三角函数整理专题
第3篇三角函数专题
sin θ<0， ① cos θ>0，
y 轴负半轴， 由 cos θ>0 判断 θ 在第一或第四象限或 x 轴正半 轴，故 θ 在第四象限．
sin θ>0， ② cos θ<0，
此时，由 sin θ>0 判断 θ 在第一或第二象限或
y 轴正半轴， 由 cos θ<0 判断 θ 在第二或第三象限或 x 轴负半 轴，故 θ 在第二象限． 所以角 θ 是第二或第四象限角． (2)因为点 P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以 sin θcos θ<0,2cos
答案 A
考点梳理
1．同角三角函数的基本关系
2 2 (1)平方关系： sin α＋cos α＝1 sin α (2)商数关系： cos α＝tan α .
.
2．三角函数的诱导公式 公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α ，tan(α ＋2kπ)＝tan α，其中 k∈Z.
(
B. － Biblioteka D. － )．3 2 3 2
3 1 ，－ 2 2 3 1 ， 2 2
1 C. －2，－
解析
设 α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x，
y)满足 x＝cos α，y＝sin α， 1 3 ∴x＝－2，y＝ 2 ， → 3 1 ∴OQ＝－ ， . 2 2
4．(2013· 潍坊质检)已知角 α 的终边经过点 P(m，－3)，且 4 cos α＝－ ，则 m 等于 5 11 A．－ 4 C．－4 11 B. 4 D．4 ( )．
m 4 解析 由题意可知，cos α＝ 2 ＝－ ，m<0，解得 m＝ 5 m ＋9 －4，故选 C.
(精心整理)高中数学三角函数专题(重要知识点和经典方法大合集)
专题复习—— 三角函数（一）知识梳理1、 角度制与弧度制的互化10.01745180180157.30rad rad rad ππ⎧=≈⎪⎪⎨⎛⎫⎪=≈ ⎪⎪⎝⎭⎩2、 扇形公式22(11=22180(=360l R R lR n R l n n R αααππ⎧=⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩①弧长弧度制为弧度)②扇形面积S ①弧长角度制为角度)②扇形面积S3、 同角三角函数恒等式22sin sin cos 1cos (sin tan cos cos sin ααααααααααα⎧⎧=⎪⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎪⎪⎪±⎪⎩⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎧=⎪⎪⎪⎪±⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎩①其中“”由所在象限确定）②③推论其中“”由所在象限确定）4、 诱导公式sin(2)sin sin()sin cos(2)cos cos()cos tan(2)tan tan()tan sin()sin sin()sin cos()cos cos()cos tan()tan tan()tan s k k k απαπαααπαπαααπαπααααπααααπααααπαα+=+=-⎧⎧⎪⎪+=+=-⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎩-=--=⎧⎧⎪⎪-=-=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩公式一公式二公式三公式四公式五in()cos sin()cos 22cos()sin cos()sin 2233sin()cos sin()cos 2233cos()sin cos()sin 22ππααααππααααππααααππαααα⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎧⎨-=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪-=+=-⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎧⎪-=-+=-⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪-=-+=⎪⎪⎩⎩⎩公式六推论1推论25、差（和）角公式cos()cos cos sin sincos()cos cos sin sinsin()sin cos cos sinsin()sin cos cos sintan tantan()1tan tantan tantan()1tan tanαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧-=+⎪+=-⎪⎪-=-⎪⎪+=+⎨-⎪-=⎪+⎪+⎪+=⎪-⎩余余正正号相反正余余正号相同6、二倍角公式（倍角公式）22222221sin22sin cos sin cos sin22cos2cos sin1cos2cos212sin sin21cos2 cos22cos1cos22tantan21tanαααααααααααααααααααα⎧⎪=⇒=⎪⎪=-⎪⎪-⎪=-⇒=⎨⎪+⎪=-⇒=⎪⎪⎪=⎪-⎩7、正弦定理及推论2(sin sin sin2sin,2sin,2sinsin,sin,sin222::sin:sin:sinsin sin sin,,sin sin sina b cR R ABCA B Ca R Ab R Bc R Ca b cA B CR R Ra b c A B Ca A a Ab Bb Bc C c C⎧===∆⎪⎪===⎪⎪⎪===⎨⎪⎪=⎪⎪===⎪⎩①为外接圆的半径）②③④⑤8、余弦定理及推论222 222222 222222 2222cos cos22cos cos22cos cos2b c a a b c bc A Abca c bb ac ac B Baca b c c a b ab C Cab⎧+-=+-⇒=⎪⎪+-⎪=+-⇒=⎨⎪⎪+-=+-⇒=⎪⎩9、三角形面积公式1(21()(2111=sin sin sin222S ah aS r a b c r ABCS ab C ac B bc A⎧=⎪⎪⎪=++∆⎨⎪⎪==⎪⎩为底，h为高）为内切圆的半径）10、求最小正周期的公式sin()2= cos()tan()= y A x kTy A x ky A x k Tωϕπωϕωπωϕω⎧=++⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎩最小正周期为的最小正周期为11、正弦函数y=sinx[]maxmin111+2,2,22(2)3+2,2,.222()1;2(3)2() 1.2(4)((5)y sinRk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kxππππππππππππππ-⎧⎡⎤-+∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎤⎪+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎧+∈=⎪⎪⎨⎪+∈=-⎪⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=-时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：,;(6)2.Rx k k Zk k Zπππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧+∈⎪⎪⎨⎪⎪∈⎪⎩⎩为上的奇函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性②为中心对称图形，对称中心为（,0),12、余弦函数y=cosx[][][]maxmin111+2,2,(2)2,2,.2()1;(3)2() 1.(4)((5)y cos,(6)Rk k k Zk k k Zx k k Z yx k k Z yk k Z kx Rx k kππππππππππππ-⎧-∈⎪⎨+∈⎪⎩∈=⎧⎨+∈=-⎩∈≠=（）定义域：，值域：，在单调递增；单调性在单调递减当且仅当=时，最值当且仅当=时，周期性：周期为2且0),最小正周期为2.奇偶性：为上的偶函数.①为轴对称图形，对称轴为=对称性;+.2Zk k Zππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪∈⎧⎪⎪⎪⎨∈⎪⎪⎩⎩②为中心对称图形，对称中心为（,0),13、正切函数y=tanx1|,,22-+,),.22(3)(0.(4)y tan(5),0),.2x x k k Z Rk k k Zk k Z kxkk Zπππππππππ⎧⎧⎫≠+∈⎪⎨⎬⎩⎭⎪⎪+∈⎪⎪⎪∈≠⎨⎪=⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪∈⎪⎪⎩⎩（）定义域：值域：（）单调性：在开区间（单调递增周期性：周期为且），最小正周期为奇偶性：为奇函数.①不是轴对称图形；对称性②是中心对称图形，对称中心为(14、简谐运动sin()y A xωϕ=+[)2=1(0,0,0,)2xA xTπωωωπωϕϕ⎧⎪⎪⎪⎪⎪=>>∈+∞⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩①振幅：A②周期：T③频率：f=其中④相位：x+⑤初相：=0时的相位2222sin cos)(tan)0)sin cos)(tan)ba xb x a b xaa aa xb x a b xbωωωϕϕωωωϕϕ⎧+=++=⎪⎪⎨>⎪+=+-=⎪⎩①其中15、三角恒等变换之辅助角公式（其中②其中辅助角公式的证明如下：证明：asin xω+bcos xω22a b+22a b+sin xω22a b+cos xω),①22a b+=cosϕ22a b+=sinϕ,则asin xω+bcos xω22a b+xωcosϕ+cos xωsinϕ)22a b+xω+ϕ) (其中tanϕ=ba)② 22a a b+=sin ϕ22b a b+ϕ,则asin x ω+bcos x ω22a b +x ωsin ϕ+cos x ωcos ϕ) 22a b +x ω-ϕ),(其中tan ϕ=a b) 注：其中ϕ的大小可以由sin ϕ、cos ϕ的符号确定ϕ的象限,再由tan ϕ的值求出；或由tan ϕ=ba和(a,b)所在的象限来确定. 例：化简32cos 2y x x =+.法一：逆用差（和）角公式3132cos 22(2cos 2)2(sin 2cos cos 2sin )2sin(2)2666y x x x x x x x πππ=+=+=+=+法二：应用辅助角公式32cos 22sin(2)6y x x x π=+=+ (其中3tan 363πϕϕ==⇒=)（二）考点剖析考点一：正、余弦定理，三角形面积公式的应用 例1: 在△ABC 中，C ＝2B ，AB AC ＝43. (1)求cos B ；(2)若BC ＝3，求S △ABC . 解：(1)由C ＝2B 和正弦定理得sin C ＝2sin B cos B ＝2·AC AB sin C ·cos B ∴cos B ＝AB 2AC ＝23 (2)设AC ＝3x ，则AB ＝4x . 由余弦定理得(3x )2＝(4x )2＋32－2×4x ×3cos B ，即9x 2＝`16x 2＋9－16x ∴7x 2－16x ＋9＝0 解得x ＝1或x ＝97当x ＝1时，AC ＝3，AB ＝4 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×4×3×53＝2 5.当x ＝97时，AC ＝277，AB ＝367 ∴S △ABC ＝12BA ×BC ×sin B ＝12×367×3×53＝1875.考点二：利用正、余弦定理判断三角形的形状例2:在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1) 2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C由正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc ① 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A12cos cos 2bc A bc A ∴-=⇒=- 又0A π<< 23A π∴=. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C 又sin B ＋sin C ＝1 ∴sin B ＝sin C ＝12又0,022B C ππ<<<<∴B ＝C ∴△ABC 是等腰三角形．考点三：三角恒等变换之辅助角公式：sin cos )(tan )ba xb x x aωωωϕϕ+=+=其中例3：已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =+，x R ∈（1） 求f(x)的最小正周期及最大值； （2） 求函数f(x)的单调递增区间； （3） 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数f(x)的值域 .解：2()2sin cos 2cos f x x x x =+sin 2cos21x x =++)14x π=++（1） f(x)的最小正周期为22T ππ==，最大值为max ()1f x =. （2） 由222,242k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈得3,88k x k k πππππ-+≤≤+∈∴函数f(x)的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（3）02x π≤≤52444x πππ∴≤+≤sin(2)14x π≤+≤ 0)114x π∴≤++≤即0()1f x ≤≤∴函数f(x)的值域为1⎡⎤⎣⎦即时训练：已知函数22(sin cos )y x x x =++x R ∈（1） 求函数f(x)的最小正周期、最小值及单调递减区间； （2） 当02x π<<时，求函数f(x)的值域.【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一. 掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. 这也是解决三角函数问题的前提和出发点. 在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.【方法点评】方法一 切割化弦使用情景：一般三角求值类型解题模板：第一步 利用同角三角函数的基本关系sin tan cos θθθ=，将题设中的切化成弦的形式； 第二步 计算出正弦与余弦之间的关系； 第三步 结合三角恒等变换可得所求结果.例1已知1tan()2πα+=，则sin cos 2sin cos αααα-+=（ ） A ．41 B ．21 C ．41- D ．21- 【答案】C 【解析】试题分析：21tan =α，将原式上下同时除以αcos ，即411tan 21tan cos sin 2cos sin -=+-=+-αααααα，故选C.考点：同角三角函数基本关系学*科网 【变式演练1】已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（ ）A ．3 B. 52C.25- D.3- 【答案】C 【解析】考点：诱导公式，同角间的三角函数关系，二倍角公式.方法二 统一配凑使用情景：一类特殊三角求值类型解题模板：第一步 观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步 利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步 利用三角恒等变换即可得出所求结果.例2已知,31tan ,71tan ==βα则=+)2tan(βα 【答案】1 【解析】 试题分析：212tan 3tan ,tan 231tan 4ββββ===-，()13tan tan 274tan 21131tan tan 2174αβαβαβ++∴+===--⨯考点：两角和的正切公式.方法三 公式活用例3 下列式子结果为3的是（ ） ①tan25tan353tan25tan35︒+︒+︒︒； ②()2sin35cos25cos35cos65︒︒+︒︒； ③1tan151tan15+︒-︒；④2tan61tan6ππ-.A. ①②B. ③C. ①②③D. ②③④ 【答案】C【高考再现】1.（2018年全国卷Ⅲ文）若，则A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 分析：由公式可得.详解：，故答案为B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.2. 【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．4.【2017山东，文4】已知3cos 4x =,则cos2x = A.14- B.14 C.18- D.18【答案】D 【解析】【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．6. 【2015高考福建，文6】若5sin13α=-，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．125B．125-C．512D．512-【答案】D【考点定位】同角三角函数基本关系式．【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在sinα、cosα、tanα三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角α的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．6.（2018年全国卷II文）已知，则__________．【答案】.【解析】分析：利用两角差的正切公式展开，解方程可得.详解：，解方程得.学科*网点睛：本题主要考查学生对于两角和差公式的掌握情况，属于简单题型，解决此类问题的核心是要公式记忆准确，特殊角的三角函数值运算准确.7.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷）】已知为锐角，，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】分析：先根据同角三角函数关系得，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，．点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等. (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等. 学#科网【反馈练习】1．【山东省济南市2018届高三第一次模拟考试数学（文）试题】若72sin 410A π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ,4A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A 的值为（ ）A ．35 B ． 45 C ． 35或45 D ． 34【答案】B 【解析】5,,,4424A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos 04A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，且22cos 1sin 4410A A ππ⎛⎫⎛⎫+=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以4sin sin sin cos cos sin 4444445A A A A ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选B. 点睛：本题主要考查同角三角函数基本关系式、两角差的正弦公式等，属于易错题.解答本题的关键是拆角，将sin A 拆成sin 44A ππ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.2．【山西省2018年高考考前适应性测试文科数学试题】已知tan 3α=，则sin21cos2αα=+（ ）A ． 3-B ． 13-C ． 13D ． 3 【答案】D 【解析】222sin cos 3122sin tan cos cos αααααα===+故选D3.【江西省上饶市2018届高三下学期第二次高考模拟数学（理）试题】000sin65sin35cos30cos35-=（ ） A ． 3-B ． 12-C ． 12D ． 3【答案】C 【解析】由题得()00000000sin 3530sin35cos30cos35sin301sin30cos35cos352+-===，故选C. 4.【河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试数学（理）试题】设()0,90α∈︒︒，若()3sin 7525α︒+=-，则()()sin 15sin 75αα︒+⋅︒-= ( )A ．110 B ． 2 C ． 110- D ． 2-【答案】B【解析】()()sin 75cos 15αα-=+， 所以原式等于()()()1sin 15cos 15sin 3022ααα++=+ 而()()()()2sin 302sin 75245sin 752cos 7522αααα⎡⎤⎡⎤+=+-=+-+⎣⎦⎣⎦ ， ()75275,255α+∈ ，又因为()sin 7520α+<，所以()752180,255α+∈，可求得()4cos 7525α+=- ， 那么()()()22342sin 302sin 752cos 7525510ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+-+=---= ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦，那么()12sin 3022α+=，故选B. 5．【安徽省宣城市2018届高三第二次调研测试数学理试题】已知3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________．【答案】34310- 【解析】∵3cos 5α=， 3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭∴4sin 5α=- ∴3143343cos cos cos sin sin 333525πππααα-⎛⎫⎛⎫-=+=⨯+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为343-. 三角函数的图像和性质问题【高考地位】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是高考的重点和难点。
《三角函数》复习专题
《三角函数》复习专题一、重要知识点清理1．角的概念：（了解）正角：按 时针方向旋转形成的角叫做正角. 负角：按 时针方向旋转形成的角叫做负角. 零角：射线没有做任何旋转，我们称它形成一个零角. 2．象限角、象限界角（轴线角）把角置于直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边与 重合，角的终边（除端点外）的位置在第几象限，就称这个角是第几象限角。
角的终边在坐标轴上的角称为象限界角，它不属于任何象限.α是第二象限角可表示为： . α是第四象限角可表示为： . 3．终边相同的角：与α角终边相同的角的集合可以记做 . 4．弧度制的定义：（略）α= . 弧长公式：l = ； 扇形面积公式：S = = .5．角度与弧度的换算：180o = ； 1o = rad ；1ra d 6.任意角的三角函数的定义：7．三角函数的值在各象限的符号：8．作三角函数线平方关系：；商数关系： ； 公式（一）：sin(2)k πα+= c o s (2)k πα+= t a n (2)k πα+= 公式（二）：sin()πα+= c o s ()πα+= t a n ()πα+= 公式（三）：sin()α-= c o s ()α-= t a n ()α-=公式（四）：sin()πα-= c o s ()πα-= t a n ()πα-= 公式（五）：sin(2)πα-= c o s (2)πα-= t a n (2)πα-= 公式（六）：sin()2πα-= c o s ()2πα-= t a n ()2πα-=公式（七）：sin()2πα+= c o s ()2πα+= t a n ()2πα+= 公式（八）：3sin()2πα-= 3c o s ()2πα-= 3t a n ()2πα-=公式（九）：3sin()2πα+= 3c o s ()2πα+= 3t a n ()2πα+= 九个诱导公式的简记口诀为： （注意公式的逆向变换，符号是关键）求值，化简的步骤为： 12．函数()y f x =为周期函数⇔存在 T ，使 恒成立； 13．函数2cos(2)13y x π=-++，的 定义域为 ；值域为 ；周期为 ；增区间 ；减区间为 ；对称轴方程为 ；对称中心为 ； 14．有关函数sin()y A x b ωϕ=++(0,0,,A b ωϕ>>为常数)的方法要点 ①求其对称轴、中心、最大值和最小值：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心是其 点；对称轴经过其 点； ②求其单调区间方法：17.正弦、余弦、正切函数的图象和性质18．函数图象变换：①函数y ＝sin(x ±φ)( φ>0)的图象可由函数y＝sin x 的图象向左(或右)平移 个单位而得到，称为 变换．这种变换的实质是：纵坐标，横坐标增加(或减少) 个单位． ②函数y ＝sin ωx (ω>0)的图象可由函数y ＝sin x 的图象沿x 轴伸长(ω<1)或缩短(ω>1)到原来的ω1倍而得到，称为 变换．这种变化的实质是：纵坐标 ，横坐标伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的 倍．③函数y ＝A sin x 的图象可由函数y ＝sin x 的图象沿y 轴伸长(A >1)或缩短(A <1)到原来的A 倍而得到的，称为 变换．这种变换的实质是：横坐标 ，纵坐标伸长(A >1)或缩小(0<A <1)到原来的 倍．19．综合变换：以函数y ＝3sin(2x －3π)，x ∈R 为例．①按φ、ω、A 顺序变换：y ＝sin x →y＝sin(x －3π)→y ＝sin(2x －3π)→y ＝3sin(2x －3π) 图象变换：②按ω、φ、A 顺序变换：y ＝sin x →y ＝sin2x →y ＝sin(2x －3π)→y ＝3sin(2x －3π)图象变换：y ＝sin(x －3π)y ＝sin(2x －3π)y ＝3sin(2x －3π)y ＝sin(2x －3πy ＝3sin(2x －3π)用流程图来表示：。
三角函数专题复习
三角函数专题复习一、任意角和弧度制例1．下列各角中，终边相同的角是 ( )A.23π和240B.5π−和314 C.79π−和299π D.3和3例2．已知扇形圆心角60α=，α所对的弧长6l π=，则该扇形面积与其内切圆面积的比值为__________.练习：1．将1665−化成2(02,Z)k k απαπ+<∈的形式是（ ）A ．584ππ−− B ．384ππ− C ．5104ππ− D ．3104ππ− 2．（多选）如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0),60BOA ∠=︒，质点A 以1rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2rad /s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（ ）A ．1s 时，BOA ∠的弧度数为π33+B ．πs 12时，扇形AOB 的弧长为7π12 C ．πs 6时，扇形AOB 的面积为π3 D ．5s 9时，A ，B 在单位圆上第一次相遇3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是____ _______.4．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若2AB =，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为______.二、三角函数的概念例3. 若θ是第二象限角,则 ( ) A.sin θ2>0 B.cos θ2<0 C.tan θ2>0 D.以上均不对例4．已知111A B C △与222A B C △满足：12sin cos A A =，12sin cos B B =，12sin cos C C =，则（ ）A ．111ABC △是钝角三角形，222A B C △是锐角三角形B ．111A BC △是锐角三角形，222A B C △是钝角三角形C ．两个三角形都是锐角三角形D ．两个三角形都是钝角三角形例5. 已知函数()263x f x a−=+（0a >且1a ≠）的图象经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sin cos sin cos θθθθ−=+______. 练习：5．有四个关于三角函数的命题：1:p x ∃∈R ，221sin cos 222x x +=；2:p x ∃、y ∈R ，sin()sin sin x y x y −=−； ()3π:sin cos 2πZ 2p x y x y k k =⇒+=+∈；4π:0,2p x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，1cos tan sin x x x =. 其中真命题的是（ ）A ．1p ，3pB ．1p ，4pC ．2p ，3pD ．2p ，4p6．sin1cos 2tan 3⋅⋅的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．不确定7.已知sin α=,则sin 4α-cos 4α的值为 ( )A.-B. -C.D.8．,,A B C ∠∠∠是三角形的三个内角，下列选项能判断ABC 为等腰三角形的是（ ）A ．()()sin sin ABC A B C +−=−+B ．sincos 22A B C A B C +−−+= C ．sin sin 22A B C A B C +−−+=D A 9.已知关于x 的方程4x 2-2(m+1)x+m=0,的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦,则实数m 的值为________.10．（1（2α是第三象限角．11．已知sin cos x x t +=，t ⎡∈⎣.(1)当12t =且x 是第四象限角时，求33sin cos x x −的值； (2)若关于x 的方程()sin cos sin cos 1x x a x x −++=有实数根，求a 的取值范围.三、诱导公式例6．若角α的终边经过点()()sin 780,cos 330P ︒−︒，则sin α=（ ） AB ．12 C．2 D ．1例7．已知()()()()9π7πsin cos tan 2π22tan πsin πf αααααα⎛⎫⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=−+． (1)化简()f α；(2)若()π22f f αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()π2f f αα⎛⎫− ⎪⎝⎭的值．练习：12．已知n ∈Z ，化简()πsin π16n n ⎡⎤+−=⎢⎥⎣⎦______________. 13．已知2πtan(π)3α+=−． (1)求πsin(2022π)2sin 2π3cos cos(π)2αααα⎛⎫+−+ ⎪⎝⎭⎛⎫−−− ⎪⎝⎭的值； (2)若为α第四象限角，求sin cos αα+的值．14．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数()33x f x a −=−−（0a >且1a ≠）的定点M .(1)求sin 2cos +tan ααα−的值；(2)求()()()()3πsin πcos 2tan 3πcos 2πsin ααααα⎛⎫++− ⎪⎝⎭−+−+−的值.15．已知函数()()()sin πcos πf x x x =+−，且π04x <<. (1)若()14f x =，求πcos cos 2x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值； (2)若函数()g x 满足()()tan g x f x =，求14g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.。
高三三角函数专题复习(题型全面)
三角函数考点(kǎo diǎn)1：三角函数(sānjiǎhánshù)的有关概念；考点(kǎo diǎn)2：三角(sānjiǎo)恒等变换；（两角和、差公式(gōngshì)，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式）考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周期、对称轴对称中心）考点4：函数y=Asin(的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周期、对称轴对称中心、图像的变换）一、三角函数求值问题1. 三角函数的有关概念例1.若角的终边经过点，则= ．练习1．已知角的终边上一点的坐标为（），则角 的最小正值为（）A、 B、 C、 D、2、公式法：例2.设，若，则=（）A. B. C. D.练习1．若，则等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．α是第四象限角，，则（ ） A ． B ．C ．D ．3． 的值为 。
4．已知，且，则的值是 ．3．化简求值例3.已知为第二(d ì èr)象限角，且，求的值练习(li ànx í)：1。
已知，则的值为（ ）A ．15-B ．C ．15D ．2.已知. （I ）求的值. （II ）的值. 3．若，则的值为（ ）Ａ． Ｂ．12-Ｃ．12Ｄ．4 化简= ．4、配凑求值 例4．已知，sin()=－sin则os=____ .练习(li ànx í)：1 设α∈()，β∈(0，)，cos(α－4π)=，sin(+β)=，则sin(α+β)=_________2．已知sin α=53，α∈(，π)，tan(π－β)= ，则tan(α－2β)=______3．求的值4.若，则= （ ）A ．B ．C ．D ．方法(f āngf ǎ)技巧：1.三角函数恒等变形(bi àn x íng)的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
专题06知识点 三角函数的图像与性质
-
-3 2
-2
1
o
-1
2
3
2 2
7
3 2
5
4
2
x
y
y=tanx
y
y=cotx
3 -2
-
-2
o
2
3
x
2
-
-2
o
2
3 2 x
2
函数 y=sinx
y=cosx
定义 域
值域
R
R
［-1，1］x=2kπ+ ［-1,1］ 2
时 ymax=1
x=2kπ时
x=2kπ- 2
时 ymin=-1
ymax=1
0
2 3 5
3 2
6
4
3
2
3
4
6
2
3.弧长及扇形面积公式
弧长公式： l .r
扇形面积公式:S= 1 l.r 2
----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径
知识点二：诱导公式
1.常用的诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关 系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关 系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
三角函数专题复习
三角函数专题复习（一）1. 三角函数（约16课时）（1）任意角、弧度制：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
（2）三角函数①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的图象，了解三角函数的周期性。
③借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
④理解同角三角函数的基本关系式：⑤结合具体实例，了解的实际意义；能借助计算器或计算机画出的图象，观察参数A，ω，对函数图象变化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
一、要点●疑点●考点1、任意角和弧度制：①、任意角：正角（按逆时针方向旋转形成的角）、负角（按顺时针方向旋转形成的角）、零角（没有作任何旋转的角）；②、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；【注意】：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
③、a：终边相同的角的集合：S={β︱β=α+k·360o，k∈Z}；b：终边在x轴上的角的集合：S={β︱β=k•180o，k∈Z}；c：终边在y轴上的角的集合：S={β︱β=90o+k·180o，k∈Z}；d：终边在坐标轴上的角的集合：S={β︱β=k·90o，k∈Z}；e：终边在直线y=x上的角的集合：S={β︱β=45o+k•180o，k∈Z}④、角度制与弧度制：用度作为单位来度量角的单位制叫着角度制；用实数作为单位来度量角的单位制叫着弧度制；把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫着1弧度的角，用符号rad表示，读着弧度。
如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角αα的正负由角α的终边的旋转方向决定。
角度制与弧度制的转化只要通过【注意】：今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
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课题1：两角和与差公式的应用一、【学习目标】1、熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式；2、利用公式进行三角函数式的化简和求值。
二、两角和与差的正弦、余弦、正切公式：（1）cos()αβ-= ;（2）cos()αβ+= ； （3）sin()αβ+= ;（4）sin()αβ-= ； （5）tan()αβ+= ；（6）tan()αβ-= ；辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ++，其中cos ϕϕ==三、例1.求值：（1）sin 75 （2）7cos 12π（3）tan105（4）cos 20cos70sin 20sin 70- （5）sin119︒sin181︒－sin91︒sin29︒（6）001cos15sin1522+ （7）0022-例2. 已知A 、B 均为钝角且sin A B ==，求（1）)cos(B A +；（2）A+B.例3. 已知324πβαπ<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-.求sin 2α. 【同类变式】 1、求值：①1tan151tan15+︒-︒= ②sin 72cos 42cos72sin 42-=③=o 15sin ④=015tan 。
2、已知βα、均为锐角，55sin =α ，1010cos =β，求(1))sin(βα-;(2)βα-.3、已知βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，)sin(βα+=,53-,13124sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ求cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα4、若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π4)的值。
【巩固提高】1、已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为________．2、已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于________． 3、已知cos 3()45πα-=，sin 512()413πβ+=-且β3(0,),(,)444πππα∈∈，求sin(α+β).4、已知α、β∈(,)22ππ-，且tan α，tan β是方程x 2的两个根，求α+β值。
5、已知函数()sin cos f x x x =+（1）求函数()f x 的周期、单调区间； （2）若[,]4x ππ∈-求函数()f x 的值域。
课题2：倍角公式与其他三角公式应用一、【学习目标】1、熟记二倍角的正弦、余弦、正切公式以及一些公式的变形；2、利用公式或变形形式进行三角函数式的化简和求值。
二、1、二倍角的正弦、余弦、正切公式： （1）sin 2α=（2）cos2α= = = （3）tan 2α= 2、公式的变形：降幂公式：2cos α= ，2sin α= ，=θθcos sin ，2tan α= 。
三、例1.求值：（1）15cos 15sin （2）8sin 8cos 22ππ- （3）5.22tan 15.22tan 22-（4）52sin cos 11212ππ- (5) 12cos 24cos 48cos 48sin 8ππππ例2. 已知4sin 5θ=，并且θ在第二象限，求θ2sin 、θ2cos 、θ2tan 的值。
例3.已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+，（1）求()f x 的最小正周期及最大值； （2）若(0,),4x π∈求函数()f x 的值域。
【同类变式】1、求值（1）2sin 2cos 44αα- （2）ααtan 11tan 11+--（3）θθ2cos cos 212-+ （4）35coscoscoscos 128812ππππ2、若已知23πθπ<<，且43tan =θ，求θ2sin 、θ2cos 、θ2tan 的值。
3、已知函数2()cos sin cos f x x x x =+（1）求()f x 的最小正周期及最小值；（2） 若(,),42ππα∈且3()8f πα+=，求cos α的值。
【巩固提高】1、若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++= 2、已知2sin cos 3x x +=，则sin 2x =________. 3、化简：（1）2＋2cos8＋21－sin8 （2）2cos 22cot()cos ()44xx x ππ+-4、已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.5、已知10,sin cos 25x x x π-<<+=. （1）求sin cos x x -的值.（2）求223sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x-++的值.课题3：倍角公式与其他三角公式应用（二）一、【学习目标】利用公式或变形形式进行三角函数式的化简和求值。
二、公式的变形：（1）tan tan αβ±=（2）降幂公式：2cos α= ，2sin α= ，=θθcos sin ，2tan α= 。
例1. 求函数22sin cos 2sin 1y x x x =-+的最值、周期和单调区间。
【同类变式】 1、求x x x y cos sin cos 32+= 的最值、周期和单调区间。
2、已知3sin ,1)4x m =（，2,cos )44x x n =（cos ，求()f x m n =•的最值和周期。
【巩固提高】1、已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+，（1）求函数()f x 的最小值； （2）求函数()f x 的零点；（3）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域。
2、已知函数2()sin cos 2f x x x x ωωω=⋅- (0)ω>的最小正周期为2π。
（1）求()f x 的表达式；（2）将函数()f x 的图像向右平移8π个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，若关于x 的方程()0g x k +=在区间[0,]2π上有解，求实数k 的取值范围。
课题4：三角恒等变换（一）【学习目标】一、会利用和、差、倍、半角公式解决比较复杂的求值和化简问题。
二、1、半角公式：sin 2α= ；cos2α= ；tan2α= = = 。
2、倍角公式与其他三角公式应用时的基本思路：（1）“化异为同”“切化弦” “1的代换”是三角恒等变换的常用技巧。
“化异为同”是指“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”。
（2）角的变换是三角变换的核心，如()βαβα=+-，2()()ααβαβ=++-，2()()βαβαβ=+--，22αα=⨯例1. 已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．例2. 求值：42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+例3. 求值： （1）1cos 20sin10(cot 5tan 5)2sin 20+︒-︒︒-︒︒（2）已知sin 11cos 2αα=+，求sin cos αα+【同类变式】1、已知0,22ππαβπ<<<<，且15tan,sin()2213ααβ=+=，（1）求cos α和cos β的值.（2）求tan 2αβ-的值.2、设3177cos(),45124x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-值3、求值：课题5：三角恒等变换（二）【学习目标】一、利用和、差、倍、半角公式解决三角恒等变换的综合问题二、1.三角恒等变换与三角函数性质的综合：三角函数的周期性、单调性、最值；2.三角恒等变换与向量的综合：向量的模、向量共线、垂直；三、例1、已知函数f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . ①求f (x )的最小正周期；②求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．例2、设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ①若|a |＝|b |，求x 的值；②设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．【同步训练】1、已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值．2、已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π2，若a ＝(1,1)，b ＝(cos φ，－sin φ)，且a ⊥b ，又知函数f (x )的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．3、设函数2()2sin cos cos sin sin 2f x x x x ϕϕ=+- (0)ϕπ<<在x π=处取最小值。
（1）求ϕ的值；(2) 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a,b,c ，已知1,()a b f A ==C【巩固提升】1、若1cos cos sin sin3x y x y +=,则()cos 22x y -=________.2、设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______.3、设f(x)=错误!未找到引用源。
sin3x+cos3x,若对任意实数x 都有|f(x)|≤a,则实数a 的取值范围是____ .4、设函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π,(Ⅰ)求ω的值(Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值。
课题6 三角恒等变换复习 知识点复习1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos αβ-= ；⑵()cos αβ+= ；⑶()sin αβ-= ；⑷()sin αβ+= ； ⑸()tan αβ-=⇒tan tan αβ-= ；()tan αβ+=⇒tan tan αβ+= ．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2α= 1sin 2α⇒±= 。
⑵cos2α= = = 。
⇒降幂公式2cos α= ，2sin α= ，αα=sin cos ．⑶tan 2α= ．3、辅助角公式：sin cos a b θθ±= （其中0,0,a b >> ）4、三角变换中对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515oooooo=-=-=；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=。