高中数学立体几何三视图专题资料讲解
高中数学中的三视知识点总结
高中数学中的三视知识点总结三视是指从不同角度观察一个物体时所得到的图形，包括主视图、左视图和顶视图。
在高中数学中，三视是一个重要的概念，涉及到几何图形的理解和建模。
以下是高中数学中的三视知识点的总结。
1. 主视图：主视图是指一个物体从正面朝向观察者时所得到的图形。
在主视图中，我们可以观察到物体的宽度、高度和部分深度。
主视图通常用正方向的箭头表示，箭头指向主视图的方向。
2. 左视图：左视图是指一个物体从左侧朝向观察者时所得到的图形。
左视图通常与主视图相互垂直，能够展示物体的厚度和深度。
左视图也可以用箭头表示，箭头指向左视图的方向。
3. 顶视图：顶视图是指一个物体从上方朝向观察者时所得到的图形。
顶视图可以展示物体的长度和宽度，但没有深度信息。
顶视图也可以用箭头表示，箭头指向顶视图的方向。
三视图常常出现在几何图形的建模中。
通过观察三视图，我们可以更准确地理解和描述一个物体的形状和尺寸。
在数学中，我们通过三视图来解决以下几个问题：1. 三视图的绘制：为了绘制一个物体的三视图，我们首先需要了解物体的尺寸和形状。
我们可以通过已知的信息，比如物体的长度、宽度和高度，来绘制主视图、左视图和顶视图。
绘制三视图需要一定的几何知识和技巧。
2. 三视图的旋转：通过旋转物体，我们可以观察到不同的视图。
在数学中，我们可以通过旋转主视图、左视图和顶视图，来得到其他角度的视图。
通过观察这些视图，我们可以更全面地认识一个物体。
3. 三视图的投影：在三维空间中，一个物体在某个平面上的投影就是其相应视图。
通过投影，我们可以将三维物体转化为二维图形。
在几何学中，投影是一个重要的概念，可以帮助我们研究空间中的物体。
除了上述的知识点，三视图还与其他数学概念有一定的联系。
比如，在解方程和计算几何中，我们可以通过三视图来解决问题。
三视图还与空间几何和立体几何等知识有关联。
总结：在高中数学中，三视是一个重要的概念，涉及到几何图形的建模和分析。
通过观察和分析三视图，我们可以更准确地描述和理解一个物体的形状和尺寸。
高考数学(文)《立体几何》专题复习
(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
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✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
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600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
立几专题(三视图)
立体几何专题复习(三视图)知识梳理1.三视图：正俯视图长对正、正侧视图高平齐、俯侧视图宽相等.2.直观图:已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段,在直观图中保持长度不变,平行于y 轴的线段平行性不变,但在直观图中其长度为原来的一半.3.体积与表面积公式:(1)柱体的体积公式:V =柱Sh ;锥体的体积公式: V =锥13Sh ; 台体的体积公式: V =棱台1()3h S S '+;球的体积公式: V =球343r π. (2)球的表面积公式: 24S R π=球.4.有关球与正方体、长方体、圆柱、圆锥、圆台的结合体问题，要抓住球的直径与这些几何体的有关元素的关系.典例分析考点一 三视图及其还原例1．【2102福建文4】一个几何体的三视图形状都相同，大小均等， 则几何体不可以是（ ） A 球 B 三棱锥 C 正方体 D 圆柱变式1.一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为．．．．( ) ．． ①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是 A ．①② B ． ②③ C ．③④ D ． ①④变式2.【2012.．可能．．是( )变式 3.（2011年高考江西卷文科9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）考点二 直观图(斜二测法)例2．已知矩形如图所示,请利用斜二测法作出其直观图.变式练习. 如下图所示，直观图///B A O 是有一个角为045的三角形，则其原平面图形的面积为________.考点三 表面积与体积例3.【2012高考安徽文】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于______。
变式练习1.【2012高考辽宁文】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________.变式练习2.(2008广东文数)已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S ．考点四 几何组合体的面积与体积问题例4. 右图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．变式练习.如下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为 （不考虑接触点）( ) A. 6+3+πB. 18+3+π4 C. 18+23+π D. 32+π课堂检测1.【2012高考上海文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为2. —个几何体的三视图及其尺寸如下(左)，则该几何体的表面积( ) A.B.C.D.3.右上图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_________4．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是 ．8π6π42正视图 侧视图俯视图正视图 俯视图侧视图5.若某几何体的三视图（单位：），如图所示，则此几何体的体积是 ．6.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 ( )（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π7.【2012高考湖北文】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________.8.(2010广东)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH,下半部分是长方体ABCD －EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图;（2）求该安全标识墩的体积cm 3cm。
高中数学立体几何三视图的画法与性质分析
高中数学立体几何三视图的画法与性质分析在高中数学的学习中，立体几何是一个重要的内容，其中三视图的画法与性质更是需要我们掌握的知识点。
三视图是指一个立体物体从不同方向观察时所得到的正投影图，包括主视图、俯视图和左视图。
本文将介绍三视图的画法和性质，并通过具体例子来说明此题的考点，以帮助高中学生更好地理解和掌握这一知识。
一、三视图的画法三视图的画法主要包括以下几个步骤：1.确定主视图：主视图是指从正面观察立体物体时所得到的投影图。
我们可以选择一个适当的位置和角度来观察立体物体，然后将其投影到一个平面上，得到主视图。
2.确定俯视图：俯视图是指从上方向下观察立体物体时所得到的投影图。
我们可以选择一个适当的位置和角度来观察立体物体，然后将其投影到一个平面上，得到俯视图。
3.确定左视图：左视图是指从左侧观察立体物体时所得到的投影图。
我们可以选择一个适当的位置和角度来观察立体物体，然后将其投影到一个平面上，得到左视图。
需要注意的是，在确定三视图时，我们要保证各个视图之间的相对位置和比例关系是一致的，以便更好地体现立体物体的形状和结构。
二、三视图的性质三视图具有以下几个性质：1.各视图之间的关系：主视图、俯视图和左视图是相互关联的，它们共同构成了一个完整的立体物体的图像。
通过观察三视图，我们可以了解立体物体的各个面的形状和大小。
2.投影关系：三视图是立体物体在不同方向上的投影，它们之间存在一定的投影关系。
例如，在主视图中，立体物体的前面对应俯视图的上方，左面对应左视图的右方。
3.边与面的关系：通过观察三视图，我们可以确定立体物体的各个边和面的位置和形状。
例如，在主视图中，我们可以看到立体物体的前面、后面、左面、右面等。
三、举例说明为了更好地理解和掌握三视图的画法和性质，我们以一个简单的立方体为例进行说明。
首先，我们确定立方体的主视图。
假设我们选择立方体的一个面作为主视图，将其投影到平面上得到主视图。
接下来，我们确定立方体的俯视图。
立体几何篇(球、三视图)
立体几何篇（空间球专题）空间球：三个重要的模型三个重要的技巧三个重要的模型1、正方体模型2、正四面体模型3、长方体模型1、正方体模型正方体的常用结论（假设边长为a ）（1）外接球a r 231=，棱切球a r 222=，内切球a r 213= （2）最大投影面积为23a ，最小投影面积为2a2、正四面体正四面体的常用结论（假设边长为b ）（1）任何一个正四面体都对应一个正方体且a b 2=（2）外接球即为正方体的外接球b a r 46231==；棱切球即为正方体的内切球b a r 42222==； 内切球半径为外接球半径的31，b r r 1263113== 等体积331431r S h S V ••=•= h r h r 434113=•= 3113=r r b h 36= （3）正四面体的高等于b 36，且正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值（正四面体的高） （4）正四面体对棱互相垂直，对棱之间的距离为b 22； （5）最大投影面积为221b ，最小投影面积为242b例1、正三棱锥ABC S -的侧棱与底面边长相等，如果F E ,分别为AB SC ,的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于_______________________例2、已知ABC S -是一体积为72的正四面体，连接两个面的垂心F E ,，则线段EF 的长是_______________________3、长方体模型长方体的常用结论（c b a ,,为长方体的长、宽、高）（1）三边两两垂直或三面两两垂直，即称“墙角”可补成对应长方体，体对角线即为直径，即有22224R c b a =++；（2）具有公共斜边的直角三角形，斜边即为球的直径。
例3、（辽宁高考）已知点D C B A P ,,,,是球O 表面上的点，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 的边长为32正方形，若62=PA ，则OAB ∆的面积为___________例4、（浙江高考）如图，已知球O 点面上四点D C B A ,,,，⊥DA 平面ABC ，BC AB ⊥，3===BC AB DA ，则球O 的体积等于_______________4、空间球的三个重要的准则1、外接球的球心在底面三角形的外心向上作的垂线；2、常用垂径勾股定理；3、内切球常用等体积；4、复杂的可以建系求解。
高中数学立体几何三视图课件
识别基本几何体
通过观察三视图，识别出基本几何体的形状和尺寸。
组合体的识别
根据三视图，还原出复杂的组合体的形状和结构。
三视图的解题技巧
利用投影关系解题
掌握投影原理，利用三 视图之间的投影关系解 题。
空间想象力的培养
通过大量练习，提高空 间想象力和空间分析能 力。
从物体的上方观察，所得到的投影。
左视图
从物体的正左侧方观察，所得到的投 影。
三视图的重要性
完整表达物体的形状
三视图可以全面地表达物体的形状，避免信息的遗漏。
提高空间思维能力
通过三视图的学习，可以提高学生的空间思维能力。
为工程设计和制造提供基础
在实际的工程设计和制造中，三视图是必不可少的工具。
三视图的观察方法
03
立体几何三视图的作图方法
确定主视图
主视图的选择
选择最能反映物体主要形状和特 征的一面作为主视图。
主视图的确定原则
优先选择物体最长的边或最明显 的形状特征作为主视图。
主视图的方位
确保主视图与投影面平行，以便 准确反映物体的形状和尺寸。
确定左视图和俯视图
1 2
左视图和俯视图的确定
根据主视图，选择物体的其他两个面作为左视图 和俯视图。
物体离投影面越近，其在 投影面上的影子越大；反 之，影子越小。
三视图之间的关系
位置关系
主视图、俯视图和左视图分别从 正面、上面和左面观察物体所得
。
投影关系
主视图和俯视图表示物体的长度和 宽度；主视图和左视图表示物体的 高度；俯视图和左视图表示物体的 深度。
互补关系
高中数学 立体几何 10.三视图技巧
高中数学 | 三视图还原——七字真言闯天下 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧．2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）：如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）A ．26B ．6C ．24D ．4正确答案是 B ．解由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为 ，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）：第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图中红线上的点投影而成的．第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表示，如图（3）．第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表示，如图（4）．最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可．大家是不是体会到了用这种方法还原三视图的妙处呢？这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”．这样是不是比我们以前那种天马行空的遐想接地气一些呢？由此，我们在三视图还原上就可以七字真言扫天下了．注一此方法更适用于解决三棱锥的问题，画直观图后需要验证一下是否符合．注二参考文章：下面给出一道练习．如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为______．答案是．提示如图．。
高中数学立体几何知识点总结(全)
高中数学立体几何知识点总结(全)垂直直线：两条直线的夹角为90度。
XXX.三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：需要指定一个方向向量，点在平面的哪一侧就取决于该方向向量与平面法向量的夹角。
四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一点都在平面上；直线在平面内部：直线与平面没有交点；直线与平面相交：直线与平面有且只有一个交点；直线平行于平面：直线与平面没有交点，且方向向量与平面法向量垂直。
改写后：一、空间几何体的三视图空间几何体的三视图包括正视图、侧视图和俯视图。
其中，正视图是指从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度；侧视图是指从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度；俯视图是指从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。
在三视图中，长对正，高平齐，宽相等是反映长、宽、高特点的简洁表述。
二、空间几何体的直观图斜二测画法是一种用于绘制空间几何体直观图的方法。
基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy，建立斜坐标系x'O'y'，并画出对应图形。
在直观图中，已知图形平行于X轴的线段画成平行于X'轴，长度不变；已知图形平行于Y轴的线段画成平行于Y'轴，长度变为原来的一半。
直观图与原图形的面积关系是直观图面积为原图形面积的四分之一。
三、空间几何体的表面积与体积圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别为2πrl、πrl和πr(l+R)，其中r表示底面半径，l表示母线长度，R表示上底面半径。
圆柱、圆锥、圆台的体积分别为Sh、S/3h和S(h/3)，其中S为底面积，h为高度。
球的表面积和体积分别为4πR²和(4/3)πR³。
四、点、直线、平面之间的位置关系平面的基本性质包括三条公理，分别是公理1、公理2和公理3.直线与直线的位置关系有相交、平行和垂直；点与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、在平面外部、在平面上方或下方；直线与平面的位置关系有在平面上、在平面内部、相交和平行。
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高中数学立体几何三
视图专题
主视图 左视图
俯视图
3
4
2
俯视图
主视图 左视图 《三视图》
1.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如左图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为
2.一个几何体的三视图如右图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为
3.知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何
体的体积是___________cm 3．
（第4题）
4（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 5四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图，则四棱锥P ABCD - 的表面积为__
▲ .
3
4 2 俯视图
主视图 左视图
2
2 主视图 2
4 左视图 俯视图 （第3图）
主视图
左视图
（第7题
（第6题）
6一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
7一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均为上底为2，下底为4，腰为5 的等腰梯形，俯视图为一圆环，则该几何体的体积为 ．
8.（课本改编题，新增内容）右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为
9据图中尺寸（单位：cm ），可知这个几何体的表面积是
（第9题）
（第8题）
10图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，则该几何体的侧面积为 ▲ .
2
2 2
C
2
3
1
3
（第7
主视图
左视图
俯视图
2 2 （第6
1.下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( )．
A．①② B．①③
C．③④ D．②④
2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )．
3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是（）
4.在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧(左)视图可以为( )．
5.如图，直观图所示的原平面图形是（）
A.任意四边形
B.直角梯形
C.任意梯形
D.等腰梯形
6.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C
△三边的中点）得到几何体如
，，分别是GHI
图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
7. 一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为( )
A ．24 cm 3
B ．48 cm 3
C ．32 cm 3
D ．28 cm 3
第7题 第8题
8.若正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是( )．
A ．4
B ．4＋410
C ．8
D ．4＋411
9.如下图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是腰长为2的等腰三角形，侧(左)视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )．
A ．π
B ．.π3
C ．3π
D ．3π
3
第9题 第10题
10.已知某个几何体的三视图如上，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．
34000cm 3 Ｂ．3
8000cm 3
Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm E
F D
I
A H
G B C
E
F D A B
C 侧视 图1
图2
B
E
A ． B
E
B ．
B
E
C ．
B E
D
11.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为3
2
，且一个内角为60o 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ） A .23
B .43
C . 4
D . 8
第11题 第12题 第13题 12.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 2323π+
D. 23
43
π+ 13.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( ) A. 2(2042)cm + B.21 cm C. 2(2442)cm + D. 24 cm
14.若一个螺栓的底面是正六边形，它的正(主)视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )．
A ．273＋12π
B ．93＋12π
C ．273＋3π
D ．543＋3π
第14题 第15题
15.一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．
第16题第17题
16. 如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a __________
17.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。
则该几何体的体积为___________
3
m
18.一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x＝6 cm时，该容器的容积为__________cm3.
第18题第19题第20题
19.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，侧(左)视图是一个矩形，则这个矩形的面积是__________．
20.如图是一个空间几何体的三视图，若直角三角形的直角边长均为1，则这个几何体的外接球的表面积为__________．
21. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为 6 cm的全等的等腰直角三角形．(1)根据图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.
22．下图是一个几何体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧(左)视图为直角三角形，尺寸如图所示)．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若G为BC的中点，求证：AE⊥PG.
正视图侧视图俯视图
23. 已知某几何体的直观图和三视图如图14所示，主视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，（1）求证：11//BC C B N 平面；（2）求证：
11BN C B N 平面； （3）求此几何体的体积.
图14。