【2021培优】专题2.2 基本不等式(解析版)
旗开得胜
1
专题2.2 基本不等式
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足2
2
1x y +=，则xy 的最大值是（ ）
A ．1
B 3
C ．
22
D ．
12
【答案】D
【解析】因为22
2x y xy +≥，所以22
2=1y x x y +≤，得12
xy ≤
. 故选：D.
2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ） A ．18 B ．9 C ．6 D ．3【答案】C
【解析】因为90,30a
b
>>，22a b +=，
所以2293293233236a b a b a b a b ++≥?=?==，
旗开得胜
1
当且仅当233a b =，即1
,12
a b =
=时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C
3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥- C ．2a b ab +≥-D ．2a b ab +≤【答案】B
【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；
B.2222220a b ab a b ab +≥-?++≥，即()2
0a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确； D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B
4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241
x x y x -+=-的最小值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】依题意24
1
x x y x -+=
-4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以
1
()4
4
111151
1
x x x x -+
+≥-?
=--，当且仅当41,31x x x -=
=-时，等号成立. 故选B.
5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ??
++
???
≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
【答案】C
【解析】(
)11a ax y x y a x y y x
??++=+++ ???. 若0xy <，则
0y
x
<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；
若0xy >，则
0y
x
>，0x y >.
①当0a <时，
1ax y
a y x
+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ??++ ???
≥不恒成立； ③当0a >时，())
2
1121211a ax y ax y x y a a a a a x y y x
y x ??++=+++≥?+=+=
???，
当且仅当=
y ax 时，等号成立.
所以，
)
2
19a ≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.
1
故选：C.
6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，
11
111
a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）
A ．32
B ．22
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】∵0a >，0b >，
11111
a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)](
)3[12]31111
b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++?+-=+++-++++3+223=22≥2(1)111b a a b ++=++，即2a =2
b =.故选B 7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ） A ．a v ab <<
B ．v ab =
C 2
a b
ab v +<<
D ．2ab
v a b
=
+ 【答案】AD
【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s s a b
+，
22s ab
v s s a b a b
∴==
++. 0b a >>2
a b
ab +<
，
22ab v ab a b ab ∴=<=+ 另一方面2
2222
a b ab a b v a b a b +??
? ?+??=<=++，22220ab ab a a a v a a a b a b a b
---=-=>=+++，
一元一次不等式培优专题
一元一次不等式综合 【例题求解】 【例题1】（1）已知关于x 的不等式组 5 2x 0 无解，则a 的取值范围是是 ______________________ x a 0 思路点拨：从数轴上看，原不等式组种两个不等式的解集没有公共部分。 （2）已知不等式3x a 0的正整数解恰好是1、2、3，贝y a 的取值范围是 思路点拨：由题意，结合数轴，理解 a x 3 7x m 0 的整数解仅为1、2、3,那么适合这个不等 6x n 0 式组的整数 m 和n 的值是多少。 【例题3】解下列不等式（组） (1) 2m 3 3x n (2) x 2 10 【例题2】如果关于x 的不等式组 思路点拨：借助数轴，分别建立 m n 的不等式，确定整数 m n 的值。
（3 ）求不等式x 1 x 2 3的所有整数解。 思路点拨：与方程类似，解含有字母系数的不等式（组）需要对字幕系数进行讨论；解含有绝对值符号的不等式（组）的关键是去掉绝对值符号，化为一般的不等式求解。 【例题4】已知三个非负数a、b、c满足3a 2b c 5和2a b 3c 1，若m 3a 求m的最大值与最小值。 思路点拨：本体综合了方程、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组， 字母的代数式来表示m,通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求的最大值与最小值。 b 7c。 用含一个 m 【课堂练习】 1、若关于不等式组心X 1 5 4 的解集为x 4，则m的取值范围是x m 0
2、若不等式组2x a x 2b 1 的解集是1 3 集是1，则(a 1)(b 1)的值是 3 、 已知a 0，且ax ，则2x 6 2的最小值是 4、对于整数a、b、c、d,符号 ab 表示运算ac 5 、 -a<-b B 6 、 若方程组 7 、 dc bd ,已知1 1 b 3,则b+d的值是 0，则下列式子正确的是 4x y x 4y 已知a、b为常数, b2 1 的解满足条件0y 1，则k的取值范围是 ax b 0的解集是-，则bx-a<0的解集是 3
一元一次不等式培优带答案.doc
初一数学培优讲义—不等式（答案） 一、例题选讲 4 x m8 x 1 例 1、已知关于x 的方程：37，当m为某些负整数时，方程的解为负整数，试求负整数m的最大值。 4 x m 1，可得 m 4 x 1 解：原方程化简整理得：2121 4 x 因为 m为负整数，所以21必为小于-1的负整数 4 x1， x 21，即x 5 1 所以214 4 4 x 而要使 21为负整数，x必是21的倍数，所以x 的最大值为 -21 因为当 x 取最大值时， m也取得最大值，所以m的最大值为 -3 4 x 例 2、已知 m、n 为实数，若不等式 (2m-n) x+3m-4n<0 的解集为9 ， 求不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解。 解：由 (2m-n) x+3m-4n<0 得： (2m-n) x<4n-3m ， 2m n 0 (1) x 4 4n 3m 4 (2) 9 ，所以有2m n 9 因为它的解集为 n 7 m 由(2) 得8 代入(1) 得 m<0 n 7 m 5m x 5m 把8 代入(m-4n) x+2m-3n>0 得 2 8 1 1 x x ∵ m<0 ∴ 4 所以，不等式 (m-4n) x+2m-3n>0 的解集为 4 例 3、解不等式： (1) (2x+1)2-7<(x+m)2+3x (x-1) (2) x 4 2x 3 1 解： (1) 原不等式可化为： (7-2m) x
高中数学必修五《基本不等式》培优专题(无答案)
高中数学——基本不等式培优专题 目录 培优（1）常规配凑法 培优（2）“1”的代换 培优（3）换元法 培优（4）和、积、平方和三量减元 培优（5）轮换对称与万能k法 培优（6）消元法（必要构造函数求异） 培优（7）不等式算两次 培优（8）齐次化 培优（9）待定与技巧性强的配凑 培优（10）多元变量的不等式最值问题 培优（11）不等式综合应用
培优（1） 常规配凑法 1.（2018届温州9月模拟）已知242=+b a （a,b ∈R ）,则a+2b 的最小值为_____________ 2. 已知实数x,y 满足116 2 2 =+y x ，则22y x +的最大值为_____________ 3.（2018春湖州模拟）已知不等式9)1 1)((≥++y x my x 对任意正实数x,y 恒成立，则正实数m 的最小值 是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 4.（2017浙江模拟）已知a,b ∈R,且a ≠1,则b a b a -++ +1 1 的最小值是_____________ 5.（2018江苏一模）已知a ﹥0,b ﹥0,且ab b a =+3 2，则ab 的最小值是_____________ 6.（诸暨市2016届高三5月教学质量检测）已知a ﹥b ﹥0,a+b=1,则 b b a 21 4+ -的最小值是_____________
7.（2018届浙江省部分市学校高三上学期联考）已知a ﹥0,b ﹥0,11 111=+++b a ，则a+2b 的最小值 是（ ） A.23 B.22 C.3 D.2 培优（2） “1”的代换 8.（2019届温州5月模拟13）已知正数a,b 满足a+b=1,则b a b 1 +的最小值为_____________此时a=______ 9.（2018浙江期中）已知正数a,b 满足112=+ b a 则b a +2 的最小值为（ ） A.24 B.28 C.8 D.9
七年级数学不等式专题培优练习题
不等式培优专题 一．选择 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521x a x ->??-≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组220x a b x ->??->?的解集为11x -<<，则 2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集4 1320 x x x a +?>+???+- 7． 不等式组951 1x x x m +<+??>+? 的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 6 0x m x n -≥??-?p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 三、解答题 1．求满足下列条件的最小的正确整数，n ：对于n ，存在正整数k ，使137 158<+ 一元一次不等式培优训练题 1、解不等式252133x -+-≤+≤- 2.求下列不等式组的整数解2(2)83373(2)82x x x x x x +<+??-≥-??-+>? 3、解不等式：（1） 0)2)(1(<+-x x （2） 0121>+-x x 4、对于1x ≥的一切有理数，不等式 ()12 x a a -≥都成立，求a 的取值范围。 5、已知1x =是不等式组()()352,2 3425x x a x a x -?≤-???-<+-? 的解，求a 的取值范围. 6、如果35x a =-是不等式 ()11233 x x -<-的解，求a 的取值范围。 7、若不等式组841,x x x m +<-?? >?的解集为3x >，求m 的取值范围。 8、如果不等式组237,635x a b b x a - 10、已知关于x 的不等式()12a x ->的解在2x <-的范围内，求a 的取值范围。 11、已知关于x 的不等式组010 x a x ->?? ->?，的整数解共有3个，求a 的取值范围。 12、已知关于x的不等式组 321 x a x -≥ ? ? -≥- ? 的整数解共有5个，求a的取值范围。 13、若关于x的不等式组 2145, x x x a ->+ ? ? > ? 无解，求a的取值范围。 14、设关于x的不等式组 22 321 x m x m -> ? ? -<- ? 无解，求m的取值范围 第22讲 几何最值 知识纵横 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。 2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。 例题求解 【例1】 如图，在锐角ABC ?中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值 。 （陕西省中考题） 思路点拨 画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。 例1 例2 【例2】 如图，在ABC ?中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（ ）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 （兰州市中考题） 思路点拨 设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。 【例3】 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4 1 = y cm 时，求x 的值. （河南省中考题） 思路点拨 利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值 例3 旗开得胜 1 专题2.2 基本不等式 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足2 2 1x y +=，则xy 的最大值是（ ） A ．1 B 3 C ． 22 D ． 12 【答案】D 【解析】因为22 2x y xy +≥，所以22 2=1y x x y +≤，得12 xy ≤ . 故选：D. 2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ） A ．18 B ．9 C ．6 D ．3【答案】C 【解析】因为90,30a b >>，22a b +=， 所以2293293233236a b a b a b a b ++≥?=?==， 旗开得胜 1 当且仅当233a b =，即1 ,12 a b = =时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C 3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤ B ．222a b ab +≥- C ．2a b ab +≥-D ．2a b ab +≤【答案】B 【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确； B.2222220a b ab a b ab +≥-?++≥，即()2 0a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确； D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B 4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241 x x y x -+=-的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B 【解析】依题意24 1 x x y x -+= -4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以 一元一次不等式培优专题训练一 例1 1、 用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由： (1)∵a >b,∴a －m ________b －m (2)∵a >2b,∴2 a ________ b (3)∵4a >5a,∴a ________0 (4)∵2x －1<9,∴x ________5 2、不等号填空：（1）、x 为任意有理数，x －3____x －4.（2）若a ＜0，b ＜0，则a ·b ____ab 2. 变式训练：（七中实验）若b a <，则2ac 2bc ；若22bc ac <，则a b （填不等号） ； 例2、不等式（组）的解法：1、不等式1 七年级上册《一元一次方程》培优 专题一：一元一次方程概念的理解: 例：若()2219203m x x m -- +=+是关于x 的一元一次方程，则方程的解是 。 练习： 1.()()221180m x m x --+-=是关于x 的一元一次方程，则代数式()()199231101m m m +-++的值为 2.若方程()()321x k x -=+与62 k x k -=的解互为相反数，则k= 。 3.若k 为整数，则使得方程()199920012000k x x -=-的解也是整数的k 值有（ ） A.4个 B.8个 C.12个 D.16个 专题二：一元一次方程的解法 （一）利用一元一次方程的巧解： 例： （1）0.2?表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.2?化成分数吗？ （2）0.23??表示无限循环小数，你能运用方程的方法将0.23??化成分数吗？ （二）方程的解的分类讨论： 当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以华为ax=b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论。 （1）当0a ≠时，方程有唯一解b x a =； （2）当0,0a b =≠时，方程无解； （3）当0,0a b ==时，方程有无数个解。 例：已知关于x 的方程()2132a x x -=-无解，试求a 的值。 练习： 1.如果a ，b 为定值，关于x 的方程 2236kx a x bk +-=+，无论k 为何值，它的根总是1，求a ，b 的值。 2.解方程 11x x a b a b ab --+-= 3.对于任何a 值，关于x ，y 的方程()11ax a y a +-=+有一个与a 无关的解，这个解是（ ） A.2,x y ==-1 B.2,1x y == C.2,1x y =-= D.2,1x y =-=- 4.问：当a 、b 满足什么条件时，方程251x a bx +-=-；(1)有唯一解；（2）有无数解； （3）无解 5.（1）a 为何值时，方程 ()112326 x x a x +=--有无数多个解？（2）a 为何值时，该方程无解？ 6.若关于x 的方程()()311x x k x -+=-无解，则k= 。 专题四：绝对值方程： 例4:解方程：（1）35x -= （2）30x -= （3）235x -= 例5：解方程： （1）215x x -++= （2）213x x -++= （3）212x x -++= 练习：19.解方程：（1）2313x x -=- （2）2313x x -=- 八年级 第1题：下列命题： （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案：B 解析： （1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确 （2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确 （3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确 （4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误 第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形； ②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（） A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 答案：C 解析： ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线 所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ） A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条 答案：B 解析： 根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB = 6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形 所以共有7条 一元一次不等式培优训练 例1、要使a 5＜a 3＜a ＜a 2＜a 4成立，则a 的取值范围是（ ） A.0＜a ＜1 B. a ＞1 C.－1＜a ＜0 D. a ＜－1 例2、已知6＜a ＜10， 2 a ≤ b ≤a 2，b a c +=，则c 的取值范围是 。 例3、若不等式0432b ＜a x b a -+-)(的解集是49x ＞，则不等式的解集是0324b ＞a x b a -+-)( 。 例4、设7321x x x x ,,,,Λ均为自然数，且76321x x x x x <<<<<Λ，又2012721=+++x x x Λ，则21x x +的最大值是 。 例5、设实数a 、b 、c 满足a 当堂练习 一、选择题 1、如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则......................................( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2、a 、b 是有理数，下列各式中成立的是........................................( )． (A)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若a ＞b ，则a 2＞b 2 3、｜a ｜＋a 的值一定是......................................................................( )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4、若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足...............( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜1 (D)a ＜－1 5、若由x ＜y 可得到ax ≥ay ，应满足的条件是...............................( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 6、某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是........................................................( )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 7、若不等式组?? ?>≤ 例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻AM=AC、S△AMB= S△ABC． （2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果 （三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）； ∴△BDF、△EFC均为RT三角形 例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理． 解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种． 例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论． 证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC， 可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得PB=PD． ∴ABCD为平行四边形． 例4（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF． 一元一次方程应用培优 一、含参数的一元一次方程解的问题 例1：问当a、b满足什么条件时，方程2x+5－a=1－bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。针对训练： 如果a、b为定值,关于x的方程2 3 kx a + =2+ 6 x bk - ,无论k为何值,它的根总是1,求a、b的值. 二、一元一次方程整数解的问题 例2：已知关于x?的方程9x-?3=?kx+?14?有整数解,?那么满足条件的所有整数k=_______. 针对训练： 已知关于x的方程2mx﹣6=（m+2）x有正整数解，则整数m的值是_________． 三、利润与利润率： 例3：一家服装店将某种服装按成本提高40%后标价，又以八折优惠卖出，?结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为_________． 针对训练: 1.某商品的销售价格每件900元，为了参加市场竞争，商店按售价的九折再让利40元销售，些时仍可获利10%，此商品的进价为______． 2.某件商品进价为800元，出售时标价为1200元，现准备打折出售该商品，但要保证利润率不低于5％，则最多可打（）A．6折 B．7折 C．8折．D9折 四、行程问题： 例4：某人从家里骑自行车到学校．若每小时行15千米，可比预定的时间早到15分钟；若每小时行9千米，可比预定的时间晚到15分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？ 针对训练： 一列客车长200 m,一列货车长280 m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米? 五、行船问题： 例5：一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时24千米，顺风飞行需要2小时40分钟，逆风飞行需要3小时，求两城市间距离？ 针对训练： 1、轮船在静水中的速度是20千米/小时，从甲港顺流到乙港需8小时，返航时行走了6小时在距甲港68千米处发生故障，求水流速度？ 4．2 不等式的基本性质 专题一 不等式的基本性质 1．（2013·淄博）若a b >，则下列不等式不一定成立的是（ ） A ．a m b m +>+ B ．22(1)(1)a m b m +>+ C ．22 a b -<- D ．22a b > 2．如图， A 、B 两点在数轴上表示的数分别为a 、b ，下列式子成立的是（ ） 0 图3b a B A A ．ab ＞0 B ．a b +＜0 C ．(1)(1)b a -+＞0 D ．(1)(1)b a --＞0 3.已知a 、 b 、 c 、d 都是正实数，且d c b a <.给出下列四个不等式： ①d c c b a a +<+； ②b a a d c c +<+； ③b a b d c d +<+； ④d c d b a b +<+；其中不等式正确的是 _____________________________. 4. 5. 状元笔记 【知识要点】 1.不等式的性质：①不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2.不等式的传递性：如果,a b b c >>，那么a c >. 【温馨提示】 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【方法技巧】 1．利用不等式的符号变化对乘以或除以的数或式子进行判断正负． 2．对于一些较复杂的变形，遇到两个或者两个以上的性质，一定要依据性质仔细分析，不要因盲目下结论导致判断失误． 参考答案： 1. D 解析：根据不等式的性质“不等式的两边都加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变”，可知选项A 正确；由于m 2+1＞0，根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”，可知选项B 正确；根据不等式的性质“不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，可知选项C 正确；由于a ，b 的正负不明确，故a 2，b 2的大小也不确定，如a =﹣1， b =﹣2时，满足a b >，但a 2＜b 2，故选项D 不正确．故应选D ． 2. C 解析：根据数轴知－1＜a ＜0，b ＞1，则a+1＞0，b －1＞0．因此ab ＜0，a+b ＞0，(a+1)( b －1)＞0，(a －1)( b －1)＜0，故选C ． 3. ①③ 解析：因为d c b a <，所以bc ad <，所以a b c d <，所以11+<+a b c d ，所以a a b c d c +<+，即可得 d c c b a a +<+，同样的方法可得d b c d a b ?++，故填①③. 4. 不等式（组）与方程（组）互化 一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于x 的方程 11 a x =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.1a < ；B.1a <且0a ≠；C.1a ≤；D.1a ≤或0a ≠. 分析：先解关于x 的方程11 a x =+，用含有字母a 的式子表示未知数x ，然后构造不等式组求解. 解：解方程 11 a x =+，得x=a －1. 又由关于x 的方程的解是负数即x<0， 所以?? ?≠<-. 0, 01a a 解得，a<1且0a ≠. 故应选B. 例2如果方程组?? ?=++=+3 3, 13y x k y x 的解x 、y 满足x ＋y>0，则k 的取值范围是 . 分析：先解方程组，用含有k 的式子表示x 、y 或直接表示x ＋y ，再根据x ＋y>0，构造不等式求解. 解：解方程组???=++=+3 3,13y x k y x ，得x ＋y=4k ＋1. 又由x ＋y>0， 所以4 k ＋1>0，解得，k>－4. 二、不等式（组）转化为方程（组） 例3已知不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，求m ．分析：先解关于x 的不等式，再根据已知的解集构造方程求解. 解：解不等式84x x m +>+，得x<3 8m -. 由3x <，所以 3 8m -=3. 解这个关于m 的方程，得m=－1. 例4（若不等式组?? ?>->-. 02, 2x b a x 的解是－1 数学：全国数学竞赛或联赛的题要做，黄东坡的《培优竞赛新方法》的竞赛内容。物理：省赛水平，力电为主，去年光声都没考。 语文：古文要注意，作文关注社会热点。 英语：看高中词汇，做高考阅读和完型填空。 化学：去年没考，建议天原杯的原题。 面试：10个科普，一个一分钟回答，一个动手能力操作，一个团队合作项目，再问你什么事情让你成长最多。面试时要努力争取发表意见的机会但不要让人觉得你爱出风头过于张扬，要把握一个度。 科普：书香门第是什么意思？被蚊子叮了为什么痒？兔子上山快还是下山快为什么？NBA单场最高得分是多少？ 一分钟：砖块的用处？空城计被识破了会怎么样？ 团队合作：每人在一张纸上画一笔，并起一个名字。 动手：如何把一张纸变得最长，要有创意。 数学是最难的一门，甚至有好多高中奥赛的题，千万不要指望都做出来，重要的是心态，不要慌，能做多少做多少就行了。 语文重要的是阅读量，都是初中生没看过的，如果你平常看的课外书比较多，应该不成问题。 英语吗，我英语比较好，当时考了全河北省第一，所以觉得比较简单，呵呵，给不出什么建议，抱歉啦。 物理不难，要做一本叫《初中生物理培优教程》，有大量原题。 面试要落落大方，大胆些，抢到说话的主动权，无论发生什么紧急状况，千万不要怵，因为那是评委给你设的套！ 题目很多，我是去年的，我们先是自我介绍，然后专家会根据你的介绍向个人提问题。不过，呵呵，有的会问提前写好的问题，我们那一组有两道题挺好“如果照相时摄影师没有安排你位置，你会选择坐在哪里？”，“你如何看待学校里阴盛阳衰（女生比男生强势）的问题？”反正，我觉得这种题，你最好答的成熟一些，比如我前面有个人答第一个题，她竟说在最边上！当时我觉得她就挂掉了。不过因人而异，表达自己就好，专家通常能看出你是不是很真实，最忌讳虚假！！！然后就是看了一幅图片，我记得当时是一只母鸡喂养一只小狗，然后写下自己的感想，然后依次发言，我的建议，写的不要太详细，关键字写上就好，这样发言时自由空间比较大。然后是动手操作，我知道两道题：用一个纸杯，一根吸管，胶带，一根牙签（好像是），一个组做一个能下落时间最长的飞行器，一个组我记得是做能从斜面上滑下能直线运动且运动最远的模型。反正你只要做得比同组人做的好就行了。比较式的那种呵呵，你比同组强就行了。我是女生，我觉得女生其实挺占优势，至少我们做得差不多就行了，不过最后的环节，他们问你可不可以实验一下，一定要实验哦，否则我个人认为你的主动性得分就会大打折扣。还有最简单有效的模型有时就比奇异形状好。既省时间，又好想。最后一个环节，我们是集体合作将一个字改成画，“旮”。我们组做得超级好。因为我们提前就商量 1、韩日“世界杯”期间，重庆球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A 、B 两个出已知a 、b 、c 是三个非负数，并且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，设m =3a+b-7c ，记x 为m 的最大值，y 为m 的最小值，求xy 的值租车队，A 队比B 队少3辆车，若全部安排乘A 队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B 队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满，则A 队有出租车（ ） A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 2.下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） A.5+4＞8 B.2x －1 C.2x ≤5 D.1x －3x ≥0 3. 下列各式中，是一元一次不等式的是（ ） (1)2x 8?????+>-≤+). 2(28,142x x x 9..2 34512x x x -≤-≤- 10.532(1) 314(2)2 x x x -≥???-+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )． (A)m ≤2 (B)m ≥2 (C)m ≤1 (D)m ≥1 2. k 满足______时，方程组? ??=-=+4,2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1． 3. 若m 、n 为有理数，解关于x 的不等式(－m 2－1)x ＞n ． 4. ．已知关于x ，y 的方程组???-=++=+1 34,123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围． 5. 已知方程组? ??-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 6. 适当选择a 的取值范围，使1.7＜x ＜a 的整数解： (1) x 只有一个整数解； 八年级上册科学《溶液》单元培优训练试题 1．20 ℃时，在三个各盛有100 g水的容器中加10 g甲、乙、丙三种纯净物(不含结晶水，不与水反应)，待充分溶解后，情况如表所示，正确的是() A． C．丙溶液的溶质的质量分数最大D．20 ℃时，甲的溶解度最大 2．分离混合物要根据各成分不同的性质选用不同的方法，是人们改造、利用自然界物质的重要方法。下列说法不正确的是() A．结晶法是利用混合物各成分在水中的溶解性不同 B．化学沉淀法是根据混合物各成分的化学性质不同 C．过滤法是根据混合物各种成分的粒子大小不同 D．蒸馏法是利用混合物各成分的沸点不同 3．30 ℃时将等质量的两份饱和石灰水一份冷却到20 ℃，另一份加入少量生石灰，温度仍保持在30 ℃。则两种情况下均不改变的是() A．溶剂的质量B．溶质的质量C．溶质的溶解度D．溶质的质量分数 4．下列有关实验操作的叙述，不正确的是() A．把烧杯置于铁架台的铁圈上直接加热 B．给试管中液体加热时，液体体积不超过试管容积的1/3 C．用量筒量取液体时，视线与量筒内液体的凹液面的最低处保持水平 D．实验剩余的药品，不能放回原试剂瓶 5．能证实20℃时，原硝酸钾溶液是饱和溶液的事实是() A．降温到10℃时有硝酸钾晶体析出 B．蒸发掉10g水，有硝酸钾晶体析出 C．加热到30℃后，再加入硝酸钾晶体仍能继续溶解 D．在20℃的硝酸钾溶液中加入少量硝酸钾晶体，溶液的质量不变 6．下列物质与水混合，在室温时难以形成饱和溶液的是() A．硝酸钾B．酒精C．二氧化碳D．氯化钠 7．配制硝酸钾溶液时得到下表数据，根据表中数据分析，不正确的是() A．28℃时10g水中最多能溶解硝酸钾4g B．60℃时等质量水中能溶解的硝酸钾比28℃时多 C．①②所得溶液溶质的质量分数相等 D．③所得溶液一定是硝酸钾的饱和溶液 8．如图所示，甲、乙试管中分别盛有硝酸钾、氢氧化钙的饱和溶液，试管底部均有未溶解的固体．向烧杯中加入一定质量的氢氧化钠固体后，下列分析正确的是() 第15讲 一元一次不等式组培优专题 一、含参不等式（组）有关的问题 1. 探讨不等式组的解集（写出,a b 满足的关系式） （1）关于x 的不等式组x a x b >????≤11x m x 无解，则m 的取值范围是 （2）若不等式组121 x m x m <+??>-?无解，则m 的取值范围是 (3)若不等式组???>≤ (2)如果关于x 的不等式组7060 x m x n -≥??-的每一个解都是21122 x -<的解，求a 的取值范围 变式：如果关于x的不等式组 22 4 x a x a >- ? ? <- ? 有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a 的取值范围． 4. 若关于x的不等式组 21 1 3 x x x k - ? >- ? ? ?-< ? 的解集为2 x<，求k的取值范围 5.不等式组 12 35 a x a x -<<+ ? ? << ? 的解集是3x <<2 a+，求a的取值范围一元一次不等式培优训练题
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