巧学高中物理 动力学叠加系统

一、动力学中的叠加系统在动力学中常会遇到两个或两个以上物体叠放在一起的问题，这类问题具有知识容量大、研究对象不单一、物理过程比较复杂、几何条件隐蔽等特点，以致许多考生甚至教师对其求解感到困惑.下面就针对这类问题的求解思路作一总结. 一、无相对运动的叠加问题这类问题因物体之间无相对运动，所以一般用整体法与隔离体求解，若系统内力已知，则用隔离法求加速度，再用整体法求外力；若系统外力为已知，则用整体法求加速度，再用隔离法求内力.【例1】如图1所示，在光滑水平桌面上放着质量为3kg 的小车A ,小车A 上又放着质量为2kg 的物体B ,现施加一水平推力F 在物体B 上，当F 逐渐增大到4N 时B恰好在小车A 上相对于小车滑动；如果将水平推力作用在A 上，且不使B在A 上有相对滑动，则施加的最大推力max F 是多少？（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）.〖解析〗当推力F 小于4N 时，作用在A 上的静摩擦力使A 和B 一起加速运动；当F 增大到4N 以后，因最大静摩擦力不足以提供A 的加速度，故B 和A 之间将发生相对滑动.设A 、B 间的最大静摩擦力为max f ，当F 作用于B 时可用整体法求加速度，再用隔离法求内力max f .由牛顿第二定律可列出：1()A B F m m a =+ ① max 1A f m a = ②当外力F 作用在A 上时，则用隔离法求加速度，再用整体法求最大推力max F ，故由牛顿第二定律可列出：max 2B f m a = ③ max 2()A B F m m a =+ ④ 联立①②③④得：max 6N F =【例2】如图2所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，质量为m 的物块A 叠放在物体B 上，B 的上表面水平;当A 随B 一起沿斜面下滑时，A 、B 保持相对静止，求B 对A 的支持力和摩擦力.〖解析〗 当A 随B 一起沿斜面下滑时，A 受竖直向下的重力mg 、B 对A 竖直向上的支持力N 和水平向左的摩擦力f 而加速运动，如图3所示.设B 的质量为M ，以A 、B 整体为研究对象，根据牛顿第二定律有:()sin ()M m g M m a θ+=+，解得: sin a g θ=. 再将A 隔离出来作为研究对象，将加速度沿水平方向和竖直方向进行分解如图3所示，则有：cos sin cos x a a g θθθ==，2sin sin y a a g θθ== 所以有：sin cos x f ma mg θθ== 又2sin y mg N ma mg θ-==得：2s N mgco θ=.二、叠加系统所受合外力不为零且有相对运动这类情况中，叠加系统因受外力作用且加速度不同而存在相对运动，具体求解时一般采用隔离法，即“锣当锣打，鼓作鼓敲”，认真分析系统内每个物体在不同阶段的受力和运动情况，建立清晰的物理图景，然后由牛顿定律与匀变速直线运动公式、动量定理或动能定理列方程，同时抓住叠加体之间的位移关系或几何条件列式，再联立求解.【例3】如图4所示，一木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量为4kg M =，长为 1.4m L =，木板右端放一小滑块，滑块质量为1kg m =，其尺寸远小于L ,滑块与木板之间的动摩擦因数为0.4μ=(210m/s g =). (1)用恒力F 作用在M 上，为使m 能从M 上滑落，F 大小的范围如何? (2)其他条件不变，若恒力22.8N F =始终作用在M 上，且最终使m 从M 上滑落，则m 在M 上面滑动的时间多长？〖解析〗（1）取滑块m 为研究对象，m 与木板M 间的滑动摩擦力为：f N F F mg μμ==m 在滑动摩擦力f F 作用下向右运动的加速度为：214m/s f F a g mμ===取木板M 为研究对象，M 在拉力F 和滑动摩擦力f F 作用下向右运动的加速度为：2f F F a M-=使m 从M 上面滑落的条件是21a a >,即ff F F F M m->.联立以上四式可解得：()20N F M m g μ>+=(2)设m 在M 上面滑动的时间为t ，恒力22.8N F =时M 的加速度为：22 4.7m/s f F F a M-==小滑块在时间t 内运动位移为：21112x a t =木板在时间t 内运动位移为：22212x a t =则有：21x x L -=,由以上各式可解得：2s t = 【例4】物体A 的质量1kg m =，静止在光滑水平面上的平板车B 的质量为0.5kg M =、长1m L =，如图5所示.某时刻A 以04m/s v =向右的初速度滑上木板B 的上表面，在A 滑上B 的同时，给B 施加一个水平向右的拉力。

忽略物体A 的大小，已知A 与B 之间的动摩擦因数0.2μ=，重力加速度取210m/s g =.试求:（1）若5N F =，物体A在小车上运动时相对小车滑行图 1图 2图 3图 4图 5的最大距离；（2）如果要使A 不至于从B 上滑落，拉力F 大小应满足的条件. 〖解析〗（1）物体A 滑上木板B 以后，作匀减速运动，有A mg ma μ=，得22m/s A a g μ==木板B 作加速运动，有B F mg Ma μ+=，得：214m/s B a = 两者速度相同时，有0A B v a t a t -=，得：0.25s t = A 滑行距离：20115m 216A A x v t a t =-=B 滑行距离：217m 216B B x a t ==最大距离：0.5m A B x x x ∆=-=(2)物体A 不滑落的临界条件是A 到达B 的右端时，A 、B 具有共同的速度1v ，则：22201122A Bv v v L a a -=+ 又：011A Bv v v a a -=,可得：26m/s B a = 牛顿第二定律知：B F mg Ma μ+=，解得：1N F = (1)若1N F <，则A 滑到B 的右端时，速度仍大于B 的速度，于是将从B 上滑落，所以F 必须大于等于1N . (2)当F 较大时，在A 到达B 的右端之前，就与B 具有相同的速度，之后，A 必须相对B 静止，才不会从B 的左端滑落。

即有：()F M m a =+,mg ma μ= 所以：3N F =【例5】如图6所示，一辆载重卡车沿平直公路行驶，车上载有质量均为m 的A 、B 两块长方体水泥预制件,已知预制件右端与车厢前挡板的距离为L ，A 、B 间以及B 与车厢间的动摩擦因数分别为12μμ、，(12μμ<) ,卡车以速度0v 匀速行驶时因前方出现障碍物而制动并做匀减速直线运动，各接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，问：(1)卡车制动的加速度满足什么关系时，预制件A 相对B 滑动，而B 相对车厢底板静止?(2)制动后为保证司机安全，需使预制件不与车厢前挡板碰撞，从卡车开始制动到停止所经历的时间应满足什么条件?〖解析〗(1)A 受力如图7所示，A 相对B 滑动有：11mg ma μ=，可得：11a g μ=B 受力如图8所示，若B 相对于车厢底板滑动，则有: 2122mg mg ma μμ-=可得： 221(2)a g μμ=- 要使A 相对于B 滑动，需满足1a a <车;要使B 相对于车厢底板静止，需满足2a a <车，由以上各式联立可得：121(2)g a g μμμ<<-车(2)因1a a <车，据202v ax =可知12x x <，故卡车制动后，设A 的位移为1x ，有: 20112v a x =卡车的位移为2x ，有22v a x =车车. 要使A 不与车厢的挡板相碰，应满足：1x x L -≤车，即2222vvL ga μ-≤1车,故20202gv a v gL μμ≤-1车1.设卡车的制动时间为t ，则有0v a t=车，可得：20002v v gLt a gv μμ-=≥11车 【例6】如图9所示，在光滑的水平桌面上放有长木板C ，在C 上的左端和距左端距离s 处各放有小物块A 和B , A 、B 的大小不计，A 、B 与长木板C 之间的动摩擦因数都为μ，A 、B 、C 的质量均为m ．开始时，B 、C 静止，A 以某一初速度0v 向右做匀减速运动，设物块B 与长木板C 之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：(1)物块A 运动过程中，物块B 受到的摩擦力；(2)要使物块A 、B 相碰，物块A 的初速度0v 应满足的条件.〖解析〗(1)设物块A 在C 上滑动时，由牛顿第二定律可得物块A 的加速度大小A mga g mμμ==B 相对于C 静止不动，则对B 、C 由牛顿第二定律得B 、C 的加速度大小122mga g m μμ== 又B 依靠摩擦力可获得的最大加速度为m a g μ= 因m a a >，所以B 未相对于长木板C 滑动而随长木板C 一起向右做加速度为12a g μ=的加速运动，B 受到的摩擦力12f ma mg μ==，方向向右．(2)要使物块A 刚好与物块B 发生碰撞，物块A 运动到物块B 处时，A 、B 的速度相等，即A B v v =,而00A A v v a t v gt μ=-=-，12B v at gt μ==联立解得：023v t g μ=，03A vv = 设长木板C 在此过程中的位移为1s ，则物块A 的位移为1s s +，对物块A 由运动学公式得22012()A A v v a s s -=-+又知2112s at =，联立解得物块A 刚好与物块B 发生碰撞的初速度03v gs μ= 故要使物块A 、B 相碰，物块A 的初速度0v 应满足的条件为03v gs μ≥ 点评 题目叙述的物理情景是物块A 做匀减速直线运动，B 做匀加速直线运动，物块A 运动到物块B 处时，图 7 图 8图 6图 9A 、B 的速度相等是两物块刚好相碰的临界条件，这也是典型的追及类问题能否相遇的临界条件．【例7】一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。

桌布的一边与桌的AB 边重合，如图10所示，已知盘与桌布间的动摩擦因数为1μ，盘与桌面间的动摩擦因数为2μ.现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边。

若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么?(以g 表示重力加速度) 【分析】这是一道特别复杂的综合题，不仅物理过程多，而且干扰因素也多。

可以将题中复杂的物理过程拆散分解为如下3个小过程，就可以化繁为简、化难为易，轻易破解本题。

过程1：圆盘从静止开始在桌布上做匀加速运动至刚离开桌布的过程；过程2：桌布从突然以恒定加速度a 开始抽动至圆盘刚离开桌布这段时间内做匀加速运动的过程； 过程3：圆盘离开桌布后在桌面上做匀减速直线运动的过程。