M矩阵的性质、定理及证明
M矩阵的性质、定理及证明
M 矩阵的性质、定理及证明一、M 矩阵的概念定义1 设n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。
定义2 设n n ij a A ⨯=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。
引理1 如果n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A •=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。
二、M 矩阵的判定定理与证明定理1 若n n ij a A ⨯=)(为M 矩阵，则R L A ⨯=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。
证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。
由引理1，A 可做三角分解R L A •=。
设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n l l l l l l L ΛM M ΛΛ21222111000 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n r r r r r r R ΛM M ΛΛ00022211211 则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A ΛΛMM ΛΛ112221211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l Λ。
因011>l ，故0,,112≤n r r Λ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n Λ故0,,121≤n r r Λ；因022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。
类似的有02≤i r ，02≤i l （n i ,,5,4Λ=）。
矩阵论公式定理总结
定理 2.2.1 数域 P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是它们有
相同的维数。
子空间（略） 定理 2.3.2 两个向量组生成相同子空间的充要条件是它们等价。 定理 2.3.3 dim L(1 , 2 ,, r ) rank (1 , 2 ,, r ) （其中
L(1 , 2 ,, r ) 是由 1 , 2 ,, r 生成的空间）
定理 2.3.4 设 W 是数域 P 上的 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
1 , 2 ,, m 是 W 的一个基， 则这组基向量必定可扩充为线性空间 V 的
基， 即在 V 中必定可找到 n m 个向量 m1 , m 2 ,, n ， 使得 1 , 2 ,, n 是 V 的一个基。此定理通称为基的扩充定理。
行列式的降阶定理 定理 1.6.1 设 A 和 D 分别为 n 阶及 m 阶的方阵，则有
A C A D CA1B ,当A可逆时; D D A BD 1C ,当D可逆时. B
定理 1.6.2 设 A，B，C，D 皆为 n 阶方阵，且满足 AC=CA，则
A C B D AD CB
的系数矩阵
a11 a A 21 a s1 a12 a1n a22 a2 n as 2 asn
的秩 r<n,则方程组必有非有非零解。
定理 1.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 A 0 的充要条件 rank(A)<n 定理 1.1.3 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A 中至少有一个 r 阶子式
有解的充要条件为 rank ( A) rank ( B) 。其中
a11 a21 A as1 a11 a21 B as1
幂等矩阵的性质及其应用
0引言幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵,不仅在高等代数中有着重要的应用,在其它课程中,如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。
在代数学中,线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。
但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。
因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。
本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质,同时给出了一些相关的应用。
1主要结果首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。
定义1:若n阶方阵A满足A2=A,则称A为幂等矩阵。
下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。
定理1:幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。
证明:设A为任意一个幂等矩阵。
由A2=A,可得λ2=λ其中λ为A的特征值。
于是有λ=1或0,命题得证。
推论:可逆的幂等矩阵的特征值均为1。
证明:设A为一可逆的幂等矩阵。
由A2=A可得A2A-1=AA-1即A=E。
此时有λE-E=0即λ=1其中,λ为A的特征值。
命题得证。
定理2:任意的幂等矩阵A都相似于对角阵,即存在可逆阵P,使得:P-1AP=Er0 00 (),其中r=R(A)。
证明:A为任意幂等矩阵,J为其Jordan标准型,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=J=J10⋱0J s (),其中J i=λi1…0⋱┋⋱1 0λi ⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟。
由此可得J2=J。
于是有,J i2=J i。
此时,J i只能为数量矩阵λi E。
又因为A2=A,所以λi=0或1,且r=R(A)。
命题得证。
定理3:幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域,特征值为0的特征子空间为其零(核)空间。
证明:(i)A为一n阶幂等矩阵。
α为其特征值1对应的特征向量。
则有,Aα=α。
由此可得α属于A的值域。
反之,对于任意一个A的值域中的向量α,总能找到一个向量β,使得Aβ=α,于是有Aα=A2β=β,即α=β。
综上可知,幂等矩阵的特征值为1的特征子空间与其值域等价。
(ii)A为一n阶幂等矩阵。
M矩阵的性质定理及证明
M 矩阵的性质、定理及证明一、M 矩阵的概念定义1 设n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。
定义2 设n n ij a A ⨯=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。
引理1 如果n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A •=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。
二、M 矩阵的判定定理与证明定理1 若n n ij a A ⨯=)(为M 矩阵，则R L A ⨯=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。
证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。
由引理1，A 可做三角分解R L A •=。
设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n l l l l l l L 21222111000 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n r r r r r r R 00022211211 则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A 112221211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l 。
因011>l ，故0,,112≤n r r ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n 故0,,121≤n r r ；因022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。
类似的有02≤i r ，02≤i l （n i ,,5,4 =）。
又因有0343324321421≤++r l r l r l 及0334323421341≤++r l r l r l 故相应有014≤r ，043≤l 。
矩阵奇异值分解定理的直观证明
矩阵奇异值分解定理的直观证明
矩阵奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中的一个重要概念，它为各种机器学习和数据挖掘技术提供了基础。
其独特之处在于把一个矩阵分解为三个矩
阵的乘积，因此又被称为三角分解或者三因子分解。
它的定理被称为矩阵奇异值分解定理，是关于任意实矩阵M可以分解为三个矩阵乘积的一个重要结论。
矩阵奇异值分解定理的证明过程涉及到一些数字计算，它的证明可以分为多个步骤：
1）将M矩阵以特征值分解的形式写出：M=UΣV'，其中U是特征向量矩阵，Σ是特征值所组成的对角矩阵，V'是转置矩阵。
2）首先，将M矩阵看作是U列空间和V行空间组成的两个子空间。
3）从U空间中选取最大特征值对应的特征向量u1，此向量与V空间中相关的特征向量v1
正交，故令v1与u1的点积为0，则u1'V=0。
4）又因为V剩下的特征向量组成的子空间可以被U剩下的特征向量组成的原子空间（超
平面）正交，可以得到U剩下的特征向量的线性相关，即U剩下的特征向量也可以写成U1的线性组合。
5）通过这几个步骤，得出结论M可以分解成三个矩阵的乘积：M=UΣV'，其中U和V分别
是M的左奇异矩阵和右奇异矩阵，Σ是M的特征值所组成的对角矩阵。
经过以上证明，矩阵奇异值分解定理得以证明，它提供了矩阵M可以分解成低秩矩阵的一
种方法。
SVD可以用来对矩阵进行降维，可以有效削减矩阵的维数，减少计算量，提高程
序的运行速度，广泛应用于机器学习和数据挖掘技术，是一种重要而有用的数学计算方法。
第二讲非负矩阵与M矩阵-华东师范大学数学系
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1.1
非负矩阵基本性质
(1) 若 0 ≤ A ≤ B , 0 ≤ C ≤ D, 则 0 ≤ AC ≤ BD. (2) 若 0 ≤ A ≤ B , 则 0 ≤ Ak ≤ B k , k = 1, 2, . . .. (3) 若 A > 0 且 x 0, 则 Ax > 0. (4) 若 A ≥ 0, x > 0 且 Ax = 0, 则 A = 0.
1
非负矩阵
1.1 非负矩阵基本性质 1.2 正矩阵 1.3 非负矩阵的更多性质
元素都是非负实数的矩阵称为非负矩阵, 元素都是正实数的矩阵称为正矩阵. 记号说明: 设 A = [aij ] ∈ Rm×n , B = [bij ] ∈ Rm×n , 则 • 记号 A ≥ B 表示对任意下标 1 ≤ i ≤ m 和 1 ≤ j ≤ n 都有 aij ≥ bij . • 同样地, 记号 A > B 表示对任意下标 1 ≤ i ≤ m 和 1 ≤ j ≤ n 都有 aij > bij . • 如果 A ≥ B 且 A ̸= B , 则记为 A • A 的绝对值定义为 |A| = [|aij |]. 引理 1 设矩阵 A, B ∈ Cn×n , 向量 x ∈ Cn , 则 (1) |Ax| ≤ |A| |x|; (2) |AB | ≤ |A| |B |; (3) |Ak | ≤ |A|k , k = 1, 2, . . .; (4) ∥A∥F = ∥ |A| ∥F ; (5) |A| ≤ |B | =⇒ ∥A∥F ≤ ∥B ∥F . B. • 相类似地, 我们可以定义记号 “≤”, “<” 和 “ ”.
定理 4 设 A = [aij ] ∈ Rn×n 非负, 则 min
n ∑ j =1
M矩阵的性质定理及证明
M矩阵的性质定理及证明M矩阵（M-matrix）是一类具有特定性质的方阵。
它的特点是所有的特征值都是实数且非负，并且它的逆矩阵也是非负的。
M矩阵在数学和物理学中有广泛的应用，特别在线性方程组的求解和优化问题中具有重要意义。
首先，我们来定义M矩阵。
一个n阶实矩阵A称为M矩阵，如果满足以下两个条件：1.A是一个对称矩阵（即A的转置等于自身）。
2.对于矩阵A，存在一个正定矩阵B，使得A的所有主子矩阵（即A 的任意一个顺序主子矩阵，也就是由A的一些行和一些列组成的子矩阵）的行列式都大于等于0。
下面，我们将证明M矩阵具有以下性质：1.所有的特征值都是实数且非负。
设λ是A的一个特征值，v是对应的特征向量。
那么有Av=λv。
对等式两边取共轭，得到(Av)*=(λv)*，即v*A*=λ*v*。
将v和v*分别左乘上述等式，得到v*Av=λ*v*v。
由于v和v*不为0，所以v*v>0。
又因为A是对称矩阵，所以v*Av=v*A*v=(v*A*v)*。
因此，λ是实数。
再证明λ非负，假设存在一个特征向量v使得Av=λv且λ<0。
那么根据v*Av=(v*A)v=λ(v*v)，由于λ<0，而v*v>0，所以v*Av<0。
但是由于A 是对称矩阵，所以v*Av=(v*Av)*，即v*Av>0，矛盾。
因此，所有的特征值都是实数且非负。
2.矩阵A的逆矩阵也是非负的。
我们已经证明了A的所有特征值都是非负的。
设A的逆矩阵为A-1，那么有AA-1 = I，其中I是单位矩阵。
假设A-1中存在一个元素小于0，即(A-1)ij < 0。
那么可以构造单位矩阵的一个特征向量为v，其中v的第i个元素为1，其他元素为0。
那么有(A-1)v = λv，其中λ = (A-1)ii < 0。
这与我们前面证明的特征值非负的性质矛盾。
因此，矩阵A的逆矩阵也是非负的。
现在，我们来证明M矩阵的一个重要定理，Hadamard矩阵的逆矩阵也是非负的。
M矩阵判定定理及证明
M矩阵判定定理及证明-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIANM 矩阵的性质、判定定理及证明一、M 矩阵背景介绍：1、M 矩阵是计算数学中应用极其广泛的矩阵类 。
M 矩阵是L 矩阵的一种，M 矩阵要求它自身的逆矩阵为一个非负矩阵。
2、首先，L 矩阵的定义为：若A 一个n*n 的方阵，若0>ii a 而≤ij a (i ≠j)，则称A 为L 矩阵。
3、关于M-矩阵的一篇最早的论文发表于1887年，Stieltje 证明了一个具有非正非对角元的，非奇异对称对角占优矩阵的逆是一个非负矩阵。
之后，1937年Ostrowski 提出M 矩阵的定义为：具有非正非对角元，且逆是非负矩阵。
近年来，国内外的许多数学工作者对M 矩阵判定方法的研究都极为重视，并开展了深入的研究工作，给出了许多判定方法。
但就目前的研究成果来看，所提出的M 矩阵的判定方法仅是、且仅能对M 矩阵作整体判定，这对高阶矩阵来说，在计算上较为困难，判定方法难以实现，因而现有M 矩阵的判定方法存在着相当大的局限性。
二、M 矩阵的概念定义1 设n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。
定义2 设n n ij a A ⨯=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。
引理1 如果n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A •=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。
三、M 矩阵的判定定理与证明定理1 若n n ij a A ⨯=)(为M 矩阵，则R L A ⨯=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。
证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。
由引理1，A 可做三角分解R L A •=。
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M 矩阵的性质、定理及证明一、M 矩阵的概念定义1 设n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，01≥-A ，称A 为M 矩阵。
定义2 设n n ij a A ⨯=)(，且0≥ij a ，若1-A 为M 矩阵，则称A 为逆M 矩阵。
引理1 如果n n ij a A ⨯=)(，且0≤ij a ，j i ≠，A 为M 矩阵的充要条件是A 可做三角分解，R L A •=,其中L 为下三角阵，R 为上三角阵，L 和R 的主对角元都是正值。
二、M 矩阵的判定定理与证明定理1 若n n ij a A ⨯=)(为M 矩阵，则R L A ⨯=，其中下三角阵L 和上三角阵R 的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。
证明 若A 为M 阵，则当j i ≠，0≤ij a ；j i =，0>ij a 。
由引理1，A 可做三角分解R L A •=。
设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n l l l l l l L 21222111000 ， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n r r r r r r R 00022211211 则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++=nn nn n n n n n n n r l r l r l r l r l l r l r l r l r l r l r l r l A 112221211112212122221221112111112111111， 故0,,1111211≤n r l r l 。
因011>l ，故0,,112≤n r r ；因,0,0,,111111121>≤r r l r l n 故0,,121≤n r r ；因022321231≤+r l r l ，故02221≤r l ，从而021≤l ；因023221321≤+r l r l ，故023≤r 。
类似的有02≤i r ，02≤i l （n i ,,5,4 =）。
又因有0343324321421≤++r l r l r l 及0334323421341≤++r l r l r l 故相应有014≤r ，043≤l 。
类似的有03≤i r ，03≤i l （n i ,,6,5 =）。
假设k n =时有0≤ik l ，0≤ki r ，（n k i ,,1 +=），当1+=k n 时，由于02,11,12,,12,22,12,11,1≤++++++++++++++k k k k k k k k k k k k r l r l r l r l ，故02,1≤++k k r 。
又由于01,11,21,11,2≤++++++++k k k k k k r l r l ，故01,2≤++k k l ；类似的可得到0,1≤+i k r ，01,≤+k i l （n k i ,,2 +=）。
证毕。
定理2 设n n ij a A ⨯=)(，ij a 的代数余子式为ij A ，n j i ,,2,1, =，如果,,0j i a ij ≠≥则1-A 为M 矩阵的充要条件0,0≤>ij ii A A 。
证明 必要性：如果1-A 为M矩阵，由于))(,0(11n n ij A A A d A dA ⨯**-=≠==，故0,0≤>ij ii A A )(j i ≠。
充分性：由于*-=A dA 11，且0,0≤>ij ii A A ，),,2,1,(,0,)(n j i a a A ij n n ij =≥=⨯，就由定义1知1-A 为M 矩阵，证毕。
定义3 设有n 阶矩阵n n ij a A ⨯=)(，如果存在正向量X （即它的分量i x 都是正值），使得),,2,1(n i x a x a ij j ij i ii =>∑≠成立，则称A 为拟对角占优。
引理2 设n n ij a A ⨯=)(，满足)(0,0j i a a ij ii ≠≤>，并且矩阵T A A B +=为拟对角占优，则A 为M 矩阵。
定理 3 设n n ij a A ⨯=)(，如果k i n k i a a k i kk ii ≠=ΛΛ>,,,2,1,,41则A 为M 矩阵（其中∑≠+=Λ=>≠≤ij ji ij i ii ij a a j i a j i a ,0,,0）。
证明 若i ii a Λ>21对n i ,,2,1 = 皆成立，则由定义3 知TA AB +=为拟对角占优。
由引理2知A 为M 矩阵，为此，只需证明对某个i 有i ii a Λ≤21的情形。
不失一般性，不妨设121Λ≤ii a 。
由 k i kk ii a a ΛΛ>41,可得,,,3,2,21n k a k kk =Λ>用111/)21(a Λ乘以矩阵B 的第一列，得新矩阵)()1()1(ij b B =，则有1)1(11Λ=b ，∑≠=Λ=++Λ+≥ΛΛ>=nki i kki ik k k k kk kka a a a a a a b2)1(11111111)1()2/()2/(2 再假设0,/1)1(22)1(22)1(2≠Λ>>b b r ，用r 乘以矩阵)1(B 的第二列得到新矩阵)()2()2(ij b B =，则有)2(1)1(1)1(11)2(11Λ>Λ==b b ， )2(2)1(2)1(22)2(22Λ=Λ>=r b b ， )2()1()1()2(k k kk kk b b Λ≥Λ>=，n k ,,4,3 =于是)2(B 为强对角占优，故B 为拟对角占优。
由引理2知A 为M 矩阵。
定理4 设0),(,0,)(>≠≤=⨯ii ij n n ij a j i a a A ，设⎭⎬⎫⎩⎨⎧Λ>=i ii a i N 211，⎭⎬⎫⎩⎨⎧Λ>=i ii a i N 212，{} n N N N ,,2,121==，∑∈+=1N j ji ij i a a α，∑∈+=1N j ji ij i a a β若对任意21,N j N i ∈∈，恒有i j i jj i ii a a βαβα>--)2)(2(，则A 为M 矩阵。
证明 令：),(2,221N j N i a a R a a r iiii i jjj j j ∈∈-=-=ββ，由于i j j jj i ii a a a βαβ)2)(2(--，故j i r R >，取i N j j N j R r 12min max ∈∈<<δ做{}121,1;,|N i d N i d d diag D i i ∈=∈==当当δ得)()1()1(ij b BD B ==，则当1N i ∈时，有)0(0222)1()1(≠=--->--=Λ-i i iiii i ii i i ii i ii a a a a a a b βββδβ，如果0=i β，显然有 02)1()1(>-=Λ-i ii i ii a a b 。
当2N i ∈时有02)2()2()1()1(=--->--=Λ-i iii ii ii i i ii i ii a a a a a a b ββδβ，于是知BD B =)1(为强对角占优矩阵，由定义3知B 为拟对角占优矩阵，因此，根据引理2知A 为M 矩阵。
证毕。
定理5 如果存在正对角阵D ，使AD 为拟对角占优阵，则A 为拟对角占优阵。
证明 因为存在正对角阵D ，使AD 为拟对角占优，则存在正对角阵1D ，使1ADD 为强对角占优。
又因1DD 仍为正对角阵，故A 为拟对角占优阵。
证毕。
定理6 设0,,0,)(>≠≤=⨯ii ij n n ij a j i a a A ，且对任意的12,N i N j ∈∈有i j i jj i ii a a a βαβ≥--)2)(2( （1）并且对全体等号成立的j i ,，存在非零元素链112111211,k k k k i j j j jj i i i i ii a a a a a a -- ，使得k k k k k k k k i j j j j i i i a a a a ββ1111)2)(2(>--成立，则A 为M 矩阵。
证明 由于i j i jj i ii a a a βαβ≥--)2)(2(，故j i r R >。
取i N j j N j R r 21min max ∈∈<<δ，做{}12,1;,|N i d N i d d diag D i i i ∈=∈==当当δ得)()1()1(ij b BD B ==，则当1N i ∈时，有)0(0)1()1(≠≥Λ-i i ii b β 如果0=i β，显然有 0)1()1(≥Λ-i ii b 。
当2N i ∈时，有 0)1()1(≥Λ-i ii b ，反之，若对使式（1）成立的j i ,，存在非零元素链112111211,k k k k j j j j jj i i i i ii a a a a a a -- ，使得k k k k k k k k i j j j j i i i a a a a ββ1111)2)(2(>-- 成立则由前分析知BD B =)1(为具有非零元素链的对角占优矩阵，并且通过文献知道)1(B 为半强对角占优矩阵。
故BD B =)1(为拟对角占优矩阵，从而B 为拟对角占优矩阵，由引理2知A 为M 矩阵。
证毕。
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