初中数学竞赛定理大全

欧拉（Euler）线：

同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；

且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。

九点圆：

任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；

其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。

费尔马点：

已知P 为锐角△ABC 内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA

＝120°时，

PA＋PB＋PC的值最小，这个点P 称为△ABC 的费尔马点。海伦（Heron）公式：

塞瓦

(Ceva)定理：

在△ABC中，过△ABC 的顶点作相交于一点P 的直线，分别

交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。

密格尔(Miquel)点：

若AE、AF、ED、FB 四条直线相交于A、B、C、D、E、F 六点，

构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，

则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。

葛尔刚（Gergonne）点:

则AE、BF、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点。

△ABC 的内切圆分别切边AB、BC、CA 于点D、E、F，

西摩松（Simson）线：

已知P 为△ABC 外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F 为垂足，

则 D 、E 、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。

黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)

与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。

帕普斯(Pappus)定理：已知点A1、A2、A3 在直线l1 上，已知点

B1、B2、B3 在直线l2 上，且A1 B2 与A2 B1 交于点X，A1B3 与A3 B1 交于点Y，A2 B3 于A3

B2 交于

点Z，则X、Y、Z 三点共线。

笛沙格(Desargues)定理：已知在△ ABC 与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，

BC 与B'C'、CA与C'A'、AB 与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、

Z 三点共线；其逆亦真

摩莱(Morley)三角形：

在已知△ABC 三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF 是正三角形，

这个正三角形称为摩莱三角形。

帕斯卡（Paskal

）定理：

已知圆内接六边形ABCDEF 的边AB、DE 延长线交于点G，边BC、EF 延长线交于点H，边CD、FA 延长线交于点K，则H、G、K 三点共线。

托勒密（Ptolemy）定理：

在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD

（任意四边形都可！哇哈哈）

斯图尔特(Stewart)定理：

设P 为△ABC 边BC 上一点，且BP：PC＝n：m，

则

梅内劳斯定理：

m·(AB2)＋n·(AC2)＝m·(BP2 )＋n·(PC2)＋(m＋n)(AP2)

在△ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线截于点

X、Y、Z，则(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝1

阿波罗尼斯(Apollonius)圆

一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波

布拉美古塔(Brahmagupta)定理：

在圆内接四边形ABCD 中，AC⊥BD，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边。

广勾股定理：

在任一三角形中，

(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在

此边上的影射乘积的两倍．

(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在

此边延长上的影射乘积的两倍．

加法原理：

做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。

比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，

1：火车k1

2：飞机k2

3：轮船k3，那么从北京-上海的方法N = k1+k2+k3

乘法原理：

做一件事，完成它需要分成n个步骤，

做第一步有m1种不同的方法，

做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有m·n不同的方法.那么完成这件事共有N=m1·m2·m3…mn 种不同的方法.

正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R 在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径)

这一定理对于任意三角形 ABC ，都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ( R 为三角形外接圆半径)

余弦定理：

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们

夹角的余弦的两倍积，若三边为a, b, c 三角为A,B,C ，则满足性质：

a 2

=b 2

+c 2

-2bc·Cos A

b 2

=a 2

+c 2

-2ac ·Cos B

c 2

=a 2

+b 2

-2ab ·Cos C

Cos C= (a 2+b 2-c 2)/2ab Cos B= (a 2+c 2-b 2)/2ac Cos A= (c ^2+b ^2-a ^2)/2bc

解析几何中的基本公式

1、两点间距离：若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ，则 AB = (x 2 -x 1)2 +(y 2 -y 1)2

2、平行线间距离：若l : Ax +By +C =0, l : Ax +By +C = 0

注意点：x ，y 对应项系数应相等。

则：

d = C 1-C 2 A 2 + B 2

3、点到直线的距离：P(x ,y ), l: Ax +By +C =0

则P 到l 的距离为：d =

+By +C

A 2 +

B 2

y = kx + b

4、直线与圆锥曲线相交的弦长公式：y = kx +b

F(x,y)=0

消y ：ax 2

+bx +c = 0 ，务必注意

若 l 与曲线交于 A (x 1, y 1),B (x 2, y 2)

则： AB = (1 + k )(x 2 - x 1 )

5、若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P (x ，y )。P 在直线AB 上，且 P 分有向线段 AB 所成的比为

，

x + x x = 1 2 2 y = y 1 + y 2

变形后：

x -

1 或 = y

- y

x 2 -x y 2 - y

6、若直线l 1的斜率为 k 1，直线 l 2的斜率为k 2，则l 1到 l 2的角为

,(0,

)

适用范围：k 1，k 2 都存在且 k 1k 2

－1 ， tan =

k 2

- k 1

1 + k k

若 l 1与 l 2的夹角为

，则tan = k 1 - k 2 ，

(0, ] 1 + k k

注意：(1)l 1到 l 2的角，指从 l 1按逆时针方向旋转到 l 2所成的角，范围(0,

)

l 1 到 l 2 的夹角：指 l 1 、 l 2 相交所成的锐角或直角。 (2)l 1⊥l 2时，夹角、到角= 。

1 2

(3) 当l 1与 l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。

x +

x =

则

7、（1）倾斜角，（0, ）；

→→

（2）a,b夹角，[0，] ；

（3）直线l 与平面的夹角，[0，]；

（4）l1与l2的夹角为，[0，]，其中l1//l2时夹角=0；

（5）二面角, （0,]；

（6）l1到l2的角，（0，）

8、直线的倾斜角与斜率k 的关系

a）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。

b）若直线存在斜率k，而倾斜角为，则k=tan 。

9、直线l1与直线l2的的平行与垂直

1)若 l 1，l 2 均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2

②l 1⊥ l 2 k 1k 2=－1

2)若l : A x + B y +C = 0, l : A x +B y +C = 0 若 A 1 、 A 2 、B 1 、 B 2 都不为零 ① l 1//l 2 A

1 = B

1 ；

2 B 2 C 2

② l 1 ⊥ l 2

A 1A 2+

B 1B 2=0；

③ l 1 与 l 2 相交 A 1

2 B 2

④ l 1与l 2重合

A 1

= B 1

= C 1

；

2 B 2 C 2

注意：若 A 2或 B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与

0的情况。

10、直线方程的五种形式名称方程斜截式： y=kx+b

注意点

应分①斜率不存在

②斜率存在点斜式：

y -y =k (x -x )

（ 1 ）斜率不存在： x = x

（ 2 ）斜率存在时为 y -y =k (x -x )

11、直线Ax + By + C = 0与圆（x - a ）2

+（y -b ）2

=r 2

的位置关系有三种

两点式：

截距式：

y - y 1 x -x 1 y 2 - y 1

x 2 - x 1

=1 ab

一般式： Ax + By + C = 0 其中 l 交 x 轴于（ a ,0），交 y

轴于（0,b ）当直线 l 在坐标轴上，截距相等时应分：

（ 1 ）截距 =0 设 y=kx （ 2 ）截距= a 0 设 x

=1 aa

即 x+y= a

（其中 A 、 B 不同时为零）

Aa + Bb + C

若d = ，d r 相离0 A2+ B2

d = r 相切 = 0

d r 相交0

13、圆锥曲线定义、标准方程及性质

（一）椭圆定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且PF1 + PF2 =2a F1F2 （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。

定义Ⅱ：若F1为定点，l 为定直线，动点P 到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0

标准方程：x + y = 1 a 2 b2

(a b 0)

定义域：{x - a x a} 值

域：{x - b y b}

长轴长= 2 a，

短轴长=2b

焦距：2c 准线方程：x =a

a-c PF 1 a + c等（注意涉及焦半径①用点P坐标表示，②第一定义。）

注意：（1）图中线段的几何特征：A1F1 = A2F2 = a-c，A1F2 = A2F1 = a+c

焦半径：PF1 =e(x+ a c ) ，PF2 =e( c -x) ，PF1 =2a- PF2 ，B1F1 = B1F2 = B2F2 = B2F1 =a，A2B2 = A1B2 = a2+b2等等。顶点与准线

距离、焦点与准线距离分别与a,b,c有关。

2）

PF 1F 2中经常利用余．弦．定．理．、三．角．形．面．积．公．式．将有关线

段 PF 1 、

PF 2 、2c ，有关角 F 1PF 2 结合起来，建立 PF 1 + PF 2 、PF 1 ? PF 2 等

关系

x = a cos

（3）椭圆上的点有时常用到三角换元：

x =a cos

；

y = b sin

（4）注意题目中椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，请补充当焦点在 y 轴上时，其相应的性质。二、双曲线

（一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点， PF 1 - PF 2 =2a

F 1F 2 （ a 为常数），

则动点 P 的轨迹是双曲线。

Ⅱ若动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数e （e>1），则动点 P 的轨迹是双曲线。

二）图形：

三)性质

方程： -

= 1 (a 0, b 0)

a 2

b 2

定义域：{x x a 或x

a } ；值域为 R ；

实轴长= 2a ，虚轴长=2b

焦距：2c

a 2

-b

2 =1 (a

0,b 0)

准线方程：x =

焦半径： PF 1 =e （x + a

）， PF 2 =e （a

-x ）， PF 1 - PF 2 =2a ；

注意：（1）图中线段的几何特征： AF 1 = BF 2 = c -a ， AF 2 = BF 1 = a +c

顶点到准线的距离： a -a

或a + a

；焦点到准线的距离：

2 2 2

c - a

或c + a

;两准线间的距离=

c c c

2）若双曲线方程为 x

- y =1

渐近线方程：x

- y

y =

2 2 2 2

a 2

b 2 a 2 b 2

若双曲线与 x

- y

=1有公共渐近线，可设为 x

- y

a 2

b 2

a 2

b 2

（

0，焦点在x 轴上，0，焦点在 y 轴上）

3）特别地当a =b 时离心率e = 2

两渐近线互相垂直，分别为

x ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为x 2

-y 2

=；

（4）注意PF 1F 2中结合定义 PF 1 - PF 2 = 2a 与余弦定理cos

F 1PF 2，

将有关线段 PF 1 、 PF 2 、 F 1F 2 和角结合起来。

二、抛物线

（一）定义：到定点 F 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。即：到定

点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数e （e=1）。（二）图形：

若渐近线方程为 y =

x a

=0 双曲线可设为

CD = x 1 + + x 2 + = x 1 + x 2 + p

注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离=2p

；焦点到准线的距离=p ；

径长= 2 p

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

2 ) 抛物线 y 2

= 2px 上的动点可设为 P (y ,y ) 2 p

P (2pt 2

,2pt )或P (x , y )其中y 2

= 2px

y 2

= 2px ,(p

0), p - -焦参数；

准线：焦半

( p

,0) ，通径 AB = 2p ； x =- p

；

径

CF = x + p

过焦点弦

焦点：