几种插值法比较与应用
几种插值法的对比研究1
几种插值法的对比研究1插值法是一种常用的数据处理方法，特别在数字信号处理和数值计算中广泛应用。
在实际应用中，选择合适的插值方法对数据的良好处理有着重要的作用。
本文将对几种常用的插值方法进行对比研究。
1. 线性插值法线性插值法是最简单也是最常用的插值方法。
它假设函数在两个已知点之间是一条直线，根据该直线与自变量的位置，即可得到插值的函数值。
线性插值法的计算简便，适用于各种连续变化的函数，但是对曲率较大的函数，有时可能会出现较大的误差。
2. 多项式插值法多项式插值法是一种高效的插值方法。
它通过已知的数据点和插值点，构造一个多项式函数。
这个多项式函数与所需求函数一样，在插值点处取相同的函数值。
多项式插值法插值精度较高，但对于高次多项式的构造和计算，不仅容易出现数值不稳定的问题，而且计算量也比较大，往往在实际应用中给计算机带来较大的负担。
样条插值法是一种优秀的插值方法。
样条插值法将整个插值区间划分为若干小区间，每个小区间内部通过一个样条函数连接在一起。
样条函数既可以满足插值的要求，又可以保持函数在区间内的连续性。
这样可以产生较好的插值效果。
相对于线性插值和多项式插值，样条插值法的误差一般较小，满足一定的平滑性要求，而且计算相对简单。
在实际应用中广泛使用。
4. 径向基函数插值法径向基函数插值法是一种数值稳定性较高的方法。
它利用径向基函数的性质，即可以逼近各种连续的函数，将一个函数表示为各个径向基函数的线性组合，建立待插值函数与径向基函数之间的关系。
当插值点趋近于数据点时，径向基函数插值法可以达到较高的精度。
径向基函数插值法的计算方法较为复杂，需要选取合适的径向基函数和其它参数，定位问题更加困难，但是计算结果却更为准确。
综合各种插值方法的优缺点，我们可以根据不同的实际需求选择不同的插值方法。
在插值研究中，需要注意插值方法的数值稳定性、计算效率、精度和平滑性等各个方面的综合考虑，以达到最优的插值效果。
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
各种插值法的对比研究
各种插值法的对比研究插值法是指通过已知数据点来估计两个数据点之间的未知数值。
在实际生活和科学研究中，经常会遇到需要插值的情况，例如气象预测、金融分析、图像处理等。
本文将对比介绍几种常见的插值方法，包括线性插值、多项式插值、样条插值和逆距离加权插值。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法，假设两个数据点之间的值变化是线性的。
根据已知数据点的坐标和对应的值，通过线性方程推断两个数据点之间的值。
优点是计算简单快速，但缺点是对数据变化较快的情况下估计效果较差。
2.多项式插值：多项式插值假设两个数据点之间的值变化是一个多项式函数。
通过已知数据点的坐标和对应的值，使用多项式拟合方法求解多项式函数的系数，再根据该多项式求解两个数据点之间的值。
多项式插值可以准确拟合已知数据点，但在插值点较多时容易出现振荡现象，且对数据点分布敏感。
3.样条插值：样条插值是一种平滑的插值方法，通过构建分段连续的多项式函数来逼近整个数据集。
根据已知数据点的坐标和对应的值，通过求解一组多项式函数的系数，使得在相邻区间之间函数值连续，导数连续。
样条插值可以减少振荡现象，对于插值点密集的情况能更好地逼近原始数据。
4.逆距离加权插值：逆距离加权插值是一种基于距离的加权插值方法，根据已知数据点与插值点之间的距离，对每个已知数据点进行加权平均得到插值点的值。
该方法认为距离较近的数据点对插值结果的影响更大。
逆距离加权插值简单易用，对数据点的分布不敏感，但对于距离较远的数据点容易受到较大的干扰。
在实际应用中，选择合适的插值方法需要根据数据的特点和要求来决定。
若数据变化较简单、平滑，可以选择线性插值或多项式插值；若数据变化复杂，存在振荡现象，可以选择样条插值；若数据点分布较稀疏，可以选择逆距离加权插值。
此外，还有一些其他的插值方法，如Kriging插值、径向基函数插值等，它们根据不同的假设和模型进行插值，具有一定的特点和适用范围。
综上所述，对于选择合适的插值方法，需要根据具体问题和数据特点来综合考虑，结合不同方法的优缺点进行比较研究，以得到更准确和可靠的插值结果。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
几种插值方法比较与应用2
从上面的计算过程可以看出，拉格朗日插值法的线性插值与抛物插 值的计算过程没有继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开 始，而牛顿插值则避免了这一问题，这样大量的节省了乘、除法运算次 数，减少了计算的时间。因此，对于一些结构相当复杂的函数，牛顿插 值法比拉格朗日插值法要占优势。但是，牛顿插值法也存在的问题，就 是在高次插值时，误差可能会增大，如本题可看出，高次插值会不稳 定。这说明高次牛顿插值不可取，因此在采用牛顿插值法时常使用分段 低次插值的方法，以获得更精确的计算结果。
Hermite插值法：增加了节点处对导数的限制，从而能更全面的反 映被插值函数的性态。而其所构造的多项式能更好地逼近函数。
0.6 0.56464 0.8521
二阶差
五阶差
三阶差商 四阶差商
商
商
-0.1495 -0.1475 -0.1945 -0.2400
0.00667 -0.15667 -0.40835 -0.15167 0.0125
0.8417
（1）由牛顿公式得一次插值多项式为
（2）由牛顿公式得二次插值多项式为
（3）由牛顿公式得五次插值多项式为
直接计算得 ，，，， ，，，.
事实上，另外
. ，.
5 结束语 综上看比较出各种插值方法的优缺点。 拉格朗日插值法：可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代
数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函 数。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑， 在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之 变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克 服这一缺点，提出了牛顿插值可以克服这一缺点。
截断误差（余项）：若在上用近似，则
(完整版)几种插值法比较与应用
多种插值法比较与应用（一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式∏≠=--=nkj j j kjk x xx x x l 0)( n k ,,1,0 =称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件)()(k k n x f x L =，n k ,,1,0 =的n 次多项式∏∏∏=≠==--==nk nkj j jk j k k nk k n x x x x x f x l x f x L 000))(()()()(为Lagrange 插值多项式，称∏=+-+=-=nj j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商)(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商ij i j j i x x x f x f x x f --=][][],[依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商ik i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --=+-+++++],,[],,[],,,[1112． Newton 插值多项式设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件)()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 =的n 次多项式)()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N为Newton 插值多项式，称],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E nj j n n ∈-=-=∏=为插值余项。
插值方法比较范文
插值方法比较范文插值方法是数值计算中常用的一种数值逼近技术，用于通过已知数据点之间的关系来估计未知数据点的值。
在插值过程中，根据不同的插值方法，可以得到不同的近似函数，从而得到不同的结果。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值和样条插值等。
下面将对这些插值方法进行比较，包括优缺点。
首先是拉格朗日插值法，它是通过使用已知数据点的函数值来构建一个多项式，再利用这个多项式来估算未知数据点的函数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂、计算简便，而且在已知数据点分布较为均匀的情况下效果较好。
然而，拉格朗日插值法的缺点是对于较多数据点的情况，构建的多项式会非常复杂，容易导致插值结果的振荡。
此外，拉格朗日插值法对于增加或减少一个数据点都需要重新计算，不够灵活。
其次是牛顿插值法，它也是通过已知数据点的函数值来构建一个多项式，但是与拉格朗日插值法不同，牛顿插值法利用差商的概念来简化多项式的计算。
牛顿插值法的优点是可以递推计算差商，避免了重复计算，因此对于增加或减少一个数据点时比较方便。
此外，牛顿插值法的插值多项式在已知数据点分布较为稀疏的情况下效果较好。
缺点是对于较多数据点的情况，插值多项式同样会变得复杂，容易导致插值结果的振荡。
再者是埃尔米特插值法，它是拉格朗日插值法的一种改进方法。
埃尔米特插值法不仅利用已知数据点的函数值，还利用已知数据点的导数值来构建插值函数，从而提高了插值的精度。
埃尔米特插值法的优点是可以通过已知数据点的导数值来更好地拟合函数的特点，从而得到更准确的插值结果。
缺点是在计算过程中需要求解一系列线性方程组，计算量较大。
最后是样条插值法，它是常用的插值方法之一、样条插值法通过将插值区间划分为若干小区间，在每个小区间上构建一个低次多项式，通过满足一定的光滑性条件来保证插值函数的平滑性。
样条插值法的优点是插值函数的平滑性较好，能够解决拉格朗日插值法和牛顿插值法的振荡问题。
缺点是在计算过程中需要求解大规模的线性方程组，计算量较大。
（完整word版）几种插值法的应用和比较
（完整word版）⼏种插值法的应⽤和⽐较插值法的应⽤与⽐较信科1302 万贤浩 132710381格朗⽇插值法在数值分析中，拉格朗⽇插值法是以法国⼗⼋世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗⽇命名的⼀种多项式插值⽅法.许多实际问题中都⽤函数来表⽰某种内在联系或规律，⽽不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进⾏观测，在若⼲个不同的地⽅得到相应的观测值，拉格朗⽇插值法可以找到⼀个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗⽇（插值）多项式.数学上来说，拉格朗⽇插值法可以给出⼀个恰好穿过⼆维平⾯上若⼲个已知点的多项式函数.拉格朗⽇插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗⽇在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值⽅法，从此他的名字就和这个⽅法联系在⼀起.1.1拉格朗⽇插值多项式图1已知平⾯上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗⽇多项式：)(x L （⿊⾊）穿过所有点.⽽每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的⼀点，并在其它的三个点的x 值上取零.对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗⽇多项式L 只有⼀个.如果计⼊次数更⾼的多项式，则有⽆穷个，因为所有与L 相差))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满⾜条件.对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点：),(00y x ,……,),(k k y x ,其中i x 对应着⾃变量的位置，⽽i y 对应着函数在这个位置的取值.假设任意两个不同的i x 都互不相同，那么应⽤拉格朗⽇插值公式所得到的拉格朗⽇插值多项式为：)()(0x l y x L j kj j ∑==，其中每个)(x l j 为拉格朗⽇基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：)()()()()()()()()(111100,0k j k j j j j j j j kj i i ij i j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=--=++--≠=∏ΛΛ，拉格朗⽇基本多项式()x l i 的特点是在j x 上取值为1，在其它的点i x ，j i ≠ 上取值为0. 例：设有某个多项式函数f ，已知它在三个点上的取值为：10)4(=f ， ? 25.5)5(=f ， ?1)6(=f ，要求)18(f 的值.⾸先写出每个拉格朗⽇基本多项式：())64)(54()6)(5(0----=x x x l ；())65)(45()6)(4(1----=x x x l ；())56)(46()5)(4(2----=x x x l ；然后应⽤拉格朗⽇插值法，就可以得到p 的表达式（p 为函数f 的插值函数）：)()6()()5()()4()(210x l f x l f x l f x p ++=)56)(46()5)(4(1)65)(45()6)(4(25.5)64)(54()6)(5(10----?+----?+----?=x x x x x x)13628(412+-=x x ，此时数值18就可以求出所需之值：11)18()18(-==p f .1.2插值多项式的存在性与唯⼀性存在性对于给定的1+k 个点：),(),,(00k k y x y x K 拉格朗⽇插值法的思路是找到⼀个在⼀点j x 取值为1，⽽在其他点取值都是0的多项式)(x l j .这样，多项式)(x l y j j 在点j x 取值为j y ，⽽在其他点取值都是0.⽽多项式()∑==kj jj x ly x L 0)(就可以满⾜∑==++++==ki j j j i y y x l y x L 0000)()(ΛΛ，在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：)())(()(110k j j x x x x x x x x ----+-ΛΛ，它在点j x 取值为：)()()(10k j j j i x x x x x x ---+ΛΛ.由于已经假定i x 两两互不相同，因此上⾯的取值不等于0.于是，将多项式除以这个取值，就得到⼀个满⾜“在j x 取值为1，⽽在其他点取值都是0的多项式”：)()()()()()()()(111100k j k j j j j j j j i j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx l --------=--=++--∏ΛΛ，这就是拉格朗⽇基本多项式. 唯⼀性次数不超过k 的拉格朗⽇多项式⾄多只有⼀个，因为对任意两个次数不超过k 的拉格朗⽇多项式：1p 和2p ，它们的差21p p -在所有1+k 个点上取值都是0,因此必然是多项式)())((10k x x x x x x ---Λ的倍数.因此，如果这个差21p p -不等于0，次数就⼀定不⼩于1+k .但是21p p -是两个次数不超过k 的多项式之差，它的次数也不超过k ，所以021=-p p 也就是说21p p =.这样就证明了唯⼀性.1.3性质拉格朗⽇插值法中⽤到的拉格朗⽇基本多项式n l l l ,,,10Λ（由某⼀组n x x x <<<Λ10 确定）可以看做是由次数不超过n 的多项式所组成的线性空间：[]X n K 的⼀组基底.⾸先，如果存在⼀组系数：n λλλ,,,10Λ使得，01100=+++=n n l l l P λλλΛ，那么，⼀⽅⾯多项式p 是满⾜n n x P x P x P λλλ===)(,,)(,)(1100Λ的拉格朗⽇插值多项式，另⼀⽅⾯p 是零多项式，所以取值永远是0.所以010====n λλλΛ，这证明了n l l l ,,,10Λ是线性⽆关的.同时它⼀共包含1+n 个多项式，恰好等于[]X n K 的维数.所以n l l l ,,,10Λ构成了[]X n K 的⼀组基底.拉格朗⽇基本多项式作为基底的好处是所有的多项式都是齐次的（都是n 次多项式）.1.4优点与缺点拉格朗⽇插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中⼗分⽅便，然⽽在计算中，当插值点增加或减少⼀个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，⾮常繁琐.这时可以⽤重⼼拉格朗⽇插值法或⽜顿插值法来代替.此外，当插值点⽐较多的时候，拉格朗⽇插值多项式的次数可能会很⾼，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的⼏个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很⼤的偏差.这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段⽤较低次数的插值多项式.2 重⼼拉格朗⽇插值法重⼼拉格朗⽇插值法是拉格朗⽇插值法的⼀种改进.在拉格朗⽇插值法中，运⽤多项式)())(()(10k x x x x x x x l ---=Λ，图（2）拉格朗⽇插值法的数值稳定性：如图(2)，⽤于模拟⼀个⼗分平稳的函数时，插值多项式的取值可能会突然出现⼀个⼤的偏差（图中的14⾄15中间）可以将拉格朗⽇基本多项式重新写为：∏≠=--=kji i i j jj x x x x x l x l ,0)(1)()(，定义重⼼权∏≠=-=k ji i i j j x x ,0)(1ω，上⾯的表达式可以简化为：jjj x x x l x l -=ω)()(，于是拉格朗⽇插值多项式变为：j kj jjy xx x l x L ∑=-=0)()(ω，（1）即所谓的重⼼拉格朗⽇插值公式（第⼀型）或改进拉格朗⽇插值公式.它的优点是当插值点的个数增加⼀个时，将每个j ω都除以)(1+-k j x x ，就可以得到新的重⼼权1+k ω，计算复杂度为)(n O ，⽐重新计算每个基本多项式所需要的复杂度)(2n O 降了⼀个量级.将以上的拉格朗⽇插值多项式⽤来对函数1)(≡x g 插值，可以得到：∑=-=?kj jjx x x l x g x 0)()(,ω，因为1)(≡x g 是⼀个多项式. 因此，将)(x L 除以)(x g 后可得到：∑∑==--=k j jjk j jjx x x x x L 00)(ωω，（2）这个公式被称为重⼼拉格朗⽇插值公式（第⼆型）或真正的重⼼拉格朗⽇插值公式.它继承了（1）式容易计算的特点，并且在代⼊x 值计算)(x L 的时候不必计算多项式)(x l 它的另⼀个优点是，结合切⽐雪夫节点进⾏插值的话，可以很好地模拟给定的函数，使得插值点个数趋于⽆穷时，最⼤偏差趋于零.同时，重⼼拉格朗⽇插值结合切⽐雪夫节点进⾏插值可以达到极佳的数值稳定性.第⼀型拉格朗⽇插值是向后稳定的，⽽第⼆型拉格朗⽇插值是向前稳定的，并且勒贝格常数很⼩.3.分段线性插值对于分段线性插值，我们看⼀下下⾯的情况.3.1问题的重诉已知211)(xx g +=,66≤≤-x ⽤分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差.1.在[-6，6]中平均选取5个点作插值；2.在[-6，6]中平均选取11个点作插值；3.在[-6，6]中平均选取21个点作插值；4.在[-6，6]中平均选取41个点作插值.3.2问题的分析在数值计算中，已知数据通常是离散的，如果要得到这些离散点以外的其他点的函数值，就需要根据这些已知数据进⾏插值.⽽本题只提供了取样点和原函数)(x g .分析问题求解⽅法如下：（1）利⽤已知函数式211)(xx g +=计算取样点X 对应的函数值Y ；将Y X ,作为两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值.因此被插值函数是⼀个单变量函数，可利⽤⼀维插值处理该数据插值问题.⼀维插值采⽤的⽅法通常有拉格朗⽇多项式插值（本题采⽤3次多项式插值），3次样条插值法和分段线性插值.（2）分别利⽤以上插值⽅法求插值.以0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，并将每⼀点作为插值函数的取样点.再根据插值函数计算所选取样点的函数值.最后再利⽤所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数)(x g 的图象进⾏对⽐.3.3问题的假设为了解决上述分析所提到的问题，本题可以作出如下假设：（1）假设原函数)(x g 仅作为求解取样点对应的样点值的函数关系式.⽽其他各点的函数值都是未知量，叙⽤插值函数计算.（2）为了得到理想的对⽐函数图象，假设)(x g 为已知的标准函数.可以选取0.5个单位为步长划分区间[-6，6]，分别计算插值函数和标准函数)(x g 在该区间的取样点的函数值.画出函数图象进⾏对⽐.3.4分段线性插值原理给定区间[]b a ,, 将其分割成b x x x a n =<<<=Λ10，已知函数)(x f y =在这些插值结点的函数值为),1,0)((n k x f y k k Λ==；求⼀个分段函数)(x I k ,使其满⾜：(1) k k h y x I =)(，),1,0(n k Λ=；(2) 在每个区间[]1,+k k x x 上, )(x I h 是个⼀次函数.易知,)(x I h 是个折线函数, 在每个区间[]1,+k k x x 上,),1,0(n k Λ=1111)(++++--+--=k kk kk k k k k h y x x x x y x x x x x I ,于是, )(x I h 在[]b a ,上是连续的，但其⼀阶导数是不连续的. 于是即可得到如下分段线性插值函数：)()(0x l y x I ni i i n ∑==,其中=≤≤--=≤≤--=+++---.,0;,;0,111111其他时舍去时，且当时舍去时，且当n i x x x x x x x i x x x xx x x l i i i i i i i i ii i3.5问题的求解在MATLAB 中实现分段线性插值，最近点插值，3次多项式插值，3次样条插值的命令为interp 1,其调⽤格式为: Y 1=interp 1(X ,Y ,X 1，’method ’)函数根据X ,Y 的值，计算函数在X 1处的值.X ,Y 是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X 1是⼀个向量或标量，描述欲插值点，Y 1是⼀个与X 1等长的插值结果.method 是插值⽅法，包括：linear ：分段线性插值.它是把与插值点靠近的两个数据点⽤直线连接，然后在直线让选取对应插值点的数.nearest ：近点插值法.根据已知两点间的插值点与这两点间的位置远近插值.当插值点距离前点远时,取前点的值,否则取后点的值.cubic ：3次多项式插值.根据已知数据求出⼀个3次多项式，然后根据多项式进⾏插值. spline ：3次样条插值.在每个分段（⼦区间）内构造⼀个3次多项式，使其插值函数除满⾜插值条件外，还要求个节点处具有光滑条件.再根据已知数据求出样条函数后,按照样条函数插值.运⽤Matlab ⼯具软件编写代码，并分别画出图形如下： (⼀)在[-6，6]中平均选取5个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值g(x)y1-10-50510-0.500.513次样条插值g(x)y2-10-5051000.20.40.60.81最近点插值g(x)y3-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值g(x)y4（⼆）在[-6，6]中平均选取11个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81-10-5051000.20.40.60.81最近点插值-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值g(x )y1g(x )y2g(x )y3g(x )y4（三）在[-6，6]中平均选取21个点作插值：-10-5051000.20.40.60.81分段线性插值-10-551000.20.40.60.813次样条插值-10-551000.20.40.60.81最近点插值-10-551000.20.40.60.813次多项式插值g(x )y1g(x )y2g(x )y3g(x )y4（四）在[-6，6]中平均选取41个点作插值-10-5051000.20.40.60.81g(x )y1-10-5051000.20.40.60.81g(x )y2-10-5051000.20.40.60.81最近点插值g(x )y3-10-5051000.20.40.60.813次多项式插值g(x )y43.6 分段插值⽅法的优劣性分析从以上对⽐函数图象可以看出，分段线性插值其总体光滑程度不够.在数学上，光滑程度的定量描述是函数(曲线) 的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k 阶光滑性.⼀般情况下，阶数越⾼光滑程度越好.分段线性插值具有零阶光滑性，也就是不光滑.3次样条插值就是较低次数的多项式⽽达到较⾼阶光滑性的⽅法.总体上分段线性插值具有以下特点：优点: 1.分段线性插值在计算上具有简洁⽅便的特点.2.分段线性插值与3次多项式插值函数在每个⼩区间上相对于原函数都有很强的收敛性，（舍⼊误差影响不⼤），数值稳定性好且容易在计算机上编程实现等优点缺点: 分段线性插值在节点处具有不光滑性的缺点(不能保证节点处插值函数的导数连续)，从⽽不能满⾜某些⼯程技术上的要求.⽽3次样条插值却具有在节点处光滑的特点.。
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多种插值法比较与应用（一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式∏≠=--=nkj j j k jk x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ=称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件)()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ=的n 次多项式∏∏∏=≠==--==nk nkj j jk j k k nk k n x x x x x f x l x f x L 000))(()()()(为Lagrange 插值多项式，称∏=+-+=-=nj j x n n x x n f x L x f x E 0)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商)(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商ij i j j i x x x f x f x x f --=][][],[依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商ik i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --=+-+++++],,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ2． Newton 插值多项式设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件)()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ=的n 次多项式)()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ为Newton 插值多项式，称],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E nj j n n ∈-=-=∏=ΛΛ为插值余项。
（三）Hermite 插值设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为)()()(0'12x f x f x H j nj j j nji n βα∏∏=++=其中)())((,)]()(21[)(22'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα称为Hermite 插值基函数，)(x l j 是Lagrange 插值基函数，若],[22b a C f n +∈，插值误差为220)22(12)()()!22()()()(n x n n x x x x n fx H x f --+=-++Λξ，),()(b a x x ∈=ξξ（四）分段插值设在区间],[b a 上给定n+1个插值节点 b x x x a n =<<<=Λ10和相应的函数值0y ，1y ，…，n y ，求作一个插值函数)(x ϕ，具有性质①i i y x =)(ϕ （n i ,,2,1,0ΛΛ=）。
②)(x ϕ在每个小区间内],[1+i i x x （n i ,,2,1,0ΛΛ=）上是线性函数。
（五）样条插值设在区间],[b a 上取n+1个节点b x x x a n =<<<=Λ10 给定这些点的函数值)(i i x f y =。
若函数)(x s 满足条件： ①i i y x s =)(，n i ,,2,1,0ΛΛ=；②在每个区间],[1+i i x x （n i ,,2,1,0ΛΛ=）上是3次多项式； ③],[)(2b a C x s i ∈； ④取下列边界条件之一：（ⅰ）第一边界条件：)()(0'0'x f x s =，)()(''n n x f x s =，（ⅱ）第二边界条件：)()(0''0''x f x s =，)()(''''n n x f x s =或0)()(''0''==n x s x s（ⅲ）周期边界条件：)()(0n k k x s x s =，2,1=k称)(x s 为3次样条插值函数。
（六）有理插值设在区间],[b a 上给定n+m+1个互异节点0x ，1x ，2x ，……，1-+m n x ，m n x + 上的函数值)(i i x f y =，m n i +=,,2,1,0ΛΛ，构造一个有理插值mm m m nn n n m n mn b x b x b x b a x a x a x a x Q x p x R ++++++++==----11101110)()()(ΛΛ， 满足条件：)()(i i mn x f x R =，m n i +=,,2,1,0ΛΛ则称)(x R mn 为点集{0x ，1x ，2x ，……，1-+m n x ，m n x +}上的有理插值函数。
例1．设0x ，1x ，…，n x 为n+1个互异的插值节点，)(0x l ，)(1x l ，…，)(x l n 为Lagrange 插值基函数，证明∏=≡nj jx l1)(证 考虑1)(≡x f ，利用Lagrange 插值余项定理)())(()!1()()()(101n n n x x x x x x n f x L x f ---+=-+Λξ显然 1)()(≡=x f x L n 。
利用Lagrange 基函数插值公式，有k j nj k j j nj j n x x l x x l x f x L =⋅==∏∏==)()()()(0例2 给出下列表格：对于正弦积分⎰=xt d ttx S 0sin )(， 当45.0)(=x S 时，求x 的值。
解 利用反插值计算线性插值，取39616.00=t ，58813.01=t ，4.00=x ，6.01=x 。
39616.058813.039616.06.058813.039616.058813.04.0)(1--⋅+--⋅=t t t L ， 456092097.0)45.0(1=≈L x 。
2次插值，取19956.00=t ，39616.01=t ，58813.02=t ，2.00=x ，4.01=x ，6.02=x )58813.019956.0)(39616.019956.0()58813.0)(39616.0(2.0)(2----⋅=t t t L)58813.039616.0)(19956.039616.0()5813.0)(19956.0(4.0----⋅+t t)39616.058813.0)(19956.058813.0()39616.0)(19956.0(6.0----⋅+t t ，455622509.0)45.0(2=≈L x 。
故x 值约为0.456。
例3 取节点00=x ，11=x 对函数x e y -=建立线性插值。
解 先构造00=x ，11=x 两点的线性插值多项式。
因为（1）Lagrange 型插值多项式构造)1,0(和),1(1-e 的一次插值基函数)1()(1010--=--=x x x x x x l ，x x x x x x l =--=0101)( 这样就容易得到111001)1()()()(-+--=+=xe x x l y x l y x ϕ（2）Newton 型插值多项式 因为1],[110-=-e x x f ，所以)1(1],[)()()(110001-+=-+=-e x x x f x x x f x ϕ例4 根据函数x x f ln )(=的数据表运用Hermite 插值计算60.0ln 。
解 40.00=x ，50.01=x ，70.02=x ，80.03=x ，首先构造Hermite 插值基函数)(0x α，)(1x α，)(2x α，)(3x α，)(0x β，)(1x β，)(2x β，)(3x β。
然后利用Hermite 插值公式写出∑=+=30'7)]()()()([)(k k k k k x x f x x f x H βα直接计算得 5411)60.0(0=α，278)60.0(1=α，278)60.0(2=α，5411)60.0(3=α， 1801)40.0(0=β，452)60.0(1=β，452)60.0(2-=β，181)60.0(3-=β.510824.0)60.0(60.0ln 7-=≈H . 事实上510826.060.0ln -=，另外x x f ln )(=，88!7)(x x f -=. 例5 判断下面的函数是否是3次样条函数：⎩⎨⎧≤≤++<≤-++=101220112)(33x x x x x x x s 解 )(x s 在]1,1[-上连续，⎩⎨⎧≤≤+<≤-+=10260123)(22'x x x x x s )('x s 在]1,1[-上连续；⎩⎨⎧≤≤<≤-=1012016)(''x x x x x s )(''x s 在]1,1[-上连续，即]1,1[)(2-∈C x s 。
又)(x s 在每段上都是3项式，故)(x s 是3次样条函数。
总结：通过以上定义于例子的学习让我们更好的掌握了插值多项式的方法。
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