中考数学综合题强化训练试题八无答案.doc

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中考数学基本知识强化训练

中考基本知识强化过关训练一、填空题：1．－（－2）的相反数是＿＿＿＿＿，211的倒数是＿＿＿＿＿。

16的平方根是＿＿＿＿，21-的绝对值是＿＿＿＿＿。

2．盈利50元记为＋50元，亏损100元记为＿＿＿＿＿＿。

3．A 、B 、C三点在数轴上如下图所示：化简：||||||b a c b c a -++++＝＿＿＿＿＿。

4．a 、b 、c 为△ABC 的三边，化简：=+-+--||||a c b c b a ＿＿＿＿＿＿。

5．803590000保留四个有效数字为＿＿＿＿＿＿＿＿。

6．－0.00030200有＿＿＿＿个有效数字，用科学记数法表示为＿＿＿＿＿。

7．323)(c ab -＝＿＿＿＿＿，32)2(x ·)()3(3xy xy -÷-＝＿＿＿＿＿＿。

8．两圆相切，半径分别为3cm ，4cm ，则圆心距为＿＿＿＿＿。

9．c bx ax y ++=2的图象如下图，请在该坐标系中，画出b ax y +-=和xcy =的大致图象。

10．函数212--=x x y 的自变量的取值范围是＿＿＿＿。

11．当＿＿＿时，分式1232-+-x x x 的值为0。

12．一组数据2，－3，0，2，1，3，x ，1的众数为1，则这组数据的中位数是＿＿＿＿＿＿，平均数是＿＿＿＿＿。

13．122)12(2+--÷--a a a a a ＝＿＿＿＿＿＿。

14．若25242+-kx x 是完全平方式，则k ＝＿＿＿＿＿＿。

15．2)2(y x -＝＿＿＿＿，))((z y x z y x -++-＝＿＿＿＿＿。

16．函数3--=x y 与x 轴交点坐标为＿＿＿＿，图象不经过第＿＿＿象限。

17．一个等腰三角形的两边长是方程0652=+-x x 的两个根，那么这个等腰三角形的周长是＿＿＿＿＿。

18．直角三角形两边长为6和8，则第三边长为＿＿＿＿＿＿。

19．已知关于x 的方程012)1(2=-++x x m 有两个实数根，则m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。

中考强化练习中考数学历年真题汇总 (A)卷(含答案及解析)

中考数学历年真题汇总（A ）卷考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知三个数,,a b c 满足15ab a b =+，16bc b c =+，17ca c a =+，则abc ab bc ca ++的值是（） A ．19B ．16C ．215D ．120 2、在Rt△ABC 中，各边都扩大5倍，则锐角A 的正切函数值（） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定 3、如果::a b c d =，则下列等式：①ab d α=；②ac bd =；③ad bc =．其中成立的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3 4、修建一项工程，甲队单独承包要80天完成，乙队单独承包要120天完成，如果甲、乙两队合作30天后，因甲队另有任务，剩下工程由乙队完成，则修建这一项工程共用（） A ．63天 B ．66天 C ．72天 D ．75天 5、下面语句正确的有（） A ．6能被2整除 B ．x 的倒数是1x C ．最小的自然数是1D ．最小的合数是2 ·线○封○密○外6、如果54a b =，那么下列各式错误的是（）A ．54b a =B ．:22:153ab = C ．:5:4a b = D ．528ba =7、一个自然数，含有因数6，能被8整除，还是9的倍数，它最小是（）A ．48B ．54C ．6D ．728、下列说法中正确的是（）A ．不存在最小的正数，也不存在最大的正数B ．如果a 与b 的差是正数，那么a 一定是正数C ．a -一定小于aD ．任何有理数都有倒数9、如图，如果BAD CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能确定ABC ADE 的是（）A ．B D ∠=∠ B ．AB DEAD BC = C ．C AED ∠=∠ D ．ABACAD AE =10、如图所示是某单位考核情况条形统计图（A 、B 、C 三个等级），则下面的回答正确的是（）A ．C 等级人最少，占总数的30%B ．该单位共有120人C ．A 等级人比C 等级人多10%D ．B 等级人最多，占总人数的23 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、如果圆的周长是62.8厘米，那么这个圆的面积是_____________平方厘米． 2、一副52张的扑克牌（无大王和小王），从中任意抽取一张，抽到A 的可能性大小是______（用分数表示） 3、如图，数轴上的点B 表示的数为____________．4、分数4111化成循环小数是____________．5、如图，在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条宽度相等的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，则可列方程为____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 与一条直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点P 在抛物线上位于直线AC 上方运动，求△APC 的面积最大值． ·线○封○密·○外2、国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成．现在在某体育馆前的草坪上要修剪出此图案，已知每个圆环的内、外半径分别是4米和5米，下图中两两相交成的小曲边四边形（重叠部分）的面积相等，每个为1平方米，已知修剪每平方米的人工费用为10元，求修剪出此图案要花费多少元？3、计算：13 234 -+4、计算：32 1383 -÷⨯．5、在进行一次社会调查的活动中，班长小杰将18名女生和24名男生分成人数相等的若干小组，每个小组中的女生人数都相等，求这42名学生最多能分成几组？其中每组中分别有男女学生各几名？-参考答案-一、单选题1、A【分析】先将条件式化简，然后根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】解：∵15ab a b =+，16bc b c =+，17ca c a =+， ∴5a b ab +=，6b c bc +=，7c a ca +=， ∴115a b +=，116b c +=，117a c+=， ∴2（111a b c ++）＝18， ∴111a b c ++＝9， ∴19abc ab bc ca =++，故选A ．【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是找出各式之间的关系，本题属于中等题型． 2、A 【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．【详解】因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A 的各三角函数值没有变化，故选：A ．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握三角函数值的大小只与角的大小是解题的关键． 3、B 【分析】 ·线○封○密○外根据比例的基本性质即可得出结论．【详解】解：由::a b c d =，可得ad bc =，故①②错误，③正确故选B ．【点睛】此题考查的是比例的变形，掌握比例的基本性质是解题关键．4、D【分析】设剩下的工程乙队完成用了x 天，用甲乙合作的效率乘以30天加上乙单独的效率乘以x 天等于总工程量单位“1”，列方程求解．【详解】解：设剩下的工程乙队完成用了x 天，甲的效率= 180，乙的效率= 1120，甲乙合作效率= 1118012048+=， 1130148120x ⨯+= 131208x = 45x =∴剩下的工程乙队完成用了45天，修建整个工程用了304575+=天．故选：D ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据工程问题的等量关系列方程求解未知数．5、A【分析】根据整除的定义、倒数的定义、自然数的定义和合数的定义逐一判断即可．【详解】解：由6÷2=3，可得6能被2整除，故A 正确；0无倒数，故B 错误；最小的自然数是0，故C 错误；最小的合数是4，故D 错误．故选A ．【点睛】此题考查的是整除、倒数、自然数和合数的定义，掌握整除的定义、倒数的定义、自然数的定义和合数的定义是解题关键． 6、C 【分析】根据比例的基本性质判断选项的正确性．【详解】 ∵54a b =，∴:4:5a b =，C 选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是熟练运用比例的性质进行判断． 7、D 【分析】根据题意这个数是6、8、9的最小公倍数，然后求解即可．【详解】·线○封○密○外由6=23,8222,933⨯=⨯⨯=⨯，则它们的最小公倍数为22233=72⨯⨯⨯⨯；故选D ．【点睛】本题主要考查最小公倍数，熟练掌握最小公倍数的求法是解题的关键．8、A【分析】根据有理数的知识点理解判断即可；【详解】不存在最小的正数，也不存在最大的正数，故A 正确；如果a 与b 的差是正数，那么a 不一定是正数，故B 错误；a -不一定小于a ，故C 错误；0没有倒数，故D 错误；故答案选A ．【点睛】本题主要考查了有理数的知识点，准确判断是解题的关键．9、B【分析】根据题意可得EAD CAB ∠=∠，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解．【详解】解：∵BAD CAE ∠=∠，∴EAD CAB ∠=∠，A 、若添加B D ∠=∠，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明△AAA ∼△AAA ，故本选项不符合题意；B 、若添加AB DE AD BC =，不能证明ABC ADE ，故本选项符合题意； C 、若添加C AED ∠=∠，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明ABC ADE ，故本选项不符合题意； D 、若添加AB AC AD AE=，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明△AAA ∼△AAA ，故本选项不符合题意；故选：B 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 10、D 【分析】由条形统计图可得该单位总人数和各等级的人数，从而对各选项的正误作出判断．【详解】解：由条形统计图可得该单位考核A 等级40人，B 等级120人，C 等级20人，所以总人数为：40+120+20=180，所以B 选项错误；由2011%180≈可知A 错误；由 40201100%20-==可知A 等级比C 等级人数多100%，C 错误；由12021803=知B 等级人数占总人数的23，又由各等级人数知B 等级人数最多，所以D 正确．故选D ．【点睛】本题考查条形统计图的应用，通过条形统计图获得有关信息并进行准确分析是解题关键．二、填空题 1、314 【分析】根据圆的周长C=2πr 和圆的面积公式S=πr 2解答即可．·线○封○密·○外【详解】解：π取近似值3.14，圆是半径为62.8÷3.14÷2=10（厘米），S=πr2=3.14×102=314（平方厘米），所以这个圆的面积是314平方厘米．故答案为：314．【点睛】本题考查了圆的周长和面积的计算．解答本题的关键是记住圆的周长C=2πr和圆的面积公式S=πr2．2、1 13【分析】因为A有4张，求抽到A的可能性，根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答即可．【详解】4÷52=113；故答案为：113．【点睛】本题考查了简单事件发生的可能性求解，解答此题应根据可能性的求法：即求一个数是另一个数的几分之几用除法解答，进而得出结论．3、5 1 8【分析】根据数轴可得每一小格所代表的单位长度为14，然后可求解点B 所表示的数．【详解】解：由数轴可得：每一小格所代表的单位长度为14，∴点B 表示的数为11151++=12428⨯；故答案为518．【点睛】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上数的表示是解题的关键． 4、 3.72 【分析】循环小数的简便记法是，再循环节的首位和末尾数字上点点，所以先找出循环小数的循环节，再循环节的首位和末尾数字上点点，据此写出．【详解】解：将分数4111化成循环小数是 3.412117=，故答案是： 3.72．【点睛】本题主要考察循环小数的简便记法，熟悉相关性质是解题的关键． 5、 (80+2x )(50+2x )=5400 【分析】整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原矩形风景画的长+2x ）×（原矩形风景画的宽+2x ），列出方程即可． ·线○封○密·○外【详解】解：∵挂图的长为80+2x，宽为50+2x，∴可列方程为(80+2x)(50+2x)=5400．故答案为：(80+2x)(50+2x)=5400．【点睛】本题考查了用一元二次方程解决实际问题，用x的代数式表示挂图的长和宽是解题的关键．三、解答题1、（1）y＝﹣x2+2x+3；y＝x+1；（2）△APC的面积最大值为278．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线解析式；（2）设P点坐标，过点P作PQ⊥x轴于点H，交AC于点Q，用水平宽乘以铅垂高除以2表示APC△的面积，然后求最值．【详解】解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），C（2，3），得：10423b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，设直线AC的函数解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0），C（2，3）代入，得23m nm n-+=⎧⎨+=⎩，解得11mn=⎧⎨=⎩，∴直线AC的函数解析式为y＝x+1；（2）如图，过点P 作PQ⊥x 轴于点H ，交AC 于点Q ，设P （x ，﹣x 2+2x+3），则Q （x ，x+1），∴PQ＝﹣x 2+2x+3﹣（x+1）＝﹣x 2+x+2，∴S △APC ＝S △APQ +S △CPQ ＝12PQ×3 ＝32（﹣x 2+x+2）＝﹣32（x ﹣12）2+278， ∵﹣32＜0， ∴当x ＝12时，△APC 的面积最大，最大值为278．【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及解析式的求解，三角形面积的表示方法，解题的关键是掌握这些特定的解题方法进行求解． 2、修剪出此图案要花费1333元．【分析】由题意可得求需要修剪的面积，就是求五个圆环盖住的面积，又因五个圆环盖住的面积=5个圆环的面积之和-8个小曲边四边形面积，根据圆环面积=π（大圆半径的平方-小圆半径的平方），计算出一个圆环的面积，再乘5就是5个圆环面积，一个小曲边四边形面积已知，从而求出需要修剪的面积，·线○封○密○外代入进行计算即可．【详解】解：3.14×（52-42）×5-8×1，=3.14×（25-16）×5-8，=3.14×9×5-8，=141.3-8，=133.3（平方米）；133.3×10=1333（元）；答：修剪出此图案要花费1333元人工费．【点睛】本题考查圆的应用，解决本题的关键是找出等量关系式：五个圆环盖住的面积=5个圆环的面积之和-8个小曲边四边形面积．3、29 12【分析】直接根据分数的加减运算进行求解即可．【详解】解：13 234 -+=491212 2412-+=29 12．【点睛】本题主要考查分数的加减运算，熟练掌握分数的加减运算法则是解题的关键．4、1112 【分析】根据分数的乘除运算法则，先从左到右依次计算32383÷⨯，最后再算减法．【详解】解：3231211113=11838331212-÷⨯-⨯⨯=-=．【点睛】本题主要考查的是分数的混合运算，正确掌握分数混合运算法则是解题的关键．5、6组，其中每组中分别有4名男生和3名女生【分析】求出18和24的最大公因数即可解决问题，两个数的公有质因数连乘积就是它们的最大公约数．【详解】解：18=2×3×3；24=2×2×2×3 所以18和24的最大公因数是2×3=6，答：那么最多可分成6组，每组中女生3人、男生4人．【点睛】此题考查了通过求两个数的最大公因数的方法解决实际问题解答关键是按照相关法则求出最大公因数． ·线○封○密○外。

中考强化训练2022年吉林省长春市南关区中考数学一模试题(含答案及解析)

2022年吉林省长春市南关区中考数学一模试题考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、已知0b a <<，那么下列不等式组无解的是（） A ．x a x b >⎧⎨<⎩ B ．x a x b >-⎧⎨<-⎩ C ．x a x b <⎧⎨>-⎩ D ．x a x b >-⎧⎨<⎩ 2、已知{x =2x =−1 是关于x ,x 的二元一次方程2x +xx =7的解，则x 的值为( ) A ．3 B ．-3 C ．92 D ．-113、如图，正方形ABCD 边长为4，对角线AC 上有一动点P ，过P 作PE BC ⊥于E ，PF AB ⊥于F ，连结EF ，则EF 的最小值为（） ·线○封○密○外A ．B ．2C ．4D ．4、在一条东西向的跑道上，小亮向东走了8米，记作“＋8米”；那么向西走了10米，可记作（）A ．＋2米B ．﹣2米C ．＋10米D ．﹣10米5、如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心，把CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D 的坐标是（）A ．（2，10）B ．（﹣2，0）C ．（2，10）或（﹣2，0）D ．（10，2）或（﹣2，0）6、如图，在ABC ∆中，70CAB ∠=︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转到''AB C ∆的位置，使得'CC AB ，则'BAB ∠的度数是（）A ．70︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒7、矩形的周长为12cm ，设其一边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式及其自变量x 的取值范围均正确的是（）A ．y =﹣x 2+6x （3＜x ＜6）B ．y =﹣x 2+12x （0＜x ＜12）C ．y =﹣x 2+12x （6＜x ＜12）D ．y =﹣x 2+6x （0＜x ＜6） 8、若分式12x x +-有意义，则x 的取值范围是（）A ．2x ≠B ．2x =C ．1x =-D ．0x =9、一元二次方程2610x x --=配方后可变形为（） A ．()238x -= B ．()238x += C ．()2310x += D ．()2310x -= 10、在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（） A ．顺时针旋转90，向右平移B ．逆时针旋转90，向右平移C ．顺时针旋转90，向下平移D ．逆时针旋转90，向下平移第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a +b +c ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③abc ＞0；④4a ﹣2b +c ＞0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是_____．2、如图，在圆内接四边形ABCD 中，∠B＝30°，则∠D＝________． ·线○封○密○外3、把抛物线y=﹣x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得的抛物线是________．4、如图，点B是反比例函数y＝2x（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝﹣3x（x＜0）的图象于点A，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则平行四边形ABCD的面积为_____．5、如图，已知三角形ABC的面积为16，8BC=，现将三角形ABC沿直线BC向右平移a个单位到三角形DEF的位置，当边AB所扫过的面积为32时，那么a的值为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、357 (36)()469 -⨯-+2、在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B在网格格点上，若点C也在网格格点上，分别在下面的3个图中画出△ABC使其面积为2(形状完全相同算一种).3、如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（1）α＝（2）求边x 、y 的长度．4、如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位长度.△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上,且通过两次平移(沿网格线方向作上下或左右平移)后得到△A′B′C′,点C 的对应点是直线上的格点C′. (1)画出△A′B′C′. (2)△ABC 两次共平移了___个单位长度． (3)试在直线上画出点P,使得由点A′、B′、C′、P 四点围成的四边形的面积为9.5、如图，已知△ABC 为等边三角形，CF ∥AB ，点P 为线段AB 上任意一点（点P 不与A 、B 重合），过点P 作PE ∥BC ，分别交AC 、CF 于G 、E ．（1）四边形PBCE 是平行四边形吗？为什么？（2）求证：CP ＝AE ；（3）试探索：当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是什么样的特殊四边形？并说明理由． ·线○封○密○外-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，即可得出答案.【详解】A：大大小小，因此不等式组无解，故选项A正确；B：大小小大取中间，因此不等式组的解集为-a<x<-b，故选项B错误；C：大小小大取中间，因此不等式组的解集为-b<x<a，故选项C错误；D：大小小大取中间，因此不等式组的解集为-a<x<b，故选项D错误.因此答案选择A.【点睛】本题主要考查的是求不等式组的解集，注意解集确定的口诀：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解.2、B【解析】【分析】把{x =2x =−1 代入二元一次方程2x +xx =7，求解即可．【详解】解：把{x =2x =−1 代入二元一次方程2x +xx =7 得4-a =7，解得a=-3 故选：B. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的概念，解题的关键是把解代入原方程． 3、A 【分析】连接PB ，由矩形性质可知EF=BP ，由垂线段最短可知，当BP⊥AC 时，BP 最小，利用正方形性质求得AC 的长，从而利用三角形面积求得BP 的长即可即可．【详解】解：连接PB ，∵PE BC ⊥，PF AB ⊥，正方形ABCD 中，∠ABC=90° ∴四边形PFBE 是矩形 ∴EF=BP 当BP⊥AC 时，BP 最小，即EF 最小在正方形ABCD中，AC ==∴1122AC BP AB BC =，1124422BP⨯=⨯⨯ 解得：BP =·线○封○密○外∴EF的最小值为故选：A．【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，正方形性质的应用，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．4、D【分析】向东为“+”，则向西为“-”，由此可得出答案．【详解】解：向东走8米，记作“+8米”，则向西走10米，记作“-10米”．故选D．【点睛】本题考查正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．5、C【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，①若顺时针旋转，则点D 在x 轴上，O D ＝2，所以，D （﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D 到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2，所以，D （2，10），综上所述，点D 的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C ．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．6、C 【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB 得∠ACC′=∠CAB=70°，则∠AC′C=∠ACC′=70°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=40°，所以∠B′AB=40°．【详解】 ∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转到''AB C ∆的位置， ∴'AC AC =，''B AB C AC ∠=∠， ∴''AC C ACC ∠=， ∵'CC AB ， ∴'70ACC CAB ∠=∠=︒，∴''70AC C ACC ∠=∠=︒，∴'18027040CAC ∠=︒-⨯︒=︒，∴'40B AB ∠=︒，故选C. ·线○封○密·○外【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．7、D【分析】已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm，根据矩形的面积公式即可解答．【详解】解：已知一边长为xcm，则另一边长为（6-x）cm．则y=x（6-x）化简可得y=-x2+6x，（0＜x＜6），故选：D．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，解题的关键是用x表示出矩形的另一边，此题难度一般．8、A【解析】【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案．【详解】解：由题意，得x-2≠0，解得x≠2，故选：A．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．9、D【分析】先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．【详解】2610x x --=， 261x x ∴-=， ∴26919x x -+=+，∴()2310x -=，故选：D ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．10、A【详解】分析：运用旋转和平移性质可得.详解：由已知可得，顺时针旋转90°，向右平移，能把右下角完全填补.只有选项A 符合条件，其他选项不能符合条件. 故选A. 点睛：本题考核知识点：旋转和平移.解题关键点：理解旋转性质和平移性质，同时理解游戏规则即可.二、填空题1、①②③④⑤．【分析】·线○封○密·○外x=对应的函数值即可判断①的正误；①根据1②根据抛物线与x轴交点情况可判断②的正误；③由对称轴的位置可判断ab的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负，从而可判断③的正误；x=-对应的函数值即可判断④的正误；④根据2⑤根据c的值及a的正负即可判断⑤的正误．【详解】解：① x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确，符合题意；② 抛物线与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0正确，符合题意；③ 对称轴在y轴左侧，则ab＞0，而抛物线与y轴的交点为(0,1)，所以c＞0，故abc＞0正确，符合题意；④ 由函数的对称性知，x＝﹣2和x＝0对称，故x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1＞0，正确，符合题意；⑤ 抛物线与y轴的交点为(0,1)，所以c＝1，抛物线开口向下，所以a＜0，故c﹣a＞1，正确，符合题意．故答案为：① ② ③ ④ ⑤．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．2、150°【解析】【分析】圆内接四边形的对角互补，据此进行解答即可.【详解】解：由圆的内接四边形性质可得∠D +∠B=180°，则∠D=180°-30°=150°.故答案为：150°.【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质.3、y=﹣（x+3）2+2【详解】试题分析：根据二次函数的平移的规律：上加下减，左加右减，直接可得y=-x²平移后的图像为：y=-（x+3）²+2.点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”，分别对函数的横纵坐标进行变化，直接代入即可求解，解题时一定要注意平移的方向，以及关系式中的符号变化.4、5．【分析】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b,即可求得AB的横坐标,则AB的长度即可求得,然后利用平行四边形的面积公式即可求解【详解】设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b把y=b代入y＝2x得,b=2x则x=2b,即B的横坐标是2b同理可得:A的横坐标是：3-b则AB=2b -（3-b）=5b则 S ABCD四边形 =5b×b=5.·线○封·○密○外故答案为5【点睛】此题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键在于设A 的纵坐标为b5、8【分析】边AB 扫过的图形即为平行四边形ABED,可由三角形ABC 的面积求出底边BC 上的高，再结合平行四边形的面积即知底边BE 的长,即a 的值.【详解】解：如图，连接AD ，过点A 作AG BC ⊥交BC 于G.1181622ABC S BC AH AH ∆==⨯⨯= 4AH ∴=由题意可得324ABED S AH BE BE ===平行四边形8BE ∴=8a ∴=故答案为8【点睛】本题考查了图形的平移，灵活运用图形面积间的关系是解题的关键.三、解答题1、﹣25【分析】利用乘法对加法的分配律，可以使运算简便．【详解】解：357(36)()469-⨯-+ =357(36)(36)(36)469-⨯--⨯+-⨯ =273028-+- =-25．故答案为：-25．【点睛】本题考察有理数的混合运算，解题过程中注意运算顺序和运用运算律． 2、见解析【解析】【分析】根据三角形的面积为2构造底和高即可求解. 【详解】如图所示. ·线○封○密○外【点睛】此题主要考查网格的作图，解题的关键是根据面积公式构造底和高.3、（1）83°；（2）x ＝12，y ＝332．【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等求得答案；（2）利用相似多边形的对应边成比例列式求得x 、y 的值.【详解】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，故答案为83°；（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴8x ＝11y ＝96，解得：x ＝12，y ＝332．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 4、（1）见解析（2）7（3）见解析【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可；（2）由△ABC 与△A′B′C′的位置即可得出结论；（3）在直线上画出点P ，使所组成的三角形面积相等即可．【详解】(1)如图所示；(2)∵由图可知,△A′B′C′由△ABC 向右平移3个单位长度，向下平移4个单位长度而成， ∴△ABC 两次共平移了7个单位长度．故答案为7；(3)如图所示,P1,P2即为所求．【点睛】此题考查作图-平移变换，解题关键在于掌握作图法则 ·线○封○密○外5、（1）四边形PBCE是平行四边形，理由详见解析；（2）详见解析；（3）当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形，理由详见解析.【分析】（1）根据条件PE∥BC，CF∥AB，利用两条对边互相平行的四边形是平行四边形可直接的证出结论；（2）证出PB=EC，∠B=∠2再加上条件BC=CA，可得△BPC≌△CEA，可得到CP=AE；（3）首先证明四边形APCE是平行四边形，再证明∠APC=90°，AC=PE，即可以证出四边形APCE是矩形．【详解】解：（1）四边形PBCE是平行四边形理由：∵CF∥AB（即CE∥BP），PE∥BC，∴四边形PBCE是平行四边形；（2）证明：（如图1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，BC＝CA，∵CF∥AB，∴∠2＝∠1，∴∠B＝∠2，又由（1）知四边形PBCE为平行四边形，∴PB＝EC，在△BPC和△CEA中，PB＝EC，∠B＝∠2，BC＝CA，∴△BPC≌△CEA，∴CP＝AE；（3）当P 为AB 的中点时，四边形APCE 是矩形（如图2），理由：∵P 为AB 的中点， ∴AP ＝BP ，又由（2）证得：BP ＝CE ， ∴AP ＝CE ， ∵CF ∥AB ，即EC ∥AP ， ∴四边形APCE 是平行四边形又∵△ABC 是等边三角形，P 为AB 的中点， ∴CP ⊥AB （“三线合一”）， ∴∠APC ＝90°， ∵△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，又∵四边形PBCE 是平行四边形， ∴PE ＝BC ， ∴AC ＝PE ， ·线○封○密○外∴四边形APCE是矩形．【点睛】此题考查矩形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和平行四边形的判定，解题关键在于根据已知条件两组对边相互平行证明平行四边形。

2024成都中考数学第一轮专题复习之第八章第一节数据的收集与整理强化训练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第八章第一节数据的收集与整理强化训练基础题1. (2023舟山)在下面的调查中，最适合用全面调查的是()A. 了解一批节能灯管的使用寿命B. 了解某校803班学生的视力情况C. 了解某省初中生每周上网时长情况D. 了解京杭大运河中鱼的种类2. (2023聊城)4月15日是全民国家安全教育日．某校为了摸清该校1 500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是()A. 1 500名师生的国家安全知识掌握情况B. 150C. 从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况D. 从中抽取的150名师生3. (2022玉林)垃圾分类利国利民．某校宣传小组就“空矿泉水瓶应投放到哪种颜色的垃圾收集桶内”进行统计活动，他们随机采访50名学生并作好记录．以下是排乱的统计步骤：①从扇形统计图中分析出本校学生对空矿泉水瓶投放的正确率②整理采访记录并绘制空矿泉水瓶投放频数分布表③绘制扇形统计图来表示空矿泉水瓶投放各收集桶所占的百分比正确统计步骤的顺序应该是()A. ②→③→①B. ②→①→③C. ③→①→②D. ③→②→①4. [新考法—跨学科](2023扬州)空气的成分(除去水汽、杂质等)是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%.要反映上述信息，宜采用的统计图是()A. 条形统计图B. 折线统计图C. 扇形统计图D. 频数分布直方图5. 我国近5年研究与试验发展(R&D)经费支出及增长速度的情况如图所示．第5题图根据该统计图，下列判断错误．．的是()A. 2018—2022年研究与试验发展经费支出逐年上升B. 2021年研究与试验发展经费支出的增长速度最快C. 2022年研究与试验发展经费的支出比2018年的2倍还多D. 2018年至2022年，研究与试验发展经费支出的平均值超过20 000亿元6. (2023河南)某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1 000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x(cm)的统计图，则此时该基地高度不低于300 cm的“无絮杨”品种苗约有________棵．第6题图7. (2023株洲)血压包括收缩压和舒张压，分别代表心脏收缩时和舒张时的压力．收缩压的正常范围是：90～140 mmHg，舒张压的正常范围是：60～90 mmHg.现五人A，B，C，D，E 的血压测量值统计如下：第7题图则这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有________个．8. (2022自贡)为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是________鱼池．(填甲或乙)9. (2023成都黑白卷)2023年2月10日，全国首个地铁数字艺术空间亮相成都地铁东大路站，首展《千里江山图》以全新面貌呈现．在这场数字文化艺术展览中，观众可以走进“数字科技＋传统文化”地铁空间，体验一场千年穿越之旅．小宇在校园内随机抽取若干名学生，以“千里江山图”为主题对他们进行问卷式知识检测(满分100分)，并将结果进行统计，绘制成如下不完整的统计图表．(A.60≤x<70，B.70≤x<80，C.80≤x<90，D.90≤x≤100)图①图②第9题图根据图表信息，解答以下问题：(1)随机调查的学生总人数为________；(2)计算扇形统计图中“A”组对应的圆心角的度数．拔高题10. [新考法—结论开放](2023连云港)为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，某数学兴趣小组抽取了50名学生进行问卷调查．(1)下面的抽取方法中，应该选择()A. 从八年级随机抽取一个班的50名学生B. 从八年级女生中随机抽取50名学生C. 从八年级所有学生中随机抽取50名学生(2)对调查数据进行整理，得到下列两幅尚不完整的统计图表：暑期课外阅读情况统计表第10题图统计表中的a＝________，补全条形统计图；(3)若八年级共有800名学生，估计八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生人数；(4)根据上述调查情况，写一条你的看法．11. (2023长春)近年来，肥胖已经成为影响人们身体健康的重要因素．目前，国际上常用身体质量指数(Body Mass Index，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝体重（单位：kg）身高2（单位：m2）.例如：某人身高1.60 m，体重60 kg，则他的BMI＝601.602≈23.4.中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．某公司为了解员工的健康情况，随机抽取了一部分员工的体检数据，通过计算得到他们的BMI值并绘制了如下两幅不完整的统计图．第11题图根据以上信息回答下列问题：(1)补全条形统计图；(2)请估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数；(3)基于上述统计结果，公司建议每个人制定健身计划．员工小张身高1.70 m，BMI值为27，他想通过健身减重使自己的BMI值达到正常，则他的体重至少需要减掉________kg.(结果精确到1kg)参考答案与解析1. B【解析】A.了解一批节能灯管的使用寿命，具有破坏性，适合采用抽样调查，不符合题意；B.了解某校803班学生的视力情况，适合采用普查，符合题意；C.了解某省初中生每周上网时长情况，适合采用抽样调查，不符合题意；D.了解京杭大运河中鱼的种类，适合采用抽样调查，不符合题意．2. C【解析】样本是总体中所抽取的一部分个体，∴样本是从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况．3. A4. C【解析】扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．故本题宜采用扇形统计图来表示．5. C【解析】由条形统计图，得2018－2022年研究与试验发展经费支出逐年上升，故A 正确，不符合题意；由折线统计图，得相比去年，研究与试验发展经费支出的增长速度最快的是2021年，故B正确，不符合题意；19 678×2＝393 556＞30 870，故C错误，符合题意；由条形统计图可直接判断出2018年至2022年，研究与试验发展经费支出的平均值超过20 000亿元，故D正确，不符合题意．6. 280【解析】由题意，得1 000×(18%＋10%)＝280(棵).7. 3【解析】收缩压在正常范围的有A，B，D，E，舒张压在正常范围的有B，C，D，E，这五人中收缩压和舒张压均在正常范围内的人有B，D，E，即3个．8. 甲【解析】由题意可得，甲鱼池中的鱼苗数量约为100÷5100＝2 000(条)，乙鱼池中的鱼苗数量约为100÷10100＝1 000(条)，∵2 000＞1 000，∴初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池．9. 解：(1)400；【解法提示】140÷35%＝400(人).(2)∵400×30%＝120(人)，400－140－80－120＝60(人)，∴“A”组所对应的圆心角的度数为360°×60400＝54°.10. (1)C；【解法提示】为了解本校八年级学生的暑期课外阅读情况，应该选择从八年级所有学生中随机抽取50名学生，这样抽取的样本具有广泛性和代表性． (2)15；补全条形统计图如解图所示；第10题解图【解法提示】a ＝50－5－25－5＝15. (3)800×15＋550＝320(人).答：八年级学生暑期课外阅读数量达到2本及以上的学生约为320人；(4)本次调查大部分同学暑期课外阅读数量达不到3本及以上，建议同学们多阅读，培养热爱读书的良好习惯(答案不唯一). 11. 解：(1)补全条形统计图如解图所示；第11题解图【解法提示】抽取了7÷35%＝20人，属于偏胖的人数为20－2－7－3＝8. (2)200×8＋320＝110(人)，答：估计该公司200名员工中属于偏胖和肥胖的总人数为110人； (3)9.【解法提示】设小张体重需要减掉x kg ，依题意，得27－x1.702 <24，解得x >8.67，∴他的体重至少需要减掉9 kg.。

强化训练2022年福建省莆田中考数学第二次模拟试题(含答案及解析)

2022年福建省莆田中考数学第二次模拟试题考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、如图，已知O 的直径CD ⊥弦AB ，垂足为E ，22.5ACD ∠=︒，若6CD =，则AB 的长为（）A ．4 B．C．D．2、二十一世纪，纳米技术将被广泛应用，纳米是长度计量单位，1 纳米=0.000000001 米，则 5 纳米可以用科学记数法表示为( ) A ．9510⨯米 B ．85010-⨯米 C ．9510-⨯ 米 D ．8510-⨯ 米 3、若实数a 、b 满足0a >，0b <，则一次函数y ax b =+的图象可能是（） A ． B ． ·线○封○密○外C ．D ．4、如图，点A 、B 的坐标分别是为(﹣3，1)，(﹣1，﹣2)，若将线段AB 平移至A 1B 1的位置，则线段AB 在平移过程中扫过的图形面积为( )A ．18B ．20C ．36D ．无法确定5、不等式组31x -≤＜的解集在数轴上表示正确的是A ．B ．C ．D ．6、若关于x 的方程222x m x x ++--＝2有增根，则m 的值为（） A ．0 B ．1 C ．﹣1 D ．27、下列等式变形正确的是（）A ．若35x -=，则35x =-B ．若()3121x x +-=，则3321x x +-=C ．若5628x x -=+，则5286x x +=+D ．若1132xx -+=，则()2311x x +-= 8、在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a b >）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（） A ．()()22a b a b a b -=+- B ．()2222a b a ab b -=-+ C ．()2222a b a ab b +=++ D ．()()2222a b a b a ab b +-=+- 9、如图，某小区有一块长为18米、宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地（图中阴影部分），它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行通道的宽度为x 米，则下列所列方程正确的是（） A ．（18﹣2x ）（6﹣2x ）＝60B ．（18﹣3x ）（6﹣x ）＝60C ．（18﹣2x ）（6﹣x ）＝60D ．（18﹣3x ）（6﹣2x ）＝6010、已知关于x 的一元二次方程x 2-x +k =0的一个根是2，则k 的值是（） A ．-2 B ．2 C ．1 D ．1 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知关于x 的方程12x a x +=--有解且大于0，则a 的取值范围是_____．2、如图，数轴上的点A ，B 分别表示数－3和2，点C 是线段AB 的中点，则点C 表示的数是____．·线○封○密○外3、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a +b +c ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③abc ＞0；④4a ﹣2b +c ＞0；⑤c ﹣a ＞1．其中所有正确结论的序号是_____．4、已知1240a a x 是关于x 的一元一次方程，则a =______．5、如图，在ABC ∆中，已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且21ABC S cm ∆=，则BEF S ∆=______2cm .三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、解不等式组：475(1)2332x x x x ->-⎧⎪-⎨≤-⎪⎩． 2、为了加强建设“经济强、环境美、后劲足、群众富”的实力城镇，聚力脱贫攻坚，全面完成脱贫任务，某乡镇特制定一系列帮扶计划．现决定将A 、B 两种类型鱼苗共320箱运到某村养殖，其中A 种鱼苗比B 种鱼苗多80箱．（1）求A 种鱼苗和B 种鱼苗各多少箱？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批鱼苗全部运往同一目的地．已知甲种货车最多可装A 种鱼苗40箱和B 种鱼苗10箱，乙种货车最多可装A 种鱼苗和B种鱼苗各20箱．如果甲种货车每辆需付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600元，则安排甲、乙两种货车有哪几种不同的方案？并说明选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？3、如图，A 、B 两点在数轴上，点A 表示的数为-10，OB=4OA ，点M 以每秒2个单位长度的速度从点A 开始向左运动，点N 以每秒3个单位长度的速度从点B 开始向左运动(点M 和点N 同时出发)。

强化训练2022年河北保定中考数学历年真题练习 (B)卷(含答案解析)

2022年河北保定中考数学历年真题练习（B ）卷考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一元二次方程254x x +=-的一次项的系数是（）A ．4B ．-4C ．1D ．5 2、已知三角形的一边长是6 cm ，这条边上的高是(x ＋4)cm ，要使这个三角形的面积不大于30 cm 2，则x 的取值范围是( ) A ．x ＞6 B ．x ≤6 C ．x ≥－4 D ．－4＜x ≤63、在112-，1.2，π-，0 ，()2--中，负数的个数有（）． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4、有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（） A ． B ． C ． D ．·线○封○密○外5、某件商品先按成本价加价50%后标价，再以九折出售，售价为135元，若设这件商品的成本价是x 元，根据题意，可得到的方程是（）A ．()150%90%135x +⨯=B ．()150%90%135x x +⨯=-C ．()150%90%135x +⨯=D ．()150%90%135x x +⨯=-6、如图，在数轴上有三个点A 、B 、C ，分别表示数5-， 3.5-，5，现在点C 不动，点A 以每秒2个单位长度向点C 运动，同时点B 以每秒1.5个单位长度向点C 运动，则先到达点C 的点为（）A ．点AB ．点BC ．同时到达D ．无法确定 7、使分式201928x x --有意义的x 的取值范围是（） A ．4x =B ．4x ≠C ．4x =-D ．4x ≠- 8、若把分式2x y x y+-中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（） A ．扩大10倍 B ．不变 C ．缩小10倍 D ．缩小20倍9、计算3.14-(-π)的结果为( ) ．A ．6.28B ．2πC ．3.14-πD ．3.14+π10、多项式2835x x -+与多项式323257x mx x +-+相加后，不含二次项，则常数m 的值是（）A ．2B ．4-C ．2-D ．8-第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，半圆O 的直径AE ＝4，点B ，C ，D 均在半圆上．若AB ＝BC ，CD ＝DE ，连接OB ，OD ，则图中阴影部分的面积为________.2、边长为a 、b 的长方形，它的周长为14，面积为10，则22a b ab +的值为__．3、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是1，则3a+3b -mcd=__________.4、已知24=224a b x x x x ++--，则a =_____， b =________．5、如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点．若10cm AB =，4cm BC =，则AD 的长为______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、已知在平面直角坐标系xOy 中，拋物线212y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点 ()02C ，，点P 是该抛物线在第一象限内一点，联结,,AP BC AP 与线段BC 相交于点F ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与线段BC 交于点E ，如果点F 与点E 重合，求点P 的坐标；·线○封○密○外（3）过点P 作PG x ⊥轴，垂足为点,G PG 与线段BC 交于点H ，如果PF PH =，求线段PH 的长度．2、为预防新冠病毒，口罩成了生活必需品，某药店销售一种口罩，每包进价为6元，日均销售量y （包）与每包售价x （元）满足y ＝﹣5x +80，且10≤x ≤16．（1）每包售价定为多少元时，药店的日均利润最大？最大为多少元？（2）当进价提高了a 元，且每包售价为13元时，日均利润达到最大，求a 的值．3、已知：二次函数图象的顶点坐标为()3,6-，且经过点()2,10；求此二次函数的解析式．4、在平面直角坐标系xOy 中二次函数2(3)4y a x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,5C ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）已知点D 在二次函数2(3)4y a x =--的图象上，且点D 和点C 到x 轴的距离相等，求点D 的坐标．5、如图是函数214y x =-+的部分图像．（1）请补全函数图像；（2）在图中的直角坐标系中直接画出221y x =+的图像，然后根据图像回答下列问题： ①当x 满足时，12y y =，当x 满足时，12y y >； ②当x 的取值范围为时，两个函数中的函数值都随x 的增大而增大？ -参考答案- 一、单选题1、A【分析】方程整理为一般形式，求出一次项系数即可．【详解】方程整理得：x 2+4x +5=0，则一次项系数为4．故选A ． ·线○封○密○外【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．2、D【解析】【分析】根据三角形面积公式列出不等式组，再解不等式组即可．【详解】由题意得：4016(4)302xx+>⎧⎪⎨⨯⨯+≤⎪⎩，解得：－4＜x≤6．故选D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用．解题的关键是利用三角形的面积公式列出不等式组．3、A【分析】根据负数的定义：小于0的数是负数作答．【详解】解：五个数112-，1.2，π-，0，()2--，化简为112-，1.2，π-，0，+2．所以有2个负数．故选：A．【点睛】本题考查负数的概念，判断一个数是正数还是负数，要把它化为最简形式再判断．概念：大于0的数是正数，小于0的是负数．4、A【详解】【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案．【详解】设的质量为x ，的质量为y ，的质量为：a ，假设A 正确，则，x=1.5y ，此时B ，C ，D 选项中都是x=2y ，故A 选项错误，符合题意，故选A ．【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确得出物体之间的重量关系是解题关键．5、A【分析】设这件商品的成本价为x 元，售价=标价×90%，据此列方程．【详解】解：标价为()150%x +，九折出售的价格为()150%90%x +⨯，可列方程为()150%90%135x +⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 6、 A ·线○封○密○外【分析】先分别计算出点A 与点C 之间的距离为10，点B 与点C 之间的距离为8.5，再分别计算出所用的时间．【详解】解：点A 与点C 之间的距离为：5(5)5510--=+=，点B 与点C 之间的距离为：5( 3.5)5 3.58.5--=+=，点A 以每秒2个单位长度向点C 运动，所用时间为5210=÷（秒）；同时点B 以每秒1.5个单位长度向点C 运动，所用时间为1728.5 1.5533÷==（秒）；故先到达点C 的点为点A ，故选：A ．【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是计算出点A 与点C ，点B 与点C 之间的距离．7、B【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为零求出x 的取值范围即可．【详解】解：由题意得：280x -≠，解得4x ≠，故选：B ．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，即分母不为零是解题的关键．8、B【分析】把x 和y 都扩大10倍,根据分式的性质进行计算，可得答案．【详解】解：分式2x y x y +-中的x 和y 都扩大10倍可得：1021010(2)2101010()x y x y x y x y x y x y +⨯++==---， ∴分式的值不变，故选B ．【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 9、D 【分析】根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【详解】解： 3.14-(-π)= 3.14+π．故选：D ．【点睛】本题考查减法运算，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 10、B 【分析】合并同类项后使得二次项系数为零即可；【详解】解析：()()23232835+3257=3(28)812x x x mx x x m x x -++-+++-+，当这个多项式不含二次项时，有280m +=，解得4m =-． ·线○封○密○外故选B．【点睛】本题主要考查了合并同类项的应用，准确计算是解题的关键．二、填空题1、π【分析】根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．【详解】如图，连接CO，∵AB=BC，CD=DE，∴∠BOC+∠COD=∠AOB+∠DOE＝90°，∵AE=4，∴AO=2，∴S阴影＝2902360π⋅⋅＝π．【点睛】本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．2、70【分析】直接利用长方形的周长和面积公式结合提取公因式法分解因式计算即可．【详解】解：依题意：2a +2b =14，ab =10，则a +b =7∴a 2b +ab 2=ab （a+b ）=70；故答案为：70【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出a +b 和ab 的值是解题关键． 3、-1或1．【分析】由a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是1得出a+b=0、cd=1，m=±1，代入计算即可．【详解】解：∵a、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是1， ∴a+b=0、cd=1，m=±1，当m=1时，3a+3b -mcd=3（a+b ）-mcd=0-1= -1，当m=-1时，3a+3b -mcd=3（a+b ）-mcd=0-（-1）= 1．故答案为：-1或1．【点睛】本题考查相反数、倒数及绝对值的计算，掌握互为相反数的两数和为0、互为倒数的两数积为1是解题的关键． 4、2 2 【分析】先根据异分母分式的加法法则计算，再令等号两边的分子相等即可．【详解】·线○封○密○外解：∵24=224a b x x x x ++--， ∴22(2)(2)4=44a xb x x x x -++--， ∴a（x −2）＋b （x ＋2）＝4x ，即（a ＋b ）x −2（a −b ）＝4x ，∴a＋b ＝4，a －b ＝0，∴a=b=2，故答案为：2，2.【点睛】本题考查的是分式的加减法，在解答此类问题时要注意通分的应用．5、3cm ．【分析】利用已知得出AC 的长，再利用中点的性质得出AD 的长．【详解】解：∵AB=10cm，BC=4cm ，∴AC=6cm，∵D 是线段AC 的中点，∴AD=3cm．故答案为：3cm ．【点睛】此题主要考查了线段长度的计算问题与线段中点的概念，得出AC 的长是解题关键．三、解答题1、（1）213222y x x =-++ （2）(3,2)P （3）158 【分析】（1）将点(1,0)A -和点(0,2)C 代入212y x bx c =-++，即可求解；（2）分别求出(4,0)B 和直线BC 的解析式为122y x =-+，可得3(2E ，5)4，再求直线AE 的解析式为1122y x =+，联立2112213222y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，即可求点(3,2)P ；（3）设213(,2)22P t t t -++，则1(,2)2H t t -+，则2122PH t t =-+，用待定系数法求出直线AP 的解析式为4422t t y x --=+，联立1224422y x t t y x ⎧=-+⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩，可求出(5t F t -，205)102t t --，直线AP 与y 轴交点4(0,)2t E -，则2t CE =，再由PF PH =，可得CE EF =，则有方程2222054()()()251022t t t t t t --=+---，求出52t =，即可求2115228PH t t =-+=．（1）解：将点(1,0)A -和点(0,2)C 代入212y x bx c =-++， ∴1022b c c ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩， ∴322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 213222y x x ∴=-++； ·线○封○密·○外（2）解：213222y x x =-++， ∴对称轴为直线32x =，令0y =，则2132022x x -++=，解得1x =-或4x =，(4,0)B ∴，设直线BC 的解析式为y kx m =+，∴402k m m +=⎧⎨=⎩， ∴122k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，122y x ∴=-+， 3(2E ∴，5)4，设直线AE 的解析式为y k x n '=+，∴03524k n k n '-+=⎧⎪⎨'+=⎪⎩， ∴1212k n ⎧'=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122y x ∴=+，联立2112213222y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩， 3x ∴=或1x =-（舍)， (3,2)P ∴；（3）解：设213(,2)22P t t t -++，则1(,2)2H t t -+， 2122PH t t ∴=-+，设直线AP 的解析式为11y k x b =+， ∴11211013222k b k t b t t -+=⎧⎪⎨+=-++⎪⎩， ∴114242t k t b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，·线○封○密·○外4422t t y x --∴=+，联立1224422y x t t y x ⎧=-+⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩，5t x t∴=-， (5t F t∴-，205)102t t --，直线AP 与y 轴交点4(0,)2t E -， 4222t t CE -∴=-=， =PF PH ，PFH PHF ∴∠=∠，//PG y 轴，ECF PHF ∴∠=∠，CFE PFH ∠=∠，CEF CFE ∴∠=∠，CE EF ∴=，2222054()()()251022t t t t t t --∴=+---， 22(4)4(5)t t ∴-+=-，52t ∴=， 2115228PH t t ∴=-+=．【点睛】本题是二次函数的综合题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，会求二次函数的交点坐标，本题计算量较大，准确的计算也是解题的关键． 2、（1）每包售价定为11元时，日均利润最大为125元；（2） 4.a = 【分析】 (1)根据公式“总利润=单个利润×数量”列出利润的表达式，然后再根据二次函数的性质求出最大值即可． (2)同(1)中思路，列出日均利润的表达式，然后再由日均利润最大时，每包售价为13元即可求解．（1）解：设日均利润为w ，由题意可知：w =(x -6)(-5x +80)，整理得到：w =-5x 2+110x -480=-5(x -11)2+125，当x =11时，w 有最大值为125，故：每包售价为11元时，药店的日均利润最大为125元．（2）解：设日均利润为w 元，由题意可知：w =(x -a -6)(-5x +80)，整理得到：w =-5x 2+(110+5a )x -80a -480， ∴w 是关于x 的二次函数，其对称轴为x=b 11051112102a a a +-=-=+-， ∵每包售价为13元时，日均利润达到最大， ∴1112a +=13，解得：a =4． ·线○封○密○外【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，从中找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．3、216(3)6y x =--【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：2(3)6y a x =--，再把()2,10代入，求出a 的值，即可得出二次函数的解析式．【详解】解：设抛物线的解析式为：2(3)6y a x =--，把()2,10代入解析式得16a =，则抛物线的解析式为：216(3)6y x =--．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．4、（1）A （1,0），B （5,0）（2）（6,5）【分析】（1）先将点C 的坐标代入解析式，求得a ；然后令y =0，求得x 的值即可确定A 、B 的坐标；（2）由2(3)4y a x =--可知该抛物线的顶点坐标为（3,-4），又点D 和点C 到x 轴的距离相等，则点D 在x 轴的上方，设D 的坐标为（d ，5），然后代入解析式求出d 即可．（1）解：∵二次函数2(3)4y a x =--的图象与y 轴交于()0,5C∴25(03)4a =--，解得a =1 ∴二次函数的解析式为2(3)4y x =-- ∵二次函数2(3)4y x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点 ∴令y =0，即20(3)4x =--，解得x =1或x =5 ∵点A 在点B 的左侧 ∴A （1,0），B （5,0）．（2）解：由（1）得函数解析式为2(3)4y x =-- ∴抛物线的顶点为（3，-4） ∵点D 和点C 到x 轴的距离相等，即为5 ∴点D 在x 轴的上方，设D 的坐标为（d ，5） ∴25(3)4d =--，解得d =6或d =0 ∴点D 的坐标为（6,5）．【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点、二次函数抛物线的顶点、点到坐标轴的距离等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 5、（1）见解析（2）①3x =-或1x =；31x -<<；②0x < ·线○封○密○外【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，根据对称性作出函数的图象即可；（2）现出直线y=2x+1的图象，找出两函数图象的交点坐标，结合图象可回答问题．（1）由214y x=-+知，函数图象的顶点坐标为（0，4）又抛物线具有对称性，所以，补全函数图像如下：（2）如图，从作图可得出，直线y =2x +1与214y x =-+的交点坐标为（-3，-5）和（1，3）所以，①当3x =-或1x =时，12y y =，当31x -<<时，12y y >，故答案为：3x =-或1x =；31x -<<； ②当0x <时，两个函数中的函数值都随x 的增大而增大，故答案为：0x < 【点睛】本题考查函数图象，描点法画函数图象，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． ·线○封○密○外。

2021年中考数学总复习专项提高训练题型八几何综合题(word版,含答案)

题型八几何综合题类型一与折叠有关的问题1. (2020云师大实验模拟)如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，将△CDE沿CE 折叠得到△CFE，点F恰好落在边AB上．(1)求证：△AEF△△BFC；(2)若AB＝2，BC＝1，作线段CE的中垂线，交AB于点P，交CD于点Q，连接PE，P C.△求线段DQ的长；△试判断△PCE的形状，并说明理由．第1题图2. (2020云南逆袭卷)如图，将正方形ABCD折叠，使点B落在AD边上的点E(不与点A、D重合)处，点C落在点B′处，折痕分别交AB、CD于点M、N，B′E交CD于点F，连接BF交MN于点P，连接BE.(1)求证：BE平分△AEB′；(2)求BPBE的值；(3)若AB＝4，E是AD的中点，求MN的长．第2题图3. (2020湖州)已知在△ABC 中，AC ＝BC ＝m ，D 是AB 边上的一点，将△B 沿着过点D 的直线折叠，使点B 落在AC 边的点P 处(不与点A ，C 重合)，折痕交BC 边于点E .(1)特例感知如图△，若△C ＝60°，D 是AB 的中点，求证：AP ＝12AC ；(2)变式求异如图△，若△C ＝90°，m ＝62，AD ＝7，过点D 作DH △AC 于点H ，求DH 和AP 的长；(3)化归探究如图△，若m ＝10，AB ＝12，且当AD ＝a 时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，请直接写出．．．．a 的取值范围．第3题图4. (全国视野)(2020长春)【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．1.把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？(第1题)【问题解决】如图△，已知矩形纸片ABCD (AB ＞AD )，将矩形纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边DC 上，点A 的对应点为A ′，折痕为DE ，点E 在AB 上．求证：四边形AEA ′D 是正方形．【规律探索】由【问题解决】可知，图△中的△A ′DE 为等腰三角形．现将图△中的点A ′沿DC 向右平移至点Q 处(点Q 在点C 的左侧)，如图△，折痕为PF ，点F 在DC 上，点P 在AB 上，那么△PQF 还是等腰三角形吗？请说明理由．【结论应用】在图△中，当QC ＝QP 时，将矩形纸片继续折叠，如图△，使点C 与点P 重合，折痕为QG ，点G 在AB 上．要使四边形PGQF 为菱形，则ADAB＝________．第4题图5. (2020成都)在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．(1)如图△，若BC＝2BA，求△CBE的度数；(2)如图△，当AB＝5，且AF·FD＝10时，求BC的长；(3)如图△，延长EF，与△ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN＋FD时，求ABBC的值．第5题图类型二与旋转有关的问题1. (2020内江)如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点(不与A 、C 重合)，连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连接QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F .(1)连接CQ ，求证：AP ＝CQ ； (2)若AP ＝14AC ，求CE △BC 的值；(3)求证：PF ＝EQ .第1题图2. (2020河南)将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ′，记旋转角为α，连接BB ′，过点D 作DE 垂直于直线BB ′，垂足为点E ，连接DB ′，CE .(1)如图△，当α＝60°时，△DEB ′的形状为______，连接BD ，可求出BB ′CE 的值为________；(2)当0°＜α＜360°，且α≠90°时，△(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图△的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；△当以点B ′，E ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出BEB ′E的值．第2题图3. (2020龙东地区)如图△，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC＝EC，连接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN.(1)BE与MN的数量关系是________；(2)将△DEC绕点C逆时针旋转到图△和图△的位置，判断BE与MN有怎样的数量关系？写出你的猜想，并利用图△或图△进行证明．第3题图4. (2020昆明西山区一模)在△ABC 中，AB ＝AC ，△BAC ＝α，点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点，连接CP ，将线段CP 绕点P 旋转α得到线段DP ，连接AP ，CD ，B D.(1)观察猜想：如图△，当α＝60°时，线段CP 绕点P 顺时针旋转α得到线段DP ，则BDAP 的值是______，直线AP 与BD 相交所成的较小角的度数是________；(2)类比探究：如图△，当α＝90°时，线段CP 绕点P 顺时针旋转α得到线段DP ，请直接写出AP 与BD 相交所成的较小角的度数，并说明△BCD 与△ACP 相似，求出BDAP的值； (3)拓展延伸：当α＝90°时，且点P 到点C 的距离为13AC ，线段CP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，若点A ，C ，P 在一条直线上时，求BDAP的值．第4题图类型三非动态类问题1. (2020黔东南州)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝6，△A ＝60°，点E 是线段AB 上一点(不与A 、B 重合)，作△EDF 交BC 于点F ，且△EDF ＝60°，连接EF .(1)若菱形ABCD 的面积为S ，直接写出S 的值； (2)求证：△DEF 是等边三角形； (3)求四边形DEBF 周长的最小值．第1题图2. (2020昆明盘龙区一模)如图，AB 为△O 的直径，D 是BC ︵的中点，BC 与AD ，OD 分别交于点E ，F .(1)求证：OD △AC ； (2)求证：DC 2＝DE ·DA ；(3)若△O 的直径AB ＝10，AC ＝6，求BF 的长．第2题图3. (2020安徽)如图△，已知四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE＝AD，EC与BD相交于点G，与AD相交于点F，AF＝A B.(1)求证：BD△EC；(2)若AB＝1，求AE的长；(3)如图△，连接AG，求证：EG－DG＝2AG.第3题图4. (2020保山隆阳区模拟)如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝3，点E，F分别在边AB，BC上，且BF＝FC，连接DE，EF，并以DE，EF为边作正方形DEFG，连接BG，分别交EF，CD于点P，Q.(1)求正方形DEFG的边长EF；(2)若FG交DC于点M，求DM的长；(3)求BP△QG的值．第4题图5. (2019云南省卷)如图，AB 是△C 的直径，M 、D 两点在AB 的延长线上，E 是△C 上的点，且DE 2＝DB ·DA ，延长AE 至F ，使AE ＝EF ，设BF ＝10，cos△BED ＝45.(1)求证：△DEB △△DAE ； (2)求DA ，ED 的长；(3)若点F 在B 、E 、M 三点确定的圆上，求MD 的长．第5题图6. (全国视野)(2020德州)问题探究：小红遇到这样一个问题：如图△，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证明△BED △△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小红证明△BED △△CAD 的判定定理是：___________________________________________；方法运用：(2)如图△，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE ＝EF ，求证：BF ＝AC ；(3)如图△，在矩形ABCD 中，AB BC ＝12，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt△BEF ，且EF BE ＝12，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG ＝CG .第6题图类型四与动点有关的问题(含不定点问题)1. 如图，Rt△MPN 的顶点P 在正方形ABCD 的边AB 上，△MPN ＝90°，PN 经过点C ，PM 与AD 交于点Q .(1)证明：△APQ △△BCP ；(2)若P 为AB 的中点，连接CQ ，求证：AQ ＋BC ＝CQ ； (3)若AQ ＝14AD ，AB ＝4，求PC 的长．第1题图2. (2017云南省卷)已知AB 是△O 的直径，PB 是△O 的切线，C 是△O 上的点，AC △OP ，M 是直径AB 上的动点，A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为f .(1)求证：PC 是△O 的切线；(2)设OP ＝32AC ，求△CPO 的正弦值；(3)设AC ＝9，AB ＝15，求d ＋f 的取值范围．第2题图3. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，AF平分△DAB交CD于点F，设P是AF上的一个动点(不与点A重合)．(1)求证：PD＝PE；(2)连接PC，求PC的最小值；(3)设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使得△DPO＝90°，若存在，求出AP的长．第3题图4. (2020云南定心卷)如图，在矩形ABCD中，AD＝4，CD＝10，点E是线段AB上的点(AE＞BE)，且DE△CE，点F是线段CE上一动点，连接DF，点G是DF的中点，连接BG.(1)求证：AD2＝AE·BE；(2)求DE，CE的长；(3)求BG的取值范围．第4题图5. (2020烟台)如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC 上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.【问题解决】如图△，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD；【类比探究】如图△，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．第5题图6. (2020龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是方程x2－3x－18＝0的根，连接BD，△DBC＝30°，并过点C作CN△BD，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA以每秒3个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t 秒(t＞0)．(1)线段CN＝________；(2)连接PM和MN，求△PMN的面积S与运动时间t的函数关系式；(3)在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．第6题图类型五与平移有关的问题1. 在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B为第一象限内一点，且OB△AB，OB＝2.第1题图(1)如图△，求点B的坐标；(2)如图△，将△OAB沿x轴向右平移得到△O′A′B′，设OO′＝m，其中0<m<4，连接AB′，AB与O′B′交于点C.△试用含m的式子表示△AB′C的面积S，并求出S的最大值；△当△AB′C为等腰三角形时，求点C的坐标．2. (2019昆明西山区二模)如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接P A、QD，并过点Q作OQ△BD，垂足为点O，连接OA、OP.(1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；(3)在平移变换过程中，设y＝S△OPB，BP＝x(0≤x≤2)，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．第2题图参考答案类型一与折叠有关的问题1. (1)证明：∵将△CDE沿CE折叠得到△CFE，∴∠D＝∠EFC＝90°，∴∠AFE＋∠BFC＝90°.又∵∠AFE＋∠AEF＝90°，∴∠BFC＝∠AEF.∵∠A＝∠B，∴△AEF∽△BFC；(2)解：①如解图，连接EQ，第1题解图∵AB＝2，BC＝1，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，四边形ABCD是矩形，∴CF＝CD＝2，∴BF＝（2）2－12＝1，∴△AEF，△BFC都是等腰直角三角形，∴AF＝AE＝2－1，DE＝2－2，∵PQ是CE的中垂线，设DQ＝x，则EQ＝CQ＝2－x，在Rt△DEQ中，由勾股定理得EQ2＝DQ2＋DE2，即(2－x)2＝x2＋(2－2)2，解得x＝2－2，∴线段DQ的长为2－2；②△PCE是等腰直角三角形，理由如下：设BP＝y，则AP＝2－y，∵PQ是CE的中垂线，∴EP＝CP，∴AE2＋AP2＝BP2＋BC2，即(2－1)2＋(2－y)2＝y2＋12，解得y＝2－1，∴BP＝AE，又∵PE＝PC，∠B＝∠BAD＝90°，∴Rt△APE≌Rt△BCP，∴∠APE＝∠BCP.∵∠BCP＋∠BPC＝90°，∴∠APE＋∠BPC＝90°，即∠EPC＝90°，∴△PCE是等腰直角三角形．2. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABC ＝90°，AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠EBC ，由折叠可得ME ＝MB ，∠MEB ′＝∠ABC ＝90°， ∴∠MEB ＝∠MBE ，∴∠MEB ′－∠MEB ＝∠ABC －∠MBE ，即∠BEB ′＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝∠BEB ′， ∴BE 平分∠AEB ′；(2)解：如解图①，连接PE ，过点B 作BG ⊥EF 于点G ， ∵BE 平分∠AEB ′，BG ⊥EF ，∠A ＝90°， ∴△ABE ≌△GBE (AAS )， ∴BG ＝BA ，∠ABE ＝∠GBE . 又∵BC ＝BA ， ∴BC ＝BG . ∵BF ＝BF ，∴Rt △BGF ≌Rt △BCF (HL)， ∴∠GBF ＝∠CBF .∵∠ABC ＝∠ABE ＋∠GBE ＋∠GBF ＋∠CBF ＝90°， ∴∠EBF ＝∠GBE ＋∠GBF ＝12∠ABC ＝45°，由折叠可得，MN 垂直平分BE ， ∴PB ＝PE ，∴∠PEB ＝∠EBF ＝45°， ∴△PEB 是等腰直角三角形， ∴BP BE ＝sin45°＝22；第2题解图①(3)解：如解图②，过点N 作NH ⊥AB 于点H ，则四边形HBCN 是矩形，∠NHA ＝90°， ∴HN ＝BC ＝AB ，∠HMN ＋∠MNH ＝90°，由折叠可得MN ⊥BE ， ∴∠HMN ＋∠MBE ＝90°， ∴∠MBE ＝∠MNH . 又∵∠NHM ＝∠A ＝90°， ∴△HMN ≌△AEB (ASA)， ∴MN ＝E B.∵在Rt △AEB 中，AB ＝4，AE ＝2， ∴BE ＝AB 2＋AE 2＝25， ∴MN ＝2 5.第2题解图②3. (1)证明：∵AC ＝BC ，∠C ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AC ＝AB ，∠A ＝60°，由题意，得DB ＝DP ，DA ＝DB ， ∴DA ＝DP ，∴△ADP 是等边三角形． ∴AP ＝AD ＝12AB ＝12AC ；(2)解：∵AC ＝BC ＝62，∠C ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12. ∵DH ⊥AC ，∴DH ∥BC ， ∴△ADH ∽△ABC ，∴DH BC ＝ADAB ，∵AD ＝7， ∴DH 62＝712，解得DH ＝722.在Rt △ADH 中，AH ＝DH ＝722，将∠B 沿着过点D 的直线折叠，情况一：当点B 落在线段CH 上的点P 1处时，如解图①.第3题解图①∵AB ＝12，∴DP 1＝DB ＝AB －AD ＝5，∴HP 1＝DP 21－DH 2＝22， ∴AP 1＝AH ＋HP 1＝42；情况二：当点B 落在线段AH 上的点P 2处时，如解图②.第3题解图②同理可得HP 2＝22， ∴AP 2＝AH －HP 2＝3 2.综上所述，AP 的长为42或32； (3)解：6＜a ＜203.4. 【问题解决】证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠ADA ′＝90°，由折叠得：∠DA ′E ＝∠A ＝90°， ∴∠A ＝∠ADA ′＝∠DA ′E ＝90°， ∴四边形AEA ′D 是矩形，又∵AD ＝A ′D ，∴矩形AEA ′D 是正方形．【探索规律】解：△PQF 是等腰三角形．理由：在矩形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠APF ＝∠PFQ ，由折叠得：∠APF ＝∠FPQ ， ∴∠PFQ ＝∠FPQ ， ∴FQ ＝PQ ，∴△PQF 是等腰三角形．【结论应用】35. 【解法提示】∵四边形PGQF 是菱形，∴PG ＝QG ＝QF ＝PF ，∵PQ ＝QF ，∴△PQF 和△PGQ 都是等边三角形，设FQ ＝m ，∵∠PQF ＝60°，∠PQD ′＝90°，∴∠FQD ′＝30°，∵∠D ′＝∠A ＝90°，∴D ′F ＝12FQ ＝12m ，∴DF ＝12m ，∴QD ′＝32D ′F ＝32m ，由折叠得AD ＝D ′Q ＝32m ，CQ ＝PQ ＝QF ＝m ，∴AB ＝DF ＋FQ ＋CQ ＝12m ＋m ＋m ＝52m ，∴AD AB＝32m 52m ＝35. 5. 解：(1)由题意可知：BC ＝BF ，CE ＝EF ，∠EBF ＝∠CBE ，∠BFE ＝∠C ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠A ＝∠C ＝90°. ∵BC ＝2BA ， ∴BF ＝2BA ，∴在Rt △ABF 中，sin ∠AFB ＝AB BF ＝12，∴∠AFB ＝30°. ∵AD ∥BC ，∴∠FBC ＝∠AFB ＝30°， ∴∠CBE ＝ 12∠FBC ＝15°；(2)∵∠BFE ＝∠C ＝90°， ∴∠AFB ＋∠DFE ＝90°. 又∵∠AFB ＋∠ABF ＝90°， ∴∠DFE ＝∠ABF .∵∠A ＝∠D ＝90°， ∴△F AB ∽△EDF ， ∴DE AF ＝DF AB ＝EF BF， ∴AF ·DF ＝DE ·A B. ∵AB ＝5，AF ·FD ＝10， ∴5DE ＝10， ∴DE ＝2，∴EF ＝EC ＝DC －DE ＝AB －DE ＝5－2＝3， ∴DF ＝EF 2－DE 2＝32－22＝5， ∴55＝3BF，解得BF ＝3 5. ∴BC ＝BF ＝35；(3)如解图，过点N 作NG ⊥BF 于点G . ∴∠NGF ＝90°， ∵∠A ＝90°， ∴∠A ＝∠NGF . ∵∠AFB ＝∠GFN ， ∴△NFG ∽△BF A ， ∴NG AB ＝FG F A ＝NF BF. ∵NF ＝AN ＋FD ， ∴NF ＝12AD ＝12BC ＝12BF ，∴NG AB ＝FG F A ＝NF BF ＝12， ∴NG ＝12A B.∵BM 为∠ABF 的平分线， ∴∠ABN ＝∠GBN .∵BN ＝BN ，∠A ＝∠NGB ＝90°， ∴△ABN ≌△GBN ， ∴AB ＝BG ，AN ＝NG ， ∴FG ＝BF －BG ＝BC －BA ，∴F A ＝AN ＋NF ＝NG ＋NF ＝12AB ＋12B C.∵FG F A ＝12， ∴BC －AB 12AB ＋12BC ＝12，∴3BC ＝5A B. ∴AB BC ＝35.第5题解图类型二与旋转有关的问题1. (1)证明：由题意得：AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，BP ＝BQ ， ∵∠ABP ＋∠PBC ＝∠CBQ ＋∠PBC ＝90°， ∴∠ABP ＝∠CBQ . 在△ABP 和△CBQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ∠ABP ＝∠CBQ PB ＝QB， ∴△ABP ≌△CBQ (SAS)， ∴AP ＝CQ ；(2)解：设AB ＝x ，则AC ＝2x ， ∵AP ＝14AC ，∴AP ＝24x ，CP ＝324x . ∵△ABC 、△BPQ 都是等腰直角三角形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝∠PQB ＝∠QPB ＝45°. ∵∠CPE ＝∠CPB －∠QPB ＝∠CPB －45°， ∠ABP ＝∠CPB －∠CAB ＝∠CPB －45°， ∴∠CPE ＝∠ABP ，∴△PCE ∽△BAP ， ∴PC BA ＝CE AP，即324x x ＝CE 24x ，解得CE ＝38x ，∴CE ∶BC ＝38x x ＝38；(3)证明：由(1)知，∠QCB ＝∠P AB ＝45°， ∴∠QCB ＝∠EQ B. ∵∠QBC ＝∠EBQ ， ∴△BQE ∽△BCQ ， ∴QE CQ ＝BQ BC， ∵BQ ＝BP ，BC ＝AB ，CQ ＝AP ， ∴EQ AP ＝BP AB. ∵∠CPE ＝∠APF ， ∴∠APF ＝∠ABP ， ∴△APF ∽△ABP ， ∴PF AP ＝BP AB ， ∴PF AP ＝EQ AP， ∴PF ＝EQ .2. 解：(1)等腰直角三角形，2；【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝A D.由旋转性质知AB ＝AB ′，∠BAB ′＝60°，∴△ABB ′为等边三角形，∴∠B ′AD ＝30°，AD ＝AB ′，∴∠AB ′D ＝(180°－30°)÷＝75°，∴∠EB ′D ＝180°－75°－60°＝45°.∵DE ⊥BB ′，∴∠EDB ′＝∠EB ′D ＝45°，∴△DEB ′为等腰直角三角形；∵BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∴BDCD ＝2，同理B ′D DE ＝2，∴BD CD ＝B ′DDE .∵∠BDB ′＋∠B ′DC ＝45°，∠EDC ＋∠B ′DC ＝45°，∴∠BDB ′＝∠CDE .∴△BDB ′∽△CDE ，∴BB ′CE ＝BDCD＝ 2.(2)①两个结论仍成立．证明：如解图①，连接B D.第2题解图①∵AB ＝AB ′，∠BAB ′＝α， ∴∠AB ′B ＝90°－α2.∵∠B ′AD ＝α－90°，AD ＝AB ′， ∴∠AB ′D ＝135°－α2.∴∠EB ′D ＝∠AB ′D －∠AB ′B ＝45°. ∵DE ⊥BB ′，∴∠EDB ′＝∠EB ′D ＝45°. ∴△DEB ′是等腰直角三角形． ∴DB ′DE＝ 2. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BDCD ＝2，∠BDC ＝45°， ∴BD CD ＝DB ′DE. ∵∠EDB ′＝∠BDC ，∴∠EDB ′＋∠EDB ＝∠BDC ＋∠ED B. 即∠B ′DB ＝∠ED C. ∴△B ′DB ∽△ED C. ∴BB ′CE ＝BDCD＝2； ∴结论不变．仍然成立 ②1或3.【解法提示】要使以B ′，E ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，则CE ＝B ′D ，设CE＝x ，由①可得BB ′＝2x ，B ′D ＝x ，B ′E ＝22x .如解图②，当点B ′在BE 上时，BE ＝2x ＋22x ＝322x ，则BE B ′E ＝322x 22x ＝3；如解图③，当点B ′在BE 的延长线上时，BE ＝2x －22x ＝22x ，则BEB ′E ＝22x 22x ＝1.综上所述，当以B ′，E ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形时，BEB ′E的值为1或3.第2题解图②第2题解图③3. 解：(1)BE ＝2MN ；【解法提示】∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∵DC ＝EC ，∴AD ＝BE ，∵M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点，∴PM ∥BC ，PN ∥AC ，PM ＝12BE ，PN ＝12AD ，∴∠APM ＝∠ABC ＝∠BPN ＝∠BAC ＝45°，PM ＝PN ，∴∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形，∴PM ＝22MN ，∵BE ＝2PM ，∴BE ＝2×22MN ＝2MN . (2)图②的猜想为BE ＝2MN，图③的猜想为BE ＝2MN .选择图②证明：如解图①，连接AD ，第3题解图①∵∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE ，∠CAD ＝∠CBE ，∵M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点， ∴PM ∥BE ，PN ∥AD ，PM ＝12BE ，PN ＝12AD ，∴∠APM ＝∠ABE ，∠BPN ＝∠BAD ，PM ＝PN ，∴∠APM ＋∠BPN ＝∠ABE ＋∠BAD ＝∠ABE ＋∠CAD ＋∠BAC ， ∵∠CAD ＝∠CBE ，∴∠APM ＋∠BPN ＝∠ABE ＋∠CBE ＋∠BAC ＝∠ABC ＋∠BAC ＝90°， ∴∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形， ∴PM ＝22MN ， ∵BE ＝2PM ， ∴BE ＝2×22MN ＝2MN . 选择图③证明：如解图②，连接AD ， ∵∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠ACD ＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ∠ACD ＝∠BCE CD ＝CE， ∴△ACD ≌△BCE (SAS)， ∴AD ＝BE ，∠CAD ＝∠CBE ，∵M 、N 、P 分别是AE 、BD 、AB 的中点， ∴PM ∥BE ，PN ∥AD ，PM ＝12BE ，PN ＝12AD ，∴∠APM ＝∠ABE ，∠BPN ＝∠BAD ，PM ＝PN ，∴∠APM ＋∠BPN ＝∠ABE ＋∠BAD ＝∠ABE ＋∠CAD ＋∠BAC ， ∵∠CAD ＝∠CBE ，∴∠APM ＋∠BPN ＝∠ABE ＋∠CBE ＋∠BAC ＝∠ABC ＋∠BAC ＝90°， ∴∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形， ∴PM ＝22MN ， ∵BE ＝2PM ， ∴BE ＝2×22MN ＝2MN .第3题解图②4. 解：(1)1，60°；【解法提示】如解图①，延长AP 交BD 的延长线于点K ，设AK 交BC 于点J ，∵AB ＝AC ，PC ＝PD ，∠BAC ＝∠CPD ＝60°，∴△ABC ，△PCD 都是等边三角形．∴CB ＝CA ，CD ＝CP ，∠ACB ＝∠PCD ＝60°.∴∠BCD ＝∠ACP .∴△BCD ≌△ACP (SAS)．∴BD ＝P A ，∠KBJ ＝∠CAJ .∵∠KJB ＝∠CJA ，∴∠K ＝∠ACJ ＝60°.∴BDP A ＝1，直线AP 与BD 相交所成的较小角的度数是60°；第4题解图①(2)如解图②，设BD 交AC 于点O .∵AB ＝AC ，PC ＝PD ，∠BAC ＝∠CPD ＝90°， ∴△ABC ，△PCD 都是等腰直角三角形．∴CB ＝2CA ，CD ＝2CP ，∠ACB ＝∠PCD ＝45°. ∴∠BCD ＝∠ACP ，BC AC ＝CDCP .∴△BCD ∽△ACP . ∴BD AP ＝BCAC＝2，∠CBO ＝∠OAG . ∵∠COB ＝∠AOG ， ∴∠AGB ＝∠OCB ＝45°. ∴BDP A＝2，直线AP 与BD 相交所成的较小角的度数是45°；第4题解图②(3)如解图③，当点P 在AC 的延长线上时，设PC ＝m ，则AC ＝3m ，AP ＝4m ，第4题解图③∵∠ACB ＝∠PCD ＝45°，∴∠BCD ＝90°.在Rt △BCD 中，∵CB ＝2CA ＝32m ，CD ＝2CP ＝2m ， ∴BD ＝BC 2＋CD 2＝（32m ）2＋（2m ）2＝25m . ∴BD AP ＝25m 4m ＝52；如解图④，当点P 在AC 上时，设PC ＝m ，则AC ＝3m ，AP ＝2m ，第4题解图④∵∠ACB ＝∠ACD ＝45°， ∴∠BCD ＝90°.在Rt △BCD 中，BD ＝BC 2＋CD 2＝（32m ）2＋（2m ）2＝25m . ∴BD AP ＝25m 2m＝ 5. 综上所述，BD AP 的值为52或 5.类型三非动态类问题1. (1)解：S ＝183；【解法提示】如解图，连接BD ，AC ，BD 与AC 交于点O .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝AB ，AC ⊥BD ，∠DAO ＝12∠DAB ＝30°.∵AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，∴△ABD 为等边三角形．∴BD ＝AD ＝AB ＝6.在Rt △ADO 中，∠DAO ＝30°，∴AO ＝AD ·cos30°＝3 3.∴AC ＝6 3.∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12×63×6＝18 3.第1题解图(2)证明：由(1)可知，△ABD 为等边三角形，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝60°.∵∠ADE ＋∠EDB ＝60°，∠FDB ＋∠EDB ＝60°， ∴∠ADE ＝∠FD B.∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°， ∴∠ABC ＝120°.∴∠DBF ＝12∠ABC ＝12×120°＝60°.∴∠DAE ＝∠DBF . 在△DAE 和△DBF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ADE ＝∠BDF AD ＝BD ，∠DAE ＝∠DBF∴△DAE ≌△DBF (ASA)． ∴DE ＝DF . 又∵∠EDF ＝60°， ∴△DEF 是等边三角形； (3)解：∵△DAE ≌△DBF ， ∴BF ＝AE .∴BF ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝6.∴当ED ＋DF 有最小值时，四边形DEBF 的周长最小．由垂线段最短可知，当DE ⊥AB ，DF ⊥BC 时，ED ，DF 最短．在Rt △ADE 中，∵∠DAE ＝60°， ∴DE ＝AD ·sin60°＝3 3.由(2)知△DEF 是等边三角形，∴DF ＝DE ＝33，∴四边形DEBF 周长的最小值为DE ＋DF ＋BE ＋BF ＝DE ＋DF ＋AB ＝33＋33＋6＝63＋6.2. (1)证明：∵D 为的中点， ∴∠CAD ＝∠DAB ＝12∠CAB ,又∵∠DAB ＝12∠DOB ，∴∠CAB ＝∠DOB ，∴OD ∥AC ；(2)证明：∵D 为的中点， ∴∠DCB ＝∠CAD , 又∵∠CDE ＝∠ADC ， ∴△DCE ∽△DAC ， ∴DC DA ＝DE DC， ∴DC 2＝DE ·DA ；(3)解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，在Rt △ACB 中，BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8, ∵OD ∥AC ， ∴△BOF ∽△BA C. ∴BO BA ＝BF BC ，即12＝BF 8， ∴BF ＝4.3. (1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上， ∴∠EAF ＝∠DAB ＝90°. 又∵AE ＝AD ，AF ＝AB ， ∴△AEF ≌△ADB (SAS)， ∴∠AEF ＝∠ADB ，∴∠GEB ＋∠GBE ＝∠ADB ＋∠ABD ＝90°， ∴∠EGB ＝90°，即BD ⊥EC ；(2)解：由矩形性质知AE ∥CD ，则∠AEF ＝∠DCF ，∠EAF ＝∠CDF ， ∴△AEF ∽△DCF ， ∴AE DC ＝AFDF，即AE ·DF ＝AF ·D C. 设AE ＝AD ＝a (a >0)，则有a ·(a －1)＝1，化简得a 2－a －1＝0，解得a 1＝1＋52，a 2＝1－52(舍)，∴AE 的长为1＋52；(3)证明：解法一：如解图①，在线段EG 上取一点P ，使得EP ＝DG ，连接AP .第3题解图①在△AEP 与△ADG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ∠AEP ＝∠ADG EP ＝DG， ∴△AEP ≌△ADG (SAS)， ∴AP ＝AG ，∠EAP ＝∠DAG ，∴∠P AG ＝∠P AD ＋∠DAG ＝∠P AD ＋∠EAP ＝∠DAE ＝90°， ∴△P AG 为等腰直角三角形， ∴EG －DG ＝EG －EP ＝PG ＝2AG .解法二：如解图②，过点A 作AG 的垂线，与DB 的延长线交于点Q .第3题解图②则∠EAG ＝90°＋∠DAG ＝∠DAQ ，在△AEG 与△ADQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEG ＝∠ADQ AE ＝AD ∠EAG ＝∠DAQ， ∴△AEG ≌△ADQ (ASA)， ∴EG ＝DQ ，AG ＝AQ ， ∴△AGQ 为等腰直角三角形， ∴EG －DG ＝DQ －DG ＝QG ＝2AG . 4. 解：(1)∵四边形DEFG 为正方形， ∴DE ＝EF ，∠DEF ＝90°，∴∠ADE ＋∠AED ＝∠AED ＋∠BEF ＝90°， ∴∠ADE ＝∠BEF ，∴△ADE ≌△BEF (AAS )， ∴AE ＝BF ＝1，BE ＝AD ＝2.在Rt △EBF 中，由勾股定理，得EF ＝BE 2＋BF 2＝12＋22＝5； (2)由题意可得∠ADE ＝∠MDG ，∠A ＝∠DGM ＝90°， ∴△ADE ∽△GDM ， ∴AD GD ＝DE DM. 由(1)得AD ＝2，DE ＝GD ＝EF ＝5， ∴DM ＝52；(3)如解图，过点B 作BH ⊥EF ，垂足为H .第4题解图∵S △BEF ＝12BE ×BF ＝12EF ×BH ，BF ＝1，BE ＝2，EF ＝5，∴BH ＝BE ·BF EF ＝255.又∵△BEF ∽△HBF ， ∴BH BE ＝HF BF， ∴HF ＝BH ·BF BE ＝2552＝55.在△BPH 和△GPF 中，有∠BPH ＝∠GPF ，∠BHP ＝∠GFP ， ∴△BPH ∽△GPF ， ∴BH GF ＝HP FP ＝2555＝25， ∴PF ＝57HF ＝57.又∵EP ＋PF ＝EF ， ∴EP ＝5－57＝657.又∵AB ∥CD ，EF ∥DG ，∴∠EBP ＝∠DQG ，∠EPB ＝∠DGQ ， ∴△EBP ∽△DQG ， ∴BP QG ＝EP DG ＝6575＝67. 5. (1)证明：∵DE 2＝DB ·DA ， ∴DE DA ＝DB DE. 又∵∠BDE ＝∠EDA ， ∴△DEB ∽△DAE .(2)解：∵AB 是⊙C 的直径，E 是⊙C 上的点， ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AF . 又∵AE ＝EF ，BF ＝10， ∴AB ＝BF ＝10.∵△DEB ∽△DAE ，cos ∠BED ＝45，∴cos ∠EAD ＝cos ∠BED ＝45.在Rt △ABE 中，由AB ＝10，cos ∠EAD ＝45，得AE ＝AB ·cos ∠EAD ＝8， ∴BE ＝AB 2－AE 2＝6. ∵△DEB ∽△DAE ， ∴DE DA ＝DB DE ＝EB AE ＝68＝34. ∵DB ＝DA －AB ＝DA －10， ∴⎩⎨⎧DE DA ＝34，DA －10DE ＝34解得⎩⎨⎧DA ＝1607，DE ＝1207.经检验，⎩⎨⎧DA ＝1607，DE ＝1207是⎩⎨⎧DE DA ＝34，DA －10DE ＝34的解．∴DA ＝1607，DE ＝1207；(3)解：如解图，连接FM .第5题解图∵BE ⊥AF ，即∠BEF ＝90°，∴BF 是B 、E 、F 三点确定的圆的直径．∵点F 在B 、E 、M 三点确定的圆上，即F 、E 、B 、M 四点在同一个圆上， ∴FM ⊥A B. 在Rt △AMF 中，由cos ∠F AM ＝AMAF 得：AM ＝AF ·cos ∠F AM ＝2AE ·cos ∠EAB ＝2×8×45＝645.∴MD ＝DA －AM ＝1607－645＝35235.6. (1)解：SAS ；(2)证明：如解图①，延长AD 至点A ′，使A ′D ＝AD ，连接BA ′，第6题解图①∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ，在△ADC 和△A ′DB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝A ′D ∠ADC ＝∠A ′DB CD ＝BD， ∴△ADC ≌△A ′DB (SAS)， ∴∠CAD ＝∠A ′，AC ＝A ′B ，又∵AE ＝EF ， ∴∠CAD ＝∠AFE ， ∴∠A ′＝∠AFE ，又∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴∠BFD ＝∠A ′， ∴BF ＝A ′B ， ∴BF ＝AC ；(3)证明：如解图②，延长CG 至点H 使HG ＝CG ，连接HF 、CE 、HE .第6题解图②∵G 为FD 的中点， ∴FG ＝DG ，在△HGF 和△CGD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧HG ＝CG ∠HGF ＝∠CGD FG ＝DG， ∴△HGF ≌△CGD (SAS)， ∴HF ＝CD ，∠HFG ＝∠CDG ，在Rt △BEF 中， ∵EF BE ＝12，∴tan ∠EBF ＝12，又∵矩形ABCD 中，AB BC ＝12，∴AB AD ＝12， ∴tan ∠ADB ＝12，∴∠EBF ＝∠ADB ，又∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠DBC ， ∴∠EBF ＝∠ADB ＝∠DBC ，又∵∠EFD 为△BFE 的外角， ∴∠EFD ＝∠EBF ＋∠BEF ，即∠EFH ＋∠HFD ＝∠EBF ＋90°， ∵∠ADB ＋∠BDC ＝90°，∴∠EFH ＋∠HFD ＝∠EBF ＋∠ADB ＋∠BDC ， ∴∠EFH ＝2∠EBF ，即∠EFH ＝∠EBC ，在△EFH 和△EBC 中， ∵EF BE ＝12，HF BC ＝12， ∴△EFH ∽△EBC ， ∴∠FEH ＝∠BEC ，∴∠HEC ＋∠CEF ＝∠BEF ＋∠CEF ， ∴∠HEC ＝∠BEF ＝90°， ∴△CEH 是直角三角形． ∵G 为CH 的中点， ∴EG ＝12CH ，即EG ＝CG .类型四与动点有关的问题(含不定点问题)1. (1)证明：∵∠APQ ＋∠BPC ＝90°，∠APQ ＋∠AQP ＝90°， ∴∠AQP ＝∠BPC ，又∵∠A ＝∠B ， ∴△APQ ∽△BCP ；(2)证明：如解图①，延长QP 交CB 的延长线于点E ， ∵P 为AB 的中点， ∴P A ＝P B.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠QAP ＝∠PBC ＝∠EBP ＝90°. ∵∠APQ ＝∠BPE ，在△APQ 和△BPE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠APQ ＝∠BPE AP ＝BP ∠A ＝∠EBP， ∴△APQ ≌△BPE (ASA)， ∴AQ ＝BE ，PQ ＝PE ， ∵∠MPN ＝90°， ∴CP ⊥QE ， ∴CE ＝CQ ， ∴BE ＋BC ＝CQ ， ∴AQ ＋BC ＝CQ ；第1题解图①(3)解：由(1)知△APQ ∽△BCP ， ∴PQ PC ＝AQ BP ＝APBC， ∵AQ ＝14AD ＝14AB ，∴14AB AB －AP ＝AP AB ， ∴14AB 2＝AB ·AP －AP 2， ∴AP ＝12AB ，又∵AB ＝4， ∴AP ＝BP ＝12AB ＝2，在Rt △BCP 中，PC ＝BP 2＋BC 2＝22＋42＝2 5.第1题解图②2. (1)证明：如解图①，连接OC ， ∵AC ∥OP ， ∴∠CAO ＝∠POB ， ∠ACO ＝∠COP . ∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO ， ∴∠POB ＝∠POC ，在△POB 和△POC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ∠POB ＝∠POC PO ＝PO， ∴△POB ≌△POC (SAS)， ∴∠PBO ＝∠PCO . ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∴∠OCP ＝90°，即OC ⊥P C. 又∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；第2题解图①(2)解：如解图①，连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点， ∴∠ACB ＝90°. 在△ACB 和△OCP 中，由(1)知∠CAB ＝∠ACO ＝∠COP ，∠ACB ＝∠OCP ＝90°. ∴△ACB ∽△OCP ， ∴AC OC ＝AB OP. 设⊙O 的半径为r ，则AB ＝2r ，OC ＝r ，再由OP ＝32AC 得AC ＝23OP ，∴23OP r ＝2r OP ，解得OP ＝3r (负值已舍去)．在Rt △OCP 中，sin ∠CPO ＝OC OP ＝r 3r ＝33， ∴∠CPO 的正弦值为33； (3)解：如解图②，过点A 作AE ⊥CM 于点E ，过点B 作BF ⊥CM 于点F .∵A 与直线CM 上的点连线距离的最小值为AE ，记为d ，B 与直线CM 上的点连线距离的最小值为BF ，记为f ，第2题解图②∴A 到直线CM 的距离为d ，B 到直线CM 的距离为f . ∵AB 是⊙O的直径，C 是⊙O 上的点，∴∠ACB ＝90°. 在△ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝9，AB ＝15， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝152－92＝12.设△ABC 的面积为S ，△AMC 的面积为S 1，△BMC 的面积为S 2，则S ＝S 1＋S 2，即12CM ·d ＋12CM ·f ＝12×9×12＝54. ∴d ＋f ＝108CM.如解图②，过点C 作CH ⊥AB ，垂足为H ，则S ＝12AC ·BC ＝12AB ·CH ，∴CH ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365.当M 运动到H 点时，CM 最小，即CM 的最小值为365；当M 自H 向A 点运动时，由CM ＝CH 2＋HM 2得CM 逐渐增大，最大时为CA ；当M 自H 向B 点运动时，由CM ＝CH 2＋HM 2得CM 也逐渐增大，最大时为C B. ∵AC ＝9，BC ＝12，∴CM 的最大值为BC ，即CM 的最大值为12， ∴365≤CM ≤12， ∴9≤d ＋f ≤15，∴d ＋f 的取值范围为9≤d ＋f ≤15. 3. (1)证明：∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠DAB ＝90°. ∵AP 平分∠DAB ， ∴∠DAP ＝∠EAP ＝45°，在△DAP 和△EAP 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AE ∠DAP ＝∠EAP AP ＝AP， ∴△DAP ≌△EAP (SAS)， ∴PD ＝PE ；(2)解：如解图①，过点C 作CP ′⊥AF 于点P ′，第3题解图①则此时PC 的值最小，为P ′C ， ∵AB ∥CD ， ∴∠DF A ＝∠EAP . ∵∠DAP ＝∠EAP ， ∴∠DAP ＝∠DF A ＝45°，∴FC ＝DF ＝AD ＝2，∠P ′FC ＝45°， ∴P ′C ＝FC ×22＝2， ∴PC 的最小值为2；(3)解：存在．如解图②，∵DF ＝FC ，OA ＝OC ， ∴OF ∥AD ，∴∠DFO ＝180°－∠ADF ＝90°，∴当点P 与点F 重合时，∠DPO ＝90°，此时，AP ＝22＋22＝22，当点P 在AF 上时，过点P 作PG ⊥AD 于点G ，PH ⊥AB 于点H ， ∵AP 平分∠DAB ，PG ⊥AD ，PH ⊥AB ， ∴PG ＝PH ，设PG ＝PH ＝a ，由勾股定理得：DP 2＝(2－a )2＋a 2，OP 2＝(2－a )2＋(1－a )2，OD 2＝5，当∠DPO ＝90°时，DP 2＋OP 2＝OD 2，即(2－a )2＋a 2＋(2－a )2＋(1－a )2＝5，解得a 1＝2(舍去)，a 2＝12，当a ＝12时，AP ＝22，综上所述，当∠DPO ＝90°时，AP ＝22或22.第3题解图②4. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝B C.∵DE⊥CE，∴∠DEA＋∠CEB＝90°.∵∠DEA＋∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴ADBE＝AEBC，∴AD·BC＝AE·BE.又∵AD＝BC，∴AD2＝AE·BE；(2)解：设AE＝x，则BE＝10－x.由(1)可得42＝x(10－x)，∴x2－10x＋16＝0，解得x1＝2，x2＝8.∵AE＞BE，∴AE＝8，BE＝2.∴DE＝AD2＋AE2＝42＋82＝45，CE＝BE2＋BC2＝22＋42＝25；(3)解：如解图，取DE的中点G1，CD的中点G2，连接G1G2，BG1，BG2，第4题解图∴G1G2是△DEC的中位线．∵点G是DF的中点，点F在CE上，∴点G始终在G1G2上．如解图，过点B作BG3⊥G1G2于G3，BG3交CE于点H，当点G随着点F运动到G3时，BG最小，∵∠G 3G 1E ＝∠G 1EH ＝∠G 1G 3H ＝90°， ∴四边形G 1EHG 3是矩形， ∴G 3H ＝G 1E ＝12DE ＝12×45＝2 5.∵∠HCB ＝∠BCE ，∠BHC ＝∠EBC ＝90°， ∴△BHC ∽△EBC ， ∴BH EB ＝BCEC， ∴BH ＝BC ·BE CE ＝4×225＝455.∴BG 3＝G 3H ＋BH ＝25＋455＝1455.∴BG 的最小值为1455；∵EH ＝BE 2－BH 2＝22－（455）2＝255，∴G 1G 3＝255.∵G 1G 2＝12CE ＝12×25＝5，∴G 2G 3＝G 1G 2－G 1G 3＝355.∵点G 在线段G 1G 2上运动，BG 3⊥G 1G 2，在Rt △BG 3G 中，BG 2＝BG 23＋GG 23， ∴GG 3越大，BG 越大． ∵G 2G 3＞G 1G 3，∴当点G 随着点F 运动到G 2时，GG 3最大为355，此时BG ＝BG 23＋G 2G 23＝（1455）2＋（355）2＝41.∴BG 的取值范围为1455≤BG ≤41.5. 【问题解决】证明：如解图①，过点E 作EG ∥AB 交BC 于点G ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝60°. ∵EG ∥AB ，∴∠CEG ＝∠A ＝60°，∠EGC ＝∠B ＝60°，∴△GEC 是等边三角形， ∴GE ＝EC ＝GC ， ∴∠GEF ＋∠FEC ＝60°. ∵△DEF 是等边三角形， ∴∠DEF ＝60°，DE ＝EF ， ∴∠DEG ＋∠GEF ＝60°， ∴∠DEG ＝∠FE C. 在△DGE 与△FCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝FE ∠DEG ＝∠FEC GE ＝CE， ∴△DGE ≌△FCE (SAS)， ∴DG ＝FC ，∴DC ＝DG ＋CG ＝FC ＋CE ；第5题解图①【类比探究】解：CE ＋CD ＝CF ，理由如下：如解图②，过点E 作EG ∥AB 交BC 于点G ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝60°. ∵EG ∥AB ，∴∠CEG ＝∠A ＝60°，∠EGC ＝∠B ＝60°， ∴△GEC 是等边三角形， ∴GE ＝EC ＝G C. ∵△DEF 是等边三角形， ∴∠DEF ＝60°，DE ＝EF ，。

重庆市北碚区江北中学2019-2020年中考九年级数学四边形综合题强化训练(含答案)

重庆市北碚区江北中学2019-2020学年中考九年级数学四边形综合题强化训练1、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．2、如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E（1）求证：DE=AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，若BF=FC=1，求扇形ABG的面积．（结果保留π）【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA（AAS），∴DE=AB；（2）解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面积==π．3、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处（Ⅰ）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、O A．若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边CD的长．（Ⅱ）如图2，在（Ⅰ）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M 在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当动点M、N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律．若不变，求出线段EF 的长度．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°，∴∠1+∠3=90°，∵由折叠可得∠APO=∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，又∵∠D=∠C，∴△OCP∽△PDA；∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，∴，∴CP=AD=4，设OP=x，则CO=8﹣x，在Rt△PCO中，∠C=90°，由勾股定理得x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边CD的长为10；（2）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP=∠MQP．∴MP=MQ，∵BN=PM，∴BN=QM．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴EQ=PQ．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF，在△MFQ和△NFB中，，∴△MFQ≌△NFB（AAS）．∴QF=QB，[来源:]∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，∴PB=，∴EF=PB=2，∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．4、在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE 的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC=BC；（2）若∠DAF=∠DBA，①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；②当点F在线段CA上时，设BE=x，请用含x的代数式表示线段AF．【解答】解：（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，∵DF⊥AC，∴∠CAD=90°，∴∠BAC=∠BAD=45°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=45°，∴AC=CB，（2）①由旋转得，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB，∵∠DAF=∠ABD，∴∠DAF=∠ADB，∴AF∥BB，∴∠BAC=∠ABD，∵∠ABD=∠FAD由旋转得，∠BAC=∠BAD，∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=×180°=60°，由旋转得，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，在△AFD和△BED中，，∴△AFD≌△BED，∴AF=BE，[来源:学科网]②如图，由旋转得，∠BAC=∠BAD，∵∠ABD=∠FAD=∠BAC+∠BAD=2∠BAD，由旋转得，AD=AB，∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∴∠BAD+2∠BAD+2∠BAD=180°，∴∠BAD=36°，设BD=x，作BG平分∠ABD，∴∠BAD=∠GBD=36°∴AG=BG=BC=x，∴DG=AD﹣AG=AD﹣BG=AD﹣BD，∵∠BDG=∠ADB，[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴△BDG∽△ADB，∴．∴，∴，∵∠FAD=∠EBD，∠AFD=∠BED，∴△AFD∽△BED，∴，∴AF==x．5、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证： =；（2）求证：AF⊥FM；（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°，∵∠MAN=45°，∴∠MAF=∠MBE，∴A、B、M、F四点共圆，∴∠ABM+∠AFM=180°，∴∠AFM=90°，∴∠FAM=∠FMA=45°，∴AM=AF，∴=．（2）由（1）可知∠AFM=90°，∴AF⊥FM．（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM理由：∵A、B、M、F四点共圆，∴∠BAM=∠EFM，∵∠BAM=∠FMN，∴∠EFM=∠FMN，∴MN∥BD，∴=，∵CB=DC，∴CM=CN，∴MB=DN，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN，∴∠BAM=∠DAN，∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=22.5°．6、如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【解答】解：（1）过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．∵PE=PF=6，EF=6，∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°．（2）过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=5，∴AE+AF=（AM+ME）+（AN﹣NF）=AM+AN=10．（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P，P之间运动，1O=PO=3，AO=9，∴P1∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，7、【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明．如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC 于点G，H．求证： =；【结论应用】（2）如图2，在满足（1）的条件下，又AM⊥BN，点M，N分别在边BC，CD上，若=，则的值为；【联系拓展】（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【解答】解：（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP=EF，GH=BQ．又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，[来源:]∴∠QAT+∠AQT=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，∴∠DAP+∠DPA=90°，∴∠AQT=∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴=，∴=；（2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN，∴由（1）中的结论可得=， =，∴==．故答案为；（2）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得=．设SC=x，DS=y，则AR=BS=5+x，RD=10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2=25①，在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2=100②，由②﹣①得x=2y﹣5③，解方程组，得（舍去），或，∴AR=5+x=8，∴===．8、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．（1）如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，交AC于O，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD为等边三角形，∵DE⊥AB，∴AE=EB，∵AB∥DC，∴==，同理， =，∴MN=AC；（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，，∴△DEG≌△DFP，∴DG=DP，∴△DGP为等边三角形，∴△DGP的面积=DG2=3，解得，DG=2，则cos∠EDG==，∴∠EDG=60°，∴当顺时针旋转60°时，△DGP的面积等于3，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．9、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF 绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：（1）EA是∠QED的平分线；（2）EF2=BE2+DF2．【解答】证明：（1）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴∠QAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠QAE=45°，∴EA是∠QED的平分线；（2）∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS），∴QE=EF，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，则EF2=BE2+DF2．10、如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x 轴的正半轴上，连接CO，CD，CE．（1）线段OC的长为；（2）求证：△CBD≌△COE；（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S．①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式；②在平移过程中，当S=时，请直接写出a的值．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），∴OA=4，OB=1，[来源:Z*xx*]∵∠AOB=90°，∴AB==，∵点C为边AB的中点，∴OC=AB=；故答案为：．（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点，∴OC=BC=AB，∴∠CBO=∠COB，∵四边形OBDE是正方形，∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°，∴∠CBD=∠COE，在△CBD和△COE中，，∴△CBD≌△COE（SAS）；（3）①解：过点C作CH⊥D1E1于点H，∵C是AB边的中点，∴点C的坐标为：（2，）∵点E的坐标为（a，0），1＜a＜2，∴CH=2﹣a，∴S=D1E1•CH=×1×（2﹣a）=﹣a+1；②当1＜a＜2时，S=﹣a+1=，解得：a=；当a＞2时，同理：CH=a﹣2，∴S=D1E1•CH=×1×（a﹣2）=a﹣1，∴S=a﹣1=，解得：a=，综上可得：当S=时，a=或．11、如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是 3 ；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【解答】解；（1）由图象可知BC=3．故答案为3．（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，∴AB==，∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，∴△BMD∽△BCA，∴==，∴DM=，BM=，∵BD=DF，DM⊥BF，∴BM=MF，=x2，∴S△BDF∵EG∥AC，∴=，∴=，∴EG=（x+2），∴S四边形ECAG= [2+（x+2）]•（1﹣x），∴S=S△ABC ﹣S△BDF﹣S四边形ECAG=3﹣x2﹣ [2+（x+2）]•（1﹣x）=﹣x2+x+．②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，∴x2=22+（3﹣x）2，∴x=，[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴当1＜x≤时，S=S△ABC ﹣S△BDF=3﹣x2，③如图3中，当＜x≤3时，∵DM∥AN，∴=，∴=，∴CM=（3﹣x），∴S=CD•CM=（3﹣x）2，综上所述S=．12、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH ，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N 。

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2019-2020 年中考数学综合题强化训练试题（八）（无答案）
22、如图，在矩形ABCD中， AB=3,AD=1,点 P 在线段 AB 上运动，设AP=x，现将纸片折叠，
使点 D与点 P 重合，得折痕EF（点 E、 F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（ 1）当x=0时，折痕EF的长为；
当点E与点A重合时，折痕EF的长为；
（2）请写出使四边形 EPFD为菱形的x的取值范围，并求
出当 x=2 时菱形的边长；
（ 3）令EF2 y ，当点E在AD、点F在BC上时，写出y
与 x 的函数关系式。

当y取最大值时，判断EAP 与
PBF 是否相似？若相似，求出x 的值；若不相似，
请说明理由。

D C D
A B A
(备用图 ) (备用图 )
23、如图 1，在△ ABC中，∠ C=Rt∠， AC=6， BC=8，作射线 BM∥AC，动点 P 从点 A 出发以每秒 1 个单位的速度沿 AB向终点 B 运动，过点 P 作 PD⊥ AB交射线 BM于点 D。

设动点 P 运动的时间为 t 秒。

（1）用含 t 的代数式表示线段 BP 的长；
（2）当 BD=4时，求 t 的值；
（3）如图2，现另有一动点Q从点 B 出发以每秒 2 个单位的速度沿射线BM运动，连结 PQ。

若 P、 Q两点同时出发，当点P 到达终点时点 Q也停止运动。

请探索：是否存在某一时刻t ，使△ BPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件t 的值；若不存在，请说明理由。

（4）如图 3，过点 P 作 PE⊥ BC于点 E，连结 DE，把△ EPD沿直线 PD折叠，当 t= 时，点 E 恰好落在 AC边上？（请直接写出答案）
B D
M B Q D B
M
P
E P
P
C A C A C A
（图 1）（图 2） E /
（图 3）C
B
D
M
24 、如图，在 Rt △ ABC 中， C 90 ， AB 50 ， AC 30 ， D ，E ， F 分别是 AC ，AB ，BC 的中点．点 P 从点 D 出发沿折线 DE EF FC CD 以每秒 7 个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 BA 方向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作
射线 QK
AB ，交折线 BC CA 于点 G ．点 P ， Q 同时出发，当点 P 绕行一周回到点 D
时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P ， Q 运动的时间是 t 秒（ t 0 ）．
（1） D ，F 两点间的距离是；
（2）射线 QK 能否把四边形 CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出
t 的值．若不能，
说明理由；
（3）当点 P 运动到折线 EF FC 上，且点 P 又恰好落在射线 QK 上时，求 t 的值；
（4）连结 PG
，当 PG ∥ AB
．．
时，请直接写出 t 的值．
C K
D
F
P
G
A
E Q B。