高中数学例题：平面向量模的问题
高中数学高一平面向量常见题型分类总结
平面向量常见题型题型一、利用平面向量待定系数求参数值（平面向量基本定理的应用）例题1： 在正方形中， 分别是的中点，若，则的值为（ ）变式1： 如图，两块斜边长相等直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝___y ＝___题型二、向量基本定理与不等式,、三角函数相结合例题2： 在Rt ABC ∆中，090A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,(0,0)AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时， AD 的值为变式2： 已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点，且20OA aOB bOC −−= 则221a ba b b+++的最小值是___________变式3： 给定两个长度为1的平面向量,OA OB ，它们的夹角为120.如图1所示，点C 在以ABCD ,M N ,BC CD AC AM BN λμ=+λμ+O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈，则x y +的最大值是______.变式4：变式5： 若非零向量a b 、满足a b b −=，则下列不等式恒成立的为（ ） A. 22b a b >− B. 22b a b <− C. 22a a b >− D. 22a a b <−题型三、坐标系法处理平面向量的数量积在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等），易于建系并写出点的坐标，则考虑将向量坐标化解1. 数量积的定值问题例2.在边长为1的正三角形ABC 中，设2,3BC BD CA CE ==，则AD BE ⋅=____变式6： 如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是____________变式7： 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，点P 是MD 的中点，若2AB =，1AD =，且60BAD ∠=，则AP CP ⋅=_________2. 数量积的最值问题例3.平面向量,,a b c 满足1,2,2,1a e b e a b e ⋅=⋅=−==，则a b ⋅最小值是______变式8.已知点M 为等边三角形ABC 的中心，2AB =，直线l 过点M 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，则BQ CP ⋅的最大值为 .3. 数量积的范围问题例题3： 如图，在直角三角形ABC中，1AC BC ==，点,M N 分别是,AB BC 的中点，点P 是ABC 内及边界上的任一点，则AN MP ⋅的取值范围是_______变式8： 如图，四边形ABCD 是半径为1的圆O 的外切正方形，PQR 是圆O 的内接正三角形，当PQR 绕着圆心O 旋转时，AQ OR ⋅的取值范围是变式9： 在平面上，12AB AB ⊥ ，12121,OB OB AP AB AB ===+，若12OP <，则OA 的取值范围是题型四、平面向量的投影问题数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。
高中数学平面的法向量与平面的向量表示题库
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学习目标 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.了解三垂线定理及其逆定理．知识点一 平面的法向量已知平面α，如果向量n 的基线与平面α垂直，则向量n 叫做平面α的法向量或说向量n 与平面α正交．知识点二 平面的向量表示设A 是空间任一点，n 为空间内任一非零向量，则适合条件AM →·n ＝0的点M 的集合构成的图形是过空间内一点A 并且与n 垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式． 知识点三 两平面平行或垂直的判定及三垂线定理 1．两平面平行或垂直的判定方法设n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则容易得到 α∥β或α与β重合⇔n 1∥n 2； α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0. 2．三垂线定理如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．1．已知直线垂直于α，向量a 平行直线l ，则a 是平面α的法向量．( × )2．若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．( × ) 3．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．( √ ) 4．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．( √ )题型一 求平面的法向量例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量．解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0，3，0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，B (1,0,0)，C (1，3，0)， 于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ，z ＝－3y ，令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.所以平面ACE 的法向量为n ＝(3，－1，3)． 引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量． 解 如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，则P (0,0,1)，C (1，3，0)，所以PC →＝(1，3，－1)即为直线PC 的一个方向向量．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为D (0，3，0)，所以PD →＝(0，3，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －z ＝0，3y －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝3y ，令y ＝1，则z ＝ 3.所以平面PCD 的法向量为n ＝(0,1，3)． 反思感悟 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AC →＝0列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量．跟踪训练1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，△P AB 是边长为1的正三角形，ABCD 是菱形．∠ABC ＝60°，E 是PC 的中点，F 是AB 的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF 的法向量．解 连接PF ，CF ，因为P A ＝PB ，F 为AB 的中点，所以PF ⊥AB ， 又因为平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，PF ⊂平面P AB . 所以PF ⊥平面ABCD ，因为AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以CF ⊥AB .以F 为坐标原点，建立空间直角坐标系Fxyz (如图所示)． 由题意得F (0,0,0)，P ⎝⎛⎭⎫0，0，32，D ⎝⎛⎭⎫－1，32，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， E ⎝⎛⎭⎫0，34，34. 所以FE →＝⎝⎛⎭⎫0，34，34，FD →＝⎝⎛⎭⎫－1，32，0.设平面DEF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·FE →＝0，m ·FD →＝0，即⎩⎨⎧34y ＋34z ＝0，－x ＋32y ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－y ，x ＝32y ，令y ＝2，则x ＝3，z ＝－2.所以平面DEF 的法向量为m ＝(3，2，－2)． 题型二 利用空间向量证明平行问题例2 已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1—→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的法向量．由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1—→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1—→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)， 因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .反思感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．跟踪训练2 如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．解 分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ，∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，设E (0，y ，z )，则PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴(－1)×y －2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，∴存在E 点，当点E 为PD 的中点时，CE ∥平面P AB . 题型三 利用空间向量证明垂直问题例3 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 的中点．证明：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.证明 方法一 如图，以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)． ∵D 为BC 的中点，∴D 点坐标为(1,1,0)， ∴AD →＝(1,1,0)，AA 1→＝(0,0，3)，BC →＝(－2,2,0)， ∴AD →·BC →＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，AA 1→·BC →＝0×(－2)＋0×2＋3×0＝0， ∴AD →⊥BC →，AA 1→⊥BC →， ∴BC ⊥AD ，BC ⊥AA 1.又A 1A ∩AD ＝A ，∴BC ⊥平面A 1AD .又BC ⊂平面BCC 1B 1，∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 方法二 同方法一建系后，得AA 1→＝(0,0，3)， AD →＝(1,1,0)，BC →＝(－2,2,0)，CC 1→＝(0，－1，3)． 设平面A 1AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AA 1→＝0，n 1·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0，令y 1＝－1，则x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0，n 2·CC 1→＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0，令y 2＝1，则x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝⎛⎭⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2， ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.反思感悟 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点． (1)求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1；(2)在直线AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面AED . 考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直(1)证明 以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)， ∴DA →＝D 1A 1—→＝(2,0,0)，DE →＝(2,2,1)，D 1F →＝(0,1，－2)． 设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝0，n 1·DE →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0.令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)．同理，平面A 1FD 1的法向量为n 2＝(0,2,1)． ∵n 1·n 2＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴n 1⊥n 2， ∴平面AED ⊥平面A 1FD 1. (2)解 由于点M 在直线AE 上， 因此可设AM →＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)， 则M (2,2λ，λ)，∴A 1M →＝(0,2λ，λ－2)． 要使A 1M ⊥平面AED ，只需A 1M →∥n 1， 即2λ1＝λ－2－2，解得λ＝25.故当AM ＝25AE 时，A 1M ⊥平面AED .利用向量求解空间中的探索性问题典例 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面垂直解 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，P (0,1，a )，则A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，1，0，C 1(0,1,1)， A 1B 1—→＝(0,1,0)，A 1P →＝(－1,1，a －1)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DC 1→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1—→＝0，n 1·A 1P →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0，∴x 1＝(a －1)z 1，y 1＝0. 令z 1＝1，得x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2y 2，z 2＝－y 2.令y 2＝1，得x 2＝－2，z 2＝－1， ∴n 2＝(－2,1，－1)．∵平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，∴n 1·n 2＝0，即－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.∴当P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .[素养评析] 立体几何中探索性、存在性问题的思维层次较高，分析时应特别注意．本例由题意设出探求点的坐标，利用两平面垂直，法向量的位置关系及严密的逻辑推理，从而得出点P 的坐标．1．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m 等于( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 答案 C解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝0， 即2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确答案 A解析 ∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β.3．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( ) A ．(0,1,2) B ．(3,6,9) C ．(－1，－2,3) D ．(3,6,8) 答案 B解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线．4．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103答案 B解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴24＝3λ＝－1－2.∴λ＝6. 5．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v ＝(t,5,1)，则t 的值为________．答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量v 互相垂直，∴μ·v ＝0，即－1×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．一、选择题1．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．±2答案 D解析 由题意知，－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0，解得x ＝±2.2．若平面α，β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3,1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确答案 C3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 答案 B解析 对于A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A ；同理可排除C ，D ；对于B ，P A →＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12，则P A →·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0. 4．若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n 1＝(1,2，x )，n 2＝(x ，x ＋1，x )，则x 的值为( )A ．1或2B ．－1或－2C ．－1D ．－2 答案 B解析 由题意可知，n 1·n 2＝(1,2，x )·(x ，x ＋1，x )＝x ＋2x ＋2＋x 2＝x 2＋3x ＋2＝0，解得x ＝－1或x ＝－2.5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( )A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l ⊥αD ．l ⊂α或l ∥α 答案 D解析 当a ·b ＝0时，l ⊂α或l ∥α.6．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( )A ．－1,2B ．1，－2C ．1,2D ．－1，－2答案 A解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)， 由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝2.7．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z )，v ＝(－2，－y ，1)，若α⊥β，则y ＋z 的值是( )A ．－3B ．6C ．－6D ．－12答案 B解析 α⊥β⇒μ·v ＝0⇒－6＋y ＋z ＝0，即y ＋z ＝6.8．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 答案 D解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∵⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·n ＝0，AC →·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)，单位法向量为⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33. 二、填空题9．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x 的值为________． 答案 11解析 ∵点P 在平面ABC 内，∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1.∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7，即x ＝11.10．设平面α的法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.答案 4解析 由α∥β，得1－2＝2－4＝－2k (kD ＝/0)，解得k ＝4. 11．在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则直线SC 与BC 是否垂直________．(填“是”“否”)答案 是解析 如图，以A 为坐标原点，AC ，AS 所在直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (－13，2,0)，S (0,0，23)，C (0,2,0)，SC →＝(0,2，－23)，CB →＝(－13，0,0)．因为SC →·CB →＝0，所以SC ⊥BC .三、解答题12．已知平面α经过点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y －3z ＝0，x －2y －4z ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2， ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，AD ＝233AB ，E 是PC 的中点．求证：PD ⊥平面ABE .证明 ∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，233，0. ∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. ∴AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫14，34，12， ∴设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1， 显然PD →＝33n ，∴PD →∥n ，∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .14.如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0,0,0)，A (3，1,0)，B (0,2,0)，E (0,0,2)，D (0,2,1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0,0,2)，ED →＝(0,2，－1)．分别设平面CEA 与平面DEA 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝－3x 1，z 1＝0.⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EA →＝0，n 2·ED →＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2.不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1,2)，因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直．所以平面DEA ⊥平面ECA .15.如图，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E ，B ，F ，D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：ME ⊥平面BCC 1B 1. 考点 向量法求解直线与平面的位置关系题点 向量法解决线面垂直证明 (1)以点B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则BE →＝(3,0,1)，BF →＝(0,3,2)，BD 1→＝(3,3,3)，∴BD 1→＝BE →＋BF →，故BD 1→，BE →，BF →共面．又它们有公共点B ，∴E ，B ，F ，D 1四点共面．(2)设M (0,0，z )，则GM →＝⎝⎛⎭⎫0，－23，z ， 而BF →＝(0,3,2)，由题设得GM →·BF →＝－23·3＋z ·2＝0，得z ＝1. ∵M (0,0,1)，E (3,0,1)，∴ME →＝(3,0,0)，又BB 1→＝(0,0,3)，BC →＝(0,3,0)，∴ME →·BB 1→＝0，ME →·BC →＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC. 又BB1∩BC＝B，故ME⊥平面BCC1B1.。
高中数学第二章平面向量向量应用举例例题与探究(含解析)
2.7 向量应用举例典题精讲例1用向量法证明平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
思路分析：把平行四边形的边和对角线的长看成向量的长度，转化为证明向量长度之间的关系.基向量法和坐标法均可解决.答案：已知：四边形ABCD是平行四边形，求证：|AC｜2＋|BD|2=2|AB｜2＋2|AD|2。
证法一：如图2—7—1所示，设AB=a, AD=b，∴AC=AB＋AD=a＋b，BD=AD-AB=b-a。
图2-7—1∴｜AC｜2=(a+b）2=a2+2a·b+b2，｜BD｜2=（b—a)2=a2-2a·b＋b2。
∴｜AC|2＋|BD|2=2a2+2b2.又∵2|AB|2＋2|AD|2=2｜OB|2＋2|OD|2=2a2+2b2，∴｜AC｜2＋|BD|2=2|AB|2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和.证法二:如图2—7-2所示，以A为原点,以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.设A（0，0）、D（a,b）、B（c，0），∴AC=AB＋AD图2—7-2=OB＋OD=(c，0）+（a，b)=(a+c,b），BD=AD—AB=OD—OB=（a，b)-(c,0）=（a-c,b)。
∴|AC｜2=（c+a）2+b2，|BD｜2=（a-c）2+b2.∴｜AC|2＋|BD｜2=2a2+2c2+2b2。
又∵2｜AB｜2＋2|AD｜2=2|OB｜2＋2｜OD｜2=2a2+2c2+2b2,∴|AC|2＋|BD｜2=2|AB｜2＋2｜AD｜2,即平行四边形两对角线的平方和等于四条边的平方和。
绿色通道：1。
向量法解决几何问题的步骤:①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;②通过向量运算（有基向量法和坐标法两种),研究几何元素之间的关系；③把运算结果“翻译”成几何关系。
这是用向量法解决平面几何问题的“三步曲”.又简称为：一建二算三译；也可说成为：捡便宜（建算译)。
全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题
全国通用2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用经典大题例题单选题1、已知向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13则a ⃗与b ⃗⃗的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：C分析：先对|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13平方，代入已知条件整理得a ⃗⋅b ⃗⃗=−3，再利用数量积公式可求得. ∵|a ⃗−2b ⃗⃗|=2√13，∴|a ⃗−2b ⃗⃗|2=a ⃗2−4a ⃗⋅b ⃗⃗+4b ⃗⃗2=52， 又|a ⃗|=2，|b ⃗⃗|=3，∴a ⃗⋅b ⃗⃗=−3， 设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ， ∴cosθ=a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=−12，从而θ=2π3，所以a ⃗与b⃗⃗的夹角θ=2π3. 故选：C2、向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5)，将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量a =(3,6)平移后得到向量A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标形式为（ ） A ．(10,1)B ．(4,−11) C ．(7,−5)D ．(3,6) 答案：C分析：由向量平移可知，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，即可得A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标. 因为平移后，A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且长度相等，故A ′B ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−5). 故选：C3、在正方形ABCD 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B ．DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：C分析：根据平面向量加减运算法则计算可得.解：BC⃗⃗⃗⃗⃗ −DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选：C.4、定义空间两个向量的一种运算a⊗b⃗=|a|⋅|b⃗|sin⟨a ,b⃗⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⊗b⃗)=(λa)⊗b⃗B．(a⊗b⃗)⊗c=a⊗(b⃗⊗c)C．(a+b⃗)⊗c=(a⊗c)+(b⃗⊗c)D．若a=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)，则a⊗b⃗=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa )⊗b⃗=|λa||b⃗|sin<λa ,b⃗>，λ>0时，<λa ,b⃗>=<a ,b⃗>，(λa )⊗b⃗=λ|a||b⃗|sin<a ,b⃗>=λ(a⊗b⃗)，λ=0时，λ(a⊗b⃗)=0,(λa)⊗b⃗=0，成立，λ<0时，<λa ,b⃗>=π−<a ,b⃗>，sin<λa ,b⃗>=sin(π−<a ,b⃗>)=sin<a ,b⃗>(λa )⊗b⃗=−λ|a||b⃗|sin<a ,b⃗>=−λ(a⊗b⃗)，综上，A不恒成立；B．a⊗b⃗是一个实数，(a⊗b⃗)⊗c无意义，B不成立；C．若a=(0,1),b⃗=(1,0)，c=(1,1)，则a+b⃗=(1,1)，<a+b⃗,c>=0，(a+b⃗)⊗c=|a+b⃗||c|sin0=√2×√2×0=0，<a ,c>=π4,<b⃗,c>=π4，(a⊗c)+(b⃗⊗c)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a+b⃗)⊗c≠(a⊗c)+(b⃗⊗c)，C错误；D．若a=(x1,y1)，b⃗=(x2,y2)，则|a|=√x12+y12，|b⃗|=√x22+y22，cos<a ,b⃗>=1212√x1+y1×√x2+y2，sin <a ,b ⃗ >=√1−cos 2<a ,b⃗ >=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⊗b ⃗ =|a ||b ⃗ |sin <a ,b ⃗ >=|x 1y 2−x 2y 1|，成立． 故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ,b ⃗ >用cos <a ,b⃗ >，而余弦可由数量积进行计算． 5、若z(1+i 3)=i ，则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断. 因为z(1−i )=i ， 所以z =i 1−i=i (1+i )2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限． 故选：B ．6、已知菱形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 为AO 的中点，若AB =2，∠BAD =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（ ） A ．−2B ．−12C ．−72D ．12 答案：B分析：根据题意,以对角线交点为坐标原点，对角线所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,利用坐标法求解. 解：如图，以点O 为坐标原点，OD,OA 所在直线为x,y 轴建立平面直角坐标系， 由AB =2，∠BAD =60°，所以A(0,√3)，B(−1,0)，D(1,0)，E(0,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,−√3),DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,√32)， 所以AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=1−32=−12. 故选：B小提示：本题考查向量的数量积运算，解题的关键在于根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标法求解，考查运算求解能力，是中档题.7、已知向量a ，b ⃗ 满足|a |=√3，|b ⃗ |=2，且a ⊥(a −b ⃗ )，则a 与b ⃗ 的夹角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⊥(a −b ⃗ ),所以a ⋅(a −b ⃗ )=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a 与b ⃗ 的夹角为30°，故选：A.8、“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36°的等腰三角形，暂且称为“黄金三角形A ”．如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A ”与1个正五边形组成，其中sin18°=√5−14，则阴影部分面积与五角形面积的比值为（ ）．A ．√5−14B ．√55C ．√5+16D ．3√520答案：B分析：在三角形ABC 中，由sin18°值，可得BCAC =√5−12，即BD AB=√5−12，设△ABC 的面积为x ，由此可知△BCD 和△CEF 的面积均为√5−12x ，△CDE 的面积为x ，由此即可求出结果.如图所示，依题意，在三角形ABC 中，sin18°=BC2AC=√5−14，故BC AC=√5−12； 所以BD AB=√5−12， 设△ABC 的面积为x ，则△BCD 面积为√5−12x ，同理△CEF 的面积为√5−12x ， △CDE 的面积为x ，则阴影部分面积与五角形面积的比值为2x+2⋅√5−12x 2⋅√5−12x+6x=√55. 故选：B ．9、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（ ）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3 答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可. ∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc=12，∵0<A <π，∴A =π3.故选：C10、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3xAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2yAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 而CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(15AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=15(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 填空题11、设向量a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为13，且|a |=1，|b ⃗ |=3，则(2a +b⃗ )⋅b ⃗ =_________． 答案：11分析：设a 与b ⃗ 的夹角为θ，依题意可得cosθ=13，再根据数量积的定义求出a ⋅b⃗ ，最后根据数量积的运算律计算可得．解：设a 与b ⃗ 的夹角为θ，因为a 与b⃗ 的夹角的余弦值为13，即cosθ=13， 又|a |=1，|b ⃗ |=3，所以a ⋅b ⃗ =|a |⋅|b⃗ |cosθ=1×3×13=1， 所以(2a +b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=2a ⋅b⃗ +|b ⃗ |2=2×1+32=11．所以答案是：11．12、已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,，则|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为______． 答案：[3,17]分析：由题可得|CB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，利用||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |即可求解. 因为CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 又||AB⃗⃗⃗⃗⃗ |−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 即3≤|AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤17，即3≤|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤17. 所以答案是：[3,17].13、如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC →⋅BC →的取值范围是___________.答案：[−18,3]分析：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC .设θ为OA →和BC →的夹角.求出 AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ,利用二次函数即得解.解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD ⊥BC . 设θ为OA →和BC →的夹角.则AC →⋅BC →=(OC →−OA →)⋅BC →=OC →⋅BC →−OA →⋅BC →=|OC →|⋅|BC →|⋅cos∠BCO −|OA →|⋅|BC →|⋅cosθ =12|BC →|2−12|BC →|cosθ，12|BC →|2−12|BC →|cosθ≥12|BC →|2−12|BC →| =12(|BC →|−12)2−18， （当cosθ=1即θ=0时取等）因为|BC →|∈[0,2]，所以当|BC →|=12时，AC →⋅BC →有最小值−18.12|BC →|2−12|BC →|cosθ≤12|BC →|2+12|BC →| =12(|BC →|+12)2−18， （当cosθ=−1即θ=π时取等）当|BC →|=2时，12|BC →|2+12|BC →|有最大值为3，即AC →⋅BC →有最大值3，所以AC →⋅BC →的取值范围是[−18,3]. 所以答案是：[−18,3]小提示：关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型AC →⋅BC →=12|BC →|2−12|BC →|cosθ，再利用二次函数的图象和性质求解. 解答题14、已知正方形ABCD 的边长为1．E 是AB 上的一个动点，求DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值及DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值． 答案：1，最大值为1．分析：建立如图所示的平面直角坐标系，设E (x 0,0)，得到向量的坐标，利用向量数量积的运算公式，即可求解. 如图所示，建立如图所示的平面直角坐标系，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1)， 设E (x 0,0)，其中0≤x 0≤1，则DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,−1)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1， 又由DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，所以DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 0，而0≤x 0≤1，所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1． 所以答案是：1； 1.15、在平行四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，（1）如图1，如果E ，F 分别是BC ，DC 的中点，试用a ,b ⃗ 分别表示BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ . （2）如图2，如果O 是AC 与BD 的交点，G 是DO 的中点，试用a ,b ⃗ 表示AG ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案：（1）BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12a +b ⃗ ，DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ （2）AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b ⃗ . 分析：（1）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可； （2）利用平面向量基本定理，结合平面向量线性运算性质、平行四边形的性质进行求解即可.（1）BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +b⃗ ， DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a −12b ⃗ ； （2）AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14a +34b ⃗ .。
高中数学第六章平面向量及其应用必考考点训练(带答案)
高中数学第六章平面向量及其应用必考考点训练单选题1、在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =60°，点P 是△ABC 内一点（含边界），若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为（ ） A ．2√73B ．83C ．2√193D ．2√133答案：D分析：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立坐标系，设点P 为(x,y)，根据向量的坐标运算可得y =√3(x −2)，当直线y =√3(x −2)与直线BC 相交时|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |最大，问题得以解决 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， ∵AB =3，AC =2，∠BAC =60°， ∴A(0,0)，B(3,0)，C(1,√3)，设点P 为(x,y)，0⩽x ⩽3，0⩽y ⩽√3， ∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(x ，y)=23(3，0)+λ(1，√3)=(2+λ，√3λ)，∴{x =2+λy =√3λ， ∴y =√3(x −2)，① 直线BC 的方程为y =−√32(x −3)，②，联立①②，解得{x =73y =√33， 此时|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |最大， ∴|AP|=√499+13=2√133， 故选：D ．小提示：本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题 2、在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于（ ） A ．14B ．C ．√24D ．√23答案：B分析：利用余弦定理求得cosB . b 2=ac,c =2a ，则b 2=2a 2， 由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac=a 2+4a 2−2a 22a⋅2a=34.故选：B3、在△ABC 中，已知a =2,b =3,B =30°，则此三角形（ ） A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．无法判断有几解 答案：A分析：根据给定条件，结合正弦定理计算判断作答. 在△ABC 中，a =2,b =3,B =30°，由正弦定理得sinA =asinB b=2sin30∘3=13，而a <b ，有A <B =30∘，即A 为锐角，所以此三角形有一解． 故选：A4、已知平面向量a ＝(1，2)，b ⃗ ＝(－2，m )，且a ∥b ⃗ ，则2a ＋3b⃗ ＝( ) 34A．(－4，－8)B．(－8，－16)C．(4，8)D．(8，16)答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.∵a∥b⃗，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴b⃗＝(－2，－4)，∴2a＋3b⃗＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．故选：A.5、a ,b⃗为非零向量，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|，则（）A．a //b⃗，且a与b⃗方向相同B．a ,b⃗是共线向量且方向相反C．a=b⃗D．a ,b⃗无论什么关系均可答案：A分析：根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.当两个非零向量a ,b⃗不共线时，a+b⃗的方向与a ,b⃗的方向都不相同，且|a+b⃗|<|a|+|b⃗|；当两个非零向量a ,b⃗同向时，a+b⃗的方向与a ,b⃗的方向都相同，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|；当两个非零向量a ,b⃗反向时且|a|<|b⃗|，a+b⃗的方向与b⃗的方向相同，且|a+b⃗|=|b⃗|−|a|，所以对于非零向量a ,b⃗，且|a+b⃗|=|a|+|b⃗|，则a //b⃗，且a与b⃗方向相同.故选：A.6、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且B=π3，b=3，a=√3，则c=（）．A．√3B．2√3C．3−√3D．3答案：B分析：利用余弦定理可构造方程直接求得结果.在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3+c2−√3c=9，即c2−√3c−6=0，解得：c=−√3（舍），∴c=2√3.故选：B.7、在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若A=45°,B=60°,b=2√3，则c等于（）cA ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC=b sinB，所以c sin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.8、已知向量a =(2，3)，b ⃗ =(3，2)，则|a –b ⃗ |= A ．√2B ．2 C ．5√2D ．50 答案：A分析：本题先计算a −b ⃗ ，再根据模的概念求出|a −b ⃗ |． 由已知，a −b ⃗ =(2,3)−(3,2)=(−1,1)， 所以|a −b ⃗ |=√(−1)2+12=√2， 故选A小提示：本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错． 多选题9、G 是△ABC 的重心，AB =2，AC =4，∠CAB =120°，P 是△ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）A ．GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0→B ．AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量等于AB ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =−43D ．AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为-1 答案：AC分析：根据向量的线性运算结合重心的性质判断A ，根据投影向量的定义判断B ，根据向量的数量积的运算律判断C ，D.A ：当点G 为△ABC 的重心时，如图所示：四边形BDCG 为平行四边形，根据重心性质可得AG⃗⃗⃗⃗⃗ =2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ .则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2GO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0→，∴A 正确， B ：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=4×(−12)=−2， ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量为−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴B 错误， C ：∵G 是△ABC 的重心，∴GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴GB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG⃗⃗⃗⃗⃗ =19(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=19(2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2) =19[8+2×4×(−12)−16]=−43，∴C 正确，D ：当P 与G 重合时，∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AG⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BG ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−19(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−43，与AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值为−1矛盾 ∴D 错误， 故选：AC ．10、已知向量a ，b ⃗ ，c 满足|a |=2，|b ⃗ |=1，a ⋅b ⃗ =1，|c |2−2b ⃗ ⋅c +34=0，则下列说法正确的是（ ）A ．|c −b ⃗ |=1B ．若|c |=√32，则c ⊥(c −b⃗ ) C ．∀t ∈R ，有|b ⃗ +ta |≥√32D ．若c =λa +(1−λ)b ⃗ ，λ∈R ，则|a −c →|的值唯一 答案：BC分析：结合已知条件，利用平面向量数量积的运算性质逐个检验即可 对于A ：∵|b →|=1，|c →|2−2b →⋅c →+34=0∴|c →−b →|2=(c →−b →)2=c →2−2c →⋅b →+b →2=−34+1=14，故A 错误；对于B ：∵|c →|2−2b →⋅c →+34=0，∴|c →|2=2b →⋅c →−34， 当|c →|=√32，34=2b →⋅c →−34，得b →⋅c →=34∴c →⋅(c →−b →)=c →2−b →⋅c →=34−34=0， ∴c →⊥(c →−b →)，故B 正确；对于C ：∵|b →+ta →|2=(b →+ta →)2=b →2+2ta →⋅b →+t 2a →2=1+2t +4t 2 =4(t +14)2+34≥34，∴|b →+ta →|≥√32恒成立，故C 正确；对于D ：∵c →=λa →+(1−λ)b →，∴c →2=[λa →+(1−λ)b →]2=λ2a →2+2λ(1−λ)a →⋅b →+(1−λ)2b →2=4λ2+2λ(1−λ)+(1−λ)2=3λ2+1，b →⋅c →=b →⋅[λa →+(1−λ)b →]=λa →⋅b →+(1−λ)b →2=λ+(1−λ)=1， ∵|c →|2−2b →⋅c →+34=0，∴|c →|2−2b →⋅c →+34=3λ2+1−2+34=3λ2−14=0， ∴λ2=112，∴λ=±√36∵a →−c →=a →−(λa →+(1−λ)b →)=(1−λ)a →−(1−λ)b →，∴|a →−c →|2=[(1−λ)a →−(1−λ)b →]2=(1−λ)2a →2−2(1−λ)2a →⋅b →+(1−λ)2b →2=4(1−λ)2−2(1−λ)2+(1−λ)2=3(1−λ)2当λ=√36时，|a→−c→|2=3(1−λ)2=13−4√34=(2√3−1)24，|a→−c→|=2√3−12；当λ=−√36时，|a→−c→|2=3(1−λ)2=13−4√34=(2√3+1)24，|a→−c→|=2√3+12；故D错误；故选：BC11、甲，乙两楼相距20m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的有（）A．甲楼的高度为20√3m B．甲楼的高度为10√3mC．乙楼的高度为40√33m D．乙楼的高度为10√3m答案：AC分析：根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.如图示，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，BD=20m，∴AD=BDtan60°=20√3m,在△ABC中，设AC=BC=x，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2−2AC BC cos∠ACB，即1600=x2+x2+x2解得：x=40√33则乙楼的高度分别为40√33m.故选：AC小提示：数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键． 12、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知cosBcosC =b2a−c ， S △ABC =3√34，且b =3，则A ．cosB =12B ．C ．a +c =√3D ．a +c =3√2答案：AD分析：利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解. ∵cosBcosC =b2a−c =sinB2sinA−sinC .整理可得: sinBcosC =2sinAcosB −sinCcosB可得 sinBcosC +sinCcosB =sin(B +C)=sinA =2sinAcosB ∵A 为三角形内角, cosB =12, 故A 正确，B 错误.B ∈(0,π)∴B =π3S △ABC =3√34,b =3 ∴3√34=12acsinB =12×a ×c ×√32=√34ac 解得 ac =3,由余弦定理得 9=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac =(a +c)2−9 解得a +c =3√2, 故C 错误，D 正确. 故选: AD.小提示：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”. 13、某货轮在A 处看灯塔B 在货轮北偏东75°，距离为12√6nmile ；在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离cos 2B =sin 0A ≠8√3nmile ．货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在南偏东60°，则下列说法正确的是（ ） A ．A 处与D 处之间的距离是24nmile ；B ．灯塔C 与D 处之间的距离是16nmile ； C ．灯塔C 在D 处的西偏南60°；D ．D 在灯塔B 的北偏西30°． 答案：AC分析：根据题意作出图形，然后在△ABD 中，结合正弦定理得求出AD ，在△ACD 中，由余弦定理得CD ，然后求出相关角度，进而逐项分析即可.由题意可知∠ADB =60∘,∠BAD =75∘,∠CAD =30∘，所以∠B =180∘−60∘−75∘=45∘，AB =12√6,AC =8√3,在△ABD 中，由正弦定理得ADsin∠B=AB sin∠ADB，所以AD =12√6×√22√32=24(nmile )，故A 正确；在△ACD 中，由余弦定理得CD =√AC 2+AD 2−2AC ⋅ADcos∠CAD ， 即CD =(8√3)2+242−2×8√3×24×√32=8√3(nmile )，故B 错误；因为CD =AC ，所以∠CDA =∠CAD =30∘，所以灯塔C 在D 处的西偏南60∘，故C 正确； 由∠ADB =60∘，D 在灯塔B 的北偏西60∘处，故D 错误. 故选：AC 填空题14、△ABC 内接于半径为2的圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A 1，B 1，C 1.则AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cosC 2sinA+sinB+sinC的值为_____________.答案：4分析：连BA1，由正弦定理得AA1=2Rsin(B+A2)，利用三角形内角和性质得AA1=4cos(B−C2)，进而利用积化和差公式、诱导公式得AA1cos A2=2(sinC+sinB)，同理求BB1cos B2、CC1cos C2，即可求值.连BA1，则AA1=2Rsin(B+A2)=4sin(A+B+C2+B2−C2)=4cos(B−C2)，∴AA1cos A2=4cos(B−C2)cos A2=2(cos A+B−C2+cos A+C−B2)=2(sinC+sinB)，同理可得：BB1cos B2=2(sinA+sinC)，CC1cos C2=2(sinA+sinB).∴AA1cos A2+BB1cos B2+CC1cos C2=4(sinA+sinB+sinC)，即AA1cosA2+BB1cos B2+CC1cos C2sinA+sinB+sinC=4.所以答案是：4小提示：关键点点睛：应用正弦定理、三角形内角和性质求得AA1=2Rsin(B+A2)=2Rcos(B−C2)，再由积化和差公式、诱导公式求AA1cos A2，同理求出BB1cos B2、CC1cos C2.15、三条直线l1、l2、l3两两平行，l1到l2的距离为1，l2到l3的距离为2，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_______.答案：73√3或√3分析：分两种情况讨论：（1）l1、l3在l2的异侧；（2）l2、l3在l1的异侧.在两种情况下，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，根据已知条件建立关于a、θ的等式组，求出a的值，由此可求得等边三角形ABC的面积.分以下两种情况讨论：（1）若l1、l3在l2的异侧，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，如下图所示：过点B作直线l2的垂线分别交直线l1、l3于点E、F，则BE=1，BF=2，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，则π3−θ也为锐角，由{0<θ<π20<π3−θ<π2，解得0<θ<π3，由题意可得{BE=asinθ=1BF=asin(π3−θ)=20<θ<π3，解得{sinθ=√2114a=2√213，此时，该三角形的面积为S=12a2sinπ3=√34×283=7√33；（2）若l2、l3在l1的异侧，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，如下图所示：过点A 作直线l 1的垂线分别交直线l 2、l 3于点E 、F ，则AE =AF =1， 设等边三角形ABC 的边长为a ，设AB 与直线l 2的夹角为θ，则π3−θ也为锐角，由{0<θ<π20<π3−θ<π2，解得0<θ<π3， 由题意可得{AE =asinθ=1AF =asin (π3−θ)=10<θ<π3，解得{sinθ=12a =2， 此时，该三角形的面积为S =12a 2sin π3=√34×4=√3.综上所述，该等边三角形的面积为7√33或√3. 所以答案是：7√33或√3. 小提示：关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键就是选择合适的角θ，将问题中的边与相应的角用θ来边角，根据已知条件产生相等关系，结合三角函数相关知识求解.16、△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c .若b =6,a =2c,B =π3，则△ABC 的面积为__________. 答案：6√3分析：本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用a,c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．由余弦定理得，所以(2c)2+c 2−2×2c ×c ×12=62，即c 2=12解得c =2√3,c =−2√3（舍去） 所以a =2c =4√3，S ΔABC =12acsinB =12×4√3×2√3×√32=6√3.小提示：本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算． 解答题2222cos b a c ac B =+-17、如图，在△OAB 中，延长BA 到C ，使AC =BA ，在OB 上取点D ，使DB =13OB ，DC 与OA 交点为E ，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ，b ⃗ 表示向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC⃗⃗⃗⃗⃗ .答案：OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −53b⃗ . 分析：利用向量的加、减运算即可求解. ∵AC =BA ，∴A 是BC 的中点，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，∴OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b⃗ . ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a −b ⃗ −23b ⃗ =2a −53b ⃗ . 18、记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．答案：(1)√28 (2)12分析：（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得b 2sin 2B =acsinAsinC ，即可求解. （1）由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB =13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； （2）由正弦定理得：bsinB=a sinA=c sinC，则b 2sin 2B=a sinA⋅c sinC=acsinAsinC=3√24√23=94，则bsinB=32，b =32sinB =12.。
高一数学平面向量试题答案及解析
高一数学平面向量试题答案及解析1.已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是；【答案】【解析】略2.已知平面向量，且∥，则（）A．-3B．-9C．9D．1【答案】B【解析】由两向量平行坐标间的关系可知【考点】向量平行的性质3.（12分）已知向量，令且的周期为．（1）求函数的解析式；（2）若时，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）．【解析】（1）本题考察的是求函数解析式，本题中根据平面向量的数量积，再结合辅助角公式进行化简，又的周期为，可以求出从而求出的解析式．（2）本题考察的是求参数的取值范围问题，本题中根据所给的定义域求出的值域，再根据不等式恒成立问题即可求出参数的取值范围．试题解析：（1）∵的周期为∴（2），则【考点】（1）辅助角公式（2）三角函数的值域4.在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知可得：D为BC中点，，又因为在边长为的正三角形中，所以，故解得，故选择D【考点】平面向量的线性运算5.若向量满足：，，，则 .【答案】【解析】【考点】向量垂直与向量的坐标运算6.设，向量，，且，∥，则______________．【答案】【解析】因为，∥，所以有即，，所以【考点】向量坐标运算7.向量a=，b=，则A．a∥bB．C．a与b的夹角为60°D．a与b的夹角为30°【答案】B【解析】根据两向量平行坐标表示公式“”可得A错误；根据两向量垂直的坐标表示公式“”可得B正确；根据B可知两向量夹角为，所以C，D错误，故选择B【考点】向量线性关系8.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，故选择A【考点】向量的加减法运算9.设是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】,,,,则动点的轨迹一定通过的垂心．故C正确．【考点】1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．10.已知向量则x=【答案】6【解析】由题意可得,解得．【考点】向量共线．11.（2015秋•友谊县校级期末）已知△ABC和点M满足+=﹣，若存在实数m使得m+m=成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】作出图象，由向量加法的平行四边形法则可知M是△ABC的重心，故，代入m+m=可解出m．解：以MB，MC为邻边作平行四边形MBEC，连结ME交BC于D，如图．则，∵+=﹣，∴M在线段AD上，且|MA|=2|MD|，∵D是BC中点，∴=2=3，∵m+m=，∴3m=，∴m=．故选C．【考点】平面向量的基本定理及其意义．12.已知点（1）求证：恒为锐角；（2）若四边形为菱形，求的值【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】（1）只需证明且三点不在一条直线上即可；（2）利用菱形的定义可求得坐标，进而求出所求的值.试题解析：（1）∵点∴∴.若A，P，B三点在一条直线上，则，得到，此方程无解，∴∴∠APB恒为锐角．（2）∵四边形ABPQ为菱形，∴，即，化简得到解得设Q（a，b），∵，∴，∴【考点】平面向量数量积的运算13.如图所示，是的边上的中点，则向量= （填写正确的序号）．①，②，③，④【答案】①【解析】．故选A．【考点】向量的线性运算．【名师】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．14. O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC是（）A．以AB为底边的等腰三角形B．以AB为斜边的直角三角形C．以AC为底边的等腰三角形D．以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简，两边同时加上，根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案．解：∵（﹣）•（+﹣2）=0，∴+﹣2=+﹣2．即﹣2=﹣2．两边同时加，得（）2=（）2，即AB2=BC2．∴AB=BC．∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．故选：C．【考点】平面向量数量积的运算．15.已知，，，则=（）A．﹣8B．﹣10C．10D．8【答案】B【解析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出．解：，，，∴=+|+2=16+25+2=21，∴=﹣10，故选：B．【考点】平面向量数量积的运算．16.已知||=1，||=2，∠AOB=150°，点C在∠AOB的内部且∠AOC=30°，设=m+n，则=（）A．B．2C．D．1【答案】B【解析】可画出图形，由可得到，根据条件进行数量积的运算便可得到，从而便可得出关于m，n的等式，从而可以求出．解：如图，由的两边分别乘以得：；∴；∴得：；∴；∴．故选：B．【考点】向量在几何中的应用．17.已知正方形的边长为2，点是边上的中点，则的值为（）A．1B．2C．4D．6【答案】B【解析】以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，.【考点】向量数量积的坐标表示.18.=（2，3），=（﹣3，5），则在方向上的投影为．【答案】【解析】由已知向量的坐标求出与，代入投影公式得答案．解：∵=（2，3），=（﹣3，5），∴，，则=．故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算．19.已知向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为120°．(1) 求及＋；(2)设向量＋与－的夹角为θ，求cosθ的值．【答案】(1);;(2).【解析】(1)根据向量的数量积的运算公式；以及；（2）根据公式，根据数量积公式，再根据公式试题解析：解析：(1)＝||||cos 120°θ＝1×2×(－)＝－1，所以|＋|2＝(＋)2＝2＋2＋2＝12＋22＋2×(－1)＝3.所以|＋|＝(2)同理可求得|－|＝.因为(＋)(－)＝2－2＝12－22＝－3，所以cosθ＝＝＝－．所以向量＋与－的夹角的余弦值为－．【考点】向量数量积20.（1）在直角坐标系中，已知三点，当为何值时，向量与共线？（2）在直角坐标系中，已知为坐标原点，，，当为何值时，向量与垂直？【答案】（1）；（2）.【解析】首先根据向量减法的线性运算得到向量与的坐标，当与共线时坐标交叉积的差等于零，当与垂直是数量积等于零，从而列出的方程，即可求得满足条件的的值.试题解析：（1）∵，又向量与共线，∴,解得（2）,当向量与垂直时，，即，解得【考点】向量的线性运算及平行与垂直的坐标表示.21.已知a，b为非零向量，且｜a＋b｜＝|a|＋|b|，则一定有（）A．a＝b B．a∥b，且a，b方向相同C．a＝－b D．a∥b，且a，b方向相反【答案】B【解析】根据向量加法的几何意义， a，b方向相同，方向相同即是共线向量.【考点】向量加法的几何意义．22.已知向量．（1）若点三点共线，求的值；（2）若为直角三角形，且为直角，求的值.【答案】（Ⅰ）-19；（Ⅱ）1.【解析】（Ⅰ）根据向量的减法运算和向量平行的充要条件即可解得；（Ⅱ）根据向量的减法运算和向量垂直的充要条件即可解得.试题解析：解：（Ⅰ）∴，.（Ⅱ），则，∴，【考点】向量的减法运算；向量平行和垂直的充要条件.23.平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），，；（2）证明见解析.【解析】（1）根据向量的加法、数乘的几何意义，以及向量加法的平行四边形法则，并进行向量的数乘运算便可得到，从而同理可以用分别表示出；（2）设线段、的中点分别为，用分别表示出，从而可得，即证得线段交于一点且互相平分．试题解析：（1），.（2）证明：设线段的中点为，则，设中点分别为，同理：，，∴，即其交于一点且互相平分.【考点】1、向量的三角形法则；2、向量的线性运算．【方法点睛】本题考查向量加法、数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及向量的数乘运算，三角形中位线的性质，平行四边形的判定，平行四边形的对角线相交于一点且互相平分，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．另一种解法：（1）；同理，；（2）证明：如图，连接，则，且，，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴线段交于一点且互相平分，同理，线段交于一点且互相平分，∴线段交于一点且互相平分．24.已知是两个非零向量，当的模取最小值时.①求的值；②已知与共线且同向，求证：与垂直.【答案】①；②证明见解析.【解析】（1）设出两个向量的夹角，表示出两个向量的模长，对于模长形式，通常两边平方，得到与已知条件有关的运算，整理成平方形式，当底数为零时，结果最小；（2）本题要证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，求两个向量数量积，根据上一问做出的结果，代入数量积的式子，合并同类项，得到数量积为零．得到垂直．试题解析：①令，则.当时，.②证明：与共线且同向，,,,.【考点】（1）向量的模；（2）数量积判断两个向量的垂直关系.【方法点晴】本题主要考查模长形式，通常两边平方以及证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，因为在本题中主要是数学符号的运算，所以对学生的运算能力要求较高，属于难题.启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．25.已知，在方向上的投影为，则（）A．3B．C．2D．【答案】B【解析】由在方向上的投影为，则，所以，故选B.【考点】向量的数量积及向量的投影的应用.26.给出下列命题：（1）若，则；（2）向量不可以比较大小；（3）若则；（4）．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意得，（1）中，例如，此时，但，所以不正确；（2）中，向量是既有大小又有方向的量，所示向量不能比较大小，所以（2）是正确的；（3）中，根据相等向量的概念，可得“若则”是正确的；（4）中，由，则是成立的，但由，则与是相等向量或相反向量，所以不正确，综上所述，正确命题的个数为个，故选B.【考点】向量的基本概念.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本的概念——向量的模、相等向量、向量的概念、共线向量及相反向量的概念，其中牢记平面向量的基本概念是判断此类问题的关键，试题很容易出错，属于易错题，本题的解答中，（4）中，，容易忽视相反向量的概念，造成错解，应牢记向量是既有大小又有方向的量这一基本概念，防止出错.27.已知向量，若，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，．故选A．【考点】数量积的坐标运算．28.已知向量,．（1）若四边形ABCD是平行四边形，求的值；（2）若为等腰直角三角形，且为直角，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）根据四边形为平行四边形，利用，即可求解的值；（2）利用为等腰直角三角形，且为直角，则且，列出方程，即可求解的值．试题解析：（1），，由得x=-2,y=-5．（2），若为直角，则，∴，又，∴，再由，解得或．【考点】向量的运算及向量的垂直关系的应用．29.（1）已知，，且与的夹角为60°，求的值；（2）在矩形中，,点为的中点，点在边上，若,求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）利用向量模的平方等于向量的平方，即可化简，即可求解的值；（2）设，利用，求得的值，又由，，即可运算的值．试题解析：（1） =169，得；（2）矩形ABCD中，∵点F在边CD上，∴设，，本小题也可建坐标系，用平面向量坐标运算解决．【考点】向量的模的计算及向量数量积的运算．30.已知三角形△ABC中，角A,B,C的对边分别为，若，则 =（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】向量的坐标运算31.已知向量与的夹角为，||=2,||=3,记,（1）若，求实数k的值。
平面向量最值问题解题方法
平面向量最值问题解题方法平面向量最值问题是高中数学中的重要知识点，涉及面广，难度较大。
下面介绍一些平面向量最值问题的解题方法。
一、向量模长的最值问题1、向量模长最大值设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最大值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最大值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最大值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最大值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方和的平方根，即|a|=√((a_x+a_y))。
2、向量模长最小值同样设向量a的模长为|a|，则向量a的模长最小值为|a|=√(a_x+a_y)，其中a_x和a_y分别代表向量a在x轴和y轴上的分量。
求出向量a的模长后，可以采用以下两种方法求出向量a的模长最小值：（1）对于a的分量a_x和a_y，分别求出它们的绝对值，即|a_x|和|a_y|，然后将它们代入|a|=√(a_x+a_y)中，求出|a|的最小值。
（2）根据勾股定理，可以得出|a|的最小值为向量a在x轴和y 轴上的分量的平方差的平方根，即|a|=√((a_x-a_y))。
二、向量夹角的最值问题设向量a和向量b的夹角为θ，则向量a和向量b的夹角的最值为：1、夹角最大值当向量a和向量b的方向相反时，它们的夹角最大，此时θ=π。
2、夹角最小值当向量a和向量b的方向相同时，它们的夹角最小，此时θ=0。
三、向量和的模长的最值问题对于两个向量a和b，它们的和向量c=a+b。
则向量c的模长最值为：1、模长最大值当向量a和向量b的方向相同，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最大，此时|c|=2|a|。
2、模长最小值当向量a和向量b的方向相反，且它们的模长相等时，它们的和向量c的模长最小，此时|c|=0。
【高中数学】平面向量的应用 典型例题课件 高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
+
.
×
+ ×
=
题型8 三角形的面积公式
.
典例8、[分析计算能力]在△ 中, = ∘ , = ,其面积为 ,则
++
等于(
+ +
A.
思路
B.
)
C.
D.
根据三角形面积公式分析计算,再利用正弦定理和余弦定理解三角形进行
由余弦定理得
即 =
=
+
− = + − × = ,
++
,由于
+ +
=
=
=
.
的值;
(2)若 = , =
思路
,求△
的面积.
本题通过直观图形,利用正、余弦定理进行分析计算.(1)在△ 和△ 中,利用
正弦定理表示出和,从而运算求解比值.(2)直接利用正弦定理解三角形.
题型6 正、余弦定理在几何中的运用
.
典例6、[分析计算能力、观察记忆能力]如图,在△ 中,平分∠,且
− ,从而得
出角的值;(2)先利用余弦定理找出, 的关系,再利用基本不等式放缩,求出 +
的取值范围.
题型4 平面向量基本定理的应用
典例4、[分析计算能力]在△ 中,角, , 的对边分别为, , ,且 +
( + ) − = .
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高中数学例题：平面向量模的问题
例．已知|a |=|b |=4，向量a 与b 的夹角为
23π，求|a +b |，|a ―b |。
【思路点拨】已知两个向量的模和夹角，把|a +b |和|a ―b |用向量的模和夹角的来表示，所以先求出()2a b +和()2a b -，然后再开方即可。
【答案】4，
【解析】 因为a 2=|a |2=16，b 2=|b |2=16，
2||||cos 44cos
83a b a b πθ⋅=⋅=⨯⨯=-， 所以222||()216164a b a b a b a b +=+=++⋅=+=。
同事可求22
2||()21616a b a b a b a b -=-=+-⋅=+=。
【总结升华】关系式a 2=|a |2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化。
因此欲求|a +b |，可求(a +b )·(a +b )，并将此式展开。
由已知|a |=|b |=4，得a ·a =b ·b =16，a ·b 也可求得为―8，将上面各式的值代入，即可求得被求式的值。
举一反三：
【变式1】已知||2,||5,3a b a b ==⋅=-，求||,||a b a b -+。
【解析】 222()2425635a b a ab b -=-+=++=，||35a b ∴-= 同理，||23a b +=
【变式2】已知a b 与的夹角为0120，3a =，13a b += ，则b 等
于( )
A 5 B. 4 C. 3 D. 1
【解析】222
2cos12013
∴+︒+=，解
a a
b b
2
a b a a b b
+=+⋅+，22
得4
b=，故选B.
【总结升华】涉及向量模的问题一般利用22
=⋅=，注意两边
a a a a
平方是常用的方法.。