华东交通大学2004—2005学年第一学期考试卷
2004~2005 学年第一学期期末考试试卷
2004～2005学年第一学期期末考试试卷《 理论力学 》（A 卷 共3页） （考试时间：2005年1月20日）学院 专业 班 年级 学号 姓名题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 成绩 得分计算题（共100分，每题20分）1、图示平面结构，各杆自重不计。
已知：q=3kN/m ，M=2m kN ⋅。
F=4kN ，BD=CD =2m ，AC=CB =4m ，030=θ。
试用虚位移原理求固定端A 的力偶矩和铅直约束力。
2、图示系统由三根匀质细杆组成，位于铅垂面内，已知：各杆均重为P ，长均为L ，又A O 1∥B O 2，且4321LAB O O ==。
试用动静法求当系统自角030=θ位置无初速释放的瞬时，铰链21O O 处的约束力。
3、图示结构自重不计，杆DE 靠在杆AC 的C 端，接触面光滑，已知：力F ，a F M ⋅=，q=F/a ，试求固定端A 及铰支座E 的约束力。
4、平面机构如图所示。
轮1沿水平面做纯滚动，轮缘上A 点铰接套筒3，带动杆2绕轴摆动。
已知：R =0.1m ，L = 0.23m 。
在图示位置时，O 、A 、C 三点位于同一直线上，030=φ，轮心速度v C =0.2 m/s ，加速度a C =0。
试求该瞬时（1）摇杆2的角速度2ω角加速度2ε；（2）铰接点相对于摇杆2的加速度ar5、在图示系统中，已知：物A 重1P ，物B 重2P ，均质定滑轮O 重Q 1，均质动滑轮C 重Q 2，大小为常数的转矩M ，重物B 与斜面间的动摩擦系数为'f 。
若轴承为光滑，绳与滑轮之间无相对滑动，绳的倾斜段与斜面平行，试求重物A 由静止下降s 距离时的速度A v 和重物B 的加速度B a 。
2004～2005学年第一学期期末考试试题答案《理论力学》（A卷共7页）（考试时间：2005年1月20日）计算题（共100分，每题20分）1、图示平面结构，各杆自重不计。
已知：q=3kN/m，M=2m Array kN⋅。
2004-2005学年度上学期
2004－2005学年度上学期高中学生学科素质训练高三地理同步测试（6）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共75分）一、选择题(共75分，下列各题的四个备选项中，只有一个是正确的，多选、不选或错选，该题不得分，选对一题得3分)铁路运输一直是我国最重要的交通运输方式之一。
近几年我国又建成了南昆、京九、南疆等铁路干线，青藏、粤海等铁路也正在建设之中，据此回答1～3题。
1．青藏铁路修建最大的自然障碍是（）A．多年冻土地段长B．高寒缺氧C．生态环境脆弱D．地形2．有关京九铁路的叙述正确的是（）A．京九铁路位于京沪线和京广线的东侧B．京九铁路经过大别山、井冈山、延安等革命老区C．京九铁路的建设起决定性作用的是自然因素，而非社会经济因素D．建设京九铁路能激活全国铁路网，带动沿线地区经济发展3．以下选项中，属于在铁路枢纽上兴起的城市，且其相应的铁路线都正确的一组是（）A．开封、洛阳—陇海线B．石家庄、郑州—京广线C．包头、大同—京包线D．蚌埠—京九线电脑已经触及社会的各个角落，“intel”(英特尔)．“Pentium”(奔腾)也已家喻户晓。
据此完成4—6题。
4．关于英特尔产品的叙述不正确的是（）A．产品更新换代周期短B．产品面向世界市场C．产品研发费用占成本的比重较低 D．产品开发需要高素质的从业人员5．我国电脑厂家大多使用奔腾处理器的主要原因是（）A．国家政策B．交通便利C．技术含量高D．广告效应6．英特尔公司在东南亚及墨西哥等地建立了自己的组装公司，主要是考虑（）A．信息通达度好B．矿产资源丰富C．地租低廉D．劳动力价格低读我国某城市道路网分布图，回答7--8题。
7．该城市道路网是（）A．方格——环行——放射式道路网B．环形放射式道路网C．方格式道路网D．放射式道路网8．形成该城市区位因素不包括（）A．地形B．矿产C．河流D．气候9．进行下列活动，应选择水路运输的是（）①从济南到乌鲁木齐参加会议，次日必须出席②从上海到大连旅游，想节约交通运费③从武汉将50吨大米运往上海④将大同的一批优质煤运往秦皇岛A．①②B．②③C．③④D．①④10．如果现在有一轮船从英国到日本东京，最合理的航线是（）A．大西洋一麦哲伦海峡一太平洋一日本B．大西洋一苏伊士运河一印度洋一马六甲海峡一日本C．大西洋一好望角--印度洋一马六甲海峡一日本D．大西洋一巴拿马运河一太平洋一日本发展综合运输、提高运输效率，是交通运输发展的两大趋势。
华东交大历年高数上册期末试题及答案10高数上复习题
第一章 复习题 1. 计算下列极限: （1）2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (2)35)3)(2)(1(limn n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (3))1311(lim 31xx x ---→; 解 112lim)1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)xx x 1sin lim 20→; 解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(5)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量).(6)145lim1---→x xx x ;解 )45)(1(44lim)45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454l i m1=+-⋅=+-=→xx x .(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 )())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .(8)xxx sin lnlim 0→; 解 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(9)2)11(lim xx x+∞→;解[]e e xxx x xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim(10))1(lim 2x x x x -++∞→;解 )1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→ 211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x . (11)1)1232(lim +∞→++x x x x ;解 2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x x e x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(12)30sin tan lim x x x x -→; 解 x x x x x x x x x x x x x c o s)c o s 1(s i n lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→ 21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换) . 2. 证明: 当x →0时, arctan x ~x ;证明 因为1tan lim arctan lim00==→→y y x xy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .3. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅); 解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→xxk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的; 令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. 4. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解 要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 00, 所以只须取a =1.5. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根;若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .6. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明 因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且 1111lim lim 2=+=+∞→∞→nn n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→n n n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 7. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解 当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim00=-=--→-→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim00=-=-+→+→x x x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而 f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .8*、证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取 πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .第二章 复习题1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2);解 222212211)1(11x x x x x x y +=⋅+='+⋅+='.(2) y =sin 2x ;解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .(3)22x a y -=; 解[]22122221122122)2()(21)()(21)(xa x x x a x a x a x a y --=-⋅-='-⋅-='-='--.(4)xx y ln 1ln 1+-=;解 22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.(5)xxy 2sin =; 解 222s i n 2c o s 212s i n 22c o s x x x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='. (6)x y arcsin =; 解 2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='.(7))ln(22x a x y ++=; 解 ])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x a x a x x a x x a x y2222221)]2(211[1xa x x a x a x +=++⋅++=. (8)x x y +-=11arcsin . 解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x xx x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--='.(9)x x y -+=11arctan ; 解 222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x xx x x x x y +=-++-⋅-++='-+⋅-++='. (10)x x x y tan ln cos 2tan ln ⋅-=; 解 )(t a n t a n 1c o s t a n ln sin )2(tan 2tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x yx x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.(11))1ln(2x x e e y ++=;解 xx x x x x x x x x x e ee e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++='. 2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;解y '=2sin x cos x =sin2x ,)22sin(22cos 2π+==''x x y ,)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,)232sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y ,⋅ ⋅ ⋅,]2)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .(2) y =x ln x ;解 1ln +='x y , 11-==''x xy ,y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +1112)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x n x n . (3) y =x e x .解 y '=e x +xe x ,y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22dx y d . 解 方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ',ye y e xe e y yy y y -=--=-='2)1(11,3222)2()3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=-'-=-'---'=''. 4. 求参数方程⎩⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数33dx y d : 解t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-='+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2222+=+'=,3422338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少？解 水深为h 时, 水面半径为h r 21=, 水面面积为π241h S =,水的体积为3212413131h h h hS V ππ=⋅==,dt dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dtdV h dt dh ⋅=24π.已知h =5(m )，4=dtdV (m 3/min), 因此 πππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).6. 求下列函数的微分: (1)21arcsin x y -=;解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=.(2) y =tan 2(1+2x 2);解 dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2) =2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(3)2211arctan xx y +-=;解 )11()11(1111a r c t a n 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x xx 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. 7. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin )(x x xx x f 在x =0处的连续性与可导性.解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限x x x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim)0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不导数. 第三章 复习题1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈.因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.2. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x . 证明 令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有0)()()()()(2222≡-=-'='xx x x e e x f e x f e e x f e x f x ϕ,所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数.因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x . 3. 用洛必达法则求下列极限: (1)xe e xx x sin lim 0-→-; 解 2c o s l i m s i n l i m00=+=--→-→xe e x e e xx x x x x . (2)22)2(sin ln limx x x -→ππ;解 812c s c lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ. (3)xx x x cos sec )1ln(lim 20-+→;解 xx x x x x x x x x x 22022020c o s 1l i m c o s 1)1l n (c o s l i m c o s s e c )1l n (l i m -=-+=-+→→→(注: cos x ⋅ln(1+x 2)~x 2)1sin lim )sin (cos 22lim00==--=→→xxx x x x x . 4. 证明不等式 ：当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++;解 设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1ln(1)11(11)1ln()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x x x f ,所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01)1ln(122>+-+++x x x x , 也就是 221)1l n (1x x x x +>+++. 5. 判定曲线y =x arctan x 的凹凸性: 解 21a r c t a nx x x y ++=',22)1(2x y +=''.因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =x arctg x 在(-∞, +∞)内是凹的.6. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =xe -x ;解 y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2). (2) y =ln(x 2+1);解 122+='x xy , 22222)1()1)(1(2)1(22)1(2++--=+⋅-+=''x x x x x x x y . 令y ''=0, 得x 1=-1, x 2=1. 列表得可见曲线在(-∞, -1]和[1, +∞)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).7. 设f (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且f (a )=0, 证明存在一点ξ∈(0, a ), 使f (ξ)+ξf '(ξ)=0.证明 设F (x )=xf (x ), 则F (x )在[0, a ]上连续, 在(0, a )内可导, 且F (0)=F (a )=0. 由罗尔定理, 在(0, a )内至少有一个点ξ , 使F (ξ )=0. 而F (x )=f (x )+x f '(x ), 所以f (ξ)+ξf '(ξ)=0. 8. 求数列}{n n 的最大项. 解 令xx x x x f 1)(==(x >0), 则x x x f ln 1)(ln =,)ln 1(1ln 11)()(1222x x x x x x f x f -=-='⋅, )ln 1()(21x x x fx -='-.令f '(x )=0, 得唯一驻点x =e .因为当0<x <e 时, f '(x )>0; 当x >e 时, f '(x )<0, 所以唯一驻点x =e 为最大值点.因此所求最大项为333}3 ,2m ax{=. 第四、五、六章 复习题 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3. (2)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(3)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(4)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (5)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (6)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(7)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(8)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.（9） ⎰-xdx e x cos ;解 因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos . （10）⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx x x x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin ⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.（11）⎰xdx e x 2sin .解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e x x x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos , 所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2 （12）dx x x )1(12+⎰; 解 C x x dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解 设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1. 又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=13=f (e 2)=ln|e 2|+C =2+C ,C =3-2=1.于是所求曲线的方程为y =ln|x |+1.3. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导且f '(x )≤0, ⎰-=x a dt t f a x x F )(1)(. 证明在(a , b )内有F '(x )≤0.证明 根据积分中值定理, 存在ξ∈[a , x ], 使))(()(a x f dt t f x a -=⎰ξ. 于是有))(()(1)(1)(1)()(1)(22a x f a x x f a x x f a x dt t f a x x F x a ----=-+--='⎰ξ )]()([1ξf x f ax --=. 由f '(x )≤0可知f (x )在[a , b ]上是单调减少的, 而a ≤ξ≤x , 所以f (x )-f (ξ)≤0. 又在(a , b )内, x -a >0, 所以在(a , b )内0)]()([1)(≤--='ξf x f ax x F . 4. 计算下列定积分:(1)⎰-πθθ03)sin 1(d ;解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=-πππππθθθθθθθθ02002003cos )cos 1(cos sin )sin 1(d d d d 34)cos 31(cos 03-=-+=πθθππ. (2)dx x ⎰-2022; 解 dt t tdt t t x dx x ⎰⎰⎰+=⋅=-020202)2cos 1(cos 2cos 2sin 22ππ令 2)2sin 21(20ππ=+=t t . 6. 求由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴 所围成的图形的面积.解:所求的面积为⎰⎰⎰-=--==a a a dt t a dt t a t a ydx A 20222020)cos 1()cos 1()cos 1(ππ22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰. 7. 证明 由平面图形0≤a ≤x ≤b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰=ba dx x xf V )(2π.证明 如图, 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形, 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2πx ⋅f (x )dx , 这就是体积元素, 即dV =2πx ⋅f (x )dx ,于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==ba ba dx x xf dx x xf V )(2)(2ππ. 8. 利用题7的结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.解 20002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V . 9. 求心形线ρ=a (1+cos θ )的全长.解 用极坐标的弧长公式.θθθθθρθρππd a a d s ⎰⎰-++='+=0222022)sin ()cos 1(2)()(2a d a 82cos 40==⎰πθθ.第七章 复习题1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.解 因为a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j .2. 设a =3i -j -2k , b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,k j i k j i b a 75121 213++=---=⨯. (2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,a ⨯2b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .(3)21236143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a . 3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a .解 因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .4、设已知向量a =2i -3j +k , b =i -j +3k 和c =i -2j , 计算: (1)(a ⋅b )c -(a ⋅c )b ; (2)(a +b )⨯(b +c );(3)(a ⨯b )⋅c .解 (1)a ⋅b =2⨯1+(-3)⨯(-1)+1⨯3=8, a ⋅c =2⨯1+(-3)⨯(-2)=8,(a ⋅b )c -(a ⋅c )b =8c -8b =8(c -b )=8[(i -2j )-(i -j +3k )]=-8j -24k .(2)a +b =3i -4j +4k , b +c =2i -3j +3k ,k j k j i c b b a --=--=+⨯+332443)()(. (3)k j i k j i b a +--=--=⨯58311132, (a ⨯b )⋅c =-8⨯1+(-5)⨯(-2)+1⨯0=2.5、一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a =(2, 1, 1)和b =(1, -1, 0), 试求这平面方程. 解 所求平面的法线向量可取为k j i k j i b a n 3011112-+=-=⨯=, 所求平面的方程为(x -1)+(y -0)-3(z +1)=0, 即x +y -3z -4=0.6、用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x . 解 平面x -y +z =1和2x +y +z =4的法线向量为n 1=(1, -1, 1), n 2=(2, 1, 1), 所求直线的方向向量为k j i k j i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 在方程组⎩⎨⎧=++=+-421z y x z y x 中, 令y =0, 得⎩⎨⎧=+=+421z x z x , 解得x =3, z =-2. 于是点(3, 0, -2)为所求直线上的点.所求直线的对称式方程为32123+==--z y x ; 参数方程为x =3-2t , y =t , z =-2+3t .7、求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 在平面4x -y +z =1上的投影直线的方程. 解 过直线⎩⎨⎧=---=+-0923042z y x z y x 的平面束方程为 (2+3λ)x +(-4-λ)y +(1-2λ)z -9λ=0.为在平面束中找出与已知平面垂直的平面, 令(4 -1, 1)⋅(2+3λ, -4-λ, 1-2λ)=0, 即 4⋅(2+3λ)+(-1)⋅(-4-λ)+1⋅(1-2λ)=0.解之得1113-=λ. 将1113-=λ代入平面束方程中, 得 17x +31y -37z -117=0.故投影直线的方程为⎩⎨⎧=--+=+-011737311714z y x z y x . 8、设3||=a , |b |=1, 6) ,(^π=b a , 求向量a +b 与a -b 的夹角. 解 |a +b |2=(a +b )⋅(a +b )=|a |2+|b |2+2a ⋅b =|a |2+|b |2+2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )76cos 3213=++=π, |a -b |2=(a -b )⋅(a -b )=|a |2+|b |2-2a ⋅b =|a |2+|b |2-2|a |⋅|b |cos(a ,^ b )16cos 3213=-+=π. 设向量a +b 与a -b 的夹角为θ, 则721713||||||||||||)()(cos 22=⋅-=-⋅+-=-⋅+-⋅+=b a b a b a b a b a b a b a θ, 72arccos =θ.。
2004—2005学年第1学期试卷及一套练习题
2004—2005学年第1学期试卷一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)1.下列不是命题的是[ ]。
A.7能被3整除.B.5是素数当且仅当太阳从西边升起.C.x加7小于0.D.华东交通大学位于南昌北区.2. 设p:王平努力学习，q:王平取得好成绩，命题“除非王平努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为[ ]。
A. p→qB. ⌝p→qC. ⌝q→pD. q→p3. 下面4个推理定律中，不正确的为[ ]。
A.A=>(A∨B) (附加律)B.(A∨B)∧⌝A=>B (析取三段论)C. (A→B)∧A=>B (假言推理)D. (A→B)∧⌝B=>A (拒取式)4. 设解释I如下，个体域D={1,2},F(1,1)=(2,2)=0,F(1,2)=F(2,1)=1，在解释I下，下列公式中真值为1的是[ ]。
A.∀x ∃yF(x,y)B. ∃x∀yF(x,y)C. ∀x∀yF(x,y)D. ⌝∃x∃yF(x,y)5. 下列四个命题中哪一个为真？[ ]。
A. ∅∈∅B. ∅∈{a}C. ∅∈{{∅}}D. ∅⊆∅6. 设S={a,b,c,d}，R={<a,a>,<b,b>,<d,d>}，则R的性质是[ ]。
A.自反、对称、传递的B. 对称、反对称、传递的C.自反、对称、反对称的D. 只有对称性7.设A={a,b,c}，则下列是集合A的划分的是[ ]。
A.{{b,c},{c}}B.{{a,b},{a,c}}C.{{a,b},c}D.{{a},{b,c}}8.设集合})aQ∈+=关于普通ab2b{,)2(Q数的乘法，不正确的有[]。
A.结合律成立B.有幺元C.任意元素有逆元D.交换律成立9.设A是非空集合，P(A)是A的幂集，∩是集合交运算，则代数系统〈P(A),∩〉的幺元是[ ]。
A. P(A)B. φC. AD. E10.下列四组数据中，不能成为任何4阶无向简单图的度数序列的为[ ]。
2004—2005学年第一学期期末考试(精)
2004—2005学年第一学期期末考试（高二级）命题人：曲德才班级姓名学号—、单项选择题（共25题，总50分）1、对资本主义经济发展起促进作用的历史事件有①新航路的开辟②欧洲殖民者的扩张③文艺复兴运动④英国资产阶级革命A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④2、法国大革命具有世界意义的主要依据是A.结束了法国一千多年的封建统治B.人民群众显示了伟大力量C.震撼了整个欧洲大陆的封建统治D.对美国独立战争产生了积极影响3、对海地革命的爆发产生直接影响的历史事件是A.法国军队占领西班牙B. 法国大革命爆发C.拿破仑进攻俄国D.波旁王朝在法国复辟4、1785年瓦特的改良蒸汽机投入使用，对此评价不正确的一项是A.揭开了英国工业革命的序幕B.为工业生产提供了更加便利的动力C.它大大推动了机器的普及和发展D.人类社会由此进入“蒸汽时代”5、19世纪上半期，俄国社会经济发展远远落后于西欧各国的根本原因是A.国内市场狭小B.自由劳动力缺乏C.农奴制的存在D.过分依赖外国市场6、工人运动逐渐兴起的背景条件是A.工业革命引起社会结构的重大变革B.马克思主义的诞生C.资产阶级革命的兴起D. 资本主义制度的确立7、关于1776至19世纪中期的美国史，叙述不正确的是A.美国领土从大西洋沿岸扩展到太平洋沿岸B.南北两种不同的经济形式都得到了充分的发展C.共和党和民主党轮流执政的政治格局开始形成D.在远东地区的殖民体系已经建立8、19世纪70年代发生的对欧洲国际格局产生重大影响力的历史事件是A.德意志的统一B.法国大革命C.巴黎公社D.莱比锡之战9、19世纪中期，英国占领的地区包括①印度②菲律宾③新加坡④印度尼西亚A.①②④B.①②③C.①③D.①②③④10、印度民族大起义和日本明治维新的相同点是A.采取了武装斗争的方式B.借鉴了中国鸦片战争中受辱的教训C.摆脱了民族危机D.亚洲革命风暴的组成部分11、19世纪，自然科学研究取得重大进展的根本前提是A.科学家注重实验和实践的精神B.新技术和新发明的广泛应用C.文艺复兴和启蒙运动的推动D. 资本主义经济的发展12、以皇帝的名义推行《民法典》，自誉为“永垂不朽”的事情，发生在下列哪一时期A.法国资产革命革命B.美国的南北战争C.日本的武装倒幕运动D.德意志第二帝国13、法国大资产阶级和自由派贵族当权实现了革命的预定目标，但革命仍继续向前前进，这是因为①国王的卖国行为激起各阶层反对②封建旧势力的猖狂反扑③外国势力的武装干涉④巩固革命成果的需要A.①②B.②③④C.①③④D.①②③④14、英国干涉法国革命，法国阻挠德意志统一的相同目的是A.阻止革命运动的蔓延B.乘机扩张领土范围C.争夺欧洲大陆的霸权D.转嫁国内社会矛盾15、一位伟人指出：“俾斯麦依照自己的方式，依照容克的方式，完成了历史上的进步事业。
高数历年考题(第一学期)
历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一． 试解下列各题（24分）1． 讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二． 试解下列各题（35分）1． 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2． 设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3． 求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三． 求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四． 设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五． 设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六． 连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一． 试解下列各题（30分） 1． 求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四． 求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五． 设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六． 证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。
2004—2005学年度第一学期期末检测试卷 人教版
2004—2005学年度第一学期期末检测试卷第I卷一．．题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案1. 下列词语中加点的字读音全都正确的是（）A．拮．据（jié）岿．然不动（kuī）深恶．痛疾（è）山肴．野蔌（yáo）B．畸．形（qí）嗟．来之食（jiē）掂．斤拨两（diān）觥．筹交错（ɡōnɡ）C．匿．名（nì）锲．而不舍（qiè）根深蒂．固（dì）斜晖脉．脉（mò）D．诓．骗（kuánɡ）揆情度．理（dù）砥．柱中流（dǐ）岸芷．汀兰（zhǐ）2. 下列词语中没有错别字的是（）A．招徕辩伪去妄杳无消息B．馈赠伸张正义俗不可耐C．锤练相形见绌匠心独运D．阴晦直挺秀欣孜孜不倦3. 下列语句中加点词语解释不正确的是（）A.姐姐的长袍是自己做的，买15个铜子一米的花边，常常要在价钱上计较．．半天。
计较：计算比较。
B.大丈夫的这种种行为，表现出了英雄气概，我们今天就叫做有骨气．．。
骨气：刚强不屈的气概。
C.非凡的灵感，往往产生于这样的过程：关注极其普通、甚至一闪念的想法，并对它反复推敲．．，逐渐充实。
推敲：斟酌字句，反复琢磨。
D.除下帽来，油光可鉴，宛如小姑娘的发髻一般，还要将脖子扭几扭。
实在标致．．极了。
标致：相貌、姿态美丽（多指女子）。
4. 依次填入句中横线处的词语恰当的是（）（1）绿的呢，是人类劳力战胜自然的，是麦田。
和风吹送，翻起了一轮一轮的绿波。
（2）若使后之学者都前人的旧说，那就没有新问题，没有新发明。
（3）这些是可靠的吗？是必要的吗？它究竟是提高了这首诗的艺术价值？还是贬低了它？A．成果墨守考证B．结果遵守考查C．成果遵守考查D．结果墨守考证5. 依次填写关联词语恰当的是（）正因为如此，（）你认为正确答案只有一个，当你找到某个答案以后，（）会止步不前。
（），不满足于一个答案，不放弃探求，这一点非常重要。
2004~2005学年第一学期期末考试流体力学与流体机械.
（2）风机的全压效率为风机的有效功率与风机的轴功率之比，即 ；风机的静压效率为风机的静压和流量的乘积与风机的轴功率之比，即
。。。。。
6．两台同型号的风机并联运行时，其流量和风压与两台单独运行的风机相比有何不同？说明原因。
答：两台同型号的风机并联运行时，其总流量等于并联机组中各台风机的流量之和，其总压头与并联机组中各台风机的压头相同；但并联机组中单台风机的
流量小于单独运行的单台风机
的流量，并联机组中单台风机的压头大于单独运行的单台风机
（2）第二自动模化区是指当流体的流量或Re数增加到某一临界数值时，粘性力的作用可以忽略不计，通道断面的流速分布规律稳定下来，不再随流体的流量增加或Re数的增大而改变。雷诺数Re的这一临界数值称为第二临界值。因为流速分布与Re值无关，说明流动进入了自动模化区，雷诺数Re大于第二临界值的自动模化区称为第二自动模化区。如圆管内紊流 的阻力平方区即为第二自动模化区。
解：已知条件：D2=500mm，b2=100mm，β2=30°，n=1250r/min，Q=8200m3/h，ρ=1.2kg/m3。
（1）
由 和 及β2绘制出口速度图如下：（4分）
（2）
所以 （4分）
5．某系列No.6风机(D2=0.6m)在最佳工况下的流量Q=9360m3/h，全风压p=1060Pa，转速n=1450r/min，现若改用该系列No.4（D2=0.4m）风机，（1）问当n=1250r/min时，最佳工况的性能参数 、 和比转数 是多少？（2*）若该风机的效率为 =70%，问轴功率 是多少？（注：附加3分）
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四、计算题（总计54分）
1、某工程的地基为粗砂，进行渗透试验，已知试样长度为20cm ，试样截面面积为5cm 2，试验水头为50cm 。
试验经历10秒钟，测得渗流量为5cm 3。
求粗砂土中渗流水的水力梯度i 、渗透力ｊ和粗砂土渗透系数k 。
（8分）
2、某宾馆柱基底面尺寸为4.00m ×4.00m ，基础埋深d=2.00m 。
上部结构传至基础顶面中心荷载N ＝4720kN 。
基底以下为细砂，厚度h ＝6.00m ，压缩模量Es ＝8.0MPa ，γ＝18kN ／m 3，其下为不可压缩的岩层。
试用分层总和法计算该基础的最终沉降量S 。
（12分）
3、某原状土样，试验测得天然密度3
cm /g 72.1＝ ，比重G ＝2.65，含水量％＝1
.13w 。
求：干容重，孔隙比，饱和度。
（8分）
4、已知某挡土墙高度H ＝6.00m ，墙背竖直、光滑，墙后填土表面水平。
填土为粗砂，重度γ＝19.0kN ／m 3，内摩擦角φ＝32°，在填土表面作用均布荷载q ＝18.0kN/m 2。
计算作用在挡土墙上的主动土压力Pa ，并画图说明其分布。
（9分）
5、从某土层中取出4个相同的试样进行直接剪切试验，试验时法向应力分别取100，200，300，400kPa ，测得相应的破坏时的剪应力分别为：68，114，163，205kPa 。
试在坐标上绘出抗剪强度包线，计算该土的强度指标c 与φ值，该土是粘性土还是无粘性土?（9分）
6、已知一均匀土坡，坡角β＝50°，土的重度γ＝16.0kN/m 3，内摩擦角φ＝10°，Ns=8.4，粘聚力c ＝15kPa 。
计算此粘性土坡的安全高度H 。
（8分）。