第3章 区间估计和假设检验
区间估计和假设检验
在回归分析中，区间估计可以用来估计未知参数的取值范围，从 而更好地理解参数对结果的影响。
假设检验的应用场景
检验假设是否成立
在科学研究或实际应用中，我们经常需要通过假设检验来检验某个 假设是否成立，以做出决策或得出结论。
诊断准确性评估
在医学诊断中，假设检验常用于评估诊断方法的准确性，例如比较 新方法与金标准之间的差异。
非参数检验的优点是不受总体分布限制，适用于更广泛的情况。常见的非参数检验包括秩和检验、符 号检验等。
假设检验的步骤
选择合适的统计方法
根据假设和数据类型选择合适 的统计方法进行检验。
确定临界值
根据统计量的分布情况，确定 临界值。
提出假设
根据研究问题和数据情况，提 出一个或多个假设。
计算统计量
根据选择的统计方法计算相应 的统计量。
区间估计和假设检验
目录
• 区间估计 • 假设检验 • 区间估计与假设检验的联系 • 应用场景 • 案例分析
01
区间估计
定义
区间估计
基于样本数据，对未知参数或总体分布特征 给出可能的取值范围。
参数估计
基于样本数据，对总体参数进行估计，如均 值、方差等。
非参数估计
基于样本数据，对总体分布特征进行估计， 如分位数、中位数等。
结果具有互补性
03
区间估计和假设检验的结果可以相互补充，帮助我们更全面地
了解总体的情况。
区别
1 2 3
目的不同
区间估计的目的是估计一个参数的取值范围，而 假设检验的目的是检验一个关于总体参数的假设 是否成立。
侧重点不同
区间估计更侧重于估计总体参数的可能取值范围 ，而假设检验更侧重于对总体参数的假设进行接 受或拒绝的决策。
计量经济学----.区间估计和假设检验
即
P[ 2 t se( 2 ) 2 2 t se( 2 )] 1
2 2
8
^
^
^
^
假设检验
检验某一给定的观测是否与虚拟假设（原假设）相符， 若相符，则接受假设，反之拒绝。 当我们拒绝虚拟假设时，我们说该统计量是统计上显 著的，反之则不是统计上显著的。
的临界值 t 2 (n 2) ，则有
ˆ ˆ P{[YF t 2 SE (eF )] YF [YF t 2 SE (eF )]} 1
1 因此，一元回归时 Y 的个别值的置信度为 的 预测区间上下限为 1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
给定，查t分布表得t （n 2) 2 （ ）若t -t 2 (n 2), 或t t 2 (n 2)，则拒绝原假设 1 H 0： 2 0，接受备择假设H1： 2 0； （2）若 - t 2 (n 2) t t 2 (n 2), 则接受原假设。
30
^
^
应变量Y 区间预测的特点
1、Y 平均值的预测值与真实平均值有误差，主要是 受抽样波动影响
YF Y F t 2
^ ^
1 ( X F X )2 n xi2
Y 个别值的预测值与真实个别值的差异,不仅受抽
样波动影响，而且还受随机扰动项的影响
1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
^
1 ( X F X )2 ˆ SE (YF ) n xi2
Y F 服从正态分布，将其标准化,
^
当
2
2 ei2 (n 2) 代替，这时有 未知时，只得用 ˆ ˆ YF E (YF X F ) t ~ t (n 2) 1 ( X F X )2 ˆ n xi2
区间估计与假设检验
"### 参数的区间估计与假设检验之间的区别
参数的区间估计和假设检验从不同的角度回答同一问 题， 它们的统计处理是相通的。 但是它们之间又有区别， 体现 以下三点： 第一， 参数估计解决的是多少 （或 范 围 ） 问题， 假设检验 则判断结论是否成立。前者解决的是定量问题， 后者解决的 是定性问题。 第二， 两者的要求各不相同。区间估计确定在一定概率 保证程度下给出未知参数的范围。 而假设检验确定在一定的 置信水平下， 未知参数能否接受已给定的值。 第三， 两者对问题的了解程度各不相同。进行区间估计 之前不了解未知参数的有关信息。 而假设检验对未知参数的 信息有所了解， 但作出某种判断无确切把握。 因而在实际应用中，究竟选择哪种方法进行统计推断， 需要根据实际问题的情况确定相应的处理方法。 否则将会产
" 拒 绝 域 为 +)J.)0!+#)(-- ， 查表 %’#$#"4" 统计量 0’ ,)"" ’ & ， %
得 0"$":’!$"(: ， 计 算 得 0’)($A::A. 由 此 可 见 统 计 量 的 值 未 落 入 拒绝域中， 因而接受原假设， 认为符合设计要求。
(9!
统计与决策 !""# 年 # 月 （下）
上述关系虽就一特例而言， 但也有普遍意义。由区间估 计可以很容易构造检验函数。 下面来说明怎样由检验函数构 造区间估计。 设 # 是问题
生不同的结论， 做出错误的统计推断。 例 ! 测试某个品牌的汽车的百公里耗油量，假设在正 常的情况下汽车百公里耗油量服从正态分布， 路况以及驾驶 员的技术符合正常要求。现对该批汽车进行测试， 随机选取
+&".!-。
简述假设检验与区间估计之间的关系 统计学原理
简述假设检验与区间估计之间的关系统计学原理一、简介假设检验与区间估计是统计学中两个重要的概念，它们都是基于样本数据对总体参数进行推断的方法。
假设检验主要用于判断总体参数是否符合某种特定假设，而区间估计则用于对总体参数进行范围性的估计。
本文将从统计学原理角度出发，详细介绍假设检验与区间估计之间的关系。
二、假设检验1. 假设检验的基本思想在进行假设检验时，我们首先要提出一个关于总体参数的假设（称为原假设），然后根据样本数据来判断这个假设是否成立。
具体来说，我们会根据样本数据计算出一个统计量（如t值、F值等），然后通过比较这个统计量与某个临界值（也称为拒绝域）来决定是否拒绝原假设。
2. 假设检验中的错误类型在进行假设检验时，有可能会犯两种错误：一种是将一个正确的原假设错误地拒绝了（称为第一类错误），另一种是将一个错误的原假设错误地接受了（称为第二类错误）。
通常情况下，我们会将第一类错误的概率控制在一个较小的水平（如0.05或0.01），这个水平被称为显著性水平。
3. 假设检验的步骤进行假设检验时，通常需要按照以下步骤进行：（1）提出原假设和备择假设；（2）选择适当的检验统计量，并计算出样本数据所对应的值；（3）确定显著性水平，并找到相应的拒绝域；（4）比较样本统计量与拒绝域，得出结论。
三、区间估计1. 区间估计的基本思想在进行区间估计时，我们会根据样本数据来构建一个区间，这个区间包含了总体参数真值的可能范围。
具体来说，我们会根据样本数据计算出一个点估计量（如样本均值、比例等），然后根据中心极限定理和大数定律等原理来构建置信区间。
2. 区间估计中的置信度在进行区间估计时，我们通常会给出一个置信度，表示该区间包含总体参数真值的概率。
例如，如果我们给出了一个95%置信度，则意味着在大量重复实验中，有95%的置信区间都会包含总体参数真值。
3. 区间估计的步骤进行区间估计时，通常需要按照以下步骤进行：（1）选择适当的点估计量，并计算出样本数据所对应的值；（2）确定置信度，并找到相应的置信区间；（3）解释置信区间的含义，得出结论。
区间估计与假设检验的联系与区别讲义资料
区间估计与假设检验的联系与区别讲义资料
区间估计与假设检验是统计推断的两种常见方法。
它们虽然都属于推断统计，但也有明显的不同之处。
区间估计的主要目的是估计总体参数的值，也可以称作参数估计。
根据样本信息，我们可以得出一个可能的参数值范围，也就是置信区间，从而得到一个可靠的估计区间。
估计是不断变化的，每一次统计分析给出的参数估计值都可能有所变化，从而慢慢趋近真实值。
假设检验即“判断”，是统计学中比较常用的检验方法，目的是确定两个总体之间的差异是由随机因素造成的，还是由特定的因素（如环境因素）造成的。
假设检验涉及两个立场：备择假设和原假设。
假设检验的结果由抽样分布决定，不同的抽样分布对应不同的结论，比如有抽样分布下假设检验结果可能是拒绝备择假设，也可能是接受备择假设。
从概念上讲，区间估计技术计算的是一个参数的值的估计，而假设检验是用于检查参数的方法，它只检验两个总体是否具有显著的性质差异，而不会真正测量它们的差异。
总的来说，区间估计通过单组数据范围尽可能准确地估计参数的取值范围，而假设检验则是针对任何特定统计主题，利用数据样本来检验其是否与假设相符。
两者都具有自己的优点和不足，可以结合使用来为抽样荟萃而得出结论，从而更准确地了解样本的真实情况。
区间估计与假设检验的联系与区别
区间估计与假设检验 的联系与区别
11406
a
1
区间估计
参数估计：指的是用样本中的数据估计总体分布 的某个或某几个参数
参数估计的方法：点估计和区间估计。
点估计：用估计量的某个取值直接作为总体参数 的估计值。点估计的缺陷是没法给出估计的可靠 性，也没法说出点估计值与总体参数真实值接近 的程度。
区间估计：在点估计的基础上给出总体参数估计 的一个估计区间，该区间通常是由样本统计量加 减估计误差得到的。在区间估计中，由样本估计 量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区 间称为置信区间。
主要区别： a、参数估计是以样本资料估计总体参数的真 值，假设检验是以样本资料检验对总体参数 的先前假设是否成立； b、区间估计求得的是求以样本估计值为中心 的双侧置信区间，假设检验既有双侧检验， 也有单侧检验； c、区间估计立足于大概率，假设检验立足于 小概率。
a
6
拒绝域。 4.比较并作出统计推断。
a
4
区间估计与假设检验的联系
主要联系： a、都是根据样本信息推断总体参数； b、都以抽样分布为理论依据，建立在概率 论基础之上的推断，都具有一定的可信程 度和风险； c、二者可相互转换，区间估计问题可以转 换成假设问题，假设问的区别
a
2
区间估计
总体均值的区间估计 （1）大样本的估计方法：总体方差已知，用z
分布。 （2）小样本(样本数小于30)的估计方法：总
体方差未知 ， t分布。 总体比率的区间估计 z分布 总体方差的区间估计 χ^2分布
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验
数理统计中的参数估计与置信区间估计及假设检验与拟合优度检验数理统计是一门研究如何利用数据对未知参数进行估计和进行推断的学科。
本文将介绍数理统计中的参数估计与置信区间估计，以及假设检验与拟合优度检验的基本概念和相关方法。
一、参数估计与置信区间估计在数理统计中，参数是描述总体特征的量，例如总体均值、总体方差等。
参数估计就是利用样本统计量对总体参数进行估计。
常用的参数估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种常用的参数估计方法，其基本思想是选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
假设总体服从某个分布，最大似然估计通过优化似然函数来估计参数。
最大似然估计具有良好的性质，例如渐近正态性和无偏性等。
矩估计是另一种常用的参数估计方法，其基本思想是利用样本矩与总体矩的对应关系来估计参数。
例如，样本均值可以用来估计总体均值，样本矩可以通过总体矩的方法进行计算得到。
矩估计具有较好的渐近正态性和无偏性。
参数估计的结果往往带有一定的不确定性，为了评估估计结果的准确性，常使用置信区间估计。
置信区间估计是指通过样本数据得到的区间，该区间包含了未知参数的真值的概率。
常见的置信区间估计方法有正态分布的置信区间估计和大样本下的置信区间估计。
二、假设检验在数理统计中，假设检验是一种推断方法，用于检验总体参数的假设是否成立。
假设检验的基本思想是通过样本数据来判断假设是否得到支持。
常用的假设检验方法有正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验和两样本均值的假设检验等。
假设检验包括建立原假设和备择假设，选择适当的检验统计量，并设定显著性水平，进行统计推断。
结果的判断依据是计算得到的检验统计量是否落在拒绝域内。
如果检验统计量落在拒绝域内，拒绝原假设，否则接受原假设。
假设检验的结果可以提供统计学上的证据，用于决策和推断。
三、拟合优度检验拟合优度检验是一种用于检验总体数据是否符合某个特定分布的方法。
在数理统计中，拟合优度检验常用于检验样本数据与给定的分布是否相符。
简述假设检验与区间估计之间的关系 统计学原理
假设检验与区间估计的关系假设检验和区间估计是统计学中两个重要的概念和方法。
它们在数据分析和推断中经常被使用，并且有密切的关联。
假设检验假设检验是统计学中一种通过样本数据对总体参数进行推断的方法。
它的基本思想是，我们根据样本数据得到的统计量，与我们对总体参数的假设进行比较，从而判断这个假设是否合理。
在假设检验中，我们通常会提出一个原假设（null hypothesis）和一个备择假设（alternative hypothesis）。
原假设是我们要进行推断的对象，备择假设则是原假设不成立时所代表的情况。
然后，我们根据样本数据计算得到一个统计量，并且利用该统计量对原假设进行检验。
这个统计量通常会服从某种已知或近似已知的概率分布。
最后，根据统计量在概率分布中所处位置的概率来决定是否拒绝原假设。
如果这个概率非常小（小于显著性水平），则我们有充分的证据拒绝原假设；反之，如果这个概率较大，则我们没有充分的证据拒绝原假设。
总结一下，假设检验的步骤如下：1.提出原假设和备择假设；2.根据样本数据计算得到一个统计量；3.假设这个统计量服从某种概率分布；4.利用概率分布来计算统计量在概率分布中所处位置的概率；5.根据这个概率来决定是否拒绝原假设。
区间估计区间估计是统计学中一种通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
它的基本思想是，我们根据样本数据得到的统计量，以及该统计量的抽样分布特性，构建一个区间，这个区间可以包含真实总体参数的真值。
在区间估计中，我们通常会选择一个置信水平（confidence level），表示我们对该区间包含真实总体参数的程度的置信程度。
常用的置信水平有95%和99%。
然后，我们根据样本数据计算得到一个统计量，并且利用该统计量和抽样分布特性来构建一个置信区间。
这个置信区间具有以下特点：如果我们重复使用相同方法对不同样本进行估计，那么约有95%（或99%）的置信区间会包含真实总体参数的真值。
最后，我们根据置信区间来进行参数估计。
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
例1 设某厂一车床生产的钮扣，其直径据经 2 0 5.2 。为了判断 验服从正态 N (, 0 ) ， 其均值的置信区间，现抽取容量 n=100 的子样，其子样均值=26.56，求其均值 的95%的置信区间.
区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
运行结果为：
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
例4
假定初生婴儿（男孩）的体重服从正态分布，随机 抽取12名新生婴儿，测其体重为3100，2520， 3000，3000，3600，3160，3560，3320， 2880，2600，3400，2540。试给出新生婴儿体 重方差的置信区间（置信度为95% ）。
第三章 区间估计和假设检验目录
区间估计和假设检验 §3.1 正态总体的均值、方差的区间估计 §3.2 均值、方差的假设检验 §3.3 正态性检验 §3.4 非参数秩和检验
3.4.1 配对的符号检验 3.4.2 成组数据的秩和检验
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1
区间估计和假设检验
利用样本的信息对总体的特征进行统计推断，是统 计学要解决的主要问题之一。 它通常包括两类方面：一类是进行估计，包括参数 估计、分布函数的估计以及密度函数的估计等；另 一类是进行检验。 在这里，首先利用SAS提供的MEANS、 UNIVARIATE和TTEST等过程对应用广泛的正态总 体参数进行区间估计和假设检验，其次再来介绍对 观测数据的正态性进行检验，最后介绍一些常用的 非参数检验方法。
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
区间估计是通过构造两个统计量 , ，能以 100(1 )%的置信度使总体的参数落入 [ , ] 区间中，即 P{ } 1 。其中 称为显著性 水平或检验水平，通常取 0.05或 0.01 ； , 分别称为置信下限和置信上限
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计 SAS程序为：
data var22; input x fx@@; y=x-65; cards; 35.5 7 37.5 8 39.5 11 41.5 9 43.5 9 45.5 12 47.5 17 49.5 14 51.5 5 53.5 3 55.5 2 57.5 0 59.5 2 61.5 0 63.5 1 ; proc means data=var22 t prt clm; var y; freq fx; CLM表示要输出 run; 95%置信区间
data bodyfat; input sex $ fatpct @@; cards; 男 13.3 女 22 男 19 女 26 男 20 女 16 男 8 女 12 男 18 女 21.7 男 22 女 23.2 男 20 女 21 男 31 女 28 男 21 女 30 男 12 女 23 男 16 男 12 男 24 ; PROC TTEST DATA=BODYFAT ; CLASS SEX; VAR FATPCT; RUN;
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
输出结果：
分析变量 : Y
T- 统计量 Prob>|T| 95.0% 置信下界 95.0% 置信上界 --------------------------------------------------------------------34.29 <.0001 -21.0939999 -18.7860001 ------------------------------------------------------------------
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
注：采用PROC CHART过程对独立组样本画直方图 直方图有两种形态：垂直条形图和水平条形图，下面对例3画水 平条形图，SAS程序为：
data bodyfat; input sex $ fatpct @@; cards; 男 13.3 女 22 男 19 女 26 男 20 女 16 男 8 女 12 男 18 女 21.7 男 22 女 23.2 男 20 女 21 男 31 女 28 男 21 女 30 男 12 女 23 男 16 男 12 男 24 ; PROC CHART DATA=BODYFAT ; hbar fatpct/group=sex; title “两组独立样本的水平条形图”; 本章目录 18 RUN;
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
输出结果如下：
LCHI UCHI 70687.19 406071.51
即方差的置信区间为：[70687.19， 406071.51]
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区间估计和假设检验
1 二项分布总体概率以及概率之差的区间估计* 一、总体概率的置信区间
从二项分布B(π,n)中随机抽取一份样本，若特定事件发生次数 记为X，该事件的样本频率记为P=X/n，则P因样本而异。 小样本时，可根据X的观察值查表确定总体概率π的95%或 99%的置信区间。 大样本时（n≥30），需利用P近似地服从正态分布的性质进行 估计，即P~N[p，p(1-p)/n]，其中p为样本频率。此时， 总体概率π的(1-α)置信区间为：
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
例4 SAS程序为
data val2; input weight@@; cards; 3100 2520 3000 3000 3600 3160 3560 3320 2880 2600 3400 2540 n 2 ; ( x x ) i proc means data=val2; i 1 output out=tval1 css=ss n=n; Run; data tval2; set tval1; df=n-1; xlchi=cinv(0.025,df); xuchi=cinv(0.975,df); lchi=ss/xuchi; uchi=ss/xlchi; Run; proc print data=tval2;var lchi uchi; run; 21
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
SAS程序为 其输出结果为: LCL 25.5408 XBAR 26.56 UCL 27.5792
即总体均值的 95%的置信区间为[25.5408， 27.5792]；
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
本章目录
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
其输出结果如下：
T-Tests Variable Method Variances fatpct Pooled Equal fatpct Satterthwaite Unequal DF t Value 21 -1.70 20.5 -1.73 Pr > |t| 0.1031 0.0980
2
(X
i 1
n
i
)2
(n 1) s 2 2 n1 ( 2)
2 n (1 2)
2 n ( 2)
已知
Байду номын сангаас
(n 1) s 2 2 n 1 (1 2)
未知
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
待 估 参数 置信下限 置信上限 备注
1
2
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
待估 参数 置信下限 置信上限 备注
单 个 子 样
X u / n
2
X u / n
2
2
已知
X t n1 ( n 2 )s /
2
2 X t n1 ( 2 )s / n
未知
(X
i 1
n
i
)
[ p z p(1 p) / n , p z p(1 p) / n ]
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区间估计和假设检验
1 二项分布总体概率以及概率之差的区间估计* 二、二项分布总体概率之差的置信区间
设有两个二项分布B(π1,n1)和B(π2,n2)，当n1和n2是大样本时， 事件发生的频率P1和P2均近似地服从正态分布，两者之差P1P2也近似地服从正态分布，即
例2
检验某种型号玻璃纸的横向廷伸率。测得的数据如下
横向廷伸率% 35.5 37.5 39.5 41.5 43.5 45.5 47.5 49.5 51.5 53.5 55.5 57.5 59.5 61.5 63.5
频数
7 8 11
9 9 12 17 14 5 3
2
0 2
0
1
现在要检验假设 H 0 : 0 65 ，并求出其95%的置信区间。
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区间估计和假设检验
1 正态总体的均值、方差的区间估计
SAS程序为:
data val1; xbar=26.56; sigma=5.2;n=100; u=probit(0.975); delta=u*sigma/sqrt(n); lcl=xbar-delta; ucl=xbar+delta; Run; proc print data=val1; var lcl xbar ucl; run;