高中数学北师大版选修2-1练习：第一章章末综合检测 Word版含解析
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意x ∈R ，e x ＞x 2”的否定是( )A ．存在x ∈R ，使得e x ≤x 2B ．任意x ∈R ，使得e x ≤x 2C ．存在x ∈R ，使得e x ＞x 2D ．不存在x ∈R ，使得e x ＞x 2解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x ∈R ，使得e x ≤x 2”．2．原命题“若x ≤－3，则x ＜0”的逆否命题是( )A ．若x ＜－3，则x ≤0B ．若x ＞－3，则x ≥0C ．若x ＜0，则x ≤－3D ．若x ≥0，则x ＞－3解析：选D.逆否命题是对原命题的条件和结论否定后再对换，故该命题的逆否命题为“若x ≥0，则x ＞－3”．3．已知条件p ：x ＞0，条件q ：x ≥1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为{x |x ≥1}{x |x ＞0}，所以p 是q 的必要不充分条件．4．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( )A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC ．a α，b ⊥β，α∥βD ．a α，b ∥β，α⊥β解析：选C.因为b ⊥β，α∥β，所以b ⊥α，又a α，所以a ⊥b .5．命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像；命题q ：函数y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x )的最小正周期是π，则命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin 2(x －π3)＝sin(2x －2π3)的图像，所以命题p 是假命题，“非p ”是真命题，“p 且q ”是假命题． 函数y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x )＝cos(π2－x －π6)·cos(π3－x )＝cos 2(π3－x )＝cos （2x －2π3）2＋12，最小正周期为π，命题q 为真命题，所以“p 或q ”为真命题，故真命题有2个，故选C.6．命题“存在x ∈R ，2x ＋x 2≤1”的否定是( )A ．对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1，假命题B ．对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1，真命题C ．存在x ∈R ，2x ＋x 2＞1，假命题D ．存在x ∈R ，2x ＋x 2＞1，真命题解析：选A.因为x ＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1”是假命题．7．已知平面α，直线l ⃘α，直线m α，则“直线l ∥α”是“l ∥m ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.l ∥α，l ⃘α，m α，l 与m 可能平行或异面；反过来，若l ∥m ，l ⃘α，m α，则l ∥α.8．命题p ：“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”，若p 为原命题，则p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.因为p 真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.9．已知命题p ：函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或qC ．(非p )且(非q )D ．p 或(非q )解析：选B.函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π2知命题p 为假命题；若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )关于x ＝1对称，据此可知命题q 为真命题，根据真值表可得“p 或q ”为真命题．10．下列判断正确的是( )A ．命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”B ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是假命题C ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集，必有a ＞0且Δ≤0D ．x 2≠y 2⇔x ≠y 且x ≠－y解析：选D.对于A ：其逆否命题为“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”，排除A.对于B.若“p 或q ”为假命题，则p 、q 均为假命题，非p 、非q 均为真命题，故非p 且非q 为真命题，排除B.对于C ：ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集，当a ＝0时，可得b ＝0，c ＞0，当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0，排除C ，故选D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．若“x ＝2”是“x 2－2x ＋c ＝0”的充分条件，则c ＝________.解析：由题意x ＝2⇒x 2－2x ＋c ＝0，所以22－2×2＋c ＝0，所以c ＝0.答案：012．若命题“存在x ＜2 015，x ＞a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为“存在x ＜2 015，x ＞a ”是假命题，所以其否定：“对任意x ＜2 015，x ≤a ”为真命题，所以a ≥2 015.答案：[2 015，＋∞)13．若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的________条件． 解析：若a·b ＝a·c ，则a·b －a·c ＝0，即a·(b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )；反之，若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0，即a·b －a·c ＝0，所以a·b ＝a·c .从而有a·b ＝a·c ⇔a ⊥(b －c )．答案：充要14．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若“p 或q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：“p 或q ”为假，则非p 和非q 均为真．非p ：对任意x ∈R ，mx 2＋1＞0为真时，m ≥0；非q ：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0为真时，Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥0}∩{m |m ≤－2或m ≥2}＝{m |m ≥2}．答案：[2，＋∞)15．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列四个命题：①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变；③P 在直线BC 1上运动时，二面角P -AD 1C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线D 1A 1.其中真命题的编号是________．解析：对①，P 在直线BC 1上运动时，S △AD 1P 为定值，C 到底面AD 1P 的距离为定值，①为真命题；对②，P 在直线BC 1上运动时，P 到底面ACD 1的距离PO (O 为垂足)不变，但线段OA 的长是变化的；所以②是假命题；对③，由于BC 1∥AD 1，③为真命题；对④，由于直线D 1A 1上任一点到点D 和C 1距离相等，又D 1A 1平面A 1B 1C 1D 1，④为真命题．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假．(1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a ，b 不都为0，则a 2＋b 2≠0”；(3)命题“对于任意x ∈(0，＋∞)，有x ＜4且x 2＋5x －24＝0”的否定．解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a 2＋b 2＝0，则实数a ，b 同时为0”，显然为真，故原命题为真；(3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题．17．(本小题满分10分)已知命题p ：实数x 满足x 2－2x －8≤0；命题q ：实数x 满足|x －2|≤m (m ＞0)．(1)当m ＝3时，若“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若“非p ”是“非q ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)若p 真：－2≤x ≤4；当m ＝3时，若q 真：－1≤x ≤5，因为“p 且q ”为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－1≤x ≤5， 所以实数x 的取值范围为[－1，4]．(2)因为非p 是非q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，因为若q 真：2－m ≤x ≤2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ≤－2，4≤2＋m ，且等号不同时取得， 所以m ≥4.18．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)＞0成立，求实数m 的取值范围．解：(1)不等式m 0＋f (x )＞0可化为m 0＞－f (x )，即m 0＞－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0＞－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m 0＞－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0＞－4.(2)不等式m －f (x 0)＞0可化为m ＞f (x 0)，若存在一个实数x 0使不等式m ＞f (x 0)成立，只需m ＞f (x 0)min .又f (x 0)＝(x 0－1)2＋4，所以f (x 0)min ＝4，所以m ＞4.所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若非p 是非q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：x －5x －3≥2， 所以x －1x －3≤0，所以1≤x ＜3. 因为q ：x 2－ax ≤x －a ，所以x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0.①当a ＜1时，a ≤x ≤1；②当a ＝1时，x ＝1；③当a ＞1时，1≤x ≤a .因为非p 是非q 的充分条件，所以q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ，当a ＜1时，A B ，不合题意；当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a ＞1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1＜a ＜3.综上，a 的取值范围为a ∈[1，3)．20．(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b ＞0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b ＞1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明：(1)此题等价于对所有x ∈R 有ax －bx 2≤1，即bx 2－ax ＋1≥0，因为b ＞0，所以Δ＝a 2－4b ≤0.又因为a ＞0，所以a ≤2b .(2)①必要性：设对所有x ∈[0，1]，有|f (x )|≤1，即－1≤ax －bx 2≤1.令x ＝1∈[0，1]，则有－1≤a －b ≤1，即b －1≤a ≤b ＋1.因为b ＞1，所以12－12b ≤a 2b ≤12＋12b. 这说明a 2b∈[0，1]． 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2b ≤1，即a 22b －b ·a 24b 2≤1. 所以a 2≤4b ，a ≤2b .综上所述，有b －1≤a ≤2b .②充分性：设b －1≤a ≤2b .因为b ＞1，所以a 2b ＝a 2b ·1b＜1. 所以当x ∈[0，1]时f (x )的最大值为f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a ·a 2b －b ·a 24b 2＝a 24b＜1. 又因为f (x )的图像是开口向下的抛物线，所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1.综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b.。
2016-2017学年高中数学北师大版选修2-1章末综合测评1 含解析
章末综合测评（一) 常用逻辑用语（时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．下列命题：①5＞4或4＞5;②9≥3；③命题“若a＞b，则a ＋c＞b＋c”的否命题;④命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题．其中假命题的个数为( ）A．0 B．1C．2 D．3【解析】①是p或q形式的命题，p真q假，故p或q为真命题；②是p或q形式的命题，同理为真命题;③否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，是真命题；④逆命题是“两条对角线相等的四边形是矩形”，是假命题，比如等腰梯形的对角形也相等．【答案】B2．（2016·襄阳高二检测)下列命题中是全称命题的是( )A．圆有内接四边形B.错误!＞错误!C.错误!＜错误!D．若三角形的三边长分别为3，4，5,则这个三角形为直角三角形【解析】“圆有内接四边形”即为“任意圆都有内接四边形”故为全称命题．【答案】A3．下列特称命题中，是假命题的是（）A．存在x0∈R,x错误!－2x0－3＝0B．至少有一个x∈Z，x能被2和3整除C．存在两个相交平面垂直于同一直线D．存在x0∈{x｜x是无理数}，使x错误!是有理数【解析】对于A，当x＝－1时,x2－2x－3＝0，故A为真命题；对于B，当x＝6时，符合题目要求，为真命题；C为假命题;对于D,x＝错误!时,x2＝3，故D为真命题．【答案】C4．“a＝错误!”是“对任意的正数x，2x＋错误!≥1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝错误!时，2x＋错误!＝2x＋错误!≥1，当且仅当x＝错误!时取“＝",故充分性成立,当2x＋错误!≥1对x∈R恒成立时,a≥（x－2x2）max得a≥错误!，故必要性不成立．故选A.【答案】A5．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1,则方程x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝A,则A⊆B”的逆否命题．其中真命题个数为（) A．1 B．2C．3 D．4【解析】①②④显然成立．③∵x2－2x＋m＝0有实数解，∴Δ＝4－4m≥0，即m≤1。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1练习：第一章2.3 充要条件 1 Word版含解析.doc
[基础达标]1.设x ∈R ，则x ＞e 的一个必要不充分条件是( )A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞3D ．x ＜3解析：选A.∵x ＞1⇒/ x ＞e ，而x ＞e ⇒x ＞1. 2.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l ⊥β”，因此选A.3.设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a －b )2，a ＞b /⇔ a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D. 5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴充分性成立； 当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立． 6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要7.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D .答案：必要不充分8.已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}， 由题意，A B ，∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜121＋a ≥1. ∴a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19.已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件．(2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件．(3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，而p ⇒/ q ，所以p 是q 的必要不充分条件．10.求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2.证明：(1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1＞0，所以x 1，x 2同号．又x 1＋x 2＝－m ≤－2＜0，所以x 1，x 2同为负数．即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2.综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，∴a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2/⇒ M ＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N /⇒ a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.证明：(1)必要性．∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－qq n . ∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q. ∴a ＋b ＝0.(2)充分性．∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a .∵a n ＝S n －S n －1＝(aq n －a )－(aq n －1－a ) ＝a (q －1)q n －1(n ＞1)， ∴a n ＋1a n ＝a （q －1）q na （q －1）q n －1＝q (n ＞1)． 又∵a 1＝aq －a ，a 2＝aq 2－aq ，∴a2a1＝aq2－aqaq－a＝q.故数列{a n}是公比为q的等比数列．综上所述，数列{a n}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.4．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.∴命题p对应的集合为A＝{x|1－a＜x＜1＋a，a＞0}．由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7.∴命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．显然集合B A，即q/⇒p，所以p不是q的必要条件．如果p是q的充分条件，则p⇒q，即A⊆B，所以1＋a≤3或1－a≥7.又a＞0，所以0＜a≤2.∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()y f x =的定义域为R ，有下面三个命题，命题p ：存在a ∈R 且0a ≠，对任意的x ∈R ，均有()()()+<+f x a f x f a 恒成立，命题1q ：()y f x =在R 上是严格减函数，且()0f x >恒成立；命题2q ：()y f x =在R 上是严格增函数，且存在00x <使得0()0f x =，则下列说法正确的是（ ） A ．1q 、2q 都是p 的充分条件 B ．只有1q 是p 的充分条件 C ．只有2q 是p 的充分条件 D ．1q 、2q 都不是p 的充分条件 2．使不等式2x x 60--<成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x 0-<< B ．3x 2-<<C ．2x 3-<<D ．2x 4-<<3．已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知命题p ：若实数,x y 满足330x y +=，则,x y 互为相反数；命题q ：若0a b >>，则11a b<.下列命题p q ∧，p q ∨，p ⌝，q ⌝中，真命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题D ．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>22221x y a b -=的渐近线方程为12y x =±6．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝7．下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”；④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”. A ．1B ．2C ．3D ．48．命题:p 关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立，:q 函数()()32xf x a =-是增函数，若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则实数a 取值范围为（ ） A ．()(),22,-∞-+∞B ．(][),21,2-∞-C ．(](],21,2-∞-D ．(][),22,-∞-+∞9．下列四种说法中，错误的个数是（ ）①命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”； ②命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真； ④若实数x ，[]0,1y ∈，则满足221x y +>的概率为4π. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．已知命题p ：23100x x -->，命题q ：23x m m +＞﹣，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，2]B ．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D ．（﹣1，2）11．下列命题中正确命题的个数是（ ）①对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++>； ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题； ③设a ，b 是非零向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的必要不充分条件； ④3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件. A ．1 B ．2C ．3D ．412．已知2:11xp x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ．()1,-+∞二、填空题13．若命题“x ∃∈R ，220x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 14．给出下列命题：①纯虚数z 的共轭复数是z -； ②若120z z -=，则12z z =；③若12R z z +∈，则1z 与2z 互为共轭复数； ④若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数.其中正确命题的序号是_________.15．由命题p ：“矩形有外接圆”，q ：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的3个命题中真命题有__________个（只填真命题的个数）.16．若命题“*n N ∃∈，260n nt -+≤”是真命题，则实数t 的取值范围是______. 17．已知命题：P ：不等式20x mx m -+>的解集为R ；Q ：不等式2x x m --<的解集为R ，若命题P 与命题Q 中至少有一个为假命题，则m 的取值范围为_______________. 18．设集合{1,2}A =，2{|10}B x x ax =--≤，若x A ∈是x B ∈的充分条件，则实数a 的取值范围是________19．若命题p ：∃x ∈R ，ax 2+4x +a ＜﹣2x 2+1是假命题，则实数a 的取值范围是________． 20．设命题p ：实数a 满足不等式39a ≤；命题q ：函数329()(3)2772f x x a x x a =+-++无极值点．又已知“p q ∧”为真命题，记为r .命题t ：211(2)()022a m a m m -+++>，若r 是t ⌝的必要不充分条件，则正整数m 的值为_____．三、解答题21．设集合{}2230A x x x =+-<，集合{}1B x x a =+<. （1）若3a =，求A B ；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.22．已知集合A ＝233|1,,224y y x x x ⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围.23．给定两个命题:p 对任意实数x 都有不等式210ax ax ++>恒成立；:q 关于x 的方程20x x a --=有实数根；若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．24．命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的实数根， 命题:q 方程244210()x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题.求m 的取值范围.25．已知m R ∈，p ：m 128<<；q ：不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立. （1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围. 26．设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >．命题q ：实数x 满足302x x-≥-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围．（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先由命题1q 成立时，利用单调性和函数值为正，结合不等式性质即推出命题p 成立，再由命题2q 成立时，利用单调性和函数零点，推出命题p 成立，即得结果. 【详解】命题1q 成立，即()y f x =在R 上是严格减函数，且()0f x >恒成立， 故取0a >时，对任意的x ∈R ，x a x +>，则()()f x a f x +<，()0f a >即0()f a <，故()()()+<+f x a f x f a ，即命题1q 可推出命题p ，1q 是p 的充分条件； 命题2q 成立，()y f x =在R 上是严格增函数，且存在00x <使得0()0f x =， 故取00a x =<时，对任意的x ∈R ，x a x +<，则()()f x a f x +<，0()()0f a f x ==，()()()f x a f x f a +<+，即命题2q 可推出命题p ， 2q 是p 的充分条件；故1q 、2q 都是p 的充分条件. 故选：A. 【点睛】本题解题关键在于分别由命题1q 、2q ，利用函数的单调性和值的分布特征去证明命题p ，即突破难点.2．A解析：A 【分析】首先求解二次不等式，然后确定其成立的一个充分不必要条件即可. 【详解】由260x x --<得()()230x x +-<，得23x -<<， 若使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件， 则对应范围是()2,3-的一个真子集， 即20x -<<，满足条件， 故选A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键．3．C解析：C 【分析】利用函数3y x =，2x y =的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可. 【详解】函数3y x =在R 上单调递增，则33b a a b <⇔< 函数2x y =在R 上单调递增，则22a b a b <⇔< 则“33a b <”是 “22a b <”的充要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断充要条件，涉及了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据条件分别判断两个命题的真假，结合复合命题的真假关系，进行判断，即可判定. 【详解】由题意，例如0x y ==时，此时330x y +=，所以命题p 为假命题；命题q ：中当0a b >>时，110b a a b ab --=<成立，所以11a b<，所以命题q 为真命题，所以命题p q ∧假命题；p q ∨为真命题；p ⌝为真命题；q ⌝为假命题，真命题的个数是2个，故选B. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，其中解答中先判定命题,p q 的真假，再结合复合命题的真假关系判定真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．D解析：D 【分析】利用四种命题的逆否判断A 的正误，命题的否定判断B 的正误；根据充分条件与必要条件判断C 的正误；根据椭圆的离心率可得,a b 关系，进而求得双曲线的渐近线方程； 【详解】解：对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误； 对于B ，命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈ 均有210x x ++≥”，故B 错误；对于C ，因为原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题，故C 错误；对D ，因为122c b a a a ==⇒=，所以双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为12y x =±，故 D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查四种命题的逆否关系，命题的否定以及充要条件的判断，是基本知识的综合应用．6．D解析：D 【解析】试题分析：不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而¬p 为假命题，¬q 为真命题，所以根据复合命题的真值表得A 、B 、C 均为假命题，故选D ． 考点：本题考查复合命题真假的判断．点评：本题直接考查复合命题的真值判断，属于基础题型．7．C解析：C 【分析】①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()af x x =的图象判断.④由()222222a ba b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性. 【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确. ②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确.④因为()2222224a ba b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确.故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】先求得命题,p q 为真命题时，a 的取值范围.根据“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题可知,p q 一真一假，由此进行分类讨论，求得a 的取值范围.【详解】当p 为真命题时，24160a ∆=-<，解得22a -<<. 当q 为真命题时，321,1a a -><.由于“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以,p q 一真一假. 当p 真q 假时，221a a -<<⎧⎨≥⎩，解得12a ≤<；当p 假q 真时，221a a a ≤-≥⎧⎨<⎩或，解得2a ≤-.综上所述，实数a 的取值范围是(][),21,2-∞-.故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式恒成立问题，考查根据含有逻辑联结词命题的真假性求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据题意，①②说法正确，若0m =③错误，根据古典概型④概率应该为14π-.【详解】命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”，所以①正确；命题“p q ∨为真”即p ，q 至少有一个为真，不能推出命题“p q ∧为真”，命题“p q ∧为真”则p ，q 全为真，能够推出命题“p q ∨为真”，所以命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，所以②正确；“若22am bm <，则a b <”的逆命题是：若a b <，则22am bm <，当0m =时不成立，所以该逆命题不是真命题，所以③不正确；若实数x ，[]0,1y ∈，有序数对(),x y 对应平面内的点形成的区域面积为1，如图：其中扇形区域不满足221x y +>，面积为4π，深色区域符合题意，则满足221x y +>的概率为14π-，所以④不正确.故选：C 【点睛】此题考查命题的真假判断，涉及全称命题的否定，含有逻辑连接词的命题真假判断，不等式的性质辨析，求几何概型，涉及知识面比较广.10．B解析：B 【分析】由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,则q 是p 的充分不必要条件, 由23100x x -->得5x >或2x <-，只需235m m -+≥,即可.【详解】由23100x x -->得5x >或2x <-,因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件,所以q 是p 的充分不必要条件,所以235m m -+≥,解得2m ≥或1m ≤-. 故选:B . 【点睛】本题考查充分必要条件求参数取值范围问题,难度一般.11．A解析：A 【分析】①根据特称命题的否定是全称命题，判断①错误；②原命题与它的逆否命题真假性相同，判断它的逆否命题的真假性即可; ③利用向量的平行四边形法则，转化为平行四边形的对角线的关系，判断即可； ④计算直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的等价条件为0,3m =，即可.【详解】对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∃∈，均有210x x ++≥,故①不正确；命题“已知x ，y R ∈，，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”的逆否命题为：“已知x ，y R ∈，，若2x =且=1y ，则3x y +=”为真命题，故②正确；设a ，b 是非零向量，则“a b =”是“a b a b +=-”的既不充分也不必要条件，故③不正确；直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直，则0,3m =，故④不正确. 故选：A 【点睛】本题考查了命题的否定，逆否命题，充要条件等知识点，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.12．A解析：A 【分析】由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集，从而可求出答案． 【详解】 解：∵211x x <+，∴2101x x x --<+，即101x x -<+， ∴()()110x x +-<，解得11x -<<， ∴:11p x -<<，由p 为q 的充分不必要条件可得211xx <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集， 当3a =时，解得:3q x ≠，满足条件； 当3a >时，解得:q x a >或3x <，满足条件； 当3a <时，解得:3q x >或x a <，∴13a ≤<， 综上：1a ≥， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题13．【分析】由题意可知恒成立结合二次函数的性质可求的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】原命题否定为真命题即∴因为图象开口向上对称轴为则∴故答案为:【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围考查 解析：(],1-∞-【分析】由题意可知22a x x ≤-恒成立，结合二次函数的性质可求22x x -的最小值，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】原命题否定，x ∀∈R ，220x x a --≥为真命题，即22a x x ≤-，∴()2min2a x x≤-，因为22y x x =-图象开口向上，对称轴为1x =，则()2min2121x x-=-=-，∴1a ≤-，故答案为: (],1-∞-. 【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围，考查了已知命题的真假性求参数的取值范围.本题的关键是由已知得不等式恒成立.14．①④【分析】对于①根据纯虚数和共轭复数的定义可知正确；对于②由得出再由复数相等和共轭复数的定义可知不一定有可知②不正确；对于③则可能均为实数但不一定相等或与的虚部互为相反数但实部不一定相等即可判断出解析：①④ 【分析】对于①，根据纯虚数和共轭复数的定义可知正确；对于②，由120z z -=得出12z z =，再由复数相等和共轭复数的定义，可知不一定有12z z =，可知②不正确；对于③，12R z z +∈，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等，或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等，，即可判断出③；对于④，由120z z -=得出12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，则④正确；综合得出答案. 【详解】解：根据纯虚数和共轭复数的定义，可知命题①显然正确； 对于②，若120z z -=，只能得到12z z =，不一定有12z z =，所以命题②不正确；对于③，若12R z z +∈，则12,z z 可能均为实数，但不一定相等， 或1z 与2z 的虚部互为相反数，但实部不一定相等， 则1z 与2z 不一定互为共轭复数，所以命题③不正确； 由120z z -=得出12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，可知命题④正确；所以正确命题的序号是①④.故答案为：①④. 【点睛】本题考查复数相关命题的真假，考查对复数的概念中实数、虚数、纯虚数以及相等复数和共轭复数的特征的理解，属于基础题.15．1【分析】先判断两个命题的真假再判断复合命题的真假即得解【详解】由题得命题：矩形有外接圆是真命题；：矩形有内切圆是假命题所以或是真命题且是假命题非是假命题故答案为：1【点睛】本题主要考查命题真假的判解析：1 【分析】先判断两个命题的真假，再判断复合命题的真假即得解. 【详解】由题得命题p ：“矩形有外接圆”，是真命题；q ：“矩形有内切圆”，是假命题. 所以“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，“非p ”是假命题.故答案为：1【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查复合命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．【分析】若则t 存在性问题中只需要t 大于等于n+最小值即可对于n+最小值可以结合对勾函数求但是一定要注意n 只能是正整数故可以得最小值是5进而得t 的取值范围【详解】解：若n2﹣nt+6≤0则t 所以只需要解析：[)5,+∞【分析】若*n N ∃∈，260n nt -+≤，则*n N ∃∈，t 6n n +，存在性问题中，只需要t 大于等于n +6n 最小值即可，对于n +6n最小值可以结合对勾函数求，但是一定要注意n 只能是正整数，故可以得最小值是5，进而得t 的取值范围．【详解】解：若*n N ∃∈，n 2﹣nt +6≤0，则*n N ∃∈，t 6n n+， 所以只需要t 大于等于n +6n最小值即可． 当*n N ∃∈时，根据对勾函数的性质可知，n +6n ≥5． 所以，t ≥5，故答案为：[5．+∞）．【点睛】本题考查存在性问题求参数t 取值范围，是中档题．17．【分析】先求得均为真命题时的取值范围再求得至少有一个为假命题时的取值范围【详解】当为真命题时解得当为真命题时解得故均为真命题时的取值范围是所以命题与命题中至少有一个为假命题则的取值范围为故填：【点睛 解析：(,0][2,)-∞+∞【分析】先求得,P Q 均为真命题时m 的取值范围，再求得,P Q 至少有一个为假命题时m 的取值范围.【详解】当P 为真命题时，240m m ∆=-<，解得04m <<.当Q 为真命题时，2x x m x m x x m x m --=--≤+-=<，解得22m -<<.故,P Q 均为真命题时m 的取值范围是()0,2，所以命题P 与命题Q 中至少有一个为假命题，则m 的取值范围为(,0][2,)-∞+∞.故填：(,0][2,)-∞+∞.【点睛】本小题主要考查命题真假性，考查不等式的解集恒成立问题，属于基础题.18．【分析】解不等式求得集合B 再根据充分必要条件可得不等式组即可求得实数的取值范围【详解】因为集合所以解可得因为集合且是的充分条件所以解不等式组可得所以即实数的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查了充分 解析：3[,)2+∞ 【分析】解不等式,求得集合B,再根据充分必要条件可得不等式组,即可求得实数a 的取值范围.【详解】因为集合2{|10}B x x ax =--≤所以解210x ax --≤x ≤≤ 因为集合{1,2}A =且x A ∈是x B ∈的充分条件所以122a ≤⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得032a a ≤⎧⎪⎨≤⎪⎩ 所以32a ≤,即实数a 的取值范围为3[,)2+∞ 故答案为: 3[,)2+∞【点睛】本题考查了充分必要条件的简单应用,含参数一元二次不等式的解法,属于中档题. 19．【分析】利用命题p 为假命题得到非p 为真命题即∀x ∈Rax2+4x+a≥﹣2x2+1恒成立即可求出实数a 的取值范围【详解】∵∃x ∈Rax2+4x+a ＜﹣2x2+1是假命题∴非p 为真命题即∀x ∈Rax2解析：[)2,+∞【分析】利用命题p 为假命题，得到非p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2+4x +a ≥﹣2x 2+1恒成立，即可求出实数a 的取值范围．【详解】∵∃x ∈R ，ax 2+4x +a ＜﹣2x 2+1是假命题，∴非p 为真命题，即∀x ∈R ，ax 2+4x +a ≥﹣2x 2+1恒成立，∴∀x ∈R ，（a +2）x 2+4x +a ﹣1≥0恒成立，若a +2＝0，即a ＝﹣2，不等式等价为4x ﹣3≥0，解得x 34≥，不满足条件． 若a +2≠0，要使不等式恒成立，则必有()()20164210a a a +⎧⎨=-+-≤⎩＞，即2260a a a -⎧⎨+-≥⎩＞， ∴223a a a -⎧⎨≥≤-⎩＞或，解得a ≥2． 故答案为a ≥2．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定的应用，命题p 为假命题，得到非p 为真命题，是解决本题的关键．20．1【分析】先求命题为真命题时实数的取值范围再求交集得最后根据充要关系结合二次函数图象列不等式解得的取值范围即得结果【详解】因为所以因为函数无极值点所以中因为为真命题所以因为：而是的必要不充分条件所以 解析：1【分析】先求命题p ，q 为真命题时实数a 的取值范围，再求交集得r ，最后根据充要关系结合二次函数图象列不等式解得m 的取值范围，即得结果.【详解】因为39a ≤，所以2a ≤， 因为函数329()(3)2772f x x a x x a =+-++无极值点， 所以2()39(3)270f x x a x '=+-+=中281(3)4327015a a ∆=-⨯⨯≤∴≤≤- 因为“p q ∧”为真命题，所以:12r a ， 因为t ⌝：211(2)()022a m a m m -+++≤， 而r 是t ⌝的必要不充分条件，所以不等式211(2)()022a m a m m -+++≤的解集1[,]2m m +为[1]2，一个真子集，即131,2122m m m ≤+≤∴≤≤ 从而正整数m 的值为1.【点睛】本题考查复合命题真假以及充要关系，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）{}41x x -<<；（2）02a ≤≤.【分析】（1）化简集合,A B ，即得解；（2）化简集合,A B ，得到集合B 是集合A 的真子集，解不等式组1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩即得解. 【详解】（1）{}{}223031A x x x x x =+-<=-<<.因为3a =，所以{}{}3142B x x x x =+<=-<<-， 因此{}41A B x x ⋃=-<<；（2）{}31A x x =-<<，{}{}111B x x a x a x a =+<=--<<-，因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 因此有1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得02a ≤≤. 【点睛】本题主要考查集合的关系和运算，考查一元二次不等式和绝对值不等式的解法，考查必要不充分条件的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．34m ≥或34m ≤-. 【分析】试题分析：首先将集合,A B 进行化简，再根据命题p 是命题q 的充分条件知道A B ⊆，利用集合之间的关系，就可以求出实数m 的取值范围.【详解】化简集合A ，由2312y x x =-+，配方，得237416y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，min 716y ∴=，max 2y =. 7,216y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，7|216A y y ⎧⎫∴=≤≤⎨⎬⎩⎭化简集合B ，由21x m +≥，21x m -≥，{}2|1B x m =≥- 命题p 是命题q 的充分条件，A B ∴⊆.27116m ∴-≤， 解得34m ≥，或34m ≤-. ∴实数m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 23．1,0[4,)4⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由条件p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可知，应满足p ，q 一真一假，将命题p ，q 化简求出其参数取值范围，分类讨论分为p 真q 假和p 假q 真求解即可【详解】若命题p 为真命题，则对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，所以有0a =或2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a ≤<； 若q 为真命题，则关于x 的方程20x x a --=有实数根，所以有140a ∆=+≥，解得14a ≥-； 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以p ，q 一真一假，若p 真q 假，则有0414a a ≤<⎧⎪⎨<-⎪⎩，此不等式组无解； 若p 假q 真，则有4014a a a ≥<⎧⎪⎨≥-⎪⎩或，解得104a -≤<或4a ≥． 所以a 的取值范围为1,0[4,)4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题考查由命题的真假求解参数取值范围，分类讨论法的应用，属于中档题24．3m ≤-或2m >或21m -≤<-【分析】根据题意可知,p q 命题一个是真命题，一个是假命题；先求出两个命题都为真时参数的范围，再分类讨论，先交后并即可.【详解】若p 真：则可得240m =->，解得2m >或2m <-， 若q 真：则可得()2162160m =+-<，解得3<1m -<-. 因为“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，故可得,p q 一个是真命题，一个是假命题.当p 真q 假，则2m >或2m <-，且3m ≤-或1m ≥-，解得3m ≤-或2m >. 当p 假q 真222131m m m -⎧⇒-<-⎨-<<-⎩ ∴3m ≤-或2m >或21m -≤<-.【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围问题，属基础题.25．（1）[4,4]-（2）[4,0][3,4]-⋃【分析】（1）解不等式2160m ∆=-即得解；（2）由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，再分两种情况分析讨论得解.【详解】（1）由“不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立”为真得2160m ∆=-，解得44m -≤≤，故实数m 的取值范围为[4,4]-.（2）由“m 128<<”为真得m 的取值范围为03m <<，由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，当p 真q 假时，有0344m m m <<⎧⎨-⎩或，此时m 无解； 当p 假q 真时，有0344m m m ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或，解得40m -≤≤或34m ≤≤； 综上所述，m 的取值范围为[4,0][3,4]-⋃.【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查复合命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.26．（1）()2,3；（2）(]1,2.【分析】（1）分别求解两个命题为真命题时x 的取值范围，再求交集；（2）首先根据命题的等价性转化为q 是p 的充分不必要条件，得到B A ≠⊂，再求参数a 的取值范围. 【详解】()1由()224300x ax a a -+<>，得3a x a <<即p 为真命题时3a x a << 由302x x-≥-， 得()()3202x x x ⎧--≥⎨≠⎩即23x <≤，即q 为真命题时，23x <≤1a =时，:13p x <<由p q ∧为真，知,p q 均为真命题，则1323x x <<⎧⎨<≤⎩得23x <<，所以实数x 的取值范围为()2,3()2设{}{}3,23A x a x a B x x =<<=<≤由题意知q 是p 的充分不必要条件，所以B A ≠⊂有02 33aa<≤⎧⎨>⎩12a∴<≤所以实数a的取值范围为(]1,2.。
北师大版高中数学选修2-1本章练测：第1章常用逻辑用语(含答案详解).docx
第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分）1. 下列说法中,不正确的是( )A.“若p则p”与“若p则p”是互逆命题B.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互否命题C.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互否命题D.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互为逆否命题以下说法错误的是( )A.如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题命题“设a，b，c∈R,若a p2>b p2,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A．0个B．1个C．2个D．3个（2012·山东济宁一模）已知p:|x+1|≤4;q:p2＜5x－6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件设p：|4p−3|≤1,p：p2−(2p+1)p+p(p+1)≤0,若﹁p是﹁p的必要不充分条件，则实数p的取值范围是（）[0,12]B.(0,12)(−∞,0]∪[12,+∞)D.(−∞,0)∪(12,+∞)命题p：将函数p=sin2p的图像向右平移π3个单位长度得到函数p=sin(2p−π3)的图像；命题p：函数p=sin(p+π6)cos(π3−p)的最小正周期是π，则复合命题“p或p”“p且p”“非p”中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37.已知命题p：“∀p∈[1,2],p2−p≥0”,命题p：“∃p∈p，p2+2pp+2−p=0”若命题“p⋀p”是真命题，则实数p的取值范围是（）A. {p|p≤−2或p=1}B.{p|p≤−2或1≤p≤2}C. {p|p≥1}D. {p|−2≤p≤1}8.给出下列命题：①若“p或p”是假命题，则“﹁p且﹁p”是真命题；②|p|>|p|⇔p2>p2；③若关于p的实系数一元二次不等式pp2+pp+p≤0的解集为p，则必有p>0且p≤0；④{p>2,p>2⇔{p+p>4，pp>4.其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.49.关于p的函数p(p)=sin(pp+p)有以下命题：①∀ p∈p,p(p+2π)=p(p)；②∃ p∈p,p(p+1)=p(p)；③∀ p∈p，p(p)都不是偶函数；④∃ p∈p,使f(p)是奇函数．其中假命题的序号是（）A.①③B.①④C.②④D.②③10.下面有关命题的说法正确的是( )A.命题“若p2－3x+2=0，则x=1”的逆命题为“若x≠1，则p2－3x+2≠0”B.命题“若p2－3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1，则p2－3x+2≠0”C.命题“∃x∈R,log2p≤0”的否定为“∃x∈R,log2p＞0”D.命题“∃x∈R,log2p≤0”的否定为“∀x∈R,log2p＞0”11.有限集合p中元素的个数记作card(p)，设,B都是有限集合，给出下列命题：①p∩p=p的充要条件是card(p∪p)=card(p)+card(p)；②p⊆p的必要条件是card(p)≤card(p)；③p⊈p的充分条件是card(p)≤card(p)；④p=p的充要条件是card(p)=card(p).其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.312.已知命题p:∃ p∈p,使sin p=√52；命题p: ∀ p∈p,都有p2+p+1>0.给出下列结论：①命题“p∧p”是真命题；②命题“p∧(﹁p)”是假命题；③命题“(﹁p)∨p”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁p)”是假命题，其中正确的是（）A.②④B.②③C.③④D.①②③二、填空题（本题共4小题，每小题4分,共16分）13.若p=p(p)为定义在D上的函数，则“存在p0∈D,使得[p(−p0)]2≠[p(p0)]2”是“函数p=p(p)为非奇非偶函数”的________条件.14.已知p:与整数的差为12的数；p:整数的12，则p是p的________条件.15.已知命题p:(p−3)(p+1)>0,命题q:p2−2p+1−p2>0(p>0),若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数p的取值范围是____________.16.下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“{p＞0,p=p2－4pp≤0”是“一元二次不等式a p2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“p2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题（本题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）设命题为“若p>0，则关于p的方程p2+p−p=0有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．18.（本小题满分12分）已知命题p：任意p∈p，pp2+2p+3≥0，如果命题﹁p是真命题，求实数p的取值范围．19.（本小题满分12分）已知P＝{x|p2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1+m}.（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围.20.（本小题满分12分）设p：实数x满足p2－4ax+3p2＜0，其中a＞0；q：实数x满足{p2－p－6≤0,p2+2p－8＞0.（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？22.（本小题满分14分）设命题p:函数p(p)=(p−32)p是R上的减函数，命题q:函数p(p)= p2−4p+3在[0,p]上的值域为[−1,3]．若“p∧p”为假命题，“p∨p”为真命题，求p的取值范围．答题纸得分：________ 一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：18.解：19.解：20.解：21.解：22.解：答案一、选择题1.B 解析：“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互为逆否的命题，B不正确，故选B.2.B解析：两个命题互为逆否命题，它们之间有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.3.B解析：原命题正确，所以其逆否命题正确.逆命题不正确，因为当c＝0时，a p2=b p2.从而原命题的否命题也不正确.4. B解析：由|x+1|≤4⟹－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由p2＜5x－6⟹p2－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.5.A解析：由已知得若p成立，则12≤p≤1,若p成立，则p≤p≤p+1.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以{p≤12，1＜p+1，或{p＜12，1≤p+1.所以0≤p≤12.6.C 解析：将函数y=sin2p的图像向右平移π3个单位长度得到函数y=sin2(p−π3)=sin(2p−2π3)的图像，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数p=sin(p+π6)cos(π3−p)=cos(π2−p−π6)cos(π3−p)=cos2(π3−p)=cos(2p−2π3)2+12,最小正周期为π，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个，选C.7.A解析：若p成立，对∀p∈[1,2],有p≤p2.因为1≤p≤2,所以1≤p2≤4,即p≤(p2)min=1.若q成立，则方程p2+2pp+2−p=0的判别式p=4p2−4(2−p)≥0,解得p≤−2或p≥1.因为命题“p∧p”是真命题，所以p真q真，故p的取值范围为{p|p≤−2或p=1}.8.B解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若|p|>|p|，则p2>p2，若p2>p2,则|p|>|p|，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式pp2+pp+c≤0的解集是p，则必有p>0且p<0，所以③是假命题；当p>2,p>2时，必有p+p>4,pp>4.但当p= 1，y=5时，满足p+p>4,pp>4.但p<2，所以④是假命题.共有2个真命题.9. A解析：对于命题①，若p(p+2π)=sin(pp+2πp+p)=sin(pp+p)成立，p必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f(p)=sin(pp+p)，当p=π2时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.所以选A.10. D解析：A错误，逆命题为“若x=1，则p2－3x+2=0”；B错误，否命题为“若p2－3x+2≠0，则x≠1”；C错误，否定为“∀x∈R,log2p＞0”.11.C 解析：p∩p=p，集合p和集合p没有公共元素，①正确；p⊆p，集合p中的元素都是集合p中的元素，②正确；③错误；p=p，则集合p中的元素与集合p中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.所以选C.12.B解析：因为√52>1，所以命题p是假命题，﹁p是真命题；由函数y=p2+p+1的图像可得，命题q是真命题，﹁p是假命题.所以命题“p∧p”是假命题, 命题“p∧(﹁p)”是假命题，命题“(﹁p)∨p”是真命题，命题“(﹁p)∨(﹁p)”是真命题.所以②③正确.二、填空题13.充分不必要 解析：存在p 0∈D ,使得[p (–p 0)]2≠[p (p 0)]2,则函数p =p (p )为非奇非偶函数；若函数 p =p (p )为非奇非偶函数，可能定义域不关于原点对称，所以“存在p 0∈D ,使得[p (−p 0)]2≠[p (p 0)]2”是“函数p =p (p )为非奇非偶函数”的充分不必要条件.14.充分不必要 解析：p ，p 可分别用集合p ={p |p =p +12,p ∈p },p ={p |p =p2,p ∈p }表示，集合p 表示奇数的12,集合p 表示整数的12，因为p Üp ，所以p 是p 的充分不必要条件.15.(0,2)解析：两个命题可分别表示为p : p >3或p <−1，p : p >1+p 或p <1−p ，要使命题p 是命题p的充分不必要条件，则{1+p ≤3，1−p >−1，p >0，或{1+p <3，1−p ≥−1，p >0，解得0<p <2.16.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件.x ≠1⇏p 2≠1，反例：x ＝－1⟹p 2＝1，∴“x ≠1”是“p 2≠1”的不充分条件.x ≠0⇏x ＋|x |＞0，反例：x ＝－2⟹x ＋|x |＝0. 但x ＋|x |＞0⟹x ＞0⟹x ≠0，∴“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件.三、解答题17.解：否命题为“若p ≤0，则关于p 的方程p 2+p −p =0没有实数根”；逆命题为“若关于p 的方程p 2+p −p =0有实数根，则p >0”； 逆否命题为“若关于p 的方程p 2+p −p =0没有实数根，则p ≤0”.由方程p 2+p −p =0根的判别式p =1+4p >0，得p >−14，此时方程有实数根．因为p >0使1+4p >0，所以方程p 2+p −p =0有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程p 2+p −p =0有实数根，必须p >−14，不能推出p >0，故逆命题为假,从而否命题为假.18.解：因为命题﹁p 是真命题，所以p 是假命题.又当p 是真命题，即pp 2+2p +3≥0恒成立时，应有 {p >0，p =4−12p ≤0，解得p ≥13，所以当p 是假命题时，p <13. 所以实数p 的取值范围是{p |p <13}.19.解：（1）由p 2－8x －20≤0可解得－2≤x ≤10， ∴P ={x |－2≤x ≤10}. ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ， ∴{1－p =－2,1+p =10,∴{p =3,p =9.∴这样的m 不存在.（2）由题意知，x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件，则SP .于是有{1－p≥－2,1+p＜10或{1−p＞−2,1+p≤10,∴p≤3或p<3,∴m≤3.∴当m≤3时，x∈P是x∈S的必要不充分条件.20.解：解：由p2－4ax+3p2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由{p2－p－6≤0,p2+2p－8＞0,得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⟹¬q，且¬p⇏¬p.设A={x|¬p},B={x|¬q},则A B.又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.21.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.22.解：由0<p−32<1得32<p<52.因为p(p)=(p−2)2−1在[0,p]上的值域为[−1,3],所以2≤p≤4. 又因为“p∧p”为假命题，“p∨p”为真命题，所以p,p一真一假．若p真p假，则32<p<2；若p假p真，则52≤p≤4.综上可得，p的取值范围是{p|32<p<2或52≤p≤4}.。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试(有答案解析)
一、选择题1．“a b >”是“b a a b e e ->-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设0a >，0b >，则“1a b +≤”是“114a b+≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥；0x 命题001:(0,),22x q x ∃∈+∞=，则下列判断正确的是（ ）A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题7．已知命题p ：在ABC 中，若A B >，则cos cos A B <，命题q ：()0,x ∃∈+∞，sin x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8．下列说法正确的是（ ）A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,0x x R e ∃∈>”B ．命题“已知,x y R ∈，若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠”是真命题C ．命题“若1,a =-则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”2min min (2)()x x ax ⇔+≥在[]1,2x ∈上恒成立9．若命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．()2,6C ．(][),26,-∞+∞ D ．()(),26,-∞+∞10．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题的是（ ） A ．pB ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．p q ∧11．已知数列{}n a 和{}n b 满足n n b a =，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知x 、y R ∈，则“221x y +<”是“()()110x y -->”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件二、填空题13．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2211221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______．14．在命题“若m ＞－n ，则m 2＞n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．15．有下列四个命题： ①“若1xy=，则lg lg 0x y +=”；②“若sin cos 3παα+=，则α是第一象限角”的否命题；③“若0b ≤，则方程2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题； ④“若A B B ⋃=，则A B ⊆的逆命题． 其中是真命题的有________．16．设函数()f x 、()g x 的定义域均为R ，若对任意12,x x R ∈，且12x x <，具有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 为R 上的单调非减函数，给出以下命题：① 若()f x 关于点(,0)a 和直线x b =（b a ≠）对称，则()f x 为周期函数，且2()b a -是()f x 的一个周期；② 若()f x 是周期函数，且关于直线x a =对称，则()f x 必关于无穷多条直线对称；③ 若()f x 是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，则()f x 的图象是一条直线；④ 若()f x 是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y 轴的直线对称，则()f x 是常值函数；以上命题中，所有真命题的序号是_________17．“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的__________条件（填写“充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也非必要”） 18．函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=.①函数()y f x =一定是偶函数；②函数()y f x =可能既不是偶函数也不是奇函数； ③函数()y f x =若是偶函数，则值域是(]1,0-或[)0,1；④函数()y f x =可以是奇函数；⑤函数()y f x =的值域是(1,1)-，则()y f x =一定是奇函数. 其中正确命题的序号是__________（填上所有正确的序号）19．设:p 对任意的x ∈R 都有22x x a ->， q ：存在0x R ∈，使20220x ax a ++-=，如果命题p q ∨为真，命题p q ∧为假，则实数a 的取值范围是______.20．已知,R αβ∈，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的_________________条件(选填：“充分不必要”；“必要不充分”；“充要”；“既不充分也不必要”).三、解答题21．已知:46p x -≤，2:2240q x x --≤，若p q ∨为真，p q ∧为假，求实数x 的取值范围.22．若正整数数列{}n a ，{}n b 满足：对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，则称数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”.（1）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，求证：数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）已知数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，且111a b ==，求证：“数列{}n a 是等差数列” 是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.23．已知，其中(){}22112,2103x P x Q x x x m ⎧⎫-=-≤=-+-≤⎨⎬⎩⎭，其中全集U =R ，若U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.24．已知命题p ：实数x 满足2112x x +≥-，命题q ：实数x 满足2(21)(1)0x m x m m -+++≥.（1）求命题p 为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.25．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}220C x x mx =-+=.（1）若命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”为真命题，求实数a 的取值集合； （2）若C ≠∅，且“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求实数m 的取值集合. 26．设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+≤其中a ≠0，命题q ：实数x 满足2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】构造函数()x f x e x =+利用单调性判断. 【详解】设()x f x e x =+，()e 10x f x '=+>，所以()f x 为增函数， 由于a b >，所以()()f a f b >，所以b a a b e e ->-； 反之b a a b e e ->-成立，则有()()f a f b >，所以a b >. 所以是充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.2．C解析：C 【分析】利用函数3y x =，2x y =的单调性，结合充分条件和必要条件的性质判断即可. 【详解】函数3y x =在R 上单调递增，则33b a a b <⇔< 函数2x y =在R 上单调递增，则22a b a b <⇔< 则“33a b <”是 “22a b <”的充要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了判断充要条件，涉及了利用函数的单调性比较大小，属于中档题.3．C解析：C 【分析】 由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<， 所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件. 故选：C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4．A解析：A 【分析】结合直线和圆相切的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若直线2y kx =+与圆221x y +=相切， 则圆心(0,0)到直线20kx y -+=的距离1d ==，即214k +=，23k ∴=，即k =∴“k =是“直线2y kx =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线与圆相切的等价条件是解决本题的关键，比较基础．5．A解析：A 【分析】先利用基本不等式证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立即可. 【详解】解：因为0a >，0b >，所以1a b ≤+≤，所以104ab <≤， 所以14ab≥（当且仅当12a b ==时取等号），所以114a b +≥≥=（当且仅当12a b ==时取等号）.所以“1a b +≤”是“114a b+≥”的充分条件. 反之，当13a =，1b =时114a b +≥，但是1a b +>，所以“1a b +≤”是“114a b +≥”的不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、充分条件与必要条件，属于中档题.6．C解析：C 【分析】根据均值不等式得到p 为真命题，根据指数函数单调性得到q 为假命题，对比选项得到答案. 【详解】0x >时，4424x x x x+≥⋅=，当2x =时等号成立，故p 为真命题； 当0x >时，0221x >=，故q 为假命题.则()p q ∧⌝是真命题，()p q ⌝∧是假命题. 故选：C. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，命题的否定，且命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.7．C解析：C 【分析】由函数cos y x =在(0,)π上的单调性即可判断p 为真命题；当(0,)2x π∈时，令()sin f x x x =-，利用导数判断函数()f x 在(0,)2π上的单调性从而证明sin x x <，当[,)2x π∈+∞时，根据图象判断sin x x <，即可确定q 为假命题，利用复合命题的真假判断规则进行判断即可. 【详解】命题p ：在ABC 中，,(0,)A B π∈，因为函数cos y x =在(0,)π上单调递减，所以若A B >，则cos cos A B <，命题p 为真命题.命题q ：令()sin f x x x =-，当(0,)2x π∈时，cos 10y x '=-<，函数()sin f x x x=-在(0,)2π上单调递减，所以()(0)0f x f <=，即sin x x <；当[,)2x π∈+∞时，由下图可知sin x x <，所以q 为假命题.所以()p q ∨⌝为真命题. 故选：C 【点睛】本题考查复合命题的真假判断，涉及正、余弦函数的图象与性质，利用导数证明不等式，属于中档题.8．B解析：B 【分析】A ．注意修改量词并否定结论，由此判断真假；B ．写出逆否命题并判断真假，根据互为逆否命题同真假进行判断；C ．写出逆命题，并分析真假，由此进行判断；D ．根据对恒成立问题的理解，由此判断真假. 【详解】A ．“,0x x R e ∀∈>”的否定为“,0x x R e ∃∈≤”，故错误；B ．原命题的逆否命题为“若2x =且1y =，则3x y +=”，是真命题，所以原命题是真命题，故正确；C ．原命题的逆命题为“若函数2()21f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”， 因为0a =时，()21f x x =-，此时也仅有一个零点，所以逆命题是假命题，故错误；D ．“22x x ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“min 2x a x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭在[]1,2x ∈上恒成立”，故错误. 故选：B. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到函数零点、含一个量词的命题的真假判断、不等式恒成立问题的理解等内容，难度一般.注意互为逆否命题的两个命题真假性相同.9．A解析：A 【分析】因为原命题是假命题，其否定为真命题，问题可转化为0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥恒成立，故由0∆≤即可求出m 的取值范围． 【详解】因为命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题， 故其否定：“0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥”为真命题， 故224(23)8120m m m m ∆=--=-+≤，解得26m ≤≤, 故实数m 的取值范围是[2,6]． 故选：A 【点睛】本题原命题是存在性命题且为假命题，它的否定是全称命题且为真命题，进而将问题转化为恒成立处理，采用正难则反的思想进行求解，同时考查命题的等价性和转化的思想．10．C解析：C 【分析】由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项. 【详解】命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，可知当34x π=-104x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，故p 为假； 命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切，则d ==， 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真， 故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.11．A解析：A 【分析】根据等比数列定义可证得11n n n na b q b a ++==，可知充分性成立；通过反例可确定必要性不成立，从而得到结果. 【详解】若数列{}n a 为等比数列，公比为q ，则11n n n na b q b a ++== {}n b ∴为等比数列，充分性成立设数列{}n b 的通项公式为2nn b = {}n b ∴为等比数列，公比2q若数列{}n a 为：2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅，满足12n na a +=，但{}n a 不是等比数列必要性不成立∴“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的充分而不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列定义的应用；关键是能够明确数列成等比数列需满足的条件.12．A解析：A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义结合不等式的性质判断即可. 【详解】由221x y +<，可得11x -<<，且11y -<<，则可得到()()110x y -->，故充分性成立；反之若()()110x y -->，可取2x y ==，显然得到不等式221x y +<不成立，故必要性不成立. 故选：A ． 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了不等式基本性质的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】 解析：(,5]-∞【分析】先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式222222154x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出223414x x ++诉最大值可得结论． 【详解】由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-，∴当2112x x =-时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2[3,4]x ∃∈，使222222154x x x ax -+--+-成立，即2[3,4]x ∃∈，使223414a x x ++成立． 设3414t y t=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t=++在[3,4]∈时，是增函数． ∴223414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤． 故答案为：(,5]-∞． 【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．14．3【分析】根据命题得否命题逆命题逆否命题再判断真假(本题举反例说明为假命题)【详解】若m ＝2n ＝3则2>－3但22<32所以原命题为假命题则逆否命题也为假命题若m ＝－3n ＝－2则(－3)2>(－2)解析：3 【分析】根据命题得否命题、逆命题，逆否命题，再判断真假,(本题举反例说明为假命题) 【详解】若m ＝2，n ＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m ＝－3，n ＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3. 【点睛】本题考查四种命题关系及其真假，考查简单应用以及判断能力.15．③④【分析】当为负数则无意义可判断①；写出命题的否定可判断②；判断原命题的真假进而可判断③；写出原命题的逆命题可判断④【详解】①若则可能均为负数此时无意义故错误；②若则是第一象限角的否命题是若则不是解析：③④【分析】当x ，y 为负数，则lg x lg +0y =无意义，可判断①；写出命题的否定，可判断②；判断原命题的真假，进而可判断③；写出原命题的逆命题，可判断④【详解】①“若1xy =，则x ，y 可能均为负数，此时lgx lg +0y =无意义”，故错误； ②“若sin cos α+3πα=，则α是第一象限角”的否命题是“若sin cos α+3πα≠，则α不是第一象限角”，错误；③“若0b ，则方程2220x bx b b -++=有实根”为真命题，故它的逆否命题也为真命题，正确；④“若A B B ⋃=，则A B ⊆”的逆命题是“若A B ⊆，则A B B ⋃=”，正确． 故答案为：③④【点睛】本题考查的知识点是四种命题，对数函数的定义域，难度中档．16．②④【分析】根据题意依次分析题目中所给的4个命题综合即可得答案【详解】解：根据题意依次分析4个命题：①若f （x ）关于点（a0）和直线x ＝b （b≠a ）对称则f （x ）为周期函数则函数f （x ）的周期为4|解析：②④【分析】根据题意，依次分析题目中所给的4个命题，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：①，若f （x ）关于点（a ，0）和直线x ＝b （b ≠a ）对称，则f （x ）为周期函数，则函数f （x ）的周期为4|b ﹣a |，则2（b ﹣a ）不一定是f （x ）的一个周期；①错误； ②，若f （x ）是周期函数，且关于直线x ＝a 对称，则每个周期中都至少一条对称轴，②正确；③，如图：f （x ）满足f （x ）是单调非减函数，且关于无穷多个点中心对称，其图象不是一条直线；③错误；④，若f （x ）是单调非减函数，且关于无穷多条平行于y 的直线对称，则函数f （x ）的图象只能是一条水平的直线，f （x ）是常值函数，④正确；②④正确；故答案为：②④．【点睛】本题考查抽象函数的性质，关键是理解单调非减函数的性质，考查推理能力与数形结合思想．17．必要不充分【分析】取得到不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题为真得到必要性；得到答案【详解】取得到故不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题：若且则易知成立必要性；故答案为必要不充分【点睛】本题考查了必 解析：必要不充分【分析】取0,3x y ==得到3x y +=，不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题为真，得到必要性；得到答案.【详解】取0,3x y ==得到3x y +=，故不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题：若1x =且2y = ，则3x y +=易知成立，必要性； 故答案为必要不充分【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力，取特殊值可以快速得出结论，是解题的关键.18．②④⑤【分析】因为函数的定义域为其图象上任一点都满足所以函数的图象为圆上的一部分故对每个命题通过画反例图或者结合圆的性质分析判断即可得到结果【详解】因为函数的定义域为其图象上任一点都满足所以函数的图 解析：②④⑤【分析】因为函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=，所以，函数的图象为圆221x y +=上的一部分.故对每个命题通过画反例图或者结合圆的性质分析判断即可得到结果.【详解】因为函数()y f x =的定义域为[)(]1,00,1-，其图象上任一点(,)P x y 都满足221x y +=，所以，函数的图象为圆221x y +=上的一部分.命题①：可举出反例如图，则可知函数()y f x =不一定是偶函数，故命题①错误；命题②：举出存在的例子，由图可知函数()y f x =可能既不是偶函数，也不是奇函数，故命题②正确； 命题③：举出反例如图，则可知函数()y f x =如果是偶函数，则值域不一定是(]1,0-或[)0,1，故命题③错误； 命题④：由命题①中图象可知，函数()y f x =可以是奇函数，故命题④正确；命题⑤：由函数图象性质可知，若函数()y f x =值域是(1,1)-，则函数一定是奇函数，故命题⑤正确.故其中正确的命题的序号是②④⑤.故答案为：②④⑤.【点睛】本题主要考查函数的性质，以及圆的方程的性质，通过举反例排除是判断命题正确与否的常用手段，属中档题.19．【解析】【分析】分别求出命题为真命题的的范围由为真为假可得一真一假再由集合运算求解【详解】由题意：对于命题对任意的即恒成立△得即；对于命题存在使△得解得或即或为真为假一真一假①真假时得；②假真时得综 解析：(2,1)[1,)--+∞【解析】【分析】分别求出命题,p q 为真命题的a 的范围，由p q ∨为真，p q ∧为假，可得,p q 一真一假，再由集合运算求解.【详解】由题意：对于命题p ，对任意的x ∈R ，22x x a ->，即220x x a -->恒成立， ∴△440a =+<，得1a <-，即:1p a <-； 对于命题q ，存在0x R ∈，使200220x ax a ++-=， ∴△244(2)0a a =--，得220a a +-，解得1a 或2a -，即:1q a 或2a -．p q ∨为真，p q ∧为假，p ∴，q 一真一假，①p 真q 假时，121a a <-⎧⎨-<<⎩，得21a -<<-； ②p 假q 真时，112a a a -⎧⎨-⎩或，得1a ． 综上，(2,1)[1a ∈--，)+∞． 故答案为：(2,1)[1--，)+∞． 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的a 的范围是解决本题的关键，是中档题．20．既不充分也不必要【解析】如果两个角为直角则它们的正切值不存在反过来如果两个角的正切值相等它们可能相差故反之不成立综上所述应填既不充分也不必要条件解析：既不充分也不必要【解析】如果两个角为直角，则它们的正切值不存在，反过来，如果两个角的正切值相等，它们可能相差k π，故反之不成立.综上所述，应填既不充分也不必要条件.三、解答题21．(][)6,104,2--【分析】 解不等式46x -≤和22240x x --≤，由题意得出p 、q 一真一假，然后分情况讨论，进而可求得实数x 的取值范围.【详解】 解不等式46x -≤，即646x -≤-≤，解得210x -≤≤；解不等式22240x x --≤，解得46x -≤≤.:210p x ∴-≤≤，:46q x -≤≤，因为p q ∨为真，p q ∧为假，所以p 、q 一真一假，若p 真q 假，则(]6,10x ∈；若q 真p 假，则[)4,2x ∈--.综上所述，实数x 的取值范围是(][)6,104,2--. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了绝对值不等式和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.22．（1）证明见详解；（2）证明见详解.【分析】（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；（2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可.【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=， 所以有01211122123252(21)2n n n a b a b a b n -+++=⋅+⋅+⋅++-⋅， 令0121123252(21)2(1)n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ 所以有1232123252(21)2(2)n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，(2)(1)-得：1211(2)2(2)2(2)2(21)2n n n S n -=-+-⋅+-⋅++-⋅+-⋅ 所以12(12)1(2)(21)2(23)2312n n n n S n n --=-+-⋅+-⋅=-⋅+-， 而113(23)23nn n a b n -++=-⋅+，因此有对任意2n ≥，*N n ∈，都有 1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，所以数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”； （2）因为数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，所以对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113(1)n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，因此有11221123(2)n n n n n n a b a b a b a b a b ++++++=++，(2)(1)-得： 112111112()n n n n n n n n n n n a b a b a b b a a a b +++-+++-+==-⇒+，若数列{}n a 是等差数列，则有11()2n n n a a a +-+=，已知数列{}n a 是正整数数列，因此有 212n n b b ++=，因此数列{}n b 是等比数列； 若数列{}n b 是等比数列，设公比为q ，则有11n n n q a a a +-+=，显然只有当2q 时，数列{}n a 是等差数列，因此由数列{}n a 是等差数列能推出数列{}n b 是等比数列，但由数列{}n b 是等比数列不一定能推出数列{}n a 是等差数列，因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了数列新定义问题，考查了充分不必要的证明，考查了等差数列和等比数列的定义的应用，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.23．9m ≤-或9m ≥.【分析】根据U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件，得U U C Q C P ⊆，所以P Q ⊆，解出集合可得答案.【详解】 由1123x --≤得210x -≤≤，即[]2,10P =-. 由U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件.即U U C Q C P ⊆，所以P Q ⊆()22210x x m -+-≤有()()()()110x m x m ---+≤. 当0m =时，{0}Q =,不满足条件.当0m >时, []1,1Q m m =-+,要满足P Q ⊆.则12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩得：9m ≥. 当0m <时, []1,1Q m m =+-,要满足P Q ⊆.则12110m m +≤-⎧⎨-≥⎩得：9m ≤-. 所以实数m 的取值范围是9m ≤-或9m ≥.【点睛】考查解绝对值不等式，充分条件和必要条件的应用，利用集合的包含关系解决，属于基础题．24．（1）{}32x x x ≤->或（2）[]3,1-【分析】（1）解分式不等式，移项，通分，即可求解；（2）解不等式2(21)(1)0x m x m m -+++≥，求出命题q 为真时，x 的取值范围，根据q 是p 的必要不充分条件转化为集合的关系，即可求解.【详解】（1）由命题p 为真命题，知2112x x +≥-，可化为302x x +≥-，解得3x ≤-或2x >，所以实数x 的取值范围是{}32x x x ≤->或；（2）命题q ：由22(21)0x m x m m -+++≥，得[((1)]()0x m x m -+-≥，解得x m ≤或1x m ≥+. 设{3A x x =≤-或2}x >，{|B x x m =≤或1}x m ≥+因为q 是p 必要不充分条件，所以A B 312m m ≥-⎧⎨+≤⎩，解得31m -≤≤， 实数m 的取值范围为[]3,1-.【点睛】本题以命题为背景，考查分式不等式以及一元二次不等式的求解，考查必要不充分条件求参数，属于中档题.25．（1）{2,3}；（2）{3}．【分析】（1）解方程确定集合,A B ，再根据命题p 为真求得a ；（2）题意说明x C ∈是x A ∈的充分条件，由此可求得m 值．【详解】由题意{1,2}A =，（1）2a =时，{1}B =满足题意，2a ≠时，{1,1}B a =-，则∵x B ∀∈，都有x A ∈，∴12a -=，3a =，∴a 的取值集合是{2,3}；（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，∴x C x A ∈⇒∈．若280m ∆=-=，即m =±C =或{C =均不合题意，又C ≠∅，∴0∆>，因此12{,}C x x =，又12,x A x A ∈∈，因此不妨设11x =，22x =，则123m x x =+=． ∴m 的取值集合是{3}． 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论．26．12a ≤≤．【分析】求出命题,p q 为真时和x 的范围，再根据必要不充分条件得出a 的范围．【详解】命题p ：22430x ax a -+≤，()(3)0x a x a --≤，0a >时，3a x a ≤≤，0a <时，3a x a ≤≤，命题q ：2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩23x ⇒<≤， 命题p 是命题q 的必要不充分条件，则命题q 是命题p 的充分不必要条件， ∴0a <不合题意，从而0a >，∴233a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤． ∴a 的取值范围是12a ≤≤．【点睛】本题考查由必要不充分条件求参数范围．掌握充分必要条件与集合包含关系是解题关键．。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),21,-∞-⋃+∞ B ．(]2,1- C ．(]1,2 D ．[)1,22．已知1:12p x ≥-，:2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],4-∞B ．[]1,4C ．(]1,4D ．()1,43．已知实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0x y +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若数列{}n a 对任意2()n n *∈N ≥满足11(4)(3)0n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列；②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列.正确命题的个数为（ ）. A ．1B ．2C ．3D ．45．设0a >，0b >.下列说法正确的是（ ） A ．2ln 2ln a b a b +<+则a b > B ．2ln 2ln a b a b +<+则a b < C ．2ln 2ln a b a b -<-则a b >D ．2ln 2ln a b a b -<-则a b <6．下列四种说法中，错误的个数是（ ）①命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”； ②命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真； ④若实数x ，[]0,1y ∈，则满足221x y +>的概率为4π. A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知数列{}n a 和{}n b 满足n n b a =，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知m ，n 为空间中两直线，α，β为两不同平面，已知命题:p 若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥；命题:q 若m α⊂，n ⊂α，//m β，//n β，则//αβ.则p ，()q ⌝，()p q ∧，()p q ∨这四个命题中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．“12a <<”是“对任意的正数x ，22ax x+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．命题“[]1,2x ∃∈，2ln 0x x a +-≤”为假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．(],ln 22-∞+D ．(),ln 24-∞+12．已知命题2:230p x x --<，命题:q x a <，若q 的一个充分不必要条件是p ，则a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．(],1-∞-D ．(),1-∞-二、填空题13．由命题p ：“矩形有外接圆”，q ：“矩形有内切圆”组成的复合命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的3个命题中真命题有__________个（只填真命题的个数）. 14．给出下列命题:①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是:“x R ∀∈，均有210x x +->”；④命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题.其中所有正确命题的序号是_________. 15．有下列四个命题： ①“若1xy=，则lg lg 0x y +=”；②“若sin cos 3παα+=，则α是第一象限角”的否命题；③“若0b ≤，则方程2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题； ④“若A B B ⋃=，则A B ⊆的逆命题． 其中是真命题的有________．16．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈， ②[]33-∈，③[][][][][]01234Z =⋃⋃⋃⋃，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈.其中正确的个数是___________17．设集合{1,2}A =，2{|10}B x x ax =--≤，若x A ∈是x B ∈的充分条件，则实数a 的取值范围是________18．下列命题中，错误的命题是_____（在横线上填出错误命题的序号）． （1）边长为1的等边三角形ABC 中，12AB BC ⋅=； （2）当30k -<<时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立； （3）ABC ∆中，满足sin cos A B =的三角形一定是直角三角形；（4）ABC ∆中，角、、A B C 所对的边为a b c 、、，若2222a c b +=，则cos B 的最小值为12． 19．设命题p ：实数a 满足不等式39a ≤；命题q ：函数329()(3)2772f x x a x x a =+-++无极值点．又已知“p q ∧”为真命题，记为r .命题t ：211(2)()022a m a m m -+++>，若r 是t ⌝的必要不充分条件，则正整数m 的值为_____． 20．“”是“函数为R 上的增函数”的_______.（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中的一个）三、解答题21．已知0c >,设p ：函数x y c =在R 上递减； q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果“p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，求c 的取值范围.22．已知0a >且1a ≠,命题:P 函数()log a f x x =在()0,∞+上为减函数，命题:Q 关于x 的不等式()22310x a x +-+≤有实数解.（1）如果P Q ∨为真且P Q ∧为假,求实数a 的取值范围. （2）命题:R 函数()2231ylg x a x ⎡⎤=+-+⎣⎦的值域包含区间[]1,3-，若命题R 为真命题，求实数a 的取值范围 23．已知，其中(){}22112,2103x P x Q x x x m ⎧⎫-=-≤=-+-≤⎨⎬⎩⎭，其中全集U =R ，若U x C P ∈是U x C Q ∈的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.24．已知m R ∈，p ：m 128<<；q ：不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立. （1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围. 25．已知命题“x R ∃∈，不等式220x x m --≤”成立是假命题. （1）求实数m 的取值集合A ；（2）若:44q m a -<-<是集合A 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 26．设命题:p 对任意[]0,1x ∈，不等式2234x m m -≥-恒成立，命题:q 存在[]1,1x ∈-，使得不等式2210x x m -+-≤成立．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p ，q 有且只有一个为真，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】计算出当命题p 为真命题时实数a 的取值范围，以及当命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知p 真q 假，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<；若命题q 为真命题，0x ∀≥，20x a ->，则()min21xa <=.由于p ⌝和p q ∧都是假命题，则p 真q 假，所以221a a -<<⎧⎨≥⎩，可得12a ≤<.因此，实数a 的取值范围是[)1,2. 故选：D. 【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C【分析】求出p 、q 中的不等式，根据p 是q 的充分不必要条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】 解不等式112x ≥-，即131022x x x --=≤--，解得23x <≤， 解不等式2x a -<，即22x a -<-<，解得22a x a -<<+， 由于p 是q 的充分不必要条件，则(]2,3()2,2a a -+，所以2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤.因此，实数a 的取值范围是(]1,4. 故选：C. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了分式不等式和绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.3．C解析：C 【分析】由不等式111333log log log 0x y xy +=>，求得01xy <<，结合充要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，实数0x >，0y >，不等式111333log log log 0x y xy +=>，解得01xy <<， 所以实数0x >，0y >，则“1xy <”是“1133log log 0y +>”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及对数的运算性质，其中解答中熟记充要条件的判定方法，以及熟练应用对数的运算性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据题意得到14n n a a --=或13n n a a -=，结合等差数列和等比数列的定义，即可判定. 【详解】由题意知，数列{}n a 对任意2()n n *∈N ≥满足11(4)(3)0n n n n a a a a -----=， 所以14n n a a --=或13n n a a -=，则：对于①中，数列{}n a 可以是公差为4的等差数列； 对于②中，数列{}n a 可以是公比为3的等比数列；对于③中，若数列{}n a 既是等差又是等比数列，则此时数列{}n a 必为非零的常数列， 则公差为0，公比为1，由①②可知，③不正确；对于④{}n a 中，数列{}n a 可以既不是等差又不是等比数列，例如：1,5,15,19,，满足题设条件，此数列既不是等差又不是等比数列，所以④正确. 故选：C. 【点睛】本题主要以命题的真假判定与应用为载体，考查了等差数列、等比数列的定义及判定，其中解答中熟记等差数列、等比数列的定义，合理判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．B解析：B 【分析】举反例说明C,D 不成立，再根据函数2ln x y x =+单调性，进而确定选项. 【详解】因为311123112ln12ln 2,2ln 2ln ,ee e e-<--<-所以CD 不成立；因为2ln x y x =+在(0,)+∞上单调递增，所以由2ln 2ln a b a b +<+得a b <， 故选：B 【点睛】本题考查利用函数单调性判断命题真假，考查基本分析判断能力，属基础题.6．C解析：C 【分析】根据题意，①②说法正确，若0m =③错误，根据古典概型④概率应该为14π-.【详解】命题“x ∃∈R ，20x x ->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -≤”，所以①正确；命题“p q ∨为真”即p ，q 至少有一个为真，不能推出命题“p q ∧为真”，命题“p q ∧为真”则p ，q 全为真，能够推出命题“p q ∨为真”，所以命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，所以②正确；“若22am bm <，则a b <”的逆命题是：若a b <，则22am bm <，当0m =时不成立，所以该逆命题不是真命题，所以③不正确；若实数x ，[]0,1y ∈，有序数对(),x y 对应平面内的点形成的区域面积为1，如图：其中扇形区域不满足221x y +>，面积为4π，深色区域符合题意，则满足221x y +>的概率为14π-，所以④不正确.故选：C 【点睛】此题考查命题的真假判断，涉及全称命题的否定，含有逻辑连接词的命题真假判断，不等式的性质辨析，求几何概型，涉及知识面比较广.7．C解析：C 【分析】结合余弦函数在()0,π上的单调性，分别判断充分性与必要性，可得出答案. 【详解】先来判断充分性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，由A B C <<可得0πA B C <<<<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos cos A B C >>，故充分性成立； 再来判断必要性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且0πA <<，0πB <<，0πC <<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，且cos cos cos A B C >>，所以0πA B C <<<<，即A B C <<，故必要性成立.所以“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的充分性与必要性，考查余弦函数单调性的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.8．A解析：A 【分析】根据等比数列定义可证得11n n n na b q b a ++==，可知充分性成立；通过反例可确定必要性不成立，从而得到结果. 【详解】若数列{}n a 为等比数列，公比为q ，则11n n n na b q b a ++== {}n b ∴为等比数列，充分性成立设数列{}n b 的通项公式为2nn b = {}n b ∴为等比数列，公比2q若数列{}n a 为：2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅，满足12n na a +=，但{}n a 不是等比数列必要性不成立∴“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的充分而不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列定义的应用；关键是能够明确数列成等比数列需满足的条件.9．C解析：C 【分析】先判断每个命题的真假，再由复合命题的真值表确定真假。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),21,-∞-⋃+∞ B ．(]2,1- C ．(]1,2D ．[)1,22．设0a >，0b >，则“1a b +≤”是“114a b+≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．下列说法中正确的是( )A ．命题“若x y =，则22x y =”的逆命题为真命题B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．若p q ∧为假命题，则p q ∨为真命题D ．命题“若两个平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅，则,a b 不共线”的否命题是真命题. 4．若命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]2,6B ．()2,6C ．(][),26,-∞+∞ D ．()(),26,-∞+∞5．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真6．下列命题中正确的是（ ） A ．“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行”的充分不必条件B ．“直线l 垂直平面α内无数条直线”是“直线l 垂直于平面α”的充分条件C ．已知a 、b 、c 为非零向量，则“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的充要条件D ．p ：存在x ∈R ，2220130x x ++≤.则p ⌝：任意x ∈R ，2220130x x ++> 7．下列判断错误的是（ ）A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->RC ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题8．已知函数()222f x x x =-+，2log g xx t ，对[]10,2x ∀∈，21,162x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x =，则实数t 的取值范围（ ） A ．(],2-∞-B ．[)2+∞，C ．()2,2-D ．[]22-，9．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列命题正确的是（ ）A ．“若x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝0”的否命题是：“若x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3≠0”B ．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 一定为假命题D ．“存在x 0∈R ，使得e x 0≤0”的否定是：不存在x 0∈R ，使得e 0x ＞0”11．条件甲：关于x 的不等式 sincos 1a x b x +>的解集为空集，条件乙：1a b +≤，则甲是乙的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．下列三个命题：①设命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．那么p ⌝真命题；②在ABC 中，“sin sin A B =”是“cos cos A B =”的充要条件；③“若1x >，则1x >”的否命题是“若1x >，则1x ≤”．其中真命题的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．0二、填空题13．若0, 0a >b >，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的_____条件14．若“x l >”是“x a ≥”的充分不必要条件，则a 的取值范围为______．15．已知a R ∈，命题“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题，则a 的取值范围为______.16．“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的__________条件（填写“充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也非必要”）17．设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的________条件18．若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，则实数m 的最大值为__________． 19．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m 1≥，则22(1)30mx m x m -+++>的解集是R ”的逆命题；④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是____________ 20．“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）三、解答题21．设{}2:8200p P x x x =--≤，:q 非空集合{}11S x m x m =-≤≤+，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.22．已知命题p ：方程2220x ax a +-=在[]1,1-上有解；命题q ：只有一个实数0x 满足不等式20020x ax a ++≤，若命题“p q ∨”是假命题，求a 的范围.23．已知命题p : 1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式22153a a x x --≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立;命题q :不等式2210ax x +->有解.命题p 为真命题.（1）求实数a 的取值范围;（2）q ⌝是真命题，求实数a 的取值范围.24．已知0c >,设p ：函数x y c =在R 上递减； q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果“p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，求c 的取值范围.25．已知p ：2a ≥，q ：函数()()2lg 2f x ax x a =++的定义域为R .如果“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围. 26．已知函数()1-=+x af x a (0a >且1a ≠)过点1,22⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求实数a ;（2）若函数()1322⎛⎫=+- ⎪⎝⎭g x f x ,求函数()g x 的解析式; （3）已知命题p :“任意x ∈R 时,()220++≤g ax ax ”,若命题p ⌝是假命题,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】计算出当命题p 为真命题时实数a 的取值范围，以及当命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知p 真q 假，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<；若命题q 为真命题，0x ∀≥，20x a ->，则()min21xa <=.由于p ⌝和p q ∧都是假命题，则p 真q 假，所以221a a -<<⎧⎨≥⎩，可得12a ≤<.因此，实数a 的取值范围是[)1,2. 故选：D. 【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】先利用基本不等式证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立即可. 【详解】解：因为0a >，0b >，所以1a b ≤+≤，所以104ab <≤， 所以14ab≥（当且仅当12a b ==时取等号），所以114a b +≥≥=（当且仅当12a b ==时取等号）.所以“1a b +≤”是“114a b+≥”的充分条件. 反之，当13a =，1b =时114a b +≥，但是1a b +>，所以“1a b +≤”是“114a b +≥”的不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用、充分条件与必要条件，属于中档题.3．D解析：D 【分析】A 中，利用四种命题的的真假判断即可；B 、C 中，命题“p q ∧”为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题；D 中，写出该命题的否命题，再判断它的真假性． 【详解】对于A ，命题“若x y =，则22x y =”的逆命题是：若22x y =，则x y =；因为y x =-也成立.所以A 不正确；对于B ，命题“p q ∧”为假命题时，p 、q 至少有一个为假命题，所以B 错误；C 错误；对于D ，“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅>⋅”，则,a b 不共线的否命题是，若“平面向量,a b 满足||||||a b a b ⋅≤⋅”，则,a b 共线； 由||||cos a b a b θ⋅=⋅⨯知：||||||a b a b ⋅≥⋅，一定有||||||a b a b ⋅=⋅，cos 1θ=±， 所以,a b 共线，D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了命题的真假性判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．4．A解析：A 【分析】因为原命题是假命题，其否定为真命题，问题可转化为0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥恒成立，故由0∆≤即可求出m 的取值范围． 【详解】因为命题“0x R ∃∈，200230x mx m ++-<”为假命题， 故其否定：“0x R ∀∈，200230x mx m ++-≥”为真命题， 故224(23)8120m m m m ∆=--=-+≤，解得26m ≤≤, 故实数m 的取值范围是[2,6]． 故选：A 【点睛】本题原命题是存在性命题且为假命题，它的否定是全称命题且为真命题，进而将问题转化为恒成立处理，采用正难则反的思想进行求解，同时考查命题的等价性和转化的思想．5．C解析：C 【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．D解析：D 【分析】由两直线平行与系数的关系式求得m 判断A;由线面垂直的判定定理判断B ；由平面向量的数量积的运算判断C ；写出特称命题的否定判断D ，综合可得答案. 【详解】解：由直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行⇔223203220m m m m m ⎧+--=⎨-+--≠⎩（）（）（）（），可得m =“12m =”是“直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互平行”的既不充分也不必条件，故A 错误；直线l 垂直平面α内无数条直线不一定有直线垂直平面，故“直线l 垂直平面α内无数条直线”不是“直线l 垂直于平面α”的充分条件，故B 错误；a 、b 、c 为非零向量，由“a b a c ⋅=⋅”不能得到“b c =”，反之由“b c =”能够得到“a b a c ⋅=⋅”，故“a b a c ⋅=⋅”是“b c =”的必要不充分条件，故C 错误；p ：存在x ∈R ，2220130x x ++≤.则p ⌝：任意x ∈R ，2220130x x ++>，故D 正确； 故选：D. 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，涉及全称命题与特称命题的否定的书写、充分必要条件的判断等知识点，属于中档题.7．C解析：C 【分析】根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D. 【详解】对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确； 对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 “若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14m ≥-， 所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C. 【点睛】（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.8．D解析：D 【分析】求出()(),f x g x 的值域,A B ，由题意可得A B ⊆，列不等式求解即可. 【详解】()222f x x x =-+，当[]0,2x ∈时，()f x 的值域为[]1,2A =，2log g xx t ，1,162x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x 的值域[]1,4t t B =-+，由条件可知A B ⊆，即[][]1,21,4t t ⊆-+，从而有1142t t -≤⎧⎨+≥⎩，可得22t -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用，关键是要将问题进行转化，转化为值域之间的包含问题，是中档题.9．A解析：A 【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】写出命题的否命题判断A ；ABC ∆中，由正弦定理判断B 的正误；若“p q ∧”为假命题，则p 、q 至少一个是假命题，判断C ；利用命题的否定形式判断D . 【详解】对于A ，命题“若3x =，则2230x x --=”的否命题是“若3x ≠，则2230x x --≠”，故A 不正确．对于B ，ABC ∆中，“A B >” ⇔ “a b >”；由正弦定理得“a b >” ⇔ “sin sin A B >”；“ A B >” ⇔ “sin sin A B >”所以B 正确；对于C ，若“p q ∧”为假命题，所以p 、q 至少一个是假命题，所以C 错误；对于D ，“存在0x R ∈，使得00x e ”的否定是：不存在0x R ∈，使得00x e >”，不满足命题的否定形式，所以D 不正确； 故选：B ． 【点睛】本题考查复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系：“p q ∧”有假则假，全真则真；“p ∨q ”有真则真，全假则假；“p ⌝”真假相反；考查命题的否定与否命题的区别以及考查三角形中正弦定理，是基本知识的考查．11．A解析：A 【分析】分别求出条件甲、乙所对应的,a b 的关系式，比较两个关系式所表示的图形，可得出结论. 【详解】 由题意，当0ab 时，不等式 sincos 1a x b x +>的解集为空集，当,a b 不都为0时，()sin cos a x b x x ϕ+=+，sin ϕ=，cos ϕ=.因为()22sin 1a b x ϕ++>的解集为空集，所以221a b +≤，即221a b +≤. 如下图，221a b +≤表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部，1a b +≤表示为圆内接正方形及其内部，所以甲是乙的必要不充分条件. 故答案为：A.【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，考查三角函数的恒等变换，考查不等式表示的平面区域，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】对各个命题分别判断． 【详解】命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．2是质数，但2是偶数，命题p 是假命题，那么p ⌝真命题；①正确；在ABC 中，sin sin A B a b A B =⇔=⇔=⇔cos cos A B =，②正确； “若1x >，则1x >”的否命题是“若1x ≤，则1x ≤”，③错． 因此有2个命题正确． 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，这种问题难度较大，需要对每个命题进行判断，才能得出正确结论，这样考查的知识点可能很多，考查的能力要求较高．二、填空题13．充分不必要【分析】根据题意利用基本不等式可判定充分性是成立的可举出反例说明必要性不成立即可得到答案【详解】当时由基本不等式可得当时有解得充分性是成立的；例如：当时满足但此时必要性不成立综上所述是的充解析：充分不必要 【分析】根据题意，利用基本不等式，可判定充分性是成立的，可举出反例，说明必要性不成立，即可得到答案. 【详解】当0,0a b >>时，由基本不等式，可得a b +≥当4a b +≤时，有4a b +≤，解得4ab ≤，充分性是成立的； 例如：当1,4a b ==时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立， 综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故答案为充分不必要条件. 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，以及合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.14．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可【详解】若是的充分不必要条件则则故答案为【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断比较基础判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题则 解析：a 1≤【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可． 【详解】若“x l >”是“x a ≥”的充分不必要条件，则(1,)[,)a +∞⊆+∞，则a 1≤， 故答案为a 1≤ 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．15．【分析】将条件转化为任意恒成立此时有从而解出实数a 的取值范围【详解】命题：存在使为假命题即恒成立则即：解得故实数a 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围考查一元二次不等式的应 解析：()12,0-【分析】将条件转化为任意x ∈R ，230x ax a -->恒成立，此时有∆<0，从而解出实数a 的取值范围. 【详解】命题：“存在x ∈R ，使230x ax a --≤”为假命题 即230x ax a -->恒成立，则∆<0， 即：2120a a ∆=+<，解得120a -<<，故实数a 的取值范围为()12,0-故答案为：()12,0-【点睛】本题考查由命题的真假求参数的范围，考查一元二次不等式的应用，体现了等价转化的思想，属于中等题.16．必要不充分【分析】取得到不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题为真得到必要性；得到答案【详解】取得到故不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题：若且则易知成立必要性；故答案为必要不充分【点睛】本题考查了必 解析：必要不充分【分析】取0,3x y ==得到3x y +=，不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题为真，得到必要性；得到答案.【详解】取0,3x y ==得到3x y +=，故不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题：若1x =且2y = ，则3x y +=易知成立，必要性； 故答案为必要不充分【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力，取特殊值可以快速得出结论，是解题的关键.17．充分不必要【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可【详解】由解得即因为所以是成立的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查了充分条件必要条件的判定属于中档题解析：充分不必要【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】由21x >解得0x >，即:0q x >，因为120x x <<⇒>，012x x ><<，所以p 是q 成立的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于中档题.18．【分析】根据题意转化为利用可将函数进行换元利用对勾函数求函数的最大值【详解】当时又设设当时取得最大值若为真命题即的最大值是5故填:5【点睛】本题考查了根据全称命题的真假求参数取值范围的问题考查了转化解析：5【分析】根据题意转化为()2max log 4log 2x m x ≤+，利用21log 2log x x =，可将函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值.【详解】当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈ 又21log 2log x x = ，设[]2log 1,3x t =∈ ， 设24log 4log 2x y x t t =+=+当1t =时，取得最大值max 5y =.若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，()2max log 4log 2x m x ≤+ ，即5m ≤,m ∴的最大值是5.故填:5.【点睛】本题考查了根据全称命题的真假，求参数取值范围的问题，考查了转化与化归的思想，若存在0x ，使()0m f x ≤，即()()max m f x ≤，若0x ∀，使()0m f x ≤恒成立，所以()()min m f x ≤，需注意时任意还是存在问题.19．①③④【解析】对于①若则的逆命题为若则故逆命题为真命题则否命题也为真故①正确；对于②矩形的对角线相等的逆命题为对角线相等的四边形是矩形为假命题故其逆命题也为假故②错误；对于③其逆命题为：若的解集是则解析：①③④【解析】对于①“若0x y +>，则00x y >>且”的逆命题为“若00x y >>且，则0x y +>”故逆命题为真命题，则否命题也为真，故①正确；对于②“矩形的对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形”为假命题，故其逆命题也为假，故②错误；对于③其逆命题为：若()22130mx m x m -+++>的解集是R ，则1m ≥，当该不等式解集为R 时，1.0m =时，不合题意，2.()()2041430m m m m >⎧⎪⎨=+-+<⎪⎩解得1m ，故逆命题为真，即③正确；对于④，原命题为真，故逆否命题也为真，故④正确，即正确的序号为①③④，故答案为①③④.20．必要不充分条件【解析】【分析】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1进而判断出结论【详解】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1因为(-∞-1)∪(1+∞)⊃≠(1+∞)所以解析：必要不充分条件【解析】【分析】 由，解得或，由解得，进而判断出结论. 【详解】 由，解得或， 由解得， 因为， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故答案是：必要不充分条件.【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断，涉及到的知识点有不等式的解法，必要不充分条件的定义，属于简单题目. 三、解答题21．[)9,+∞【分析】首先求出集合P ，再根据p 是q 的充分不必要条件，可得所以P S ，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：由28200x x --，解得210x -．{}|210P x x ∴=-≤≤． 非空集合{}11S x m x m =-≤≤+．因为p 是q 的充分不必要条件，所以P S ，所以11012m m +≥⎧⎨-≤-⎩解得9m ≥ 即[)9,m ∈+∞【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．2a >且8a ≠或2a <-【分析】先根据条件求出命题,p q 的等价命题，再根据命题“p q ∨”是假命题求解即可.【详解】由2220x ax a +-=，得：()()20x a x a -⋅+=， 解得：2a x =或x a =-， 当命题p 为真命题时，12a ≤或1a -≤， 所以22p a ⇔-≤≤， 又因为“只有一个实数0x 满足不等式20020x ax a ++≤”，即抛物线22y x ax a =++与x 轴只有一个交点，所以280a a ∆=-=，解得：0a =或8a =，即q ⇔0a =或8a =，若命题“p q ∨”是假命题，即命题,p q 均为假命题，所以有：2a >且8a ≠或2a <-【点睛】本题考查了命题的等价命题的计算以及p q ∨为假命题的等价命题，考查了学生的计算能力，属于一般题.23．（1）a ≥6或a ≤-1.（2）{}1a a ≤-.【分析】 （1）根据题意得到1212,2,x x m x x +=⎧⎨=-⎩，计算12x x -=12max 3x x -=，代入解不等式得到答案.（2）讨论a >0，a =0，a <0三种情况，根据命题的真假得到1a ≤-，再计算交集得到答案.【详解】（1）∴命题p 是真命题，∵x 1，x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，∴1212,2,x x m x x +=⎧⎨=-⎩ ∴12x x -== ∴当[1,1]m ∈-时， 12max 3x x -=， 由不等式a 2-5a -3≥12x x -对任意实数m ∈[-1，1]恒成立，可得a 2-5a -3≥3，解得a ≥6或a ≤-1， 则当命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤-1.（2）∵命题p 是真命题，命题q 是假命题， 命题q ：不等式ax 2+2x -1>0有解.①当a >0时，显然有解；②当a =0时，2x -1>0有解；③当a <0时，∵ax 2+2x -1>0，∴Δ=4+4a >0，∴-1<a <0.从而命题q :不等式ax 2+2x -1>0有解时，a >-1.∵命题q 是假命题，∴a ≤-1 611a a a ≥≤-⎧∴⎨≤-⎩或，所以a 的取值范围为{}1a a ≤-.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力.24．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】 计算p 为真时()0,1c ∈，q 为真时12c >，讨论p 真q 假，或p 假q 真两种情况，分别计算得到答案.【详解】p ：函数x y c =在R 上递减，故()0,1c ∈；q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，当2x c ≥时，|2|221x x c x c +-=->，即12c x <-，故min 11222c x c ⎧⎫<-=-⎨⎬⎩⎭， 解得12c >； 当2x c <时，|2|21x x c c +-=>，解得12c >. 综上所述：12c >. “p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，故p 真q 假，或p 假q 真.当p 真q 假时，0112c c <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，故10,2c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当p 假q 真时，112c c ≥⎧⎪⎨>⎪⎩，故[)1,c ∈+∞. 综上所述：[)10,1,2c ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力. 25．()1,2【分析】由二次函数和不等式的性质分别可得q 真时的a 的取值范围，再由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则p ，q 一真一假，分类讨论取并集可得．【详解】解：由q 为真知24400a a ⎧∆=-<⎨>⎩，1a >.由“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题知，p 和q 一个为真，一个为假，若p 真q 假，此时a 不存在；若p 假q 真，此时12a <<，综上，实数a 的取值范围为()1,2.【点睛】本题考查了含有联结词的命题的真假，掌握复合命题的真假和分类讨论是关键，考查了推理和运算能力，属于中档题.26．（1）12a =（2）11()22x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）[0,4] 【分析】（1）因为函数()1-=+x a f x a （0a >且1a ≠）过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得1212a a -+=,即可求得答案;（2）因为()121121x x a f x a --=+=+,13()22g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,即可求得答案; （3）命题p ⌝是假命题,故命题p 是真命题,当x ∈R 时,()220++≤g ax ax 恒成立, 函数11()22x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,不等式2211022++⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭ax ax 在R 上恒成立,即可求得答案. 【详解】（1）函数()1-=+x a f x a （0a >且1a ≠）过点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 1212a a -∴+= ,即121a a -= 解得:12a =, （2）由（1）12a = ∴()121121x x a f x a --=+=+1122131311()1222222x xg x f x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11()22xg x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ （3）命题p ⌝是假命题,故命题p 是真命题, ∴当x ∈R 时,()220++≤g ax ax 恒成立, 函数11()22xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴不等式2211022++⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭ax ax 在R 上恒成立, 即221122++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ax ax 在R 上恒成立 根据指数函数单调可知:12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数 ∴221ax ax ++≥在R 上恒成立即210ax ax ++≥在R 上恒成立,当0a =时,不等式化为10≥成立；当0a ≠时,则需满足2040a a a >⎧⎨-≤⎩, 解得04a <≤,综上所述,实数a 的取值范围是[0,4].【点睛】本题主要考查了求解函数解析式和根据不等式恒成立求参数范围,解题关键是掌握函数的基础知识和含参数一元二次不等式恒成立的解法,属于难题.。
最新北师大版高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．数列{}n a 满足*111,(,0)n n a a ta t n N t +==+∈≠，则“ 12t =”是“数列{}n a 成等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．使不等式2x x 60--<成立的一个充分不必要条件是( )A ．2x 0-<<B ．3x 2-<<C ．2x 3-<<D ．2x 4-<<3．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝4．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=无实数根，则0m ≤”B ．“6πθ=”是“()1sin 22k θπ+=”的充分不必要条件C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D ．对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥ 5．已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥；0x 命题001:(0,),22x q x ∃∈+∞=，则下列判断正确的是（ ）A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题6．设a ，b ，c +∈R ，则“1abc =”是a b c+≤++”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件7．下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”；④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”. A ．1B ．2C ．3D ．48．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真9．已知()0,x π∈，则“6x π>”是“1sin 2x >”成立的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要10．已知数列{}n a 和{}n b 满足n n b a =，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知函数()222f x x x =-+，2log g xx t ，对[]10,2x ∀∈，21,162x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x =，则实数t 的取值范围（ ） A ．(],2-∞-B ．[)2+∞，C ．()2,2-D ．[]22-，12．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知{}|13A x x =-<<， {}11|B x x m =-<<+，若x B ∈成立的一个必要不充分条件是x A ∈，则实数m 的取值范围是_______________.14．若“12x <<”是“230x ax -+<”的充分非必要条件，则实数a 的取值范围为______. 15．已知函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+（x ∈R ），写出0y >的充要条件________. 16．有下列四个命题：①“若1xy=，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若1m ，则2x 2x m 0-+=有实数解”的逆否命题；④“若A B B =，则A B ⊆”的逆否命题．其中真命题为________（填写所有真命题的序号）．17．“1x ≠或2y ≠”是“3x y +≠”的__________条件（填写“充分非必要、必要非充分、充要、既不充分也非必要”） 18．已知a R ∈ ，则“16a =”是“两直线1:210l x ay +-=与()2:3110l a x ay ---=平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 19．若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，则实数m 的最大值为__________． 20．“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）三、解答题21．已知命题p : 1x 和2x 是方程220x mx --=的两个实根，不等式22153a a x x --≥-对任意实数[1,1]m ∈-恒成立;命题q :不等式2210ax x +->有解.命题p 为真命题.（1）求实数a 的取值范围;（2）q ⌝是真命题，求实数a 的取值范围.22．若正整数数列{}n a ，{}n b 满足：对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，则称数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”.（1）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，求证：数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）已知数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，且111a b ==，求证：“数列{}n a 是等差数列” 是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.23．设:p 实数a 满足不等式3113a -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，:q 函数3213()392a f x x x x -=++无极值点.若p q ∧为真命题，并记为r ，且1:2t a m >+或a m <.若t 是r ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.24．已知0m >，2:4120p x x --≤， :22q m x m -≤≤+.（1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若5m =，命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，求实数x 的取值范围．25．已知集合{}228120A x x ax a =-+>，其中0a >；集合()(){}120B x x x =--≥.（1）若1a =，求A B ；（2）若:p x A ∈，:q x B ∈，且p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义和等比数列的定义判断． 【详解】12t =时，由11a =得211122a =+=，311122a =+=，，1n a =，所以{}n a 是等比数列，充分性满足； 反之若{}n a 是等比数列，则212a ta t t =+=，2322a ta t t t =+=+，123,,a a a 也成等比数列，所以2213a a a =，即2242t t t =+，又0t ≠，所以12t =，此时1(*)n a n N =∈，满足题意，必要性也满足， 应为充要条件． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查充分必要条件的判断，考查等比数列的判断，掌握充分必要条件和等比数列的定义是解题关键．解题方法是充分性与必要性分别进行判断，充分性只要把12t =代入计算求出n a 即可判断，而必要性需由数列{}n a 是等比数列求出参数t ，因此可由开始的3项成等比数列求出t ，然后再检验对*n N ∈数列是等比数列即可． 2．A解析：A 【分析】首先求解二次不等式，然后确定其成立的一个充分不必要条件即可. 【详解】由260x x --<得()()230x x +-<，得23x -<<， 若使不等式260x x --<成立的一个充分不必要条件， 则对应范围是()2,3-的一个真子集， 即20x -<<，满足条件， 故选A ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，转化为集合真子集关系是解决本题的关键．3．B解析：B 【分析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题 q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题， 故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.4．C解析：C 【解析】对于A ，命题的逆否命题，既要交换条件、结论，又要否定条件及结论，所以‘命题“若m ＞0，则方程x 2+x-m=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x 2+x-m=0无实数根，则m≤0”，故正确； 对于B “6πθ=”⇒“()1sin 22k θπ+=” 但“()1sin 22k θπ+=” 不能推出“6πθ=” 故正确；对于C ，p ∧q 为假命题，则p ，q 有一个为假命题即可，故错误； 对于D ，命题的否定先换量词，再否定结论，故正确． 故选C ．5．C解析：C 【分析】根据均值不等式得到p 为真命题，根据指数函数单调性得到q 为假命题，对比选项得到答案. 【详解】0x >时，44x x +≥=，当2x =时等号成立，故p 为真命题； 当0x >时，0221x >=，故q 为假命题.则()p q ∧⌝是真命题，()p q ⌝∧是假命题. 故选：C. 【点睛】本题考查了命题的真假判断，命题的否定，且命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.6．A解析：A 【分析】证充分性时，利用“1”的代换，通过基本不等式论证，必要性时，取特殊值即可. 【详解】 因为1abc =，所以222c b a c a b a b c +++++=≤++=++，当且仅当1a b c ===，取等号，故充分，当4a b c ===a b c≤++，故不必要， 故选：A.【点睛】本题主要考查逻辑条件涉及了基本不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()af x x =的图象判断.④由()222222a ba b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性. 【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确. ②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确.④因为()2222224a ba b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确.故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．B解析：B 【分析】 求出不等式1sin 2x >在()0,x π∈上的解，然后利用集合的包含关系即可得出结论. 【详解】()0,x π∈，解不等式1sin 2x >，得566x ππ<<，5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭，因此，“6x π>”是“1sin 2x >”成立的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及正弦不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.10．A解析：A 【分析】根据等比数列定义可证得11n n n na b q b a ++==，可知充分性成立；通过反例可确定必要性不成立，从而得到结果. 【详解】若数列{}n a 为等比数列，公比为q ，则11n n n na b q b a ++== {}n b ∴为等比数列，充分性成立设数列{}n b 的通项公式为2nn b = {}n b ∴为等比数列，公比2q若数列{}n a 为：2,4,8,16,32,--⋅⋅⋅，满足12n na a +=，但{}n a 不是等比数列必要性不成立∴“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n b 为等比数列”的充分而不必要条件故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列定义的应用；关键是能够明确数列成等比数列需满足的条件.11．D解析：D 【分析】求出()(),f x g x 的值域,A B ，由题意可得A B ⊆，列不等式求解即可. 【详解】()222f x x x =-+，当[]0,2x ∈时，()f x 的值域为[]1,2A =，2log g xx t ，1,162x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()g x 的值域[]1,4t t B =-+，由条件可知A B ⊆，即[][]1,21,4t t ⊆-+，从而有1142t t -≤⎧⎨+≥⎩，可得22t -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的综合应用，关键是要将问题进行转化，转化为值域之间的包含问题，是中档题.12．C解析：C 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤⇒⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.二、填空题13．【分析】先依题意判断集合B 是集合A 的真子集再讨论集合B 是否空集求参数m 的取值范围即可【详解】因为成立的一个必要不充分条件是所以推不出且可推出故集合B 是集合A 的真子集当时即集合A 的真子集符合题意；当时 解析：{}|2m m <【分析】先依题意判断集合B 是集合A 的真子集，再讨论集合B 是否空集求参数m 的取值范围即可. 【详解】因为x B ∈成立的一个必要不充分条件是x A ∈，所以x A ∈推不出x B ∈，且x B ∈可推出x A ∈，故集合B 是集合A 的真子集.当11m +≤-时即2m ≤-，B =∅集合A 的真子集，符合题意；当11m +>-时即2m >-，要使集合B 是集合A 的真子集，则需13m +<，即2m <，故22m -<<；综上，实数m 的取值范围是2m <. 故答案为：{}|2m m <. 【点睛】结论点睛：本题考查必要不充分条件的应用，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．14．【分析】设由题意可知不等式对任意的恒成立可得出关于的不等式组解出即可【详解】设由于是的充分非必要条件则不等式对任意的恒成立所以解得因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参 解析：[)4,+∞【分析】设()23f x x ax =-+，由题意可知，不等式()0f x <对任意的()1,2x ∈恒成立，可得出关于a 的不等式组，解出即可. 【详解】设()23f x x ax =-+，由于“12x <<”是“230x ax -+<”的充分非必要条件，则不等式()0f x <对任意的()1,2x ∈恒成立，所以()()1402720f a f a ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩，解得4a ≥.因此，实数a 的取值范围是[)4,+∞. 故答案为：[)4,+∞. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了二次不等式在区间上恒成立问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.15．或【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可【详解】若则当即或当时不等式等价为满足条件当时不等式等价为不满足条件当时要使则解之得：或综上：或反之也成立故答案为：或【点睛】本题考查充分必要解析：1a ≥或1311a <- 【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可． 【详解】若22(1)(1)30y a x a x =-+-+>， 则当210a -=，即1a =或1a =-， 当1a =时，不等式等价为30>，满足条件， 当1a =-时，不等式等价为230x -+>，32x <，不满足条件， 当1a ≠±时，要使0y >，则22210(1)12(1)0a a a ⎧->⎨∆=---<⎩，解之得：1a >或1311a <-， 综上：1a ≥或1311a <-，反之也成立.故答案为：1a ≥或1311a <-. 【点睛】本题考查充分必要条件的应用，考查二次函数的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16．①②③【分析】结合四种命题的定义及互为逆否的两个命题真假性相同分别判断各个结论的真假可得答案【详解】解：①若则互为倒数的逆命题是若互为倒数则显然是真命题故①正确；②面积相等的三角形全等的否命题是面积解析：①②③ 【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案． 【详解】 解：①“若1xy=，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则1xy =”，显然是真命题，故①正确；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”，显然是真命题，故②正确；③若2x 2x m 0-+=有实数解，则440m ∆=-≥，解得1m ，所以“若1m ，则2x 2x m 0-+=有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题，故③正确；④若A B B =，则B A ⊆，故原命题错误，所以其逆否命题错误，故④错误．故真命题有①②③ 故答案为：①②③ 【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是四种命题，难度中档．17．必要不充分【分析】取得到不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题为真得到必要性；得到答案【详解】取得到故不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题：若且则易知成立必要性；故答案为必要不充分【点睛】本题考查了必解析：必要不充分 【分析】取0,3x y ==得到3x y +=，不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题为真，得到必要性；得到答案. 【详解】取0,3x y ==得到3x y +=，故不充分；考虑必要性对应命题的逆否命题：若1x =且2y = ，则3x y +=易知成立，必要性； 故答案为必要不充分 【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力，取特殊值可以快速得出结论，是解题的关键.18．_充分非必要【解析】【分析】由两直线l1：x+2ay ﹣1＝0与l2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行列式求得a 值再由充分必要条件的判定得答案【详解】解：由两直线l1：x+2ay ﹣1＝0与l2：（3a解析：_充分非必要 【解析】 【分析】由两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行列式求得a 值，再由充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：由两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行，可得()23101310a a a a ⎧---=⎨-+-≠⎩ ，即a ＝0或a ＝16 . ∴“a ＝16”是“两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行”的充分非必要条件．故答案为充分非必要． 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题．19．【分析】根据题意转化为利用可将函数进行换元利用对勾函数求函数的最大值【详解】当时又设设当时取得最大值若为真命题即的最大值是5故填:5【点睛】本题考查了根据全称命题的真假求参数取值范围的问题考查了转化 解析：5【分析】根据题意转化为()2max log 4log 2x m x ≤+，利用21log 2log x x=，可将函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值. 【详解】当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈ 又21log 2log x x=，设[]2log 1,3x t =∈ ， 设24log 4log 2x y x t t=+=+当1t =时，取得最大值max 5y =.若[]2"2,8,log 4log 2"x x m x ∃∈≤+为真命题，()2max log 4log 2x m x ≤+ ，即5m ≤,m ∴的最大值是5.故填:5. 【点睛】本题考查了根据全称命题的真假，求参数取值范围的问题，考查了转化与化归的思想，若存在0x ，使()0m f x ≤，即()()maxm f x ≤，若0x ∀，使()0m f x ≤恒成立，所以()()min m f x ≤，需注意时任意还是存在问题.20．必要不充分条件【解析】【分析】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1进而判断出结论【详解】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1因为(-∞-1)∪(1+∞)⊃≠(1+∞)所以解析：必要不充分条件 【解析】 【分析】 由，解得或，由解得，进而判断出结论.【详解】由，解得或，由解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故答案是：必要不充分条件.【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断，涉及到的知识点有不等式的解法，必要不充分条件的定义，属于简单题目.三、解答题21．（1）a ≥6或a ≤-1.（2）{}1a a ≤-. 【分析】（1）根据题意得到1212,2,x x m x x +=⎧⎨=-⎩，计算12x x -=12max 3x x -=，代入解不等式得到答案.（2）讨论a >0，a =0，a <0三种情况，根据命题的真假得到1a ≤-，再计算交集得到答案. 【详解】（1）∴命题p 是真命题，∵x 1，x 2是方程x 2-mx-2=0的两个实根，∴1212,2,x x m x x +=⎧⎨=-⎩∴12x x -== ∴当[1,1]m ∈-时， 12max3x x -=，由不等式a 2-5a -3≥12x x -对任意实数m ∈[-1，1]恒成立，可得a 2-5a -3≥3， 解得a ≥6或a ≤-1， 则当命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤-1.（2）∵命题p 是真命题，命题q 是假命题， 命题q ：不等式ax 2+2x -1>0有解. ①当a >0时，显然有解； ②当a =0时，2x -1>0有解；③当a <0时，∵ax 2+2x -1>0，∴Δ=4+4a >0，∴-1<a <0. 从而命题q :不等式ax 2+2x -1>0有解时，a >-1. ∵命题q 是假命题，∴a ≤-1 611a a a ≥≤-⎧∴⎨≤-⎩或，所以a 的取值范围为{}1a a ≤-.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和推断能力. 22．（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【分析】（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可； （2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n n b -=，所以有01211122123252(21)2n n n a b a b a b n -+++=⋅+⋅+⋅++-⋅，令0121123252(21)2(1)n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅所以有1232123252(21)2(2)n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，(2)(1)-得：1211(2)2(2)2(2)2(21)2n n n S n -=-+-⋅+-⋅++-⋅+-⋅所以12(12)1(2)(21)2(23)2312n n n n S n n --=-+-⋅+-⋅=-⋅+-，而113(23)23nn n a b n -++=-⋅+，因此有对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，所以数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）因为数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，所以对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113(1)n n n n a b a b a b a b -++++=+恒成立，因此有11221123(2)n n n n n n a b a b a b a b a b ++++++=++，(2)(1)-得：112111112()n n n n n n n n n n n a b a b a b b a a a b +++-+++-+==-⇒+，若数列{}n a 是等差数列，则有11()2n n n a a a +-+=，已知数列{}n a 是正整数数列，因此有212n n b b ++=，因此数列{}n b 是等比数列； 若数列{}n b 是等比数列，设公比为q ，则有11n n n q a a a +-+=，显然只有当2q时，数列{}n a 是等差数列，因此由数列{}n a 是等差数列能推出数列{}n b 是等比数列，但由数列{}n b 是等比数列不一定能推出数列{}n a 是等差数列，因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.【点睛】本题考查了数列新定义问题，考查了充分不必要的证明，考查了等差数列和等比数列的定义的应用，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.23．512m ≤≤【分析】先求解p ，q 为真时，a 的范围，继而求解若p q ∧为真，a 的范围，又t 是r ⌝的必要不充分条件，列出不等式组限制条件，即得解. 【详解】若p 为真，则3a ≤又()21'()333f x x a x =+-+，若q 为真， 令0∆≤，则15a ≤≤若p q ∧为真，则13a ≤≤，:3r a ∴⌝>或1a <1:2t a m ∴>+或a m < 又t 是r ⌝的必要不充分条件，1511232m m m ≥⎧⎪∴∴≤≤⎨+≤⎪⎩【点睛】本题考查了逻辑连接词和充分必要条件，考查了学生逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.24．（1）[)4,+∞；（2）[)(]3,26,7--.【分析】（1）由p 是q 的充分条件，可得出[][]2,62,2m m -⊆-+，可得出关于正实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围；（2）求出q ，分p 真q 假和p 假q 真两种情况讨论，求出两种不同情况下x 的取值范围，综合可求得结果. 【详解】解：解不等式24120x x --≤，解得26x -≤≤，即:26p x -≤≤. （1）p 是q 的充分条件，[]2,6-∴是[]2,2m m -+的子集，故02226m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，解得：4m ≥，所以m 的取值范围是[)4,+∞；（2）当5m =时，:37p m -≤≤，由于命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论： ①p 真q 假时，2673x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，解得x ∈∅；②p 假q 真时，6237x x x ><-⎧⎨-≤≤⎩或，解得32x -≤<-或67x <≤.所以实数x 的取值范围为[)(]3,26,7--．【点睛】结论点睛：本题考查利用充分条件求参数，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应集合与p 对应集合互不包含． 25．（1）{}12x x ≤<；（2）106a <<或1a >. 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合A ，B ，代入a 的值，求出A ，B 的交集即可； （2）问题转化为B 是A 的真子集，根据集合的包含关系列不等式求出a 的范围即可． 【详解】 由已知，0a >所以{}()(){}{2281202602A x x ax a x x a x a x x a =-+>=-->=<或}6x a >()(){}{}12012B x x x x x =--≥=≤≤（1）当1a =时{2A x x =<或}6x >{}12B x x =≤≤所以{}12A B x x ⋂=≤<. （2）{2A x x a =<或}6x a >{}12B x x =≤≤因为p 是q 的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集， 所以22a <或16a > ，即16a <或1a > 又因为0a >，所以106a <<或1a >. 【点睛】关键点点睛：转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将必要不充分条件问题转化为集合之间的包含关系是解题的关键.26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<， 故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤<②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >. 综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。
高中数学北师大版高二选修2-1练习：第一章章末综合检测含解析
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意x∈R，e x＞x2”的否定是()A．存在x∈R，使得e x≤x2B．任意x∈R，使得e x≤x2C．存在x∈R，使得e x＞x2D．不存在x∈R，使得e x＞x2解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，e x≤x2”．2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是()A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．aα，b⊥β，α∥βD．aα，b∥β，α⊥β解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又aα，∴a⊥b.3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是() A．(非p)或q B．p且qC．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)解析：选D.∵p真q假，∴非p假，非q真，故选D.4．命题“存在x∈R，2x＋x2≤1”的否定是()A．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，假命题B．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，真命题C．存在x∈R，2x＋x2＞1，假命题D．存在x∈R，2x＋x2＞1，真命题解析：选A.因为x＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x∈R，2x＋x2＞1”是假命题．5．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件解析：选B.l∥α，lα，mα，l与m可能平行或异面；反过来，若l∥m，lα，mα，则l∥α.6．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.∵p真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.7．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列命题不正确的是()A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D.对D，m与n可能平行，也可能异面，D不正确，A、B、C中命题均正确．8．下列命题中，真命题是()A．任意x∈R，x2≥xB．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题C．存在x∈R，x2≥xD．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题解析：选C.对A，当x∈(0，1)时，A为假命题；B的逆命题为：“若x2＝1，则x＝1”，此命题为假命题，B为假命题；对C，当x＝1时成立，C为真命题；对D，D的逆否命题为：“若sin x＝sin y，则x ＝y”．此命题为假，例如sin 30°＝sin 150°，但30°≠150°，D为假命题，故选C.9．已知a、b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)＝a·b x2＋(b2－a2)x－a·b，若“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”，则a·b＝0，即“a⊥b”；若“a⊥b”，当a2＝b2时，f(x)＝0，就不是一次函数，故“a⊥b”，是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的必要不充分条件．10．命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，log2x＋m＞0”，若“p 且q”为真命题，则实数m的取值范围是()A．m＜1 B．m＞－1C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1解析：选C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，∴m＜1；q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，∴m＞－1；∵p且q为真命题，∴p和q都是真命题，故－1＜m＜1.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________．解析：由题意x＝2⇒x2－2x＋c＝0，∴22－2×2＋c＝0，∴c＝0.答案：012．若命题“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：∵“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，∴其否定：“对任意x＜2 014，x≤a”为真命题，∴a≥2 014.答案：[2 014，＋∞)13．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．解析：若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，即a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)；反之，若a⊥(b－c)，则a·(b－c)＝0，即a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c.从而有a·b＝a·c⇔a⊥(b－c)．答案：充要14．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假，则实数m的取值范围是________．解析：p 或q 为假，则非p 和非q 均为真．非p ：对任意x ∈R ，mx 2＋1＞0为真时，m ≥0；非q ：存在x ∈R ，x 2＋m ＋1≤0为真时，Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥0}∩{m |m ≤－2或m ≥2}＝{m |m ≥2}．答案：[2，＋∞) 15．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则下列四个命题： ①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －D 1PC 的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线BC 1上运动时，二面角P -AD 1C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线D 1A 1. 其中真命题的编号是________．解析：对①，P 在直线BC 1上运动时，S △AD 1P 为定值，C 到底面AD 1P 的距离为定值，①为真命题； 对②，P 在直线BC 1上运动时，P 到底面ACD 1的距离PO (O 为垂足)不变，但线段OA 的长是变化的；∴②是假命题；对③，由于BC 1∥AD 1，③为真命题；对④，由于直线D 1A 1上任一点到点D 和C 1距离相等，又D 1A 1平面A 1B 1C 1D 1，④为真命题．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假： (1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a ，b 不都为0，则a 2＋b 2≠0”；(3)命题“任意x ∈(0，＋∞)，有x ＜4且x 2＋5x －24＝0”的否定． 解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a 2＋b 2＝0，则实数a ，b 同时为0”，显然为真，故原命题为真； (3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题．17．(本小题满分10分)(2014·孝感市高二检测)设命题p ：(4x －3)2≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若非p 是非q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解：设A ＝{x |(4x －3)2≤1}， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}， 易知A ＝{x |12≤x ≤1}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．由非p 是非q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A 是B 的真子集， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1.(等号不同时成立) 故所求实数a 的取值范围是[0，12]．18．(本小题满分10分)已知命题p ：函数y ＝(a －1)x 在R 上单调递增，命题q ：不等式x ＋|x －3a |＞1的解集为R ，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则a －1＞1⇒a ＞2，q 真⇔x ＋|x －3a |＞1恒成立，设h (x )＝x ＋|x －3a |，则h (x )min ＞1.∵h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3a ，x ≥3a3a ， x ＜3a ，易知h (x )min ＝3a ，∴3a ＞1，即a ＞13.∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p ，q 一真一假． ①若p 真q 假，则a ＞2且a ≤13，矛盾．②若p 假q 真，则a ≤2且a ＞13⇒13＜a ≤2，综上可知，a 的取值范围是(13，2]．19．(本小题满分12分)已知集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件． (2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}，结合集合M ，P 可得－3≤a ≤5.故－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的必要条件．下面证明这个条件也是充分的．证明：当－3≤a ≤5时，集合P ＝{x |a ≤x ≤8}，集合M ＝{x |x ＜－3或x ＞5}，故M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}． 综上可知，－3≤a ≤5是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的充要条件．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5＜x ≤8}的一个充分不必要条件．20．(本小题满分13分)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点(－1，0)，是否存在常数a ，b ，c 使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立？解：假设存在常数a ，b ，c 使题设命题成立． ∵f (x )图像过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0， ∵x ≤f (x )≤1＋x 22对一切x ∈R 均成立，∴当x ＝1时，也成立， 即1≤a ＋b ＋c ≤1， 故有a ＋b ＋c ＝1. ∴b ＝12，c ＝12－a .∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12－a ，∴x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22对一切x ∈R 成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧14－4a ⎝⎛⎭⎫12－a ≤0，1－8a （1－2a ）≤0，a ＞0，1－2a ＞0，∴a ＝14.∴c ＝12－a ＝14.∴存在一组常数a ＝14，b ＝12，c ＝14，使不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对一切实数x 均成立．。
2019-2020版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 章末检测(一) Word版含答案
章末检测(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.下列语句中是命题的个数为()①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”.A.1B.2C.3D.4解析根据命题的概念，判断是不是命题.①不是陈述句，不是命题.②疑问句.没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.③是假命题.0既不是正数也不是负数.④是假命题.如x＝3，y＝－ 3.⑤是祈使句，不是命题.答案 B2.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4解析 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.答案 C3.设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 结合函数单调性的定义求解.由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件.答案 A4.设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( )A.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数B.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数C.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数D.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数解析 存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D.答案 D5.下列命题中的假命题是( )A.存在x ∈R ，sin x ＝52B.存在x ∈R ，log 2x ＝1C.任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0D.任意x ∈R ，x 2≥0解析 因为任意x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，存在x ＝2，log 2x＝1；对于C ，根据指数函数图像可知，任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >0；对于D ，根据二次函数图像可知，任意x∈R，x2≥0.答案 A6.下列命题正确的是()A.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则a>b是cos A<cos B的充要条件B.命题p：对任意的x∈R，x2＋x＋1>0，则綈p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≤0C.已知p：1x＋1>0，则綈p：1x＋1≤0D.存在实数x∈R，使sin x＋cos x＝π2成立解析对于A，在△ABC中大边对大角，由a>b得A>B，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cos A<cos B；又由A，B∈(0，π)，cos A<cos B时得A>B，故a>b，故A正确.对于B，命题p的否定綈p应为：存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0，故B不正确.对于C，p：1x＋1>0⇔p：x>－1，故綈p为x≤－1，而不是1x＋1≤0，故C不正确.对于D，sin x＋cos x的最大值为2，小于π2，故D不正确.答案 A7.命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0解析全称命题：任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.答案 C8.命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数解析先对命题取逆，然后取否可得“若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”，选A.答案 A9.下列命题中真命题的个数是()①任意x∈R，x4>x2；②若p且q是假命题，则p，q都是假命题；③命题“任意x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”.A.0B.1C.2D.3解析对于①，当x＝0时，左边＝右边＝0，故①为假命题.对于②，p，q有一个为假时，p且q也为假，故②为假命题.③为真命题.故真命题有1个.答案 B10.已知命题p：任意x∈R，1－x2≤1，则()A.綈p：存在x∈R，1－x2≥1B.綈p：任意x∈R，1－x2≥1C.綈p ：存在x ∈R ，1－x 2>1D.綈p ：任意x ∈R ，1－x 2>1解析 根据全称命题的否定方法，当命题p ：任意x ∈R ，1－x 2≤1时，綈p ：存在x ∈R ，1－x 2>1.故选C. 答案 C11.已知命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，使得3x 0<4x 0；命题q ：任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，有tan x >x ，则下列命题中的真命题是( )A.p 且qB.p 或(綈q )C.p 且(綈q )D.(綈p )且q 解析 由3x <4x 得⎝ ⎛⎭⎪⎫43x >1， 当x <0时不等式不成立，故p 为假命题，由图像知，tan x >x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立. 故q 为真命题.故D 项为真.答案 D12.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B.若p 或q 为假命题，则p ，q 均不为假命题C.命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x＋1<0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析 选项A 中否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”；选项B 中，若p 或q 为假命题，则p ，q 均为假命题；选项C 中命题的否定为“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”.故A ，B ，C 三项说法均不正确.选项D 中，“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，故其逆否命题也为真命题. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.命题：“存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立”的否定是_____________________________________________________________________.解析 特称命题的否定是全称命题.答案 对任意实数对，2x ＋3y ＋3≥0恒成立14.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________. 解析 一个命题的否命题是对条件和结论都否定.答案 若a ≤b ，则2a ≤2b －115.在下列四个命题中，真命题的个数是________.①任意x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②存在α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；③存在x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114>0， 故①是真命题.②中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故②是真命题.③中x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故③是真命题.答案 316.已知命题p ：不等式x x －1<0的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p 真q 假；②“p 且q ”为真；③“p或q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________.解析解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，∴命题q是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误.答案①③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)(1)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零.(2)写出下列命题的否定并判断真假：①所有自然数的平方是正数；②任何实数x都是方程5x－12＝0的根；③任意x∈R，x2－3x＋3>0；④有些质数不是奇数.解(1)①逆命题：全等的两个三角形的面积相等，真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题.②逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题.逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)①綈p：有些自然数的平方不是正数，真命题.②綈p：存在x0∈R，使得5x0－12≠0，真命题.③綈p：存在x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题.④綈p：所有的质数都是奇数，假命题.18.(10分)求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是。