浅议插值逼近方法及其发展
高中数学中的插值与多项式逼近
高中数学中的插值与多项式逼近在高中数学中，插值和多项式逼近是两个重要的概念和技巧。
它们在数学和工程领域中具有广泛的应用，可以用来解决实际问题，提高计算精度和效率。
本文将对插值和多项式逼近进行介绍和探讨。
一、插值的概念和应用1. 插值的概念插值是指通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数在已知数据点上与已知函数或数据完全一致。
插值的目的是为了通过已知的离散数据点来估计未知的数据点，从而实现对数据的预测和补充。
2. 插值的应用插值在实际应用中非常广泛，例如地理信息系统中的地图绘制、图像处理中的图像重建、金融领域中的股票价格预测等。
通过插值方法，可以根据已知数据点的特征和规律，推断出未知数据点的值，从而提供更准确的预测和分析。
二、插值方法1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过构造一个多项式函数来逼近已知数据点。
这个多项式函数通过已知数据点的横纵坐标来确定，从而实现对未知数据点的估计。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常用的插值方法，它利用差商的概念来构造一个多项式函数。
差商是指已知数据点之间的差值与对应函数值之间的比值，通过差商的递归计算，可以得到一个多项式函数，从而实现对未知数据点的估计。
三、多项式逼近的概念和方法1. 多项式逼近的概念多项式逼近是指通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，使得这个多项式函数在已知数据点上与已知函数或数据最接近。
多项式逼近的目的是为了简化计算和分析，提高计算效率和精度。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的多项式逼近方法，它通过最小化已知数据点与多项式函数之间的误差平方和，来确定最优的多项式函数。
最小二乘法可以用来解决数据拟合、曲线拟合等问题，广泛应用于统计学、信号处理等领域。
四、插值与多项式逼近的比较1. 精度比较插值方法可以通过已知数据点完全重构已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度非常高。
而多项式逼近方法则是通过一个多项式函数来逼近已知函数或数据，因此在已知数据点上的精度可能会有一定的误差。
数学中的函数逼近与插值方法
数学中的函数逼近与插值方法函数逼近和插值方法是数学中重要的概念与技术。
在数学与应用领域，我们经常会遇到需要近似计算或者重建一个函数的情况。
函数逼近和插值方法提供了一种有效的手段，能够用一个简单的函数或者曲线来近似代替原函数，并在一定程度上保留原函数的性质与结构。
1. 函数逼近在函数逼近中，我们需要给出一个近似函数，使其能够在原函数的一定范围内进行准确的近似。
这一方法常用于数据分析和拟合，以及在一些数学问题中的近似求解。
常见的函数逼近方法包括最小二乘逼近、Chebyshev逼近和插值型逼近等。
最小二乘逼近是一种通过使残差平方和最小化来确定近似函数的方法。
它的基本思想是将原函数表示为一个线性组合，通过求解线性方程组的最优解来确定系数。
Chebyshev逼近使用Chebyshev多项式来逼近函数。
这种方法的优点是能够在给定的逼近度下，取得最均匀的最小误差。
插值型逼近则是通过在一些数据点上确定一个插值多项式，然后用该多项式来逼近原函数。
这种方法的优点是能够在给定的数据点上实现完全的逼近。
2. 插值方法插值方法是一种通过给定的数据点来确定一个连续函数的方法。
在插值中，我们希望找到一个函数，使其通过给定的数据点，并且能够在这些点之间进行连续的插值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
线性插值是一种简单的插值方法，它假设插值函数在两个给定数据点之间是线性的。
通过连接两个邻近点，我们可以得到一个线性函数来近似整个区间上的函数。
拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来插值的方法。
它的基本思想是通过在每个数据点上构造一个插值多项式，然后将这些多项式进行线性组合来得到插值函数。
样条插值是一种在给定数据点上通过拟合一系列分段低次多项式来插值的方法。
这样可以在各个小区间上获得更好的逼近效果。
总结起来，函数逼近与插值方法是数学中重要且常用的技术。
它们在数学建模、数据分析以及计算数值方法中都起到了关键的作用。
数学中的函数逼近与插值
数学中的函数逼近与插值数学中的函数逼近与插值是一门重要的数学分支，通过近似求解函数与数据之间的关系，可以快速计算和预测未知的数值。
本文将介绍函数逼近与插值的基本概念和方法，并探讨其在实际应用中的价值和意义。
一、函数逼近函数逼近是指通过一系列已知的数据点来建立一个近似的函数模型，以便于计算和预测未知的数值。
在实际应用中，我们经常需要使用函数逼近来处理大量的数据，从而节省计算和存储资源。
1.1 最小二乘法最小二乘法是函数逼近的常用方法，它通过最小化实际观测数据与模型预测值之间的误差平方和，来确定函数逼近的参数。
最小二乘法可以应用于线性和非线性函数逼近，是一种广泛使用的数学工具。
1.2 插值法插值法是函数逼近的一种常见技术，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值法可以根据数据点的特点选择不同的插值多项式，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
插值法在图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
二、函数插值函数插值是指通过已知的数据点来构建一个连续的函数模型，以便于在任意位置计算函数值。
函数插值在数学、计算机科学和工程领域具有重要的应用价值。
2.1 插值多项式插值多项式是函数插值的一种常用方法，它通过已知的数据点构建一个多项式函数，以逼近未知的函数模型。
插值多项式可以使用拉格朗日插值、牛顿插值等方法进行构造，这些方法在实际应用中具有较好的效果。
2.2 样条插值样条插值是一种更加精确和平滑的插值方法，它通过已知的数据点构建一系列分段连续的多项式函数，以逼近未知的函数模型。
样条插值可以解决插值多项式在几点处不光滑的问题，常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值等。
三、函数逼近与插值在实际应用中的意义函数逼近与插值在科学研究和工程实践中具有广泛的应用，对于大数据处理、数值计算和机器学习等领域具有重要的作用和意义。
3.1 数据拟合与预测函数逼近与插值可以通过已知的数据点建立一个模型，从而对未知的数据进行拟合和预测。
逼近方法和插值方法的比较
逼近方法和插值方法的比较逼近方法和插值方法是数值分析中常用的两种数据处理技术，它们可以用于解决各种数学问题，例如函数逼近、信号处理、图像处理等。
虽然这两种方法都可以用于拟合数据，但是它们的原理与应用有很大的不同。
在本文中，我们将对逼近方法和插值方法进行比较，并分析它们的优缺点和应用场景。
一、逼近方法逼近方法是一种利用数学模型对实际数据进行拟合的方法。
与插值方法不同，逼近方法不要求通过数据点来直接计算出函数值，而是要求在整个拟合域内，最小化实际数据与拟合函数之间的误差。
因此，在逼近方法中，拟合函数不需要通过所有数据点，只需要通过一部分数据点，从而能够更好地逼近真实的函数。
逼近方法中常用的模型包括多项式模型、三角函数模型、指数模型、小波模型等。
逼近方法相较于插值方法的优点在于，它对数据中的噪声具有一定的容忍度。
由于在逼近过程中，并不要求通过所有数据点，因此可以为一些离群点和噪声点留下一定的空间。
而插值方法则要求通过所有数据点，一旦数据出现噪声点或者离群点，就会对插值结果产生极大的影响。
逼近方法缺点在于，由于逼近过程是基于模型的，因此需要先选定一种适合于实际数据的模型，否则拟合结果可能无法正确表达数据的真实本质。
逼近方法适用于数据比较平滑的情况，例如时间序列数据、声音处理等。
通过选取合适的模型，逼近方法可以更好地保留数据的特征，同时对于部分离群点的情况，也可以提供一定程度的容忍度。
二、插值方法插值方法是一种通过已知数据点，在数据点之间进行插值计算出未知数据点的数值的方法。
插值方法要求通过每个数据点，计算出它们之间的函数值，从而构建出全局的函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法、三次样条插值法等。
插值方法的优点在于，它可以精确地通过所有数据来计算未知数据值。
但是，插值方法的缺点在于，它对于数据的噪声敏感，并且过度拟合的可能性会很大。
当数据点过多时，插值方法会使插值函数波动较大，从而无法反映数据的真实本质。
函数逼近与插值
函数逼近与插值函数逼近和插值是数学的两个重要分支，在工程、科学和金融等领域都有广泛的应用。
本文将从数学角度介绍这两个概念，并讨论它们的优缺点和应用领域。
函数逼近函数逼近是指用一个已知的函数来近似另一个函数的过程。
通常情况下，我们会选择一组基函数，将待逼近函数表示为基函数的线性组合形式，然后通过确定基函数的系数，使得逼近函数与原函数的误差最小。
常用的基函数包括多项式、三角函数、指数函数等，其中最为广泛应用的是多项式基函数。
多项式函数的优点在于易于计算和控制，同时由于其具有良好的局部逼近性，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
以多项式逼近为例，设待逼近函数为$f(x)$，逼近函数为$p(x)$，则有：$$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$$其中，$a_0,a_1,a_2,...,a_n$为待求系数。
我们可以通过最小二乘法来确定这些系数，即$$\min\limits_{a_0,a_1,...,a_n}\sum\limits_{i=1}^n(f(x_i)-p(x_i))^2$$这个问题可以通过求解线性方程组的方式得到解析解，也可以通过牛顿迭代等数值优化算法得到近似解。
在实际应用中，我们通常会选择适当的基函数来进行逼近，例如在图像处理中，一般采用的是小波基函数，而在金融工程中，常用的则是Gaussian基函数。
不同的基函数对逼近结果的精确度和复杂度有着不同的影响，因此需要根据具体的需求来选择适当的基函数。
函数插值函数插值是指通过已知的样本点来求出一条经过这些点的曲线的过程。
具体来说，就是找到一个函数$p(x)$，使得$p(x_i)=f(x_i)$，其中$x_i$为已知的样本点。
该函数$p(x)$称为插值函数。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、样条插值等。
其中，拉格朗日插值最为简单直观，其基本思想是假设插值函数为一个多项式，并通过已知的样本点来确定该多项式的系数。
例如，在二次插值中，设插值函数为$p(x)=ax^2+bx+c$，则有$p(x_1)=f(x_1),p(x_2)=f(x_2),p(x_3)=f(x_3)$。
插值与逼近
插值与逼近一插值多项式有时候我们只知道函数f(x)在区间［a,b ］上的一系列点的函数值，即知道i i y x f =)(，而不知道它在区间［a,b ］上的具体的函数表达式。
所以，无法研究该函数在其它点上的函数值的变化；也有些时候在［a,b ］区间上的函数)(x f 的表达式十分复杂，不便于利用函数的表达式研究问题。
插值法就是构造插值函数)(x p y =去近似被插值函数)(x f y =，使之满足插值条件)(i i x p y =。
通常我们构造插值多项式。
插值多项式就是利用一些已知的函数值所做的既能反映原来函数的主要性质，又有简单形式的一种较好的替代函数。
求插值多项式的基本思想：设函数)(x f 在区间［a,b ］上连续。
已知它在],[b a 上1+n 个互不相同的点nx x x ,,,10Λ处的值n y y y ,,,10Λ。
如果多项式)(x p 在点i x 上满足),,1,0()(n i y x p ii Λ==则称)(x p 是函数)(x f 的插值多项式。
在本章中讨论拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式、埃尔米特插值多项式和分段插值多项式。
1. 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值法是最基本、最常用的插值方法，也是其他插值方法的基础。
我们讲授的拉格朗日插值多项式包括线性插值多项式、抛物线插值多项式和n 次插值多项式拉格朗日插值多项式的公式为：)())(()()()())(()()()()()()()()()(1101000110n i i i i i i i n ini i i ni i i n n o n x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x y x l y x l y x l y x l x L -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-='-⋅⋅⋅--='-==+⋅⋅⋅++=+-==∑∑ωωωω其中基函数的公式为：),...,2,1()()()())...()()...()(())...()()...()(()(11101110n i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l i i n i i i i i i i n i i i ='-=----------=+-+-ωω余项公式为),()()!1()()()()(1)1(b a x n f x P x f x R n n n n ∈+=-=++ξωξ其中拉格朗日插值多项式计算步骤:⑴ 准确计算插值基函数。
多项式插值和最佳逼近简析及比较
多项式插值和最佳逼近简析及比较多项式插值法是将若干离散的数据点用某个规律的多项式的综合函数来拟合表示，适用于已知曲线但未知函数时，利用经过几个点的函数值形成的初等多项式确定曲线上所有点的值。
最佳逼近是以尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，或者存在一般约束条件下最小化拟合误差的极小曲线为目的。
条件约束的最小曲线常数的综合函数叫做最佳逼近曲线，其特色是在一定条件下准确地逼近离散点，甚至可以精确地逼近实质上的曲线。
比较：
1. 多项式插值更加简单，计算量小，但过拟合的可能性比较大，特别是当数据点分布不够均匀时；
2. 最佳逼近算法比较复杂，耗时较长，但是更拟合数据，并且能够尽量减少离散点与所拟合曲线的均方误差，更能够认型数据分布规律。
多项式插值与数值逼近理论
多项式插值与数值逼近理论多项式插值和数值逼近是数学分析领域中重要的数值计算方法，在科学计算、数据处理和图像处理等领域具有广泛应用。
本文将介绍多项式插值和数值逼近的基本概念、方法和应用。
一、多项式插值多项式插值是一种通过已知数据点来构造一个多项式函数，使该函数在给定点处的函数值与真实值尽可能接近的方法。
插值多项式通过在已知数据点之间“填充”适当的多项式函数，从而实现对未知函数的近似估计。
1.1 基本定义给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，其中x0<x1<...<xn，多项式插值的目标是找到一个n次多项式 P(x)，使得P(xi) = yi 对于所有的 i=0,1,...,n 成立。
1.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式是一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，拉格朗日插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( yi * li(x) )其中li(x) = ∏[j=0,n,j≠i]( (x-xj)/(xi-xj) )，称为拉格朗日基函数。
1.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式是另一种常用的多项式插值方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，牛顿插值多项式可以通过如下公式得到：P(x) = ∑[i=0,n]( ci * Ni(x) )其中Ni(x) = ∏[j=0,i-1]( x-xj )，ci 是插值节点上的差商。
二、数值逼近数值逼近是一种利用已知数据点来估计未知函数的方法，数值逼近的目标是找到一个函数近似值，使其与真实值之间的差别尽可能小。
数值逼近可以通过多项式逼近、三角函数逼近等方法实现。
2.1 最小二乘逼近最小二乘逼近是一种常用的数值逼近方法。
给定 n+1 个数据点（x0, y0），(x1, y1)，...，(xn, yn)，最小二乘逼近的目标是找到一个 m 次多项式 P(x)，使得P(x) = ∑[i=0,m]( ai * φi(x) )，其中 ai 是待确定的系数，φi(x) 是 m 个已经确定的基函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅议插值逼近方法及其发展
摘要:本文探讨了数值分析中插值逼近方法的发展历程,详细介绍了几种插值逼近方法的特征,并运用自然辩证法基本理论分析了其发展的历史、现状,揭示了科学理论发展的共性问题,以此来指导我们在今后改进并构造新的插值逼近方法发展方向。
关键字:计算数学插值误差
引言
计算机的问世在全球范围内引发了一场信息风暴,信息技术几乎触及了现代生活的方方面面,计算数学的发展也受到了其很大的影响,函数曲线、曲面的插值逼近方法在其中有着重要的地位,正确认识其产生和发展,显的尤为重要。
以自然辩证法的观点认识分析插值逼近方法的发展历程,将有助于全面地推动数值计算方法的发展,有助于准确把握其发展趋势。
1插值逼近方法
随着科学发展数学理论应用已渗透到各个领域。
插值逼近方法是数值计算的方法[1],是建立在数学理论的基础上的方法,给定一组有序的数据点,构造函数曲线通过这些给定得数据点,这些点可以是从某个形状上测量得到的,也可以是设计人员给定的,称为对这些数据点进行插值。
如果不要求严格通过给定的一组数据点,只要求所构造的函数曲线在某种意义下最接近这些数据点,称为对这些数据点进行逼近,所构造函数曲线称为逼近曲线.
2自然辩证法
自然辩证法是马克思主义对于自然界和科学技术发展的一般规律以及人类认识自然改造自然的一般方法的科学,是辩证唯物主义的自然观、科学技术观、科学技术方法论。
学习和运用自然辩证法将有助于我们搞清科学和哲学的关系,从而更加清楚地认识科学的本质和发展规律,更加全面的观察思考问题,以自然辩证法的观点来分析计算数学中插值逼近方法的发展。
3插值逼近方法的发展
插值逼近方法是不断发展变化的,其发展的根本动力来自以下几个方面:⑴理论内部的矛盾;⑵实践与理论的矛盾;⑶理论之间的矛盾;⑷主观与客观的矛盾。
最初研究插值逼近理论[1]时,用到拉格朗日插值方法,但在增加插值点时,前面运算的值不能用到新的运算。
于是拉格朗日方法就需要发展改进,在这样的情况下,牛顿插值公式诞生了。
在增加数据点时,牛顿插值方法利用前面的计算结果,通过差商概念的提出和利用,这个方法更有利于计算编程,在本质上以上两种方法的理论依据是一样的,他们的误差大小是一样的,可是牛顿插值提出了差商的概念,通过差商把连续曲线函数离散化,可一直利用离散数据计算,这有利于计算编程,实际生活中的函数大多是以数据形式出现的,由于随着实际计算的要求,需要提高函数曲线的误差精度,按照以前拉格朗日与牛顿插值方法所用的泰勒公式及线性代数等理论,需要提高插值多项式的次数,可当用拉格朗日和牛顿插值方法计算时,著名科学家龙格找到了一个特例函数,发现与推理的结果相反,次数增加,在插值区间内误差并没有减少,局部误差增大很多倍,更不稳定。
这一特例的出现引发了数学理论的发展,需要用新的理论来解释这一现象,并构造出更好的方法来解决问题。
于是提出了分段低次插值方法,这种方法用多项式来做插值基函数,把整个插值区间分段,在每一段上用较低次数的多项式进行插值,这样就保证了曲线的稳定性,并提高了误差的精度。
同时还进一步考虑到了不但曲线本身,而且其切线方向也应与已知方向相同,就构造出了埃尔米特插值方法。
4插值逼近方法的最近发展
传统的船舶、汽车和飞机的模线都是借助于样条手工绘制的。
样条,即富有弹性的均质系木条、金属条或有机玻璃条。
它围绕固定位置的重物或压铁作弹性弯曲,以获得所需曲线。
如图1所示:
应用物理样条所产生的曲线总是光滑的,如果我们把样条看成弹性细梁,压铁看成作用在这个梁的某些点上的集中载荷,那就把上述画模线的过程在力学上抽象为:求弹性细梁在放置压铁点的集中载荷作用下产生的弯曲变形。
切出两相邻压铁之间的一段来看,只在该段梁的两端有集中支撑反力作用,因此在这段梁的弯距是梁长度方向的线性函数。
并且它符合在固定点插值,利用它的启发及以前的多项式插值理论和线性递推理论,就构造出了分段三次样条插值,它是特殊得样条函数,不但能够光滑插值,误差小;而且在一定意义下最佳逼近插值点。
到了二十世纪六、七十年代,美国科学家找出了样条函数的普遍特征,提出并建立更一般的样条函数理论,这就出现了B样条、贝齐尔曲线这些特殊并适用的插值逼近方法,贝齐尔方法是1962年由法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出的,经过多年研究在1972年建立了一种自由曲线曲面的设计系统——UNISURF系统。
这种方法一经问世,立即就得到了各大飞机公司的重视,并尽快得到了发展和应用。
这些方法都是尽量提高误差精度,与此同时保持了曲线函数的稳定性。
解决了以前用的拉格朗日插值和牛顿插值的缺陷,有对称性、保凸性等优良的逼近性质。
B样条由舍恩伯格提出,1972年德布尔与考克思分别独立给出了关于B样条的标准算法。
戈登又把B样条理论应用于形状描述,最终提出了B样条方法。
这种方法继承了贝
齐尔曲线的一切优点,克服了贝齐尔曲线存在的缺点,较成功地解决了局部控制问题和连接问题。
采用样条函数插值,达到了给定数据点的插值的目的,在某种意义下函数曲线最佳逼近给定数据点,并且有利于计算编程,因为它满足递推法则,可用于计算。
能够把数学理论更好地用到解决实际问题。
5插值方法的发展趋势
随着计算机技术及硬件设施的不断发展,计算机语言的演化从最开始的机器语言到汇编语言,最后到支持面向对象技术的面向对象语言。
这就要求提供的计算方法也不断发展。
同时在实践也给旧的插值逼近方法不断提出问题,这就要求新的插值逼近方法要更复杂,误差精度更高,同时解决更多方面的问题。
插值逼近方法的发展也需要新的理论指导。
自然辩证法的科学理论中提到科学“范式”概括了插值逼近法得法的发展过程,辩证唯物主义自然观、自然科学发展过程及其规律,分析与综合、归纳法与演绎法、想象和类比等科学逻辑思维方法的应用都在插值逼近理论的发展过程中起到了重要作用。
6结语
用科学的逻辑思维方法认识事物才会清楚的了解其过去、现在和未来,计算数学中的插值逼近方法发展同样遵循着科学技术、科学理论发展的一般规律,以自然辩证法的观点来分析它,有助于我们更加深入地认识插值逼近以及整个数值计算方法发展的历史、现状和趋势。
插值逼近方法及数学理论的进一步发展也必将为自然辩证法的发展提供基础。
参考文献:
[1]莫蓉,吴英,常智勇.计算机辅助几何造型技术[M].2005年,北京:科学出版社.
[2]黄顺基,陈其荣,曾国屏.自然辩证法概论[M].2004年,北京:高等教育出版社.
[3]黄铎,陈兰平,王风.数值分析[M].2004年,北京:科学出版社.
[4]曾国屏.当代自然辩证法[M].北京:清华大学出版社.。