专题13解析几何(1)-2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编(Word版含解析)
专题13 解析几何（1）解析几何小题：10年20考，每年2个！太稳定了！太重要了！简单的小题注重考查基础知识和基本概念，综合的小题侧重考查直线与圆锥曲线或直线与圆的位置关系，多数题目比较单一，一般一个容易的，一个较难的．1．（2019年）双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ）A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50D ．1cos50【答案】D【解析】双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y ＝bx a ±，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得tan130tan 50ba -==-，则sin 50tan 50cos50b a ==，∴22222221b c a c a a a-==- 222sin 5011cos 50cos 50==-，得221cos 50e =，∴1cos50e =．故选D ． 2．（2019年）已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（ ）A ．22x +y 2＝1B ．23x +22y ＝1C ．24x +23y ＝1D ．25x +24y ＝1【答案】B【解析】∵|AF 2|＝2|BF 2|，∴|AB |＝3|BF 2|，又|AB |＝|BF 1|，∴|BF 1|＝3|BF 2|，又|BF 1|+|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，|BF 1|＝32a ，在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O ＝1a，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 2F 1＝223422222a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯，根据cos ∠AF 2O +cos ∠BF 2F 1＝0，可得1a +2422a a-＝0，解得a 2＝3，∴a b 2＝a 2﹣c 2＝3﹣1＝2．∴椭圆C 的方程为23x+22y ＝1．故选B ．3．（2018年）已知椭圆C ：22x a+24y ＝1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】椭圆C ：22x a +24y ＝1的一个焦点为（2，0），可得a 2﹣4＝4，解得a ＝c ＝2，∴e ＝ca ＝．故选C ． 4．（2018年）直线y ＝x +1与圆x 2+y 2+2y ﹣3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．【答案】【解析】圆x 2+y 2+2y ﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为2，所以|AB |＝=．5．（2017年）已知F 是双曲线C ：x 2﹣23y＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】D 【解析】由双曲线C ：x 2﹣23y ＝1的右焦点F （2，0），PF 与x 轴垂直，设（2，y ），y ＞0，则y ＝3，则P （2，3），∴AP ⊥PF ，则丨AP 丨＝1，丨PF 丨＝3，∴△APF 的面积S ＝12×丨AP 丨×丨PF 丨＝32，同理当y ＜0时，则△APF 的面积S ＝32，故选D ．6．（2017年）设A ，B 是椭圆C ：23x +2y m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m的取值范围是（ ） A ．（0，1]∪[9，+∞） B ．（03]∪[9，+∞） C ．（0，1]∪[4，+∞） D ．（03]∪[4，+∞）【答案】A【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，0＜m ＜3，∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO 3m3解得：0＜m ≤1；当椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO 3m3，解得：m ≥9，∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞），故选A ．7．（2016年）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】设椭圆的方程为22221x y a b+=（0a b >>），直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线l 的方程为1x y c b +=，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，可得：22211b c b =+，4＝b 2（2211c b +），∴223b c =，2223a c c -=，∴e ＝c a ＝12．故选B ． 8．（2016年）设直线y ＝x +2a 与圆C ：x 2+y 2﹣2ay ﹣2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝C 的面积为 ． 【答案】4π【解析】圆C ：x 2+y 2﹣2ay ﹣2＝0的圆心坐标为（0，a ），∵直线y ＝x +2a 与圆C ：x 2+y 2﹣2ay ﹣2＝0相交于A ，B 两点，且|AB |＝0，a ）到直线y ＝x +2a 的距离d，即22a +3＝a 2+2，解得：a 2＝2，∴圆的半径r ＝2．故圆的面积S ＝4π． 9．（2015年）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝（ ） A ．3 B ．6C ．9D ．12【答案】B【解析】椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点（c ，0）与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点（2，0）重合，可得c ＝2，a ＝4，b 2＝12，椭圆的标准方程为2211612x y +=，抛物线的准线方程为x ＝﹣2，由22211612x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得y ＝±3，所以A （﹣2，3），B （﹣2，﹣3），所以|AB |＝6．故选B ． 10．（2015年）已知F 是双曲线C ：x 2﹣28y ＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A （0，）．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 ．【答案】【解析】由题意，设F ′是左焦点，则△APF 周长＝|AF |+|AP |+|PF |＝|AF |+|AP |+|PF ′|+2≥|AF |+|AF ′|+2（A ，P ，F ′三点共线时，取等号），直线AF ′的方程为13x +=-与x 2﹣28y ＝1联立可得y 2+y ﹣96＝0，∴P 的纵坐标为，∴△APF周长最小时，该三角形的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．11．（2014年）已知双曲线2223x y a -＝1（a ＞0）的离心率为2，则实数a ＝（ ）A ．2B ．2C ．2D ．1【答案】D【解析】由题意，e ＝ca＝a ＝2，解得，a ＝1．故选D ．12．（2014年）已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A （x 0，y 0）是C 上一点，AF ＝|54x 0|，则x 0＝（ ） A ．1 B ．2C ．4D ．8【答案】A【解析】抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F （14，0），∵A （x 0，y 0）是C 上一点，AF ＝|54x 0|，x 0＞0．∴054x ＝x 0+14，解得x 0＝1．故选A ．13．（2013年）已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0C 的渐近线方程为（ ）A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝±xD ．y ＝12x ±【答案】D【解析】由双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0），则离心率e ＝ca4b 2＝a 2，故渐近线方程为y ＝±ba x ＝12±x ，故选D ．14．（2013年）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝，则△POF 的面积为（ ）A ．2B ．C ．D ．4【答案】C【解析】∵抛物线C 的方程为y 2＝∴2p ＝，可得2p=，得焦点F ，0），设P （m ，n ），根据抛物线的定义，得|PF |＝m +2p＝m ＝m ＝P 在抛物线C 上，得n 2＝×＝24，∴n ＝＝±，∵|OF |＝，∴△POF 的面积为S ＝12|OF |×|n |＝12262⨯⨯＝23，故选C ．15．（2012年）设F 1、F 2是椭圆E ：22x a +22y b ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x ＝32a上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF 2|＝|F 2F 1|，∵P 为直线x ＝32a上一点，∴3222a c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴34c e a ==，故选C ．16．（2012年）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于点A 和点B ，|AB |＝3C 的实轴长为（ ） A 2 B ．22C ．4D ．8【答案】C【解析】设等轴双曲线C ：x 2﹣y 2＝a 2（a ＞0），y 2＝16x 的准线l ：x ＝﹣4，∵C 与抛物线y 2＝16x 的准线l ：x ＝﹣4交于A ，B 两点，43AB =，∴A （﹣4，23），B （﹣4，﹣23），将A 点坐标代入双曲线方程得()()2224234a =--=，∴a ＝2，2a ＝4．故选C ．17．（2011年）椭圆22168x y +＝1的离心率为（ ） A ．13B ．12C ．33D ．22【答案】D【解析】根据椭圆的方程22168x y +＝1，可得a ＝4，b ＝22，则c ＝168-＝22，所以椭圆的离心率为e ＝c a＝22，故选D ．18．（2011年）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直．l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为（ ） A ．18 B ．24C ．36D ．48【答案】C【解析】设抛物线的解析式为y 2＝2px （p ＞0），则焦点为F （2p ，0），对称轴为x 轴，准线为x ＝﹣2p，∵直线l 经过抛物线的焦点，A 、B 是l 与C 的交点，又∵AB ⊥x 轴，∴|AB |＝2p ＝12，∴p ＝6，又∵点P 在准线上，∴|DP|＝（22p p +-）＝p ＝6，∴S △ABP ＝12（|DP|•|AB|）＝12×6×12＝36，故选C ．19．（2010年）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（ ）A B C D 【答案】D【解析】∵渐近线的方程是y ＝±b a x ，∴2＝b a ⨯4，b a ＝12，a ＝2b ，c ＝2a ，e ＝c a＝2，D ． 20．（2010年）圆心在原点上与直线x +y ﹣2＝0相切的圆的方程为 ． 【答案】x 2+y 2＝2【解析】圆心到直线的距离r=x 2+y 2＝2．。
2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题05 三角函数(原卷版)
专题5：三角函数三角函数：10年26考，每年至少1题，有时2题或3题，当考2题或3题时，就不再考三角大题了．题目难度较小，主要考查公式熟练运用，平移、图象与性质、化简求值、解三角形等问题（含应用题），基本属于“送分题”．小心平移（重点+难点+几乎年年考）．2013年16题对化简要求较高，难度较大．考三角函数小题时，一般是一个考查三角恒等变换或三角函数的图象与性质，另一个考查解三角形．1．（2019年）tan255°＝（ ）A ．﹣2B ．﹣C ．2D ．2．（2019年）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ﹣b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝14-，则b c＝（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．33．（2019年）函数f （x ）＝sin （2x +32π）﹣3cos x 的最小值为 ． 4．（2018年）已知函数f （x ）＝2cos 2x ﹣sin 2x +2，则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最大值为3B ．f （x ）的最小正周期为π，最大值为4C ．f （x ）的最小正周期为2π，最大值为3D ．f （x ）的最小正周期为2π，最大值为45．（2018年）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α＝23，则|a ﹣b |＝（ ）A ．15BCD ．16．（2018年）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin C +c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2+c 2﹣a 2＝8，则△ABC 的面积为 ．7．（2017年）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin B +sin A （sin C ﹣cos C ）＝0，a ＝2，c，则C ＝（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 8．（2017年）已知α∈（0，2π），tanα＝2，则cos （α﹣4π）＝ ．9．（2016年）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．310．（2016年）将函数y ＝2sin （2x +6π）的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A ．y ＝2sin （2x +4π） B ．y ＝2sin （2x +3π） C ．y ＝2sin （2x ﹣4π） D ．y ＝2sin （2x ﹣3π） 11．（2016年）已知θ是第四象限角，且sin （θ+4π）＝35，则tan （θ﹣4π）＝ ． 12．（2015年）函数f （x ）＝cos （ωx +φ）的部分图象如图所示，则f （x ）的单调递减区间为（ ）A ．（k π﹣14，k π+34），k ∈Z B ．（2k π﹣14，2k π+34），k ∈Z C ．（k ﹣14，k +34），k ∈Z D ．（2k ﹣14，2k +34），k ∈Z 13．（2015年）已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C ．（1）若a ＝b ，求cos B ；（2）设B ＝90°，且a 2，求△ABC 的面积．14．（2014年）若tanα＞0，则（ ）A ．sinα＞0B ．cosα＞0C ．sin2α＞0D ．cos2α＞015．（2014年）在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos （2x +6π），④y ＝tan （2x ﹣4π）中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③16．（2014年）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝ m ．17．（2013年）函数f （x ）＝（1﹣cos x ）sin x 在[﹣π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．18．（2013年）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos 2A +cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝（ ）A ．10B ．9C ．8D ．519．（2013年）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝sin x ﹣2cos x 取得最大值，则cosθ＝ ．20．（2012年）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x ＝4π和x ＝54π是函数f （x ）＝sin （ωx +φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．34π 21．（2012年）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c 3a sin C ﹣c cos A ．（1）求A ；（2）若a ＝2，△ABC 3，求b ，c ．22．（2011年）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．4523．（2011年）设函数，则f （x ）＝sin （2x +4π）+cos （2x +4π），则（ ）A ．y ＝f （x ）在（0，2π）单调递增，其图象关于直线x ＝4π对称 B ．y ＝f （x ）在（0，2π）单调递增，其图象关于直线x ＝2π对称 C ．y ＝f （x ）在（0，2π）单调递减，其图象关于直线x ＝4π对称D ．y ＝f （x ）在（0，2π）单调递减，其图象关于直线x ＝2π对称 24．（2011年）△ABC 中，∠B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为 ．25．（2010年）若cos α＝45-，α是第三象限的角，则sin （α+4π）＝（ ）A ．10-B ．10C ．10-D ．1026．（2010年）在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ，∠ADB ＝135°．若AC AB ，则BD ＝ ．。
2019年高考新课标Ⅰ卷文数试题解析(正式版)(解析版)文件.doc
绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试本试卷共5页，满分150 分。
考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A= x|x 2 ，B= x|3 2x 0 ，则A．A B=3x|x B．A B 2C．A B3x|x D．A B= R 2【答案】 A【解析】由 3 2x0 得3x ，所以23 3A B { x | x 2} { x | x } { x | x } ，选A．2 22．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，⋯，x n，下面给出的指标中能够用来评估这种农作物亩产量稳定水准的是A．x1，x2，⋯，x n 的平均数B．x1，x2，⋯，x n 的标准差C．x1，x2，⋯，x n 的最大值D．x1，x2，⋯，x n 的中位数【答案】 B【解析】评估这种农作物亩产量稳定水准的指标是标准差或方差，故选B.3．下列各式的运算结果为纯虚数的是A．i(1+i) 2B．i2(1-i) C．(1+i) 2 D．i(1+i)【答案】 C【解析】由 2(1 i) 2i为纯虚数知选C．4．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】 B22 y5．已知 F 是双曲线C：x 1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，学/网点A 的坐标是(1，33)，则△APF 的面积为A．13B．12C．23D．32【答案】 D【解析】由2 2 2 4c a b 得c 2，所以F (2,0) ，将x2 代入2y2 1x ，得y 3，所以| PF |3，3又点 A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133 (2 1)22，选D．6．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是A．B．C．D．【答案】 A【解析】对于B，易知AB∥MQ ，则直线AB∥平面MNQ；对于C，易知AB∥MQ ，则直线AB∥平面MNQ ；对于D，易知AB∥NQ，则直线AB∥平面MNQ．故排除B，C，D，选A ．x 3y 3,x y 1, 则z=x+y 的最大值为7．设x，y 满足约束条件y 0,A．0 B．1 C．2 D．3【答案】 D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y经过A(3, 0) 时z 取得最大值，故z max 3 0 3，故选D．8．函数ysin2 x1 cosx的部分图像大致为A．B．C．D．【答案】 C【解析】由题意知，函数ysin 2x1 cos x为奇函数，故排除B；当x π时，y 0，故排除D；当x 1时，sin 2y 0，故排除A．故选C．1 cos 29．已知函数 f (x) lnx ln(2 x) ，则A．f (x) 在（0，2）单调递增B．f (x) 在（0，2）单调递减C．y= f (x) 的图像关于直线x=1对称D．y= f (x) 的图像关于点（1，0）对称【答案】 Cn n 的最小偶数n，那么在和两个空白框中，能够10．下面程序框图是为了求出满足 3 2 1000分别填入A ．A>1000 和n=n+1 B．A>1000 和n= n+2C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n= n+2 【答案】Dn n【解析】由题意，因为 3 2 1000 ，且框图中在“否”时输出，所以判定框内不能输入 A 1000 ，故填A 1000，又要求n为偶数且初始值为0，所以矩形框内填n n 2 ，故选 D.11．△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知sin B sin A(sin C cosC )0 ，a=2，c= 2 ，则C=A ．π12B．π6C．π4D．π3【答案】 B12．设A，B 是椭圆C：2 2x y3 m1长轴的两个端点，若 C 上存有点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1] [9, ) B．(0, 3] [9, )C．(0,1] [4, ) D．(0, 3] [4, )【答案】 Aa【解析】当0 m 3时，焦点在x轴上，要使 C 上存有点M 满足AMB 120 ，则tan 603b，即3m3 ，得0 m 1；当m 3 时，焦点在y 轴上，要使 C 上存有点M 满足AMB 120 ，则a b tan 60 3m，即 33，得m 9 ，故m 的取值范围为(0,1] [9, ) ，选A．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．13．已知向量a=（–1，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．【答案】7【解析】由题得a b(m 1,3)，因为(a b) a0，所以(m 1) 2 3 0 ，解得m 7 ．14．曲线2 1y xx在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】y x 1【解析】设y f ( x) ，则 f (x) 2x 12x，所以 f (1) 2 1 1，所以曲线2 1y xx在点(1, 2) 处的切线方程为y 2 1 ( x 1) ，即y x 1．15．已知π(0 )，，tan α=2，则2πcos ( )4=__________ ．【答案】3101016．已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA= A C，SB=BC，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【答案】36π【解析】取SC 的中点O，连接OA, OB ，因为SA AC, SB BC ，所以OA SC, O B SC ，因为平面SAC 平面SBC ，所以OA 平面SBC ，设OA r ，则1 1 1 13V S OA 2r r r r ，A SBC SBC3 3 2 3所以133r9r3，所以球的表面积为24πr36π.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）记S n为等比数列a n的前n项和，已知S2=2，S3=-6．（1）求a n的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【解析】（1）设{a}的公比为q．由题设可得n a(1q)2,12a(1q q) 6.1解得q2，a12．n 故{a}的通项公式为a(2)．n n（2）由（1）可得Snn na1(1q)22n(1)1q331．因为n3n2n142222n nS S(1)2[(1)]2S，n2n1n3333故S n1，S n，S n2成等差数列．18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且BAP CDP90．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，且四棱锥P-ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）由已知∠BAP∠CDP90，得AB AP，CD PD．因为AB∥CD，故AB PD，从而AB平面PAD．又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD．19．（12 分）为了监控某种零件的一条生产线的学科*程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16 个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8零件尺寸9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04抽取次序9 10 11 12 13 14 15 16零件尺寸10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得161x x 9.97 ，i16i 116 161 12 2 2s (x x) ( x 16x ) 0.212，i i16 16i 1 i 116162(i 8.5) 18.439，( x i x )(i 8.5) 2.78 ，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i 1,2, ,16 ．i 1i 1（1）求(x, )i(i 1,2,, 16)的相关系数r ，并回答是否能够认为这个天生产的零件尺寸不随生产过程i的实行而系统地变大或变小（若| r | 0.25 ，则能够认为零件的尺寸不随生产过程的实行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x3s,x3s)之外的零件，就认为这条生产线在这个天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程实行检查．（ⅰ）从这个天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程实行检查？（ⅱ）在(x3s,x3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）n(x x)(y y)i i附：样本(x,y)(i1,2,,n)的相关系数i i r i1n n22(x x)(y y)i i，0.0080.09．i1i1【解析】（1）由样本数据得(x,i)(i1,2,,16)的相关系数为i16r(x x)(i8.5)ii1161622(x x)(i8.5)i2.780.2121618.4390.18．i1i1因为|r|0.25，所以能够认为这个天生产的零件尺寸不随生产过程的实行而系统地变大或变小．（2）（i）因为x9.97,s0.212，由样本数据能够看出抽取的第13个零件的尺寸在(x3s,x3s)以外，所以需对当天的生产过程实行检查．（ii）剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(169.979.22)10.02，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02．16222x160.212169.971591.134，ii1剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为11522(1591.1349.221510.02)0.008，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.0080.09．20．（12分）设A，B为曲线C：y=2x4上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM BM，求直线AB的方程．【解析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x x，122x1y，142x2y，x1+x2=4，24于是直线AB的斜率k y y x x1212x x1241．21．（12分）已知函数f(x)=e x(e x-a)-a2x．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)0，求a的取值范围．【解析】（1）函数f(x)的定义域为(,)，2x x2x xf(x)2e ae a(2e a)(e a)，①若a0，则f(x)e2x，在(,)单调递增．②若a0，则由f(x)0得x ln a．当x(,ln a)时，f(x)0；当x(ln a,)时，f(x)0，故f(x)在(,ln a)单调递减，在(ln a,)单调递增．a③若a0，则由f(x)0得x ln()．2a a a当x(,ln())时，f(x)0；当x(ln(),)时，f(x)0，故f(x)在(,ln()) 222单调递a减，在(ln(),)2单调递增．（2）①若a0，则()e2f x，所以f(x)0．x②若a0，则由（1）得，当x ln a时，f(x)取得最小值，最小值为2f(ln a)a ln a．从而当且仅当a a，即a1时，f(x)0．2ln0a③若a0，则由（1）得，当x ln()时，f(x)取得最小值，最小值为2a23af(ln())a[ln()]．从242而当且仅当23aa[ln()]0，即4234a2e时f(x)0．3综上，a的取值范围为4[2e,1]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为xy3cos,sin,（θ为参数），直线l的参数方程为x a4t,（为参数）．ty1t,（1）若a1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为17，求a．【解析】（1）曲线C的普通方程为2x921y．当a1时，直线l的普通方程为x4y30．x4y30,由2x92y1解得xy3,或xy21252425.,从而C与l的交点坐标为(3,0)，2124 (,)2525．（2）直线l的普通方程为x4y a40，故C上的点(3cos,sin)到l的距离为|3cos4sin a4|d．17当a4时，d的最大值为9a17．由题设得a91717，所以a8；当a4时，d的最大值为a171．由题设得a17117，所以a16．综上，a8或a16．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）2ax已知函数f(x)x4，g(x)|x1||x1|．（1）当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；（2）若不等式f(x)g(x)的解集包含[–1，1]，求a的取值范围．（2）当x[1,1]时，g(x)2．所以f(x)g(x)的解集包含[1,1]，等价于当x[1,1]时f(x)2．又f(x)在[1,1]的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1．所以a的取值范围为[1,1]．.。
(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题13解析几何(1)文(含解析)
专题13 解析几何（1）解析几何小题：10年20考，每年2个！太稳定了！太重要了！简单的小题注重考查基础知识和基本概念，综合的小题侧重考查直线与圆锥曲线或直线与圆的位置关系，多数题目比较单一，一般一个容易的，一个较难的．1．（2019年）双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（ ） A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50 D ．1cos50【答案】D 【解析】双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y ＝b x a±，由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°，得tan130tan 50b a-==-，则sin 50tan 50cos50b a ==，∴22222221b c a c a a a -==- 222sin 5011cos 50cos 50==-，得221cos 50e =，∴1cos50e =．故选D ． 2．（2019年）已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（ ）A ．22x +y 2＝1 B ．23x +22y ＝1 C ．24x +23y ＝1 D ．25x +24y ＝1 【答案】B 【解析】∵|AF 2|＝2|BF 2|，∴|AB |＝3|BF 2|，又|AB |＝|BF 1|，∴|BF 1|＝3|BF 2|，又|BF 1|+|BF 2|＝2a ，∴|BF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，|BF 1|＝32a ，在Rt △AF 2O 中，cos ∠AF 2O ＝1a，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠BF 2F 1＝223422222a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯，根据cos ∠AF 2O +cos ∠BF 2F 1＝0，可得1a +2422a a -＝0，解得a 2＝3，∴a b 2＝a 2﹣c 2＝3﹣1＝2．∴椭圆C 的方程为23x +22y ＝1．故选B ．3．（2018年）已知椭圆C ：22x a +24y ＝1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3【答案】C【解析】椭圆C ：22x a +24y ＝1的一个焦点为（2，0），可得a 2﹣4＝4，解得a ＝，∵c ＝2，∴e ＝c a ＝．故选C ． 4．（2018年）直线y ＝x +1与圆x 2+y 2+2y ﹣3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．【答案】【解析】圆x 2+y 2+2y ﹣3＝0的圆心（0，﹣1），半径为2，所以|AB |＝=．5．（2017年）已知F 是双曲线C ：x 2﹣23y ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是（1，3），则△APF 的面积为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】D 【解析】由双曲线C ：x 2﹣23y ＝1的右焦点F （2，0），PF 与x 轴垂直，设（2，y ），y ＞0，则y ＝3，则P （2，3），∴AP ⊥PF ，则丨AP 丨＝1，丨PF 丨＝3，∴△APF 的面积S ＝12×丨AP 丨×丨PF 丨＝32，同理当y ＜0时，则△APF 的面积S ＝32，故选D ．6．（2017年）设A ，B 是椭圆C ：23x +2y m＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（ ）A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（03]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（03]∪[4，+∞）【答案】A【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，0＜m ＜3，∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO 3m 3解得：0＜m ≤1；当椭圆的焦点在y 轴上时，m ＞3，∴M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，∠AMB ≥120°，∠AMO ≥60°，tan ∠AMO 3m 3，解得：m ≥9，∴m 的取值范围是（0，1]∪[9，+∞），故选A ． 7．（2016年）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B 【解析】设椭圆的方程为22221x y a b+=（0a b >>），直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线l 的方程为1x y c b +=，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，可得：22211b c b =+，4＝b 2（2211c b +），∴223b c =，。
2019年高考新课标(全国卷1)文数 真题(word版,含解析)
2019年高考新课标全国1卷（文科数学）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．设3i12iz -=+，则z =A ．2B CD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x++在[—π，π]的图像大致为 A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A +B ．A =12A +C ．A =112A +D ．A =112A+10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考全国卷I数学(文)试题及参考答案-9页精选文档
希望同学们在学习和做题过程中有何问题时，能够和我及时沟通，我将尽力为大家解决课程中所遇到的问题，我的邮箱地址：guowx@一、考核形式本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。
考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格。
其中形成性考核成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%。
形成性考核的内容及成绩的评定按《中央广播电视大学人才培养模式改革与开放教育试点高等数学基础形成性考核册》的规定执行。
期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟。
二、试题类型填空题：每小题4分，共20分；单选题：每小题4分，共20分；计算题：每小题11分，共44分；应用题：16分。
三、复习要求（一）函数、极限与连续1．理解函数的概念，了解分段函数．能熟练地求函数的定义域和函数值；2．了解函数的奇偶性；3．掌握极限的四则运算法则.掌握求极限的一些方法；4．了解无穷小量的概念，了解无穷小量的运算性质；5．了解函数的连续性和间断点的概念。
（二）一元函数微分学1.理解导数与微分概念，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；2.熟记导数与微分的基本公式，熟练掌握导数与微分的四则运算法则；3.熟练掌握复合函数的求导法则；4.掌握求显函数的二阶导数的方法；5.掌握用一阶导数求函数单调区间与极值点的方法，了解可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；6.掌握求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。
（三）一元函数积分学1. 理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质以及积分与导数(微分)的关系；2. 熟记积分基本公式，熟练掌握第一换元积分法和分部积分法；3. 掌握定积分的换元积分法和分部积分法；4. 会计算较简单的无穷积分。
四、综合练习（一）单项选择题1. 下列各函数对中，（ ）中的两个函数相等．2(A)()()(B) ()()f x g x xf xg x x ====34(C) ()ln ()3ln (D) ()ln ()4ln f x x g x xf x xg x x ====答案C2．设函数f(x)的定义域是整个x 轴，则f(x)-f(-x)的图形关于（ ）对称.(A) (B) 0 (C) 0 (D) y xx y ===坐标原点答案D3. 当0→x 时，变量（ ）是无穷小量．231sin (A)(B)(C) e 1(D) xx x xxx-答案C4. 设()f x 在x=0处可导，则0(2)(0)limh f h f h→--=（ ）． (A) (0)(B)(0)(C) 2(0)(D)2(0) f f f f ''''--答案D5. 下列等式不成立的是（ ）．(A) ()(B)sin (cos )x x e dx d e xdx d x =-=1(D) ln ()d xdx d x==答案D6. 函数322-+=x x y 在区间)4,2(内满足（ ）． (A) 先单调上升再单调下降 (B) 单调上升 (C) 先单调下降再单调上升 (D) 单调下降 答案B (220y x '=+>Q )()cos ()d (A) sin (B) cos (C) sin (D) cos f x x f x x x c x c x c x c'==++-+-+⎰若，则（）7. ．答案B8. 若)(x f 的一个原函数是x1，则=')(x f （ ）． 32211(A) ln (B) (C) (D) x x x x-答案B （211()()()f x x x -''''==Q ）9. =+-⎰-x x x x d )22cos (2π2π7（ ）．π(A) 0(B) π(C)(D) 2π2答案D10.下列无穷积分收敛的是（ ）．30111(A) cos d (B) e d (C) (D) d x x xxx x x+∞+∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰答案B （二）填空题 1.函数ln()(0,0)y x a a b =+>>的定义域是 ． 答案 a x b -<<2. 若函数2(1)2f x x x a +=++，则()f x = ．答案 2()1f x x a =-+ （22(1)211(1)1f x x x a x a +=++-+=+-+Q ） 3. 若函数sin ()1xf x x=-，当x → 时()f x 是无穷小量． 答案 04. 函数210sin 0x x y x x ⎧+>=⎨≤⎩的间断点是 ．答案0=x5. 若1(1)0()20x x x f x x kx ⎧⎪+<=⎨⎪+≥⎩，在0=x 处连续，则=k ．答案e6. 若2()ln f x x =，则[(2)]f '= . 答案 07. 曲线2)(+=x x f 在)2,2(处的切线斜率是 ． 答案41（1()(2)4f x f ''===Q ）8．函数22y x =+的单调增加区间是 ． 答案 (0,)+∞ 9.=⎰x xx d e d d 2． 答案 2e x 10. 11d px x +∞⎰当p 时收敛． 答案 1p >11． 3121d (4)x x x -=+⎰ ． 答案 0（三)计算题1. 计算极限0tan limsin x xxa b →．解 利用重要极限1sin lim0=→x xx ，及极限的运算法则得 000sin tan sin 1cos lim lim lim sin sin sin cos x x x x x x a a a a b b b x x x x ax →→→==⋅0sin 1lim sin cos x a a a xx b x b x x b a →=⋅⋅a b=2. 计算极限5456lim 221--++-→x x x x x ．解 221165(1)(5)42lim lim 45(1)(5)63x x x x x x x x x x →-→-++++===---+-- 3. 计算极限2sin()lim()x ax a x a b x ab→--++． 解 利用重要极限1sin lim0=→xxx ，及极限的运算法则得2sin()sin()11limlim ()()()()x ax a x a x a x a b x ab x a x b a b →→--=⋅=-++---4. 设22sin x y x =，求．解 由导数四则运算法则和复合函数求导法则得2222(2)sin 2(sin )(2ln 2)sin 2(cos 2)x x x x y x x x x x '''=+=+⋅222(ln 2sin 2cos )x x x x =+5. 设ln cos a y x x =+，求y d ．解 由微分的公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则得11d d [ln cos ][cos (sin )]a a y y x x x dx a x x dx x-''==+=+-11[cos sin ]a a x x dx x -=-⋅6. 设sin cos x x y e e =-，求y d ．解 由微分的公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则得sin sin (cos )(sin cos )x x x x x dy e e dx e e e x dx '=-=-⋅-⋅sin (sin cos )x x x e e e x dx =-+7. 计算积分ln d xx x⎰． 解 由换元积分法得 ln 1d ln d ln d(ln )x x x x x x x x=⋅=⎰⎰⎰2ln 2x c =+ 8. 计算积分⎰x xxd e21．解 由换元积分法得 ⎰⎰-=)1(d e d e 121x x xx xc x +-=1e9.计算积分x 解 由换元积分法得22d 2x x x c '====-⎰⎰10． 计算定积分10e d ax x x ⎰．解 由分部积分法得 设 ,e ,axu x v '== 得到e ,axv a=1111100000e e e e 1e d d()|d e d ax ax ax a axaxx x x x x x a a a a a ==-=-⎰⎰⎰⎰11022220e 1e e e e 1e d()|a a ax a a axax a aa a a a a =-=-=-+⎰11. 计算积分 1ln d (1)e a x x x a ≠-⎰．解 由分部积分法得 设 ln ,,au x v x '== 得到1,1a x v a +=+ 11111111ln ln d ln d()|d(ln )111eee e x x x x x x x x x ααααααα+++==-+++⎰⎰⎰11111d 11e e x x x αααα++=-⋅++⎰ 111d 11e e x x αααα+=-++⎰ 111112221|1(1)1(1)(1)e e x e e ααααααααα++++=-=-++++++ 由此可得1ln d (0)ex xa =⎰1ln d (1)ex x xa =⎰11()2ex a -=⎰21ln d (2)e x xa x =-⎰（四）应用题1. 用钢板焊接一个容积为43m 、底为正方形的长方体无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22x x xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，由于S '经过驻点x=2时，符号是由负变正，所以该驻点是实际问题的最小值点。
2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题14 解析几何(2)(原卷版)
专题12 解析几何（2）解析几何大题：10年10考，每年1题．命题的特点：2011-2015年和2019年的载体都是圆，利用圆作为载体，更利于考查数形结合，圆承担的使命就是“形”，尽量不要对圆像椭圆一样运算，2016-2018年的载体连续3年都是抛物线，2010年的载体是椭圆．1．（2019年）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2＝0相切．（1）若A 在直线x +y ＝0上，求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |﹣|MP |为定值？并说明理由．2．（2018年）设抛物线C ：y 2＝2x ，点A （2，0），B （﹣2，0），过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：∠ABM ＝∠ABN ．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t （t ≠0）交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由．5．（2015年）已知过点A （0，1）且斜率为k 的直线l 与圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝1交于点M 、N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若OM ⋅ON u u u u r u u u r ＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |．6．（2014年）已知点P （2，2），圆C ：x 2+y 2﹣8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．7．（2013年）已知圆M ：（x +1）2+y 2＝1，圆N ：（x ﹣1）2+y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C的方程；（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．8．（2012年）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点．（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n 距离的比值．9．（2011年）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（1）求|AB|；（2）若直线l的斜率为1，求b的值．。
专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题(解析版)
专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．典型例题【例1】（2020•全国二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为椭圆E 上任意一点，12PF PF 的最大值为1，点1A 为椭圆E 的左顶点，△12A PF ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）动直线l 与椭圆E 交于不同两点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，O 为坐标原点，M 为AB 的中点______．是否存在实数λ，使得||||OM AB λ恒成立？若存在，求λ的最小值；若不存在，说明理由． 从①AOB ∆的面积为1，②||||m n m n +=-（其中向量1122(,),(,)x y x ym n a b a b==这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【分析】（Ⅰ）先由12PF PF 的最大值为211b ⇒=，再由△12A PF 24a ⇒=，从而求出椭圆E 的方程；（Ⅰ）先设出直线l 的方程，再与椭圆E 的方程联立，求出||AB 、点O 到直线l 的距离d ，接着求出AOB ∆的面积的关系式，进而得到变量之间的关系，最后解决λ的存在性与最值问题． 【解答】解：（Ⅰ）设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则2200221x y a b +=，0[x a ∈-，]a10(PF c x =--，0)y -，20(PF c x =-，0)y -，222222212002c PF PF x y c x b c a=+-=+-，0[x a ∈-，]a ，∴当0x a =± 时，212()1max PF PF b ==．又1201()()||22A PF a c b Sa c y +=⨯+=，又222a b c =+，可解得：2a =，1b =，c =所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（Ⅰ）当选择①时，假设存在实数λ，使得||||OM AB λ恒成立．设动直线:l x ky t =+，由2214x ky t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立可得：222(4)240k y kty t +++-=． 222222122212244(4)(4)16(4)02444k t k t k t kt y y k t y y k ⎧⎪=-+-=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩， 24(4t M k +，2)4kt k -+．||1AB == 点O 到直线:l x ky t=+的距离d =，1||12ABOS AB d ∆∴=⨯⨯==， 222224(1)(4)(4)2(1||||k k t t k OM AB ++-+==，令244k m +==4m ．令33m y m -=，4m ，则492my m -'=，令902y m '=⇒=，y 在[4，9]4单调递增，在9[4，)+∞单调递减， 故当92m =也即212k =时，max y ，(||||)maxOM AB =． 又||||OM AB λ恒成立， 所以43λ． 故存在λ，使得||||OM AB λ恒成立，且λ 【例2】（2020春•全国月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=，(2,0)A ，线段BC 的中点是坐标原点O ，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1214k k =-．（1）求B 点的轨迹方程；（2）设直线AB ，AC 分别交圆O 于点E 、F ，直线EF 、BC 的斜率分别为EF k 、BC k ，已知直线EF 与x 轴交于点6(5D -，0)问：是否存在常数λ，使得BC EF k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设(,)B x y ，则(,)C x y --，根据1214k k =-．即可求出B 点的轨迹方程；（2）由题意可知，直线AB 的方程为：1(2)y k x =-，与椭圆方程联立，求出点B 的坐标，进而求出BC k ，再联立直线AB 与圆O 方程，求出点E 的坐标，进而求出EF k ，从而得到25BC EF k k =，故存在常数25，使得25BC EF k k =． 【解答】解：（1）设(,)B x y ，则(,)C x y --，又(2,0)A ，∴212212244y y y k k x x x ===--+-，∴2214x y +=， ∴点B 的轨迹方程为2214x y += (0)y ≠；（2）由题意可知，直线AB 的方程为：1(2)y k x =-，联立方程122(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222111(41)164(41)0k x k x k +-+-=， ∴21214(41)241B k x k -=+，21212(41)41B k x k -∴=+，121441Bk y k -=+， ∴直线BC 的斜率12102041B BC B y kk x k --==--， 联立方程122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：2222111(1)4440k x k x k +-+-=，∴21214421E k x k -=+，∴21212(1)1E k x k -=+，2141E ky k -=+， ∴直线EF 的斜率121056415E EF E y k k k x --==-+， ∴21121124124155BC EF k k k k k k --==--， 25BC EF k k ∴=，∴存在常数25，使得25BC EF k k =． 【变式训练】（2020•3月份模拟）已知椭2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点E 其左、右顶点分别为A ，B ，且离心率e =． （1）求椭圆C 的方程；（2）设0(M x ，0)y 为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN AB ⊥于点N ，直线00:240l x x y y +-=． ①证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；②设过点A 且与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．【分析】（1）根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆C 的方程； （2）①联立直线l 与椭圆方程，结合0(M x ，0)y 在椭圆上，220024x y +=，可求出唯一交点坐标0(x ，0)y ，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M ；②先求出点P 的坐标，进而得到直线PB 的方程，再求出线段MN 的中点坐标，即可验证线段MN 的中点坐标满足直线PB 的方程，即线PB 经过线段MN 的中点． 【解答】解：（1）由题意可知，22222211a b ca ab c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=；（2）①由题意知00y ≠，联立方程220142240x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：22220000(2)81680x y x x x y +-+-=， 0(M x ，0)y 在椭圆上，∴220024x y +=，∴220020x x x x -+=，即20()0x x -=，0x x ∴=，0y y =，∴直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M ；②由（1）知(2,0)A -，(2,0)B ，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为：2x =-， 结合方程00240x x y y +-=，得点002(2,)x P y +-，∴直线PB 的斜率000202224x y x k y +-+==---， ∴直线PB 的方程为：002(2)4x y x y +=--， MN AB ⊥于点N ，0(N x ∴，0)，线段MN 的中点坐标为0(x ，)2y ， 令0x x =．得20000024(2)44x x y x y y +-=--=， 220024x y +=， 02y y ∴=， ∴直线PB 经过线段MN 的中点0(x ，)2y ． 专题强化1．（2020春•全国月考）已知椭圆22:162x y C +=，过(4,0)Q -的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且与y 轴相交于P 点． （1）若32PA AQ =，求直线l 的方程； （2）设A 关于x 轴的对称点为C ，证明：直线BC 过x 轴上的定点．【分析】（1）设直线l 的方程为(4)y k x =+，联立椭圆方程，可得x 的二次方程，设出A 的横坐标，求得P 的坐标，运用向量共线的坐标表示，解得A 的横坐标，代入二次方程解得斜率，进而得到所求直线方程； （2）运用韦达定理，由对称性可得C 的坐标，由点斜式方程可得直线l 的方程，可令0y =，解得x 的表达式，化简整理，即可得到定点．【解答】解：（1）由题意可设直线l 的方程为(4)y k x =+，联立椭圆方程22360x y +-=， 可得2222(13)244860k x k x k +++-=，(*) 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 由(4,0)Q -，(0,4)P k ，32PA AQ =，可得1130(4)2x x -=--， 解得1125x =-，代入方程(*)可得222144288(13)4860255k k k +-+-=，解得k =，则直线l的方程为4)y x =+； （2）证明：由题设可得1(C x ，1)y -，由（1）可得21222413k x x k+=-+，212248613k x x k -=+， 再由（1）可得直线BC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得122112121212121212(4)(4)24()(8)8x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x x x ++++++===+++++ 22229612963248242k k k k --==--++， 故直线BC 过x 轴上的定点3(2-，0)．2．（2020•3月份模拟）已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C交于A 、B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，若点P 满足3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值． 【分析】（1）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，求出点B 的坐标，再根据OB AB ⊥，建立关于a 的方程，解出即可；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，||||NP m PQ =，由已知，将点Q 的坐标用点M ，N 表示，再由点Q 在椭圆上，得到关于m 的方程，解出即可．【解答】解：（1）由题意得，设直线AB 的方程：x y a =-，与椭圆联立整理得：22(1)20a y ay +-=， 221B ay a ∴=+， 322211B a a a x a a a-∴=-=++， 因为OB AB ⊥，∴321B B y a x a a==--，1a >，解得：23a =， 所以椭圆C 的标准方程：2213x y +=；（2）由（1）得，F 0)所以由题意得直线MN的方程为：y x =-， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，将y x =2213x y +=，得2430x -+=，∴1212324x x x x +==，∴12121(4y y x x ==-， 3OP PM =，∴34OP OM =，则1133(,)44P x y ， 设||||NP m PQ =，则NP mPQ =，即121231313333(,)(,)4444x x y y m x x y y --=--， ∴3123123(1)143(1)14m x x x m mm y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩， 点3(Q x ，3)y 在椭圆C 上，∴22121213(1)13(1)1[][]1344m m x x y y m m m m++-+-=，整理得22222112212122229(1)1113(1)1()()()1163323m m x y x y x x y y m m m +++++-+=， 由上知，1212103x x y y +=，且2212121,133x x y y +=+=，∴229(1)1116m m ++=，即2718250m m --=，解得257m =或1m =-（舍)，故||25||7NP PQ =． 3．（2019秋•怀化期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM的斜率为，且原点到直线FM．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切．试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设(,0)F c ，(0,)M b ，由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b ，c ，进而得到a ，可得椭圆方程；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．1(0x >，20)x >，运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得1||AQ =，同理可得2||BQ x =，再由焦半径公式，即可得到周长为定值． 【解答】解：（1）可设(,0)F c ，(0,)M b，可得b c -=，直线FM 的方程为bx cy bc +=，=，解得1b =，c =a = 则椭圆方程为2213x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 1(0x >，20)x >，连接OA ，OQ ，在OAQ ∆中，222222111112||11133x AQ x y x x =+-=+--=，即1||AQ =，同理可得2||BQ x =，12||||||)AB AQ BQ x x ∴=+=+，1212||||||)AB AF BF x x ∴+++-+=，ABF ∴∆的周长是定值4．（2019秋•山东月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，椭圆的左焦点为1F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，且11122F B F B =． （1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ，AN ，月0AM AN =，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点． 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式根据向量的坐标运算，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线AM 的方程，与椭圆方程联立，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，求得直线MN 的方程，即可判断直线MN 与x 轴的交点为定点．【解答】解：（1）设1(,0)F c -，1(0,)B b ，2(0,)B b -，由题意c e a ==，① 由112(F B F B c =，)(b c ，22)2b c b -=-=，② 又222c a b =-，③ 解得24a =，21b =，所以椭圆的标准方程2214x y +=；（2）证明：由题可知，(0,2)A -，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为1k-，设直线AM 方程为(2)y k x =+，设(M M x ，)M y与椭圆方程联立得22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，得2222(14)161640k x k x k +++-=，Z 则22164214M k x k --=+，则222814M k x k -=+， 所以(2)M M y k x =+，得2414M ky k =+得2228(14k M k -+，24)14k k +，同理可得（将k 换成1)k -得2228(4k N k -+，24)4k k -+， 则32222242222244202020(1)51442828(1616)16(1)(1)44144MNk kk k k k k k k k k k k k k k k k +++-++====-----+---++，所以直线MN 的方程为22224528()4444k k k y x k k k --+=-+-+，令0y =，则22222216(1)2862465(4)45(4)5k k k x k k k ----=+==-+++， 所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6(5-，0)．5．（2019•陕西模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上方），斜率为(0)k k <的直线交椭圆E 于A ，B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为21(0,)3b a a -，求e 的值．（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2k <，是否存k|||AB AC =成立？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）求出2()ABb k ac a =-，3AD ak c=，通过AB AD ⊥，转化求解椭圆的离心率即可． （2）设出直线y kx k =-，联立2212x y y kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，由韦达定理得求出B 的坐标，利用弦长公式，转化求解即可． 【解答】解：（1）因为2()AB b k a c a =-，3AD ak c=，AB AD ⊥，所以2213b a ac a c =--， 整理得22320a ac c -+=，解得2a c =或a c =（舍去）， 所以12c e a ==． （2）由（1）知A，:(1)AB y k x =-，即y kx k =-，联立2212x y y kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y，得222(12)2(2210k x k k x k +-+--=．设点B 的横坐标为B x，由韦达定理得2221112B k x k --=+，即222112Bk x k --=+，所以1B x -=．因为k <，所以2222||1|B k AB x +=-=， 同理，221|22()2|2||21112()k k AC k k -+-=++-．|||AB AC =，则22222221k k k+-=+， 20k +=，而△0<，所以此方程无解，故不存在符合条件的．6．（2019•新课标Ⅰ）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【分析】（1）根据2POF ∆为等边三角形，可得在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，在根据直角形和椭圆定义可得；（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得4b =，根据22222()a x c b c=-，所以22c b ，从而2222232a b c b =+=，故42a ，【解答】解：（1）连接1PF，由2POF ∆为等边三角形可知在△12F PF 中， 1290F PF ∠=︒，2||PF c =，1||PF =，于是122||||1)a PF PF c =+=，故曲线C 的离心率1ce a==． （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当：1||2162y c =，1y y x c x c=-+-，22221x y a b +=， 即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b +=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c =，故4b =， 由②③得22222()a x c b c =-，所以22c b ，从而2222232a b c b =+=，故42a ， 当4b =，42a 时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．7．（2019•辽宁三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，焦距为． （1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．【分析】（1）由已知得关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）设直线l 的方程为12y x m =-+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及斜率乘积证得2OP OQ PQ k k k =即可．【解答】（1）解：由题意，2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又2221b a c =-=，∴椭圆方程为2214x y +=； （2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ， 由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得22244(1)0x mx m -+-=． 则△2221632(1)16(2)0m m m =--=->，且122x x m +=，2122(1)x x m =-．故2121212121111()()()2242y y x m x m x x m x x m =-+-+=-++． ∴21212212121211()1424OP OQ PQ x x m x x m y y k k k x x x x -++====． 即直线OP，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．8．（2019•全国I 卷模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左右顶点分别为A ，B ，Q 为椭圆C 上一点，QAB ∆面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）当点Q 不为椭圆C 的顶点时，设直线AQ 与y 轴交于点P ，过原点O 作直线AQ 的平行线OM 且与椭圆C 交于点M ，问是否存在常数λ使得2||||||AP AQ OM λ=成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，以及椭圆上点到x 轴距离的最大值，计算即可得到a ，b 的值，进而得到椭圆方程；（2）设直线:(2)AQ yk x =+，直线:OM y kx =，联立椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式，由此求出存在常数λ使得2||||||AP AQ OM λ=成立．【解答】解：（1）由题意得，c e a ==，222a b c-=， 当Q 为椭圆的上顶点时，AQB ∆的面积取得最大值 且为12222b a = 解得，2a =，b =，c =所以椭圆方程为：22142x y +=⋯ （2）依题意可得直线AQ 的斜率存在，设直线:(2)AQ y k x =+，则(0,2)P k联立22(2)24y k x x y =+⎧⎨+=⎩，并整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． △222644(21)(84)160k k k =-⨯+⨯-=>，则2284221Q k x k --=+，222421Q k x k -∴=+，||(2)|Q AQ x =--=||AP =228(1)||||12k AQ AP k +=⋯+直线AQ 的平行线OM ，直线:OM y kx =； 联立2224y kxx y =⎧⎨+=⎩消去y 得：22(12)40k x +-=； 222222244(1)||(1)(1)1212M k OM K x k k k +=+=+=⋯++∴22228(1)4(1)1212k k k k λ++=++，2λ∴=． 故存在常数2λ=，使得2||||||AP AQ OM λ=成立。
专题13 坐标系与参数方程-2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编(原卷版)
专题13 坐标系与参数方程坐标系与参数方程大题：10年10考，而且是作为2个选做题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标方程与普通方程的转化，二是极坐标方程与参数方程的简单应用，难度较小．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2．（2018年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |+2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3＝0．（1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．3．（2017年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为41x a t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）． （1）若a ＝﹣1，求C 与l 的交点坐标；4．（2016年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cosθ．（1）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．5．（2015年）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝﹣2，圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值．7．（2013年）已知曲线C1的参数方程为45cos55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．8．（2012年）已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxyϕϕ=⎧⎨=⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|P A|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．9．（2011年）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2cos22sinxyαα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M是C1上的动点，P点满足2OP=OM，P点的轨迹为曲线C2．（1）求C2的方程；的异于极点的交点为B，求|AB|．10．（2010年）已知直线C1：1cossinx ty tαα=+⎧⎨=⎩（t为参数），C2：cossinxyθθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．。
2019年全国卷Ⅰ文数高考真题及答案解析(word精编)
2019年全国卷Ⅰ文数高考真题及答案解析（word精编）绝密★启用前 xx年普通高等学校招生全国统一考试全国Ⅰ卷文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则=A.2B.C.D.12.已知集合，则A.C.D.3.已知，则A.B.C.D.4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm5.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为A.B.C.6.某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生7.tan255°=A.－2－B.－2+C.2－D.2+8.已知非零向量a，b满足=2，且（a–b）b，则a与b的夹角为A.B.C.D.9.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入A.A=C.A=D.A=10.双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A.2sin40°B.2cos40°C.D.11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA －bsinB=4csinC，cosA=－，则=A.6B.5C.4D.312.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为A.B.C.D.二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总 直线与圆 (可下载)
2010-2019“十年高考”数学真题分类汇总解析几何——直线与圆（附详细答案解析）1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β。
图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β【答案】（B）.【解析】由题意和题图可知，当P 为优弧 AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积BOP AOP AOB S S S S ∆∆++=扇形()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=βπβsin 2221222212ββsin 44+=.故选B.2.（2019北京文11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】()2214x y -+=.【解析】24y x =的焦点为()1,0，准线为1x =-，故符合条件的圆为()2214x y -+=.3.（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当︒<∠90OBP 时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当︒≥∠90OBP 时，对线段PB 上任意一点F ，OB OF ≥，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，CQ ==此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-，∴直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+- .在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+4.（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r 。