180300300 1.03 1.03i i i iia a a a a −−++=月月新月新月月11x110000047.解：011()1tdrr a t e t+∫==+231414212111(0)(1)()(1)84.51v t a t dt t dt t−=−=−=+∫∫48.解：11tn t n v v a a δδ−−==，()001111144010%t n nnt n v v a dt dt n n a δδδδ⎛⎞−−==−=−=×=⎜⎟⎝⎠∫∫49.解：1）()11t n nt tt t atv Ia i==−=∑∑&&第三章收益率2.解：234000 1.120000.93382×−×=3.解：237000100040005500(0)v v v v v −−++=110.090.11.09 1.1i v i v ====时，；时，令(0)0v v i=⇒及7.解：81.516.510(1)11.995%x x i i ⋅⋅=+⇒=8.解：11100.250.751(1)1(1)1(1)100000150002000011000kkkdtdtdtt k t k t k e ee+−+−+−∫∫∫+−=解得：0.14117k =10.解：1234567810911111i 2i 3i 4i 5i5i5i5i5i5i本金利息560.0450.0461000 1.04550.04s i is −⎛⎞++⎜⎟⎝⎠13.解：50000068000060000500055000A B I ===−=，，29.78%Ii A B I=≈+−14.解：()11144320000112%5000180001112%196104B i −⎛⎞⎡⎤⎛⎞=×++×+−×+−×=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦⎝⎠15.解：书后答案是，不知我对它对。
利息理论智慧树知到课后章节答案2023年下云南财经大学
利息理论智慧树知到课后章节答案2023年下云南财经大学云南财经大学绪论单元测试1.利息和利率存在于跨时期的资金借贷活动当中，是借贷双方发生了跨时期资金借贷的行为结果。
A:对 B:错答案:对2.利息和利率是最重要的经济变量。
它们在生产生活实践当中发挥着重要的杠杆作用，可以通过影响人们的投资和消费行为，进而强有效的影响资金的流动和国民经济的整体发展。
A:对 B:错答案:对3.《利息理论》是保险学、精算学、金融数学、金融工程等专业的核心课程，是参加精算师资格考试的必考内容，其提供的思维方式可以广泛的运用于保险产品定价，尤其是寿险产品定价、财务管理、投资决策、公司金融、金融工程等领域。
A:错 B:对答案:对1.以下关于利息的说法，错误的是（）。
A:利息是从属于信用的一个经济范畴B:利息是借款人支付给贷款人的代价 C:信用关系是利息产生的基础 D:利息是借款人由于借出货币使用权而从贷款人那里获得的报酬答案:利息是借款人由于借出货币使用权而从贷款人那里获得的报酬2.利息是资金的（）。
A:价格 B:价值 C:水平 D:指标答案:价格3.利率是衡量利息高低的（）。
A:指标 B:水平 C:价格 D:价值答案:指标4.利息是借款人为了获得一笔资金的使用权而向贷款人支付的款项。
（）A:错 B:对答案:对5.利息的存在是不合理的。
（）A:对 B:错答案:错1.以下说法正确的是（）。
A:实际贴现率等于实际利率的终值 B:实际贴现率等于实际利率的现值 C:当t>1时，复利的累计值小于单利的累积值 D:累积函数是贴现函数的倒数答案:实际贴现率等于实际利率的现值2.名义利率适应通货膨胀的变化而变化应（）。
A:不同向，但同步 B:同向，同步 C:同向，不同步 D:不同向，不同步答案:同向，同步3.投资者从银行借款20000元，4年后需要偿还本息25249.54元，请计算该笔贷款的年复利利率是多少（）。
A:7% B:6% C:5% D:4%答案:6%4.单利的计算不用把利息计入本金；而复利恰恰相反，它的利息要并入本金中重复计息。
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1.已知A （t ）=2t+t +5,求（1）对应的a （t ）；A （0）=5 a （t ）=()(0)A t A =25t+5t+1（2）I 3；I 3=A(3)-A(2)=2*3+3+5-(2*2+2+5)=2+32-（3）i 4; i 4=4(4)(3)2*445(2*335)43(3)(3)113113I A A A A -++-++-===++2.证明：（1）()()(m 1)(2).....A n A m I I m In -=+++++ （2）()(1)(1).A n in A n =+-（1）()()()(1)(1)(2)....(1)()1...Im 1A n A m A n A n A n A n A m A m In In -=--+---++-=+-+++ （m<n ） (2)()()()()111---=-=n A n A n A n A In i n(1)()(1)inA n A n A n -=--()(1)(1A n i n A n =+-3.(a)若k i是时期k 的单利利率（k=1,2...,n ）证明a(n)-a(0)=12...n i i i +++(b)若k i是时期k 的复利利率（k=1,2....,n ）证明12()(0)....n A n A I I I -=+++（a ）a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(1)-a(0)=11.....n n i i i -+++（b ）11()(0)()(1)(1)(2)...(1)(0)...n n A n A A n A n A n A n A A I I I --=--+---++-=+++4.已知投资500元，3年后得到120元的利息。
试分别确定以相同的单利利息，复利利息投资800元在5年后的积累值。
①单利 ()1a t it =+ 3(3)(0)500(13*1)120I A A i =-=+-=1200.08150*3i == (5)800(15*0.08)1120A =+=②复利 ()(1)t a t i =+ 33(3)(0)500(1)1120I A A i ⎡⎤=-=+-=⎣⎦31.241i =-55/3(5)800(1)800*1.241144.97A i =+==元5.已知某笔投资在三年后的积累值为1000元，第一年的利率为1i=10%，第二年的利率为2i =8%，第三年的利率为3i =6%，求该笔投资的原始金额 123(3)(0)(1)(1)(1)A A i i i =+++123(3)1000(0)794.10(1)(1)(1)1.1*1.08*1.06A A i i i ===+++ 6.证明：设当前所处时刻为0，则过去n 期的一元钱的现值与未来n 期后的一元钱的现值之和大于等于2过去n 期1元钱的现值为(1)n i +，未来n 期后一元钱的现值为1(1)ni + 1(1)2(1)n ni i ++≥+ （当n=0时，等号成立）7.（1）对于8%的复利，确定4d ； （2）对于8%的单利，确定4d ；（1）()(18%)t a t =+ 43444(18%)(18%)110.074(4) 1.08(18%)I d a +-+===-=+（2）4418%*418%*38%0.061(4)18%*4 1.32I d a +--====+8.已知(5)()(6)151()16m i i m i ++=+，确定m (5)()(6)151()16m i i m i ++=+ (5)5*5()5630(6)6*6(1)51(1)(1)(1)(1)6mm m m m m m i i i i i m i-++=+==+=++ 30m ∴=9.如果2()ttc t A t ka bd =，其中k,a,b,c,d 为常数，求&t 的表达式2()tt ct A t ka b d =2222ln 2ln ln ln '()&ln 2ln ln ln ()t t ttt c t c t c t t t t tt t c t ka b d a kta b d b kc a b d d c A t a t b c d c A t ka b d++===++10.确定下列导数：（a ）t d d d ； （b ） d d i d ； （c ）v d d σ（d ）d d d σ。
解：（a ）2211()1(1)(1)i i d d i i i d d d i i i +-===+++（b ）2211()1(1)(1)d d d d d d d i d d d d d -+===--- （c ）1()vv d d Inv d d v σ=-=-（d ）(1)d d d e e d d σσσσ--=-=11.用级数展开形式确定下列各项： （a ）i 作为d 的函数； （b ）d 作为i 的函数； （c ）()m i作为i 的函数；（d ）v 作为σ的函数； （e ）σ作为d 的函数。
解：（a ）21n di d d d d ==++⋯⋯++⋯⋯- （b ）23()1n id i i i i i ==-+-+⋯⋯+-+⋯⋯+（c ）1(1)m m i i m +=+ 1()232311111(1)(1)(2)11(1)(2)(1)(1)2!3!2!3!m mm m m m m m m m i m i m m i i i m i i i m m m ------=+-=++++-=-++（d ）2323()()1()12!3!2!3!v eσσσσσσσ---==+-+++=-+-+（e ）[]2342341()(11()()1234234d d d d d d In In d d d d σ⎡⎤-==-++-=---+-+=++++⎢⎥-⎣⎦12.若1t st sp re σ=++，证明：1211111t tt v v a r r =+++，其中：()1P S v e -+= 2Pv e -=º证明：()()t t t d In a d σ=t a =e 0()1t t st s p d re ++⎰ ⇒()()1()1p s t t st r a e re ++=+ ()()121111;11111st p s t p s t pt t ttre r r e e e v v a r r r r r -+-+-+==+=++++++()1P S v e -+= 2Pv e -=13.假设某人在1984年7月1日投资1000元于某基金，该基金在t 时的利息力为t σ=（3+2t ）/50，其中t 为距1984年1月1日的年数，求该笔投资在1985年1月1日的积累值。
解：t σ=1000e 11/2t dt σ⎰=1000e 11/23250tdt +⎰=1046.027914.基金A 以每月计息一次的名义利率12%积累，基金B 以利息强度t σ=t/6积累，在时刻t=0时，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一刻。
解：设在时刻t=0两基金存入的款项相同都为1，两基金金额相等的下一刻为t 。
A s =1212%(1)12t +B S = e 06t tt d ⎰ A S =B S 121.01t =e 212tt=1.4328 15.基金X 中的投资以利息力t σ=0.01t+0.1 （020t ≤≤）积累；基金Y 中的钱以实际利率i 积累，现分别投资1元与基金X 、Y 中，在第20年末，它们的积累值相同，求在第3年末基金Y 的积累值。
解：(20)x S =e 200(0.010.1)t t d +⎰=4eY S （20）= 20(1)i +(20)(20X YS S = 420(1)e i =+3(3)(1)1.8221YS i =+=16.一投资者投资100元与基金X 中，同时投资100元于基金Y 中，基金Y 以复利计息，年利率j>0，基金X 以单利计息，年利率为1.05j ，在第二年末，两基金中的金额相等。
求第五年末基金Y 中的金额。
解：(2)X S =e 200(0.010.1)t dt +⎰=4e 2(2)100(1)yS j =+(2)(2)x y S S =0.1j =55(15)100(1)100(10.1)161.051y S i =+=+=元17.两项基金X 和Y 以相同金额开始，且有： （1）基金X 以利息强度5%计息；（2）基金Y 以每半年计息一次的年名义利率j 计息； （3）在第8 年末，基金X 中的金额是Y 中的1.05倍。
求j 。
解：(8)x S =e 80.405%t d e =⎰ 16(8)(1/2)yS j =+(8) 1.05(8)x y S S =0.04439j =。