2020-2021学年福建省福州一中高一上学期期中考试数学试题

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2020-2021学年福建省某校高一(上)期中数学试卷

2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1. 设A ={x|19<3x <27}，B ＝{x|x 2+2x −8<0}，则A ∩B ＝（）A.(−4, 3)B.(−3, 2)C.(−2, 2)D.(−2, 3)2. 设a ，b ∈R ，则“a +b ≤4”是“a ≤2，且b ≤2”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 在同一坐标系中，函数y ＝x a(a ≠0)和y =ax −1a 的图象不可能是（）A. B.C. D.4. 设函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f(x)=(12)x +2x +b （其中b 为实数），则f(1)的值为( ) A.−3 B.−1 C.1 D.35. 若2对任意的x 都有意义，则实数a 的取值范围是（）A.0<a <2B.0≤a ≤2C.0<a ≤2D.0≤a <26. 已知函数f(x)={(a −3)x +5,x ≤12ax ,x >1 ，若对R 上的任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0成立，那么a 的取值范围是（） A.(0, 3)B.(0, 3]C.[2, 3)D.(0, 2]7. 定义|ab cd |=ad −bc ，如|1234|=1×4−2×3＝−2，且当x ∈[0, 2]时，|4x 32x+11|≥k 有解，则实数k 的取值范围是（） A.(−∞, −5] B.(−∞, −9] C.(−∞, −8] D.(−∞, −2]8. 定义在R 内的函数f(x)满足f(x +2)＝2f(x)，且当x ∈[2, 4)时，f(x)={−x 2+4x,2≤x ≤3x 2+2x ,3<x <4 g(x)＝ax +1，对∀x 1∈[−2, 0),∃x 2∈[−2, 1]，使得g(x 2)＝f(x 1)，则实数a 的取值范围为（） A.(−∞, −18]∪[18, +∞)B.[−14, 0)∪(0, 18]C.(0, 8]D.(−∞, −14]∪[18, +∞)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求，全部选出得5分，漏选得3分，选错或多选得0分．下列说法正确是（）A.命题“∃x >1，x +e x ≥2”的否定形式是“∀x >1，x +e x <2”B.若函数y ＝f(x)的定义域是[12,2]，则函数y ＝f(2x )的定义城为[−1, 1]C.若x ∈R ，则函数y =√x 2+4+√x 2+4的最小值为2D.若−1≤x <y ≤5，则−6≤x −y <0若a 0，则下列不等式中一定成立的是（） A.a −1a >b −1b B.a −1b b−ca−cD.(a b )c >(ba )c已知函数f(x)满足f(1x)=2x+1x+1，则关于函数f(x)正确的说法是（）A.f(x)的定义域为{x|x ≠−1}B.f(x)值域为{y|y ≠1, 且y ≠2}C.f(x)在(0, +∞)单调递减D.不等式f(x)>2的解集为(−1, 0)定义：若函数F(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]，则称区间[a, b]是函数F(x)的“完美区间”，另外，定义区间[a, b]的“复区间长度”为2(b −a)，已知函数f(x)＝|x 2−1|，则（） A.[0, 1]是f(x)的一个“完美区间” B.[1−√52, 1+√52]是f(x)的一个“完美区间”C.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+√5D.f(x)的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+2√5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题为双空题，第一空2分，第二空3分．函数f(x)=2−x2+4x+5的单调递减区间为________．若幂函数f(x)＝(m2−5m+7)x m在R上为增函数，则log m√27+2lg5+lg4−m log m12=________．已知函数f(x)＝a x+2−3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在一次函数y＝mx−n的图象上，其中实数m，n满足mn>0，则1m +2n的最小值为________．设y＝f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，恒有f(x)+f(−x)＝x2成立，函数g(x)满足g(x)＝f(x)−x22，则g(x)是________（填：“奇函数”、“偶函数”、“非奇非偶函数”、“既奇又偶函数”），若y＝f(x)在(−∞, 0]上单调递增，且f(2−a)−f(a)≥2−2a，则实数a的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知函数f(x)＝x2−2|x|．（1）判断f(x)的奇偶性；（2）作出f(x)的图象，并写出f(x)的单调区间（只需写出结果）；（3）若方程f(x)＝a有四个不等实根，求实数a的取值范围．已知命题p:−x2+6x+16≥0，q:x2−4x+4−m2≤0．（1）若m＝3且p，q都为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．已知幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增．(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)设函数g(x)＝f(x)+2λx−1，若g(x)<0对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数λ的取值范围．某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元．其中f(x)=x+1，g(x)={10x+1x+1(0≤x≤3),−x2+9x−12(3<x≤5).如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．已知函数f(x)＝k⋅2x−2−x是定义域为R上的奇函数．（1）求k的值；（2）求不等式f(x2+2x)+f(x−4)>0的解集；（3）若g(x)＝22x+2−2x−2mf(x)在[1, +∞)上的最小值为−2，求m的值．已知定义在区间(0, +∞)上的函数f(x)=|x+4x−5|.(1)判定函数g(x)=x+4x在(2, +∞)的单调性，并用定义证明；(2)设方程f(x)=m有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4．①求乘积x1⋅x2⋅x3⋅x4的值；②在[1, 4]是否存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a, b]单调，且f(x)的取值范围为[ma, mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年福建省某校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−2<x<3}，B＝{x|−4<x<2}，∴A∩B＝(−2, 2)．2.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用不等式的性质，充分条件和必要条件，得出结果．【解答】当“a≤2，且b≤2”时，则“a+b≤4”成立，但是，当“a+b≤4”成立，则“a≤2，且b≤2”不一定成立，故“a+b≤4”是“a≤2，且b≤2”的必要不充分条件，3.【答案】A,B,D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据幂函数和一次函数的单调性即可判断．【解答】当a>0时，y＝x a(a≠0)和y=ax−1a 均为增函数，且y=ax−1a与y轴的负半轴相交，当a<0时，y＝x a(a≠0)在(0, +∞)上为减函数，y=ax−1a 为减函数，且y=ax−1a与y轴的正半轴相交，故ABD不符合，4.【答案】C 【考点】函数奇偶性的性质【解析】根据f(x)是定义在R上的奇函数可得出f(0)＝0，从而求出b＝−1，即得出x≤0时，f(x)=(12)x+2x−1，从而根据f(1)＝−f(−1)即可求出f(1)．【解答】解：f(x)为定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)=(12)x+2x+b，则：f(0)=1+b=0，得到b=−1，则f(1)=−f(−1)=−(2−2−1)=1.故选C.5.【答案】D【考点】函数恒成立问题【解析】由题意可得不等式ax2−2ax+2>0恒成立，讨论a＝0，a>0且△<0，a<0，结合二次函数的图象，解不等式可得所求范围．【解答】若√ax2−2ax+2对任意的x都有意义，可得ax2−2ax+2>0恒成立．当a＝0时，2>0恒成立；当a>0时，△＝4a2−8a<0，解得0<a<2，即0<a<2时，不等式恒成立；当a<0时，由于抛物线y＝ax2−2ax+2的开口向下，不等式不恒成立．综上可得，a的范围是0≤a<2．6.【答案】D【考点】分段函数的应用函数单调性的性质与判断【解析】利用分段函数的单调性的判断方法建立不等式即可求解．【解答】由已知可得函数f(x)是R上单调递减函数，则函数f(x)满足：{a−3<0 2a>0a−3+5≥2a1，解得0<a≤2，所以实数a的取值范围为：(0, 2]，7.【答案】A【考点】函数恒成立问题【解析】依题意知4x−3×2x+1≥k有解，构造函数令f(x)＝4x−3×2x+1，x∈[0, 2]，再利用换元法，可得f(x)＝g(t)＝t2−6t＝(t−3)2−9，从而可得答案．【解答】由题可知，当x∈[0, 2]时，4x−3×2x+1≥k有解，令f(x)＝4x−3×2x+1，x∈[0, 2]，则将不等式问题转化为k≤f(x)max，令t＝2x，t∈[1, 4]∴f(x)＝g(t)＝t2−6t＝(t−3)2−9，∴当t＝1或t＝4时取得最大值−5，∴k≤−5，8.【答案】D【考点】函数的周期性【解析】求出f(x)在[2, 4]上的值域，利用f(x)的性质得出f(x)在[−2, 0]上的值域，再求出g(x)在[−2, 1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a的范围【解答】当x∈[2, 4)时，f(x)={−x2+4x,2≤x≤3 x2+2x,3<x<4，可得f(x)在[2, 3]上单调递减，在(3, 4)上单调递增，∴f(x)在[2, 3]上的值域为[3, 4]，在(3, 4)上的值域为(113, 92 )，∴f(x)在[2, 4)上的值域为[3, 92)，∵f(x+2)＝2f(x)，∴f(x)=12f(x+2)=14f(x+4)，∴f(x)在[−2, 0)上的值域为[34, 98 )，当a>0时，g(x)为增函数，g(x)＝ax+1在[−2, 1]上的值域为[−2a+1, a+1]，∴{34≥−2a+198≤a+1，解得a≥18；当a<0时，g(x)为减函数，g(x)在[−2, 1]上的值域为[−a+1, 2a+1]，∴{34≥a+198≤−2a+1，解得a≤−14；当a＝0时，g(x)为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a的范围是a≥18或a≤−14．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个是符合题目要求，全部选出得5分，漏选得3分，选错或多选得0分．【答案】A,B,D【考点】函数的定义域及其求法命题的否定命题的真假判断与应用【解析】由题意利用命题的否定、命题的真假，函数的定义域和值域，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】由于命题“∃x>1，x+e x≥2”的否定形式是“∀x>1，x+e x<2”，故A正确；若函数y＝f(x)的定义域是[12,2]，则对于函数y＝f(2x)，有12≤2x≤2，求得−1≤x≤1，故函数y＝f(2x)的定义城为[−1, 1]，故B正确；∵x∈R，则令t=√x2+4≥2，则函数y=√x2+4√x2+4=t+1t在[2, +∞)上是单调递增函数，故当t＝2时，函数y取得最小值为52，故C错误；若−1≤x<y≤5，则当x＝−1，y＝5时，x−y取得最小值为−6，且x−y<0，故有−6≤x−y<0，故D 正确，【答案】B,D【考点】不等式的基本性质【解析】根据题设条件逐项判断即可．【解答】由函数y＝x−1x在(−∞, −1)上为增函数可知，当a<b<−1时，a−1a<b−1b，故A错误；由函数y＝x+1x在(−∞, −1)上为增函数可知，当a<b<−1时，a+1a<b+1b，即a−1b<b−1a，故B正确；由a 0，可得a −b <0，a −c <0，所以b a −b−c a−c =c(a−b)a(a−c)<0，即b a <b−ca−c ，故C 错误；由a 1，00，则(a b )c >1>(ba )c >0，故D 正确．【答案】 B,C,D【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的定义域及其求法函数单调性的性质与判断【解析】由函数有意义的条件判断选项A ，由换元法和分离常数法推出f(x)=2+x1+x =1+11+x ，再结合反比例函数y =1x 和函数图象的平移变换法则，分析选项B 和C ，根据分式不等式的解法判断选项D ．【解答】令t =1x ，则x =1t ，所以f(t)=2×1t +11t+1=2+t1+t ，所以f(x)的解析式为f(x)=2+x1+x =1+11+x ．对于A 选项，定义域为{x|x ≠0且x ≠−1}，即A 错误；对于B 选项，当x ≠0时，y ≠2，当x ≠−1时，y ≠1，所以值域为{y|y ≠1且y ≠2}，即B 正确；对于C 选项，f(x)＝1+11+x 在(0, +∞)上单调递减，即C 正确；对于D 选项，f(x)=2+x 1+x>2，即2+x−2(1+x)1+x>0，等价于x(x +1)<0，解得−1<x <0，即D 正确．【答案】 A,C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据题意，因为f(x)＝|x 2−1|≥0恒成立，所以函数f(x)的值域为：[0, +∞)；设区间[a, b]是函数f(x)的“完美区间“，则当x ∈[a, b]时，f(x)∈[a, b]，所以a ≥0；则0≤a <b ；根据定义，即可判断A ，B ；再根据“完美区间”和“复区间长度”的定义求复区间长度，判断C ，D 即可．【解答】设区间[a, b]是函数f(x)的“完美区间“，则当x ∈[a, b]时，f(x)∈[a, b]，所以a ≥0；则0≤a <b(1)∵ 函数f(x)＝|x 2−1|在区间[0, 1]上时，f(x)＝1−x 2，故f(x)在[0, 1]上单调递减，f(0)＝1，f(1)＝0，故值域为[0, 1]；故[0, 1]是f(x)的一个“完美区间”，故A 正确（2）∵1−√52<0，故B 错误①当b ≤1时，[a, b]⫋[0, 1]，此时f(x)＝|x 2−1|＝1−x 2，则函数f(x)在[0, 1]上单调递减；所以函数f(x)在区间[a, b]上单调递减（3）因为函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]，所以{f(a)=1−a 2=b f(b)=1−b 2=a，所以a 2+b ＝b 2+a ＝1，则a 2−a ＝b 2−b ，所以a 2−a +14=b 2−b +14，即(a −12)2＝(b −12)2，所以a −12=b −12，整理得a ＝b （舍去）；或a −12=12−b ，整理得a +b ＝1，因为a +b 2＝1，所以b ＝b 2解得b ＝0（舍去）或b ＝1；则a ＝1−b ＝0，此时a 2+b ＝0+1＝1，满足原方程组，所以a ＝0，b ＝1是方程组{f(a)=1−a 2=bf(b)=1−b 2=a的唯一解（4）故此情况下存在a ＝0，b ＝1使得区间[a, b]是函数f(x)的“完美区间”，此区间[a, b]的“复区间长度”为2(1−0)＝2(5)②当b >1时，（1）若0≤a <1，则1∈[a, b]，此时f(x)min ＝f(1)＝0，若函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]，则a ＝0，f(b)＝b(6)因为b >1，所以f(b)＝|1−b 2|＝b 2−1＝b ，即b 2−b −1＝0，解得b =1−√52（舍去）或b =1+√52(7)故此情况下存在a ＝0，b =1+√52，使得区间[a, b]是函数f(x)的“完美区间”，此区间[a, b]的“复区间长度”为2(1+√52−0)＝1+√5(8)(2)当a ≥1时，f(x)＝x 2−1，x ∈[a, b]；此函数f(x)在[a, b]上单调递增，若函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[a, b]，则{f(a)=a 2−1=af(b)=b 2−1=b，所以此时a 与b 是方程x 2−x −1＝0的两个不等实根，解x 2−x −i ＝0得x 1=1−√52，x 2=1+√52，所以{a =1−√52b =1+√52 ，因为a =1−√52<1，所以此情况不满足题意．综上所述，函数f(x)＝|x 2−1|的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为2+(1+√5)＝3+√5；故C 正确；D 错误（9）故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中第16题为双空题，第一空2分，第二空3分．【答案】 [2, +∞)【考点】复合函数的单调性【解析】令t ＝−x 2+4x +5，求出该函数的减区间，由复合函数的单调性即可得到原函数的减区间．【解答】令t ＝−x 2+4x +5，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x ＝2，该函数在[2, +∞)上单调递减，而外层函数y ＝2t 是定义域内的增函数， ∴ 函数f(x)=2−x 2+4x+5的单调递减区间为[2, +∞)．【答案】12log 2216或 3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】由题意利用幂函数的定义和性质求得m的值，再利用对数的运算性质求得要求式子的值．【解答】∵幂函数f(x)＝(m2−5m+7)x m在R上为增函数，∴m2−5m+7＝1，且m>0，求得m＝2，或m＝3．当m＝2时，log m√27+2lg5+lg4−m log m 12=log2√27+2(lg5+lg2)−12=12log227+2−12=log227+32=log2(27×8)2=12log2216，当m＝3时，log m√27+2lg5+lg4−m log m 12=log3√27+2(lg5+lg2)−12=32+2−12=3，【答案】4【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】先令x+2＝0，求出点A的坐标，代入一次函数y＝mx−n得2m+n＝2，由题意可知m>0，n>0，所以1 m +2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)，再利用基本不等式即可求出结果．【解答】函数f(x)＝a x+2−3，令x+2＝0，得：x＝−2，此时y＝1−3＝−2，所以点A(−2, −2)，又∵点A在一次函数y＝mx−n的图象上，∴−2＝−2m−n，即2m+n＝2，又∵实数m，n满足mn>0，∴m>0，n>0，∴1m +2n=12(1m+2n)⋅(2m+n)=12(4+nm+4mn)≥12(4+2√nm×4mn)=4，当且仅当nm=4mn即n＝2m时，等号成立，即m=12，n＝1时，1m+2n取得最小值4，【答案】奇函数,(−∞, 1]【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用【解析】对于第一空：对于g(x)，求出g(−x)的表达式，据此可得g(x)+g(−x)＝0，即可得g(x)为奇函数，对于第二空：对于g(x)＝f(x)−x 22，分析可得g(x)在(−∞, 0]上单调递增，结合g(x)为奇函数可得g(x)在R上为增函数，而原不等式等价于g(2−a)≥g(a)，结合函数的单调性可得2−a≥a，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，g(x)＝f(x)−x22，其定义域为R，则g(−x)＝f(−x)−x22，则有g(x)+g(−x)＝x2−2×x22=0，则函数g(x)为奇函数，对于g(x)＝f(x)−x22，y＝f(x)在(−∞, 0]上单调递增，而y=−x22在(−∞, 0]上单调递增，则g(x)在(−∞, 0]上单调递增，而函数g(x)为奇函数，则g(x)在区间[0, +∞)上也为增函数，综合可得：g(x)在R上为增函数，f(2−a)−f(a)≥2−2a⇒f(2−a)−(2−a)22≥f(a)−a22，即g(2−a)≥g(a)，则有2−a≥a，解可得a≤1，即实数a的取值范围是(−∞, 1]；四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】∵f(x)的定义域为R，且f(−x)＝(−x)2−2|−x|＝x2−2|x|＝f(x)∴函数f(x)为偶函数；f(x)＝x2−2|x|={x2−2x,x≥0x2+2x,x<0，图象如图，由图可知，单调递减区间为：(−∞, −1]，[0, 1]；单调递增区间为：[−1, 0]，[1, +∞)；由（2）中的图可知，要使方程f(x)＝a有四个不等实根，则实数a的取值范围是(−1, 0)．【考点】函数的零点与方程根的关系函数的图象与图象的变换函数奇偶性的性质与判断【解析】（1）直接由函数奇偶性的定义判定；（2）由三点作图可得函数图象，并得到函数的单调区间；（3）由（2）中函数的图象可得方程f(x)＝a有四个不等实根的实数a的取值范围．【解答】∵f(x)的定义域为R，且f(−x)＝(−x)2−2|−x|＝x2−2|x|＝f(x)∴函数f(x)为偶函数；f(x)＝x2−2|x|={x 2−2x,x≥0x2+2x,x<0，图象如图，由图可知，单调递减区间为：(−∞, −1]，[0, 1]；单调递增区间为：[−1, 0]，[1, +∞)；由（2）中的图可知，要使方程f(x)＝a有四个不等实根，则实数a的取值范围是(−1, 0)．【答案】由命题p:−x2+6x+16≥0得x2−6x−16≥0，解得−2≤x≤8，当m＝3时，q:x2−4x−5≤0，解得−1≤x≤5，p，q都为真，则{−2≤x≤8−1≤x≤5，解得−1≤x≤5，所以实数x的取值范围为[−1, 5]；记p:x∈A，q:x∈B，∵p是q成立的充分不必要条件，∴A⫋B，当m>0时，由x2−4x+4−m2≤0，解得2−m≤x≤2+m，∴{m>02−m≤−22+m≥8（两等号不同时成立），解得m≥6当m＝0时，由x2−4x+4≤0，解得x＝2，不合题意，舍去，当m<0时，由x2−4x+4−m2≤0，解得2+m≤x≤2−m，∴{m<02+m≤−22−m≥8，（两等号不同时成立），解得m≤−6，综上所述m≤−6或m≥6．【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】（1）当m＝3时，解得p，q的不等式的解集，再求出交集即可；（2）可记p:x∈A，q:x∈B，根据p是q成立的充分不必要条件，可得A⫋B，分类讨论，解不等式即得m的取值范围．【解答】由命题p:−x2+6x+16≥0得x2−6x−16≥0，解得−2≤x≤8，当m＝3时，q:x2−4x−5≤0，解得−1≤x≤5，p，q都为真，则{−2≤x≤8−1≤x≤5，解得−1≤x≤5，所以实数x的取值范围为[−1, 5]；记p:x∈A，q:x∈B，∵p是q成立的充分不必要条件，∴A⫋B，当m>0时，由x2−4x+4−m2≤0，解得2−m≤x≤2+m，∴{m>02−m≤−22+m≥8（两等号不同时成立），解得m≥6当m＝0时，由x2−4x+4≤0，解得x＝2，不合题意，舍去，当m<0时，由x2−4x+4−m2≤0，解得2+m≤x≤2−m，∴{m<02+m≤−22−m≥8，（两等号不同时成立），解得m≤−6，综上所述m≤−6或m≥6．【答案】（1）∵幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增，∴−3m+5>0，且−3m+5为偶数．又m∈N，解得m＝1，∴f(x)＝x2．（2）由(Ⅰ)可知g(x)＝f(x)+2λx−1＝x2+2λx−1．当x∈[1, 2]时，由g(x)<0得λ<12x−x2．易知函数y=12x−x2在[1, 2]上单调递减，∴λ<(12x−x2)min=12×2−22=−34．∴实数λ的取值范围是(−∞, −34)．【考点】奇偶性与单调性的综合函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)利用幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增，可得−3m+5>0，且−3m+5为偶数从而可得m的值，继而得到f(x)的解析式；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)＝x2+2λx−1，依题意可得λ<12x−x2，求得(12x−x2)min，即可得到实数λ的取值范围．【解答】（1）∵幂函数f(x)＝x−3x+5(m∈N)为偶函数，且在区间(0, +∞)上单调递增，∴−3m+5>0，且−3m+5为偶数．又m∈N，解得m＝1，∴f(x)＝x2．（2）由(Ⅰ)可知g(x)＝f(x)+2λx−1＝x2+2λx−1．当x∈[1, 2]时，由g(x)<0得λ<12x −x2．易知函数y=12x −x2在[1, 2]上单调递减，∴λ<(12x −x2)min=12×2−22=−34．∴实数λ的取值范围是(−∞, −34)．【答案】解：设投入B商品的资金为x万元(0≤x≤5)，则投入A商品的资金为5−x万元，设收入为S(x)万元，①当0≤x≤3时，f(5−x)=6−x，g(x)=10x+1x+1，则S(x)=6−x+10x+1x+1=17−[(x+1)+9x+1]≤17−2√(x+1)⋅9 x+1=17−6=11，当且仅当x+1=9x+1，即x=2时，取等号．②当3<x≤5时，f(5−x)=6−x，g(x)=−x2+9x−12，则S(x)=6−x−x2+9x−12=−(x−4)2+10≤10，即当x=4时，S(x)取得最大值10.∵10<11，∴最大收益为11万元，【考点】分段函数的应用基本不等式在最值问题中的应用二次函数的性质【解析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可【解答】解：设投入B商品的资金为x万元(0≤x≤5)，则投入A商品的资金为5−x万元，设收入为S(x)万元，①当0≤x≤3时，f(5−x)=6−x，g(x)=10x+1x+1，则S(x)=6−x+10x+1x+1=17−[(x+1)+9x+1]≤17−2√(x+1)⋅9x+1=17−6=11，当且仅当x+1=9x+1，即x=2时，取等号．②当3<x≤5时，f(5−x)=6−x，g(x)=−x2+9x−12，则S(x)=6−x−x2+9x−12=−(x−4)2+10≤10，即当x=4时，S(x)取得最大值10.∵10<11，∴最大收益为11万元，【答案】∵f(x)是定义域为R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴k⋅20−2−0＝0，k−1＝0，∴k＝1，经检验k＝1符合题意；由（1）可知k＝1，∴f(x)＝2x−2−x，函数的定义域为R，在R上任取x1，x2，且x1−x2<0，f(x2)−f(x1)=2x2−2−x2−2x1+2−x1=(2x2−2x1)+(12x1−12x2)＝(2x2−2x1)(1+12x12x2)>0，∴函数在R上单调递增，原不等式化为：f(x2+2x)>f(4−x)，∴x2+2x>4−x，即x2+3x−4>0，∴x>1或x<−4，∴不等式的解集为{x|x>1或x<−4}；∵f(x)＝2x−2−x，∴g(x)＝22x+2−2x−2m(2x−2−x)＝(2x−2−x)2−2m(2x−2−x)+2．令t＝f(x)＝2x−2−x，∵x≥1，∴t≥f(1)=32，∴g(t)＝t2−2mt+2＝(t−m)2+2−m2，当m≥32时，当t＝m时，g(t)min＝2−m2＝−2，∴m＝2；当m<32时，当t=32时，g(t)min=174−3m＝−2，解得m=2512>32，舍去，综上可知m＝2．【考点】函数奇偶性的性质与判断函数的最值及其几何意义【解析】（1）由奇函数性质得f(0)＝0，解出k 即可；（2）由f(1)>0易知a >1，从而可判断f(x)的单调性，由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；（3）由f(1)=32可求得a 值，g(x)＝22x +2−2x −2m(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−2m(2x −2−x )+2，令t ＝f(x)＝2x −2−x ，g(x)可化为关于t 的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为−2，解出即可；【解答】∵ f(x)是定义域为R 上的奇函数，∴ f(0)＝0，∴ k ⋅20−2−0＝0，k −1＝0，∴ k ＝1，经检验k ＝1符合题意；由（1）可知k ＝1，∴ f(x)＝2x −2−x ，函数的定义域为R ，在R 上任取x 1，x 2，且x 1−x 2<0， f(x 2)−f(x 1)=2x 2−2−x 2−2x 1+2−x 1=(2x 2−2x 1)+(12x 1−12x 2)＝(2x 2−2x 1)(1+12x 12x 2)>0，∴ 函数在R 上单调递增，原不等式化为：f(x 2+2x)>f(4−x)，∴ x 2+2x >4−x ，即x 2+3x −4>0， ∴ x >1或x <−4，∴ 不等式的解集为{x|x >1或x <−4}；∵ f(x)＝2x −2−x ，∴ g(x)＝22x +2−2x −2m(2x −2−x )＝(2x −2−x )2−2m(2x −2−x )+2．令t ＝f(x)＝2x −2−x ，∵ x ≥1，∴ t ≥f(1)=32， ∴ g(t)＝t 2−2mt +2＝(t −m)2+2−m 2，当m ≥32时，当t ＝m 时，g(t)min ＝2−m 2＝−2，∴ m ＝2；当m <32时，当t =32时，g(t)min =174−3m ＝−2，解得m =2512>32，舍去，综上可知m ＝2．【答案】解：(1)g(x)在[2, +∞)上单调递增，证明：任取x 1，x 2∈(2, +∞)，且x 1<x 2． ∵ g(x 1)−g(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2) =(x 1−x 2)+4(x 2−x 1x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，其中x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2−4>0， ∴ g(x 1)−g(x 2)<0， ∴ g(x 1)<g(x 2)，∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增.(2)①|(x +4x)−5|=m ⇒(x +4x)−5=m 或(x +4x)−5=−m ,即x 2−(m +5)x +4=0或m 2+(m −5)x +4=0,∵ x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)=m 的四个不相等的实根， ∴ 由根与系数的关系得x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=4×4=16.②如图，可知0<m <1，f(x)在区间(1, 2)，(2, 4)上均为单调函数，(i)当[a, b]⊆[1, 2]时，f(x)在[a, b]上单调递增，则{f(a)=ma,f(b)=mb, 即f(x)=mx ，m =−4x 2+5x −1在x ∈[1, 2]有两个不等实根，而令1x =t ∈[12,1]，则−4x 2+5x −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <916，(ii)当[a, b]⊆[2, 4]时，f(x)在[a, b]上单调递减，则{f(a)=mb,f(b)=ma, 两式相除整理得(a −b)(a +b −5)=0， ∴ a +b =5，∴ b =5−a >a ，∴ 2≤a <52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254，∴ m ∈[13,925)；综上，m 的取值范围为[13,925)∪[12,916)．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由题意得：g(x)在[2, +∞)上单调递增，再由函数的单调性的定义证明．（2）有函数图象，数形结合，根据函数的性质即可求出答案．【解答】解：(1)g(x)在[2, +∞)上单调递增，证明：任取x 1，x 2∈(2, +∞)，且x 1<x 2． ∵ g(x 1)−g(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2) =(x 1−x 2)+4(x 2−x 1x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，其中x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2−4>0， ∴ g(x 1)−g(x 2)<0， ∴ g(x 1)<g(x 2)，∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增.(2)①|(x +4x )−5|=m ⇒(x +4x )−5=m 或(x +4x )−5=−m , 即x 2−(m +5)x +4=0或m 2+(m −5)x +4=0,∵ x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)=m 的四个不相等的实根， ∴ 由根与系数的关系得x 1⋅x 2⋅x 3⋅x 4=4×4=16.②如图，可知0<m <1，f(x)在区间(1, 2)，(2, 4)上均为单调函数，(i)当[a, b]⊆[1, 2]时，f(x)在[a, b]上单调递增，则{f(a)=ma,f(b)=mb, 即f(x)=mx ，m =−4x 2+5x −1在x ∈[1, 2]有两个不等实根，而令1x =t ∈[12,1]，则−4x 2+5x −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <916，(ii)当[a, b]⊆[2, 4]时，f(x)在[a, b]上单调递减，则{f(a)=mb,f(b)=ma, 两式相除整理得(a −b)(a +b −5)=0， ∴ a +b =5，∴ b =5−a >a ， ∴ 2≤a <52，由−a −4a +5=mb ，得m =5−a−4a5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254，∴ m ∈[13,925)；综上，m 的取值范围为[13,925)∪[12,916)．。

2020-2021福州市高中必修一数学上期中模拟试卷带答案

2020-2021福州市高中必修一数学上期中模拟试卷带答案一、选择题1．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知函数()1ln1x f x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．11,32⎛⎤⎥⎝⎦ C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭3．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．已知函数()245fx x x +=++，则()f x 的解析式为( ) A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥6．函数223()2xx x f x e +=的大致图像是（） A ． B ．C ．D ．7．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）8．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( )A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3 9．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a10．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（）A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)11．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 12．设0.13592,ln,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是 A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>二、填空题13．设，则________14．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．15．函数的定义域为___．16．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.17．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．18．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第x ()x N *∈年的年产量为y =______.19．计算：__________． 20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43f f x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}，其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）；（ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.22．已知集合A ＝{x|2a ＋1≤x≤3a －5}，B ＝{x|x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．（1）A∩B ＝∅；（2）A ⊆（A∩B ）．23．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log lg25lg4log (log 16)+- （Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+ 24．已知幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()a g x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.25．如果f （x ）是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f （-x ）≠-f （x ），则称该函数是“X —函数”.（1）分别判断下列函数：①y =211x +；②y =x +1；③y =x 2+2x -3是否为“X —函数”？（直接写出结论）（2）若函数f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，求实数a 的取值范围；（3）设“X —函数”f （x ）=21,,x x A x x B ⎧+∈⎨∈⎩在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B . 26．已知函数24,02()(2)2,2x x f x xx a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可.【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a a x x a，当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去；当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.2．D解析：D【解析】【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论．【详解】根据题意，函数()1ln1x f x x -=+，则有101x x->+，解可得11x -<<，即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称，又由()()11lnln 11x x f x f x x x +--==-=--+，即函数()f x 为奇函数，设11x t x-=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数，而y lnt =在()0,∞+上为增函数，故()1ln1x f x x -=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥--()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；故选:D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．3．A解析：A【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A . 4．D解析：D【解析】【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案.【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点.当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点.故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.5．B解析：B【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.令2x t +=,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥ 即()21f x x =+ ()2x ≥. 【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.6．B解析：B【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232x x x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 7．C解析：C【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案.【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.8．B解析：B【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a ⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤< 所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：B ．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 9．A解析：A【解析】试题分析：∵函数2()5x y =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.10．C解析：C【解析】【分析】令函数4()log 7x f x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7x f x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间．【详解】令函数4()log 7x f x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7x f x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6故选C.零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.11．B解析：B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.12．A解析：A【解析】试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小．二、填空题13．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1- 解析：-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】，，所以，故答案为-1.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值． 14．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4 解析：(0,6⎤⎦【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：06x ≤<，故函数()f x 的定义域为：(0,6⎤⎦．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 15．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域解析：【解析】【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域.【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.16．6【解析】【分析】先求函数周期再根据周期以及偶函数性质化简再代入求值【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知是周期函数且所以【点睛】本题考查函数周期及其应用考查基本求解能力解析：6【解析】【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简()()9191f f =-，再代入求值.【详解】由f (x +4)=f (x -2)可知,()f x 是周期函数,且6T =,所以()()()919615311f f f =⨯+= ()16f =-=.【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.17．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意解析：(1,4)；【解析】【分析】分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围．【详解】∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间，∴40a ->，求得14a <<，当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意，综上可得a 取值范围为(1,4)，故答案为：(1,4)．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．18．y ＝a （1+b ）x （x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a（1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案.【详解】设年产量经过x 年增加到y 件，第一年为 y ＝a （1+b %）第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2，第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3，…∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）．故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）【点睛】本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.19．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题解析：3【解析】【分析】先由()()43f f x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】由题意，得()()()()()243f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3. 【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．22．（1）{a|a≤7}；（2）{a|a ＜6或a ＞152} 【解析】【分析】（1）根据A∩B=∅，可得-1≤2a+1≤x≤3a -5≤16，解不等式可得a 的取值范围；（2）由A ⊆（A∩B ）得A ⊆B ，分类讨论，A ＝∅与A≠∅，分别建立不等式，即可求实数a 的取值范围【详解】（1）若A ＝∅，则A∩B ＝∅成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6．若A≠∅，则2135{2113516a a a a +≤-+≥--≤解得6≤a≤7．综上，满足条件A∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a|a≤7}．（2）因为A ⊆（A∩B ），且（A∩B ）⊆A ，所以A∩B ＝A ，即A ⊆B ．显然A ＝∅满足条件，此时a ＜6．若A≠∅，则2135{351a a a +≤--<-或2135{2116a a a +≤-+> 由2135{351a a a +≤--<-解得a ∈∅；由2135{2116a a a +≤-+>解得a ＞152．综上，满足条件A ⊆（A∩B ）的实数a 的取值范围是{a|a ＜6或a ＞152}．考点：1．集合关系中的参数取值问题；2．集合的包含关系判断及应用23．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,m a a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn m m a a a aa -===，化简求值试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩；当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解；综上所述：存在6a =使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.25．（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”.（2）（0，+∞）（3）A =[0，+∞），B =（-∞，0）【解析】【分析】（1）直接利用信息判断结果；（2）利用信息的应用求出参数的取值范围；（3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.【详解】（1）①②是“X —函数”，③不是“X —函数”；（2）∵f （-x ）=-x -x 2+a ，-f （x ）=-x +x 2-a ，f （x ）=x -x 2+a 是“X —函数”，∴f （-x ）=-f （x ）无实数解，即x 2+a =0无实数解，∴a ＞0，∴a 的取值范围为（0，+∞）；（3）对任意的x ≠0，若x ∈A 且-x ∈A ，则-x ≠x ，f （-x ）=f （x ），与f （x ）在R 上单调增矛盾，舍去；若x ∈B 且-x ∈B ，f （-x ）=-f （x ），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴对任意的x ≠0，x 与-x 恰有一个属于A ，另一个属于B ，∴（0，+∞）⊆A ，（-∞，0）⊆B ，假设0∈B ，则f （-0）=-f （0），与f （x ）是“X —函数”矛盾，舍去；∴0∈A ，经检验，A =[0，+∞），B =（-∞，0）符合题意.【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.26．（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x =-为减函数，当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件．综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件；当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。

福建省2020学年高一数学上学期期中试题

高一数学上学期期中试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B 铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第Ⅰ卷（本卷共计60分）一、选择题：（1-11题只有一个选项，12题是多选题，每小题5分，共计60分） 1．若集合{}2,1,0,1,2M =--，21{|1,}2N y y x x ==-+∈R ，则M N =（）A ．{}2,1,0,1--B ．{}2,1,0--C ．{}1,2D ．{}22．已知幂函数)(x f 的图像经过(9,3)，则)1()2(f f -= （） A ． 3 B ．21-C ． 12-D ．13.下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是 ( ) A ．()2x f x =B ．3()f x x =C ．1()f x x=D ．x x x f -=)( 4．函数x xx f 2log 1)(+-=的一个零点落在下列哪个区间（）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(5．已知1)(35++=bx ax x f 且,7)5(=f 则)5(-f 的值是（）A.5-B.7-C.5D.7-6.已知 5.10.9m =，0.90.95.1,log 5.1n p ==，则这三个数的大小关系是( )A.m n p <<B.m p n <<C.p m n <<D.p n m <<7.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()xg x a b =+的图象是()A B C D 8.已知函数2log ,(0)()2,(0)xx x f x x ->⎧=⎨≤⎩，则不等式()1f x >的解集为（）A ．(2,)+∞B ．(,0)-∞C ．(0,2)D ．(,0)(2,)-∞+∞9．一元二次方程2510x x m -+-=的两根均大于2,则实数m 的取值范围是( )A ．21,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(),5-∞-C ．21,54⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．21,54⎛⎫-- ⎪⎝⎭10．已知函数3()log (1)f x ax =-，若()f x 在(],2-∞上为减函数，则a 的取值范围为 ( )A ．()0,+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．(,0)-∞11.已知函数()f x 的定义域为R ，0>()f x 且满足1()()()1=2f x y f x f y f +=⋅且（），如果对任意的,x y ，都有()[()()]0x y f x f y --<，那么不等式2(3)()4f x f x -⋅≥的解集为（）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(,1]-∞12．（多选题）已知函数2()22f x x x =++()0x <与2()ln()g x x x a =++(),0a R a 且∈>的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值可以是下列数据中的（）A ．21eB ．1eC ．eD ．3e 第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。

福建省福州第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题答案和解析

福建省福州第一中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数()f x =( ) A ．{|1}x x > B ．{|1}x x ≥ C ．{|12}x x x >≠且D ．{|12}x x x ≥≠且2．图中的阴影表示的集合中是（）A ．UA B ⋂ B ．UB A ⋂C ．()UA B ⋂D ．U()A B ⋃3．已知函数()()1,223,2x x f x x f x x +⎧>⎪=-⎨⎪+≤⎩，则()2f 的值等于( )A ．4B ．3C ．2D ．无意义4．已知全集{}1,2,3U =且{}2U C A =，则集合A 的真子集共有( ) A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个5．函数1()=ln f x x x-的零点所在的区间可以是 A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．下列大小关系正确的是（）A ．30.440.43log 0.3<的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()212,12,1x x ax x f x a a x ⎧+-≤⎪=⎨⎪->⎩在()0,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(]1,2B ．()1,2C ．[)2,+∞D ．()1,+∞10．已知两条直线1:l y m =和12121441313⨯=，1l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数2log y x =的图像从左至右相交于点C, D 。

2020-2021福州市高中必修一数学上期中模拟试卷附答案

2020-2021福州市高中必修一数学上期中模拟试卷附答案一、选择题1．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭3．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)74．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5．若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（）A ．B ．C ．D ．6．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（）． A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．9．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）10．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]11．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[]1,1- D ．(]1,1- 12．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b二、填空题13．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 14．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________.17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝． 18．10343383log 27()()161255-+--+=__________．19．计算：__________．20．用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 23．已知函数()2xf x =，1()22xg x =+．（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()0f x g x -=的x 的值．24．设()()()log 1log (30,1)a a f x x x a a =++->≠,且()12f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．25．已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若不等式()220xxf k -⋅≥在区间[]1,1-上恒成立，求实数k 的取值范围.26．已知定义域为R 的函数()1221x a f x =-++是奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)若关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．D解析：D 【解析】【分析】函数()f x 为偶函数，则()()f x f x =-则()()22f f =-，再结合()f x 在(]1-∞-，上是增函数，即可进行判断. 【详解】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-，即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.3．C解析：C 【解析】【分析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.4．B解析：B 【解析】【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.5．A解析：A 【解析】【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2，经检验k =2满足题意，又函数为减函数，所以01a <<，所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减，故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】【分析】【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．C解析：C【解析】【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.10．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<，即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.11．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-…在(1,+∞)恒成立，故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．12．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.二、填空题13．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】【分析】设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案．【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩，则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±，所以1a =±，故答案为：±1．【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．14．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填解析：1x ---【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填1x ---.16．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2]. 【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集. 易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.17．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7解析：7 【解析】【分析】【详解】设，则，因为11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x ，所以，,故答案为7.18．【解析】19．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.20．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题三、解答题21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式. 【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．·（3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )，()1111x f x x x -∴=-+=++ 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式. 22．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)．令t ＝2x，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]．23．（1）(2,3]；（2）2log (1x =．【解析】试题分析：（1）化简函数的解析为||||11()2()222x x g x =+=+，根据||10()12x <≤，即可求解函数的值域；（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=，整理得到2(2)2210x x -⋅-=，即可求解方程的解．试题解析：（1）||||11()2()222x x g x =+=+，因为||0x ≥，所以||10()12x <≤，即2()3g x <≤，故()g x 的值域是(2,3]．（2）由()()0f x g x -=，得||12202xx --=，当0x ≤时，显然不满足方程，即只有0x >时满足12202xx --=，整理得2(2)2210x x -⋅-=，2(21)2x -=，故21x =±因为20x >，所以21x =2log (1x =．考点：指数函数的图象与性质．24．（1）2a =，定义域为()1,3-；（2）2 【解析】【分析】（1）由()12f =,可求得a 的值,结合对数的性质,可求出()f x 的定义域; （2）先求得()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性,进而可求得函数的最大值.【详解】（1）()1log 2log l 242og a a a f =+==,解得2a =. 故()()22log 1)g 3(lo f x x x =++-, 则1030x x +>⎧⎨->⎩,解得13x -<<,故()f x 的定义域为()1,3-.（2）函数()()()()()222log 1log 3log 31f x x x x x =++-=-+,定义域为()1,3-,()130,2,3⎡⎤⊆⎥-⎢⎣⎦,由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增,函数()()31y x x =-+在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得函数()f x 在[)0,1上单调递增,在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 故()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21log 42f ==.【点睛】本题考查了函数的定义域,考查了函数的单调性与最值,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.25．（1）a=1,b=0;(2) (],0-∞. 【解析】【分析】（1）依据题设条件建立方程组求解；（2）将不等式进行等价转化，然后分离参数，再换元利用二次函数求解. 【详解】（1）()()2g x a x 11b a =-++-，因为a 0>，所以()g x 在区间[]23，上是增函数，故()()21{34g g ==，解得1{0a b ==．（2）由已知可得()12=+-f x x x ，所以()20-≥x f kx 可化为12222+-≥⋅x x x k ，化为2111+222-⋅≥x x k （），令12=x t ，则221≤-+k t t ，因[]1,1∈-x ，故1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，记()221=-+h t t t ，因为1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ，故()0=min h t ，所以k 的取值范围是(],0∞-．【点睛】(1)本题主要考查二次函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，（2）本题的关键有两点，其一是分离参数得到2111+222-⋅≥x x k （），其二是换元得到221≤-+k t t ，1,22⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t . 26．（1）1a =（2）见解析（3）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，即可得解；（2）由21xy =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，化简()()12f x f x -判断正负即可证得；（3）不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m mmt -++≥-+，原问题转化为121t m m ≤-++在()1,2m ∈上有解，求解11y m m=-++的最大值即可. 试题解析解：(1)由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，解得1a =.(2)由21xy =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++∵2xy =递增，且12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x ->，∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.(3)关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m mmt -++≥-+，因为()1,2m ∈，所以121t m m≤-++，原问题转化为121t m m≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵11y m m=-++在区间()1,2上为减函数，∴11y m m =-++，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21t <，解得12t <， ∴t 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.。

2020-2021福州市高中必修一数学上期中一模试卷(及答案)

2020-2021福州市高中必修一数学上期中一模试卷(及答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．函数()log a x x f x x=（01a <<）的图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <>D ．1a b >>4．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 5．1()xf x e x=-的零点所在的区间是（） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)26．设集合{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则A B =UA ．{}123,4，， B ．{}123，， C ．{}234，， D ．{}134，， 7．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（）A ．32B ．23-C ．23D ．32-9．已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．1-B ．12- C ．12 D ．210．函数2ln(1)y 34x x x +=--+的定义域为（） A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-， D ．(11]-， 11．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 二、填空题13．若函数()24,43,x x f x x x x λλ-≥⎧=⎨-+<⎩恰有2个零点，则λ的取值范围是______. 14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．函数y=232x x --的定义域是 . 16．函数的定义域为______________．17．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.18．计算：__________．19．有15人进家电超市，其中有9人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种都没买的有人.20．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．三、解答题21．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．23．已知函数21()(,,)ax f x a b c Z bx c+=∈+是奇函数，且(1)2,(2)3f f =<（1）求a ，b ，c 的值；（2）判断函数()f x 在[1,)+∞上的单调性，并用定义证明你的结论；（3）解关于t 的不等式：2(1)(3)0f t f t --++>．24．已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值；（3）设函数12()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12f x g x >成立，求m 的取值范围.25．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域；（2）判断函数()y f x =的奇偶性；（3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围.26．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器x （百台），其总成本为()P x （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()Q x （万元）满足20.522,016(){224,16x x x Q x x -+≤≤=>，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．C解析：C 【解析】【分析】确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论．【详解】由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ．故选C ．【点睛】本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．3．A解析：A 【解析】【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3222639b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A.本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算5．B解析：B 【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.6．A解析：A 【解析】由题意{1,2,3,4}A B =U ，故选A. 点睛:集合的基本运算的关注点：(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．7．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ．考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．8．D【解析】【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +，则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--，由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案．【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =，所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ．【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．10．C解析：C要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C11．B解析：B 【解析】【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数，由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.12．B解析：B 【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象结合图象分析可得答案【详解】根据题意在同一个坐标系中作出函数和的图象如图：若函数恰有2个零点即函数图象与轴有且仅有2个交点则或即的取值范围是：解析：(1，3](4,)+∞U ．【解析】【分析】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，结合图象分析可得答案．【详解】根据题意，在同一个坐标系中作出函数4y x =-和243y x x =-+的图象，如图：若函数()f x 恰有2个零点，即函数()f x 图象与x 轴有且仅有2个交点，则13λ<…或4λ>，即λ的取值范围是：(1，3](4,)+∞U 故答案为：(1，3](4,)+∞U ．【点睛】本题考查分段函数的图象和函数的零点，考查数形结合思想的运用，考查发现问题解决问题的能力.14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得解析：(5,7)【解析】【分析】【详解】由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<15．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域16．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果.【详解】由题意得：，函数定义域为：【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.17．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令11t x =+≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点18．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：【解析】原式=,故填.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人所以两种家电至少买一种有人所以两种都没买的有人或根据条件画出韦恩图：(人)考点：元素与集合的关系解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：两种都买的有人，所以两种家电至少买一种有人.所以两种都没买的有人.或根据条件画出韦恩图：(人).考点：元素与集合的关系.20．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学解析：[-6,-2) 【解析】【分析】转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解. 【详解】由题得242x x a --=，令f(x)=()242,1,4x x x --∈,所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--，所以[)6,2a ∈-- 故答案为[-6,-2) 【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题21．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x－6(0≤x ≤3)．令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立，∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]． 22．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】()1根据题意，函数()221x x af x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021af -+==+，解可得1a =，当1a =时，()()12121212x xx xf x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意；故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x xf x -==-++，在R 上为减函数；证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，又由12x x <，则()21220x x->，()1210x+>，()2210x+>，则()()120f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =. 23．⑴1,0a b c ===⑵增函数⑶22t -<< 【解析】【分析】【详解】（1）()f x Q 为奇函数，()()f x f x ∴-=-即2211ax ax bx c bx c++=--++得bx c bx c -+=--解得0c =又1(1)221a f b a b+==⇒=+Q 412(2)32021a a fb a +-=<⇒<+Q 解得1201a a Z a a -<<∈∴==Q 或当0a =时12b =与b Z ∈矛盾舍，当1a =时1b =综上1,0a b c === ⑵函数()f x 在[1,)+∞上为增函数任取1212,[1,),x x x x ∈+∞<且则2212121212121211()(1)()()x x x x x x f x f x x x x x ++---=-= 1212,[1,),x x x x ∈+∞<Q 且1212(1,),0x x x x ∴⋅∈+∞-<且 1212()()0()()f x f x f x f x ∴-<<即得证函数()f x 在[1,)+∞上为增函数⑶222(1)(3)0(3)(1)(1)f t f t f t f t f t --++>∴+>---=+Q211,31t t +≥+>Q ，函数()f x 在[1,)+∞上为增函数 213(1)(2)0t t t t ∴+<+⇒+-<解得222t t <⇒-<<考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明24．（1）2()22f x x x =++；（2）min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩…；（3）7m < 【解析】【分析】(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对应的等式对比得出所求的系数即可.(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠. ①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==, 又∵(1)()1f x f x x +-=+,∴22(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+, ∴21,3,a a b =⎧⎨+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2()22f x x x =++.(2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-.①当11t -„,即2t „时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增, 即min ()(1)52h x h t ==-；②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,即2min ()(1)21h x h t t t =-=-++.综上,min 252,2,()21, 2.t t h x t t t -⎧=⎨-++>⎩„ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==, 函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+, ∴52m >-+,解得7m <. 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型. 25．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）要使函数有意义，则，得.函数的定义域为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数的定义域为，关于原点对称，对任意，.由函数奇偶性可知，函数为偶函数.（Ⅲ）函数由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数又函数为偶函数，不等式等价于，得.26．（Ⅰ）20.51212,016(){21210,16x x x f x x x -+-≤≤=-> ;（Ⅱ）12 .【解析】试题分析：（1）先求得()P x ，再由()()()f x Q x P x =-，由分段函数式可得所求；（2）分别求出各段的最大值，注意运用一次函数和二次函数的单调性求最值法，然后比较两个最值即可得到结果.试题解析：（1）由题意得()1210P x x =+∴()()()20.51212,016{21210,16x x x f x Q x P x x x -+-≤≤=-=-> .（2）当16x >时，函数()f x 递减，∴()()1652f x f <=万元当016x ≤≤时，函数()()20.51260f x x =--+当12x =时，()f x 有最大值60万元所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元 .【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).。

2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案

2020-2021福州市高中必修一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2B ．4C ．6D ．84．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，6．设log 3a π=，0.32b =，21log 3c =，则（） A ．a c b >> B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>7．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()U M P S ⋂⋂ðD ．()()U M P S ⋂⋃ð8．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞ D ．(4,)+∞10．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．11．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（）A ．a c b <+的解集为_____14．已知函数()32f x x x =+，若()()2330f a a f a -+-<，则实数a 的取值范围是__________．15．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.16．若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________. 17．若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为．18．函数6()12log f x x =-的定义域为__________．19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______.三、解答题21．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 22．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？ 24．已知集合A={x|x ＜-1，或x ＞2}，B={x|2p-1≤x≤p+3}．（1）若p=12，求A∩B；（2）若A∩B=B，求实数p 的取值范围． 25．已知函数f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ),a>0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明; (3)当a>1时,求使f (x )>0的解集.26．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验．前三天观测的该微生物的群落单位数量分别为12，16，24．根据实验数据，用y 表示第()*x x ∈N 天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型；①2y ax bx c =++；②x y p q r =⋅+，其中a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数．（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；（2）若第4天和第5天观测的群落单位数量分别为40和72，请从这两个函数模型中选出更合适的一个，并计算从第几天开始该微生物群落的单位数量超过1000．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-.考点：集合的运算3．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．4．C解析：C 【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.6．C解析：C 【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0,再证明b>1,a<1，即得解. 【详解】由题得21log 3c =2log 10<=，a>0,b>0. 0.30log 3log 1,22 1.a b πππ====所以b a c >>.故答案为C 【点睛】(1)本题主要考查指数函数对数函数的单调性，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比.7．C解析：C 【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ．【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．8．C解析：C 【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数； x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,() y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数.当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减；当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.10．C解析：C 【解析】由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．11．B解析：B 【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ．【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则解析：()(),40,-∞-+∞U【解析】【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围．【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>，解可得：4x <-或0x >，即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞U ，故答案为()(),40,-∞-+∞U ；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．14．(13)【解析】由题意得为单调递增函数且为奇函数所以点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内解析：(1,3) 【解析】由题意得()f x 为单调递增函数,且为奇函数,所以()()2330f a a f a -+-<22(3)(3)3313f a a f a a a a a ⇒-<-⇒-<-⇒<<点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内15．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 16．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.17．-8【解析】试题分析：设当且仅当时成立考点：函数单调性与最值解析：-8 【解析】试题分析：2tan 1tan 1,42xx x ππ∴∴Q设2tan t x =()()()2221412222142248111t t t y t t t t -+-+∴==-=----≤-⨯-=----当且仅当2t =时成立考点：函数单调性与最值18．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(4解析：(0,6⎤⎦ 【解析】要使函数()f x 有意义，则必须6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，解得：06x ≤<，故函数()f x 的定义域为：(0,6⎤⎦．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y ＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y ＝ax(a>0且a≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R.(6)y ＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z . 19．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3【解析】令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3 三、解答题21．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ （2）1439t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π= 要使()12t f x -=有两个根，则12342t -≤<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.22．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤），则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+，函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=，103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.23．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元【解析】设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.24．（1）722x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；（2）3 4.2p p ><-或【解析】【分析】(1)根据集合的交集得到结果即可；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ，分B 为空集和不为空集两种情况即可.【详解】（1）当时，B={x |0≤x ≤}， ∴A∩B={x |2＜x ≤}；（2）当A∩B=B 时，可得B ⊆A ；当时，令2p -1＞p +3，解得p ＞4，满足题意；当时，应满足解得；即综上，实数p 的取值范围．【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．25．（1）{}11x x -<<（2）函数()f x 为奇函数，证明见解析（3）{}01x x <<【解析】【分析】（1）根据题意，求函数定义域结合对数函数真数大于零得到关于x 的不等式组，求解即可得出答案。

2021届福建省福州第一中学高三第一学期期中考试数学试题(教师版含解析)

福州一中2020—2021学年第一学期高三数学半期考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知命题2 :1,2log 1x p x x ∀-≥≥，则p ⌝为( ) A. 21,2log 1x x x ∀<-< B. 21,2log 1x x x ∀-<≥ C. 21,2log 1x x x ∃<-< D. 21,2log 1x x x ∃-<≥【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p 1x ∀≥，22log 1xx -≥，:p ⌝1x ∃≥，22log 1x x -<.故选：D【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题. 2. 设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =A. 5B.C. 2D.【答案】B 【解析】由1132z i z +=--，得1236z z zi i +=--+，即2z i =+，则z = B. 3. 已知集合{}2log (3)1P x x =-≤，322x Q x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭，则()R P Q =( ) A. ()0,1 B. (]0,1C. []1,2D. (]1,2【答案】A 【解析】【分析】先解对数不等式和分式不等式分别化简集合,P Q ，求得RP ，再进行交集运算即可.【详解】22log (3)1l g 2o x -≤=，032x ∴<-≤，即13x ≤<，集合{}13P x x =≤<，则{1RP x x =<或}3x ≥，又由322x x-≤，得20x x -≤等价于()20x x -≤且0x ≠，即02x <≤，集合{}02Q x x =<≤，故()R P Q ={}01x x <<.故选：A.4. 已知等差数列{}n a 的公差为5，前n 项和为n S ，且1a 、2a 、5a 成等比数列，则6S =( )． A. 80 B. 85 C. 90 D. 95【答案】C 【解析】由题意，得2111(5)(45)a a a +=+⨯，解得152a =，所以6565659022S ⨯=⨯+⨯=．故选C ．5. 设函数313log ,?0,()log (),? 0,x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是( ) A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (1,0)(1,)D. (,1)(0,1)-∞-【答案】C 【解析】【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解. 详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a >，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >. 故选：C6. 《九章算术》卷第五《商功》中，有问题“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”，意思是：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，无宽，高1丈(如图)．问它的体积是多少? ”这个问题的答案是( )A. 5立方丈B. 6立方丈C. 7立方丈D. 9立方丈【答案】A 【解析】过点,E F 分别作平面EGJ 和平面FHI 垂直于底面，所以几何体的体积分为三部分中间是直三棱柱，两边是两个一样的四棱锥，所以113122131523V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=立方丈，故选A.7. 设ln x a x =，ln y b y =，ln y c x =，其中x y >，则下列说法正确的是( ) A. a c b ≤≤ B. b c a ≤≤C. 2ab c <D. 2c ab <【答案】D 【解析】【分析】构造函数，利用函数的单调性可得答案.【详解】令ln ,ln x m y n ==，因为x y >，所以m n >，所以2m a e =，2n b e =，nm c e =，虽然xy e =是单调递增函数，而22,m n 无法比较大小，所以,a b 大小无法确定，排除AB ；22nm c e =2222+22m n m n nm ab e e e e c ==>=，故选：D.【点睛】本题考查比较大小，构造函数，利用函数的单调性是解答本题的关键点. 8. 已知函数()e e2xxf x a -=+⋅+(a R ∈， e 为自然对数的底数)，若()g f x =与()()y f f x =的值域相同，则a 的取值范围是 A. 0a < B. 1a ≤-C. 04a <≤D. 0a <或04a <≤【答案】A 【解析】排除法：当1a =时，令x e t = ，1()24f x t t=++≥ ，值域为[4,)+∞，(())f f x 在[4,)+∞上为增函数，值域为25[,)4+∞，不合题意舍去；当0a <时，()2a f x t t =++ ，2223()120a t af x t t-=-+≥>' ，()f x 的值域为R (())y f f x =的值域也是R ，不符合题意，排除C 和D.当12a =-时，1()22f x t t =-+，21()102f x t =+>'，函数在(0,)+∞上单增，值域为R ，(())f f x 的值域也为R ，符合题意，排除B ，选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 已知2()2sin cos f x x x x =+，下列说法正确的有( ) A. ()f x 的最小正周期是2π B. ()f x 最大值为2 C. ()f x 的图象关于3x π=对称D. ()f x 的图象关于2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称【答案】BD 【解析】【分析】利用三角函数的性质，逐个判断选项即可求解【详解】2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-sin 23cos 22sin(2)3x x x π=+=+，明显可得， A 错，B 对；对于C ，因为()03f π=，所以，()f x 的图象不关于3x π=对称，C 错；对于D ，因为2()03f π-=，所以，()f x 的图象关于2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，D 对；故选：BD10. 已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+(,x y R ∈)，则x y +的可能取值为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 2【答案】ABC 【解析】【分析】以向量OA 、OB 方向为x ，y 轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量()cos ,sin OC θθ=，可计算cos sin x y θθ+=+取值范围，即得结果.【详解】依题意，OA 、OB 是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量OA 、OB 作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C ()cos ,sin θθ(θ表示由x 轴非负半轴旋转到OC 所形成的角)构成的向量OC ，[)0,2θ∈π，因为()1,0OA =，()0,1OB =，()cos ,sin OC θθ=，OC xOA yOB =+，所以cos ,sin x y θθ==，故cos sin 2sin 4x y πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，[)0,2θ∈π，故2,2x y ⎡⎤+∈-⎣⎦，故可以是选项中的0，1，2.故选：ABC.11. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有( )A. AC BE ⊥B. 异面直线,AE BF 所成的角为定值C. 点A 到平面BEF 的距离为定值D. 三棱锥A BEF -的体积是定值【答案】ACD 【解析】【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=2AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是2，故C 正确；=2AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEFS =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=D 正确. 故选：ACD【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： (1)定义法：直接作平面的垂线，求垂线；(2)等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； (3)向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可. 12. 在n n n A B C (1,2,3,n =)中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b++=，222124n n n a b c ++=，则( ) A.n n n A B C 一定是直角三角形B. {}n S 为递增数列C. {}n S 有最大值D. {}n S 有最小值【答案】ABD 【解析】【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c++=得，222222112244n n n n n n a c a b b c +++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=，故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b bSS c cS +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤(当且仅当==2n n b c ) 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD .【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量(1,3)a =，(3,)b m =，且b 在a 上的投影为3，则m =______．【解析】【分析】利用数量积的定义得到投影cos a b b aθ⋅=，再利用数量积和模长的坐标运算代入计算即可.【详解】设a 与b 的夹角是θ，利用投影定义，b 在a 上的投影为cos b θ，因为cos a b a b θ⋅=⋅，33,1a b m a ⋅=+=，所以33cos 32ma b ab θ⋅+===，解得m =. 14. 设变量x ，y 满足约束条件1,4,2,x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则目标函数2z x y =+的最大值为__________．【答案】6.5 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．详解：由题作出可行域如图，联立1{4x y x y -=-+=35(,)22A ⇒化目标函数22x zy =-+由图可知过A 时截距最大，故z 的最大值为6.5，故答案为6.5点睛：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．【答案】23π 【解析】【分析】根据图象关于6x π=对称，分析得到6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数最值，由此分析计算出a 的值并化简()f x ，根据条件表示出12,x x ，然后分析出12x x +的最小值. 【详解】因为()f x 的图象关于6x π=对称，所以213162f a π⎛⎫=±+=⎪⎝⎭，所以解得3a =()sin 32sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，又因为()112sin 23f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1112,32x k k Z πππ+=+∈，所以1112,6x k k Z ππ=+∈，又因为()222sin 23f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以2222,32x k k Z πππ+=-+∈所以22252,6x k k Z ππ=-+∈，所以121212522,,66x x k k k Z k Z ππππ+=+-+∈∈，所以()12121222,,3x x k k k Z k Z ππ+=-++∈∈，显然当120k k +=时有最小值，所以12min2233x x ππ+=-=，故答案为：23π. 【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数的一条对称轴求解参数的两种思路：(1)根据对称轴对应的是正、余弦型函数的最值，代入计算出函数值等于对应的最值，由此计算出参数值； (2)已知对称轴为x a =，则根据()()2f a x f x -=，代入具体x 的值求解出a 的值.16. 三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，2BC BD ==，面ACD 的面积为11，则此三棱锥外接球的表面积为___．【答案】16π 【解析】【分析】利用三角形全等和三角形面积公式求出高AE 为11，23AC AD ==，进而利用余弦定理，得出90ACB ADB ∠=∠=︒，即AC BC ⊥，AD DB ⊥，进而得出AB 为外接圆直径，进而求解【详解】如图，2BC BD ==，60ABC CBD DBA ===∠∠∠，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，∴2CD =，又由面ACD 11，则ACD △的高AE 11，且根据余弦定理，可得23AC AD ==，60ABC DBA ==∠∠，可得4AB =，90ACB ADB ∠=∠=︒，即AC BC ⊥，AD DB ⊥，明显地，当球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径，所以，24AB R ==，所以，三棱锥外接球的表面积为2416R ππ= 故答案为：16π【点睛】关键点睛：解题的关键在于利用余弦定理和三角形性质得到AC BC ⊥，AD DB ⊥，进而根据球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径来求解，难度属于中等四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在①ABCS=1a b -=，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求三角形的周长；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且c =sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，？注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】答案不唯一，见解析. 【解析】【分析】先利用已知条件计算3C π=和227a b ab +-=，再利用所选条件逐一计算即可.【详解】因为sin cos 6c A a C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos 6C A A C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又因为sin 0A ≠，所以sin cos 6C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2sin sin 3C C π⎛⎫=-⎪⎝⎭，又因为(0,)C π∈，所以23C C π=-，所以3C π=．由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即227a b ab +-=，若选①：因为1sin 2ABCSab C =，所以8ab =，所以2()781a b -=-=-，与2()0a b -≥矛盾，所以满足条件的三角形不存在．若选②：因为1a b -=，所以2221a b ab +-=，又227a b ab +-=，所以6ab =，故22225a b ab ++=，即5a b +=，所以三角形周长5C a b c =++=．若选③：因为sin 2sin A B =，所以2a b =，联立227a b ab +-=，解得a =，b =，所以三角形周长C a b c =++=．【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．18. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥面ABC ，2AC BC ==，22AB =，14CC =，M 是棱1CC 上一点．(1)若,M N 分别是1CC ，AB 的中点，求证：//CN 面1AB M ； (2)若132C M =，求二面角1A B M C --的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)4π. 【解析】【分析】(1)连接A 1B 交AB 1于P ，根据平行四边形AA 1B 1B 的性质，结合三角形中位线定理，可得NP 与CM 平行且相等，从而四边形MCNP 是平行四边形，可得CN ∥MP ，再结合线面平行的判定定理，得到CN ∥平面AB 1M ；(2)以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图，根据题意得到C 、A 、、B 1、M 各点的坐标，从而得到向量AB 、1B M 的坐标，再利用垂直向量数量积为零的方法，列方程组可求出平面AMB 1的法向量n =(5，﹣3，4)，结合平面MB 1C 的一个法向量CA =(2，0，0)，利用空间两个向量的夹角公式，得到n 与CA 的夹角，即得二面角A ﹣MB 1﹣C 的大小．【详解】(1)连结A 1B 交AB 1于P ．因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以P 是A 1B 的中点．因为M ，N 分别是CC 1，AB 的中点，所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形，所以CN //MP ．因为CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ，所以CN //平面AB 1M ．(2)因为AC =BC =2，22AB = 所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ．又因为CC 1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．因为132C M =，所以C (0,0,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--．设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z =，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅=．即5 (2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y zx y z⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩，，令5x=，则3,4y z=-=，即(5,3,4)n=-．又平面MB1C的一个法向量是=(2,0,0)CA，所以2cos,>=||||n CAn CAn CA⋅<=．由图可知二面角A-MB1-C为锐角，所以二面角A-MB1-C的大小为4π．【点睛】关键点睛：解题关键在于由勾股定理的逆定理知BC⊥AC．又因为CC1⊥平面ABC，进而以C为原点，CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量计算二面角，难度属于中档题19. 已知等比数列{}n a的公比1q>，满足：23428a a a++=，且32a+是24,a a的等差中项．(1)求数列{}n a的通项公式；(2)若12logn n nb a a=，n S为数列{}n b的前n项和，求使121000nnS n++⋅>成立的正整数n的最小值．【答案】(1)2nna=；(2)9.【解析】分析】(1)先根据已知条件列基础量1,a q满足的关系，结合1q>计算解得1,a q，再写通项公式即可；(2)先化简n b，再利用错位相减法求其前n项和n S，再代入不等式解得121002n+>，结合*n N∈，得到n 的取值范围，即得结果.【详解】解：(1)∵32a+是24,a a的等差中项，∴()32422a a a+=+，代入23428a a a++=，可得38a=，∴2420a a+=，∴21211820a qa q a q⎧=⎨+=⎩，解之得122aq=⎧⎨=⎩或13212aq=⎧⎪⎨=⎪⎩，∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =；(2)∵1122log 2log 22n nnn n n b a a n ===-⋅，∴()212222n n S n =-⨯+⨯++⋅，①()2312122222n n n S n n +=-⨯+⨯++⋅+⋅，②②-①得()23111121222222222212n n n n n n nS n n n ++++-=+++-=-⋅=--⋅-∵1111222221000n n n n n S n n n +++++⋅=--⋅+⋅>，∴121002n +>，又因为*n N ∈，9102512,21024==，所以110n +≥，所以9n ≥，所以使121000n n S n ++⋅>成立的正整数n 的最小值为9.【点睛】一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式，化简计算即可．20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABC ，//,90AD BC ABC ︒∠=，2AD =，23AB =，6BC =．(1)求证：平面PBD ⊥平面PAC ；(2)PA 长为何值时，直线PC 与平面PBD 所成角最大？并求此时该角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)23PA =，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35. 【解析】【分析】(1)根据已知条件，得到BD PA ⊥，再利用正切函数的性质，求得030,BAC 60ABD ∠=∠=，得到BD AC ⊥，进而可证得平面PBD ⊥平面PAC ；(2)建立空间坐标系，得到()23,2,0BD =-，()0,2,DP t =-，()23,6,PC t =-，进而得到平面PBD 的一个法向量为231,3,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，进而可利用向量的公式求解【详解】(1)∵PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥，又3tan ,tan 33AD BCABD BAC AB AB∠==∠==， ∴0030,BAC 60ABD ∠=∠=，∴090AEB ∠=，即BD AC ⊥(E 为AC 与BD 交点)．又PAAC ，∴BD ⊥平面PAC ，又因为BD ⊂平面PBD ，所以，平面PAC ⊥平面PBD(2)如图，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴，建立空间坐标系，如图，设AP t =，则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,B C D P t ，则()23,2,0BD =-，()0,2,t DP =-，()23,6,PC t =-，设平面PBD 法向量为(),,n x y z =，则00n BD n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即232020x y y tz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得平面PBD 的一个法向量为231,3,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以22226333cos ,1214448451PC n PC n PC nt t t t ⋅===++++，因为22221441445151275t t t t +++=≥，当且仅当23t =时等号成立，所以5c 33353os ,PC n ≤=，记直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则sin cos ,PC n θ=，故3sin 5θ≤，即23t =时，直线PC 与平面PBD 所成角最大，此时该角的正弦值为35．【点睛】关键点睛：解题关键在于利用定义和正切函数的性质，得到BD ⊥平面PAC ，进而证明平面PAC ⊥平面PBD ；以及建立空间直角坐标系，求出法向量，进行求解直线PC 与平面PBD 所成角的最大值，难度属于中档题21. 一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．记AOE θ∠=，(1)用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ；(2)当小球从A 到F 所用的时间最短时，求cos θ的值．【答案】(1)11()833sin f vv v θθθ=++，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)1cos 3θ= 【解析】【分析】(1)先计算A 到E 弧长为θ，确定这一段的用时，再计算EF 长度确定此段用时，再相加即得结果； (2)对函数()f θ求导，研究其单调性得到极小值点，即得到最短时间时的cos θ值.【详解】解：(1)依题意，AOE θ∠=，半径是1，故A 到E 弧长为θ，通过A 到E 弧长所用时间是8vθ，过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，1sin sin OG OF θθ==，得11sin EF θ=+，则此时所用时间为1133sin 3EF v v vθ=+所以11()833sin f vv v θθθ=++，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； (2)222211cos 33cos 8cos (3cos 1)(cos 3)()83sin 24sin 24sin f v v v v θθθθθθθθθ----+'=+⋅==-，记0(0,)θπ∈，且01cos 3θ=，则0,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当0,4πθθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1cos 3θ>，所以()0f θ'<，()f θ单调递减，当03,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 3θ<，所以()0f θ'>，()f θ单调递增，所以1cos 3θ=时，用时最短．所以，当1cos 3θ=时，小球从A 到F 所用的时间最短．【点睛】利用导数研究实际问题时，首先构建模型得到函数关系，再通过导数研究其单调性和极值，尤其是开区间上只有一个极值点，也就是最值点，再将数据反馈到实际问题中去.22. 已知函数12()(2)e (1)x f x x a x +=-++(0a >，e 是自然对数的底数)，()'f x 是()f x 的导函数． (1)若12a ≥，求证：()'f x 在(1,)-+∞单调递增； (2)证明：()f x 有唯一的极小值点(记为0x )，且()203e f x -<<-．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)函数()f x 求导，记()()g x f x '=，函数()g x 求导，二次求导，分析函数的单调性，即可得证；(2)当12a ≥，102a <<利用零点存在性定理得到()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点．设()'f x 有唯一的零点，记为s ，分析函数单调性得到s 是()f x 唯一的极小值点，由单调性知0()(1)3f x f <-=-，20()(1)e h x h >=-，即可得出结论.【详解】(1)1'()(1)e 2(1)x f x x a x +=-++，记()()g x f x '=，则1'()e2x g x x a +=+，1()(1)e x g x x +''=+，因为1x >-，所以()0g x ''>，所以()'g x 在(1,)-+∞单调递增， (1)12g a '-=-+，当12a ≥时，()(1)0g x g ''>-≥，所以()'f x 在(1,)-+∞单调递增， (2)当12a ≥时，()'f x 在(1,)-+∞单调递增，又(1)20f '-=-<，(1)40f a '=>，所以函数()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点．当102a <<时，(1)0g '-<，(0)20g a '=>，故(1,0)t ∃∈-，使得()0g t '=，且(1,)x t ∈-时，()0g x '<，()g x 单调递减，(,)x t ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，又(1)20g -=-<，(1)40g a =>，所以函数()g x 在(1,)-+∞有唯一的零点．综上所述，()'f x 在(1,)-+∞有唯一的零点．当1x ≤-时，1()(1)e 0x f x x +'-<≤，又()'f x 有唯一的零点，记为s ，且当x s <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x s >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以s 是()f x 唯一的极小值点，即0(1,1)x s =∈-且满足0100(1)e 2(1)0x x a x +-++=，由单调性知0()(1)3f x f <-=-，另一方面，00001111222000000000(1)e 1()(2)e(1)(2)e(1)(23)e 2(1)2x x x x x f x x a x x x x x x ++++-=-++=--+=--++，记211()(23)e 2z h z z z +=--+，则211()(1)e 02z h z z +'=-+<，所以()h z 单调递减，又因为0(1,1)x ∈-，所以20()(1)e h x h >=-，综上所述， ()203e f x -<<-．【点睛】方法点睛：究函数()f x 的单调性和极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③写出单调区间，并判断极值点.。

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福州一中2020—2021学年第一学期第一学段模块考试高一数学学科一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.命题“存在0R x ∈，020x ≤”的否定是（）A.对任意的x R ∈，20x ≤B.对任意的x R ∈，20x >C.不存在0R x ∈，020x > D.存在0R x ∈，20x ≥2.幂函数的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是（） A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.[0,)+∞D.(,)-∞+∞3.若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{} C x x A x B =∈∉且，则集合C =（）A.[3,1)(1,4]--⋃B.[3,1](1,4]--⋃C.[3,1)[1,4]--⋃D.[3,1][1,4]--⋃4.若0a b >>，0c d <<，则一定有（） A.a b d c> B.a b d c< C.a b c d> D.a b c d< 5.设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（） A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<6.设函数||()2x f x =，则下列结论正确的是（）A.(1)(2)(f f f -<<B.((1)(2)f f f <-<C.(2)((1)f f f <<-D.(1)((2)f f f -<<7.若221xy+=，则x y +的取值范围是（） A.[0,2] B.[2,0]-C.[2,)-+∞D.(,2]-∞-8.已知()1()121(0)x a f x x x -⎛⎫=-->⎪⎝⎭，则“1a =”是“()0f x ≤恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（）A.15B.0C.3D.1310.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 11.函数2()xf x x a=+的图象可能是（） A. B.C. D.12.已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是（） A.1a b c ++= B.1ab bc ca ++< C.c 的最大值为1D.a 的最小值为-1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1132081()274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________. 14.函数()f x 的定义域为[0,8]，则函数(2)4f x x -的定义域是________. 15.已知21(31)4,1,()1,12x a x a x f x a x --+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩满足对于任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a的取值范围是________.16.若函数224,,()22,,xx x x a f x x a ⎧-+≤=⎨+>⎩（0a >，且1a ≠）的值域为[3,)+∞，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知集合{}02A x x =≤≤，{}32B x a x a =≤≤-. （1）若()U C A B R ⋃=，求a 的取值范围；（2）若AB B ≠，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知函数1()max ,22x f x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，(),1,()1,1,f x x g x x x x ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩（1）填写表格后描点，并画出()y g x =的图象；（2）写出()g x 的最小值，以及不等式()20g x ->的解集. 19.（本题满分12分）已知2()21xf x a =-+为奇函数. （1）求证：()f x 为增函数；（2）求()f x 的值域. 20.（本题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x 对任意x ，y R ∈都有等式()()() 1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f =，且当0x >时，()()9233x x f f m m ++-⋅>恒成立，求实数m 的取值范围. 21.（本题满分12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.22.（本题满分12分）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足()01f =，对于任意x R ∈，()f x x ≥-，且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 解析式；（2）讨论方程()|1|(0)f x mx m =->在区间(0,1)上的根个数. 参考答案：2020级福州一中高一数学期中考试参考答案1-8：BADB CDDC9.ABD 10.BD 11.BCD 12.ABC12.【解答】由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=1ab bc ca a b c ∴++=++-设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-.2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，22(1)1x x ∴--=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=. ()0ab a b c ∴++=，即()(1)0ab a b a b ++--=.220a b ab a b ∴++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=.由a ，b R ∈知，()()22140a a a ∆=---≥.∴23210a a --≤，解得113a -≤≤.因此13a ≥-. 又当1=3a -时，代入前面解得，23b c ==.符合题设要求.∴a 的最小值为13-.13.2 14.[0,4) 15.11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.[1,)+∞ 17.解：（1）{}02A x x =≤≤，{}0 2U C A x x x ∴=<>或，若()U C A B R ⋃=，则320322a a a a -≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，即0a ≤ ∴实数a 的取值范围是(,0]-∞. （2）若AB B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32a a -<得1a >当B =∅时，1a ≤，∴当B A ⊆，则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上故a 的取值花围为1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.解：（1）由题意1,12()2,111,1xx x g x x x x x ⎧--<-⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪+≥⎩，，，x-2-10 1 2()g x32 12 1252图像如下：（2）当1x =-时，min 1()2g x =；解集：5,(1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 19.解：（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即222121x x a a --=-+++ 整理得(2)2221212x x x xa a a a-+-⋅+-=++则22a aa a -=-⎧⎨=-⎩，解得1a =.2()121x f x ∴=-+. ()f x 的定义域为R ，设12,x x R ∈，且12x x <，()()()()()121212122222221211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++ 12x x <，12220x x ∴-<，()()1212120x x ++>，()()120f x f x ∴-<即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数.（2）2()121x f x =-+，211x +>，10121x∴<<+ 22021x ∴-<-<+，211121x ∴-<-<+，即11()1f x -<<故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-. 另解：2()121xf x =-+. 由2121xy =-+，得(1)21xy y -=--，当1y =时，得02=-，矛盾，所以1y ≠；故有121xy y --=-. 当x R ∈时，20x >，所以101y y -->-，解得11y -<<. 故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-.20.解：（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，()211f x x ∴->，()()()212110f x f x f x x -=-->，()()21f x f x ∴>.故函数()f x 在R 上单调递增.（2）(3)(1)(2)1(1)1(1)(1)13(1)2f f f f f f f =+-=-++-=-，(1)2f ∴=，原不等式等价于()()92312x x f f m m ++-⋅->，即()()9231x x f m m f ++-⋅>，故9231x xm m ++-⋅>恒成立，即0x >时，()3191xxm -<+，9131x x m +<-.设31xt -=，则0t >，且291(1)122231x xt t t t+++==++≥-，当且仅当t =时等号成立。