用逆矩阵解矩阵方程(课堂PPT)
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线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵
2 A A 2 E O 证明 例5 设方阵 A 满足
A 及 A 2E 都可逆，并求
例6
A
1
及 ( A 2E ) .
1
设
4 2 3 A 1 1 0 , 1 2 3
AB A 2 B,
求 B.
例7 用逆矩阵求解线性方程组的解.
2 x1 x2 x3 4, x1 2 x3 4, 3x x 3x 2. 3 1 2
问题．
2.3.4 矩阵可逆的充要条件
定理2.3.1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的
逆矩阵是唯一的．
由定理2.3.1知，如果 A 是可逆矩阵，则有
detA 0， 那么，反过来是否成立呢？为了回
答这个问题，先引入伴随矩阵的定义．
定义 2.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 detA 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵
2.3.5 举例
例2 求二阶矩阵
a b A c d
的逆矩阵.
“两调一除 ”法
求二阶矩阵的逆矩阵可用 “两调一除 ”的方法 , 其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用 |A| 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩
例1
设
3 1 1 1 A 2 1 , B 2 3 ,
验证 B 是否为 A 的逆矩阵．
2.3.3 可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, …, m) 为 n 阶可逆方阵，
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2)
高等数学逆矩阵ppt课件
268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a
逆矩阵PPT课件
（ii）如果 = diag(1 , 2 , … , n)为对角矩阵, 则 k = diag(1k , 2k , … , nk)，从而
高等代数
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1
1m
a0
1
a1
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A
1
1
0
,
求A的逆矩阵。
解：
设
a
B
c
b d
是A的逆矩阵,
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
高等代数
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1
1m
a0
1
a1
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A
1
1
0
,
求A的逆矩阵。
解：
设
a
B
c
b d
是A的逆矩阵,
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
用逆矩阵解矩阵方程
3 8 6
2 9 6
2 12 9
▌
矩阵方程：
AX = C， XB = D， AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时，
AX = C X A1C
XB = D X CB 1 AXB = F X A1FB 1
[BT ( I AB1)T ]1 {[( I AB1)B]T }1
[( B A)T ]1
1 0 0 0
1
0 0
0 2 0
0 0 3
0 1
0
0 0
0
1 2 0
0
1 3
0
0
0 0 0 4 0 0 0 1 ▌
4
例 设矩阵X 满足 AX A 2X ， 其中
4 2 3
A 1 1 0
第7讲用逆矩阵解矩阵 方程
主讲教师：张丽清
知识结构
矩阵方程
复习
行变换
主要内容
矩阵方程是什么？ 怎么解矩阵方程？
实例1 矩阵用来表示 线性方程组
下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质 量以适当的单位计量）。
根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入 的上述三种食物的量。
（另法）
（1）由 AX A 2X得
A( X I ) 2X 2( X I ) 2I
整理后可得
( A 2I )[1 ( X I )] I 2
于是 A 2I可逆。
（2）由上式得
X I 2( A 2I )1
1 0 0 1 4 3 0 1 0 2 1 5 3
0 0 1 1 6 4
则线性方程组的矩阵形式为
ch3-1逆矩阵PPT课件
7）其它的一些公式 AA A A A E A A A1
kA k n1 A P48例3 3 : A A n1
证明 由 AA* | A | E ，得 | A | | A* || A |n 所以(1)若|A| 0,|A* || A |n1
(2)若 | A | 0,但 | A | 0
则由AA* | A | E=0,且A*可逆;知A=0
[( A B1 )- 1- A- 1]( A B1 )B A = E
[( A B1 )- 1- A- 1]( AB E )A = E
[( A B1 )- 1- A- 1]-1 ( AB E )A
AX C 矩阵方程 XB C
AXB C
若A, B可逆
X A1C X CB1 X A1CB1
因为A B = E
所以 A 1 (A B) = A 1 .
即 B = A 1 .
例
设
A
a11 a21
a12 a22
,
a11a22
a12a21
0,
求 A1.
解
A
a11 a21
a12 a22
,
A*
a22 a21
a12 a11
,
|A|0,
A1
1 A*
| A|
a11a22
1
a12a21
由
A A 2
A2
E E
A1 A 2E
所以 A可逆. 0 A2
2
A
A1 1 A E
2 3A 6E 4E
. 0
A 2E A 3E 4E 0
A
2E
1 4
A
3E
E
A
2E
1
线性代数课件逆矩阵重点精讲.ppt
则有 HH
1
A O
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
HH 1 OA
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
即
AX11 CX
B
21
X21
AX12 CX
BX22
22
E O
O E
AX11 BX 21 E AX12 BX22 O
CX 21 O
CX 22 E
X11 A1 AXX1212AB1CBC1 1
2A2 A 2E E E
且 ( A E)(2A E) 2A2 A 2A E
2A2 A 2E E E
故2A+E可逆，且(2A E)1 A E
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 AA1 A1A E 2、若A可逆，则 ( A1 )1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 ( A)1 ( A1 ) 4、若A可逆，数k 0, 则 kA可逆，且(kA)1 1 A1
因为当 Anm 时， Bmn AB为n阶方阵，AB有可能可逆， 但A-1和 B-1没意义
判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可
逆矩阵。×
2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆
矩阵。× （因为A、B有可能都不是方阵）
3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B
中至少有一个是不可逆矩阵。√ 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y√
（2）A、B互为逆矩阵。即若 A1 B 则 B1 A
（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的
( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E
于是 B =BE=B(AC=)(BA)C=EC=C ）
逆矩阵及其求法-PPT
4
15 1
15 2
15
1 2 3
1 0 0
x1 1
x2
0
x3
0
A22
An
2
A2n
Ann
| A | 0 0
1 0 0
|
1 A
|Leabharlann 0 | A| 0
|
1 A
|
|
A
|
0
1
0
0
0 | A |
0
0
1
=E
同样 ( 1 A* )A 1 | A | E E
| A|
| A|
由逆阵得定义有: A1 1 A* | A|
注: AA*=A*A=|A|E
1 2 3 x1 1
其中A 2
2
5, X
x2
,
B
2
3 5 1 x3 3
∵|A|=150
A可逆
求得 A1 112353
13
15 8
4
15 1
,
15 15 15
4 15
1 15
2 15
X=A1B
X
x1
x
2
x3
112353 15 4
15
13
15 8
15 1
15
0 1 5 2 1 1
例3 设方阵A满足A2A2E=0,证明:A, A+2E 都可逆,并求它们得逆阵、
[证] A2A2E=0 A(AE)=2E
A A E E 2
A A E 1 2
|A|0 A可逆, A1 1 ( A E )
2
A2A2E=0 (A+2E)(A3E)+4E=0 ( A 2E)[ 1 ( A 3E)] E 4 A 2E 1 (A 3E) 1 4
2-5逆矩阵PPT课件
可改写为 XA + X(2E) = B, 即 X(A+2E) = B ,
其中 A 2E 3 2, 该矩阵可逆，其逆
1 1
1 2
( A 2E )1 1 1 51
2 3
5 1
5 3
.
5 5
2
故
X
B(
A
2E
)1
1
2
3 1 2
1
5 1
5
2
5 3
5
1 0 0
1 1 . 2
推论2 若A, B都是方阵，且满足AB = E (或 BA=E )，则A可逆，且A-1 = B .
证 由AB = E 得 |A||B| = 1, 于是|A|≠0，A可逆； 则A-1存在，又 B = EB = (A-1 A)B = A-1E = A-1.
推论2说明，在验证B是否为A的逆矩阵时，只 需验证一个等式AB = E 或BA=E 即可, 但注意A, B 须是方阵的前提下才能如此验证.
0 0 4 2
求
例3 A-1,
设A
B-1 .
1 0 0
3 0 0
0 1 2
0 11
,
B
0 3 1
0 1 0
5 0 0
2
0 0
解 把A, B分块化为分块对角阵：
1
A
1 0 0
2 3 0 0
0 0 1 2
0 0 11
A11 0
0 A22 ,
而
A1 11
|
1 A11
|
A* 11
1 5
二、可逆矩阵的判定及其求法
1、伴随矩阵法
定义4 设A (aij )为n阶矩阵，Aij为行列式 | A |
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[B T(IA 1 B )T] 1 {[I (A 1 B )B ]T} 1
13
[B ( A)T]1
1 0 0 0
1
0 0
0 2 0
0 0 3
01
0
0 0
0
1 2 0
0
1 3
0
0
0 0 0 4 0 0 0 1 ▌
4
14
例 设矩阵X 满足 A X A 2 X ， 其中
4 2 3
16
（另法）
（1）由 A X A 2 X 得
A ( X I ) 2 X 2 ( X I ) 2 I
整理后可得
(A2I)[1(XI)]I 2
于是 A2I可逆。
（2）由上式得
17
XI2(A2I)1
1 0 0 1 4 3 0 1 02 1 5 3
0 0 1 1 6 4
3 8 6
2 9 6
5
则线性方程组的矩阵形式为
6
7
矩阵方程
形如AX = C
XB = D
AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
则这三者都是矩阵方程
8
逆矩阵解法
特殊的矩阵
矩阵可逆
唯一解
9
例 解矩阵方程
2 1
53X12
6 1
例 解矩阵方程
1 1 1
X0 1
1 0
2
2
12
1 1
0 3
10
A 1 1 0
1
2
3
(1) 证明：A2I可逆；(2) 求X。
解 （1）
2 2 3
1 1 0
∵ A2I1 1 0 行 0 1 1
1 2 1
0 0 1
15
∴ A2I满秩 由此得 A2I可逆。
（2）由 A X A 2 X 可得 (A2I)X ，A 故
X(A2I)1A
3 2
8 6
9 6
2 12 9
第7讲用逆矩阵解矩阵 方程
主讲教师：张丽清
1
知识结构
矩阵方程
2
复习
行变换
3
主要内容
矩阵方程是什么？ 怎么解矩阵方程？
4
实例1 矩阵用来表示 线性方程组
下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质 量以适当的单位计量）。
根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入 的上述三种食物的量。
11
例 已知矩阵A、B、X满足下述关系
其中
(IA 1 B )T X (B T ) 1
1 1 0 0
A0 0
1 0
1 1
01,
0 0 0 1
求X。
2 1 0 0
B0 0
3 0
1 0 4 1
0 0 0 5
12
解 由 (IA 1 B )TX (B T ) 可1得 X [I( A 1 ) B T ] 1 (B T ) 1
2 12 9
▌
18
矩阵方程：
AX = C， XB = D， AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时，
AX = C XA1C
XB = D XC B 1 AXB = F XA 1F1 B
19
20
21
22
23
24
13
[B ( A)T]1
1 0 0 0
1
0 0
0 2 0
0 0 3
01
0
0 0
0
1 2 0
0
1 3
0
0
0 0 0 4 0 0 0 1 ▌
4
14
例 设矩阵X 满足 A X A 2 X ， 其中
4 2 3
16
（另法）
（1）由 A X A 2 X 得
A ( X I ) 2 X 2 ( X I ) 2 I
整理后可得
(A2I)[1(XI)]I 2
于是 A2I可逆。
（2）由上式得
17
XI2(A2I)1
1 0 0 1 4 3 0 1 02 1 5 3
0 0 1 1 6 4
3 8 6
2 9 6
5
则线性方程组的矩阵形式为
6
7
矩阵方程
形如AX = C
XB = D
AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
则这三者都是矩阵方程
8
逆矩阵解法
特殊的矩阵
矩阵可逆
唯一解
9
例 解矩阵方程
2 1
53X12
6 1
例 解矩阵方程
1 1 1
X0 1
1 0
2
2
12
1 1
0 3
10
A 1 1 0
1
2
3
(1) 证明：A2I可逆；(2) 求X。
解 （1）
2 2 3
1 1 0
∵ A2I1 1 0 行 0 1 1
1 2 1
0 0 1
15
∴ A2I满秩 由此得 A2I可逆。
（2）由 A X A 2 X 可得 (A2I)X ，A 故
X(A2I)1A
3 2
8 6
9 6
2 12 9
第7讲用逆矩阵解矩阵 方程
主讲教师：张丽清
1
知识结构
矩阵方程
2
复习
行变换
3
主要内容
矩阵方程是什么？ 怎么解矩阵方程？
4
实例1 矩阵用来表示 线性方程组
下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质 量以适当的单位计量）。
根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入 的上述三种食物的量。
11
例 已知矩阵A、B、X满足下述关系
其中
(IA 1 B )T X (B T ) 1
1 1 0 0
A0 0
1 0
1 1
01,
0 0 0 1
求X。
2 1 0 0
B0 0
3 0
1 0 4 1
0 0 0 5
12
解 由 (IA 1 B )TX (B T ) 可1得 X [I( A 1 ) B T ] 1 (B T ) 1
2 12 9
▌
18
矩阵方程：
AX = C， XB = D， AXB = F
其中A、B、C、D、F均为已知矩阵，而X为未知矩阵。
当系数矩阵A、B都是可逆矩阵时，
AX = C XA1C
XB = D XC B 1 AXB = F XA 1F1 B
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