矩阵方程xa=b例题解法
【精选】数学实验一矩阵运算与Matlab命令24
运行
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矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
C=A1+B1 D=A1-B1 syms c, cA=c*A1 A2=A1(:,1:3), B1 G=A2*B1
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矩阵的运算(矩阵的加减、数乘、乘积)
求解方程组Ax=b x=A\b 若A为可逆方阵, 输出原方程的解x; 若A为nxm(n>m)阵, 且A’A可逆,输出
原方程的最小二乘解x.
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矩阵的运算(求解线性方程组)
求矩阵方程：
设A、B满足关系式：AB＝2B+A,求B。 其中A=[3 0 1; 1 1 0; 0 1 4]。
取出A的1、3行和1、3列的交叉处元素 构成新矩阵A1
程序
A=[1 0 1 1 2;0 1 -1 2 3;
3 0 5 1 0;2 3 1 2 1],
vr=[1, 3];vc=[1, 3];
A1=A(vr, vc)
观察结果
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分块矩阵（矩阵的标识）
将A分为四块，并把它们赋值到矩阵B 中，观察运行后的结果。
3
2
2
35 20 60 45
, B 10
15
50
40
20 12 45 20
将 表 格 写 成 矩 阵 形 式
6
计算
输入下面Matlab指令 A=[4 2 3;1 3 2;1 3 3;3 2 2], B=[35 20 60 45;10 15 50 40;20
3 0 5 1 0;2 3 1 2 1]
初等变换求解矩阵方程
初等变换求解矩阵方程作者：张馨元来源：《读写算》2013年第45期【摘要】本文给出了求解矩阵方程AX=B，XA=B以及AXB=C的初等变换法.【关键词】初等变换初等矩阵单位矩阵矩阵方程1.引言矩阵方程是指含有未知矩阵的矩阵等式.本文主要研究了三种典型矩阵方程，即AX=B、XA=B和AXB=C的求解.当矩阵A，B可逆时，一般上述三种矩阵的计算结果是：X=A-1B、X=BA-1和X=A-1CB-1.也就是要计算矩阵方程需要先求相应的逆矩阵，然后再做矩阵的乘法运算.显然这样比较麻烦，本文运用初等变换的相关理论，给出这三种矩阵的解法.引理1 对矩阵A施行一次初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的初等矩阵；对A施行一次初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的初等矩阵.引理 2 设A为可逆矩阵，则A可单用初等行变换化为单位矩阵E，也可以单用初等列变换化为单位矩阵E.2.AX=B定理1 设矩阵方程AX=B中的矩阵A可逆，则此矩阵方程的解可以通过下列矩阵的初等变换得到：证明由可逆，根据引理1和2，存在初等矩阵，使，将这些初等矩阵去左乘矩阵方程，得，即，由上可见，如果用一系列的初等行变换把A化为E，同时把这些相同的初等行变换施加在B上， B就化成了X，即矩阵方程的解.3.XA=B定理2 设矩阵方程XA=B中的矩阵A可逆，则此矩阵方程的解可以通过下列矩阵的初等变换得到：证明由A可逆，根据引理1和2，存在初等矩阵，使，将这些初等矩阵去右乘矩阵方程XA=B，得列，即，由上可见，如果用一系列的初等列变换把A化为E，同时把这些相同的初等列变换施加在B上， B就化成了X，即矩阵方程的解.4.AXB=C利用矩阵方程AX=B和XA=B的解法，综合可得矩阵方程AXB=C的解法.定理3 假设矩阵方程AXB=C中的矩阵A和B均可逆.则此矩阵方程的解可以通过下列矩阵的初等变换得到：1）2）3）4）5.定理的应用例 1 解矩阵方程.解：设， .故.例2 设且满足XA=B，求X解：故.例3 设，，，求解矩阵方程AXB=C.解：法一：故.法二：故.上例的两个方法是运用定理3的（1）和（2）而得的，我们也可以运用定理3的（3）和（4）来求解上述矩阵方程.参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数.高等教育出版社.1988年[2]同济大学数学教研室.线性代数（第五版）.高等教育出版社，2007年。
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n +1个n 阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，当m =n 时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I )，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。
理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。
了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。
掌握用初等变换求解线性方程组。
本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定. 。
本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1 矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一. 初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。
三种典型矩阵方程的简单解法
即对矩阵 … 施行初等列变换 ,当把 A 变成 E 时 ,B
B 就变成 X 。(f ) 式提供了一个具体解矩阵方程 XA = B 的
简单方法 。 例2 解下列矩阵方程 。
2005 年 6 月第 3 期 三种典型矩阵方程的简单解法 3 (i) X - 1 3 1 2 4 0 1 2 3 - 1 3 3 A - 1 = 3 1 2 4 2 1 0 0 1 2 = (0 2 3) ; 1 2 4 0 1 2 3 0 0 5 0 1 2 1 2 0 1 2 3 - 1 3 ,B = ( 0 2 3) 。 1 4 7 0 1 2 0 0 - 8 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1
… ,
X
可得解矩阵方程 AXB = C 的简单解法 例3 解下列矩阵方程 。
1 (i) 2 3 2 2 4 3 1 X 3 2 5 1 3 1 1 = 2 3 0 ;
…
- 4
…
- 3 1 (ii) X 4 7
…
3 2 5 8 3
于是有 X = ( - 4 - 3 3) 。
1 4 2 5 8 2 5 8 3 1 3 6 1 2 1 5 3 2 。 3 1 4 1 4 7 2 1 5 3 2 。 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 20 6 = 0 1 1 7 1 4 A 7
- 1 - 1 X = PL PL - 1 … P1- 1B 。 证毕
,再左乘 B 即得 X。 ,再右乘 B 即得 X。
- 1 - 1
若 XA = B ,则有 XAA - 1 = BA - 1 ,即 X = BA - 1 。于是
- 1
(1) (2)
又若 AXB = C ,则有 A AXBB
CB
A B
矩阵方程的解法
矩阵方程的解法本文首先介绍了行对称矩阵的定义及性质，利用矩阵的广义逆，奇异值分解，给出了矩阵方程AX=B有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式；并给出了矩阵方程解集合中与给定矩阵的最佳逼近解的表达式。
最后利用奇异值分解给出了矩阵方程有行对称解的充分必要条件及有解时通解的表达式。
矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题。
不同的约束条件，不同的矩阵方程，就导致了不同的约束矩阵方程问题。
约束矩阵方程问题在结构设计，参数识别，主成分分析，勘测，遥感，生物学，电学，固体力学，结构动力学，分子光谱学，自动控制理论，振动理论，循环理论等领域都有重要应用。
约束矩阵方程问题的内容非常广泛、约束矩阵方程问题又分为线性约束矩阵方程问题和非线性约束矩阵方程问题、有关线性约束矩阵方程问题的研究成果相当丰富、其中最简单的矩阵方程AX = B是研究最透彻的一类问题、求解线性矩阵方程一般会遇到两种情况：一是当矩阵方程有解时，如何求它的解及最佳逼近；二是当矩阵方程无解时，如何求它的最小二乘解。
对于本文所研究的AX=B、这两类简单矩阵方程，国内外学者已经作了大量研究。
都在相应的文献中对其进行了大量的研究，解决了求此方程的一些约束解和最小二乘解的问题。
自从针对工程应用领域提出了行对称矩阵概念之后，这方面研究已经取得了一些成果，如对行对称矩阵的一些性质，行对称矩阵的QR分解。
本文先对行对称矩阵进行介绍，再将行对称矩阵与约束矩阵方程结合起来，先研究了矩阵方程AX=B有行对称实矩阵解的充要条件，有解时，用奇异值分解及广义逆求出解及最佳逼近。
再对矩阵方程有行对称实矩阵解的充要条件进行了研究，利用奇异值分解得出了有解时的充要条件及解的表达式。
设表示全体n*m阶实矩阵集合，rank(A)表示矩阵A的秩,表示次对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵，即=,显然有成立。
表示n阶正交矩阵全体。
本文要讨论以下问题：问题1 给定矩阵A,B,求实行对称方阵X，使得AX=B。
线性代数笔记13——Ax=b的通解
线性代数笔记13——Ax=b的通解 关于最简⾏阶梯矩阵和矩阵秩，可参考《》 召唤⼀个⽅程Ax = b： 3个⽅程4个变量，⽅程组有⽆数解，现在要关注的是b1b2b3之间满⾜什么条件时⽅程组有解，它的解是什么？ 在这个例⼦中可以马上看出，b1+b2 = b3，⼀般的⽅法是消元法化简： 化简到这⼀步就可以确定主元是x1和x3。
通过最后⼀⾏可知，b3 – b2 - b1 = 0。
b1b2b3可以是任意数，所以只要满⾜b3 – b2 - b1 = 0，⽅程组就有解。
这样的组合很多，可以很容易找到⼀个特解： 现在我们知道了b中三个分量的关系，并且还知道只有当 b属于A的列空间时有解。
通过上⼀章的⽅法可知，列空间的基就是主元所在的列： 到此为⽌回答了第⼀个问题，什么样的b才能使Ax = b有解。
现在需要回答另⼀个问题，Ax = b的所有解是什么？ 可以先找出⼀个特解，⽅法是令所有⾃由元为0，然后解出主元： 已经找到了⼀个特解，那么⽅程组的其它解，也就是通解是什么呢？ 假设Ax= 0的零空间的任意向量是x n，Ax = b有⼀个特解x p，那么有： ⼆者相加： 所以⽅程组的通解是x n + x p。
对于⽅程组的某解x p来说，x p与零空间内任意向量之和仍为解。
现在看看零空间： 综合特解，得到Ax = b的通解： 矩阵的秩和主元个数相同。
如果A是⼀个m⾏n列的矩阵，其主元的个数⼀定⼩于m，并且也⼩于n。
如果A的每⼀列都有主元，那么A是满秩矩阵，没有⾃由元，如果此时有解，则解是唯⼀的，就是特解，即x = x p，此时不需要求解零空间，零空间只包含零向量。
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第三章%20%20矩阵的初等变换与线性方程组[1]
![第三章%20%20矩阵的初等变换与线性方程组[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/795084155f0e7cd184253641.png)
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
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第11讲 线性方程组的解
对于线性方程组Ax=b, R(A)=r. 不妨设 B = ( A, b ) 的行最简形为
⎛1 ⎜0 ⎜M ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜M ⎜0 ⎝ 0 1 M 0 0 0 M 0 L 0 b11 L 0 b21 M M L 1 br 1 L0 0 L0 0 M M L0 0 L b1,n− r L b2,n− r 2 M M ⎟ L br ,n− r d r ⎟ L 0 d r +1 ⎟ L 0 0 ⎟ M M ⎟ 0 ⎟ L 0 ⎠
r (1) A ~ B 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P， 使得 PA = B. c (2) A ~ B 的充分必要条件是存在n阶可逆阵Q， 使得 AQ = B.
(3) A ~ B 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P 及n阶可逆阵Q, 使得 PAQ = B.
r 推论 方阵A可逆的充分必要条件是 A ~ E
14 September 2009 河北科大理学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
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四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题
A −1 ?
r ( A , E ) ~ ( E , A −1 )
⎛ 0 −2 1 ⎞ 例1 设 A = ⎜ 3 0 −2 ⎟ , 求 A−1 . ⎜ −2 3 0 ⎟ ⎝ ⎠
14 September 2009
相容 不相容 d1 ⎞ 特解 通解 d ⎟
(cii ≠ 0, i = 1, 2, L , n) (1) 当 d r +1 ≠ 0 时,方程组无解; (2) 当 d r +1 = 0 时,方程组有解; 且 r = n 时,有唯一解, r < n 时,有无限多个解.
矩阵方程求解方法
矩阵方程求解方法本文所述的矩阵方程是指形如Ax=b的方程，其中A是一个mxn的矩阵，称为方程的系数矩阵。
x和b是mx1的矩阵。
特别的，当b=0时，这种方程又称为其次方程。
本文将讨论这种矩阵的有解条件和求解方法。
矩阵方程的有解条件为了解释矩阵方程的有解条件，我们首先要熟悉一些概念。
一个矩阵方程的增广矩阵是系数矩阵A和b并在一起构成的矩阵，记作(A,b)。
假定, ,则矩阵方程的增广矩阵就是矩阵的秩定义为其行向量中极大线性无关组中包含向量的个数，等价的说法是，矩阵的秩是r，则矩阵通过行列初等变换，变换成左上角是一个r阶单位矩阵，其他都是0的矩阵。
矩阵A的秩记作r(A)，其中r是英文单词rank的缩写。
有了这两个基本概念，我们就可以准确描述矩阵方程的有解条件了：矩阵方程Ax=b的有解条件是矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，也就是r(A)=r(A,b)。
证明很简单，既然矩阵A的秩是r，那么肯定可以找到两个可逆的矩阵P,Q，满足--1)其中Ir表示r阶单位矩阵。
应用到原来的方程，可以得到:--2)我们把Q-1x当作一个未知的变量，PAQ当作系数，这就构成一个新的矩阵方程。
而这个矩阵方程的左侧系数除了前r行是有1的之外，其余行是0。
为了它有解，Pb的后m-r行必须也是0。
这样(A,b)的秩必然是r。
必须注意到Q-1是可逆的，因此以Q-1x为未知变量的方程有解意味着以x 为未知变量的原方程也是有解的。
矩阵方程的解对于矩阵方程Ax=b，如果满足r(A)=r(A,b)，则矩阵方程是有解的。
为了求它的解，我们首先把矩阵方程通过行列初等变换变化成前文2）式的形式，代入1）式后得到：--3)其中Q-1x和Pb是一个列向量，我们可以把它们分割成rx1和(n-r)x1的两个矩阵，分别记作x’1和x’2，及b’1和b’2。
则很显然我们可以得到：--4)很显然，b’2必须为0，因为展开后b’2等于0 x’1 +0 x’2 =0而由4式可以看出，x’1= b’1，x’2可以为任意向量。
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矩阵方程xa=b例题解法
在连续时间系统的最优控制问题中，经常遇到连续代数黎卡提矩阵方程（CARE）。
在矩阵维数较大的情况下，求解该方程的解析解比较困难，需要花费大量的时间。
实际中，为得到该方程的近似解，常利用方程解的下界以减小计算复杂度。
通常利用的解的下界有行列式、特征值求和、范数、迹和矩阵约束等类型。
其中，矩阵约束最为常用，但这类约束具有较强的假设条件，比如Q为非奇异矩阵，或矩阵Q奇异但矩阵A在Q的列空间中。
实际求解时这些假设条件通常是不满足的。
在充分利用对称矩阵和半正定矩阵的特征值的性质基础上，运用矩阵不等式和类似于“李方法”的技巧，可以推导出一类新的解的下界。
这类下界的优势在于，在问题解存在的情况下不需要施加上述严格的限制条件。
同时，以这类下界为基础，可设计出求近似解的有效迭代算法。
数值算例表明，在参数选取合理的情况下，这类算法可得到比已有的数值结果更精确的解的下界。