矩阵方程的数值解法开题报告
矩阵应用的开题报告
矩阵应用的开题报告矩阵应用的开题报告引言矩阵是数学中的一种重要工具，广泛应用于各个领域，如物理、工程、计算机科学等。
本次开题报告将探讨矩阵应用的相关问题，并介绍矩阵在实际问题中的应用。
一、矩阵的基本概念和性质1.1 矩阵的定义和表示方法矩阵是一个按照行和列排列的数表，通常用大写字母表示。
例如，一个m行n 列的矩阵A可以表示为A=[aij]，其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
1.2 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。
矩阵的加法和减法遵循相同维度的矩阵进行逐元素的运算。
矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，其乘法规则需要满足矩阵维度的要求。
1.3 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
逆矩阵是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得A乘以B等于单位矩阵。
二、矩阵在线性代数中的应用2.1 线性方程组的求解线性方程组是指一组线性方程的集合，可以用矩阵的形式表示。
通过矩阵的运算，可以将线性方程组转化为矩阵方程，从而求解未知数的值。
2.2 特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。
特征值表示矩阵在某个方向上的缩放比例，而特征向量则表示该方向上的向量。
2.3 矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另外两个矩阵是对角矩阵。
奇异值分解在数据分析和图像处理中有广泛的应用。
三、矩阵在计算机科学中的应用3.1 图像处理图像处理是指对图像进行数字化处理的过程，其中矩阵在图像的表示和处理中起到了重要的作用。
通过将图像像素表示为矩阵，可以进行各种图像处理操作，如模糊、锐化、旋转等。
3.2 数据压缩数据压缩是指通过减少数据的冗余性来减小数据的存储空间。
矩阵在数据压缩中的应用主要体现在矩阵的奇异值分解和主成分分析等方法上。
3.3 神经网络神经网络是一种模拟人脑神经元网络的计算模型，其中矩阵在神经网络的权重矩阵和输入矩阵表示中起到了关键作用。
矩阵分析与数值分析实验报告
《矩阵分析与数值分析》实验报告院系：姓名：学号：所在班号：任课老师：一．设错误！未找到引用源。
，分别编制从小到大和从大到小的顺序程序计算错误！未找到引用源。
并指出有效位数。
程序如下：function sum3j=input('请输入求和个数 "j":');A=0;B=0;double B;double A;for n=2:jm=n^2-1;t=1./m;A=A+t;enddisp('从小到大：')s=Afor n=j:-1:2m=n^2-1;t=1./m;B=B+t;enddisp('从大到小:')s=B运行结果：>> sum3请输入求和个数 "j":100从小到大：s =0.740049504950495从大到小:s =0.740049504950495>> sum3请输入求和个数 "j":10000从小到大：s =0.749900004999506从大到小:s =0.749900004999500>> sum3请输入求和个数 "j":1000000从小到大：s =0.749999000000522从大到小:s =0.749999000000500二、解线性方程组1．分别Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组。
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000121001210012100124321x x x x 迭代法计算停止的条件为：6)()1(3110max -+≤≤<-k j k j j x x 。
解：（1）Jacobi 迭代法程序代码： function jacobi(A, b, N) clc;clear;A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0;0 1 -2 1;0 0 1 -2]; b=[-1 0 0 0]'; N=100;n = size(A,1); D = diag(diag(A)); L = tril(-A,-1); U = triu(-A,1); Tj = inv(D)*(L+U); cj = inv(D)*b; tol = 1e-06; k = 1;format longx = zeros(n,1); while k <= Nx(:,k+1) = Tj*x(:,k) + cj;disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1)); if norm(x(:,k+1)-x(:,k)) < toldisp('The procedure was successful')disp('Condition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations') disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1)); break endk = k+1; end结果输出The procedure was successfulCondition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations 60 x =0.799998799067310.599998427958700.399998056850090.19999902842505（2）Gauss-Seidel迭代法程序代码：function gauss_seidel(A, b, N)clc;clear;A=[-2 1 0 0;1 -2 1 0;0 1 -2 1;0 0 1 -2];b=[-1 0 0 0]';N=100;n = size(A,1);D = diag(diag(A));L = tril(-A,-1);U = triu(-A,1);Tg = inv(D-L)*U;cg = inv(D-L)*b;tol = 1e-06;k = 1;x = zeros(n,1);while k <= Nx(:,k+1) = Tg*x(:,k) + cg;disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1));if norm(x(:,k+1)-x(:,k)) < toldisp('The procedure was successful')disp('Condition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations') disp(k); disp('x = ');disp(x(:,k+1));breakendk = k+1;end结果输出The procedure was successfulCondition ||x^(k+1) - x^(k)|| < tol was met after k iterations31x =0.799999213979350.599998971085610.399999167590770.199999583795392. 用Gauss列主元消去法、QR方法求解如下方程组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---017435222331325212214321x x x x (1)Gauss 列主元消去法 程序代码：function x=Gaussmain(A,b) clc;clear; format longA=[1 2 1 2;2 5 3 -2;-2 -2 3 5;1 3 2 3]; b=[4 7 -1 0]'; N=length(A); x=zeros(N,1); y=zeros(N,1); c=0; d=0;A(:,N+1)=b; for k=1:N-1 for i=k:4if c<abs(A(i,k))d=i;c=abs(A(i,k)); end endy=A(k,:);A(k,:)=A(d,:); A(d,:)=y; for i=k+1:N c=A(i,k);for j=1:N+1A(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*c/A(k,k); end end endb=A(:,N+1);x(N)=b(N)/A(N,N); for k=N-1:-1:1x(k)=(b(k)-A(k,k+1:N)*x(k+1:N))/A(k,k); end结果输出 ans =18.00000000000000 -9.571428571428576.00000000000000-0.42857142857143（2）QR方法：程序代码function QR(A,b)clc;clear;format longA=[1 2 1 2;2 5 3 -2;-2 -2 3 5;1 3 2 3];b=[4 7 -1 0]';[Q,R]=qr(A)y=Q'*b;x=R\y结果输出Q =-0.31622776601684 -0.04116934847963 -0.75164602800283 0.57735026918962 -0.63245553203368 -0.49403218175557 -0.15032920560056 -0.57735026918963 0.63245553203368 -0.74104827263336 -0.22549380840085 -0.00000000000000 -0.31622776601684 -0.45286283327594 0.60131682240226 0.57735026918963 R =-3.16227766016838 -6.00832755431992 -0.94868329805051 2.84604989415154 0 -2.42899156029822 -4.65213637819829 -4.15810419644272 0 0 -0.67648142520255 -0.52615221960200 0 0 0 4.04145188432738 x =17.99999999999989-9.571428571428515.99999999999997-0.42857142857143三、非线性方程的迭代解法1．用Newton迭代法求方程()06cos22x=-++=-xexf x的根，计算停止的条件为：6110-+<-kkxx；编程如下：function newton(f,df,x,a,a0)syms xf=input('please enter your equation:') a0=input('please enter you x(0):');df=diff(f)e=1e-6;a1=a0+1;N=0;while abs(a1-a0)>ea=a0-subs(f,a0)/subs(df,a0); a1=a0; a0=a; N=N+1; endfprintf('a=%0.6f',a) N运行结果： >> newtonplease enter your equation:exp(x)+2^(-x)+2*cos(x)-6 f =exp(x)+2^(-x)+2*cos(x)-6 please enter you x(0):2df =exp(x)-2^(-x)*log(2)-2*sin(x) a=1.829384 N =42．利用Newton 迭代法求多项式07951.2954.856.104.5x 234=+-+-x x x的所有实零点，注意重根的问题。
两类约束矩阵方程的解及最佳逼近问题的开题报告
两类约束矩阵方程的解及最佳逼近问题的开题报告题目：两类约束矩阵方程的解及最佳逼近问题一、研究背景及意义约束矩阵方程在数学、工程等领域中有着广泛的应用。
其中，两类常见的约束矩阵方程分别为线性等式约束矩阵方程与非线性等式约束矩阵方程。
这两类方程在实际问题中的应用非常广泛，例如金融领域中的投资组合优化问题、信号处理领域中的滤波问题等等。
对于这两类约束矩阵方程，研究其解的存在性、唯一性及最优性等问题具有重要的理论和实际意义。
在实际应用中，我们往往需要在满足特定的约束条件下求解矩阵方程的最优解，以便得到更好的处理效果或更优的运算结果。
因此，研究约束矩阵方程的解及最佳逼近问题具有重要的实际应用价值。
二、研究内容及方法针对线性等式约束矩阵方程和非线性等式约束矩阵方程，我们将对其解的存在性、唯一性及最优性进行研究，并探讨其最佳逼近问题。
具体研究内容如下：1. 线性等式约束矩阵方程的解：针对线性等式约束矩阵方程，我们将使用线性代数的方法研究其解的存在性和唯一性问题，并通过数值实验验证所得结论的正确性。
2. 线性等式约束矩阵方程的最优逼近问题：在满足线性等式约束的限制条件下，我们将尝试寻找矩阵方程的最优逼近解，即在一定意义下误差最小化的解。
我们将探讨最小二乘逼近方法、正交投影法等方法，并比较它们之间的优缺点。
3. 非线性等式约束矩阵方程的解：对于非线性等式约束矩阵方程，我们将使用变分法、方程化简等方法研究其解的存在性和唯一性问题，并将所得结论与现有文献进行比较。
4. 非线性等式约束矩阵方程的最优逼近问题：在满足非线性等式约束的限制条件下，我们将尝试寻找矩阵方程的最优逼近解。
我们将探讨一些比较常见的优化方法，如最小二乘法、牛顿迭代法等方法，并比较它们之间的优缺点。
三、预期成果本文将研究两类约束矩阵方程的解及最佳逼近问题，并通过数值实验验证所得结论的正确性。
预期成果如下：1. 对线性等式约束矩阵方程和非线性等式约束矩阵方程的解的存在性、唯一性以及最优性问题进行了深入的研究，并和现有文献进行比较。
数值分析实验报告——Hilbert矩阵的求解
1 / 7 数值分析课程实验报告题目：病态线性方程组的求解理论分析表明，数值求解病态线性方程组很困难。
考虑求解如下的线性方程组的求解Hx = b ，期中，期中H 是Hilbert 矩阵，()ij n n H h ´=，11ij h i j =+-，i ，j = 1,2，…，n 1.估计矩阵的2条件数和阶数的关系2.对不同的n ，取(1,1,,1,1))nx =Î，分别用Gauss 消去，Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭代，SOR 迭代和共轭梯度法求解，比较结果。
3.结合计算结果，试讨论病态线性方程组的求解。
解答过程1.估计矩阵的2-条件数和阶数的关系矩阵的2-条件数定义为：1222()Cond A A A-=´，将Hilbert 矩阵带入有：1222()Cond H H H -=´调用自编的Hilbert_Cond 函数对其进行计算，取阶数n = 50，可得从，可得从1阶到50阶的2-条件数，以五位有效数字输出，其中前10项见表1。
表1.前十阶Hilbert 矩阵的2-条件数阶数1 2 3 4 5 2-条件数1 19.281 524.06 1.5514e+004 4.7661e+005 阶数6 7 8 9 10 2-条件数1.4951e+007 4.7537e+008 1.5258e+010 4.9315e+011 1.6025e+013 从表1可以看出，随着阶数每递增1，Hilbert 矩阵的2-条件数都至少增加一个数量级，但难以观察出明显的相依规律。
故考虑将这些数据点绘制在以n 为横轴、Cond （H ）2为纵轴的对数坐标系中（编程用Hilbert_Cond 函数同时完成了这个功能），生成结果如图1。
图1.不同阶数下Hilbert 矩阵的2-条件数分布条件数分布由图可见，当维数较小时，在y-对数坐标系中Cond （H ）2与n 有良好的线性关系；但n 超过10后，线性趋势开始波动，n 超过14后更是几乎一直趋于平稳。
矩阵分解开题报告范文
矩阵分解开题报告范文篇一:矩阵分解的探讨在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及矩阵理论的知识,很多问题都可以归结为矩阵并最终通过矩阵来解决。
经查阅发现,目前矩阵分解的应用研究不少，但对分解缺乏系统的研究。
矩阵分解法是指高斯消去法解线性方程组的变形解法.其实质就是将系数矩阵A分解为两个形矩阵L和U相乘，即A=LＵ.ﻭ一、矩阵的直接分解矩阵的直角分解即可以不经过消元步骤，直接将矩阵进行分解.ﻭ定义1设Ａ∈Rｎ×n,若A能分解为一个下矩阵L与一个上矩阵U的乘积，即Ａ=LＵ,则称这种分解为矩阵A的分解。
（１）如果A可分解为A=LＤU，其中Ｌ是单位下矩阵，Ｄ是对角矩阵,U是单位上矩阵，则称A可作LDＵ分解；(2）如果在A=LU中,Ｌ是单位下矩阵，U为上矩阵，则称此分解为杜利特(Doolittle）分解；（3）如果在A=LU中,L是下矩阵，Ｕ是单位上矩阵,则称此矩阵为克劳特（Ｃrｏｕt)分解。
ﻭ定理1 ｎ阶方阵A非奇异的充要条件为（或A经行、列变换后)存在ＬDU分解。
其中Ｌ为n阶单位下矩阵,D为n阶非奇异对角阵，U为ｎ阶单位上矩阵。
ﻭ推论１奇异矩阵不能进行LDＵ分解。
推论2若矩阵Ａ有奇异主子矩阵,则A不能直接进行ＬＤU分解.篇二：矩阵分解ﻭ第２章线性代数方程组数值解法I：直接法1. 矩阵事实上,顺序Ｇausｓ消去过程对应一个矩阵的分解，即对Axb 的顺序Ｇaｕsｓ消去过程的结果,把矩阵A分解成两个矩阵L与U的乘积：ＡＬU 下面来证实这一点.依次取第ｋ步消元的乘法（ｋ)（k）ﻭ likaiｋ (ｉｋ1,k2,，n）／akk（k1）（ｋ)(k) 则直接验证可知,第k步消元(aｉj)的结果等价于对Aｋ左乘Ｌk: aijｌｉｋakjＡ（k1）LkA（k）于是,经过ｎ１步消元,应有ﻭu11 u１2 ｕ1３ﻭu22 u2３Ｌn1L２L１AU U(2．３。
1）u３3ﻭ这里U为上矩阵，另外，又容易直接验证Ｌｋ有下列两个基本性质:1(1） Lk的逆阵存在,且有ﻭ1lＬk１,ｋk（2.3.２)1１ﻭ1lｎk1ﻭ（2) 逆阵Lk的乘积１1ｌ２ﻭＬ１L2Ln1= =L（单位下矩阵)(２。
矩阵的开题报告
矩阵的开题报告矩阵的开题报告一、引言矩阵是线性代数中一项重要的概念，广泛应用于各个领域，包括物理学、计算机科学、经济学等等。
本次开题报告旨在探讨矩阵的基本概念、性质以及其在现实生活中的应用。
二、矩阵的基本概念1. 定义矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列形成的一个数表。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每一个数称为元素，用小写字母表示。
2. 矩阵的类型矩阵可以按照元素的性质进行分类。
常见的矩阵类型包括零矩阵、对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵等。
3. 矩阵的运算矩阵之间可以进行加法、减法、数乘等运算。
加法和减法的运算规则与数的加法和减法类似，而数乘则是将矩阵中的每个元素乘以一个数。
三、矩阵的性质1. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。
转置后的矩阵记作A^T，其中A表示原矩阵。
转置矩阵具有如下性质：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T +B^T，(kA)^T = kA^T。
2. 矩阵的乘法矩阵的乘法是矩阵运算中的重要操作。
两个矩阵A和B的乘积记作AB，其中A 的列数必须等于B的行数。
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律，即AB≠BA。
3. 矩阵的逆对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵具有如下性质：(A^(-1))^(-1) = A，(kA)^(-1) = (1/k)A^(-1)。
四、矩阵在现实生活中的应用1. 物理学中的矩阵矩阵在物理学中有着广泛的应用。
例如，量子力学中的波函数可以用矩阵表示，从而描述粒子的运动状态。
矩阵的特征值和特征向量也在量子力学中起着重要作用。
2. 计算机科学中的矩阵矩阵在计算机科学中有着诸多应用。
图像处理中常常使用矩阵运算，如图像的旋转、缩放等操作。
矩阵还可以用于表示图的邻接矩阵，从而进行图的遍历和路径搜索。
3. 经济学中的矩阵矩阵在经济学中的应用主要体现在输入产出模型中。
关于一般耦合矩阵方程的迭代约束解及其最佳逼近的研究的开题报告
关于一般耦合矩阵方程的迭代约束解及其最佳逼近的研究的开题报告1. 研究背景随着计算机科学的快速发展，矩阵方程解法成为了求解大规模问题的必要手段。
其中，耦合矩阵方程在科学与工程领域中被广泛应用。
对于一般耦合矩阵方程，解析解通常难以求得，因此需要开展相关的数值计算方法研究。
在近年来，迭代约束解法、Krylov子空间方法等成为了求解大规模耦合矩阵方程的研究热点。
但是，这些方法还存在一些问题，如求解过程中的矩阵相乘次数较多，计算复杂度较高等。
因此，如何提高算法的求解效率，降低计算复杂度，是当前矩阵方程求解领域的一个研究方向。
2. 研究目的与意义本研究旨在通过迭代约束方法，提高求解耦合矩阵方程的效率，并探讨最佳逼近问题。
通过研究探索，进一步深化对耦合矩阵方程的理解，同时提供可行的数值计算方法，为解决耦合矩阵方程问题提供科学手段。
3. 研究内容本研究将主要围绕以下内容展开：（1）论述耦合矩阵方程的数学特征与解法；（2）研究现有的迭代约束方法，并对其进行性能比较和优缺点分析；（3）探讨最佳逼近问题的数值解法；（4）设计并实现基于迭代约束方法的耦合矩阵方程求解算法，并对其进行测试和验证；（5）在算法求解性能和精度上对比实验结果，并给出优化建议。
4. 研究计划阶段时间节点工作内容第一阶段 2022.3-2022.6 耦合矩阵方程的研究与分析第二阶段 2022.7-2023.3 迭代约束算法的研究与设计第三阶段 2023.4-2023.7 最佳逼近问题的研究与分析第四阶段 2023.8-2023.12 耦合矩阵方程求解算法的实现与测试第五阶段 2024.1-2024.4 数据分析及实验结果总结第六阶段 2024.5-2024.6 综合论文写作及答辩准备5. 研究预期成果（1）提出新的迭代约束方法，提高求解耦合矩阵方程的效率；（2）探究最佳逼近问题的数值解法，并给出优化建议；（3）设计实现高效的耦合矩阵方程求解算法；（4）在算法精度和求解效率上进行比较分析，揭示各种算法适用性和局限性；（5）成功撰写论文并通过答辩。
矩阵分解的研究[开题报告]
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毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵分解的研究一、选题的背景、意义数学作为一种创造性活动不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美.矩阵是数学中的重要组成部分,因此对矩阵的研究具有重大的意义。
在近代数学、工程技术、经济理论管理科学中，大量涉及到矩阵理论的知识。
因此，矩阵理论自然就是学习和研究上述学科必不可少的基础之一。
矩阵理论发展到今天，已经形成了一整套的理论和方法，内容非常丰富。
矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键的作用。
寻求矩阵在各种意义下的分解形式，是对与矩阵有关的数值计算和理论都有着极为重要的意义。
因为这些分解式的特殊形式，一是能明显的反映出原矩阵的某些特征；二是分解的方法与过程提供了某些有效的数值计算方法和理论分析根据。
这些分解在数值代数和最优化问题的解决中都有着十分重要的角色以及在其他领域方面也起着必不可少的作用。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题本文简单的介绍了矩阵的定义，通过矩阵的定义，由m n ⨯个数(1,2,,,1,2,,)ij a K i m j n ∈==K K 排成的m 行、n 列的长方形表111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K M M O M K (1) 称为数域K 上的一个m n ⨯矩阵。
其中的ij a 称为这个矩阵的元。
两个矩阵相等就是它们对应位置的元全相等[1]。
矩阵通常用一个大写拉丁字母表示。
如（1）的矩阵可以被记为A .如果矩阵的行数m 与列数n 相等，则称它为n 阶方阵。
数域K 上所有m n ⨯矩阵的集合记为(),m n M K ,所有n 阶方阵的集合记为()n M K ，元全为0的矩阵称为零矩阵，记为0.矩阵A 的位于第i 行、第j 列的元简称为A 的(),i j 元，记为(),A i j 。
如果矩阵A 的(),i j 元是(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n ==K K ，则可以写成()ij A a =。
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毕业论文开题报告信息与计算科学矩阵方程的数值解法一、选题的背景、意义1.选题的背景在科学、工程计算中，求解矩阵方程的任务占相当大的份额。
这是因为，矩阵方程不仅能以完整的形式作为许许多多实际问题的模型之一，而且还能作为不少其他数值方法处理过程中转化而成的组成部分。
例如，在电路网络、弹性力学、潮流计算、热传导、振动等领域，其基本模型就是矩阵方程，而求微分方程边值问题的差分法和有限元法等数值计算本身，也导致求解某些矩阵方程。
在系统控制等工程研究领域经常遇到矩阵方程的求解问题。
自动控制系统最重要的一个特征是稳定性问题,它表示系统能妥善地保持预定工作状态,耐受各种不利因素的影响,因此矩阵方程在系统的稳定性理论,极点配置等方面具有重要的意义。
在常微分方程的定性研究以及数值求解常微分方程的隐式Rung-kwtta方法和块方法中,也需要求解矩阵方程。
此外,在广义特征值问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中,经常遇到矩阵方程的求解问题。
1.1.2选题的意义随着科学技术的迅速发展，矩阵方程越来越多地出现在科学与工程计算领域，关于这类问题的研究也日益受到人们的高度重视．对矩阵方程的研究具有很重要的理论意义和很高的应用价值．所以，学会如何更好的解矩阵方程就显得非常重要。
本文主要介绍了解矩阵方程的高斯消元法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidcl迭代法和SOR迭代方法。
在这些方法的基础上，利用matlab软件，快速求出矩阵方程的解。
通常熟练使用这些工具或编写程序，而这通常是一项入门缓慢、熟练精通时间较长的工作。
MATLAB在提供强大的计算功能，也为我们用数值方法求解矩阵方程提供了很大的方便。
1.1.3求解线性方程组由于线性方程组是矩阵方程的一个特例，所以本文试图将解线性方程组的一些经典方法推广用来解矩阵方程。
记线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ22112222212********* （1）这里ij a （n j i ,,2,1,Λ=）为方程组的系数，i b （n i ,,2,1Λ=）为方程组自由项。
方程组（1）的矩阵形式为 b Ax = 其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n 21x x x x M ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n 21b b b b M ， 实际应用中，主要处理实数情形的方程组，即n n R A ⨯∈，nR b ∈。
如果系数矩阵A 的行列式不为0, 则可根据Gramer(克兰姆）法则知上述方程组存在唯一解DD x ii =（n i ,,2,1Λ=） 其中nn nn a a a a a a a a a D ΛMΛM MΛΛ2n 1n 2222111211=，nnni nni n ni i n i i i a a b a a a a b a a a a b a a D ΛΛM ΛΛM M ΛM ΛΛΛΛ11-121221-22111111-111+++=。
由此可知利用Gramer 法则求解一个n 阶方程组需要计算1+n 个n 阶行列式, 若n 阶行列式通过行列式的展开定理来计算, 则其计算量不低于!n 次乘法, 因此, Gramer 法则求解一个n 阶方程组的工作量不少于)!1(+n 次乘法运算. 由此可见Gramer 法则是不实用的, 不是面向计算机的算法, 必须研究其它数值方法。
解上述线性方程组数值的数值方法主要有如下两类:(1)直接法: 就是在没有舍入误差的情况下, 通过有限步的四次运算可以求得方程组准确解的方法, 但由于实际计算中舍入误差是客观存在的, 因而使用此类方法也只能得到近似解。
(2)迭代法: 就是先给出解的一个初始近似值, 然后按一定的法则逐步求各个更准确的近似解的方法, 因此是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。
1.1.4求解矩阵方程 记矩阵方程组AX=B⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ212222111211111212122212n n n n nn x x x x x x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL M M M L 111212122212n n n n nn b b b b b b B b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL M M M L 则111212122212n n n n nn a a a aa a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L111212122212n n n n nn x x x xx x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L =111212122212n n n n nn b b b b b b b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦LL M M M L 已知A,B,求X;第一步，111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L11211n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M =11211n b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ，11i i D x D =（n i ,,2,1Λ=）其中，nnn n a a a a a a a a a D ΛM ΛM MΛΛ2n 1n 2222111211=，111-111111212-11121211-111i i n i i n i n ni n ni nna ab a a a a b a a D a a b a a +++=L L L LM L M M L L M LL；第二步，111212122212n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M L12222n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M =12222n b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ，22i i D x D =（n i ,,2,1Λ=）中，nnn n a a a a a a a a a D ΛM ΛM MΛΛ2n 1n 2222111211=，111-112111212-11221221-121i i n i i n i n ni n ni nna ab a a a a b a a D a a b a a +++=L L L L M L M M L L M LL；依次类推，可分别得到ij ij D x D=（n i ,,2,1Λ=；n j ,,2,1Λ=）；nnn n a a a a a a a a a D ΛM ΛM MΛΛ2n 1n 2222111211=，111-11j 111212-12j 2121-11i i n i i ni j n ni njni nna ab a a a a b a a D a a b a a +++=L L L L M L M M L L M LL二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1 矩阵方程AX=B 有解的判定定理1.矩阵方程AX=B 有解的充要条件是：()(,)(0);()n r A r A B r r n I ==≤≤为单位阵证明：将矩阵B 及X 按列分块,于是方程可以写成.：12n 12n (,,)(,,),A X X X B B B =L L ，即12n 12n (,,)(,,)AX AX AX B B B =L L ，AX=B 有解⇔A 的列向量组与（A,B ）得列向量组等价于(,)(0)r A B r r n =≤≤。
推论1：若AX=B 有解，则（1）()r A n =时，方程有唯一解；（2）()r A n <时，方程有无穷解。
2.2 线性方程组的一些常用数值算法2.2.1 Guass 消去法Gauss 消去法主要包括两个过程: 消元过程和回代过程。
具体如下: ⑴ 化一般方程为三角方程(消元过程) 考虑矩阵方程方程B AX = 其中[]nn ij Ra A ⨯∈=，[]nn ij Rb B ⨯∈=。
设011≠a ，令,/1111a =α,),,,(121111Tn a a a a Λ=,),,,0(121~1Tn a a a Λ=T e )0,,0,1(1Λ=。
构造Gauss 矩阵Te a I G 1~111α-=，用1G 左乘1a 得T T n a a a a G a G )0,,0,(),,,(1112111111ΛΛ== ，从而),(11i b A G 具有下列形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=≡)2()2()2(2)2(2)2(2)2(2211121111)2()2(00),(),(n nn n n ni b a a b a a b a a a b A G b A ΛMM M ΛΛ，其中(2)(2)1111111111,,,,2,,.ij ij ij j i i i i i a a l a b b l b al i j n a =-=-==L一般地，如果已经利用Gauss 矩阵11,,-k G G Λ得到1112111(2)(2)(2)22221()()1111()()()1()()()1(,)(,)nn k k i k i k k k kk kn k k k k nk nn n a a a b a a b A b G G A b a a b a a b -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥≡=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L OM M L LMM M L， 则当0)(≠k kk a 时，取Tk k k k e a I G ~α-=，,/1,),,,0,,0()()()(,1~k kk k T k nk k k k K a a a a ==+αΛΛ 就有1111,1111(2)(2)(2)(2)(2)2222,1221()()()()(1)(1)()(),1,111(1)(1)(1)1,11,11(1)(1)(1),11(,)(,)k k n k k n k k k k k k k k kkk k k n k i k i k k k k k k n k k k k n k nnn a a a a b a a a a b a a a b A b G A b a a b a a b ++++++++++++++++⎡⎢⎢⎢⎢≡=⎢⎢⎢⎢⎢⎣L LL L OM M M M L L MMM L⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦，其中()()(1)()()111(1)()()/,,,1,,.,k k ik ik kk k k k i i ik k k k k ij ij ik kj l a a b b l b i j k n a a l a ++==-=+=-L如此继续下去。