《数学分析》-微积分篇
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.1.1) 导数和高阶导数
速度和曲率
问题 1 我们坐高铁的时候车厢前的屏幕上会显示速度. 在数学上如何定义速度, 如何计算速 度?
问题 2 如何从数学上刻画曲线的弯曲程度? 质点做匀速直线运动和曲线运动的差别是由什 么因素引起的?
注1 我们用导数来刻画这些量. 速度是位移的导数, 加速度是速度的导数, 因此是二阶导 数; 曲率也用二阶导数来刻画. Einstein: 时空的弯曲等价于引力!
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
则称 f
在 x0
处
可导, 此极限称为 f 在 x0 处的导数, 记为 f (x0).
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
三角函数的导数
例1 (sin x) = cos x, (cos x) = − sin x.
证明.
设 x0
∈ R, 利用 lim
x →0
sin x x
=1
可得
lim
x →x0
sin x x
− sin x0 − x0
=
lim
x →x0
sin[(x
− x0)/2] cos[(x (x − x0)/2
+ x0)/2]
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开
一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
§5 微积分基本定理.定积分计算（续）教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x ∈[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是由()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分，类似地又可定义变下限的定积分，()()bxx f t dt ψ=⎰，x ∈[a,b],统称为变限积分。
注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ，以免与积分上下限的x 相混淆。
变限积分所定义的函数有着重要性质，由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰，因此只讨论变上限积分的情形。
定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰，x ∈[a,b]是连续函数。
证明 对[a,b]上任一确定的点x ，只要x+∆x ∈[a,b]，则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰，因f(x)在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M ，t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=，即证得在点x 处连续。
由x 得任意性，Φ(x)在[a,b]上处处连续。
定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ，当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得，1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤，由于f(x)在点x 处连续，故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆，由于x 在[a,b]上的任意性，证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
数学分析 第八讲 微分积分中值定理和极值
第八讲 微分与积分中值定理和函数极值§8.1 微分与积分中值定理一、知识结构 1、微分中值定理(1) 罗尔（Rolle ）中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导;(iii))()(b f a f =,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得0=')(ξf .(2)拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数)(x f 满足下列条件:(i) )(x f 在闭区间[]b a ,上连续;(ii) )(x f 在开区间()b a ,内可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ.(3)柯西中值(Cauchy)定理 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件:(i) )(x f 和)(x g 在闭区间[]b a ,上连续; (ii) )(x f 和)(x g 在开区间()b a ,内可导,(iii))(x f '和)(x g '不同时为零; (iv))()(b g a g ≠,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ.2、积分中值定理 (1)积分第一中值定理若函数)(x f 在[]b a ,上连续,则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得()⎰-=baa b f dx x f )()(ξ.(2)推广的积分第一中值定理若函数)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,且)(x g 在[]b a ,上不变号，则至少存在一点[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ.3、积分第二中值定理 若函数)(x f 在[]b a ,上连续,(i)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递减, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈ξ,使得⎰⎰=baadx x f a g dx x g x f ξ)()()()(.(ii)若函数)(x g 在[]b a ,上单调递增, 且0≥)(x g , 则存在[]b a ,∈η,使得⎰⎰=ba bdx x f b g dx x g x f η)()()()(.3、泰劳公式（微分中值定理的推广）麦克劳林公式 (1) 一元函数)(x f y =泰劳公式泰劳公式产生的背景: 将函数)(x f ()(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数) 近似的表示为关于)(0x x -的一个n 次多项式,由于多项式的算法是好算法,我们可以用关于)(0x x -的一个n 次多项式来求函数)(x f 在某点(()b a x ,∈)的近似值.定理1 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)n n(n)+-++-'+=00000!11 ,其中()()()()101!1)(++-+=n n n x x n fx R ξ(拉格朗日型余项)，这里ξ是属于x 与0x 之间的某个值.或, 如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶的导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为)(0x x -的一个n 次多项式与一个当0x x →时的n)x (x 0-的高阶无穷小之和:()()nn(n)x x o )x (x n!)(x f)x )(x (x f )f(x f(x)000000!11-+-++-'+=其中()n )x (x o 0-为当0x x →时n)x (x 0-的高阶无穷小.（2）麦克劳林公式定理2 如果函数)(x f 在含有0的某个开区间()b a ,内具有直到1+n 阶地导数,则当()b a x ,∈时, )(x f 可以表示为x 的一个n 次多项式与一个余项)(x R n 之和:(x)R x n!)(x fx !)(f )x (f )f(f(x)n n(n)+++''+'+=022000 ,其中()()()11!1)(+++=n n n x n x fx R θ，(10<<θ).2、二元函数),(y x f z =的泰劳公式和麦克劳林公式 （1）泰劳公式定理3 如果函数),(y x f 在含有()00,y x 的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k y h x ++00,为此邻域内任一点，则有()200000000100001,,,,2!11,,,1nn f(x h y k)f(x y )h k f(x y )h k f(x y )x y x y h k f(x y )h k f(x h y k)n!x y n !xy θθ+⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂++=++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂+++++++ ⎪ ⎪∂∂+∂∂⎝⎭⎝⎭ 其中10<<θ，记号()()000000,,,y x kf y x hf )y f(x y k xh y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂， ()()()00200002002,,2,,y x f k y x hkf y x f h )y f(x y k x h yy xy xx ++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂， ……)y f(x yx kh C)y f(x y k x h pm pm pm p mp pmm00000,,--=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∑,()k)y h f(x y k x h !n x R n n θθ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=+001,11)(, 10<<θ 称为拉格朗日型余项.（2）麦克劳林公式定理4 如果函数),(y x f 在含有()0,0的某一领域内连续且有直到1+n 阶的连续偏导数,()k h ,为此邻域内任一点，则有+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=)f y y x x )f(y y x x )f(y)f(x 0,0!210,00,0,2()y)x f(y y x x !n )f(y y x x n!n n θθ,110,011+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+，其中10<<θ.二、解证题方法 1、微分中值定理例1 (山东师范大学2006年)设)(x P 为多项式函数,试证明:若方程0=')(x P 没有实根,则0=)(x P 至多有一个实根.证明 用反证法.因为)(x P 为多项式函数, 所以)(x P 在()+∞∞-,上连续并且可导. 如果0=)(x P 至少有两个实根, 不妨设为21ξξ<,则021==)()(ξξP P .在闭区间上用罗尔定理得,存在()21ξξη,∈,使得0=')(ηP . 这与方程0=')(x P 没有实根发生矛盾, 所以0=)(x P 至多有一个实根.例2 (河北大学2005年)设)(x f 可导,λ为常数,则)(x f 的任意两个零点之间必有0='+)()(x f x f λ的根.证明 不妨设)(x f 的任意两个零点为ηξ<. 令xex f x F λ)()(=,则0==)()(ηξF F . 因为)(x F 在[]ηξ,上连续, 在()ηξ,内可导,且0==)()(ηξF F , 所以, 由罗尔定理得:存在()ηξ,∈x ,使得0=')(x F ,即0='+='xxe xf ex f x F λλλ)()()(,进而有0='+)()(x f x f λ, 所以()ηξ,∈x 是0='+)()(x f x f λ的根.例3(电子科技大学2002年))(x f 在[]10,上二次可导,010==)()(f f ,试证明：存在()10,∈ξ，使得()())(ξξξf f '-=''211.证明 因为)(x f 在[]10,上连续, )(x f 在()10,内可导, 且010==)()(f f ,所以由罗尔定理得:存在()10,∈ξ,使得0=')(ξf .令⎪⎩⎪⎨⎧=∈'=-101011x x ex f x g x ,),[,)()(. 因为)(x g 在[]10,上连续,在()10,内可导, 且()()01==g g ξ, 所以由罗尔定理知, 存在()1,ξξ∈', 使得()0='ξg ,即()())(ξξξf f '-=''211.例4(山东科技大学2005年)设()x f 在整个数轴上有二阶导数,且00=→xx f x )(lim,01=)(f ,试证明: 在()10,内至少存在一点β,使得()0=''βf .证明 因为()x f 在整个数轴上有二阶导数，所以()x f 在整个数轴上连续. 进而0lim )(lim )(lim )(lim )0(0000=⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==→→→→x x x f x x x f x f f x x x x . 又因为01=)(f , 所以函数在()10,内满足罗尔定理的条件, 进而存在()10,∈α,使得0=')(αf . 又因00000=-=-='→→xx f xf x f f x x )(l i m)()(l i m)(, 并且()x f '在[]α,0上连续, 在()α,0内可导, 所以()x f '在[]α,0上满足罗尔定理的条件, 进而存在()αβ,0∈,使得()0=''βf .例5(汕头大学2005年) 设()x f 在闭区间[]b a ,上有二阶导数,且)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 试证明: 存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .证明 由于)(x f 在[]b a ,上连续, 所以)(x f 在[]b a ,上取得最大值和最小值. 又因为)()(b f a f 、均不是)(x f 在闭区间[]b a ,上最大值和最小值, 所以存在()b a ,,∈21ξξ, 不妨设21ξξ<,使得()21ξξf f ),(是)(x f 在[]b a ,上的最大值和最小值. 进而()021='='ξξf f )(.由()x f 在闭区间[]21ξξ,上有二阶导数, 所以()x f '在闭区间[]21ξξ,上连续, 在开区间()21ξξ,内可导. 由罗尔定理知, 存在()21ξξξ,∈,使得0='')(ξf . 进而存在()b a ,∈ξ,使得0='')(ξf .例6(北京工业大学2005年)设)(x f 在()+∞∞-,上可导, 试证明:0=')(x f 当且仅当)(x f 为一常数.证明 (1)充分性 因为)(x f 为一常数C , 所以()0000==∆-=∆-∆+='→∆→∆→∆x x x xC C xx f x x f x f lim lim)(lim)(.(2)必要性对任意的()+∞∞-∈,,21x x , 不妨设21x x <. 显然()x f 在闭区间[]21x x ,上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以存在()21x x ,∈ξ, 使得()()()()2121x f x f x x f -=-'ξ.因为()0='ξf , 所以()()21x f x f =. 进而)(x f 为一常数.例7(南京大学2001年)设)(x f 在()10,内可导, 且1<')(x f , ()10,∈x .令⎪⎭⎫⎝⎛=n f x n 1(2≥n ), 试证明n n x ∞→lim 存在且有限.分析 ()1111n m n m x x x x f f f n m n m εξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-<⇐-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()11111n f nmnmnmmξε'=-<-<=<.证明 对0>∀ε, 存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11,εN ,当N m n >>时, 有ε<=<-=-=-mnmn nmm n mn x x m n 111, 所以()()εξξ<=<-<-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-m nm n m n m n f m n f m f n f x x m n 111111111,进而由柯西收敛准则知, n n x ∞→lim 存在且有限.例8(华东师范大学2001年)证明: 若函数)(x f 在有限区域()b a ,内可导, 但无界,则其导函数)(x f '在()b a ,内必无界. 证明 用反证法 若函数)(x f '在()b a ,内有界, 则存在正数M ,使得M x f ≤')(,()b a x ,∈. 由拉格朗日中值定理得:⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22)(22)()(b a f b a f x f b a f b a f x f x f ()()⎪⎭⎫⎝⎛+++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'=2222b a f b a M b a f b a x f ξ,所以函数)(x f 在有限区域()b a ,内有界. 与已知矛盾.例9(天津工业大学2005年)设R x n ∈, ()1arctan -=n n ky y (10<<k ), 证明: (1)11-+-≤-n n n n y y k y y ; (2)n n y ∞→lim 收敛.证明 (1)令kx x f arctan )(=, ()+∞∞-∈,x ,则221xk k x f +=')(,于是kx f ≤')(,从而由拉格朗日中值定理得:()()1111---+-≤-'=-=-n n n n n n n n y y k y y f y f y f y y ξ)()(, 其中ξ介于1-n y ,n y 之间.(2)由(1)的递推关系知,011y y ky y nn n -≤-+,又因为级数∑∞=-101n ny y k收敛,所以由比较判别法知, 级数()∑∞=+-11n n n y y 绝对收敛,所以n n S ∞→lim 收敛, 其中()1111y y y yS k nk k k n -=-=+=+∑, 进而n n y ∞→lim 收敛.例10(湖南师范大学2004年)设)(x f 在),[+∞0上连续, 在()+∞,0内可导且00=)(f , )(x f '在()+∞,0内严格单调递增, 证明:xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.分析 关键是证明02>-'='⎪⎭⎫⎝⎛x x f x f x x x f )()()(. 证明 因为()[]000>'-'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'=-'ξf x f x x f x f x f x x x f x f x x f x f x )()()()()()()()(, 其中()+∞∈,0x , ()x ,0∈ξ, 所以xx f )(在()+∞,0内内严格单调递增.练习[1](辽宁大学2005年)设)(x f 在],[b a 上可导，且b x f a <<)(，1)(≠'x f . 证明: 方程x x f =)(在()b a ,内存在惟一的实根.[2] (南京农业大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上可微, 0)0(=f , 当10<<x 时, 0)(>x f , 证明: 存在()1,0∈ξ,使得)1()1()()(2ξξξξ--'='f f f f .[3] (陕西师范大学2002年,武汉大学2004年) 设)(x f ,)(x g 是[]b a ,上的可导函数, 且0)(≠'x g . 证明: 存在()b a c ,∈使得)()()()()()(c g c f b g c g c f a f ''=--.[4] (西南师范大学2005年)设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导,)(2)(x f x x f -=', 0)0(=f .证明: 42)(xex f -=,()+∞∞-∈,x .[5] (北京工业大学2004年)设函数)(x f 在0x 的某邻域)(0x N 内连续, 除0x 外可导，若l x f x x ='→)(lim 0，则)(x f 在0x 可导且l x f =')(0.[6] (辽宁大学2004年) 设函数)(x f 在()+∞∞-,内可导, 且0)0(>f ,1)(<≤'k x f ,证明: 方程x x f =)(有实根.[7] (厦门大学2004年) 设函数)(x f 在),[+∞a 上二阶可微, 且0)(>a f ,0)(<'a f , 当a x >时, 0)(<''x f . 证明: 方程0)(=x f 在),[+∞a 上有惟一的实根.[8] (北京化工大学2004年) 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在()1,0内可导,0)0(=f , 1)1(=f . 证明: 对于∀的正数a 和b , 存在()1,0,21∈ξξ, 使得()()b a f b f a +='+'21ξξ.[9] (中科院武汉物理与数学研究所2003年) 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续, 在开区间()b a ,内可微, 并且)()(b f a f =. 证明: 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上不等于一个常数, 则必有两点()b a ,,∈ηξ, 使得()0>'ξf , ()0<'ηf .[10] (中山大学2006年) 证明: 当0≥x 时, 存在()1,0)(∈x θ, 使得)(211x x x x θ+=-+, 并且)(lim 0x x θ+→和)(lim x x θ+∞→（答案：41)(lim 0=+→x x θ，21)(lim =+∞→x x θ ）.2、积分中值定理例1(上海大学2005年)已知)(),(x g x f 在[]b a ,上连续,0>)(x f ,)(x g 不变号,求⎰∞→bann dx x g x f )()(lim.解 因为)(),(x g x f 在[]b a ,上连续, )(x g 在[]b a ,上不变号,所以由积分第一中值定理得⎰⎰=banb andx x g f dx x g x f )()()()(ξ,其中[]b a ,∈ξ. 又因为()0>ξf , 所以1=∞→nn f )(li m ξ,进而⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→∞→baba n n bann dx x g dx x g f dx x g x f )()()(lim )()(limξ.例2(河北大学2005年)证明:dx xx dx xx ⎰⎰+≤+222211ππcos sin .分析0111222222≤+-⇐+≤+⎰⎰⎰dx xx x dx xx dx xx πππcos sin cos sin .证明 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx 时, 0≤-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上不变号,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时, 0≥-x x cos sin 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上不变号. 由推广的积分第一中值定理得：dx xx x dx xx x dx x x x ⎰⎰⎰+-++-=+-24242221cos sin 1cos sin 1cos sin ππππ()()dx x x dx x x ⎰⎰-++-+=242402cos sin11cos sin11πππηξ01121121121212222≤+--+-=+-++-=ξηηξ,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈40πξ,, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππη,, 进而dx xx dx x x ⎰⎰+≤+2220211ππcos sin .例3(电子科技大学2005年)设)(x f 在[]10,上可导,且⎰-=211221dx ex f f x)()(,证明: 存在()10,∈ξ,使得())(ξξξf f 2='.证明 令2)()(x e x f x F -=, []10,∈x . 由积分中值定理知, 存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈210,η,使得()⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-211122021dx ex f ef x)(ηη即()⎰--=211122)(2dx ex f ef xηη. 因为⎰-=2101221dx ex f f x)()(, 所以())(121f ef =-ηη, 进而()112--=ef ef )(ηη. 又因为112--==e f e f F )()()(ηηη, 111-=ef F )()(, 所以, 在区间[]1,η上由微分中值定理(罗尔)得:()0='ξF , 其中()1,ηξ∈. 因为222ξξξξξξ---'='ef ef F )()()(,所以())(ξξξf f 2='.例4(山东科技大学2004年)设()x f 在[]π,0上连续, 在()π,0内可导, 且()⎰-=ππππ1dx x f ef x)(,证明: 至少存在一点()πξ,0∈, 使得()()ξξf f ='.证明:令)()(x f e x F x -=,由()⎰-=ππππ1)(dx x f ef x和)()(πππf eF -=，得:()()⎰⎰⎰====----πππππππππππ111)()()(dx x F dx x f edx x f eef eF xx.由积分中值定理: ()()11()0()F F x dx F F ππππηηπ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰,其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πξ10,.在()πη,内应用微分中值定理(罗尔)得: 0=')(ξF ,其中()πηξ,∈.由)()(x f e x F x -=得: )()()(ξξξξξf e f e F '+-='--,所以()()ξξf f ='.例5(西安电子科技大学2003年)设()x f 在[]b a ,上二阶连续可导, 证明:存在()b a ,∈ξ使得()()()32412a b f b a f a b dx x f ba -''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰ξ)(. 证明: 由分部积分公式得⎰⎰⎰+++=baba ab b a dx x f dx x f dx x f 22)()()(()()⎰⎰++-+-=22)()(ba ab b a b x d x f a x d x f()[]()()[]()⎰⎰++++'---+'---=bb a b ba ba ab a adxx f b x x f b x dx x f a x x f a x 2222)()()()(()()()⎰⎰++-'--'-⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a ba ab x d x f a x d x f b a f a b 22222)(2)(2()()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2222)(22)(2ba aba adx x f a x x f a x b a f a b()()⎰++''-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--bba bb a dx x f b x x f b x 2222)(22)(()()()⎰⎰++''-+''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b a ba adx x f b x dx x f a x b a f a b 2222)(2)(22()()())(2)(2)(2222221积分中值定理⎰⎰++-''+-''+⎪⎭⎫⎝⎛+-=bba b a a dx b x c f dx a x c f ba f a b()()[]312()()()248b a a bb a f fc f c -+⎛⎫''''=-++⎪⎝⎭介值性定理()()3()224b a a bb a f fc -+⎛⎫''=-+⎪⎝⎭,其中c 介于21c c ,之间. 即()b a c ,∈. 3、泰劳公式（微分中值定理的推广）例1（西安电子科技大学2004年） 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，且满足条件a x f ≤)(，b x f ≤'')(，a 和b 为非负常数，证明不等式22)(b a x f +≤'， )1,0(∈x .分析：要熟练运用Taylor 展开. 证明：在)1,0(∈x 处做Taylor 展开有21)1(2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，222)()()()0(x f x x f x f f ξ''+'-=上面两式相减有 22212)()1(2)()0()1()(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[]22)1(22)(22b a xx b a x f +≤+-+≤'.例2（陕西师范大学2003年，中国地质大学2004年）设函数f 在区间[]b a ,上有二阶导数且,0)()(='='-+b f a f 则必存在一点),(b a ∈ξ使得)()()(4)(2a fb f a b f --≥''ξ.分析：关键是做Taylor 展开. 证明：应用Taylor 公式，将)2(b a f +分别在b a 、点展开，注意0)()(='='-+b f a f ，故存在1ξ和2ξ，b b a a <<+<<212ξξ，使得212)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f a f b a f ξ,222)(21)(2⎪⎭⎫⎝⎛-''+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b f b f b a f ξ.两式相减得: []0)()()(81)()(221=-''-''+-a b f f a f b f ξξ, 故[])()()(21)()()(4212ξξξf f f a f b f a b ''≤''+''≤--.其中 ⎩⎨⎧''<''''≥''=)()(,)()(,212211ξξξξξξξf f f f .例3(北京交通大学2005年)设函数)(x f 在区间),0(+∞内有二阶函数，0)(lim =+∞→x f x ，并当),0(+∞∈x 时，有1)(≤''x f . 证明：0)(lim ='+∞→x f x .分析：关键是做Taylor 展开.证明：要证明0)(lim ='+∞→x f x ，即要证明对任意的0>ε，存在0>A ，当A x >时有ε<')(x f . 利用Taylor 公式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+, ()h ,0∈ξ,即[]h f x f h x f hx f )(21)()(1)(ξ''--+='. 从而[]hx f h x f hhf x f h x f hh f x f h x f hx f 21)()(1)(21)()(1)(21)()(1)(+-+≤''+-+≤''--+='ξξ, 取ε<h , 因为0)(li m =+∞→x f x , 所以021)()(1lim )(lim0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤'≤+∞→+∞→h x f h x f hx f x x , 其中2)()(ε<-+x f h x f . 即0)(lim ='+∞→x f x .例4（上海大学2005年、中国科学院2007年）设函数)(x f 在[]20，上有1)(≤x f ，1)(≤''x f . 证明：2)(≤'x f .分析：关键是做Taylor 展开. 证明：在)2,0(∈x 处做Taylor 展开有212)()()()0(xf x x f x f f ξ''+'-=,22)2(2)()2)(()()2(x f x x f x f f -''+-'+=ξ，将上面两式相减有[]21224)()2(4)()0()2(21)(x f x f f f x f ξξ''+-''--='，所以[][][].21)1(211)2(411)(4)2()(4)0()2(21)(22222212≤+-+≤+-+≤''-+''++≤'x xx f x f x f f x f ξξ.例5（江苏大学2004年）已知函数)(x f 在区间()1,1-内有二阶导数，且0)0()0(='=f f , )()()(x f x f x f '+≤'', 证明：存在0>δ，使得在()δδ,-内0)(≡x f .分析：关键是做Taylor 展开.证明：将)()()(x f x f x f '+≤''右端的)(x f ,)(x f '在0=x 处按Taylor 公式展开. 注意到0)0()0(='=f f ，有222)(2)()0()0()(x f x f x f f x f ξξ''=''+'+=, x f f x f )()0()(η''+'=',其中ηξ,是属于0与x 之间的某个值.从而x f x f x f x f )(2)()()(2ηξ''+''='+.现令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,41x ，则由)()(x f x f '+在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上连续知，存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈41,410x ，使得{}M x f x f x f x f xx ='+='+≤≤-)()(max )()(14100.下面只要证明0=M 即可. 事实上⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''≤''+''='+=)(2)(41)(2)()()(000020000ηξηξf f x f x f x f x f M ()()()()[]000041ηηξξf f f f +'++'≤（由()()x f x f x f x f ηξ''+''='+22)()(）11242M M ≤⋅=，即M M 20≤≤, 所以0=M . 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41上0)(≡x f . 例6（辽宁大学2005年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x 1sin1lim 2. 分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解： 将x1sin展开成带Peano 余项的二阶Taylor 公式⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=3316111s i n x o x x x ，则 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→→∞→332216111lim 1sin 1lim x o x x x x x x x x x x ()61161lim 16111lim 322=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-=∞→∞→o x o x x x x x . 例7（山东师范大学2006年）求422cos limxex xx -→-.分析：利用Taylor 展开式计算函数极限. 解 进行带Peano 余项的Taylor 展开()5422421cos xo xxx ++-=, )(82154222x o xxex++-=-,所以)(12cos 5422x o xex x+-=--, 进而121cos lim422-=--→xex xx .例8（浙江大学2005年、华南理工大学2005年）设)(x f 在),[+∞a 上有连续的二阶导数，且已知(){}+∞∈=,0)(sup 0x x f M 和(){}+∞∈''=,0)(sup 2x x f M 均为有限数. 证明：(1)2022)(M t tM t f +≤' ，对任意的0>t ，),0(+∞∈x 成立；(2){}),0()(sup 1+∞∈'=x x f M 也是有限数，且满足不等式2012M M M ≤ .分析：Taylor 展开式.证明(1)考虑)(t x f + 在t 处的Taylor 展开式，,2)()()()(2>''+'+=+t t f t t t t f t t f ξ，则t f tt f t f t f 2)()()2()(ξ''--='，所以++≤'tt f t f t f )()2()(2)(ξf ''t ，有题设条件可得t M tM t f 22)(2+≤' .(2)同理由Taylor 展开式知，t M tM t f 22)(2+≤'成立，从而t M tM M 2221+≤，取202M M t = 即得证.例9（哈尔滨工业大学2006年）设)(x f 在[)+∞,0内二阶可微，0)(lim =+∞→x f x ，但)(lim x f x '+∞→不存在.证明：存在00>x ，使1)(0>''x f .分析 Taylor 展开式.证明 反证法，设对任意的),0(+∞∈x ，均有1)(≤''x f .利用Taylor 展开式，对任意的0>h ，有2)(21)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，因此有2)()(1)(h x f h x f hx f +-+≤' ，取ε=h ，由0)(lim =+∞→x f x 知，存在0>A ，当A x > 时，有4)(2ε≤'x f ，于是ε<')(x f ，A x > ，即0)(lim ='+∞→x f x ，矛盾.例10 （华中科技大学2007年）设 )(x f 在（0,1） 上二阶可导且满足1)(≤''x f ，10(≤≤x ，又设)(x f 在()1.0 内取到极值41 .证明：1)1()0(≤+f f .分析 极值点，Taylor 展开式.证明 因为)(x f 在)1,0(上二阶可导，假设ξ在极值点，则41)(=ξf 、0)(='ξf .对)(x f 关于0=x 、1=x 在ξ点Taylor 展开有21)(2)())(()()0(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.又有2)1(2)()1)(()()1(ξηξξξ-''+-'+=f f f f ，)1,(2ξη∈.所以有2221)1(2)(0)(2)(0)()1()0(ξηξξηξ-''+++''++=+f f f f f f[]2221)1()()(21)(2ξηξηξ-''+''+≤f f f[]22)1(121ξξ-++≤12121=+≤.这里另22)1()(x x x g -=，)1,0(∈x ，则最大值1)1(=g . 练习[1]（华中科技大学2005年）设)(x f 在[]1,0上有二阶连续导数，0)1()0(==f f ，58)(≤''x f ，58)(≤'x f ，给出)10()(≤≤x x f 的一个估计.[2]（华中科技大学2004年）设)10(,2)(,0)1()0(≤≤≤''==x x f f f ，证明：1)(≤'x f .[3]（北京航空航天大学2005年）证明：对任意的n ，有)!1(1!)1(!31211+<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅⋅+---n n en. [4]（华南理工大学2004年）设)(x f 在[]1,1-上三次可微，1)1(,0)0()0()1(=='==-f f f f .证明：存在)1,1(-∈x ，使得3)()3(≥x f.[5]（大连理工大学2006年） 将2)1(1)(x x f += 在0=x 展开成Taylor 级数.[6]（同济大学1999年）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-→)11ln(lim 20x x x x (答案：21).[7]（大连理工大学2004年）设)(x f 在[]1,0上二阶可导，且有,0)1()0(==f f []21)(m i n 1,0-=∈x f x ，证明：存在)1,0(∈ξ，使得4)(≥''ξf .[8] （东南大学2004年）（1）设)(x f 在[]2.0上二阶可导，0)2()0(='='f f .证明：存在)2,0(∈ξ使得[])(4)2()0(3)(320ξf f f dx x f ''++=⎰.（2）若在（1）中只假定)(x f 在[]2,0上存在二阶导数而不要求二阶导数连续，那么（1）的结论是否成立？[9]（东南大学2003年） 求42cos lim2xx exx --→(答案：81-).[10]（同济大学1999年）求xx x x x x x arcsin )1ln(cos sin lim2220+-→(答案：61).§8.2 函数的极值和最值 函数的凸性与拐点一、知识结构 1、函数的极值和最值函数)(x f y =的极值是一个局部概念，而函数)(x f y =的最值是一个整体概念. 如函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义, 如果[]b a x ,0∈的某个邻域),(0δx U 内有)()(0x f x f ≤()()(0x f x f ≥), 则我们称函数)(x f y =在点0x 取得极大值(极小值). 函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最大值)(0x f 满足)()(0x f x f ≥, 其中[]b a x ,∈.函数)(x f y =在区间[]b a ,上的最小值)(0x f 满足)()(0x f x f ≤, 其中[]b a x ,∈.(1) 一元函数)(x f y =的极值和最值定理1（必要条件） 设函数)(x f 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值，那未这函数在0x 处的导数为零，即0)(0='x f .定理2（第一种充分条件） 设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)(0='x f .（1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为正；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为负，那未函数)(x f 在0x 处取极大值；（2）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，)(x f '恒为负；当x 取0x 右侧邻近的值时，)(x f '恒为正，那未函数)(x f 在0x 处取极小值；（3）如果当x 取0x 左右两侧邻近的值时，)(x f '恒为正或恒为负；那未函数)(x f 在0x 处没有极值.定理3 （第二种充分条件）设函数)(x f 在点0x 处具有二阶导数且0)(0='x f 0)(0≠''x f ，那么（1）当0)(0<''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极大值； （2）当0)(0>''x f 时，函数)(x f 在点0x 处取极小值. 一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最值：（1）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极大值与)(),(b f a f 中最大的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最大值;（2）一元函数)(x f y =在()b a ,内的极小值与)(),(b f a f 中最小的为一元函数)(x f y =在闭区间[]b a ,上的最小值.(2) 二元函数()y x f z ,=的极值和最值定理1(必要条件) 设函数),(y x f 在点()00,y x 处可导，且在()00,y x 处取得极值，那未这函数在()00,y x 处的偏导数为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y .定理2 (充分条件)设函数),(y x f 在点()00,y x 某邻域内连续且有一阶、二阶连续偏导数，又0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，令A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00，则函数),(y x f 在点()00,y x 是否取得极值的条件如下：（1）02>-B AC 时具有极值， 且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论. 利用拉格朗日函数求极值和最值(条件极值)求函数),(y x f z =的极值，其中()y x ,满足条件0),(=y x F . 构造拉格朗日函数),(),(),,(y x F y x f y x L λλ+=, 解方程⎪⎩⎪⎨⎧===0),,(0),,(0),,(λλλλy x L y x L y x L y x 得⎪⎩⎪⎨⎧===000λλy y x x ，则()00,y x 为函数),(y x f z =的极值点(根据实际问题确定)，进而求得函数),(y x f z =的极值),(00y x f z =.2、函数的凸性与拐点定义1 若曲线)(x f y =在某区间内位于其切线的上方, 则称该曲线在此区间内是凸的, 此区间称为凸区间. 若曲线位于其切线的下方, 则称该曲线在此区间内是凹的, 此区间称为凹区间.定义 2 设函数)(x f y =在区间I 上连续，如果对区间I 上任意两点21,x x ，恒有2)()(22121x f x f x x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凹（或凹弧）；如果恒有2)()(22121x f x f x x f +>⎪⎭⎫⎝⎛+，那么称)(x f y =在区间I 的图形是（向上）凸（或凸弧）.定理1 设函数)(x f y =在区间[]b a ,上连续，在()b a ,内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在()b a ,内0)(>''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凹的； (2) 若在()b a ,内0)(<''x f ，则)(x f y =在区间[]b a ,的图形是凸的. 3、函数)(x f y =图像的描绘主要用函数)(x f y =的一阶导数)(x f y '='和二阶导数)(x f y ''=''的性质和曲线)(x f y =的渐进线描绘函数)(x f y =图像.如果0)(>''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向下凸. 如果0)(<''x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =图像在区间()b a ,内向上凸. 如果0)(0=''x f , 且)(x f ''在()0,x a ,()b x ,0上异号, 则0x 为函数)(x f y =图像的拐点.如果0)(>'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递增. 如果0)(<'x f , ()b a x ,∈, 则函数)(x f y =在区间()b a ,内单调递减.二、解证题方法 1、函数的极值和最值例1（南京大学2003年）对任意00>y , 求)1()(00x x y x y -=ϕ在()1,0中的最大值, 并证明该最大值对任意00>y , 均小于1-e .解 由于000120)1()(y y xy x xy x --='-ϕ ，令0)1()(000120=--='-y y xy x xy x ϕ得函数)(x ϕ的稳定点100+=y y x , 所以函数)(x ϕ的最大值为10000111)1(+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+y y y y ϕ.因为()x x -<-1ln , 10<<x , 所以()11111000000111)1(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++<=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=+eey y y y y y ϕ .例2（复旦大学2000年, 北京理工大学2003年）在下列数,,,4,3,2,143n n 中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xx x f =)(, 1≥x , 则222ln 1ln 1ln 1ln 1)(xxx x x x x e e x f xxx x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xx x f =)(, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1, 0)(>x f ,当e x ≥,0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee . 从而下列数,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数只可能是33,2中的一个, 又因332<, 所以下列数 ,,,4,3,2,143n n 中最大的一个数是33.例3（北京化工大学2004年）在下列数,2004,,4,3,2,12004242322中，求出最大的一个数.解 构造辅助函数xxx f 2)(=, 1≥x , 则22222ln 2ln 1ln 222ln 2)(x x x x x x x e e x f x x x x x x ⋅-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=', 令0)(='x f 得函数xxx f 2)(=, 1≥x 的稳定点e x =. 当e x <≤1,0)(>x f ,当e x ≥, 0)(<x f , 所以函数)(x f 在点e x =取得最大值ee 2.从而下列数 ,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数只可能是3223,2中的一个,又因32232<,所以下列数,2004,,4,3,2,12004242322中最大的一个数是323.例4（中山大学2006年）设S 为由两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 所围成的闭区域,椭圆12222=+by ax 在S 内, 确定b a ,(0>b a 、), 使椭圆的面积最大.解 两条抛物线12-=x y 与12+-=x y 的交点为()0,1-，()0,1，()1,0-，()1,0.S 为1122+-≤≤-x y x ，因为椭圆12222=+by ax 在S 内, 所以1,0≤<b a . 椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==t b y ta x s i n c o s ，π20≤≤t ，由椭圆12222=+by ax 和区域S 的对称性知，椭圆12222=+by ax 的面积最大时， 必须有ta tb 22cos 1sin -= ，20π≤≤t 有惟一解. 即0cos 1sin 22=+-t a t b ,20π≤≤t 有惟一解.令01sin sin cos 1sin )(22222=-++-=+-=a t b t a t a t b t f ,20π≤≤t .则01)0(2≤-=a f , 012≤-=⎪⎭⎫⎝⎛b f π ，0)1(4222=-+=∆a a b ，()122sin 22≤=--=ab ab t . 于是212a a b -=，122≤≤a . 椭圆12222=+by ax 的面积2221212)(aaa a a ab a f -=-==πππ,122≤≤a . 即01214)(232=---='aaa a a f ππ, 得36=a , 322=b , 故最大面积为934π.例5（湖南师范大学2005年）设q p b a ,,,都是正数，（1）求()q px xx f -=1)(在区间[]1,0上最大值；（2）证明：qp qpq p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.解(1)因为()qpx xx f -=1)(, 所以()()1111)(-----='q pq p x qxx pxx f ,令()()011)(11=---='--q pqp x qxx pxx f 得稳定点qp p x +=. 又0)1()0(==f f , ()qp q p q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+, 进而函数()qp x x x f -=1)(在区间[]1,0上最大值为()qp qp q p qp q p p f ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.(2)因为()1,qppqp q p qa a a ab p p qf f a b a b a b a b a b p q p q +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=≤= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭⎝⎭所以qp q p q p b a q b p a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.例6（南京农业大学2004年）试问方程033=+-q px x 在实数域内有几个实根.解 由于()+∞=+-+∞→q px x x 3lim 3, ()-∞=+--∞→q px x x 3lim 3, 所以方程033=+-q px x 在实数域内至少有一个实根. 令q px x x f +-=3)(3, 则()p x p x x f -=-='22333)(.(1)当0<p 时, 有0)(>'x f , 进而)(x f 单调递增, 方程033=+-q px x 在实数域内只有一个实根.(2) 当0>p 时, 得q px x x f +-=3)(3的稳定点p x =, p x -=. 上述稳定点将()+∞∞-,分成三个区间()p -∞-,, ()p p ,-, ()+∞,p . 当()p x -∞-∈,时, )(x f 严格单调递增, 当()pp x ,-∈时, )(x f 严格单调递减, 当()+∞∈,p x 时, )(x f 严格单调递增. 进而,在p x -=时, )(x f 取得极大值q p p +2.在p x =时, )(x f 取得极小值q p p +-2. 所以, 当()()042232>-=+-+p q q p pq p p时,方程33=+-q px x 只有一个实根, 当()()042232=-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当()()042232<-=+-+p q q p pq p p时, 方程033=+-q px x 有三个实根.综上所述, 当0<p 时, 方程033=+-q px x 在实数域内有一个实根, 当0>p , 且0432>-p q 时, 方程033=+-q px x 只有一个实根, 当0>p , 且0432=-p q 时, 方程033=+-q px x 有两个实根, 当0>p ,且0432<-p q 时, 方程033=+-q px x 有三个实根.例7（上海交通大学2005年）求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值.分析 用Lagrange 乘数法求函数444),,(z y x z y x f ++=在条件1=x y z 下的极值.解 构造Lagrange 函数()1),,,(444-+++=xyz z y x z y x L λλ, 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+=01),,,(04),,,(04),,,(04),,,(333xyz z y x L xy z z y x L zx y z y x L yz x z y x L zy x λλλλλλλλ得1===z y x , 所以极值为3)1,1,1(=f .。
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
微积分(数学分析)习题及答案.doc
统计专业和数学专业数学分析（3）练习题一 填空题1. 函数 xy xyz +=arcsin 的定义域是 . 2. 函数y x z -=的定义域是 .3. 设 )ln(),(22y x x y x f --=，其中 0>>y x ，则),(=-+y x y x f .4. 设 yx xy y x y x f tan ),(22-+=，则 =),(ty tx f .5. 设2R E ⊂为 点集，则E 在2R 中至少有一个聚点.6. 32),,(yz xy z y x f +=，则 =-)1,1,2(gradf 。
7. xyz z xy u -+=32在点)2,1,1(0P 处沿方向→l （其中方向角分别为00060,45,60）的方向导数为=→)(0P u l.8. ,y x z =其中,0>x ,0≠x 则=dz 。
9. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微，则 =-∆df f 。
10. 若函数 ),(y x f 在区域D 上存在偏导数，且,0==y x f f ，则),(y x f 在区域上为 函数。
11. 由方程1(,)sin 02F x y y x y =--=确定的隐函数)(x f y =的导数'()f x = . 12. 设243340x y x y +-=, 则dy dx= . 13. 平面上点P 的直角坐标),(y x 与极坐标),(θr 之间的坐标变换公式为 .其雅可比行列式(,)(,)x y r θ∂=∂ .14. 直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(θϕr 之间的变换公式为 . 其雅可比行列式(,,)(,,)x y z r ϕθ∂=∂ .15. 设平面曲线由方程0),(=y x F 给出, 它在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法线，其方程分别为切线： , 法线： .16. 设空间曲线由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x L ),(),(),(:给出, 它在点0000000(,,)((),(),())P x y z x t y t z t =处的切线和法平面方程为 切线： ,法平面： . 17. 设空间曲线L 由方程组(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ 给出, 若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理的条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法平面，其方程分别为切线： , 法平面： .18. 设曲面由方程0),,(F =z y x 给出，它在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲面在0P 处有切平面与法线，它们的方程分别是切平面： , 法线： . 19. 条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ的限制下，求目标函数 ),,,(21n x x x f y = 的极值.其拉格朗日函数是 , 其中m λλλ,,,21 为拉格朗日乘数.20. 若(,)f x y 在矩形区域R 上连续, 则对任何[]0,x a b ∈, 都有0lim (,)dcx x f x y dy →=⎰.21. （可微性）若函数),(y x f 与其偏导数),(y x f x∂∂都在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则⎰=dcdy y x f x I ),()(在[]b a ,上可微，且(,)dcd f x y dy dx =⎰ .22. （可微性） 设),(),,(y x f y x f x 在[][]q p b a R ,,⨯=上连续，()()x d x c ,为定义在[]b a ,上其值含于[]q p ,内的可微函数，则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在[]b a ,上可微，且'()F x = .23. (两个累次积分的关系)若),(y x f 在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则(,)bdacdx f x y dy =⎰⎰ .24. 含参量反常积分(,)cf x y dy +∞⎰在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A (其中c A =1)，函数项级数 在[]b a ,上一致收敛. 25. 设有函数)(y g ，使得.,),(),(+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f 若⎰+∞cdy y g )(收敛，则⎰+∞cdy y x f ),(在[]b a ,上 .26. （连续性）设),(y x f 在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若含参量反常积分⎰+∞=cdyy x f x I ),()(在[]b a ,上 ，则)(x I 在[]b a ,上 .27. （可微性）设),(y x f 与),(y x f x 在区域[][)+∞⨯,,c b a 上连续。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.6.1) 广义积分的收敛判别法
定理 1 (Dirichlet)
α
设 F (α) = f (x) dx 关于 α ∈ [a, ∞) 为有界函数, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调, 且
a
∞
lim g(x) = 0, 则积分 f (x)g(x) dx 收敛.
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
a
对于瑕积分, 与函数 x−p 进行比较可以得到完全类似的 Cauchy 判别法.
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.6.1) 简单的微分方程
一元微积分与数学分析—简单的微分方程梅加强南京大学数学系给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.例1解方程f =0.给定函数f,求f的原函数相当于解以g为未知量的方程g =f.我们用记号f(x)d x表示f的原函数的一般表达式,也称为f的不定积分.例1解方程f =0.解.f =0意味着f =C1(常数).因此f(x)=C1d x=C1x+C2.例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.解.设在t时刻种群的数量为f(t),则f (t)=λf(t),其中λ>0为常数.此时[e−λt f(t)] =e−λt[−λf(t)+f (t)]=0,因此f(t)=C eλt.代入t=0可得C=f(0).例2在资源无限的情况下,设某一物种繁殖的速度与种群数量成正比,求种群数量随时间演化的规律.解.设在t时刻种群的数量为f(t),则f (t)=λf(t),其中λ>0为常数.此时[e−λt f(t)] =e−λt[−λf(t)+f (t)]=0,因此f(t)=C eλt.代入t=0可得C=f(0).注1可见,在初始条件f(0)=1下方程f =f的唯一解就是指数函数e x.例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.解.设t时刻速度为v(t),v(0)=0,则mg−λv(t)=mv (t),其中m为物体质量,g为重力加速度,λ为比例常数.模仿前例的解法可得[eλm t v(t)] =eλm t g,v(t)=e−λm tt0eλm s g d s=mgλ(1−e−λm t).阻尼运动例3跳伞时,设降落伞所受空气阻力与下落速度成正比,求降落速度.解.设t时刻速度为v(t),v(0)=0,则mg−λv(t)=mv (t),其中m为物体质量,g为重力加速度,λ为比例常数.模仿前例的解法可得[eλm t v(t)] =eλm t g,v(t)=e−λm tt0eλm s g d s=mgλ(1−e−λm t).注2当t→∞时v(t)→mgλ,即下降速度有上限.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.证明.作变量替换x=sinh t,则d x√1+x2=d t=t+C,其中t=ln(x+√1+x2)是双曲正弦的反函数,常记为arcsinh x.例4d x√1+x2=ln(x+1+x2)+C.证明.作变量替换x=sinh t,则d x√1+x2=d t=t+C,其中t=ln(x+√1+x2)是双曲正弦的反函数,常记为arcsinh x.注3x=sinh t⇒e t−e−t=2x⇒(e t)2−2x e t−1=0⇒e t=x+√1+x2.例5一条均质的软线挂在等高的两点,求其形状.HTθxy=y(x)O图1:悬链线受力分析例5一条均质的软线挂在等高的两点,求其形状.解.以线的最低位置为坐标原点建立直角坐标,其中X轴与等高两点的连线平行.HTθxy=y(x)O图1:悬链线受力分析解(续).线所满足的方程记为y=y(x).考察从0到x这一段线的受力情况.在原点处,它受到向左的水平力,记为H.在(x,y(x))处,它沿线的切向受拉力T.由力的平衡可得T cosθ=H,T sinθ=ρ (x)g,其中tanθ=y (x)是切线的斜率,ρ是线密度, (x)是线的长度.解(续).线所满足的方程记为y=y(x).考察从0到x这一段线的受力情况.在原点处,它受到向左的水平力,记为H.在(x,y(x))处,它沿线的切向受拉力T.由力的平衡可得T cosθ=H,T sinθ=ρ (x)g,其中tanθ=y (x)是切线的斜率,ρ是线密度, (x)是线的长度.注4以后我们将知道, (x)=x1+(y )2d t.解(续).记λ=ρg/H,则有y (x)=λx1+(y )2d t.记f(x)=y (x),则f (x)=λ1+f2(x),d f√1+f2=λd x=λx+C,由前例和f(0)=y (0)=0(Fermat定理)可得arcsinh f(x)=λx,即f(x)=sinh(λx).这说明y(x)=sinh(λx)d x=1λcosh(λx)+C,由y(0)=0可得y(x)=1λ[cosh(λx)−1].用方程刻画双曲三角函数例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.证明.显然,sinh(λx)和cosh(λx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cosh(λx)+f (0)sinh(λx)/λ],则F =λ2F,F(0)=0,F (0).根据我们在微积分基本公式那一单元例5中的讨论可知F≡0.例6解方程f =λ2f,其中λ=0为常数.证明.显然,sinh(λx)和cosh(λx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cosh(λx)+f (0)sinh(λx)/λ],则F =λ2F,F(0)=0,F (0).根据我们在微积分基本公式那一单元例5中的讨论可知F≡0.注5也可以令g=f +λf,则g =λg,可以由此解出g,进而解出f.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.解.显然,sin(ωx)和cos(ωx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cos(ωx)+f (0)sin(ωx)/ω],则F =−ω2F,F(0)=0,F (0).与前例完全类似,此时F≡0.例7解方程f =−ω2f,其中ω=0为常数.解.显然,sin(ωx)和cos(ωx)都满足方程.记F(x)=f(x)−[f(0)cos(ωx)+f (0)sin(ωx)/ω],则F =−ω2F,F(0)=0,F (0).与前例完全类似,此时F≡0.注6也可以令g=ω2F2+(F )2,则g =2ω2FF +2F (−ω2F)=0,这说明g为常数(能量守恒),从而恒为零.任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等. 当某物体进行简谐运动,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置.m F图2:弹簧振子任何一个物理量(如位移、电流、电压、电场强度、磁场强度等)在某一定值附近随时间周期性变化的现象叫做振动.简谐运动是最基本、最简单的振动,比如理想单摆运动、理想弹簧振子运动等. 当某物体进行简谐运动,物体所受的力跟位移成正比,并且总是指向平衡位置.例8设轻质弹簧一端固定,另一端系有质量为m的质点,求质点的运动规律.m F图2:弹簧振子弹簧受力分析解.以质点平衡位置为原点建立坐标系,质点所受的力记为F.根据胡克定律,F=−kx,其中k是弹簧的劲度系数.质点的运动方程为−kx(t)=mx (t).记ω2=k/m,根据前例的讨论可得x(t)=x(0)cos(ωt)+v(0)ωsin(ωt)=A sin(ωt+θ),其中A称为振幅,θ为初始相位,ω为频率,2π/ω是运动周期.。