第十章双样讲义本假设检验及区间估计
区间估计和假设检验
在回归分析中，区间估计可以用来估计未知参数的取值范围，从 而更好地理解参数对结果的影响。
假设检验的应用场景
检验假设是否成立
在科学研究或实际应用中，我们经常需要通过假设检验来检验某个 假设是否成立，以做出决策或得出结论。
诊断准确性评估
在医学诊断中，假设检验常用于评估诊断方法的准确性，例如比较 新方法与金标准之间的差异。
非参数检验的优点是不受总体分布限制，适用于更广泛的情况。常见的非参数检验包括秩和检验、符 号检验等。
假设检验的步骤
选择合适的统计方法
根据假设和数据类型选择合适 的统计方法进行检验。
确定临界值
根据统计量的分布情况，确定 临界值。
提出假设
根据研究问题和数据情况，提 出一个或多个假设。
计算统计量
根据选择的统计方法计算相应 的统计量。
区间估计和假设检验
目录
• 区间估计 • 假设检验 • 区间估计与假设检验的联系 • 应用场景 • 案例分析
01
区间估计
定义
区间估计
基于样本数据，对未知参数或总体分布特征 给出可能的取值范围。
参数估计
基于样本数据，对总体参数进行估计，如均 值、方差等。
非参数估计
基于样本数据，对总体分布特征进行估计， 如分位数、中位数等。
结果具有互补性
03
区间估计和假设检验的结果可以相互补充，帮助我们更全面地
了解总体的情况。
区别
1 2 3
目的不同
区间估计的目的是估计一个参数的取值范围，而 假设检验的目的是检验一个关于总体参数的假设 是否成立。
侧重点不同
区间估计更侧重于估计总体参数的可能取值范围 ，而假设检验更侧重于对总体参数的假设进行接 受或拒绝的决策。
第十章双样本假设检验及区间估计
不用均值差检验，而是求出每一对观察数据的差，直接进行一对一的比较。如果
采用“前测”“后测”两个总体无差异的零假设，也就是等于假定实验刺激无效。
于是，问题就转化为每对观察数据差的均值μd ＝0 的单样本假设检验了。求每
一对观察值的差，直接进行一对一的比较。
设配对样本的样本单位前测与后测的观察数据分别
是 X 0i 与 X 1i，其差记作 di
p1 q1 n1
p2 q2
n2
[例]有一个大学生的随机样本，按照性格“外向”和“内向”，把他们分成 两类。结果发现，新生中有 73％属于“外向”类，四年级学生中有 58％属于“外 向”类。样本中新生有 171 名，四年级学生有 117 名。试问，在 0.01 水平上， 两类学生有无显著性差异？
第二节 两总体小样本假设检验
女按对婚后生活的态度分为“满意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取
600 名妇女，其平均婚龄为 8.5 年，标准差为 2.3 年；从不满意组抽出 500 名妇
女，其平均婚龄为 9.2 年，标准差 2.8 年。试问在 0.05 显著性水平上两组是否
存在显著性差异？
样本
人数
均值
标准差
满意组
600
8.5
与对单总体小样本假设检验一样，我们对两总体小样本假设检只讨论总体满
足正态分布的情况。
1. 小样本均值差假设检验
(1)
当
2 1
和
2 2
已知时，小样本均值差检验，与上一节所述
大样本总体均值差检验完全相同，这里不再赘述。
(2)
2 1
和
2 2
未知，但假定它们相等时， 关键是要解决
( X1 X 2 )
的算式。
区间估计与假设检验
但是，我们的兴趣不仅要得到 ，还要利用它对真值 做出推断。或者说，我们的目的不仅是要得到样本回归函数， 还要用它来推测总体回归函数。
2021/8/5
6
尽管有了高斯-马尔可夫定理，但由于OLS法不对ui的概 率性质做任何假定，仍难以从SRF去推断PRF。
对这一不足，在回归分析中，人们常常假定ui遵从正态分 布。在第4章中讨论的经典线性回归模型的假定中增加ui 的正 态性假定，就得到了所谓的
与点估计相对照，在区间估计中，我们提供真θ将落入其间的 一个可能值域。
例如，如果变量X是正态分布的，则样本均值 X 也是正态分
布的，且其均值=μ，方差=σ2/n。即估计量 X 的抽样或概率
分布是
。因此我们可以构造区间：
并这样的区间约有95%的概率包含真μ，那么我们正在构造着
μ的一个区间估计。注意上面所给的区间依据于一个样本变到
2021/8/5
8
性质：对两个正态分布变量来说，零协方差或零相关就意 味着两个变量互相独立。 因此，在正态性假定下，ui 和uj 协方差为零不仅意味着它 们不相关，而且它们是独立分布的。可写成：
NID表示正态且独立分布（normally and independently distributed）。
区间估计与假设检验
◆ 经典正太线性回归模型
◆ 统计学预备知识 ◆ 区间估计基本概念 ◆回归系数β1和β2的置信区间 ◆σ2的置信区间
2021/8/5
2
一、经典正太线性回归模型
所谓统计推断的经典理论由两个分支构成，即估计和假设检 验。
前面讨论了双变量线性回归模型的参数估计问题。用OLS方 法，估计参数β1 ，β2 ，σ2 。在经典线性回归模型的假定下， 可以证明 、 和 这些参数的估计量满足线性性、无偏 性和最小方差（BLUE）。
高等数学与工程数学课件第十章数理统计基础.ppt
的平均直径为15.25 mm? ( 0.05) 解 提出原假设： 0 15.25，
由于方差已知，故选统计量
U X 0 ~ N (0,1) n
由P{|U | } P{U } P{U } 1 () () 2 2 () 0.05 .
由P{ 2
2}
2
0.025， 2
~
2 (15)，查表得2
27.5，
由P{ 2
1}
1
2
0.975， 2
~
2 (15)，查表得1
6.26.
故 2的95%的置信区间为
15
0.00244，15 27.5
0.00244 6.26
即 [0.0013，0.0058] .
二、假设检验的方法
假设检验的一般步骤如下： (1) 提出原假设 H0，明确所要检验的对象， (2) 构造合适的统计量 ， (3) 求出临界值，确定拒绝域，
6
9.05.
S2 1 6 5 i1
2
Xi X
1 0.052 0.252 0.052 0.252 0.152 0.152
5
0.035.
返回
4、解： X N u， 2 且已知 2
选取统计量
U
X
n
该统计量服从标准正态分布，即：U N 0，1.
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返回
机变量
X1，X
，
2
，X n 的函数称为样本函数，若样本函
数不含未知参数且是连续的，我们称之为统计量.(不含
未知参数的样本函数叫统计量.)
区间估计与假设检验的联系与区别讲义资料
区间估计与假设检验的联系与区别讲义资料
区间估计与假设检验是统计推断的两种常见方法。
它们虽然都属于推断统计，但也有明显的不同之处。
区间估计的主要目的是估计总体参数的值，也可以称作参数估计。
根据样本信息，我们可以得出一个可能的参数值范围，也就是置信区间，从而得到一个可靠的估计区间。
估计是不断变化的，每一次统计分析给出的参数估计值都可能有所变化，从而慢慢趋近真实值。
假设检验即“判断”，是统计学中比较常用的检验方法，目的是确定两个总体之间的差异是由随机因素造成的，还是由特定的因素（如环境因素）造成的。
假设检验涉及两个立场：备择假设和原假设。
假设检验的结果由抽样分布决定，不同的抽样分布对应不同的结论，比如有抽样分布下假设检验结果可能是拒绝备择假设，也可能是接受备择假设。
从概念上讲，区间估计技术计算的是一个参数的值的估计，而假设检验是用于检查参数的方法，它只检验两个总体是否具有显著的性质差异，而不会真正测量它们的差异。
总的来说，区间估计通过单组数据范围尽可能准确地估计参数的取值范围，而假设检验则是针对任何特定统计主题，利用数据样本来检验其是否与假设相符。
两者都具有自己的优点和不足，可以结合使用来为抽样荟萃而得出结论，从而更准确地了解样本的真实情况。
第十章双变量回归与相关
(9-3) (9-4)
式中 lXY 为 X 与 Y 的离均差积和:
l
XY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
(9 5)
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（9-1）中的 Yˆ 实际上 是 X 所对应 Y 的总体均数 Y|X 的一个样本估 计值，称为回归方程的预测值（predicted value）, 而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
(Y Y ) 2 (Yˆ Y ) 2 (Y Yˆ ) 2
数理统计可证明：
å (Yˆ - Y )(Y - Yˆ ) = 0
上式用符号表示为
SS总 SS回 SS残
（9-6）
式中
SS总 即 (Y Y)2 ， 为 Y 的 离 均 差 平 方
和，表示未考虑 X 与Y 的回归关系时Y 的 总变异。
离 Y Yˆ 。
➢ 求解a、b实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表
数据点分布趋势的直线。
最小二乘法(least sum of squares)原则：即保证各实 测点至直线的纵向距离的 平方和最小。
（X，Y）
b lXY lXX
( X X )(Y Y ) (X X )2
a Y bX
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 9-1）
Yˆ 1.6617 0.1392X
此直线必然通过点( , )X且与Y 纵坐标轴相交于 截距 a 。如果散点图没有过坐标系原点，可在 自变量实测范围内远端取易于读数的 X 值代入 回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点 ( , )也可X绘Y出回归直线。
假设检验和区间估计
第7章 假设检验和区间估计7.1 内容框图7.2 基本要求（1） 理解假设检验的基本思想及两类错误的含义.（2） 掌握有关正态总体参数的假设检验的基本步骤和方法. （3） 理解单侧检验与双侧检验的异同.（4） 理解并掌握正态总体参数区间估计的的基本方法. （5） 了解总体分布的检验和独立性检验的基本方法.7.3 内容概要1）假设检验下面把各种情形列一个表：∈U 接受域0W ，接受0H∈U 拒绝域1W ，拒绝0H0H 为真，1H 不真 正确 犯第一类错误0H 不真，1H 为真犯第二类错误正确α值为显著水平。
然后，根据显著水平 α来确定临界值，用临界值来划分接受域 0W 假设检验 区间估计参数检验 分布的检验正态总体参数的检验独立性检验和拒绝域 1W 。
这样的检验，称为显著性检验。
假设检验的一般步骤是： （1）提出原假设 0H ；（2）选取合适的检验统计量 U ，从样本求出 U 的值；（3）对于给定的显著水平α，查 U 的分布表，求出临界值，用它划分接受域 0W 和拒绝域 1W ，使得当 0H 为真时，有 α=∈}{1W U P ；（4）若 U 的值落在拒绝域 1W 中，就拒绝 0H ，若 U 的值落在接受域 0W 中，就接受 0H 。
假设检验的理论依据是所谓的小概率事件原理，即一个概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的.要检验一个根据实际问题提出的原假设0H 是否成立，如果已知在0H 成立时，某个事件发生的可能性很小，而试验的结果却是这个事件发生了，那么根据小概率事件原理，我们就可以认为所提出的这个假设0H 是不成立的，即拒绝0H ；反之，则接受0H .这里的原假设0H 可以根据实际问题提出，事件是否发生可根据试验观测值判断，因此假设检验的关键问题就是要确定在0H 成立时，发生可能性很小的某个事件.我们知道，正态分布有个3σ原则，即ξ若服从正态分布，那么ξ的取值会大多集中在其均值附近，落入两侧的可能性很小.事实上，当ξ服从t 分布，2x 分布，F 分布时，其取值落入两侧的可能性也都相对很小.因此，我们要确定0H 成立时一个发生可能性很小的事件，只需根据样本构造出服从正态分布，t 分布，2x 分布或F 分布的随机变量（统计量）就可以了. 根据上述分析，正态总体参数的假设检验可概括为如下步骤。
假设检验和区间估计
第7章假设检验和区间估计7.1 内容框图7.2 基本要求（1）理解假设检验的基本思想及两类错误的含义.（2）掌握有关正态总体参数的假设检验的基本步骤和方法.（3）理解单侧检验与双侧检验的异同.（4）理解并掌握正态总体参数区间估计的的基本方法.（5）了解总体分布的检验和独立性检验的基本方法.7.3 内容概要1）假设检验α值为显著水平。
然后，根据显著水平α来确定临界值，用临界值来划分接受域W和拒绝域 1W 。
这样的检验，称为显著性检验。
假设检验的一般步骤是： （1）提出原假设 0H ；（2）选取合适的检验统计量 U ，从样本求出 U 的值；（3）对于给定的显著水平α，查 U 的分布表，求出临界值，用它划分接受域 0W 和拒绝域 1W ，使得当 0H 为真时，有 α=∈}{1W U P ；（4）若 U 的值落在拒绝域 1W 中，就拒绝 0H ，若 U 的值落在接受域 0W 中，就接受 0H 。
假设检验的理论依据是所谓的小概率事件原理，即一个概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的.要检验一个根据实际问题提出的原假设0H 是否成立，如果已知在0H 成立时，某个事件发生的可能性很小，而试验的结果却是这个事件发生了，那么根据小概率事件原理，我们就可以认为所提出的这个假设0H 是不成立的，即拒绝0H ；反之，则接受0H .这里的原假设0H 可以根据实际问题提出，事件是否发生可根据试验观测值判断，因此假设检验的关键问题就是要确定在0H 成立时，发生可能性很小的某个事件.我们知道，正态分布有个3σ原则，即ξ若服从正态分布，那么ξ的取值会大多集中在其均值附近，落入两侧的可能性很小.事实上，当ξ服从t 分布，2x 分布，F 分布时，其取值落入两侧的可能性也都相对很小.因此，我们要确定0H 成立时一个发生可能性很小的事件，只需根据样本构造出服从正态分布，t 分布，2x 分布或F 分布的随机变量（统计量）就可以了. 根据上述分析，正态总体参数的假设检验可概括为如下步骤。
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H1:12D0
（3）否定域：单侧 t(n1n22) 双侧 t/2(n1n22)
（4）检验统计量
t
X1
X2
D 0
（5）比较判定
(X1X2)
(X1 X2) D0 n1S12 n2S22 n1 n2
一年级 73% （171）
27%
01.03.2021
8
[解] 据题意
新生组的抽样结果为：
p1
＝0.73，
q2
＝0.27，n1＝171
四年级学生组的抽样结果为:
p2
＝0.58，
q2
＝0.42，n2＝117
H0：p1―p2＝D0＝0
H1：p1―p2＝D0≠0
计算检验统计量 p X n 1 1 n X 2217 0 1 .7 17 3 1 111 1 0 .7 7 5 80 .669
[解] 据题意，
“不满意”组的抽样结果为：X 1
“满意”组的抽样结果为：X 2 H0：μ1―μ2＝D0＝0
＝9.2年， S1＝2.8年， n1＝500； ＝8.5 年，S2＝2.3 年， n2＝600。
H1： μ1―μ2 ≠0
计算检验统计量
ZX1X2D0 9.28.5 4.47
2 1
22
2.82 2.32
n1 n2
500600
确定否定域，
因为α＝0.05，因而有 Zα/2＝1.96＜4.47 因此否定零假设，即可以认为在0.05显著性水平上，婚龄对妇女婚
后生活的态度是有影响的。同时我们看到，由于样本计算值Z＝4.47 远大
于单侧 Z0.05 的临界值1. 65，因此本题接受μ1―μ2 ＞0 的备择假设，即可 以认为妇女婚龄长容易对婚后生活产生“不满意”。
（2）备择假设：
单侧
H1:12D0
或 H1:12D0
双侧
H1:12D0
（3）否定域：单侧 Z
双侧 Z / 2
（4）检验统计量 （5）比较判定
Z
X1
X2
D 0
12
2 2
n1 n2
01.03.2021
3
[例]为了比较已婚妇女对婚后生活的态度是否因婚
龄而有所差别，将已婚妇女按对婚后生活的态度分为 “满
01.03.2021
5
2．大样本成数差检验
（1）零假设： （2）备择假设：H0:p1p2D0
单侧
双侧
H1:p1p2D0
或 H1:p1p2D0
H1:p1p2D0
（3）否定域：单侧 Z
双侧 Z / 2
（4）检验统计量
Z(p1p2)D0 (p1p2)D0
(p1p2)
p1q1 p2q2 n1 n2
其中:
布就是
N(1
2,n112
22
n2
)
。与单样本的情况相同，在大样本的
情况下(两个样本的容量都超过50)，这个定理可以推广应用于任何具
有均值μ1和μ2以及方差
2和
1
2 2
的两个总体。当n1和n2逐渐变大
时，(X1 X2) 的抽样分布像前面那样将接近正态分布。
01.03.2021
2
1．大样本均值差检验
（1）零假设： H0:12D0
意”和“不满意”两组。从满意组中随机抽取600名妇女，
其平均婚龄为8.5年，标准差为2.3年；从不满意组抽出
500名妇女，其平均婚龄为9.2年，标准差2.8年。试问在
0.05显著性水平上两组是否存在显著性差异？
样本
人数
均值
标准差
满意组
600
8.5
2.3
不满意组
500
9.2
2.8
01.03.2021
4
度，所以全部自由度的数目就成为
S
( X1X 2 )
n1 n2 n1n2
01(.0n31.2+02n12―2)。 于是有
11
这样，对小样本正态总体， 1 2 和 2 2 未知，但σ1＝σ2 ，
其均值差的检验步骤如下:
（1）零假设： H0:12D0
（2）备择假设：
单侧
双侧
H1:12D0
或 H1:12D0
（5“外向”和
“内向”，把他们分成两类。结果发现，新生中有73％ 属
于“外向”类，四年级学生中有58％属于“外向”类。 样本
中新生有171名，四年级学生有117名。试问，在0.01水平 上，两类学生有无显著外性向差异？ 内向
四年级 58% （117）
42%
第十章双样本假设检验及区间估
精品jin
第一节 两总体大样本假设检验
为了把单样本检验推广到能够比较两个样本的均值的检验，必须 再一次运用中心极限定理。下面是一条由中心极限定理推广而来的重
要定理：如果从 N(2,22) 和 N(1,12) 两个总体中分别抽取容量为
n1和n2 的独立随机样本，那么两个样本的均值差 (X1 X2) 的抽样分
p1
X1 n1
p2
X2 n2
为总体1的 样本成数
为总体2的 样本成数。
01.03.2021
6
当p1和p2未知，须用样本成数
p1
和
p2
进行估算时，分以下两
种情况讨论：
① 若零假设中两总体成数的关系为 p1 p2 ，这时两总体可看作成数
P 相同的总体，它 们的点估计值为
p
X1X2 n1n2
n1
p1n2 p2 n1n2
( X1 X 2 )
11 n1n2
( X1X2 )
n1 n2
n1n2
现又因为σ未知，所以要用它的
无偏估计量
S
替代它。由于两个样
本的方差基于不同的样本容量，因而
可以用加权的方法求出σ的无偏估计
S
n1S12 n2S22
n1 n2 2
量，得
注意，上式的分母上减2，是因为
根据 X 1 和 X 2 计算S1和S2时，分别损 失了一个自由度，一共损失了两个自由
Z p1p2
0.7 30.58 2.66
pq
n1n2 n1n2
0.660 9.33 1171 117 171117
确定否定域
因为α＝0.01，因而有 Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66 因而否定零假设，即可以认为在0.01显著性水平上，两类学生在
性01.0格3.2上021是有差异的。
9
第二节 两总体小样本假设检验
与对单总体小样本假设检验一样，我们对两
总体小样本假设检只讨论总体满足正态分布的情
况。
1. 小样本均值差假设检验
(1)
当
2 1
和
2 2
已知时，小样本均值差
检验，与上一节所述大样本总体均值差检验完全
相同，这里不再赘述。
01.03.2021
10
(2)
2 1
和
2 2
未知，但假定它们相等时，
关键是要解决
的算式。
此时上式中检验 统计量 Z 可简化为
Z (p1p2)0 p1p2
pq pq
n1
n2
pq
n1n2 n1n2
② 若零假设中两总体成数 p1 p2 ，那么它们的点估计值有
p1 p1
p2 p2
此时上式中 检验统计量Z为
01.03.2021
Z ( p1 p2 ) D0
p1 q1 p2 q2
n1
n2