四川省中考数学复习题及答案 (91)
2020年四川省绵阳中考数学试卷附答案解析版
数学试卷 第1页（共6页） 数学试卷 第2页（共6页）绝密★启用前2020年四川省绵阳市中考试卷数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题只有一个选项符合题目要求.1.3-的相反数是（ ）A .3-B .13-CD .32.如下图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有（ ）A .2条B .4条C .6条D .8条3.近年来，华为手机越来越受到消费者的青睐.截至2019年12月底，华为5G 手机全球总发货量突破690万台.将690万用科学记数法表示为 （ ）A .70.6910⨯B .56910⨯C .56.910⨯D .66.910⨯ 4.下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）ABC D5.a 的取值范围是（ ）A .1a ≥B .1a ≤C .0a ≥D .1a ≤-6.《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为（ ）A .160钱B .155钱C .150钱D .145钱7.如下图，在四边形ABCD 中，°==90A C DF BC ABC ∠∠，∥，∠的平分线BE 交DF于点G GH DF ⊥，，点E 恰好为DH 的中点，若=3=2AE CD ，，则=GH （ ）A .1B .2C .3D .48.将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为（ ）A .23B .12C .13D .16 9.在螳螂的示意图中，AB DE ABC ∥，△是等腰三角形，°°12472ABC CDE ∠=∠=，，则ACD ∠=（ ）A .16°B .28°C .44°D .45°10.甲、乙二人同驾一辆车出游，各匀速行驶一半路程，共用3小时，到达目的地后，甲对乙说：“我用你所花的时间，可以行驶180km ”，乙对甲说：“我用你所花的时间，只能行驶80km ”.从他们的交谈中可以判断，乙驾车的时长为 （ ）A .1.2小时B .1.6小时C .1.8小时D .2小时11.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（ ）A.B.C.D .7米-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第3页（共6页） 数学试卷 第4页（共6页）12.如下图，在四边形ABCD 中，°902AD BC ABC AB AD ∠===∥，，，将ABC △绕点C 顺时针方向旋转后得A B C ''△，当A B ''恰好经过点D 时，B CD '△为等腰三角形，若2BB '=，则AA '=（ ）AB.CD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.将答案填写在答题卡相应的横线上.13.因式分解：334x y xy -=________.14.平面直角坐标系中，将点()12A -，先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的点1A 的坐标为________. 15.若多项式()2221m nxyn x y -+-+是关于x y ，的三次多项式，则mn =＝________.16.我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是________万元.（利润＝销售额-种植成本）17.如下图，四边形ABCD 中，°604AB CDABC AD BC CD ∠====∥，，，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足°90AMD ∠=，则点M 到直线BC 的距离的最小值为________.18.若不等式5722x x +--＞的解都能使不等式()621m x m -+＜成立，则实数m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共7小题，共计90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.（1°3⎛+ ⎝⎭. （2）先化简，再求值：2312222x x x x x ++⎛⎫++÷⎪--⎝⎭，其中1x . 20.4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动. 甲书店：所有书籍按标价8折出售；乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折.（1）以x （单位：元）表示标价总额，y （单位：元）表示应支付金额，分别就两家书店的优惠方式，求y 关于x 的函数解析式；（2）“世界读书日”这一天，如何选择这两家书店去购书更省钱？21.为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中.现有A B 、两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近.该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿.检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，（1）根据表中数据，求A 加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数； （2）估计B 加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？ （3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？22.如下图，ABC △内接于O ⊙，点D 在O ⊙外，°90ADC ∠=，BD 交O ⊙于点E ，交AC 于点F ，68EAC DCE CEB DCA CD AD ∠=∠∠=∠==，，，.（1）求证：AB CD ∥； （2）求证：CD 是O ⊙的切线； （3）求tan ACB ∠的值.数学试卷 第5页（共6页） 数学试卷 第6页（共6页）23.如下图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象与反比例函数()0ky k x=＜的图象在第二象限交于()()32A m B n -，，，两点. （1）当1m =时，求一次函数的解析式；（2）若点E 在x 轴上，满足°90AEB ∠=，且2AE m =-，求反比例函数的解析式.24.如下图，抛物线过点()01A ，和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为)B，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点FBDEF 为平行四边形. （1）求点F 的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当PAB △面积最大时，求点P 的坐标及PAB △面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A C Q R ，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标.25.如下图，在矩形ABCD 中，对角线相交于点O ，M ⊙为BCD △的内切圆，切点分别为46N P Q DN BN ==，，，，. （1）求BC CD ，；（2）点H 从点A 出发，沿线段AD 向点D 以每秒3个单位长度的速度运动，当点H 运动到点D 时停止，过点H 作HI BD ∥交AC 于点I ，设运动时间为t 秒.①将AHI △沿AC 翻折得AH I '△，是否存在时刻t ，使点H '恰好落在边BC 上？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由；②若点F 为线段CD 上的动点，当OFH △为正三角形时，求t 的值.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________2020年四川省绵阳市中考试卷数学答案解析一、 1.【答案】D【解析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“－”号，求解即可. 解：3-的相反数是3， 故选：D . 2.【答案】B【解析】根据轴对称的性质即可画出对称轴进而可得此图形的对称轴的条数. 解：如图，因为以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形， 所以此图形的对称轴有4条. 故选：B . 3.【答案】D【解析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为10n a n ⨯，为整数位数减1. 解：66906900000 6.910==⨯万. 故选：D . 4.【答案】D【解析】根据正方体的展开图的11种不同情况进行判断即可.解：正方体展开图的11种情况可分为“141--型”6种，“231--型”3种，“222--型”1种，“33-型”1种，因此选项D 符合题意， 故选：D . 5.【答案】A【解析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案.10a -≥， 解得：1a ≥. 故选：A . 6.【答案】C【解析】设共有x 人合伙买羊，羊价为y 钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x y ，的二元一次方程组，解之即可得出结论. 解：设共有x 人合伙买羊，羊价为y 钱，依题意，得：54573x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21150x y =⎧⎨=⎩.故选：C . 7.【答案】B【解析】过E 作EM BC ⊥，交FD 于点H ，可得EH GD ⊥，得到EH 与GH 平行，再由E 为HD 中点，得到2HG EH =，同时得到四边形HMCD 为矩形，再由角平分线定理得到AE ME =，进而求出EH 的长，得到HG 的长.解：过E 作EM BC ⊥，交FD 于点H ，DF BC ∵∥，EH DF ⊥∴， EH HG ∴∥，EH ED HG HD=∴， E ∵为HD 中点，12ED HD =∴， 12EH HG =∴，即2HG EH =， °90DHM HMC C ∠=∠=∠=∴，∴四边形HMCD 为矩形， 2HM DC ==∴，BE ∵平分ABC EA AB EM BC ∠⊥⊥，，， 3EM AE ==∴，321EH EM HM =-=-=∴，则22HG EH ==. 故选：B .8.【答案】A【解析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰有一个篮子为空的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.解：三个不同的篮子分别用A B C 、、表示，根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中恰有一个篮子为空的有6种， 则恰有一个篮子为空的概率为62=93. 故选：A . 9.【答案】C【解析】延长ED ，交AC 于F ，根据等腰三角形的性质得出°28A ACB ∠=∠=，根据平行线的性质得出°28CFD A ∠=∠=，由三角形外角的性质即可求得ACD ∠的度数. 解：延长ED ，交AC 于F ，ABC ∵△是等腰三角形，°124ABC ∠=， °28A ACB ∠=∠=∴， AB DE ∵∥， °28CFD A ∠=∠=∴，°72CDE CFD ACD ∠=∠+∠=∵，°°°722844ACD ∠=-=∴，故选：C .10.【答案】C【解析】设乙驾车时长为x 小时，则乙驾车时长为()3x -小时，根据两人对话可知：甲的速度为180km/h x，乙的速度为80km/h 3x-，根据“各匀速行驶一半路程”列出方程求解即可. 解：设乙驾车时长为x 小时，则乙驾车时长为()3x -小时， 根据两人对话可知：甲的速度为180km/h x ，乙的速度为80km/h 3x-， 根据题意得：()1803803x x x-=-， 解得：1 1.8x =或29x =，经检验：1 1.8x =或29x =是原方程的解，29x =不合题意，舍去，故选：C . 11.【答案】B【解析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式，将10x =-代入可求解.解：如下图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得3414102MN EF BC DO ====，，，，设大孔所在抛物线解析式为232y ax =+，10BC =∵，∴点()50B -，， ()23052a =⨯-+∴， 350a =-∴， ∴大孔所在抛物线解析式为233502y x =-+， 设点()0A b ，，则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为()2y m x b =-，14EF =∵，∴点E 的横坐标为7-，∴点E 坐标为36725⎫⎛-- ⎪⎝⎭，， ()23625m x b -=-∴，12x b x b ==∴，， 4MN =∴，4b b ⎫⎛-=⎪ ⎪⎝⎭925m =-∴， ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为()2925y x b =--， ∵大孔水面宽度为20米，∴当10x =-时，92y =-，()299225x b -=--∴，12x b x b ==∴，，∴单个小孔的水面宽度b b ⎫⎫⎛⎛=-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭（米），故选：B . 12.【答案】A【解析】过D 作DE BC ⊥于E ，则°90DEC DEB ∠=∠=，根据矩形的想知道的2BE AD ==，DE AB ==°90DB C ABC B C BC A C AC A CA B CB '''''∠=∠===∠=∠，，，，推出B CD '△为等腰直角三角形，得到CD C '=，设BCBC x '==，则2CD CE x ==-，，根据勾股定理即可得到结论. 解：过D 作DE BC ⊥于E ， 则°90DEC DEB ∠=∠=，°90AD BC ABC ∠=∵∥，， °90DAB ABC ∠=∠=∴，∴四边形ABED 是矩形，2BE AD DE AB ====∴，，∵将ABC △绕点C 顺时针方向旋转后得A B C ''△，°90DB C ABC B C BC A C AC A CA B CB '''''∠=∠===∠=∠∴，，，，A CAB CB ''∴△∽△，A A ACB B BC'='∴， B CD '∵为等腰三角形， B CD '∴△为等腰直角三角形，CD C '=∴，设B C BC x '==，则2CD CE x ==-，，222CD CE DE =+∵， )()(2222x =-+∴，4x =∴（负值舍去）， 4BC =∴，AC ==∴24A A '=∴，A A '=∴故选：A .二、13.【答案】()()22xy x y x y +-【解析】先提取公因式xy ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解. 解：334x y xy -，()224xy x y =-， ()()22xy x y x y =+-.故答案为：()()22xy x y x y +-. 14.【答案】()3,3-【解析】根据在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度.（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减.）即可得结论.解：∵将点()12A -，先向左平移2个单位，横坐标2-， 再向上平移1个单位纵坐标1+，∴平移后得到的点1A 的坐标为：()3,3-.故答案为：()3,3-. 15.【答案】0或8【解析】直接利用多项式的次数确定方法得出答案. 解：∵多项式()2221m nxyn x y -+-+是关于x y ，的三次多项式，()2013n m n -=+-=∴，， 22n m n =-=∴，，2m n -=∴或2n m -=， 4m =∴或0m =，0mn =∴或8.故答案为：0或8.16.【答案】125【解析】设甲种火龙果种植x 亩，乙种火龙果种植()100x -亩，此项目获得利润w ，根据题意列出不等式求出x 的范围，然后根据题意列出w 与x 的函数关系即可求出答案.解：设甲种火龙果种植x 亩，乙种火龙果种植()100x -亩，此项目获得利润w ，甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，由题意可知：()()0.9 1.1100980.9 1.1100100x x x x +-⎧⎪⎨+-⎪⎩≥≤， 解得：5060x ≤≤，此项目获得利润()1.1 1.41001400.3w x x x =+-=-，当50x =时，w 的最大值为14015125-=万元.17.【答案】2【解析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME BC ⊥交BC 的延长线于E ，点点O 作OF BC ⊥于F ，交CD 于G ，则OM ME OF +≥.求出OM OF ，即可解决问题.解：取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME BC ⊥交BC 的延长线于E ，点点O 作OF BC ⊥于F ，交CD 于G ，则OM ME OF +≥.°904AMD AD OA OD ∠===∵，，，122OM AD ==∴， AB CD ∵∥，°60GCF B ∠=∠=∴，°30DGO CGE ∠=∠=∴，AD BC =∵，°60DAB B ∠=∠=∴，°120ADC BCD ∠=∠=∴，°30DOG DGO ∠==∠∴，2DG DO ==∴，4CD =∵，2CG =∴，OG GF OF ===∴2ME OF OM -=∴≥，∴当O M E ，，共线时，ME 的值最小，最小值为2.18.【答案】2366m ≤≤ 【解析】解不等式5722x x +--＞得4x -＞，据此知4x -＞都能使不等式()621m x m -+＜成立，再分60m -=和60m -≠两种情况分别求解. 解：解不等式5722x x +--＞得4x -＞， 4x -∵＞都能使不等式()621m x m -+＜成立，①当60m -=，即6m =时，则4x -＞都能使013x ＜恒成立；②当60m -≠，则不等式()621m x m -+＜的解要改变方向，60m -∴＜，即6m ＜，∴不等式()621m x m -+＜的解集为216m x m +-＞， 4x -∵＞都能使216m x m +-＞成立， 2146m m +--∴≥， 42421m m -++∴≤，236m ∴≥， 综上所述，m 的取值范围是2366m ≤≤. 故答案为：2366m ≤≤. 【考点】解一元一次不等式三、19.【答案】解：（1）原式1312=321=-0=；（2）原式()22143222x x x x x +⎛⎫-=+÷ ⎪---⎝⎭ ()()()211221x x x x x +--=-+11x x -=+，当1x =时，原式==1=【解析】（1）先去绝对值符号、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得.具体解题过程可参考答案.【考点】分式的化简求值，零指数幂，分母有理化，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值20.【答案】解：（1）甲书店：0.8y x =，乙书店：1000.640100x x y x x ⎧=⎨+⎩，≤，＞. （2）令0.80.640x x =+，解得：200x =，当200x ＜时，选择甲书店更省钱，当200x =，甲乙书店所需费用相同，当200x ＞，选择乙书店更省钱.【解析】（1）根据题意给出的等量关系即可求出答案.（2）先求出两书店所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱.具体解题过程可参考答案.【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的应用21.【答案】解：（1）把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数， 则中位数是7575752+=（克）； 因为75出现了4次，出现的次数最多，所以众数是75克； 平均数是：()1747575757377787276757510+++++++++=（克）； （2）根据题意得：31003010⨯=（个）， 答：质量为75克的鸡腿有30个；（3）选B 加工厂的鸡腿.A B ∵、平均值一样，B 的方差比A 的方差小，B 更稳定，∴选B 加工厂的鸡腿.【解析】（1）根据中位数、众数和平均数的计算公式分别进行解答即可；（2）用总数乘以质量为75克的鸡腿所占的百分比即可；（3）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案.具体解题过程可参考答案.【考点】用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数，方差22.【答案】（1）证明：BAC CEB CEB DCA ∠=∠∠=∠∵，，BAC DCA ∠=∠∴，AB CD ∴∥；（2）证明：连接EO 并延长交O ⊙于G ，连接CG ，如图1所示：则EG 为O ⊙的直径，°90ECG ∠=∴，OC OG =∵，OCG EGC ∠=∠∴，EAC EGC EAC DCE ∠=∠∠=∠∵，，DCE EGC OCG ∠=∠=∠∴，°90OCG OCE ECG ∠+∠∠=∵=，°90DCE OCE ∠+∠=∴，即°90DCO ∠=，OC ∵是O ⊙的半径，CD ∴是O ⊙的切线；（3）解：在ADC Rt △中，由勾股定理得：10AC ==，63cos 105CD ACD AC ∠===∴， CD ∵是O ⊙的切线，AB CD ∥，ABC ACD CAB ∠=∠=∠∴，3102cos 210125BC AC AB BC ABC ===∠=⨯⨯=∴，， 过点B 作BG AC ⊥于C ，如图2所示：设=GC x ，则10AG x =-，由勾股定理得：22222AB AG BG BC GC -==-，即：()2222121010x x --=-， 解得：145x =， 145GC =∴，485BG =∴， 48245tan 1475BG ACB GC ∠===∴.【解析】（1）由圆周角定理与已知得BAC DCA ∠=∠，即可得出结论；（2）连接EO 并延长交O ⊙于G ，连接CG ，则EG 为O ⊙的直径，°90ECG ∠=，证明D CE E G C O C∠=∠=∠，得出°90DCE OCE ∠+∠=，即可得出结论； （3）由三角函数定义求出3cos 5ACD ∠=，证出ABC ACD CAB ∠=∠=∠，求出1012BC AC AB ===，，过点B 作BG AC ⊥于C ，设GC x =，则10AG x =-，由勾股定理得出方程，解方程得145GC =，由勾股定理求出485BG =，由三角函数定义即可得答案. 具体解题过程可参考答案.【考点】圆23.【答案】解：（1）当1m =时，点()31A -，，∵点A 在反比例函数k y x=的图象上， 313k =-⨯=-∴， ∴反比例函数的解析式为3y x=-； ∵点()2B n ，在反比例函数3y x=-图象上， 23n =-∴，32n =-∴， 设直线AB 的解析式为y ax b =+，则31322a b a b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 233a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴，∴直线AB 的解析式为233y x =+； （2）如图，过点A 作AM x ⊥轴于M ，过点B 作BN x ⊥轴于N ，过点A 作AF BN ⊥于F ，交BE 于G ， 则四边形AMNF 是矩形，FN AM AF MN ==∴，，()()32A m B n -∵，，，，2BF m =-∴，2AE m =-∵，BF AE =∴，在AEG △和BFG △中，°90AGE BGF AEG BFG AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩（对顶角相等），()AEG BFG AAS ∴△≌Rt △，AG BG EG FG ==∴，，BE BG EG AG FG AF =+=+=∴，∵点()()32A m B n -，，，在反比例函数k y x=的图象上， 32k m n =-=∴， 23m n =-∴， ()222333BF BN FN BN AM m n MN n n =-=-=-=+=--=+∴，， 3BE AF n ==+∴，°°9090AEM MAE AEM BEN ∠+∠=∠+=∵，，MAE NEB ∠=∠∴，°90AME ENB ∠=∠=∵，AME ENB ∴△∽△，22223333n ME AE m BN BE n n +-====++∴， 2433ME BN ==∴， 在AME Rt △中，2AM m AE m ==-，，根据勾股定理得，222AM ME AE +=，()222423m m ⎫⎛+=- ⎪⎝⎭∴， 59m =∴， 533k m =-=-∴， ∴反比例函数的解析式为53y x=-.【解析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式中求出k ，进而得出点B 坐标，最后用待定系数法求出直线AB 的解析式；（2）先判断出B F A E =，进而得出()A E G B F G A A S △≌Rt △，得出A G B G E G F G ==，，即B E B G E G A G F G A =+=+=，再求出23m n =-，进而得出2233BF n MN n =+=+，，即3B E A F n ==+，再判断出AME ENB △∽△，得出23ME AE BN BE ==，得出2433ME BN ==，最后用勾股定理求出m ，即可得出结论.具体解题过程可参考答案.【考点】反比例函数24.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，())01A B ∵，，， 设直线AB 的解析式为y kx m =+，01m m +==⎪⎩∴，解得1k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB的解析式为1y =+， ∵点FF ∴点纵坐标为113=-， F ∴点的坐标为13⎫-⎪⎭， 又∵点A 在抛物线上，1c =∴，对称轴为：2b x a=-=b =-∴，∴解析式化为：21y ax =-+， ∵四边形DBFE 为平行四边形. BD EF =∴，161318133a a a ⎫⎛-+=-+-- ⎪⎝⎭∴， 解得1a =-，∴抛物线的解析式为21y x =-++；（2）设()21P n n -++，，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则1P n ⎫⎛'+⎪ ⎪⎝⎭，，2PP n '=-+∴，2217222ABP S OB PP n n '==-+=⎝△ ∴当n =ABP △4712P ⎫⎪⎭，. （3）211y y x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩∵， 0x =∴或x = 43C ⎫-⎪⎭∴， 设)Q ， ①当AQ 为对角线时，73R m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴， R ∵在抛物线(24y x =-+上，2744m ⎛+=-+ ⎝∴， 解得443m =-， 443733Q R ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎭⎝⎭∴，； ②当AR 为对角线时，73R m ⎫-⎪⎭∴， R ∵在抛物线(24y x =-+上，2743m -=-+∴， 解得10m =-， )37103Q R ⎫--⎪⎭∴，.综上所述，443733Q R ⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎭⎝⎭，；或)37103Q R ⎫--⎪⎭，.【解析】（1）由待定系数法求出直线AB 的解析式为1y =+，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出161318133a a a ⎫⎛-+=-+-- ⎪⎝⎭，求出a 的值，则可得出答案；（2）设()21P n n -++，，作PP x '⊥轴交AC 于点P '，则1P n ⎫⎛'+⎪ ⎪⎝⎭，，得出2PP n '=-，由二次函数的性质可得出答案；（3）联立直线AC 和抛物线解析式求出43C ⎫-⎪⎭，设)Q m ，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可.具体解题过程可参考答案.【考点】二次函数25.【答案】解：（1）M ∵⊙为BCD △的内切圆，切点分别为46N P Q DN BN ==，，，，， 6410BP BN DQ DN CP CQ BD BN DN ======+=∴，，，，设CP CQ a ==，则64BC a CD a =+=+，，∵四边形ABCD 是矩形，°90BCD ∠=∴，222BC CD BD +=∴，即()()2226410a a +++=，解得：2a =，628426BC CD =+==+=∴，；（2）①存在时刻2512t s =，使点H '恰好落在边BC 上；理由如下： 如图1所示：由折叠的性质得：3AH I AHI AH AH t ''∠=∠==，， ∵四边形ABCD 是矩形，°1189022AD BC AD BC BCD OA OC AC OB OD BD AC BD ==∠======∴，∥，，，，，105AC BD OA OD =====∴，，ADO OAD ∠=∠∴，HI BD ∵∥，AHI ADO ∠=∠∴，AH I AHI ADO OAD ACH ''∠=∠=∠=∠=∠∴，AIH AH C ''∴△∽△，AH AI AC AH '='∴， 2AH AI AC '⨯∴=，HI BD ∵∥，AIH AOD ∴△∽△，AI AH AO AD=∴，即358AI t =， 解得：158AI t =， ()2153108t t =⨯∴， 解得：2512t =， 即存在时刻2512t s =，使点H '恰好落在边BC 上； ②作PH OH ⊥于H ，交OF 的延长线于P ，作OM AD ⊥于M PN AD ⊥，于N ，如图2所示： 则°90OM CD PN OMH HNP OM ∠=∠=∥∥，，是ACD △的中位线，132OM CD ==∴， OFH ∵△是等边三角形，°60OF FH OHF HOF =∠=∠=∴，，°30FHP HPO ∠=∠=∴，FH FP OF HP ===∴，，DF ∴是梯形OMNP 的中位线，4DN DM ==∴，°90MHO MOH MHO NHP ∠+∠=∠+∠=∵，MOH NHP ∠=∠∴，OMH HNP ∴△∽△，OM OH HN HP ==∴，HN ==∴4DH HN DN =-=∴，12AH AD DH =-=-∴43AH t ==∴，即当OFH △为正三角形时，t 的值为(4s .【解析】（1）由切线长定理得出6410BP BN DQ DN CP CQ BD BN DN ======+=，，，，设CP CQ a==，由勾股定理得出222BC CD BD +=，得出方程，解方程即可； （2）①由折叠的性质得3AH I AHI AH AH t ''∠=∠==，，证明AIH AH C ''△∽△，则2A H A I A C '=⨯，证A IH A O D △∽△，求出158AI t =，得出()2153108t t =⨯，解方程即可； ②作PH OH ⊥于H ，交OF 的延长线于P ，作OM AD ⊥于M PN AD ⊥，于N ，证出FH FP OF ==，4HP DN DM ===，，证明O M H A △∽△，求出HN ==，则34D H H N N =--，得出12AH AD DH =-=-.具体解题过程可参考答案.【考点】圆。
四川省广元市2021年中考数学试卷试题真题(Word版,含答案解析)
四川省广元市2021年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.计算|−3|−(−2)的最后结果是（）A. 1B. −1C. 5D. −5【答案】C【考点】绝对值及有理数的绝对值，有理数的减法【解析】【解答】解：原式=3+2=5，故答案为：C.【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数以及减去一个数等于加上它的相反数可计算.2.下列图形均表示医疗或救援的标识，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项不符合题意，C.是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意，D.既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故该选项不符合题意，故答案为：C.【分析】由轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形;中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°后，能与原来位置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形可得结果.3.下列运算正确的是（）A. (a−12)2=a2−14B. (a+3)(a−3)=a2−9C. −2(3a+1)=−6a−1D. (a+b)(a−2b)=a2−2b2【答案】 B【考点】多项式乘多项式，完全平方公式及运用，平方差公式及应用，去括号法则及应用【解析】【解答】解：A. (a −12)2=a 2−a +14 ，原选项计算错误，不合题意；B. (a +3)(a −3)=a 2−9 ，原选项计算正确，符合题意；C. −2(3a +1)=−6a −2 ，原选项计算错误，不合题意；D. (a +b)(a −2b)=a 2−2ab +ab −2b 2=a 2−ab −2b 2 ，原选项计算错误，不合题意.故答案为：B【分析】根据完全平方公式(a ±b )2=a 2±2ab +b 2 ， 平方差公式(a +b )(a −b )=a 2−b 2以及去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内的各项符号不变；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内的各项符号与原来的符号相反和多项式×多项式：用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加可得结果.4.一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差【答案】 B【考点】平均数及其计算，中位数，方差，众数【解析】【解答】解：A 、原来数据的平均数是1+2+2+34= 2，添加数字3后平均数为 1+2+2+3+35=115 ，所以平均数发生了变化，故A 不符合题意；B 、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B 与要求相符；C 、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C 与要求不符；D 、原来数据的方差= 14[(1−2)2+(2−2)2+(2−2)2+(3−2)2]=12 ，添加数字3后的方差= 15[(1−115)2+(2−115)2+(2−115)2+(3−115)2+(3−115)2]=145 ，故方差发生了变化，故答案为：D 不符合题意.故答案为：B.【分析】分别计算平均数、中位数、众数、方差，比较即可.5.下列命题中，真命题是（ ）A. 2x −1=12xB. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D. 已知抛物线 y =x 2−4x −5 ，当 −1<x <5 时， y <0【答案】 D【考点】负整数指数幂的运算性质，菱形的判定，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质，真命题与假命题【解析】【解答】解：A 、 2x −1=2x ，错误，故不符合题意；B 、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；C 、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；D、由抛物线y=x2−4x−5可得与x轴的交点坐标为(−1,0),(5,0)，开口向上，然后可得当−1< x<5时，y<0，正确，故符合题意；故答案为：D.【分析】由负整数指数幂计算：底变倒，指变反；菱形的判定以及抛物线的性质可得判断.6.观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（）A. B.C. D.【答案】C【考点】作图-角的平分线【解析】【解答】解：A：所作线段为AB边上的高，选项错误；B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；C：CD为∠ACB的角平分线，满足题意。
2022年四川省凉山州中考数学试卷和答案解析
2022年四川省凉山州中考数学试卷和答案解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．（4分）﹣2022的相反数是（）A．2022B．﹣2022C．D．2．（4分）如图所示的几何体的主视图是（）A．B．C．D．3．（4分）我州今年报名参加初中学业水平暨高中阶段学校招生考试的总人数为80917人，将这个数用科学记数法表示为（）A．8.0917×106B．8.0917×105C．8.0917×104D．8.0917×103 4．（4分）如图，直线a∥b，c是截线，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．40°B．45°C．50°D．55°5．（4分）化简：＝（）A．±2B．﹣2C．4D．26．（4分）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠07．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．5，5，10 8．（4分）一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，则a、b的平均数为（）A．4B．5C．8D．109．（4分）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）A．米2B．米2C．米2D．米2 10．（4分）一次函数y＝3x+b（b≥0）的图象一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）A．a＞0B．a+b＝3C．抛物线经过点（﹣1，0）D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．（4分）计算：﹣12+|﹣2023|＝．14．（4分）分解因式：ab2﹣a＝．15．（4分）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝．16．（4分）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为．17．（4分）如图，⊙O的直径AB经过弦CD的中点H，若cos∠CDB＝，BD＝5，则⊙O的半径为．三、参考答案题（共5小题，共32分）参考答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（5分）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．19．（5分）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m为满足﹣1＜m＜4的整数．20．（7分）为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：（1）该班的总人数为人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．21．（7分）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．22．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）23．（5分）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是．24．（5分）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是．五、参考答案题（共4小题，共40分）参考答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（8分）为全面贯彻党的教育方针，严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神，保障学生每天在校1小时体育活动时间，某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍．已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元；购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元．（1）求A、B两种类型羽毛球拍的单价．（2）该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副，且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．26．（10分）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2＝，x1x2＝．材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，∴m+n＝1，mn＝﹣1，则m2n+mn2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：（1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝．x1x2＝．（2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值．（3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值．27．（10分）如图，已知半径为5的⊙M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B两点，连接AM、AC，AC平分∠OAM，AO+CO＝6．（1）判断⊙M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长；（3）连接BM并延长交⊙M于点D，连接CD，求直线CD的解析式．28．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．1．【参考答案】解：﹣2022的相反数是2022，故选：A．【解析】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．2．【参考答案】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的中间是一个小正方形，故选：C．【解析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的形状是正确判断的前提．3．【参考答案】解：80917＝8.0917×104．故选：C．【解析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．4．【参考答案】解：如图，∵a∥b，∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠1＝50°，故选：C．【解析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．5．【参考答案】解：＝＝2，故选：D．【解析】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．6．【参考答案】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．【解析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．7．【参考答案】解：A.3+4＜8，不能组成三角形，不符合题意；B.5+6＝11，不能组成三角形，不符合题意；C.5+6＞10，能组成三角形，符合题意；D.5+5＝10，不能组成三角形，不符合题意．故选：C．【解析】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用，判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和＞最大的数就可以．8．【参考答案】解：∵一组数据4、5、6、a、b的平均数为5，∴4+5+6+a+b＝5×5，∴a+b＝10，∴a、b的平均数为10÷2＝5，故选：B．【解析】本题考查了算术平均数的计算方法，牢记公式是解题的关键．9．【参考答案】解：连结BC，AO，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵⊙O的直径为1米，∴AO＝BO＝（米），∴AB＝＝（米），∴扇形部件的面积＝π×（）2＝（米2），故选：C．【解析】本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2是解题的关键．10．【参考答案】解：∵函数y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，∴当b＝0时，此函数的图象经过一、三象限，不经过第四象限；当b＞0时，此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．则一定不经过第四象限．故选：D．【解析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，函数的图象所在的象限是参考答案此题的关键．11．【参考答案】解：∵＝，∴＝，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝15（cm），故选：C．【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，得到相似三角形的对应边的比＝是解题的关键．12．【参考答案】解：由题意作图如下：由图知，a＞0，故A选项说法正确，不符合题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），∴a+b+c＝0，c＝﹣3，∴a+b＝3，故B选项说法正确，不符合题意，∵对称轴在y轴的左侧，∴抛物线不经过（﹣1，0），故C选项说法错误，符合题意，由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故D选项说法正确，不符合题意，故选：C．【解析】本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．【参考答案】解：﹣12+|﹣2023|＝﹣1+2023＝2022，故答案为：2022．【解析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．14．【参考答案】解：原式＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1），故答案为：a（b+1）（b﹣1）【解析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．15．【参考答案】解：由题知，△OAB的面积为3，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴OB•AB＝3，即OB•AB＝6，∴k＝6，故答案为：6．【解析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质及反比例函数系数k的性质是解题的关键．16．【参考答案】解：如图，由题意得：OE⊥CD，又∵AC⊥CD，∴AC∥OE，∴∠A＝α，同理可得：∠B＝β，∵α＝β，∴∠A＝∠B，在△AOC和△BOD中，∴△AOC∽△BOD，∴，∴，解得：OC＝4，∴tanα＝tanA＝＝，故答案为：．【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．17．【参考答案】解：连接OD，如图所示∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴AB⊥CD，∴∠OHD＝∠BHD＝90°，∵cos∠CDB＝＝，BD＝5，∴DH＝4，∴BH＝3，设OH＝x，则OD＝OB＝x+3，在Rt△ODH中，由勾股定理得：x2+42＝（x+3）2，解得：x＝，∴OB＝OH+BH＝3+＝；故答案为：．【解析】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．三、参考答案题（共5小题，共32分）参考答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【参考答案】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【解析】熟练运用因式分解法解一元二次方程．注意：常数项应分解成两个数的积，且这两个的和应等于一次项系数．19．【参考答案】解：（m+2+）•＝•＝•＝•＝﹣2（m+3）＝﹣2m﹣6，∵m≠2，m≠3，∴当m＝0时，原式＝﹣6当m＝1时，原式＝﹣2×1﹣6＝﹣2﹣6＝﹣8．【解析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．20．【参考答案】解：（1）该班总人数为12÷24%＝50（人），则选择“演讲”人数为50×16%＝8（人），补全图形如下：故答案为：50；（2）设美术社团为A，演讲社团为B，声乐社团为C．画树状图为：由树状图知，共有12种等可能的结果数，其中选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的有4种结果，所以选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率为＝．【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．【参考答案】解：由已知可得，BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，∴∠E＝∠DBA＝30°，∴AD＝8米，∴BD＝＝＝8（米），∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，∴∠C＝∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝8米，∴BC＝＝＝8（米），∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8+8）米，答：压折前该输电铁塔的高度是（8+8+8）米．【解析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，参考答案本题的关键是明确题意，求出AD、CD和BC长．22．【参考答案】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形；（2）解：∵四边形ADBF是菱形，∴菱形ADBF的面积＝2△ABD的面积，∵点D是BC的中点，∴△ABC的面积＝2△ABD的面积，∴菱形ADBF的面积＝△ABC的面积＝40，∴AB•AC＝40，∴×8•AC＝40，∴AC＝10，∴AC的长为10．【解析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．四、填空题（共2小题，每小题5分，满分10分）23．【参考答案】解：∵a﹣b2＝4，∴b2＝a﹣4，∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14＝a2﹣3a+12+a﹣14＝a2﹣2a﹣2＝a2﹣2a+1﹣1﹣2＝（a﹣1）2﹣3，∵1＞0，又∵b2＝a﹣4≥0，∴a≥4，∵1＞0，∴当a≥4时，原式的值随着a的增大而增大，∴当a＝4时，原式取最小值为6，故答案为：6．【解析】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，灵活应用配方法，从而完成求解．24．【参考答案】解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD＝＝＝2，∴cos∠ADB＝＝＝，∵∠ACB＝∠ADB，∴cos∠ACB的值是，故答案为：．【解析】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、解直角三角形，参考答案本题的关键是求出∠ADB的余弦值．五、参考答案题（共4小题，共40分）参考答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．【参考答案】解：（1）设A种球拍每副x元，B种球拍每副y元，，解得，答：A种球拍每副40元，B种球拍每副32元；（2）设购买B型球拍a副，总费用w元，依题意得30﹣a≥2a，解得a≤10，w＝40（30﹣a）+32a＝﹣8a+1200，∵﹣8＜0，∴w随a的增大而减小，∴当a＝10时，w最小，w最小＝﹣8×10+1200＝1120（元），此时30﹣10＝20（副），答：费用最少的方案是购买A种球拍20副，B种球拍10副，所需费用1120元．【解析】本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键．26．【参考答案】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，∴x1+x2＝＝，x1x2＝＝﹣，故答案为：，﹣；（2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，∴m+n＝，mn＝﹣，∴＝＝＝＝；（3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，∴s+t＝，st＝﹣，∴（s﹣t）2＝（s+t）2﹣4st，（s﹣t）2＝（）2﹣4×（﹣），（s﹣t）2＝，∴s﹣t＝，∴＝＝＝＝．【解析】本题主要考查根与系数的关系，分式的化简求值，参考答案的关键是把s，t看作是相应的方程的两个实数根．27．【参考答案】解：（1）猜测⊙M与x轴相切，理由如下：如图，连接OM，∵AC平分∠OAM，∴∠OAC＝∠CAM，又∵MC＝AM，∴∠CAM＝∠ACM，∴∠OAC＝∠ACM，∴OA∥MC，∵OA⊥x轴，∴MC⊥x轴，∵CM是半径，∴⊙M与x轴相切．（2）如图，过点M作MN⊥y轴于点N，∴AN＝BN＝AB，∵∠MCO＝∠AOC＝∠MNA＝90°，∴四边形MNOC是矩形，∴NM＝OC，MC＝ON＝5，设AO＝m，则OC＝6﹣m，∴AN＝5﹣m，在Rt△ANM中，由勾股定理可知，AM2＝AN2+MN2，∴52＝（5﹣m）2+（6﹣m）2，解得m＝2或m＝9（舍去），∴AN＝3，∴AB＝6．（3）如图，连接AD与CM交于点E，∵BD是直径，∴∠BAD＝90°，∴AD∥x轴，∴AD⊥MC，由勾股定理可得AD＝8，∴D（8，﹣2）．由（2）可得C（4，0），设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∴，解得．∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+2．【解析】本题主要考查切线的定义，勾股定理，矩形的性质与判定，垂径定理，待定系数法求函数表达式，题目比较简单，关键是掌握相关定理．28．【参考答案】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴C（1，4），抛物线的对称轴为直线x＝1，如图，设CD＝t，则D（1，4﹣t），∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t，∴P（1+t，4﹣t），把P（1+t，4﹣t）代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣（1+t）2+2（1+t）+3＝4﹣t，整理得t2﹣t＝0，解得：t1＝0（舍去），t2＝1，∴P（2，3）；（3）∵P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E点坐标为（1，﹣1），∴点E关于y轴的对称点F（﹣1，﹣1），连接PF交y轴于M，则MP+ME＝MP+MF＝PF的值最小，设直线PF的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴直线PF的解析式为y＝x+，∴点M的坐标为（0，）．【解析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质，轴对称确定最短路线问题，会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用轴对称求最短路线是解题的关键．。
四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类
四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共2小题）1．（2023•自贡）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．2．（2021•自贡）计算：﹣|﹣7|+（2﹣）0．二．一元一次方程的应用（共1小题）3．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．三．解一元一次不等式组（共1小题）4．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）5．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y＝﹣的图象，并探究其性质．列表如下：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…a0b﹣2﹣﹣…（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数y＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于直线y＝x对称；②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小．其中正确的是 ．（请写出所有正确命题的序号）（3）结合图象，请直接写出不等式＞x的解集 ．五．平行四边形的判定与性质（共1小题）6．（2023•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．六．矩形的性质（共1小题）7．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ ，EF＝ ；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC 之间的距离．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）8．（2023•自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：（1）测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB 方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．（2）测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）（3）测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）9．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）八．条形统计图（共1小题）10．（2023•自贡）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．（1）补全学生课外读书数量条形统计图；（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．九．列表法与树状图法（共1小题）11．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．四川省自贡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•自贡）计算：|﹣3|﹣（+1）0﹣22．【答案】﹣2．【解答】解：原式＝3﹣1﹣4＝﹣2．2．（2021•自贡）计算：﹣|﹣7|+（2﹣）0．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝5﹣7+1＝﹣1．二．一元一次方程的应用（共1小题）3．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【答案】该客车的载客量为40人．【解答】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．三．解一元一次不等式组（共1小题）4．（2022•自贡）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．【答案】﹣1＜x＜2．【解答】解：由不等式3x＜6，解得：x＜2，由不等式5x+4＞3x+2，解得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x ＜2，∴在数轴上表示不等式组的解集为：四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）5．（2021•自贡）函数图象是研究函数的重要工具．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程．请结合已有的学习经验，画出函数y ＝﹣的图象，并探究其性质．列表如下：x …﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…ab﹣2﹣﹣…（1）直接写出表中a 、b 的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数y ＝﹣的图象，判断下列关于该函数性质的命题：①当﹣2≤x ≤2时，函数图象关于直线y ＝x 对称；②x ＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；③﹣1＜x ＜1时，函数y 的值随x 的增大而减小．其中正确的是 ②③ ．（请写出所有正确命题的序号）（3）结合图象，请直接写出不等式＞x 的解集 x ＜﹣2或0＜x ＜2 ．【答案】（1）2，﹣；（2）②③；（3）x＜﹣2或0＜x＜2．【解答】解：（1）把x＝﹣2代入y＝﹣得，y＝﹣＝2，把x＝1代入y＝﹣得，y＝﹣＝﹣，∴a＝2，b＝﹣，函数y＝﹣的图象如图所示：（2）观察函数y＝﹣的图象，①当﹣2≤x≤2时，函数图象关于原点对称；错误；②x＝2时，函数有最小值，最小值为﹣2；正确；③﹣1＜x＜1时，函数y的值随x的增大而减小，正确．故答案为②③；（3）由图象可知，函数y＝﹣与直线y＝﹣x的交点为（﹣2，2）、（0，0）、（2，﹣2）∴不等式＞x的解集为x＜﹣2或0＜x＜2．五．平行四边形的判定与性质（共1小题）6．（2023•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边AB，CD上，且AM＝CN．求证：DM＝BN．【答案】见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵AM＝CN，∴AB﹣AM＝CD﹣CN，即BM＝DN，又∵BM∥DN，∴四边形MBND是平行四边形，∴DM＝BN．六．矩形的性质（共1小题）7．（2022•自贡）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝ CD ，EF＝ AD ；（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC 之间的距离．【答案】（1）CD，AD；（2）见解析过程；（3）EF与BC之间的距离为64cm．【解答】（1）解：∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，故答案为：CD，AD；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，∴CH＝DH＝40cm，在Rt△BHC中，BH＝＝＝50（cm），∵EG⊥BC，∴CH∥EG，∴△BCH∽△BGE，∴，∴＝，∴EG＝64，∴EF与BC之间的距离为64cm．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）8．（2023•自贡）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：（1）测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB 方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．（2）测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS（如图3），量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．（≈1.41，结果精确到1米）（3）测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．（结果用不含β1，β2的字母表示）【答案】（1）α+β＝90°；（2）约为69米；（3）（+1.6）米．【解答】解：（1）∵铅直线与水平线垂直，∴α+β＝90°，故α，β之间的数量关系为：α+β＝90°；（2）在Rt△ABH中，∵AB＝40米，∠BAH＝24°，sin∠BAH＝，∴sin24°＝，在Rt△TKS中，∵KT≈5cm，TS≈2cm，∠TKS＝24°，sin∠TKS＝，∴sin24°＝，∴＝，解得BH＝16米，在Rt△CBQ中，∵BC＝50米，∠CBQ＝30°，∴CQ＝CB＝25米，在Rt△DCR中，∵CD＝40米，∠DCR＝45°，sin∠DCR＝，∴DR＝CD•sin∠DCR＝40•sin45°＝（米），∴DF＝BH+CQ+DR＝16+25+≈69（米），答：山高DF约为69米；（3）由题意，得tanβ1＝，tanβ2＝，在Rt△DNL中，∵tanβ1＝，∴，∴NL＝，在Rt△DCR中，∵tanβ2＝，∴，∴N'L＝，∵NL﹣N'L＝NN'＝40（米），∴﹣＝40，解得DL＝，∴山高DF＝DL+LF＝+1.6（米），答：山高DF为（+1.6）米．9．（2021•自贡）在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．（结果精确到0.1，参考数据tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73）【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°，∴tan∠BDA＝＝≈1.33，∴AD＝≈18.05（米）．∵tan∠CAD＝tan30°＝＝＝，∴CD＝18.05×≈10.4（米）．故办公楼的高度约为10.4米．八．条形统计图（共1小题）10．（2023•自贡）某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况，对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查，所抽取的12名学生课外读书数量（单位：本）数据如下：2，4，5，4，3，5，3，4，1，3，2，4．（1）补全学生课外读书数量条形统计图；（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数、中位数和平均数；（3）该校有600名学生，请根据抽样调查的结果，估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．【答案】（1）图形见解析过程；（2）众数为4本，中位数为3.5本，平均数为本；（3）本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450名．【解答】解：（1），（2）本次所抽取学生课外读书数量的众数为4本，中位数为（本），平均数为＝（本），（3）（名），答：本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450名．九．列表法与树状图法（共1小题）11．（2022•自贡）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜3，3≤t＜4，4≤t＜5，t≥5分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整；（2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．【答案】（1）100；（2）900；（3）．【解答】解：（1）n＝＝100，∴D等级的人数＝100﹣40﹣15﹣10＝35（人），条形统计图补充如下：（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数＝2000×＝900（人），∴估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：∴共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，∴所求概率＝＝．。
2022年四川宜宾中考数学真题及答案
2022年四川宜宾中考数学真题及答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．1.4的平方根是（）A.±2B.2C.﹣2D.16【答案】A【解析】【详解】【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x 就是a的一个平方根．【详解】∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2，故选A．【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键.2.如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，从正面看，所看到的图形是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据所给几何体判断即可．【详解】解：从正面看，所看到的图形是：故选：D．【点睛】考查几何体的三视图的知识，从正面看到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．掌握以上知识是解题的关键．3.下列计算不正确．．．的是（）A.3362a a a += B.()236a a -= C.32a a a÷= D.235a a a ⋅=【答案】A 【解析】【分析】根据合并同类项法则判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据同底数幂相除法则计算并判定C；根据同底数幂相乘运算法则计算并判定D．【详解】解：A、a 3+a 3=2a 3，故此选项符合题意；B、(-a 3)2=a 6，故此选项不符合题意；C、32a a a ÷=，故此选项不符合题意；D、235a a a ⋅=，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂相除法，同底数幂相除法，熟练掌握合并同类项、幂的乘方、，同底数幂相除法、同底数幂相除法运算法则是解题的关键．4.某校在中国共产主义青年团成立100周年之际，举行了歌咏比赛，七位评委对某个选手的打分分别为：91，88，95，93，97，95，94．这组数据的众数和中位数分别是（）A.94，94B.95，95C.94，95D.95，94【答案】D 【解析】【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义以及众数的定义求解即可．【详解】将这组数据从小到大重新排列为88，91，93，94，95，95，97，∴这组数据的中位数为94，95出现了2次，次数最多，故众数为95故选：D．【点睛】本题主要考查中位数和众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．5.如图,在ABC ∆中，5AB AC ==，D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ，DF ∥AC 交AB 于点F ，那么四边形AFDE 的周长是（）A.5B.10C.15D.20【答案】B 【解析】【分析】由于DE ∥AB ，DF ∥AC ，则可以推出四边形AFDE 是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明□AFDE 的周长等于AB ＋A C．【详解】∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，则四边形AFDE 是平行四边形，∠B ＝∠EDC ，∠FDB ＝∠C ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠FDB ，∠C ＝∠EDF，∴BF ＝FD ，DE ＝EC ，所以□AFDE 的周长等于AB ＋AC ＝10．故答案为B【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键．6.2020年12月17日，我国嫦娥五号返回器携带着月球样本玄武岩成功着陆地球．2021年10月19日，中国科学院发布了一项研究成果：中国科学家测定，嫦娥五号带回的玄武岩形成的年龄为20.300.04±亿年．用科学记数法表示此玄武岩形成的年龄最小的为（）（单位：年）A .82.03410⨯ B.92.03410⨯ C.82.02610⨯ D.92.02610⨯【答案】D 【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，看小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．小数点向左移动时，n 是正整数；小数点向右移动时，n 是负整数．【详解】解：20.30亿－0.04亿=20.26亿=2026000000=2.026×109，故选：D．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．7.某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务．问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成x 套桌凳，则所列方程正确的是（）A.54054032x x-=- B.54054032x x-=+ C.54054032x x -=+ D.54054032x x -=-【答案】C 【解析】【分析】设原计划每天完成x 套桌凳，根据“提前3天完成任务”列出分式方程即可．【详解】解：设原计划每天完成x 套桌凳，根据题意得，54054032x x -=+．故选：C．【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意是解题的关键．8.若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A.0a ≠B.1a >-且0a ≠ C.1a ≥-且0a ≠ D.1a >-【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，再求出即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+2x -1=0有两个不相等的实数根，∴a ≠0，Δ=22-4a ×（-1）=4+4a ＞0，解得：a ＞-1且a ≠0，故选：B．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2-4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根．9.如图，在矩形纸片ABCD 中，5AB =，3BC =，将BCD △沿BD 折叠到BED 位置，DE 交AB 于点F ，则cos ADF ∠的值为（）A.817B.715C.1517D.815【答案】C 【解析】【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明AFD EFB ∆∆≌，得出AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，根据勾股定理列出关于x 的方程，解方程得出x 的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴CD =AB =5，AB =BC =3，90A C ∠=∠=︒，根据折叠可知，3BE BC ==，5DE DE ==，90∠=∠=︒E C ，∴在△AFD 和△EFB 中903A E AFD EFB AD BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩，∴AFD EFB ∆∆≌（AAS），∴AF EF =，DF BF =，设AF EF x ==，则5BF x =-，在Rt BEF ∆中，222BF EF BE =+，即()22253x x -=+，解得：85x =，则817555DF BF ==-=，∴315cos 17175AD ADF DF ∠===，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明AFD EFB ∆∆≌，是解题的关键．10.已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为（）A.0B.－10C.3D.10【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn =－5，把x =m 代入方程得m 2+2m -5=0，即m 2+2m =5，代入即可求解．【详解】解：∵m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，∴mn =－5，m 2+2m -5=0，∴m 2+2m =5，∴22m mn m ++=5－5=10，故选：A．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn =-5，m 2+2m =5是解题的关键．11.已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，若以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则a 的取值范围是（）A.13a ≥B.13a >C.103a <<D.103a <≤【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-，进而求得顶点的的坐标，结合图形可知当顶点纵坐标小于或等于-3满足题意，即可求解．【详解】解： 抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -、()4,0B ，设抛物线的解析式为()()24y a x x =+-()222819y ax ax a a x a∴=--=--顶点坐标为()1,9a -，6AB = ,以AB 为直径的圆与在x 轴下方的抛物线有交点，则圆的半径为3，如图，93a ∴-≤-解得13a ≥故选：A【点睛】本题考查了圆的的性质，二次函数图象的性质，求得抛物线的顶点纵坐标的范围是解题的关键．12.如图，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD CE =；②DAC CED ∠=∠；③若2BD CD =，则45CF AF =；④在ABC 内存在唯一一点P ，使得PA PB PC ++的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则2CE =+中含所有正确结论的选项是（）A.①②④B.①②③C.①③④D.①②③④【答案】B 【解析】【分析】证明BAD CAE ≌，即可判断①，根据①可得ADB AEC ∠=∠，由180ADC AEC ∠+∠=︒可得,,,A D C E 四点共圆，进而可得DAC DEC ∠=∠，即可判断②，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，证明FAH FCE ∽，根据相似三角形的性质可得45CF AF =，即可判断③，将APC △绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP ' 是等边三角形，根据当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，可得四边形ADCE 是正方形，勾股定理求得DP ，根据CE AD AP PD ==+即可判断④．【详解】解： ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,,AB AC AD AE BAD CAE ∴==∠=∠BAD CAE∴△≌△BD CE∴=故①正确；BAD CAE≌ADB AEC∴∠=∠180ADC AEC ∴∠+∠=︒,,,A D C E ∴四点共圆，CD CD = DAC DEC∴∠=∠故②正确；如图，过点A 作AG BC ⊥于G ,交ED 的延长线于点H ，BAD CAE ≌,45,45ACE ABD ACB ∴∠=∠=︒∠=︒90DCE ∴∠=︒FC AH∴∥2BD CD =，BD CE=1tan 2DC DEC CE ∴∠==,13CD BC =设6BC a =，则2DC a =，132AG BC a ==，24EC DC a ==则32GD GC DC a a a=-=-=FC AH ∥ 1tan 2GD H GH ∴==22GH GD a∴==325AH AG GH a a a∴=+=+=AH ∥CE ，FAH FCE ∴ ∽CF CEAF AH ∴=4455CF a AF a ∴==则45CF AF =；故③正确如图，将ABP 绕A 点逆时针旋转60度，得到AB P ''△，则APP ' 是等边三角形，PA PB PC PP P B PC B C '''+++∴'+=≥，当,,,B P P C ''共线时，PA PB PC ++取得最小值，此时180********CPA APP '∠=-∠=︒-=︒︒︒，180********APB AP B AP P ∠=∠=︒-∠=︒-︒='''︒，360360*********BPC BPA APC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，此时120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，AC AB AB '== ，AP AP '=，APC AP B ''∠=∠，AP B APC ''∴ ≌，PC P B PB ''∴==，60APP DPC '∠=∠=︒ ，DP ∴平分BPC ∠，PD BC ∴⊥，,,,A D C E 四点共圆，90AEC ADC ∴∠=∠=︒，又AD DC BD ==,BAD CAE ≌，AE EC AD DC ∴===，则四边形ADCE 是菱形，又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是正方形，9060150B AC B AP PAC P AP ''''∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒ ，则'B A BA AC ==，()1180152B ACB B AC '''∠=∠=︒-∠=︒，30PCD ∠=︒ ，DC ∴=，DC AD = ，2AP =，则)12AP AD DP DP =-==，1DP ∴==，2AP = ，3CE AD AP PD ∴==+=，故④不正确，故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，费马点，圆内接四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．13.分解因式：34x x -=______．【答案】x （x +2）（x ﹣2）．【详解】解：34x x -=2(4)x x -=x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．14.不等式组325,212x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集为______．【答案】41x -<≤-【解析】【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”确定出不等式组的公共解集即可．【详解】解：325212x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②，解①得：x ≤–1，解②得：x >-4，∴-4<x ≤-1．故答案为：-4<x ≤-1．【点睛】本题考查解不等式组，掌握确定不等式组解集原则“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”是解题的关键．15.如图，ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12∠=∠．若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =______．【答案】85【分析】易证△AEF ∽△ABC ，得EF AF BC AC =即EF AF BC AF CF=+即可求解．【详解】解：∵∠1=∠2，∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF AF BC AC =，即EF AF BC AF CF=+∵4BC =，2AF =，3CF =，∴2423EF =+，∴EF =85，故答案为：85．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．16.《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a 、b 、c 求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S =．现有周长为18的三角形的三边满足::4:3:2a b c =，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据周长为18的三角形的三边满足::4:3:2a b c =，求得8,6,4a b c ===，代入公式即可求解．【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足::4:3:2a b c =，设4,3,2a k b k c k ===∴43218k k k ++=解得2k =∴8,6,4a b c ===∴S =====故答案为：【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．17.我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为______．【答案】289【解析】【分析】设直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，由切线长定理可得，直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-，即6a b c +-=，根据小正方的面积为49，可得()249a b -=，进而计算2c 即22a b +即可求解．【详解】解：设四个全等的直角三角形的三边分别为,,a b c ，较长的直角边为,a 较短的直角边为,b c 为斜边，直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，∴()23492a b c a b +-=-=，，∴6a b c +-=①，7a b -=②，131,22c c a b +-∴==，222a b c += ③，22213122c c c +-⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得=17c 或5c =-（舍去），大正方形的面积为2217289c ==，故答案为：289．【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，解一元二次方程，二元一次方程组，掌握直角三角形的内切圆的半径等于2a b c +-是解题的关键．18.如图，△OMN 是边长为10的等边三角形，反比例函数y =k x (x >0)的图象与边MN 、OM 分别交于点A 、B （点B 不与点M 重合）．若AB ⊥OM 于点B ，则k 的值为______．【答案】【解析】【分析】过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，设OC =x ，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得点B (x ，x )，点A (15-2x ，2)，再利用反比例函数的性质列方程，解方程即可求解．【详解】解：过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图：∵△OMN 是边长为10的等边三角形，∴OM =MN =ON =10，∠MON =∠MNO =∠M =60°，∴∠OBC =∠MAB =∠NAD =30°，设OC =x ，则OB =2x ，BC x ，MB =10-2x ，MA =2MB =20-4x ，∴NA =10-MA =4x -10，DN =12NA =2x -5，AD (2x -5)=x -5∴OD =ON -DN =15-2x ，∴点B (x )，点A (15-2x )，∵反比例函数y =k x(x >0)的图象与边MN 、OM 分别交于点A 、B ，∴x x =(15-2x )(2)，解得x =5(舍去)或x =3，∴点B (3，)，∴k =．．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题：本大题共7个小题，共78分．19.计算：4sin 302-︒+；（2）21111a a a ⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭．【答案】（2）1a -【解析】【分析】（1）先化简二次根式，把特殊角三角函数值代入，并求绝对值，再计算乘法，最后合并同类二次根式即可；（2）先计算括号，再运用除法法则转化成乘法计算即可求解．【小问1详解】解：原式1422=-⨯+=【小问2详解】解：原式211111a a a a a+-⎛⎫=-⋅ ⎪++⎝⎭()()111a a a a a+-=⋅+1a =-．【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握实数混合运算与分式混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值．20.已知：如图，点A 、D 、C 、F 在同一直线上，AB DE ∥，B E ∠=∠，BC EF =．求证：AD CF =．【答案】见解析【解析】【分析】根据AB DE ∥，可得A EDF ∠=∠，根据AAS 证明ABC DEF △≌△，进而可得AC DF =，根据线段的和差关系即可求解．【详解】证明：∵AB DE ∥，∴A EDF ∠=∠，在ABC 与DEF 中，A EDFB E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC DEF ≌△△，∴AC DF =，∴AC DC DF DC -=-，∴AD CF =．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．21.在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A ：文学类；B ：科幻类；C ：军事类；D ：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题：（1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求m 的值；（3）如果选择C 类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C 类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率．【答案】（1）40人，见解析（2）40（3）23【解析】【分析】（1）根据A 类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得C 类的人数，补全统计图；（2）根据B 的人数与总人数即可求解．（3）用画树状图或列表的方法求概率即可求解．【小问1详解】九（1）班人数：1230%40÷=（人），∴C 类的人数()40121684=-++=（人），∴补全的条形统计图为：【小问2详解】16%100%40%40m =⨯=，∴40m =，【小问3详解】（方法一）画树状图：共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，∴()82123P ==一男一女．（方法二）列表：∴()82123P ==一男一女．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图或列表的方法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．．22.宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A 处（如图2）测得楼顶D 的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB 前行25米到达平台B 处，测得楼顶D 的仰角为60°，求东楼的高度DE ．（结果精确到1米．参考数1.7≈ 1.4≈）【答案】40m【解析】【分析】根据7:24i =，25AB =，设7BF a =，则24AF a =，根据勾股定理求得1a =，又设BE x =，则FC BE x ==，7CE BF ==，求出DE ，根据AC DC =列出方程，解方程进而根据DE =即可求解．【详解】解：在Rt ABF 中，7:24i =，25AB =，设7BF a =，则24AF a =，由222AF BF AB +=，得()()22224725a a +=，解得：1a =，∴7BF =，24AF =又设BE x =，则FC BE x ==，7CE BF ==在Rt BDE 中，60DBE ∠=︒，则DE ==，∴7DC DE EC =+=+，在Rt ACD △中，45DAC ∠=︒，则AC DC =，∴24AF FC x +=+，∴247x +=+，解得：(1712x =+，∴173402DE ==⨯≈．∴东楼的高度约为40m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．23.如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴交于点()40A ，，与y 轴交于点B ，与反比例函数()0k y x x =>的图象交于点C 、D ．若tan 2BAO ∠=，3BC AC =．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求OCD 的面积．【答案】（1）28y x =-+，6y x=（2）8【解析】【分析】（1）根据tan 2BAO ∠=，可得出B 点的坐标，运用待定系数法即可求出AB 的解析式；再通过比例关系解出点C 的坐标，可得反比例函数表达式；（2）过D 作DF y ⊥轴，垂足为点F ，联列方程组解出点D 的坐标，再根据OCD AOB ODB OAC S S S S =--△△△△即可求出OCD 的面积．【小问1详解】在Rt AOB 中，∵tan 2BAO ∠=，∴2BO OA =，∵()40A ，，∴()08B ，，∵A 、B 两点在函数y ax b =+上，将()40A ，、()08B ，代入y ax b =+得408a b b +=⎧⎨=⎩解得2a =-，8b =，∴28y x =-+设()11C x y ，，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，则CEBO ，∴AC CE AB BO =，又∵3BC AC =，∴14AC CE AB BO ==，即184CE =，2CE =，即12y =，∴1282x -+=，∴13x =，∴()32C ，∴11326k x y ==⨯=，∴6y x=；【小问2详解】解方程组286y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，得1116x y =⎧⎨=⎩，2232x y =⎧⎨=⎩∴()32C ，，()16D ，过D 作DF y ⊥轴，垂足为点F∵OCD AOB ODB OACS S S S =--△△△△∴111222OCD S OA OB BO DF OA CE =⋅-⋅-⋅△()14881422=⨯-⨯-⨯8=．【点睛】本题考查反比例函数的性质，涉及反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数中的面积问题，熟练运用反比例函数的性质，以及灵活运用面积计算的方法是解题的关键．24.如图，点C 是以AB 为直径的O 上一点，点D 是AB 的延长线上一点，在OA 上取一点F ，过点F 作AB 的垂线交AC 于点G ，交DC 的延长线于点E ，且EG EC =．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若点F 是OA 的中点，4BD =，1sin 3D ∠=，求EC 的长．【答案】（1）见解析（2）524【解析】【分析】（1）连结OC ，利用等腰三角形的性质和圆周角定理证90OCE ∠=︒，即可由切线的判定定理得出结论；（2）解Rt OCD △，求出2CO =，从而求得6OD =，则可求得CD =，再证OCD EFD ∽△△，得OD CD ED FD =，即可求得2124ED =，即可由EC ED CD =-求解．【小问1详解】证明：如图，连结OC ，∵OA OC =，∴1A ∠=∠，又∵EG EC =，∴32∠=∠，又∵34∠=∠，∴42∠=∠，又∵EF AB ⊥，∴490A ∠+∠=︒，∴1290∠+∠=︒，即90OCE ∠=︒，∴OC DE ⊥，∴DE 是O 的切线；【小问2详解】解：在Rt OCD △中，4BD =，1sin 3CO D OD ∠==，∴143CO CO CO OD OB BD OB ===++，∴2CO =，∴6OD =，∴CD ===又∵点F 为AO 中点，∴112122FO AO ==⨯=，∴7FD FO OD =+=，∵D D ∠=∠，90OCD EFD ∠=∠=︒∴OCD EFD ∽△△，∴OD CD ED FD =，即6427ED =，∴2124ED =，∴44EC ED CD =-=-=．【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．25.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，其顶点为点D ，连结AC ．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E ，点F 为抛物线上一动点，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点F 的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D 向下平移5个单位得到点M ，点P 为抛物线的对称轴上一动点，求35PF PM +的最小值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++，顶点D 的坐标为()1,4（2）()2,5F --或()4,5F -（3）245【解析】【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；（2）先用待定系数法求直线AC 解析式为3y x =-+，再过点F 作FG DE ⊥于点G ，证OAC GFE ≌△△，得3OA GF ==，设F 点的坐标为()2,23m m m -++，则G 点的坐标为()21,23m m -++，所以13FG m =-=，即可求出2m =-或4m =，从而求得点F 坐标；（3），是平移得得点M 的坐标为()1,1-，则（2）知点()14,5F -与点()22,5F --关于对称轴1x =对称，连结12F F ，对称轴于点H ，连结1F M 、2F M ，过点2F 作21F N F M ⊥于点N ，交对称轴于点P ，则4MH =，13HF =，15MF =．在1Rt MHF 中，1113sin 5F H HMF MF ∠==，则在Rt MPN 中，13sin 5PN HMF PM ∠==，所以35PN PM =，所以1235PF PM PF PN F N +=+=为最小值，根据1221164522MF F S F N =⨯⨯=⨯⋅△，所以2245F N =，即可求出35PF PM +．【小问1详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A ，()1,0B -，()0,3C ，∴9330303a b a b c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++=-(x -1)2+4，∴顶点D 的坐标为()1,4；【小问2详解】解：设直线AC 的解析式为：y kx b =+，把点()3,0A ，()0,3C 代入得：1k =-，3b =，∴直线AC 解析式为：3y x =-+，过点F 作FG DE ⊥于点G，∵以A 、C 、E 、F 四点为顶点的四边形是以AC 为边的平行四边形，∴AC EF ∥，AC =EF ，又∵OA FG ，∴OAC GFE∠=∠∴OAC GFE ≌△△，∴3OA GF ==，设F 点的坐标为()2,23m m m -++，则G 点的坐标为()21,23m m -++，∴13FG m =-=，∴2m =-或4m =，当2m =-时，2235m m -++=-，∴()12,5F --，当4m =时，2235m m -++=-∴()24,5F -，∴()2,5F --或()4,5F -；【小问3详解】解：由题意，得点M 的坐标为()1,1-，由题意知：点()14,5F -与点()22,5F --关于对称轴1x =对称，连结12F F ，对称轴于点H ，连结1F M 、2F M ，过点2F 作21F N F M ⊥于点N ，交对称轴于点P ，则4MH =，13HF =，15MF =．在1Rt MHF 中，1113sin 5F H HMF MF ∠==，则在Rt MPN 中，13sin 5PN HMF PM ∠==∴35PN PM =，又∵21PF PF =∴1235PF PM PF PN F N +=+=为最小值，又∵1221164522MF F S F N =⨯⨯=⨯⋅△，∴2245F N =，∴求得35PF PM的最小值为245．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键．。
2022年四川省内江市中考数学试题(含答案解析)
（1）求河的宽度；
（2）求古树A、B之间的距离．（结果保留根号）
21．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
3．考试结束后，监考人员将试卷和答题卡一并收回。
A卷（满分100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．﹣6的相反数是
A.﹣6B.﹣ C.6D.
2．某4S店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这
分数段
频数
频率
74.5﹣79.5
2
0.05
79.5﹣84.5
8
n
84.5﹣89.5
12
0.3
89.5﹣94.5
m
0.35
94.5﹣99.5
4
0.1
（1）表中m＝，n＝；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
内江市2022年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生考试
数学
本试卷分A卷（选择题）和B卷（非选择题）两大部分。A卷第1至8页，满分100分；B卷第9至10页，满分60分。全卷满分160分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前请仔细阅读答题卡上的注意事项。
2023年自贡市中考数学真题试卷附答案
2023年四川省自贡市中考数学真题试卷一、选择题（共12个小题,每小题4分,共48分,在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 如图,数轴上点A 表示的数是2023,OA OB =,则点B 表示的数是（ ）A. 2023B. 2023-C. 12023D. 12023-2. 自贡恐龙博物馆今年“五一”期间接待游客约110000人．人数110000用科学记数法表示为（） A. 41.110⨯ B. 41110⨯ C. 51.110⨯ D. 61.110⨯ 3. 如图中六棱柱的左视图是（ ）A. B. C. D.4. 如图,某人沿路线A B C D →→→行走,AB 与CD 方向相同,1128∠=︒,则2∠=（ ）A. 52︒B. 118︒C. 128︒D. 138︒ 5. 如图,边长为3的正方形OBCD 两边与坐标轴正半轴重合,点C 的坐标是（ ）A. (3,3)-B. ()3,3-C. ()3,3D. (3,3)--6. 下列交通标志图案中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ）A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是224,14S S ==甲乙,则乙的成绩更稳定B. 某奖券的中奖率为1100,买100张奖券,一定会中奖1次 C. 要了解神舟飞船零件质量情况,适合采用抽样调查D. 3x =是不等式()213x ->的解,这是一个必然事件8. 如图,ABC ∆内接于O ,CD 是O 的直径,连接BD ,41DCA ∠=︒,则ABC ∠的度数是（ ）A. 41︒B. 45︒C. 49︒D. 59︒9. 第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案,小华量得图中一边与对角线的夹角15ACB ∠=︒,算出这个正多边形的边数是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 1210. 如图1,小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球,再去报亭看报,最后散步回家．小亮离家距离y 与时间x 之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）A. 小亮从家到羽毛球馆用了7分钟B. 小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米C. 报亭到小亮家的距离是400米D. 小亮打羽毛球的时间是37分钟11. 经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x 为自变量）与x 轴有交点,则线段AB 长为（ ）A. 10B. 12C. 13D. 1512. 如图,分别经过原点O 和点()4,0A 的动直线a ,b 夹角30OBA ∠=︒,点M 是OB 中点,连接AM ,则sin OAM ∠的最大值是（ ）A. B. C. D. 56二、填空题（共6个小题,每小题4分,共24分）13. 计算.2274a a -=________．14. ________．15. 化简211x x -=+_______． 16. 端午节早上,小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽,3个鲜肉粽,她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶,请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是________．17. 如图,小珍同学用半径为8cm ,圆心角为100︒的扇形纸片,制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是________2cm ．18. 如图,直线123y x =-+与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点D 是线段AB 上一动点,点H 是直线423y x =-+上的一动点,动点()()030E m F m +，，，,连接BE DF HD ，，．当BE DF +取最小值时,35BH DH +的最小值是 ________．三、解答题（共8个题,共78分）19. 计算.02|3|1)2---．20. 如图,在平行四边形ABCD 中,点E ,F 分别在边AD 和BC 上,且BF DE =．求证.AF CE =．21. 某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行,租用同型号客车4辆,还剩30人没有座位;租用5辆,还空10个座位．求该客车的载客量．22. 某校为了解“世界读书日”主题活动开展情况,对本学期开学以来学生课外读书情况进行了随机抽样调查,所抽取的12名学生课外读书数量（单位.本）数据如下.2,4,5,4,3,5,3,4,1,3,2,4．（1）补全学生课外读书数量条形统计图;（2）请直接写出本次所抽取学生课外读书数量的众数,中位数和平均数;（3）该校有600名学生,请根据抽样调查的结果,估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数．23. 如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,M ,N 分别是斜边DE ,AB 的中点,2,4DE AB ==．（1）将CDE ∆绕顶点C 旋转一周,请直接写出点M ,N 距离的最大值和最小值;（2）将CDE ∆绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2）,求MN 的长．24. 如图,点()24A ，在反比例函数1m y x=图象上．一次函数2y kx b =+的图象经过点A ,分别交x 轴,y 轴于点B ,C ,且OAC ∆与OBC △的面积比为2:1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式;（2）请直接写出12y y ≥时,x 的取值范围．25. 为测量学校后山高度,数学兴趣小组活动过程如下.（1）测量坡角如图1,后山一侧有三段相对平直的山坡AB BC CD ，，,山的高度即为三段坡面的铅直高度BH CQ DR ，，之和,坡面的长度可以直接测量得到,要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2,同学们将两根直杆MN MP ，的一端放在坡面起始端A 处,直杆MP 沿坡面AB 方向放置,在直杆MN 另一端N 用细线系小重物G ,当直杆MN 与铅垂线NG 重合时,测得两杆夹角α的度数,由此可得山坡AB 坡角β的度数．请直接写出αβ，之间的数量关系．（2）测量山高同学们测得山坡AB BC CD ，，的坡长依次为40米,50米,40米,坡角依次为243045︒︒︒，，;为求BH ,小熠同学在作业本上画了一个含24︒角的Rt TKS △（如图3）,量得5cm 2cm KT TS ≈≈，．求山高DF ． 1.41≈,结果精确到1米） （3）测量改进由于测量工作量较大,同学们围绕如何优化测量进行了深入探究,有了以下新的测量方法．如图4,5,在学校操场上,将直杆NP 置于MN 的顶端,当MN 与铅垂线NG 重合时,转动直杆NP ,使点N ,P ,D 共线,测得MNP ∠的度数,从而得到山顶仰角1β,向后山方向前进40米,采用相同方式,测得山顶仰角2β;画一个含1β的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为1a 厘米,1b 厘米,再画一个含2β的直角三角形,量得该角对边和另一直角边分别为2a 厘米,2b 厘米．已知杆高MN 为1.6米,求山高DF ．（结果用不含12ββ，的字母表示）26. 如图,抛物线2443y x bx =-++与x 轴交于(3,0)A -,B 两点,与y 轴交于点C ．（1）求抛物线解析式及B ,C 两点坐标;（2）以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,求点D 坐标;（3）该抛物线对称轴上是否存在点E ,使得45ACE ∠=︒,若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由．2023年四川省自贡市中考数学真题试卷答案一、选择题.1. B2. C3. A4. C5. C6. B7. D8. C9. D10. D11. B12.A解.如图所示,以OA 为边向上作等边OAC ,过点C 作CE x ⊥轴于点E ,则4OC OA AC ===.则C 的横坐标为2,纵坐标为CE =sin 60OC ⨯︒=.∴(2,C .取点()8,0D ,则AM 是OBD 的中位线.∴CD ==∴30OBA ∠=︒.∴点B 在半径为4的C 上运动.∴AM 是OBD 的中位线.∴AM BD ∥.∴OAM ODB ∠=∠,当BD 与C 相切时,ODB ∠最大,则正弦值最大.在Rt BCD 中,BD ===过点B 作FB x ∥轴,过点C 作CF FG ⊥于点F ,过点D 作DG FG ⊥于点G , 则F G ∠=∠∴BD 与C 相切.∴BD CB ⊥.∴90FBC FCB FBC DBG ∠+∠=∠+∠=︒.∴FCB DBG ∠=∠.∴CFB BGD ∽.∴CF FB BC GB GD BD == 设CF a =,FB b =,则,BG DG =∴()(),F a G∴826,FG DG a =-==+∴28b a ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩ 解得.2b =+∴sin sin DG ODB GBD BD ∠=∠=== 故选.A ． 二、填空题.13. 23a14. 4（答案不唯一）15. 1x - 16.2517. 169π 解.由题意知,底面半径为2cm 的圆锥的底面周长为4cm π,扇形弧长为100840cm 1809ππ⨯=. ∴扇形中未组成圆锥底面的弧长m 40449c 9l πππ=-=. ∴圆锥上粘贴部分的面积为扇形中未组成圆锥的弧长部分所对应的扇形面积.∴圆锥上粘贴部分的面积为2114168229c 9m lr ππ=⨯⨯=. 故答案为.169π． 18. 392解.∴直线123y x =-+与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点. ∴()02B ，,()60A ， 作点B 关于x 轴的对称点()02B '-，,把点B '向右平移3个单位得到()32C -，. 作CD AB ⊥于点D ,交x 轴于点F ,过点B '作B E CD '∥交x 轴于点E ,则四边形EFCB '是平行四边形. 此时,BE B E CF '==.∴BE DF CF DF CD +=+=有最小值.作CP x ⊥轴于点P .则2CP =,3OP =.∴CFP AFD ∠=∠.∴FCP FAD ∠=∠.∴tan tan FCP FAD ∠=∠. ∴PF OB PC OA =,即226PF =. ∴23PF =,则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 设直线CD 的解析式为y kx b =+.则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得311k b =⎧⎨=-⎩. ∴直线CD 的解析式为311y x =-.联立,311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得3910710x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，; 过点D 作DG y ⊥轴于点G .直线423y x =-+与x 轴的交点为302Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则52BQ ==. ∴332sin 552OQ OBQ BQ ∠===. ∴3sin 5HG BH GBH BH =∠=. ∴()3355555BH DH BH DH HG DH DG ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭. 即35BH DH +的最小值是393955102DG =⨯=. 故答案为.392． 三、解答题.19. 2-20. 证明.∴四边形ABCD 是平行四边形. AD BC ∴∥,AD BC =. BF DE =.AD DE BC BF ∴-=-,即AE CF =.CF AE // .∴四边形AFCE 是平行四边形.AF CE ∴=．21. 该客车的载客量为40人22. （1）补全学生课外读书数量条形统计图见解析（2）4,72,103（3）450人补全学生课外读书数量条形统计图,如图.【小问2详解】∴本次所抽取学生课外读书数量的数据中出现次数最多的是4.∴众数是4．将本次所抽取的12名学生课外读书数量的数据,按照从小到大的顺序排列为. 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5．∴中间两位数据是3,4.∴中位数是.34722+=． 平均数为.112233445210123x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==． 【小问3详解】34296006004501212++⨯=⨯=. ∴该校有600名学生,估计本学期开学以来课外读书数量不少于3本的学生人数为450人． 23. （1）最大值为3,最小值为1（2【小问1详解】解.依题意,112CM DE ==,122CN AB ==. 当M 在NC 的延长线上时,,M N 的距离最大,最大值为123CM CN +=+=. 当M 在线段CN 上时,,M N 的距离最小,最小值为211CN CN -=-=;【小问2详解】解.如图所示,过点N 作NP MC ⊥,交MC 的延长线于点P .∴CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒.∴O BCE 120=∠.∴45BCN ECM ∠=∠=︒.∴120MCN BCM ECM BCE ∠=∠-∠=∠=︒. ∴60NCP ∠=︒.∴30CNP ∠=︒. ∴112CP CN ==.在Rt CNP 中,NP ==在Rt MNP △中,112MP MC CP =+=+=.∴MN ==24. （1）反比例函数解析式为18y x =,一次函数解析式为24433y x =+或244y x =-. （2）当一次函数解析式为24433y x =+时,x 的取值范围为3x ≤-或02x <≤;当一次函数解析式为244y x =-时,x 的取值范围为1x ≤-或02x <≤.【小问1详解】解.将()24A ，代入1m y x =得,42m =,解得8m =. ∴反比例函数解析式为18y x =; 当0x =,2y b =,则()0C b ，,OC b =.当20y =,b x k=-,则0b B k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,b OB k =. ∴OAC 与OBC △的面积比为2:1. ∴2212A OC x OC OB ⨯=⨯,整理得2A x OB =,即22b k =,解得b k =或b k =-. 当b k =时,将()24A ，代入2y kx b =+得,42k k =+,解得43k =,则24433y x =+; 当b k =-时,将()24A ，代入2y kx b =+得,42k k =-,解得4k =,则244y x =-; 综上,一次函数解析式为24433y x =+或244y x =-; ∴反比例函数解析式为18y x =,一次函数解析式为24433y x =+或244y x =-; 【小问2详解】解.由题意知,由一次函数解析式不同分两种情况求解. ∴当一次函数解析式为24433y x =+时,如图1.联立1284433y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得383x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或24x y =⎧⎨=⎩. 由函数图象可知,12y y ≥时,x 的取值范围为3x ≤-或02x <≤; ∴当一次函数解析式为244y x =-时,如图2.联立12844y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,解得18x y =-⎧⎨=-⎩或24x y =⎧⎨=⎩. 由函数图象可知,12y y ≥时,x 的取值范围为1x ≤-或02x <≤; 综上,当一次函数解析式为24433y x =+时,x 的取值范围为3x ≤-或02x <≤;当一次函数解析式为244y x =-时,x 的取值范围为1x ≤-或02x <≤． 25. （1）90αβ+=︒;（2）山高DF 为69米;（3）山高DF 的高为12211240 1.6a a a b a b ⎛⎫+⎪-⎝⎭米． 【小问1详解】解.由题意得90∠=︒NMO .∴90αβ+=︒;【小问2详解】解.在Rt TKS △中,5cm 2cm KT TS ≈≈，．∴2sin 240.45TS KT ︒=≈=. 在Rt ABH △中,24ABH ∠=︒,40AB =米.∴sin 24400.416BH AB =⋅︒=⨯=(米).在Rt BCQ △中,30CBQ ∠=︒,50BC =米 ∴1sin 3050252CQ BC =⋅︒=⨯=(米). 在Rt CDR △中,45DCR ∠=︒,40CD =米.∴sin 4540282DR CD =⋅︒=⨯≈(米). ∴山高16252869DF =++=(米).答.山高DF 为69米;【小问3详解】解.如图,由题意得111tan a b α=,222tan a b α=.设山高DF x =,则DL x =.在Rt NDL △中,1DNL β∠=,DL x =. ∴111tan a DL NL b β==. ∴11b NL x a =. 在Rt N DL '△中,2DN L β'∠=,DL x =. ∴222tan a DL N L b β=='. ∴22b N L x a '=. ∴40NN MM ''==.∴40NL N L '-=,即121240b b x x a a -=. 解得12211240a a x a b a b =-,山高12211240 1.6a a a b a b DF +-= 答.山高DF 的高为12211240 1.6a a a b a b ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭米． 26.（1）抛物线解析式为248433y x x =--+,()10B ,,()0,4C （2）()2,4D --或()4,4D -或()44D ,（3）271,7E ⎛⎫- ⎪⎝⎭【小问1详解】解.∴抛物线2443y x bx =-++与x 轴交于(3,0)A -.∴()2433403b -⨯--+= 解得.83b =-.∴抛物线解析式为248433y x x =--+. 当0x =时,4y =.∴()0,4C .当0y =时,2480433x x =--+ 解得.123,1x x =-=.∴()10B , 【小问2详解】∴()3,0A -,()10B ,,()0,4C .设(),D m n . ∴以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形当AB 为对角线时,031400,2222m n +-+++== 解得.2,4m n =-=-.∴()2,4D --;当AC 为对角线时,301400,2222m n -++++== 解得.4,4m n =-=∴()4,4D -当BC 为对角线时,301040,2222m n -++++== 解得.4,4m n == ∴()44D ,综上所述,以A ,B ,C ,D 为顶点的四边形是平行四边形,()2,4D --或()4,4D -或()44D ,【小问3详解】解.如图所示,作AG CE ⊥交于点G ,F 为AC 的中点,连接,GO GF .∴45ACE ∠=︒∴AGC 是等腰直角三角形. ∴,,,A O C G 在F 上. ∴()3,0A -,()0,4C.∴3,22F ⎛⎫- ⎪⎝⎭,5AC ==,1522GF AC == ∴45AOG ACG ∠=∠=︒. ∴G 在y x =-上.设(),G t t -,则()222235222GF t t ⎛⎫⎛⎫=++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得.12702t t =-=，（舍去） ∴点7722G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设直线CG 的解析式为4y kx =+ ∴77422k =-+ 解得.17k =. ∴直线CG 的解析式147y x =+ ∴()3,0A -,()10B ,. ∴抛物线对称轴为直线3112x -+==-. 当=1x -时,()12714=77⨯-+.∴271,7E ⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
2020年四川省自贡市中考数学试卷及答案 (解析版)
2020年四川省自贡市中考数学试卷一．选择题（共12个小题）.1．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°2．（4分）5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（）A．70×104B．0.7×107C．7×105D．7×1063．（4分）如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．4．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（）A．B．﹣C．1D．﹣15．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（5，1）C．（2，4）D．（2，﹣2）6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（4分）对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（）A．中位数是5B．众数是7C．平均数是4D．方差是38．（4分）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°10．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．11．（4分）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40B．﹣＝40C．﹣＝40D．﹣＝4012．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2B．C．D．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝．14．（4分）与﹣2最接近的自然数是．15．（4分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．16．（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为米（结果保留根号）．17．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．18．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝，前25个等边三角形的周长之和为．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．22．（8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．（1）本次调查的学生人数是人，m＝；（2）请补全条形统计图；（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是．23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？24．（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝PC ＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．（1）证明：＝；（2）若tan∠ABC＝2，证明：P A是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．2020年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）如图，直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°解：如图所示：∵a∥b，∴∠3＝∠1＝50°，∴∠2＝∠3＝50°；故选：B．2．（4分）5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为（）A．70×104B．0.7×107C．7×105D．7×106解：700000用科学记数法表示为7×105，故选：C．3．（4分）如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．故选：B．4．（4分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，则a的值为（）A．B．﹣C．1D．﹣1解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴，∴a＝．故选：A．5．（4分）在平面直角坐标系中，将点（2，1）向下平移3个单位长度，所得点的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（5，1）C．（2，4）D．（2，﹣2）解：将点P（2，1）向下平移3个单位长度所得点的坐标为（2，1﹣3）即（2，﹣2）；故选：D．6．（4分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．7．（4分）对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是（）A．中位数是5B．众数是7C．平均数是4D．方差是3解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；C、平均数是：（3+7+5+3+2）÷5＝4，故本选项正确；D、方差是：[2×（3﹣4）2+（7﹣4）2+（5﹣4）2+（2﹣4）2]＝3.2，故本选项错误；故选：C．8．（4分）如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是（）A．50°B．70°C．130°D．160°解：设这个角是x°，根据题意，得x＝2（180﹣x）+30，解得：x＝130．即这个角的度数为130°．故选：C．9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠ACD＝90°﹣70°＝20°，故选：D．10．（4分）函数y＝与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为（）A．B．C．D．解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，根据二次函数的图象确知a＜0，b＜0，∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，故选：D．11．（4分）某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．﹣＝40B．﹣＝40C．﹣＝40D．﹣＝40解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，依题意，得：﹣＝40，即﹣＝40．故选：A．12．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2B．C．D．解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QF A≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE＝，故选：B．二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）13．（4分）分解因式：3a2﹣6ab+3b2＝3（a﹣b）2．解：3a2﹣6ab+3b2＝3（a2﹣2ab+b2）＝3（a﹣b）2．故答案为：3（a﹣b）2．14．（4分）与﹣2最接近的自然数是2．解：∵3.5＜＜4，∴1.5＜﹣2＜2，∴与﹣2最接近的自然数是2．故答案为：2．15．（4分）某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序（只填番号）：②④①③．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．解：②收集最受学生欢迎菜品的数据；④整理所收集的数据；①绘制扇形图；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；故答案为：②④①③．16．（4分）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6米（结果保留根号）．解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F．∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴DE＝CF，在Rt△CFB中，CF＝BC•sin45°＝3（米），∴DE＝CF＝3（米），在Rt△ADE中，∵∠A＝30°，∠AED＝90°，∴AD＝2DE＝6（米），故答案为6．17．（4分）如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．解：连接OG，∵将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，∴AD＝DF＝4，BF＝CF＝2，∵矩形ABCD中，∠DCF＝90°，∴∠FDC＝30°，∴∠DFC＝60°，∵⊙O与CD相切于点G，∴OG⊥CD，∵BC⊥CD，∴OG∥BC，∴△DOG∽△DFC，∴，设OG＝OF＝x，则，解得：x＝，即⊙O的半径是．连接OQ，作OH⊥FQ，∵∠DFC＝60°，OF＝OQ，∴△OFQ为等边△；同理△OGQ为等边△；∴∠GOQ＝∠FOQ＝60°，OH＝OQ＝，S扇形OGQ＝S扇形OQF，∴S阴影＝（S矩形OGCH﹣S扇形OGQ﹣S△OQH）+（S扇形OQF﹣S△OFQ）＝S矩形OGCH﹣S△OFQ＝×﹣（××）＝．故答案为：．18．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与y轴交于点A，与双曲线y＝在第三象限交于B、C两点，且AB•AC＝16．下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4，前25个等边三角形的周长之和为60．解：设直线y＝﹣x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y＝﹣x+b，∴当y＝0时，x＝b，即点D的坐标为（b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝b，OD＝b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO＝＝，∴∠ADO＝60°．∵直线y＝﹣x+b与双曲线y＝在第一象限交于点B、C两点，∴﹣x+b＝，整理得，﹣x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2＝k，即EB•FC＝k，∵＝cos60°＝，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC＝k＝16，解得：k＝4．由题意可以假设D1（m，m），∴m2•＝4，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，n），∵（4+n）•n＝4，解得n＝2﹣2，∴E1E2＝4﹣4，即第二个三角形的周长为12﹣12，设D3（4+a，a），由题意（4+a）•a＝4，解得a＝2﹣2，即第三个三角形的周长为12﹣12，…，∴第四个三角形的周长为6﹣6，∴前25个等边三角形的周长之和12+12﹣12+12﹣12+12﹣12+…+12﹣12＝12＝60，故答案为4，60．三、解答题（共8个题，共78分）19．（8分）计算：|﹣2|﹣（+π）0+（﹣）﹣1．解：原式＝2﹣1+（﹣6）＝1+（﹣6）＝﹣5．20．（8分）先化简，再求值：•（+1），其中x是不等式组的整数解．解：•（+1）＝＝＝，由不等式组，得﹣1≤x＜1，∵x是不等式组的整数解，∴x＝﹣1，0，∵当x＝﹣1时，原分式无意义，∴x＝0，当x＝0时，原式＝＝﹣．21．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．解：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（SAS），∴AE＝BF．22．（8分）某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．（1）本次调查的学生人数是60人，m＝30；（2）请补全条形统计图；（3）学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是．解：（1）12÷20%＝60（人），×100%＝30%，则m＝30；故答案为：60，30；（2）C组的人数为60﹣18﹣12﹣9＝21（人），补全条形统计图如图：（3）如果小张同学随机选择连续两天，画树状图如图：共有20个等可能的结果，其中连续两天，有一天是星期一的结果有2个，∴其中有一天是星期一的概率为＝；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，画树状图如图：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期三的结果有6个，∴其中有一天是星期三的概率为＝；故答案为：，．23．（10分）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．（1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；（2）新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？解：（1）由题意可得，y甲＝0.9x，当0≤x≤100时，y乙＝x，当x＞100时，y乙＝100+（x﹣100）×0.8＝0.8x+20，由上可得，y乙＝；（2）当0.9x＜0.8x+20时，得x＜200，即此时选择甲商场购物更省钱；当0.9x＝0.8x+20时，得x＝200，即此时两家商场购物一样；当0.9x＞0.8x+200时，得x＞200，即此时选择乙商场购物更省钱．24．（10分）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x﹣2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．解：（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是6；故答案为：6；②如图所示，满足|x+3|+|x﹣1|＞4的x范围为x＜﹣3或x＞1；③当a为1或5时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．25．（12分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且P A＝PC ＝AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．（1）证明：＝；（2）若tan∠ABC＝2，证明：P A是⊙O的切线；（3）在（2）条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC＝2，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵PC＝P A，OC＝OA，∴OP垂直平分线段AC，∴＝．（2）证明：设BC＝a，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠ABC＝＝2，∴AC＝2a，AB＝＝＝3a，∴OC＝OA＝OB＝，CD＝AD＝a，∵P A＝PC＝AB，∴P A＝PC＝3a，∵∠PDC＝90°，∴PD＝＝＝4a，∵DC＝DA，AO＝OB，∴OD＝BC＝a，∴AD2＝PD•OD，∴＝，∵∠ADP＝∠ADO＝90°，∴△ADP∽△ODA，∴∠P AD＝∠DOA，∵∠DOA+∠DAO＝90°，∴∠P AD+∠DAO＝90°，∴∠P AO＝90°，∴OA⊥P A，∴P A是⊙O的切线．（3）解：如图，过点E作EJ⊥PF于J，BK⊥PF于K．∵BC＝2，由（1）可知，P A＝6，AB＝6，∵∠P AB＝90°，∴PB＝＝＝6，∵P A2＝PE•PB，∴PE＝＝4，∵∠CDK＝∠BKD＝∠BCD＝90°，∴四边形CDKB是矩形，∴CD＝BK＝2，BC＝DK＝2，∵PD＝8，∴PK＝10，∵EJ∥BK，∴＝＝，∴＝＝，∴EJ＝，PJ＝，∴DJ＝PD﹣PJ＝8﹣＝，∴DE＝＝＝．26．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E 作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），则tan∠MAC＝＝2，则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，故直线AM的表达式为：y＝2x+6，∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝，设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），则FE＝ED cos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，则BD＝＝；②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，则直线OK的表达式为：y＝x，∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b，将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，则直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，故点Q（0，2﹣），由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则cosα＝，则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝．。
中考数学压轴题100题精选(91-100题)2013
中考数学压轴题100题精选（91-100题）（答案在本人文辑中寻找）【091】已知二次函数y＝x2－x＋c．(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当22≤OP≤2＋2时，试判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋38的交点个数，并说明理由．【092】已知：直角梯形OABC的四个顶点是O(0，0)，A(32，1)，B(s，t)，C(72，0)，抛物线y=x2＋mx－m的顶点P是直角梯形OABC内部或边上的一个动点，m为常数．(1)求s与t的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC；(2)当抛物线y=x2＋mx－m与直角梯形OABC的边AB相交时，求m的取值范围．（第24题）【093】已知在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为()3A 0，、()04C ，，点D 的坐标为()D 5-0，，点P 是直线AC 上的一动点，直线DP 与y 轴交于点M ．问： （1）当点P 运动到何位置时，直线DP 平分矩形OABC 的面积，请简要说明理由，并求出此时直线DP 的函数解析式；（2）当点P 沿直线AC 移动时，是否存在使DOM △与ABC △相似的点M ，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P 沿直线AC 移动时，以点P 为圆心、半径长为R （R ＞0）画圆，所得到的圆称为动圆P ．若设动圆P 的直径长为AC ，过点D 作动圆P 的两条切线，切点分别为点E 、F ．请探求是否存在四边形DEPF 的最小面积S ，若存在，请求出S 的值；若不存在，请说明理由． 注：第（3）问请用备用图解答．【094】在平面直角坐标系中，已知(40)A -，，(10)B ，，且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点(02)C ，，过点C 作圆的切线交x 轴于点D ．（1）求过A B C ，，三点的抛物线的解析式（2）求点D 的坐标（3）设平行于x 轴的直线交抛物线于E F ，两点，问：是否存在以线段EF 为直径的圆，恰好与x备用图【095】）如图1，已知：抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于点C ，经过B C 、两点的直线是122y x =-，连结AC ． （1）B C 、两点坐标分别为B （_____，_____）、C （_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；（2）判断ABC △的形状，并说明理由；（3）若ABC △内部能否截出面积最大的矩形DEFC （顶点D E F 、、、G 在ABC △各边上）？若能，求出在AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．[抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭]图1图2(备用)（第26题）【096】如图12，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为 (2,4)；矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度．．．．．从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图13所示）.① 当t=25时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；② 设以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【097】矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图13所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标；（2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．【098】如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 是x 轴上的一个动点，连结AB ，取AB 的中点M ，将线段MB 绕着点B 按顺时针方向旋转90o ，得到线段BC .过点B 作x 轴的垂线交直线AC 于点D .设点B 坐标是（t ，0）.（1）当t =4时，求直线AB 的解析式；（2）当t >0时，用含t 的代数式表示点C 的坐标及△ABC 的面积；（3）是否存在点B ,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.【099】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提．．．．．．．．．．．．．．．．出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包· yOA x备用图括研究的思想和方法）.请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：(1) 如图1，在圆O 所在平面上，放置一条．．直线m （m 和圆O 分别交于点A 、B ），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？(2) 如图2，在圆O 所在平面上，请你放置与圆O 都相交且不同时经过圆心．．．．．．．的两条．．直线m 和n （m 与圆O 分别交于点A 、B ，n 与圆O 分别交于点C 、D ）. 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之. (3) 如图3，其中AB 是圆O 的直径，AC 是弦，D 是的中点，弦DE ⊥AB 于点F . 请找出点C 和点E 重合的条件，并说明理由.【100】抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点为M ，与x 轴的交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M 、∠A 、∠B 所对的边分别为m 、a 、b 。
2022年四川乐山中考数学试卷真题及答案详解(精校打印版)
乐山市2022年初中学业水平考试数学第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10个小题1．下面四个数中，比0小的数是（）A．-2B．1C D．π2．以下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．点A(﹣1，2)所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．一个布袋中放着6个黑球和18个红球，除了颜色以外没有任何其他区别．则从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是（）A．14B．13C．23D．345．关于x的一元二次方程2320x x m-+=有两根，其中一根为1x=，则这两根之积为（）A．13B．23C．1D．13-6．李老师参加本校青年数学教师优质课比赛，笔试得90分、微型课得92分、教学反思得88分．按照图所显示的笔试、微型课、教学反思的权重，李老师的综合成绩为（）A ．88B ．90C ．91D ．927．如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ⊥AC ，垂足为F ．若AB =6，AC =8，DE =4，则BF 的长为（）A ．4B ．3C ．52D ．28．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程s （千米）与所用的时间t （分钟）之间的函数关系如图所示．根据图中信息，下列说法错误的是（）A ．前10分钟，甲比乙的速度慢B ．经过20分钟，甲、乙都走了1.6千米C ．甲的平均速度为0.08千米/分钟D ．经过30分钟，甲比乙走过的路程少9．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =点D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，则CD 的长为（）A ．B ．3CD ．210．如图，等腰△ABC 的面积为AB =AC ，BC =2．作AE ∥BC 且AE =12BC ．点P 是线段AB 上一动点，连接PE ，过点E 作PE 的垂线交BC 的延长线于点F ，M 是线段EF 的中点．那么，当点P 从A 点运动到B 点时，点M 的运动路径长为（）AB ．3C ．D ．4第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共6个小题11．计算：|﹣6|=_____．12．如图6，已知直线a ∥b ，∠BAC =90°，∠1=50°，则∠2=______．13．在菱形ABCD 中，对角线8cm,6cm AC BD ==，则菱形的面积为_______cm ．14．已知221062m n m n ++=-，则m n -=______．15．如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD 的周长为26，则正方形d 的边长为______．16．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 在x 轴上，点D 在y =kx(k >0)上，且AD ⊥x 轴，CA 的延长线交y 轴于点E ．若S △ABE =32，则k =______．三、解答题17．1sin 302-︒18．解不等式组()5131212x x x x ⎧+>-⎨-≤+⎩①②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．解：解不等式①，得______．解不等式②，得______．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．所以原不等式组解集为______．19．如图，B 是线段AC 的中点，,AD BE BD CE ∥∥，求证：ABD BCE ≌．20．先化简，再求值：211121x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 21．第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．22．为落实中央“双减”精神，某校拟开设四门校本课程供学生选择：A．文学鉴赏，B．越味数学，C．川行历史，D．航模科技．为了解该校八年级1000名学生对四门校本课程的选择意向，张老师做了以下工作：①抽取40名学生作为调查对象；②整理数据并绘制统计图；③收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：④结合统计图分析数据并得出结论．(1)请对张老师的工作步骤正确排序______．(2)以上步骤中抽取40名学生最合适的方式是______．A．随机抽取八年级三班的40名学生B．随机抽取八年级40名男生C．随机抽取八年级40名女生D．随机抽取八年级40名学生(3)如图是张老师绘制的40名学生所选课后服务类型的条形统计图，假设全年级每位学生都做出了选择，且只选择了一门课程．若学校规定每个班级不超过40人，请你根据图表信息，估计该校八年级至少应该开设几个趣味数学班．23．如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=kx(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称．(1)求反比例函数的解析式；(2)求图中阴影部分的面积．24．如图，线段AC 为⊙O 的直径，点D 、E 在⊙O 上， CD= DE ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．连结CE 交DF 于点G ．(1)求证：CG =DG ；(2)已知⊙O 的半径为6，3sin 5ACE ∠=，延长AC 至点B ，使4BC =．求证：BD 是⊙O 的切线．25．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒．∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠．∴CBE DFC ≌△△．∴CE DF =．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EGFH的值，并证明你的猜想．(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，AB m =，BC n =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EGFH=______．(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB BC =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．求CEBF的值．26．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．(1)求二次函数的解析式；(2)如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBC BCD S S △△，求点P 的坐标；(3)如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQOQ的最大值．1．A【分析】根据负数比0小即可求解．【详解】解：201π，-<<<<故选：A．【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握负数小于0是解题的关键．2．D【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可.【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，故B错误；C.不是轴对称图形，故C错误；D.是轴对称图形，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．3．B【分析】根据各象限内点的坐标特征解答．【详解】解：点A（﹣1，2）的横坐标小于0，纵坐标大于0，点（﹣1，2）所在的象限是第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．4．A 【分析】由于每个球被取出的机会是均等的，故用概率公式计算即可．【详解】解：根据题意，一个布袋中放着6个黑球和18个红球，根据概率计算公式，从布袋中任取1个球，取出黑球的概率是616184P ==+．故选：A ．【点睛】本题主要考查了概率公式的知识，解题关键是熟记概率公式．5．D 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．【详解】解： 关于x 的一元二次方程2320x x m -+=有两根，其中一根为1x =，设另一根为2x ，则223x x +=，213x ∴=-，213xx ∴=-，故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．6．C 【分析】根据统计图结合题意，根据加权平均数进行计算即可求解．【详解】解：9030%9260%8810%x =⨯+⨯+⨯91=故选C 【点睛】本题考查了加权平均数，正确的计算是解题的关键．7．B【分析】利用平行四边形ABCD的面积公式即可求解．【详解】解：∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S平行四边形ABCD =DE×AB=2×12×AC×BF，∴4×6=2×12×8×BF，∴BF=3，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形ABCD的面积公式求垂线段的长是解题的关键．8．D【分析】结合函数关系图逐项判断即可．【详解】A项，前10分钟，甲走了0.8千米，乙走了1.2千米，则甲比乙的速度慢，故A项正确，故不符合题意；B项，前20分钟，根据函数关系图可知，甲、乙都走了1.6千米，故B正确，故不符合题意；C项，甲40分钟走了3.2千米，则其平均速度为：3.2÷40=0.08千米/分钟，故C项正确，故不符合题意；D项，经过30分钟，甲走了2.4千米，乙走了2.0千米，则甲比乙多走了0.4千米，故D项错误，故符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图像及其在行程问题中的应用，理解函数关系图是解答本题的关键．9．C【分析】先根据锐角三角函数值求出AC =再由勾股定理求出5,AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，依据三角函数值可得11,,23DE AE DE BE ==从而得32BE AE =，再由5AE BE +=得AE =2，DE =1，由勾股定理得ADCD ．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，BC =，∴1tan 2BC A AC ∠==∴2AC BC ==由勾股定理得,5AB =过点D 作DE AB ⊥于点E ，如图，∵1tan 2A ∠=，1tan 3ABD ∠=，∴11,,23DE DE AE BE ==∴11,,23DE AE DE BE ==∴1123AE BE =∴32BE AE =∵5,AE BE +=∴352AE AE +=∴2,AE =∴1DE =,在R t A D E ∆中,222AD AE DE =+∴AD ==∵AD CD AC +==∴CD AC AD =-=故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE 的长是解答本题的关键．10．B【分析】当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．求出CF 的长即可解决问题．【详解】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接CE ，∵AB =AC ，∴BD =DC =12BC =1，∵AE =12BC ，∴AE =DC =1，∵AE ∥BC ，∴四边形AECD 是矩形，∴S △ABC =12BC ×AD =12×2×AD∴AD CE =AD 当P 与A 重合时，点F 与C 重合，此时点M 在CE 的中点N 处，当点P 与B 重合时，如图，点M 的运动轨迹是线段MN ．∵BC =2，CE由勾股定理得BE=4，cos∠EBC=BC BEBE BF=，即244BF=，∴BF=8，∴CF=BF-BC=6,∵点N是CE的中点，点M是EF的中点，∴MN=12CF=3，∴点M的运动路径长为3，故选：B．【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题．11．6【分析】根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数解题即可.【详解】﹣6＜0，则|﹣6|=﹣（﹣6）=6，故答案为6．【点睛】本题考查绝对值的定义．熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.12．40°##40度【分析】根据平行线的性质可以得到∠3的度数，进一步计算即可求得∠2的度数．【详解】解：∵a∥b，∴∠1=∠3=50°，∵∠BAC=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠2=90°-∠3=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．24【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，∴菱形ABCD 的面积=12AC ×BD =12×8×6=24（cm 2），故答案为：24．【点睛】本题考查菱形的性质以及菱形面积公式，熟练掌握菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．14．4【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得,m n 的值，进而代入代数式即可求解．【详解】解： 221062m n m n ++=-，2210620m n m n +-+∴+=，即()()22310m n -++=，3,1m n∴==-，()314m n∴-=--=，故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．15．5【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=13c，c=35d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，∵“优美矩形”ABCD的周长为26，∴4d+2c=26，∵a=2b，c=a+b，d=a+c，∴c=3b，则b=13 c，∴d=2b+c=53c，则c=35d，∴4d+65d=26，∴d=5，∴正方形d的边长为5，故答案为：5．【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．16．3【分析】连接OD、DE，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE=S△ABE=32，以及S△ADE=S△ADO=32，再利用反比例函数的比例系数k的几何意义求解即可．【详解】解：连接OD、DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴点B、点D到对角线AC的距离相等，∴S△ADE=S△ABE=3 2，∵AD⊥x轴，∴AD∥OE，∴S△ADE=S△ADO=3 2，设点D(x，y)，∴S△ADO=12OA×AD=12xy=32，∴k=xy=3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是反比例系数k的几何意义，涉及到平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特点等相关知识，利用同底等高的两个三角形面积相等得到S△ADE=S△ABE是解题的关键．17．3【分析】根据特殊角三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂求解即可．【详解】解：原式1133 22=+-=．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值、负整数指数幂、二次根式的性质等知识，熟知相关计算法则是解题的关键．18．2x >-；3x ≤；见详解；23x -<≤【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．【详解】解：解不等式①，得2x >-，解不等式②，得3x ≤，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：所以原不等式组解集为：23x -<≤．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．19．证明过程见详解【分析】运行平行线的性质可证∠A =∠EBC ，∠DBA =∠C ，结论即可得证．【详解】证明∵B 是AC 中点，∴AB =BC ，∵AD BE ∥，∴∠A =∠EBC ，∵BD EC ∥，∴∠DBA =∠C ，在△ABD 和△BCE 中，A EBC AB BC DBA C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABD ≌△BCE (ASA)．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．20．1x +1【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x 的值即可求解．【详解】21(1-)121x x x x ÷+++21121(-11x x x x x x+++=⨯++211(1)1x x x x+-+=⨯+1x =+，∵x =，∴原式=11x +=．【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．21．摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，依题意，得：2020101.560x x -=，解得：x =40，经检验，x =40是所列方程的根，且符合题意，答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22．(1)①③②④(2)D(3)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．【分析】（1）根据正确的工作步骤填空即可；（2）根据抽样调查的可靠性解答可得；（3）用八年级的总人数分别乘以选择趣味数学班的学生所占的百分比即可求解．【详解】（1）解：张老师的工作步骤，先抽取40名学生作为调查对象；收集40名学生对四门课程的选择意向的相关数据：整理数据并绘制统计图；最后结合统计图分析数据并得出结论．故答案为：①③②④；（2）解：取样方法中，合理的是：D．随机抽取八年级40名学生，故选：D；（3）解：1000名学生选择B．越味数学的人数有：1000×840=200（名），200÷40=5(个)估计该校八年级至少应该开设5个趣味数学班．【点睛】本题考查条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．23．(1)反比例函数的解析式为y=3 x ；(2)图中阴影部分的面积为7．【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC-S△OCD求解即可．【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3，∴点A的坐标为(-1，3)，∵反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A(-1，3)，∴k=-1×3=-3，∴反比例函数的解析式为y=3 x ；（2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称，∴设直线l′的解析式为y=-x+m，把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2，∴直线l′的解析式为y=-x+2，直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)，直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)，∴图中阴影部分的面积=S△ABC-S△OCD=12×6×3-12×2×2=9-2=7．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键．24．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接AD，得到∠ADF+∠FDC=90°，由DF⊥AC，得到∠ADF+∠DAF=90°，再由 CD= DE，可推出∠DCE=∠FDC，即可证明CG=DG；（2）要证明BD 是⊙O 的切线，只要证明OD ⊥BD ，只要证明BD ∥CE ，通过计算求得sin ∠B =35，即可证明结论．【详解】（1）证明：连接AD ，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC =90°，则∠ADF +∠FDC =90°，∵DF ⊥AC ，∴∠AFD =90°，则∠ADF +∠DAF =90°，∴∠FDC =∠DAF ，∵ CD= DE ，∴∠DCE =∠DAC ，∴∠DCE =∠FDC ，∴CG =DG ；（2）证明：连接OD ，设OD 与CE 相交于点H ，∵ CD= DE ，∴OD ⊥EC ，∵DF ⊥AC ，∴∠ODF =∠OCH =∠ACE ，∵3sin 5ACE ∠=，∴sin ∠ODF =sin ∠OCH =35，即OF OH OD OC ==35，∴OF =185，由勾股定理得DF =245，FC =OC -OF =125，∴FB =FC +BC =325，由勾股定理得DB =405=8，∴sin ∠B =2458DF BD ==35，∴∠B =∠ACE ，∴BD ∥CE ，∵OD ⊥EC ，∴OD ⊥BD ，∵OD 是半径，∴BD 是⊙O 的切线．【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的判定及圆中的相关计算是解题的关键．25．(1)1；证明见解析(2)n m2【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用正方形ABCD ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°求证△ABM ≌△ADN 即可．（2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，利用在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．（3）先证ABC ∆是等边三角形，设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，利用勾股定理求得CN 的长，然后证NCE ABF ∆∆∽，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．（1）1EG FH=，理由为：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN∴△ABM ≌△ADN∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ，∴1EG FH=；（2）解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ．∴△ABM ∽△ADN ，∴AM AB AN AD=，∵AB m =，BC AD n ==，AM ＝HF ，AN ＝EG ，∴HF m EG n=，∴EG n FH m=；故答案为：nm （3）解：∵60ABC ∠=︒，AB BC =，∴ABC ∆是等边三角形，∴设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，CN ===，∵CN AB ⊥，CE BF ⊥，∴90ABF BMN ∠+∠=︒，90ECN CMF ∠+∠=︒，又∵CMF BMN ∠=∠，∴ABF ECN ∠=∠，∵CN AB ⊥，90DAB ∠=︒，∴90DAB CNE ∠=∠=︒，∴NCE ABF ∆∆∽，∴CE CN BF AB =，即22a CE BF a ==．【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．26．(1)22y x x =--；(2)P （；(3)12【分析】（1）在Rt △AOC 中求出OC 的长，从而确定点C 的坐标，将二次函数设为交点式，将点C 的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P 在第三象限和第一象限两种情况：当点P 在第三象限时，设点P （a ，22a a --），可表示出△BCD 的面积，作PE ∥AB 交BC 于E ，先求出直线BC ，从而得到E 点坐标，从而表示出△PBC 的面积，根据S △PBC =S △BCD ，列出方程，进一步求得结果，当P 在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，根据P （t ，22t t --），M （t ，2t -），表示出PM 的长，根据PN ∥OC ，得出△PQM ∽△OQC ，从而得出PQ PM OQ OC=，从而得出PQ OQ 的函数表达式，进一步求得结果．【详解】（1）∵A （-1，0），∴OA =1，又∵∠AOC =90°，tan ∠OAC =2OC OA =，∴OC =2OA =2即点C 的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y =a （x +1）（x -2），将C 点坐标代入得：a =1，∴y =（x +1）（x -2）=22x x --；（2）设点P （a ，22a a --），如图所示，当点P 在第三象限时，作PE ∥AB 交BC 于E ，∵B （2，0），C （0，-2），∴直线BC 的解析式为：y =x -2，∴当22y a a =--时，x =y +2=2a a -，∴PE =2a a a --=22a a -，∴S △PBC =12PE ·OC ，∵抛物线的对称轴为y =12，CD ∥x 轴，C （0，-2），∴点D （1，-2），∴CD =1，∴S △BCD =12CD ·OC ，∴12PE ·OC =12CD ·OC ，∴a 2-2a =1，解得a 1，a 2当x 时，y =22a a --=a∴P （，），如图，当点P 在第一象限时，作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于F ，∴F （a ，a -2），∴PF =（22a a --）-（a -2）=22a a -，∴S △PBC =12PF ·OB =12CD ·OC ，∴22a a -=1，解得a 1a 2；当a y =22a a --∴P （），综上所述，P 点坐标为（）或（；（3）如图，作PN ⊥AB 于N ，交BC 于M ，由题意可知，P （t ，22t t --），M （t ，t -2），∴PM =（t -2）-（22t t --）=-22t t +，又∵PN ∥OC ，∴△PQM ∽△OQC ，∴2221(1)22PQ PM t t t OQ OC -+===--+12，∴当t =1时，(PQ OQ )最大=12．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．。