高考数学一轮复习第八章解析几何8.5.2椭圆的综合问题课件理
【解析】 由题意 b＝1，c＝1。 ∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2。 y2 ∴椭圆方程为 2 ＋x2＝1。 若直线 l 斜率不存在时，|CD|＝2 2，不合题意。 若直线 l 斜率存在时，设 l 方程 y＝kx＋1，
y＝kx＋1， 2 2 2 2 ( k 2) x 联立 得 ＋ ＋2kx－1＝0。 y ＋2x ＝2，
反思归纳 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题， 其常规思路是 先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系 建立方程(组)， 解决相关问题， 涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决， 往往会更简单。 2．设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝
第八章 解析几何
第五节 椭圆
第二课时 椭圆的综合问题
微考点 大课堂 微考场 新提升
微考点
大课堂
考点例析 对点微练
考点 直线与椭圆的相交弦长问题 一
【典例 1】 椭圆两顶点 A(－1,0)，B(1,0)，过焦点 F(0,1)的直线 l 与 3 椭圆交于 C，D 两点。当|CD|＝2 2时，求 l 的方程。
Δ＝8(k2＋1)>0 恒成立。 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)。 2k 1 2 ∴x1＋x2＝－k ＋2，x1x2＝－k ＋2。
2
∴|CD|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 2 2k2＋1 ＝ k2＋2 。 2 2k2＋1 3 2 即 k2＋2 ＝ 2 ， 解得 k2＝2。∴k＝± 2。 ∴直线 l 方程为 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0。 【答案】 2x－y＋1＝0 或 2x＋y－1＝0
(2)不妨设 l 交椭圆于 A，B，弦中点为 M(x，y)， x 由①式 kl＝kAB＝－2y。 y－2 x y－2 又∵kl＝kMN＝x－1，∴－2y＝x－1。 2－4 7 2＋4 7 4－ 7 4＋ 7 整理，得 x ＋2y －x－4y＝0 9 <x< 9 ，x2 【典例 2】 已知椭圆 2 ＋y2＝1。 (1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程； (2)过 N(1,2)的直线 l 与椭圆相交， 求被 l 截得的弦的中点的轨迹方程； 1 1 (3)求过点 P 2，2 且被 P 点平分的弦所在直线的方程。
【解析】 设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为 M(x0，y0)， x2 x2 1 2 2 则有 2 ＋y1＝1， 2 ＋y2 2＝1。 x2－x1x2＋x1 两式作差，得 ＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0。 2 y2－y1 ∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，x2－x1＝kAB， x0 代入后求得 kAB＝－2y0。① x (1)设弦中点为 M(x，y)，由①式，2＝－2y，∴x＋4y＝0。又点 M(x， y)在椭圆内部。 4 4 故所求的轨迹方程为 x＋4y＝0 －3<x<3 。
2
(2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2,0)，设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)，由 → → 三角形重心的性质知BF＝2FQ。又 B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)。 故得 x0＝3，y0＝－2，即得 Q 的坐标为(3，－2)。
x2 y2 1 1 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，且20＋16＝1， x2 y2 2 2 20＋16＝1。
以上两式相减，得 x1＋x2x1－x2 y1＋y2y1－y2 ＋ ＝0。 20 16 y1－y2 6 4 x1＋x2 4 6 ∴kMN＝x1－x2＝－5· y1＋y2＝－5× －4＝5。 6 故直线 MN 的方程为 y＋2＝5(x－3)， 即 6x－5y－28＝0。 【答案】 40 2 (1) 9 (2)6x－5y－28＝0
1 2 2 1＋k [ y y ＋ －4y1y2](k 为直线斜率)。 1 2
x2 y2 【变式训练】 已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的一个顶点为 B(0,4)，离 5 心率 e＝ 5 ，直线 l 交椭圆于 M，N 两点。 (1)若直线 l 的方程为 y＝x－4，求弦 MN 的长； (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般 式。
2 2
此即所求的轨迹方程。
x0 1 (3)由①式，弦所在的直线的斜率 k＝－2y0＝－2， 1 1 1 ∴其方程为 y－2＝－2x－2 ，即 2x＋4y－3＝0。 4 4 【答案】 (1)x＋4y＝0 －3<x<3 2－4 7 2＋4 7 4－ 7 4＋ 7 (2)x ＋2y －x－4y＝0 9 <x< 9 ， 9 <y< 9
2 2
(3)2x＋4y－3＝0
反思归纳
本类型题目常见问题有：①过定点被定点平分的弦所在
直线的方程；②平行弦中点轨迹；③过定点的弦的中点的轨迹。解决有 关弦及弦中点问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”。这两种方法 的前提都必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点。
1 1 y2 2 【变式训练】 (2016· 南昌二模)已知椭圆：9 ＋x ＝1， 过点 P2，2 的
c 5 c2 1 【解析】 (1)由已知得 b＝4，且a＝ 5 ，即a2＝5。 a2－b2 1 ∴ a2 ＝5，解得 a2＝20。 x2 y2 ∴椭圆方程为20＋16＝1。 则 4x2＋5y2＝80 与 y＝x－4 联立。 40 消去 y，得 9x －40x＝0，∴x1＝0，x2＝ 9 。
2
40 2 ∴所求弦长|MN|＝ 1＋1 |x2－x1|＝ 9 。
直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程 为( ) A．9x－y－4＝0 C．2x＋y－2＝0 B．9x＋y－5＝0 D．x＋y－5＝0
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高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆课件理北师大版
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
3．椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4，则 m＝_________． 解析：当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2)＝4，所以 m＝4．当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m)＝4，所以 m＝8．所以m＝4或8． 答案：4或8
题型一 椭圆的定义与标准方程 1．已知△ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦
点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( C )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
解析：由椭圆的方程得 a＝ 3．设椭圆的另一个焦点为 F，则由椭圆的定 义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC 的周长为|BA|＋|BC|＋|CA| ＝ |BA|＋ |BF|＋ |CF|＋ |CA|＝ (|BA|＋ |BF|)＋ (|CF|＋ |CA|)＝ 2a＋ 2a＝ 4a＝ 4 3．
第八章 平面解析几何 第五节 椭圆
命题义、标准方程、本节主要考查考生的
几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考的 数学运算、直观想象
命题热点，直线与椭圆的位置关系常与向量、圆、 核心素养及考生对数
三角形等知识综合考查，多以解答题的形式出现， 形结合思想、转化与
1．设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于
点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( D )
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 85 椭圆课件
率)．
相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线
2．了解椭圆的简单应用．
与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，
3．理解数形结合的思想.
转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指
导作用，对运算能力的培养.
考点多维探究
考点 1 椭圆的定义与标准方程
回扣教材 1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的_和____等于_常 __数 ___ (大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这 两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做_焦__距__．_ (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝__2_a___，且 2a__>____|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常 数． 注意：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2；当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为( )
A.x82＋y22＝1
B.1x22 ＋y62＝1
解析 ∵椭圆的离心率为 23，
C.1x62 ＋y42＝1
D.2x02 ＋y52＝1
∴ca＝ a2a－b2＝ 23，∴a＝2b.∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线 x2－y2＝1 的渐近线方程为 x±y＝0，
解析 由 x2＋my2＝1⇒y12＋x12＝1. m
m1 ＝2 1得 m＝14.
典例1
(1)[2013·广东高考]已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C 的方程
是( )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课件理
典例1 (2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系 xOy
中，椭圆 C 的中心为坐标原点，F1、F2 为它的两个焦点，
离心率为 22，过 F1 的直线 l ABF2 的周长为 16，那么椭圆
交椭圆 C 于 A，B 两点，且△ C 的方程为_1x_62＋__y8_2＝__1_或__x8_2＋__1y_62_＝_1．
即 有 △ F1PF2
的面积
S
＝
1 2
|PF1|·|PF2|sin
∠
F1PF2
＝
b2·1＋sincoθsθ＝b2tanθ2＝tan2θ.
第二十五页，共69页。
方法技巧 椭圆定义的应用技巧
1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内 动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角 形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．
第三十页，共69页。
典例2
(2017·江西模拟)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，F1，
F2 为椭圆的左、右焦点，且焦距为 2 3，O 为坐标原点，点
P 为椭圆上一点，|OP|＝ 42a，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比
数列，求椭圆的方程．
用待定系数法，根据已知列出方程组．
第三十一页，共69页。
为 2a＋2c(其中 a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦
距)．( √ )
(4)
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)
与
y2 a2
＋
x2 b2
＝
1(a>b>0)
的
焦
距
相
同．( √ )
第十二页，共69页。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 851 椭圆课件 理
(2)若 a＝c ，则 M 点的轨迹为线段 F1F2。 (3)若 a＜c ，则 M 点不存在。
2021/12/13
第六页，共四十六页。
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
图形
性 范围 质
对称性
－a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴： 坐标轴
答案 D
2021/12/13
第十四页，共四十六页。
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为
A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离 心率为( )
A．
6 3
B．
3 3
C．
2 3
D．13
解析 由题知以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝a2，圆心到直 线 bx－ay＋2ab＝0 的距离 d＝ b22a＋b a2＝a，得 a2＝3b2，C 的离心率 e＝
F2 是椭圆右焦点，则△ABF2 的周长为( )
A．8
B．4 2
C．4
D．2 2
解析 (1)因为x42＋y2＝1，所以 a＝2。由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝ 2a＝4，且|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，所以△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝ (|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝8。故选 A。
A．
2 2
B．
2－1 2
C．2－ 2
D． 2－1
解析 设椭圆方程为ax22＋yb22＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则ba2＝ 2c，即a2－a c2＝2c，即 e2＋2e－1＝0，又 0<e<1，解得 e＝ 2－1。故选 D。
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第六页，共四十六页。
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
图形
性 范围 质
对称性
－a≤x≤a －b≤y≤b 对称轴： 坐标轴
答案 D
2021/12/13
第十四页，共四十六页。
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为
A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx－ay＋2ab＝0 相切，则 C 的离 心率为( )
A．
6 3
B．
3 3
C．
2 3
D．13
解析 由题知以线段 A1A2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝a2，圆心到直 线 bx－ay＋2ab＝0 的距离 d＝ b22a＋b a2＝a，得 a2＝3b2，C 的离心率 e＝
F2 是椭圆右焦点，则△ABF2 的周长为( )
A．8
B．4 2
C．4
D．2 2
解析 (1)因为x42＋y2＝1，所以 a＝2。由椭圆的定义可得|AF1|＋|AF2|＝ 2a＝4，且|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，所以△ABF2 的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝ (|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝8。故选 A。
A．
2 2
B．
2－1 2
C．2－ 2
D． 2－1
解析 设椭圆方程为ax22＋yb22＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则ba2＝ 2c，即a2－a c2＝2c，即 e2＋2e－1＝0，又 0<e<1，解得 e＝ 2－1。故选 D。
高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何 8.5 椭圆课件 文
y2 4
＋
x2 3
＝λ(λ>0)代入点(2，－
3)，得λ＝2152， ∴2y52 ＋2x52 ＝1.
34
(1)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步 骤是：
①作判断：根据条件判断焦点的位置． ②设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程 为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ③找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方 程组． ④求解，得方程．
(4)方法1：∵e＝ac＝
a2－b2 a
＝
1－ba22＝
1－34＝12，若
焦点在x轴上，设所求椭圆方程为
x2 m2
＋
yபைடு நூலகம் n2
＝1(m>n>0)，则1－
mn 2＝14.
从而mn 2＝34，mn ＝
3 2.
又m42＋n32＝1，∴m2＝8，n2＝6.
∴方程为x82＋y62＝1. 若焦点在y轴上，设方程为my22＋nx22＝1(m>n>0)，
【调研2】 求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到 同侧顶点的距离为 3； (3)经过点P(－2 3，1)，Q( 3，－2)两点； (4)与椭圆x42＋y32＝1有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
【解】 (1)若焦点在x轴上，设方程为 ax22＋by22＝1(a>b>0)．
突破考点01 突破考点02 突破考点03
突破考点04 高考真题演练
课时作业
突破考点 01
集合的基本概念
（基础送分型——自主练透）
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于________的点的 轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距 离叫做椭圆的焦距．
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_5椭圆课件理新人教A版
B．x52＋y2＝1或x42＋y52＝1 D．以上答案都不对
[解析]
(1)因为O，M分别为F1F2和PF1的中点，所以OM∥PF2，且|OM|＝
1 2
|PF2|，
同理，ON∥PF1，且|ON|＝
1 2
|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形．由题意知，
|OM|＋|ON|＝ 3，故|PF1|＋|PF2|＝2 3，即2a＝2 3，a＝ 3，由a2＝b2＋c2知c2＝ a2－b2＝2，c＝ 2 ，所以|F1F2|＝2c＝2 2 ，故△PF1F2的周长为2a＋2c＝2 3 ＋
y2 b2
＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆
E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为
．
解析：设点B的坐标为(x0，y0)． ∵x2＋by22＝1，∴F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0)．
∵AF2⊥x轴，设点A在x轴上方，∴A( 1－b2，b2)． →→
∵e＝ac＝
36，a2＝b2＋c2，∴ba＝
3 3.
由|AB|＝233，易知ba2＝ 33，
∴b＝1，a＝ 3，∴椭圆方程为x32＋y2＝1.
(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋ 9＝0，又直线与椭圆有两个 交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0，解得k2>1. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)， 则x1＋x2＝－1＋123kk2，x1x2＝1＋93k2.
跟踪训练 (1)已知圆：C1(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1
内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
高考数学一轮总复习第八章平面解析几何第五节椭圆课件理
第二十一页，共22页。
因为 A(－ 3，0)，B( 3，0)， 所以A→C·D→B＋A→D·C→B＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3， y2)·( 3－x1，－y1) ＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋22k＋2＋3k122. 由已知得 6＋22k＋2＋3k122＝8，解得 k＝± 2.
第二十页，共22页。
(2)设点 C(x1，y1)，D(x2，y2)，由 F(－1，0)得直线 CD 的方程
为 y＝k(x＋1)，
y＝k（x＋1），
由方程组x32＋y22＝1
消去 y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
由于 Δ＝48k2＋48>0 恒成立，
则 x1＋x2＝－2＋6k32k2，x1x2＝32＋k2－3k62，
第三页，共22页。
(2)不妨设点 A 在第一象限，设半焦距为 c，则 F1(－c，0)，F2(c， 0)．
∵AF2⊥x 轴，则 A(c，b2)(其中 c2＝1－b2，0<b<1)． 又|AF1|＝3|F1B|，得A→F1＝3F→1B，
第四页，共22页。
设 B(x0，y0)，则(－2c，－b2)＝3(x0＋c，y0)， ∴x0＝－53c且 y0＝－b32， 代入椭圆 x2＋by22＝1，得 25c2＋b2＝9① 又 c2＝1－b2，② 联立①②，得 b2＝23. 故椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1. 答案：(1)12 (2)x2＋32y2＝1
第十五页，共22页。
解：(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为 bx＋cy－bc＝0， 则原点 O 到该直线的距离 d＝ bb2＋c c2＝bac，
届高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第5节 椭圆课件 理 新人教版
(直线与椭圆有两交点) 点差法(结果要检验)
[即时应用] (2016·山西四校联考)椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的上顶点为 A，P43，b3是 C 上的一点，以 AP 为直径的圆经过椭圆 C 的 右焦点 F. (1)求椭圆 C 的方程； (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是 否存在两个定点，它们到直线 l 的距离之积等于 1？如果存 在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．
D．290或356
解析：当 k＞4 时，有 e＝ 1－4k＝23，解得 k＝356；
当 0＜k＜4 时，有 e＝ k 的值为290或356.
1－k4＝23，解得 k＝290.故实数 答案：D
3．(教材习题改编)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准 方程为________________． 答案：2x52＋y92＝1或x92＋2y52 ＝1
[典型母题]
(2015·广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：xa22＋by22＝1(a＞
b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在
y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为
()
A．
3 3
B．
3 6
C．13
D．16
[解析] 如图，设PF1的中点为M，连接PF2. 因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OM 为
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0) ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
范围
－__a_≤x≤_a_ －__b_≤y≤_b_
[即时应用] (2016·山西四校联考)椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的上顶点为 A，P43，b3是 C 上的一点，以 AP 为直径的圆经过椭圆 C 的 右焦点 F. (1)求椭圆 C 的方程； (2)动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，问：在 x 轴上是 否存在两个定点，它们到直线 l 的距离之积等于 1？如果存 在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．
D．290或356
解析：当 k＞4 时，有 e＝ 1－4k＝23，解得 k＝356；
当 0＜k＜4 时，有 e＝ k 的值为290或356.
1－k4＝23，解得 k＝290.故实数 答案：D
3．(教材习题改编)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准 方程为________________． 答案：2x52＋y92＝1或x92＋2y52 ＝1
[典型母题]
(2015·广州二模)设F1，F2分别是椭圆C：xa22＋by22＝1(a＞
b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在
y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为
()
A．
3 3
B．
3 6
C．13
D．16
[解析] 如图，设PF1的中点为M，连接PF2. 因为 O 为 F1F2 的中点，所以 OM 为
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
图形
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0) ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
范围
－__a_≤x≤_a_ －__b_≤y≤_b_
2020版高考数学一轮复习第八章平面解析几何8_5_2椭圆的综合问题课件理新人教版
＝ 2× 1902＋4×53＝169 5。 (2)证明：设直线 l1 的方程为 y＝k(x－1)。 代入椭圆方程，得(4＋5k2)x2－10k2x＋5k2－20＝0。
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝41＋0k52k2，x1x2＝54k＋2－5k220。 设 N(5，y0)，因为 A，M，N 三点共线， 所以3－－yx11＝y20，所以 y0＝x12－y13。 而 y0－y2＝x12－y13－y2＝2kx1x－1－31－k(x2－1) ＝3kx1＋xx21－－k3x1x2－5k ＝3k·41＋0k52k2－x1k－·543k＋2－5k220－5k＝0。
【变式训练】 已知椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1，点 A 为椭圆的右顶点， 直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N。当△AMN 的面积为49 7时， 求 k 的值。
y＝kx－1， 解 由x42＋y22＝1，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0。 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
解 由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)。 (1)因为直线 l1 的倾斜角为π4，所以斜率 k＝1。 所以直线 l1 的方程为 y＝x－1。 代入椭圆方程，可得 9x2－10x－15＝0。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝190，x1x2＝－53。 所以|AB|＝ 2· x1＋x22－4x1x2
Δ>0⇒m2<4， 所以 x1＋x2＝－32m，x1x2＝3m24－3。
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 2x2－x12 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 12－23m2。 当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6。
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝41＋0k52k2，x1x2＝54k＋2－5k220。 设 N(5，y0)，因为 A，M，N 三点共线， 所以3－－yx11＝y20，所以 y0＝x12－y13。 而 y0－y2＝x12－y13－y2＝2kx1x－1－31－k(x2－1) ＝3kx1＋xx21－－k3x1x2－5k ＝3k·41＋0k52k2－x1k－·543k＋2－5k220－5k＝0。
【变式训练】 已知椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1，点 A 为椭圆的右顶点， 直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N。当△AMN 的面积为49 7时， 求 k 的值。
y＝kx－1， 解 由x42＋y22＝1，
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0。 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
解 由题意知，F(1,0)，E(5,0)，M(3,0)。 (1)因为直线 l1 的倾斜角为π4，所以斜率 k＝1。 所以直线 l1 的方程为 y＝x－1。 代入椭圆方程，可得 9x2－10x－15＝0。 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝190，x1x2＝－53。 所以|AB|＝ 2· x1＋x22－4x1x2
Δ>0⇒m2<4， 所以 x1＋x2＝－32m，x1x2＝3m24－3。
|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 2x2－x12 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 12－23m2。 当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6。
2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.5椭圆课件理
2 2 x y 所以 b2＝48，又焦点 C1、C2 在 x 轴上，故所求的轨迹方程为 ＋ ＝1. 64 48
x2 y2 【答案】 (1)A (2) ＋ ＝1 64 48
2．辨明两个易误点 (1)椭圆的定义中易忽视 2a>|F1F2|这一条件， 当 2a＝|F1F2|时， 其轨迹为线段 F1F2， 当 2a<|F1F2|时，不存在轨迹． x2 y2 (2) 求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)． 3．求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求 出 a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可 设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
【解析】 (1)因为点 P 在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为|PF1|∶|PF2|＝2∶ 1， 所以|PF1|＝4， |PF2|＝2， 又易知|F1F2|＝2 5， 显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 故△PF1F2 1 为直角三角形，所以△PF1F2 的面积为 ×2×4＝4.故选 A. 2 (2)设动圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， 又|C1C2|＝8<16， 所以动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，则 a＝8，c＝4，
答案：C
2．椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,1)，并且经过点 x2 y2 A. ＋ ＝1 4 3 x2 y2 C. ＋ ＝1 3 2
x2 y2 【答案】 (1)A (2) ＋ ＝1 64 48
2．辨明两个易误点 (1)椭圆的定义中易忽视 2a>|F1F2|这一条件， 当 2a＝|F1F2|时， 其轨迹为线段 F1F2， 当 2a<|F1F2|时，不存在轨迹． x2 y2 (2) 求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为 2 ＋ 2 ＝ a b 1(a>b>0)． 3．求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． (2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求 出 a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可 设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
【解析】 (1)因为点 P 在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因为|PF1|∶|PF2|＝2∶ 1， 所以|PF1|＝4， |PF2|＝2， 又易知|F1F2|＝2 5， 显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 故△PF1F2 1 为直角三角形，所以△PF1F2 的面积为 ×2×4＝4.故选 A. 2 (2)设动圆 M 的半径为 r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16， 又|C1C2|＝8<16， 所以动圆圆心 M 的轨迹是以 C1、C2 为焦点的椭圆，且 2a＝16,2c＝8，则 a＝8，c＝4，
答案：C
2．椭圆 C 的一个焦点为 F1(0,1)，并且经过点 x2 y2 A. ＋ ＝1 4 3 x2 y2 C. ＋ ＝1 3 2