椭圆综合专题整理

椭圆专题总结

、直线与椭圆问题的常规解题方法

（提醒：①设直线时分斜率存在与不 -存在；②设为y=kx+b 与

（提醒「:之所以要设是因为不去求出它 ，即“设而不求”）

3.联立方程组;

5.根据条件重转化； 常有以下类型:

②“点在圆内、圆上、圆外问题”

x i X 2 y i y

0>0 ；

转化为坐标与弦长公式问题 （提醒：注意两个面积公式 的

合理选择）；

6化简与计算;

1.设直线与方程; x=my+ n 的区别）

2.设交点坐标;

4.消元韦达定理; （提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 監）

①“以弦AB 为直径的圆过点0”

（提醒: 需讨论K 是否存在）

OA OB

K I ?K 2

uuo uuu OA?OB 0

X i X 2 yy 0

“直角、锐角、钝角问题”

“向量的数量积大于、等于、小于 0问题”

③“等角、角平分、 角互补问题” 斜率关系（K I K 2 0或K I

K 2）;

④“共线问题”

uur

（如: AQ uuu QB

数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化

（如 r ： A 、0、 B 三点共线 直线OA 与OB 斜率相等）; ⑤“点、线对称问题”

坐标与斜率关系;

⑥“弦长、面积问题”

7.细节问题不忽略;

①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现

0.

二、基本解题思想: 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式;

2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解;

3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无

关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求

出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明, 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值) 三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决;

6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性,

关键是积累“转化”的经验;

椭圆中的定值、定点问题

、常见基本题型:

在几何问题”中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过

取参数和特殊值「来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定的。

(1)直线恒过定点问题

2

1、已知点P(X0,y0)是椭圆E：— y2 1上任意一点，直线丨的方程为△必y o y 1,直

22

线J o 过P 点与直线l 垂直，点M (-1 , 0)关于直线|0的对称点为N , 直线PN 恒过一定点

G,求点G 的坐标。

2、已知「椭圆两焦点F 1、F 2在y 轴上，短轴长为2J 2 ,离心率为返

2

ULUT ULULT

P 是椭圆在第一象限弧上一点，且 PF i PF 2 1,过P 作关于直线

F i P 对称的两条直线 PA 、PB 分别交椭圆于 A 、B 两点。求：(1 )求

P 点坐标；(2 )求证直线 AB 的斜率为定值;

3、已知动直线y k(x

2 2

X y

1）与椭圆C :——* 1相交于A 、B 两

5 5

点,已知点M ( 7

,0)，

3

ULUr LULT 求证：MA MB 为定值.

4、在平面直角坐标系

2

xOy 中，已知椭圆C:— y 2

1.如图所示，斜率为k(k>0)且不

3

过原点的直线|交椭圆

C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线? OE 交椭圆C 于点G ，

2

2

W

交直线X

3于点D( 3,m) . (I)求m k 的最小值；(n)若 OG

证：直线1过定点;

椭圆中的取值范围问题

、常见基本题型:

OD |?|O E 求

H 对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不 等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来

(1)从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。

2 2

5、已知直线|与y 轴交于点P(0, m)，与椭圆C : 2x y 1交于相异两点 A 、B ,且

B

X

-3

斜率的取值范围. (3)

利用基本不等式求参数的取值范围

范围.

3. 求:

(1 )求椭圆的方程

(2)设直线y kx m(k 0)与椭圆相交于不同的两点 | AM |

|AN |时，求m 的取值范围. 9.如图所示，已知圆C : (x 1)2

y 2

8,定点A(1,0), M 为圆上一动点，点P 在AM 上,

点N 在CM 上，且满足 AM 2AP, NP AM 0,点N 的轨迹为曲线E .

(I)求曲线E 的方程;

(II)若过定点F (0 , 2)的直线交曲线

E 于不同的两

点G, H (点G 在点F , H 之间),且满足FG FH , 求 的取值范围.

10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点 0，两个焦点分别为 A( 1,0)、B(1,0)，一个顶点为

H(2,0) .求:

pp PPP

AP 3PB ，求m 的取值范围.

(2)

利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式

，确定参数的取值范围.

PPP 6、已知点 M (4, 0) , N(1, 0)…若动点P 满足MN

ppr PPP

MP 6|PN|. (I)求动点P 的轨迹C 的方程;

uuu (n)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A , B 两点，若

18 PPP —冬 NA NB < 7

12

12

，求直线l 的

5

7、已知点Q 为椭圆E :

2 2

缶与1

上的■一动点，点

A 的坐标为(3,1),

uuu 求AP AQ 的取值

8.已知椭圆的一个顶点为 A(0, 1)，焦点在x 轴上.若右焦点到直线x y

2^2

0的距离为

的切线丨交椭圆G 于A,B 两点将|AB|表示为m

的函数，并求 |AB|的最大值.

(1)求椭圆E 的标准方程;

(2)对于x 轴上的点P(t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP MH 求t 的取值范围.

2

2

P 2

11.已知椭圆C:冷打 1(a b 0)的离心率为、一，以原点为圆心，椭圆的短半轴

a b

2

长为半径的圆与直线 x y 72

0相切.

M (2 , 0)的直线与椭圆C 相交于两点 A, B ，设P 为椭圆上一点，且满 (O 为坐标原点)，当PA PB ＜仝色 时，求实数t 取值范围.

3

椭圆中的最值问题

一、常见基本题型:

(1 )利用基本不等式求最值,

厂

72

12、已知椭圆两焦点F i 、F 2在y 轴上，短轴长为2V 2，离心率为 二，P 是椭圆在第一

uuir uLuu 2

象限弧上一点，且PF , PF 2 1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、、PB 分别交 椭 圆于A 、B 两点，

求△ PAB 面积的最大值。

(2 )利用函数求最值,

13.如图，DP X 「轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM | 2| D P| .当点P 在圆X y 1 上-运动时。

(I)求点M 的轨迹C 的方程;

2 2

(n)过点T(0,t)作圆X y 1的切线丨交曲线C 于A,

思维拓展训练

X 2

y 2

(I)求椭圆

C 的方程;

(n)若过点 足 OA OB tOP

B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点

T 的坐标。

2

X 2

14、已知椭圆G : — y 1.过点(m,0)作圆

X 2 y 2

1

(2j3,0)，BC 过椭圆 m 的中心，且AC?BC 0,|BC | 2 | AC |.

(1)求椭圆m的方程;

(2 )过点M (0,t)的直线I (斜率存在时)与椭圆 m交于两点P, Q，设D为椭圆「m与y

轴负半轴的交点，且|DP I I DQ |.求实数t的取值范围.

2 2 2

2.已知圆M : (X m) (y n) r及定点N(1,0)，点P是圆M上的动点，点Q在NP

uun uLLT Luur Lun

上，点G在MP上，「且满足NP = 2 NQ , GQ NP = 0 .

(1 )若m 1,n 0,r 4，求点G的轨迹C的方程;

(2)若动圆M和(1)中所求轨迹C相交于不同两点A, B，是否存在一组正实数m,n,r,

使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说「明理由.

3、已知椭圆C的中心在坐标原.点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3 ,

(I)求椭圆C的标准方程;

(n)若直线l : y kx m与椭圆C相交于A , B两点(A, B不是左右顶点)，且以AB

为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标.

4.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M (2，1),平行于OM的直线I在y轴上的截距为 m (m丸)，1交椭圆于A、B两个不同点。

(1 )求椭圆的方程;

(2 )求m的取值范围;

(3 )求证直线MA、MB与x 轴始终围成一个等腰三角形

2

参考答案

1、解：直线10的方程为X 0(y y o )

2y 0(x x o )，即 2y 0x x o y X o y 。0

X o 4 4x o 3 2x o 2 8X 0 8, \

--------- 3 ---- 2 ----- (x X o ) 2y o ( X o 3X 0 4)

2 设椭圆方程为芯 a 2

X

—7 1，由题意可得

b

2

Q 点P(X o , y o )在曲线上，则一

2

从而亠尹 (2 y 2)

1，得y o ，则点P 的坐标为(1,J 2)。

(2)由(1 )知PF 1 //x 轴，直线PA 、PB 斜率互为相反数,

设M( 1,0)关于直线l 0的对称点

N 的坐标为N(m, n)

n

则

2y o

X 2y o

1 X o n

解得

2x o 3x o 4x o 4

x o y o

X o 2 4

2x o 4 4x o 3 4x o 2 8x 0

2y o (4 x o 2)

直线PN 的斜率为

y o X o

4 x o_

2y o ( X o 3 3X o 2 4)

4x 03

2x 02

8X 0 8

2y o ( X o 3

3x o 2

4)

4

,

3 c 2

X o 4X o 2X o

8X 0 8y 1

从而直线PN 恒过定点G(1,0)

2

，b 逅,c 2

血，所以椭圆的方程为

2

y. 4 2

X- 1

2 则 F 1(O,72),F 2(O,耐，设 P(X 0,y 0)(x 0

0, y 0

0)

UULT 则PF 1 _ uuuu

(X o ,72 y o ), PF 2

x 0,

uuu r PF 1 uuuu 2 2 PF 2 X o (2 y ：) 1 从而直线PN 的方程为:

y 。

2、解：(1)

2

X 0

2

y

设PB 斜率为k(k 0)，则PB 的直线方程为:

y 罷 k(x 1)

y 由x ~2

血k(x 2

4

1)

得(2 k 2

)x 2

2k G/2 k)x (貶

设 B(X B , y

B ),则

X B

同理可得x A

y A y B

所以直线 AB k)2

4 0

2

x

k(x 1)代入—

得(1

2 2 3k )x

2

6k x

36k 4

4(3k 2

2

1)(3k X 2 6k 2

,为X 2

~ 2 ,

5)

X 1 3k 2

3k 2 3k 2 1

uur 所以MA UULT

MB (x 1

(X 1 (1 (1

2k (k 72) 2 k 2

— 2 k 2

k(x A 1)

的斜率 k AB

k 2 242k 2

X A k(x B 1) y A y B X A X B

k 2

X B

"k 2 k 2

8k

42为定值。

y 2 3

48k 2

20

右 y 1)(x 2 3)(X

2

k 2

)x 1X 2

3) (7

3k 4 16k 2

5 3k 2

1

解：(I)由题意：设直线l : y kx n(n

7

3,

y 2) (x 1 k 2(x 1 1)(x 2

2 k )(x 1 X 2)

(

i k2)(

0)

，

3)(x2 勺 y1y2

1)

49 9

k 2

舶)

y kx n

由x2. 消 y 得:(1 3k2)x2 6knx 3n2 3 0, y Y 1

2 2 2 2 2 2

36k2 n2 4(1 3k2)x 3( n21) 12(3 k 1 n) 0 设A(x,,y i)、B(X2,y2),AB的中点E(x0, y o),则由韦达定理得：

6kn 刚3kn 3kn -TTT,即X。 6 2 , y。kX0 n ,① 2k n

3k 1 3k 1 3k

所以中点E的坐标为(亠^^,—),

1 3k

2 1 3k2

「因为0、E、D三点在同一直线上, :由题意知：n>0,因为直线OD的方程为y ^X,

解：(1 )当直线斜率不存在时:

2 .

m 1

X1 X2 — --- ,X1X2 —

n

2 , 1 3k2

X1 X2=1

所以koE K OD，即37 I，解得m

所以m2 k2 2

k 2，当且仅当k 1时取等号，即m

2k2的最小值为2. (n)证明

y

所以由 2

X

3

m —X 3

得交点

y2 1 G的纵坐标为Y G

又因为,Y

D m，且0G OD]?]O E，所以

2

m —2 m

m 3

n

2

,

又由(I)知：m 1，所以解得k

k

n,所以直线l的方程为丨：y kx k, 即有「丨:y k(x 1),令X 1得,y=0,与实数k无关,

(2 )当直线斜率存在时：设丨与椭圆C交点为A(X i, y i), B(X2, y2)

y kx m

2x2 y2 1

得

(k22)x2 2kmx m2 1 0

2 2 (2 km) 4(k

2 2

2)( m 1) 4(k

2

2m 2) 0 (*)

2km k

1 2 k2 2 k22

uuu LUU

??? AP 3PB ,??? X

3x

2 ,

X

1 X

2

X 1X 2

2X 2 3X 2

消去 X 2，得 3(X 1 X 2 )2

4x 1x 2 0,

整理得 m 2

???k 2

综上 4k 2m 2 2m 2

k 2

1

时，上式不成立;

4

k 2語代入(

m 2

* )得

1 1

??? 1 m —或一m

2

m 的取值范围为

Luir 6、解：(I)设动点P(x, y),则MP 寸时，k 2

2 2m 2 4m 2 1

―或一

2 2

UULU

(X 4, y) , MN

1 1

一或一m 1

2

1

。 uuu

3, 0) , PN (1 X, y).

由已知得 3(x 4)

6j(1 X)2

( y)2 ,

2

2

22

X y

化简得 3x 2

4y 2

12，得一 —1.

4 3

所以点P 的轨迹C 是椭圆C 的方程为

2

J 1.

3

(n)由题意知，直线l 的斜率必存在,

不妨设过N 的直线l 的方程■为y k(x 1),

设A , B 两点的坐标分别为

A(X 1,y 1), B(X 2, y 2).

y k(x 由xL 匸

4 3

1),

消去y 得(4k 2

1

2 2 2

3)x 2 8k 2x 4k 2 12

0.

因为N 在椭圆内, 所以

0.

X 1 X 2

8k 2 3

3 4k 2

' 4k 2

12 3 4k

所以 一< ---------- 2

7 3 4k

12 2

一.解得 1 < k 2

< 3.

5

y P 为弦MN 的中点，由XL

2

X 2

—y 1. 3

UUU 因为NA UUL

NB (X 1

1)(X 2 1) y i i y (1 k 2

)(x 1 1)(X 2 1)

(1

(1

k 2)*

k 2

)[X 1X 2

(X 1 X 2) 1] 2

12 8k 2

3 4k 2

3 4k 2

9(1 k 2

) 3 4k 2

UJU

解：AP (1,3)，设 Q (X , y ),

Lui r AQ

(X 3,y 1),

UUL UULT AP AQ (X

3) 3(y 1) X 3y 6. 2 2

X y 18 2

即X 2

2

(3y) 18,

而 X 2

(3y)2

>2|x| |3y|,

2 2 2

则(X 3y) X (3y) 6xy 18

6xy 的取值范围是[0 , 36].

X 3y 的取值范围是[—6, 6].

LUU LUT

??? AP AQ X 3y 6 的取值范围是[—12 , 0].

2

8、解：（1 ）依题意可设椭圆方程为 笃 y 2

1,

a

则右焦点F 7a 2

1,0

由题设1

山1

3，解得a

2

3 ,

故所求椭圆的方程为 (2)设 P(x p ,y p )、M(X M ,y M )、 N(X N ,y N )，

所以

X i X 2

kX m

y 2

1

3

X1 X2

得(3k21)X2 6mkX 3(m21) 0

2

X P

k

AP

9、解：(I) AM Q 直线与椭圆相交,

(6mk)2

4(3k 2

1) 3(m 2

1) 0 m 2

X M X N 3mk

.

---------- —2——，从而 y P kx P m

2

3k 2

1 y P 1 m 3k

2 1

，又 |AM | 3k 2

m 3 k 2 3mk

2 则：m 3k 1

3mk

X p 1，即 2m k

I AN I ， 3k 2

3k 2

1,①

AP 1，②

MN ,

把②代入①得m 2

2m ，解 0 由②得k 2

31 0

，解得

1 综上求得m 的取值范围是1

2

2AP, NP AM 0.

???NP 为AM“的垂直平分线，???

|NA|=|NM|

又 |CN | | NM | 272, |CN |

|AN | 242

2.

???动点N 的轨迹是以点 C (- 1 , 0 ), c A (1 , 0)为焦点的椭圆.

「且椭圆长轴长为2a 2^2,焦距2c=2.

72,C 1,b 2 1.

X 2

???曲线E 的方程为 一

2

1.

(n)当直线GH 斜率存在时,

设直线GH 方程为y kx 2,代入椭圆方程 y 2

1, 1 2 2

得(2 k )x 4kx

0. 由 0得k 2

设 G(X 1,y 1),H(X 2,y 2),则兀

X 2

「1X 2

3

2

3

厂 k 2

X 1 X 2, 又 FG FH,

(X 1,y 1 2)

(X 2,y 2 2)

X 1 X 2 (1 )X 2,X 1X 2

2

X 2 X 1 X 2)2 (

1

(占)

2 3

16

(1 )2

3.

1

k 2

2

)2

,整理得

1) / 3 / k 2, 4

16 16 T

1

聲解得丄

又当直线 1,

1.

GH 斜率不存在, 方程为

0,FG

1,即所求的取值范围是 1—'

严

1,1) 3 1o 、解：（1）由题意可得，c 1 , a 2 , ? b 11

、

???所求的椭圆的标准方程为: (2)设 M (X o ,y o) (x o 且 MP (t 由 MP MH t(2 X o )

2），则 X o ,

可得 2 y 3 2 X o 4 2 y o 3 y o ), MH MP MH X o ) y o 2

(2 X o , o ,即

?(t X o )(2

由①、②消去y o 整理得

1x^ 2x o 3.

4

2,

X o ) 1 ??? 2 X o

???t 的取值

范围

c

解：（I ）由题意知e 一

a

”为(2, 所以e 2

???X o 即a 2

2b 2

.又因为b

1

4Xo

t 1.

1)

. 2

c ~2 a

2

1，所以a

a 2

b 2

2

a

2, b 2

X

2

故椭圆C的方程为——

2

(n)由题意知直线AB的斜率存在.

设AB: y k(x 2) , A(X i,y i), B(X2,y2), P(x,y),

k(x 2),

得(i 2k2)X2 i. 8k2X 8k2 2 0.

V OA OB top ?/ PA PB < 64k4

X i X2

?-

(X i

y i y2

t

4(2k2i)(8k2

8k2

i 2k2，

X2, y i y2)

2) 0,

X i gX2

8k2

k2

i 2k

t(X, y), X

i

-[k(X i X2)

4k]

X i X2

t

4k

t(i 2k2)

8k2

2~

t(i 2k )

2 2

???点p在椭圆上」而

2k2)2(4k)2

2k^

???i6

k2

t2(i 2k2).

k2???J i k2X

i X2

2^5 “

T，-(i

2

k )[(X

i

X2)2 4X i gX2]

20

9

4g8k^] 20

9

???(4

k2

,v i6k2

i)(i4k2 i3) 0,

t2(i 2k2) ,???

t2

丄276 亠2^/6

t —或—

3 3

???

k2

i6k28

i 2k2，

厂

???实数t取值范围为(2,空◎)

3

誓2).

2 12、解、设椭圆方程为爲

a

2

x

b2

1，由题意可得

13、解:设点

因为

a 2,

b 72,

c 2^2 ,

设AB的直线方程：y丘X m .

y V2x m

由x2 y2，得4x2

———1

2 4

2V2mx 2 m 4 0

,

由(2J2m)216( m24) 0，得2^2m 242

P到AB的距离为d ImI

43，

则S

2

故椭圆方程为—

4

1 1 1

2 |m I

PAB 2 I AB I d 2*4 尹)3 気

当且仅当m

的坐标为

x o，y

x,y

.22

m2( m28) J l(m m

2 8)2

2^2,242取等号, 、三角形PAB面积的最大值为J2 。

，点P的坐标为X0,y0 ，

2y o，所以X o x, y o

2 2 2

x。，y。在圆x y 1上，所以x。

将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为

2

J 1. 4

(n)由题意知，|t I 1 .

当t 1时，切线丨的方程为y 1，

点A、B的坐标分别为( ^,1),^^,1), 此时I AB I J3，当t 1时，同理可得I AB I J3 ；

当|t| 1时，设切线丨的方程为”

y

kx m, k R