四种命题的真假关系
s和p外延关系的四种命题的真假情况表
s和p外延关系的四种命题的真假情况表1. 引言s和p外延关系是数理逻辑中的一个重要概念。
在逻辑学领域，s和p分别代表两个集合，s是主语集合，p是谓词集合。
s和p的外延关系描述了一个命题在s和p 之间的真假关系。
本文将会对s和p外延关系中的四种命题进行详细的讨论和分析。
2. s和p外延关系在介绍四种命题之前，我们先来了解一下s和p外延关系的基本概念。
s和p分别代表两个集合，s是主语集合，p是谓词集合。
s和p之间的外延关系描述了一个命题在s和p之间的真假关系。
外延关系可以分为四种情况：反例外延关系、包含外延关系、相等外延关系和特指外延关系。
2.1 反例外延关系反例外延关系表示命题的真值为假，即命题在主语集合中的所有元素都不满足谓词集合的条件。
2.1.1 真值为假的命题命题：所有狗都会飞。
狗飞小狗否大狗否……在这个例子中，主语集合是所有狗的集合，谓词集合是会飞的集合。
根据现实情况，我们可以得出结论：所有狗都不会飞，因此命题的真值为假。
2.1.2 反例外延关系的特点•命题的真值为假。
•主语集合中的所有元素都不满足谓词集合的条件。
2.2 包含外延关系包含外延关系表示命题的真值为真，即命题在主语集合中的所有元素都满足谓词集合的条件。
2.2.1 真值为真的命题命题：所有狗都有尾巴。
狗尾巴小狗是大狗是……在这个例子中，主语集合仍然是所有狗的集合，谓词集合是有尾巴的集合。
根据现实情况，我们可以得出结论：所有狗都有尾巴，因此命题的真值为真。
2.2.2 包含外延关系的特点•命题的真值为真。
•主语集合中的所有元素都满足谓词集合的条件。
2.3 相等外延关系相等外延关系表示命题的真值为真假都有，在主语集合中有满足谓词集合的元素，也有不满足谓词集合的元素。
2.3.1 真值为假和真值为真的命题命题：所有狗都会叫。
狗叫小狗是大狗否……在这个例子中，主语集合仍然是所有狗的集合，谓词集合是会叫的集合。
根据现实情况，我们可以得出结论：有些狗会叫，有些狗不会叫，因此命题的真值既为真又为假。
四种命题的真假-P
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. 否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc. 逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.
（真） （真） （真）
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、否命题、 逆否命题，并分别指出其真假。
布置作业：33页 3、4两题 。 课外延拓：各小组自编命题并判断真假。
练一练
1.判断下列说法是否正确。 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对） 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 （对） 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 （错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 （错）
2.四种命题真假的个数可能为（ 答：0个、2个、4个。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真） （真） （假）
小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。
（假）
逆命题：若ac2>bc2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 4) 原命题：若a > b, 则 a2>b2。
逆命题：若a2>b2, 则a>b。 否命题：若a≤b,则a2≤b2。 逆否命题：若a2≤b2,则a≤b。
四种命题及其关系
四种命题及其关系一、四种命题的概念1. 原命题- 定义：若用p表示条件，q表示结论，则原命题为“若p，则q”，例如“若x = 1，则x^2=1”。
2. 逆命题- 定义：将原命题的条件和结论互换得到的命题，即“若q，则p”。
对于上面的例子，其逆命题为“若x^2=1，则x = 1”。
3. 否命题- 定义：将原命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ p，则¬q”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其否命题为“若x≠1，则x^2≠1”。
4. 逆否命题- 定义：将逆命题的条件和结论都进行否定得到的命题，即“若¬ q，则¬p”。
对于“若x = 1，则x^2=1”，其逆否命题为“若x^2≠1，则x≠1”。
二、四种命题之间的关系1. 原命题与逆命题- 关系：原命题的条件和结论是逆命题的结论和条件，它们之间是互逆的关系。
原命题为真时，逆命题不一定为真。
例如原命题“若a = 0，则ab=0”是真命题，其逆命题“若ab = 0，则a = 0”是假命题（因为当b = 0时，a可以不为0）。
2. 原命题与否命题- 关系：原命题与否命题是互否的关系，原命题为真时，否命题不一定为真。
例如原命题“若x>2，则x>1”是真命题，其否命题“若x≤slant2，则x≤slant1”是假命题。
3. 原命题与逆否命题- 关系：原命题与逆否命题是同真同假的关系。
例如原命题“若a = b，则a^2=b^2”是真命题，其逆否命题“若a^2≠ b^2，则a≠ b”也是真命题；原命题“若x = 1且y = 2，则x + y=3”是真命题，其逆否命题“若x + y≠3，则x≠1或y≠2”也是真命题。
4. 逆命题与否命题- 关系：逆命题与否命题是互为逆否的关系，所以它们也是同真同假的关系。
例如对于原命题“若p，则q”，其逆命题“若q，则p”和否命题“若¬ p，则¬q”，若逆命题为真，则否命题也为真；若逆命题为假，则否命题也为假。
四种命题间的真假关系
四种命题间的真假关系
四种命题的真假关系是：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假。
原命题与逆命题互逆；否命题与原命题互否；原命题与逆否命题相互逆否；逆命题与否命题相互逆否；逆命题与逆否命题互否；逆否命题与否命题互逆。
对于p且q形式的复合命题，同真则真。
对于p 或q形式的复合命题，同假则假。
对于非p形式的复合命题，真假相反。
四种命题的关系及真假判断
完成下列练习
3、互为逆否命题的真假性判断
原命题 若p则q
互逆
互否
否命题 若p则q
互 为
互为
逆 逆否 否
互逆
逆命题 若q则p
互否
逆否命题 若q则p
因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命 题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了， 不必对四种命题形式—一加以讨论．
注意：（1）本题中设计到一元二次方程有无实数根的判断，所以应 该利用一元二次方程的根的判别式。
（2）当一个命题的逆否命题的真假性不容易判断时可以根据 原命题的真假进行判断。
完成下列练习
1、设原命题是“若a=0，则 ab=0”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，
并判断真假。
解：逆命题：若ab=0，则a=0
真
否命题：若a2 b2 0，则a,b不全为0 真
逆否命题：若a,b不全为0，则a2 b2 0 真
注意：“a，b全为0”的否定应该是：a，b不全为0
（2）逆命题： 若x2 x a 0有实数根，则a 0
假
否命题：若a 0，则x2 x a 0没有实数根
假
逆否命题：若x2 x a 1没有实数根，则a 0 真
注意： 若p则q的形式的命题虽然也是一种复合命题，但它与上一节的复合
命题不同，因而不能用课本上的真值表判断其真假．判断它的四种命题 的真假，要严格证明，判断它的四种命题为假，只需举一个反例说明．另 须指出的是：
原命题 逆否命题
逆命题 否命题
因而四种命题真假的个数一定为偶数，即0个或2个或4个．
四种命题的关系及真假判断
例2 、设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”写出它的逆命题、否命
四种命题、四种命题间的相互关系
四种命题四种命题间的互相关系1、四种命题的概念，写出某个命题的逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题之间的关系以及真假性之间的联络。
3、会用命题的等价性解决问题。
【核心扫描】：1、结合命题真假的断定，考察四种命题的构造。
(重点)2、掌握四种命题之间的互相关系。
(重点)3、等价命题的应用。
(难点)1、四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，假如一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆命题为“假设q，那么P〞。
(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否认和结论的否认，这样的两个命题叫做互否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。
也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞那么否命题为“假设非p，那么非q〞。
(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否认和条件的否认，这样的两个命题叫做互为逆否命题。
假如把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，假设原命题为“假设p，那么q〞，那么逆否命题为假设非q，那么非p。
任何一个命题的构造都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题。
2、四种命题的互相关系(2)四种命题的真假性之间的关系：①两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用非p和非q分别表示p与q的否认，那么四种命题的形式可表示为：原命题：假设P，那么q；逆命题：假设q，那么p；否命题：假设非P，那么非q；逆否命题：假设非q，那么非p.(1)关于四种命题也可表达为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否认命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否认，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)原命题，写出它的其他三种命题：首先，将原命题写成“假设p，那么q〞的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题。
命题的条件和结论如何写完整
命题的条件和结论如何写完整一、命题及其关系1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题原命题：若p，则q。
逆命题：若q，则p。
否命题：若¬P，则¬q。
逆否命题：若¬q，则¬p。
(2)四种命题间的关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．二、充分条件与必要条件1．充分条件与必要条件的概念(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；(3)若p q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件；(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.2．必记结论(1)等价转化法判断充分条件、必要条件①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；③p是q的充要条件是的的充要条件；④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法判断充分条件、必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则①若，则p是q的充分条件；②若，则p是q的必要条件；③若，则p是q的充分不必要条件；④若，则p是q的必要不充分条件；⑤若A=B，则p是q的充要条件；⑥若且,，则p是q的既不充分也不必要条件.考向一四种命题的关系及其真假的判断四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：1．判断四种命题间关系的方法①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.2．命题真假的判断方法①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.考向二充分、必要条件的判断充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：1．命题判断法设“若p，则q”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．考向三充分、必要条件的应用充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象。
四种命题的真假关系
假（ ）
否命题：已知a，b是实数，若a+b不是无理数，则a，b不都是无理数；假(此时两个数都不是无理数)
逆否命题：已知a，b是实数，若a，b不都是无理数，则a+b不是无理数；假
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2+y2=0；真
否命题：若x2+y2≠0,则x，y不全为零；真
教学用具：PPT
教学内容
师生活动
备注
复习回顾
1．四种命题的形式是什么？
2．四种命题的基本关系是什么？
引例1：写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
(1)若x<y，则y>x；
(2)若a=0，则ab=0；
(3)当x∈R时，若f(x)过原点，则f(x)是奇函数。
解：(1)原命题：若x<y，则y>x；真
任课教师
白杰
授课班级
高二(9)、(10)班
授课日期
10.8
教学课题：四种命题的真假关系
教学目标：
1，正确理解四种命题之间的真假关系；
2，会应用它们之间的真假关系处理问题；
3，培养学生逻辑推理能力。
教学方法：讲授法、讲练结合、探究法、自学法
教学重点：正确理解四种命题之间的真假关系
教学难点：会应用它们之间的真假关系处理问题
②“若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根”的逆否命题;
③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④“若ab≠0,则a≠0”的否命题.
其中真命题的个数是( C )
A.0个B.1个C.2个D.3个
评注：真命题为：①②
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④“若ab≠0,则a≠0”的否命题.
其中真命题的个数是(C)
A.0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱB.1个C.2个D.3个
评注：真命题为：① ②
①逆命题为：三个内角为600的三角形为等边三角形；
②原命题为真，所以逆否命题为真；
③否命题为：若两个三角形不是全等三角形，则它们的面积不相等；
否命题：当x∈R时，若f(x)不过原点，则f(x)不是奇函数；真
逆否命题：当x∈R时，若f(x)不是奇函数，则f(x)不过原点。假
问题1：由上面3个题目，你能总结出什么结论么？
一．四种命题之间的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
(2)两个命题互为否命题或互为逆命题，它们的真假性没有关系。
逆命题：若y>x，则x<y；真
否命题：若x≥y，则y≤x；真
逆否命题：若y≤x，则x≥y。真
(2)原命题：若a=0，则ab=0；真
逆命题：若ab=0，则a=0；假
否命题：若a≠0，则ab≠0； 假
逆否命题：若ab≠0，则a≠0。真
(3)原命题：当x∈R时，若f(x)过原点，则f(x)是奇函数；假
逆命题：当x∈R时，若f(x)是奇函数，则f(x)过原点；真
任课教师
白杰
授课班级
高二(9)、(10)班
授课日期
10.8
教学课题：四种命题的真假关系
教学目标：
1，正确理解四种命题之间的真假关系；
2，会应用它们之间的真假关系处理问题；
3，培养学生逻辑推理能力。
教学方法：讲授法、讲练结合、探究法、自学法
教学重点：正确理解四种命题之间的真假关系
教学难点：会应用它们之间的真假关系处理问题
(2)逆命题：已知a，b是实数，若a，b都是无理数，则a+b是无理数；
假（ ）
否命题：已知a，b是实数，若a+b不是无理数，则a，b不都是无理数；假 (此时两个数都不是无理数)
逆否命题：已知a，b是实数，若a，b不都是无理数，则a+b不是无理数；假
(3)逆命题：若x，y全为零，则x2+y2=0；真
否命题：若x2+y2≠0,则x，y不全为零；真
(3)逆命题与否命题之间是互为逆否关系；
(4)若一个命题的逆否命题是假命题,则它的逆命题与否命题都是假命题；
(5)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为假。
其中正确的个数有(B)
A.1个B.2个C.3个D.4个
评注：正确的是：（1）（3）
(1)真命题的个数为：0，2，4个；
(2)逆命题和否命题之间互为逆否命题，所以真假相同；
不大（小）于
是
不是
全为
不全为
都是
不都是
有
无
任何
某些
所有的
有一个
至少一个
一个也没有
至多一个
至少两个
均为
不均为
p或q
┐p且┐q
p且q
┐p或┐q
引例2：证明：若x2+y2=0，则x=y=0。
分析：将“若x2+y2=0，则x=y=0”视为原命题，要证明原命题为真命题，则可以证明它的逆否命题“若x和y至少有一个不等于0，则x2+y2≠0”是真命题，因此我们可以由“若x和y至少有一个不等于0”出发，经过正确的推理得到一个结论m，此时逆否命题是我们经过严格推理得到的，因此一定是正确的，若m与x2+y2=0矛盾的结论，恰好我们得到的是逆否命题，又因为逆否命题一定是正确的，所以原命题也正确。
逆否命题：若x，y不全为零，则x2+y2≠0；真
评注：“全为零”的否定应该是“不全为零”，而不是“全不为零”；“都是”的否定为“不都是”，而不是“都不是”；“均为”的否定是“不均为”。注意掌握一些关键词的否定。（如图所示，x,y全为零的否定即是它的补集，不全为零。）
二．关键词的否定
关键词
否定
大（小）于
证明：假设x,y至少有一个不等于0，不妨设x≠0，则x2>0，所以
x2+y2>0，
这与已知条件矛盾，所以x=y=0。
小结：
(1)应用间接法证明的原理：
证明原命题的逆否命题是真命题。
(2)应用间接法证明的一般步骤：
求证：若p则q。
①假设原命题的结论不成立即┐q，作为逆否命题的条件；
②从逆否命题的条件┐q出发进行一系列的推理，得到某个结论m，此时
④否命题为：若ab=0，则a=0。
5．命题“若x=3，则x2-9x+18=0”的逆命题，否命题和逆否命题中，假命题的个数为（ C ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
评注：（1）逆命题：若x2-9x+18=0，则x=3；假
（2）否命题：若x≠3，则x2-9x+18≠0；假
（3）逆否命题：若x2-9x+18≠0，则x≠3；真
(3)利用四种命题之间的关系；
(4)不一定，因为它们之间真假没有必然联系；
(5)错误，同第（2）命题的原理。
3．命题“两条对角线不相等的四边形不是平行四边形。”是命题“平行四边形的两条对角线相等。”的（B）
A.逆命题B.逆否命题C.否命题D.非四种命题关系
评注：写成若p则q的形式。
4．下列命题：
①“等边三角形的三内角均为60o”的逆命题;
6．写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假。
(1)若m≤0或n≤0,则m+n≤0；
(2)已知a，b是实数，若a+b是无理数，则a，b都是无理数；
(3)若x2+y2=0,则x，y全为零。
答案：
(1)逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0；真
否命题：若m＞0且n＞0,则m+n＞0；真
逆否命题：若m+n＞0,则m＞0且n＞0；假
课堂练习
1．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则命题p的逆命题t与s的关系是（ B）
A.互为逆命题B.互为否命题C.互为逆否命题D.同一个命题
评注：利用四种命题之间的关系解答。
2．下列说法：
(1)四种命题中真命题的个数一定是偶数；
(2)若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题不一定是真命题；
说明若┐q则m一定是正确的，因为我们是经过推理的；
③若m与已知条件矛盾即m=┐p，恰好就是原命题条件的否定，也就是
说我们得到的正确命题恰好是原命题的逆否命题，所以原命题正确。
教学用具：PPT
教学内容
师生活动
备注
复习回顾
1．四种命题的形式是什么？
2．四种命题的基本关系是什么？
引例1：写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假：
(1)若x<y，则y>x；
(2)若a=0，则ab=0；
(3)当x∈R时，若f(x)过原点，则f(x)是奇函数。
解：(1)原命题：若x<y，则y>x；真