仰角俯角的概念
飞机中仰角的名词解释
飞机中仰角的名词解释飞机，在现代社会中已经成为人们日常生活中不可或缺的交通工具之一。
在空中飞行的过程中，飞机的姿态调整起着至关重要的作用。
其中，仰角作为飞机姿态调整中的一个重要参数，对于飞行安全和顺利进行起着重要的作用。
本文将对飞机中仰角的相关概念进行解释和探讨。
仰角，也被称为俯仰角，是指飞机机身纵轴与地平面的夹角。
飞机是在三维空间中运动的，通过调整飞机的姿态，可以实现飞行、起飞、盘旋等各种运动状态。
仰角是飞机姿态调整中最基本的参数之一，它直接影响着飞机的前倾与后仰。
在飞机飞行中，仰角有时候也被称为姿态角。
仰角的单位通常是度（°），通过测量飞机机身与水平面的夹角来确定。
在飞行控制系统中，仰角对应着飞行员通过操纵操纵杆或操纵盘来控制飞机的机头朝向的角度。
当飞行员向前推杆或向前旋转操纵盘时，飞机的仰角会增大，飞机机头将会向上抬升；相反，当飞行员向后拉杆或向后旋转操纵盘时，飞机的仰角会减小，飞机机头则会朝下倾斜。
飞机机身的仰角不仅仅影响着飞行的姿态和飞行安全，还直接与气动性能相关。
当飞机机身的仰角增大时，机翼与风的夹角也会相应增大，这会导致机翼所产生的升力增加，同时也会增加飞机的阻力。
因此，飞行员需要根据需要和具体情况来调整飞机的仰角，以保持飞行的平稳和高效。
此外，飞机的仰角也与飞行中的重力加速度有关。
在地球的引力作用下，飞机受到向下的加速度，这就需要通过调整仰角来抵消这种加速度。
当仰角增加时，飞机所受到的重力向下的分量减小，同时垂直向上的升力也会增加，从而保持飞机的水平飞行状态。
在实际飞行操作中，飞机的仰角是由飞行员凭借经验和技巧来控制和调整的。
在不同的飞行阶段和特定的任务要求下，飞行员需要根据飞机性能和飞行安全原则来合理选择和调整仰角。
飞行员在飞行训练中也会通过模拟飞行和实际飞行来熟悉和掌握飞机的仰角控制技巧。
总结而言，飞机中的仰角是指飞机机身纵轴与地平面的夹角，它对于飞机的姿态调整、飞行安全以及飞机性能有着重要的影响。
三角函数应用举例(1)仰角俯角
28.2.2解直角三角形的应用（仰角和俯角）教案
中，
D
设计意图：通过分析题意，引导学生构造直角三角形，把已知条件转化到两个直角三角形里，根据已知的边角条件，恰当地选择锐角三角函数关系，解决实际问题，让学生初步认识到解直角三角形在实际问题中的应用；同时通过
一方面让学生进一步认识到解直角三角形在实际问题中的应用，另一方面，让学生意识到通过设未知数，建立方程也是解决实际问题时常用到
处，看另一栋楼楼顶的俯角为30°，看这
BC有多高？
A
E
尽管实际问题的背景发生了变化，
C E。
第4章 第7节 解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ， 而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ， 所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)． 在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当． 考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°， 所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ， 所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ， 即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4， 所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32， 故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ， 所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33， 故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α， 因为AB sin 2α＝AD sin α， 所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2， 与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去， 所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β， 所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2， 得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1， 所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4， 所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长． 解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。
仰角俯角;坡度坡角
山？
B
565m A 1000m C
练习1
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的 规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜 坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精 确到0.1米）
C
1.2
1.2
30°
A
B
练习2
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的 大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH， GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上, 当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
h α
L
例1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求： （1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α。（精确到 1 0）
分析：（1）由坡度i会想到产
A
BD
C
2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角、 方位角有关的实际问题。
自学指导1
请同学们认真看课本113--114页练习以上内容。
思考：什么是仰角、俯角？
仰角和俯角
铅 垂
线
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角；
从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角.
视线
仰角 俯角
水平线
视线
=69+6+57.5
=132.5m
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底 的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别 是45°和30°，求路基下底的宽．（精确 到0.1,米, 3 1.732 ，2 1.414 ）
仰角和俯角的意思
仰角和俯角的意思仰角和俯角是物理学中常用的概念，用于描述物体或光线与地平面的夹角。
在空间导航、航空航天、地理测量等领域中，仰角和俯角的应用非常广泛。
本文将详细介绍仰角和俯角的概念、计算方法及实际应用。
1. 仰角仰角是指物体或者观测点朝天空方向偏离地面的角度，通常用竖直线与视线的夹角来表示。
在天文学中，仰角通常用于描述天体在天空中的位置。
在观测卫星时，需要知道卫星的仰角，以便调整观测仪器的朝向和位置。
2. 俯角二、仰角和俯角的计算方法1. 计算方法（1）在地理测量中，仰角和俯角可以通过测量两点之间的水平距离和垂直距离来计算。
假设A点比B点高h米，则A点到B点的俯角为atan(h/d)，其中d为A点到B点的水平距离。
如果B点比A点高，则仰角为90度减去俯角。
（2）在天文学中，仰角可以通过观测天体时测量天顶角（垂直于地面的角度）和天体高度角（天体与地平面的夹角）来计算。
仰角=90度-天体高度角。
俯角=天体高度角。
（3）在航空航天领域中，仰角和俯角需要通过仪器进行测量。
无人机上装有摄像头，可以通过调整仰角和俯角来改变拍摄视角。
2. 测量仪器（1）测距仪：可以测量两点之间的水平距离和垂直距离。
（2）全站仪：可测量目标物体的仰角、方位角和距离等参数。
三、仰角和俯角的实际应用1. 航空航天在航空航天中，仰角和俯角的应用非常广泛。
飞机、无人机等航空器需要根据目标物体的仰角和俯角来选择飞行高度，调整拍摄角度等。
在航天探测中，也需要测量行星、卫星等目标物体的仰角和俯角。
在地理测量中，仰角和俯角用于计算两点之间的高度差，确定地形高低等。
地面的地形特征对于城市规划、农业种植等方面有着重要的参考价值。
3. 天文观测在天文观测中，仰角和俯角通常用于描述恒星、行星等天体在天空中的位置。
天文观测对于了解宇宙的物理特性和演化历史具有重要的意义。
四、小结仰角和俯角是物理学中重要的概念，在导航、航空航天、地理测量等领域有着广泛的应用。
28.2.2仰角、俯角(教案)2023-2024学年九年级下册数学人教版(安徽)
在今天的仰角与俯角教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解和掌握这一概念。首先，通过日常生活中的实际问题导入新课，我发现同学们的兴趣被激发了，他们开始积极思考仰角和俯角的应用。这种生活化的引入有助于学生认识到数学知识的实用性和重要性。
在理论讲授环节，我注意到了一些学生在理解仰角和俯角定义时的困难。我意识到，仅仅通过语言描述可能不足以让学生形成清晰的认识，因此在接下来的教学中，我加入了实物演示和图示辅助，希望能更直观地帮助学生建立起空间观念。
在总结回顾环节，我对学生今天的学习成果进行了梳理，并强调了对仰角和俯角知识的应用。我感到欣慰的是，大多数学生能够掌握今天的教学内容，但也有学生提出了疑问，我及时给予了解答。
反思今天的整个教学过程，我认为以下几点值得注意：
1.对于空间观念的培养，需要更多的直观教具和实物演示，帮助学小组讨论、实践操作，提升数学探究和问题解决的综合素养。
5.引导学生运用所学知识，关注生活中的数学现象，培养数学应用意识和创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-仰角与俯角的概念：准确理解仰角和俯角的定义，掌握它们的度数表示方法。
-画仰角与俯角的方法：学会使用三角板、直尺等工具在平面图上正确画出仰角和俯角。
在教学过程中，教师应通过实物演示、图示说明、案例分析和反复练习等多种方法，帮助学生突破这些难点，确保学生能够深刻理解和掌握仰角与俯角的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《仰角、俯角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断物体高度或视线范围的情况？”（如看旗杆的高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索仰角与俯角的奥秘。
第02课时 仰角、俯角、方位角
1．(5 分)如图，某地修建高速公路，要从 B 地向 C 地修一座隧道(B，
C 在同一水平面上)，为了测量 B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热
气球从 C 地出发，垂直上升 100 m 到达 A 处，在 A 处观察 B 地俯角为
30°，则 B，C 两地之间的距离为( A )
A．100 3 m
B．50 2 m
一、选择题(每小题 6 分，共 12 分)
7．如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角分别为 30°，45°，
如果此时热气球 C 处的高度 CD 为 100 米，点 A，D，B 在同一直线上，
则 A，B 两点的距离是( D )
A．200 米
B．200 3 米
C．220 3 米
D．100( 3＋1)米
CED＝60°，sin∠CED＝CCDE ，∴CE＝ sinC6D0°＝ 2
3＋1.5 3 ＝(4＋
3)
2
≈5.7(米)，答：拉线CE的长约为5.7米
11．(14分)(2014·黔东南州)黔东南州某校九年级某班开展数学活 动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得 旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为 30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身 高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，
三、解答题(共42分) 10．(14分)(2014·钦州)如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF 固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米 的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30 °，求拉线CE的长．(结果保留小数点后一位，参考数据： 2 ≈ 1.414， 3≈1.732)
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
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得 AC BC sin ABC 32sin 30 16
sin BAC sin15 sin15
在等腰Rt△ACD中，故
CD 2 AC 2 16 8 2 16( 3 1)
2
2 sin15 sin15
∴山的高度为16( 3 1) 米。
二、教学重点、难点 重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已
知条件和所求角的关系 难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度
的问题
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线 所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角。如图：
2、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC 求得AB的长。
例题1:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 选取相距100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。
解：在△ACD中， ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3
例3 杆OA、OB所受的 力（精确到0.1）。
700 500
例4如图在海滨某城市附近海面有一台风。 据监测，台风中心位于城市A的南偏东300方 向、距城市300km的海面P处，并以20km/h的 速度向北偏西4500方向移动。如果台风侵袭 的范围为圆形区域，半径为120km。问几小
时后该城市开始受到台风的侵袭（精确到 0.1h）?
AB BC 可求边AB的长。
sin C sin A
③两点都不能到达 第一步:在△ACD中，测角∠DAC，
由正弦定理
Hale Waihona Puke sinAC ADC
sin
DC DAC
求出AC的长；
第二步:在△BCD中求出角∠DBC，
由正弦定理 BC DC 求出BC的长；
sin BDC sin DBC
第三步:在△ABC中,由余弦定理
2、底部不能到达的 测 量 边 CD ， 测 量 ∠ C 和 ∠ ADB ，
AB
CD
cot C cot ADB
例题2：在山顶铁塔上B 处测得地面上一点 A的俯 角 60 ，在塔底 C处测得点 A的俯角 45 ， 已知铁塔BC部分高 32 米，求山高CD。
解：在△ABC中，∠ABC=30°， ∠ACB =135°， ∴∠CAB =180°－(∠ACB+∠ABC) =180°－(135°+30°)=15° 又BC=32, 由正弦定理 BC AC ,
AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC
(100 3)2 (200sin 75)2
2 100 3 200sin 75cos 75 5 1002
∴ AB 100 5
所求A、B两地间的距离为100 5 米。
测量垂直高度
1、底部可以到达的；
测量出角C和BC的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。
1、测水量平问距题离：的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。
需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角A然后 由正弦定理，
在△BCD中， ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45°+45°+30°）=60°
由正弦定理 BC DC ， 得
sin BDC sin DBC
BC DC sin BDC 100 3 sin 75 200sin 75
sin DBC
sin 60
在△ABC中由余弦定理，
解应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，画出示意图 2、建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中 3、求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这 些三子角形，求得数学模型的解。 4、检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而 得出实际问题的解。
实际问题→数学问题（三角形） →数学问题的解（解三角形）→实际问题的解
1.2.3《解三角形应用举例》
审校：王伟
教学目标
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关计算角度的实际问题
2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有 效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来， 逐步让学生自主发现规律，举一反三。
3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决 问题的能力，并激发学生的探索精神。