甘肃省庆阳市2009年中考数学试题(含答案)

庆阳市2009年初中毕业学业监测与高中阶段学校招生考试

数 学 试 卷

友情提示：

1．抛物线2

y ax bx c =++的顶点坐标是2424b ac b a a ??

-- ???

，． 2．扇形面积公式：2

π360

n R S =扇形

；其中，n 为扇形圆心角度数，R 为圆的半径． 本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内． 1．8的立方根是（ ）

A ．2

B ．2-

C ．±2

D ．2．方程2

40x -=的根是（ ） A ．2x =

B ．2x =-

C ．1222x x ==-，

D ．4x =

3．图1中不是中心对称图形的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

图1

4．下列说法中，正确的是（ ） A ．“明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间降雨 B ．“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上 C ．“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票一定有1张会中奖 D ．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天 5．将抛物线2

2y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．22(1)y x =+

B ．2

2(1)y x =-

C ．2

21y x =+

D ．2

21y x =-

6．如图2，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A 处径直走到B 处这一过程中，他在地上的影子（ ） A ．逐渐变短 B ．先变短后变长 C ．先变长后变短 D ．逐渐变长

7．如图3，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为

耕地．若耕地面积需要551米2，则修建的路宽应为（ ） A ．1米 B ．1.5米 C ．2米 D ．2.5米

图2 图3 图4 图5

8．如图4，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，CE 和BD 交于点O ，设△OCD 的面积为m ，△OEB

） A ．5m =

B

．m =C

．m =D ．10m =

9．如图5，⊙O 的半径为5，弦AB =8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

10．图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x = C ．2

12

y x =-

D ．2

12

y x =

二、填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中的横线上． 11

在实数范围内有意义的x 应满足的条件是 ． 12．若关于x 的方程2

210x x k ++-=的一个根是0，则k = ．

13．如图7，将正六边形绕其对称中心O 旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转

的角度至少是 度．

14．若100个产品中有95个正品、5个次品，从中

随机抽取一个，恰好是次品的概率是 ． 15．如图8，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙

O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．

16．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （米）

与小球运动时间t （秒）的函数关系式是

29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度为 米．

17．如图9，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3

sin 5

A =

，则这个菱形的面积

图6（1） 图6（2）

图7 图

8

= cm 2．

18．如图10，两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是

切点，则∠AOB = ．

图9 图10 图11 图12

19．如图11，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐

标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ． 20．图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：

①0ab <；②方程2

0ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．

其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号） 三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

21．（6

2sin 45°．

22．（7分）一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何

体（如图13所示，圆锥在圆柱上底面正中间放置）摆在讲桌上，请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图（从正面、左面、上面看得到的视图）．

图13

主视图 左视图 俯视图

23．（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt △OAB 斜边OB 在y 轴上，且OB =4． （1）画出△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°后得到的三角形；

（2）求线段OB 在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB 与点B 轨迹所围成的封闭图形的面积）．

24．（8分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业2007年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？ 25．（9分）一只不透明的袋子中，装有2个白球（标有号码1、2）和1个红球，这些球除

颜色外其他都相同．

（1）搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率是多少？

（2）搅匀后从中一次摸出两个球，请用树状图（或列表法）求这两个球都是白球的概率．

图

14

四、解答题（二）：本大题共4小题，共42分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． （1）26．（10分）如图15（1），一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定． （1）这里所运用的几何原理是（ ） （A ）三角形的稳定性 （B ）两点之间线段最短 （C ）两点确定一条直线 （D ）垂线段最短

（2）图15（2）是图15（1）中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB =45°， ∠OAB =30°，OA =60cm ，求点B 到OA 边的距离．

1.7，结果精确到整数）

27．（10分）如图16，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ACB 和△DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交AB 于点F ． （1）求证：△ACB ∽△DCE ；（2）求证：EF ⊥AB ．

28．（10分）如图17，在边长为2的圆内接正方形ABCD 中，AC 是对角线，P 为边CD 的中点，延长AP 交圆于点E ． （1）∠E = 度；

（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由； （3）求弦DE 的长．

图15（1） 图15（2）

图

16 图17

29．（12分）如图18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C 的坐标为（1-，0），点B 在抛物线

22y ax ax =+-上．

（1）点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）抛物线的关系式为 ；

（3）设（2）中抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；

（4）将三角板ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°，到达AB C ''△的位置．请判断点B '、C '是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．

附加题：如果你的全卷得分不足150分，则本题的得分记入总分，但记入总分后全卷得分不得超过150分，超过按150分算． 30．（10分）图19是二次函数2

122

y x =-

+的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分面积为S ，试求出S 取值的一个范围．

图

18 图19

庆阳市2009年初中毕业学业监测与高中阶段学校招生考试

数学试卷参考答案与评分标准

11．x ＞1 12．1 13．60 14．20

1

15．3 16．4.9 17．60 18．60° 19．（2-，0） 20． ①②④

三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分． 21．本小题满分6分

解： 原式=22

?

························································································ 4分 =0． ························································································································ 6分

22．本小题满分7分

解：正确的三视图如图所示：

主视图正确； ········································································ 2分 左视图正确； ········································································ 2分

俯视图正确． ····································································· 3分 说明：俯视图中漏掉圆心的黑点扣1分．

23．本小题满分8分

解：（1）画图正确（如图）； ······················································· 4分 （2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是：

290

π44π360

?=． ································································· 8分

24．本小题满分8分 解：（1）设每年盈利的年增长率为x ， ················································································ 1分

根据题意，得2

1500(1)2160x +=． ·········································································· 3分 解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）．···························································· 5分

1500(1)1500(10.2)1800x ∴+=+=．

答：2007年该企业盈利1800万元． ············································································· 6分 （2） 2160(10.2)2592+=．

答：预计2009年该企业盈利2592万元． ··································································· 8分 25． 本小题满分9分 解 （1）p （一个球是白球）=

2

3

······················································································ 3分 （2）树状图如下（列表略）：

开始

········································································································································· 6分

P ∴（两个球都是白球）21

63

=

= ． ············································································· 9分 四、解答题（二）：本大题共4小题，共42分． 26．本小题满分10分 解：（1）A ． ··············································································· 3分 （2）如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C ， ··························· 4分 ∵ ∠AOB =45°，∴∠CBO =45°，BC =OC ． ·························· 5分 设BC =OC =x ，∵∠OAB =30°， ∴ AC =BC ×tan60°=3x ． ··················································· 7分 ∵ OC +CA =OA ，∴x +3x =60， ······································ 8分 ∴ x =3

160+≈22（cm ）．

即点B 到OA 边的距离是22 cm ． ··············································································· 10分 27． 本小题满分10分 证明：（1）

∵ 3,2AC DC = 63,42BC CE == ··············································· 2分

∴ .AC BC DC CE = 又 ∠ACB =∠DCE =90°， ··················································· 3分 ∴ △ACB ∽△DCE ． ······················································ 5分 （2） ∵ △ACB ∽△DCE ，∴ ∠ABC ＝∠DEC ． ······································································ 6分 又 ∠ABC ＋∠A =90°，∴ ∠DEC ＋∠A =90°． ······························································· 8分 ∴ ∠EF A =90°． ∴ EF ⊥AB ． ······················································································ 10分 28．本小题满分10分 解：（1）45． ················································································ 2分 （2）△ACP ∽△DEP ． ···························································· 4分 理由：∵∠AED =∠ACD ，∠APC =∠DPE ，

∴ △ACP ∽△DEP ． ································································ 6分

（3）方法一：

∵ △ACP ∽△DEP ， ∴ .AP AC DP DE =

······························· 7分 又 AP =522=+DP AD ，AC =2222=+DC AD ， ·········································· 9分 ∴ DE =5

102． ········································································································ 10分

方法二：

如图2，过点D 作DF AE ⊥于点F ．

在Rt ADP △中， AP ··················· 7分 又11

22

ADP S AD DP AP DF == △， ·························· 8分 白2 红 白1 白1 红 白2

白1 白2 红

B

C

O

图2

图1

∴ DF =5

52． ············································································································ 9分

∴ 5

1022==DF DE ． ························································································ 10分

29．本小题满分12分 解： （1）A （0，2）， B （3-，1）． ················································································· 2分 （2）211

222

y x x =

+-． ······························································································ 3分 （3）如图1，可求得抛物线的顶点D （11728

--，）． ················································· 4分 设直线BD 的关系式为y kx b =+， 将点B 、D 的坐标代入，求得5

4

k =-，114b =-，

∴ BD 的关系式为511

44

y x =--． ················································································· 5分

设直线BD 和x 轴交点为E ，则点E （11

5

-，0），CE =65．

∴ △DBC 的面积为161715

2588

??+=（1）． ······························································ 7分

（4）如图2，过点B '作B M y '⊥轴于点M ，过点B 作BN y ⊥轴于点N ，过点C '作C P y '⊥轴于点P ． ······················································································································· 8分

在Rt △AB ′M 与Rt △BAN 中，

∵ AB =AB ′， ∠AB ′M =∠BAN =90°-∠B ′AM ， ∴ Rt △AB ′M ≌Rt △BAN ． ·································································································· 9分 ∴ B ′M =AN =1，AM =BN =3， ∴ B ′（1，1-）． ···························································· 10分

图1

图2

同理△AC ′P ≌△CAO ，C ′P =OA =2，AP =OC =1，可得点C ′（2，1）； ·························· 11分 将点B ′、C ′的坐标代入211

222

y x x =

+-，可知点B ′、C ′在抛物线上． ················· 12分 （事实上，点P 与点N 重合）

附加题：如果你的全卷得分不足150分，则本题的得分记入总分，但记入总分后全卷得分

不得超过150分，超过按150分算． 30．本小题满分10分 解：方法一：

由题意，可知这段图象与x 轴的交点为A （-2，0）、B （2，0），与y 轴的交点为C （0，2）． ······················································· 2分

显然，S 在ABC ?面积与过A 、B 、C 三点的⊙O 半圆面积之间． ··································· 3分 ∵ ABC S △=4， ··································································· 4分 1

2O S =2π， ······························································· 5分 ∴ 4

说明：关于半圆⊙O 的面积大于图示阴影部分面积的证明，如下（对学生不要求）： 设P （x ，y ）在图示抛物线上，则 OP 2=x 2+y 2=（4-2y ）+y 2=（y -1）2+3． ∵ 0≤y ≤2， ∴ 3≤OP 2≤4． ∴ 点P 在半圆x 2+y 2=3、x 2+y 2=4所夹的圆环内， 以及点P

为内圆周点（1）与外圆周点A 、B 、C ． ∴ 半圆⊙O 的面积大于图示阴影部分的面积． 由于内半圆的面积为1

2

O S -3π2， ∴

3π

2

方法二：

由题意，可知这段图象与x 轴的交点为A （-2，0）、B （2，0），与y 轴的交点为C （0，2）． ························································································· 2分

2的两个半圆所夹的圆环内，以及过内半圆上点 P

（1）与半外圆上点A 、B 、C ． ······················ 5分

∴ S 在图示两个半圆面积之间． ····································· 7分

即

21π2?

22π?． ········································· 9分 ∴ 3π2