三种典型矩阵方程的简单解法
矩阵方程求解算法
矩阵方程求解算法
矩阵方程是指形如AX=B的方程，其中A、X、B均为矩阵。
矩阵方程求解是线性代数中的基本问题之一，其广泛应用于科学计算、工程设计、金融和物流等领域。
矩阵方程的求解可以采用各种算法，其中最常用的算法是高斯消元法。
高斯消元法通过初等行变换将方程组化为上三角矩阵，然后通过回带法求解出未知量。
该算法的复杂度为O(n^3)，因此对于大规模矩阵方程的求解效率较低。
为了提高求解速度，人们提出了多种改进的算法，包括LU分解法、QR分解法、迭代法等。
LU分解法是将系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后通过前、后代入法求解方程组。
QR分解法是将系数矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，然后通过R的逆矩阵求解方程组。
迭代法是将方程组的解逐步逼近真正的解，直到满足一定的精度要求。
除了以上算法外，还可以采用矩阵分块技术、并行计算等方法来提高矩阵方程求解的效率。
无论采用哪种算法，都应根据矩阵的特点和求解要求选择合适的算法，并通过程序设计、调试和优化等工作来实现高效、稳定的求解算法。
- 1 -。
矩阵方程的求解步骤
矩阵方程的求解步骤嘿，朋友！今天咱们来聊聊矩阵方程的求解步骤。
这玩意儿听起来可能有点复杂，但别担心，跟着我一步一步来，其实也没那么难。
咱们先得搞清楚啥是矩阵方程。
简单说，就是一个含有矩阵的等式。
比如说，AX = B，这里 A 是一个矩阵，X 是我们要求的矩阵，B 也是个矩阵。
那咋解呢？第一步，咱得看看矩阵 A 是不是可逆的。
啥叫可逆？就是存在另一个矩阵 A^(1)，使得 A 乘以 A^(1)等于单位矩阵 I 。
如果 A 可逆，那这事儿就好办多啦。
要是 A 可逆，那咱们就可以在方程两边同时左乘 A 的逆矩阵A^(1) ，这样就得到 A^(1) AX = A^(1)B ，因为 A^(1)A 等于 I ，所以 X 就等于 A^(1)B 。
那怎么求 A 的逆矩阵呢？这就有点小麻烦啦。
不过一般有特定的方法，比如通过初等变换啥的。
但咱先不深究这个，知道有办法求就行。
要是 A 不可逆呢？那可能就得用其他办法啦。
比如说，把矩阵方程转化成线性方程组来求解。
这时候就得用到矩阵的行变换或者列变换，把矩阵变得简单点，好找到解。
有时候，还可以利用矩阵的一些性质，像矩阵的秩啊，特征值啊啥的，来帮助咱们求解。
比如说，如果矩阵 A 是对称矩阵，那可能就有特殊的解法。
再比如，如果矩阵 A 是正定矩阵，也有对应的求解技巧。
还有哦，在求解的过程中，一定要仔细，别算错啦。
一步错，可能后面就都不对啦。
呢，求解矩阵方程需要耐心和细心。
多做几道题，多练练手，慢慢就熟练啦。
刚开始可能觉得有点难，但只要坚持，肯定能掌握的！好啦，关于矩阵方程的求解步骤，就先说到这儿。
希望能对你有点帮助，加油哦！。
矩阵方程xa=b例题解法
无论是数学分析还是高等代数, 都有很多的计算题目. 而基本上所有的计算题目都是纸老虎, 只要你掌握了计算方法, 那么看似复杂的计算问题实则都非常简单. 那么有哪些计算方法呢? 这不能一言以蔽之, 需要你跟着扬哥的课程一点点积累. 当然, 计算技巧只是一条捷径, 而捷径也是需要脚踏实地去走的! 所以, 再好的方法也需要千锤百炼, 才能烂熟于心. 另外, 每个人都会犯一些独特的粗心错误, 这些小陷阱也是需要自己通过不断练习, 发现一个填一个.
关于矩阵方程, 最常见的就是AX=B 或者XA=B 这两种情况, 对于A 可逆的情况, 这时候显然AX=B 的解为A^{-1}B, XA=B 的解为BA^{-1}, 涉及到逆的运算当然需要用分块矩阵做初等变换了, 而不是傻傻地求出来A^{-1} 再去计算哦!
另外, 对于矩阵方程, 还有如下的方程组解的存在定理(即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩), 这和非齐次线性方程组的思想是一样的, 注意各个等价关系之间的相互推导:
那么同样对于矩阵方程AX=B 或者XA=B, 在A 不可逆甚至不是方阵的时候该怎么解呢? 上面的定理3.5 已经给出来了答案. 这时候把X 和B 的列向量设出来, 那么矩阵方程就化为了多个系数矩阵相同(都是A)的线性方程组了! 所以, 只需要对增广矩阵(A,B) 做初等行变换, 化为阶梯型, 根据B 化简以后的列向量轻而易举地
得到对应的X 的列向量的解!。
高中数学解矩阵方程的技巧
高中数学解矩阵方程的技巧矩阵方程在高中数学中是一个重要的概念，它涉及到矩阵运算和线性代数的知识。
解矩阵方程是数学学习中的一个难点，但只要掌握了一些技巧，就能够轻松解决这类问题。
一、矩阵方程的基本形式矩阵方程的基本形式为 AX = B，其中 A、X、B 都是矩阵。
我们的目标是求解未知矩阵 X 的值。
在解决这类问题时，我们需要注意以下几点。
1.1 矩阵的乘法运算首先，我们需要熟悉矩阵的乘法运算规则。
对于矩阵 A、B 和 C，满足结合律和分配律，即 (A + B)C = AC + BC，A(B + C) = AB + AC。
这些运算规则在解矩阵方程时非常有用。
1.2 矩阵的逆其次，我们需要了解矩阵的逆。
如果矩阵 A 是一个可逆矩阵（即存在逆矩阵A^-1），那么我们可以通过左乘 A^-1 来解矩阵方程，即 X = A^-1B。
但需要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵。
二、解矩阵方程的技巧在解矩阵方程时，我们可以运用以下几种技巧。
2.1 矩阵的消元法矩阵的消元法是一种常用的解矩阵方程的方法。
我们可以通过矩阵的初等行变换来将方程转化为简化的形式。
例如，对于方程 AX = B，我们可以通过初等行变换将矩阵 A 化为一个简化的阶梯形矩阵，然后再根据简化的形式来求解未知矩阵X。
举例来说，考虑以下矩阵方程：[1 2] [x] = [5][3 4] [y] [7]我们可以通过乘以一个适当的矩阵来消去矩阵 A 的第二行的第一个元素，得到以下形式：[1 2] [x] = [5][0 1] [y] [1]然后，我们可以通过乘以一个适当的矩阵来消去矩阵 A 的第一行的第二个元素，得到以下形式：[1 0] [x] = [3][0 1] [y] [1]最终，我们得到了解为 x = 3，y = 1。
通过矩阵的消元法，我们成功地解决了这个矩阵方程。
2.2 利用逆矩阵求解在一些特殊情况下，我们可以通过矩阵的逆来求解矩阵方程。
如果矩阵 A 是一个可逆矩阵，那么我们可以通过左乘 A^-1 来解方程，即 X = A^-1B。
矩阵解方程组的方法
矩阵解方程组的方法
首先，我们来看高斯消元法。
这是一种常用的方法，通过矩阵的初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，然后通过回代求解得到方程组的解。
这个方法的优点是简单易懂，但是在计算过程中可能会出现舍入误差，对于大型的矩阵计算也可能会比较耗时。
其次，克拉默法则是另一种常见的方法。
它利用矩阵的行列式来求解方程组的解，其优点是在理论上比较简洁，但是在实际计算中，由于需要计算每个未知数对应的行列式，所以当方程组的阶数较大时，计算量会很大，效率较低。
最后，矩阵逆的方法是利用矩阵的逆来求解方程组的解。
具体而言，对于方程组Ax=b，如果矩阵A是可逆的，那么可以通过A的逆矩阵来求解x，即x=A^(-1)b。
这种方法在理论上比较简单高效，但是需要保证矩阵A是可逆的，而且在实际计算中求逆矩阵的运算量也比较大。
除了以上三种方法，还有其他一些特殊情况下的求解方法，比如特征值分解方法、奇异值分解方法等，这些方法在特定情况下可能会更加高效。
总的来说，矩阵解方程组的方法有多种，每种方法都有其适用的情况和局限性。
在实际应用中，需要根据具体的问题特点来选择合适的方法来求解方程组的解。
三种典型矩阵方程的简单解法
即对矩阵 … 施行初等列变换 ,当把 A 变成 E 时 ,B
B 就变成 X 。(f ) 式提供了一个具体解矩阵方程 XA = B 的
简单方法 。 例2 解下列矩阵方程 。
2005 年 6 月第 3 期 三种典型矩阵方程的简单解法 3 (i) X - 1 3 1 2 4 0 1 2 3 - 1 3 3 A - 1 = 3 1 2 4 2 1 0 0 1 2 = (0 2 3) ; 1 2 4 0 1 2 3 0 0 5 0 1 2 1 2 0 1 2 3 - 1 3 ,B = ( 0 2 3) 。 1 4 7 0 1 2 0 0 - 8 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1
… ,
X
可得解矩阵方程 AXB = C 的简单解法 例3 解下列矩阵方程 。
1 (i) 2 3 2 2 4 3 1 X 3 2 5 1 3 1 1 = 2 3 0 ;
…
- 4
…
- 3 1 (ii) X 4 7
…
3 2 5 8 3
于是有 X = ( - 4 - 3 3) 。
1 4 2 5 8 2 5 8 3 1 3 6 1 2 1 5 3 2 。 3 1 4 1 4 7 2 1 5 3 2 。 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 20 6 = 0 1 1 7 1 4 A 7
- 1 - 1 X = PL PL - 1 … P1- 1B 。 证毕
,再左乘 B 即得 X。 ,再右乘 B 即得 X。
- 1 - 1
若 XA = B ,则有 XAA - 1 = BA - 1 ,即 X = BA - 1 。于是
- 1
(1) (2)
又若 AXB = C ,则有 A AXBB
CB
A B
矩阵的线性方程组解法
矩阵的线性方程组解法线性方程组是数学中的重要概念，它描述了一组线性方程之间的关系。
而求解线性方程组的方法之一就是利用矩阵的运算进行计算。
本文将介绍几种常见的矩阵解法，以帮助读者更好地理解线性方程组求解的过程。
一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的基本方法之一。
它通过矩阵的行变换来简化系数矩阵，并最终将线性方程组化简为上三角形式。
步骤如下：1. 构建增广矩阵：将系数矩阵和常数向量合并成一个增广矩阵。
2. 初等行变换：利用加减乘除的运算，将增广矩阵化为上三角矩阵。
3. 回代求解：从方程组的最后一行开始，依次求解每个变量。
二、矩阵的逆解法对于非奇异矩阵（可逆矩阵），可以利用矩阵的逆求解线性方程组。
设线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
解法如下：1. 判断A是否可逆：计算矩阵A的行列式，若不为零，则A可逆。
2. 计算逆矩阵：利用伴随矩阵法或初等变换法，求解A的逆矩阵A^-1。
3. 求解线性方程组：利用逆矩阵的性质，有 x=A^-1b。
三、克拉默法则克拉默法则是一种求解线性方程组的特殊方法，它通过计算行列式的比值来求解每个未知数的值。
步骤如下：1. 列出增广矩阵：将线性方程组化为增广矩阵形式。
2. 计算行列式：利用增广矩阵的系数部分，计算系数矩阵A的行列式det(A)。
3. 计算未知数：利用克拉默法则，有 xi=det(Ai)/det(A)，其中Ai是用b替换第i列得到的矩阵。
四、LU分解法LU分解法是一种将矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的方法。
通过LU分解后，可以利用前代法和回代法求解线性方程组。
步骤如下：1. 进行LU分解：将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，有 A=LU。
2. 利用前代法求解Ly=b：先解 Ly=b 得到y的值。
3. 利用回代法求解Ux=y：再解 Ux=y 得到x的值。
总结：本文介绍了矩阵的线性方程组解法，包括高斯消元法、矩阵的逆解法、克拉默法则和LU分解法。
矩阵方程的简化求解方法
矩阵方程的简化求解方法来源：文都教育与通常意义上的方程类似，矩阵方程是指以矩阵为未知量的矩阵等式. 求解矩阵方程本质上就是矩阵的运算特别是矩阵乘法和求逆矩阵的运算，因此求解矩阵方程，求出未知矩阵的表达式应充分地利用矩阵的运算及其性质先化简，将其化为矩阵方程的以下几种基本形式：(1),(2),(3).AX B XA B AXB C ===若A 和B 均可逆，那么可求得待求矩阵分别为1111,,.X A B X BA X A CB ----===当A 和B 均不可逆时，常将矩阵方程用待定元素法转化为解线性方程组. 在实际的计算中，往往不可能恰好给出以上三种形式，需要经过一番整理和化简，再应用相关知识使其露出“庐山真面目”. 本文将就典型的情况，加以说明，为这类题目的简化求解提供帮助.1. 对已知2A aA bE O ++=，需求1()A kE -+或()A kE +（其中k 为常数）的矩阵方程常用凑因子矩阵的方法来求解. 可将原方程化为()A kEB E +=或者()B A kE E +=的形式，从而B 就是待求的A kE +的逆矩阵. 下面举例加以说明.例1 设矩阵方程满足24A A E O +-=，其中E 为单位矩阵，则1()A E --= . 解 先对2A 与A 两项分别凑出因子A E -，过程如下： 24A A E O +-=222()()4A E E A E E E O ⇔-++-+-=()()()2A E A E A E E ⇔-++-=()()2A E A E E E ⇔-++=.所以，1()A E --=(2)2A E +.2. 求解AX B =或XA B =，其中A 为不可逆矩阵常用解方程组的方法来求解这类问题，通常设出所求矩阵的行数、列数及其待定元素，将矩阵方程转化为待定元素的线性方程组，解此方程组即可求出待求元素，从而求出未知矩阵. 这类问题在历年考研试题中还未涉及，因此需要引起注意.例2 若11232246X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X = . 解 显然矩阵1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦的行列式为0，故不可逆. 由矩阵乘积的性质可知，X 为2×2矩阵，设1234x x X x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，于是有 123411232246x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 于是方程转化为非齐次线性方程组：121234342,224,3,226,x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩ 求解此非齐次线性方程组，得1212341223x x c c X x x c c --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中12,c c 为任意常数. 以上分两种情况讨论了矩阵方程的求解方法，在复习过程中考生可能还会遇到其他形式的矩阵方程，在毛纲源教授编著的《2016考研数学客观题简化求解》一书中，有更为全面的解读，相应深入浅出的方法技巧一定会使读者看完后有所收获，考研数学的解题更上一个新台阶.。
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简单方法。 例 1 解下列矩阵方程 :
1 (i) - 2 1 1 1 1 - 1 1 1 1 ( b) 1 1 1 - 2 1 2 X= 3 ; 6 - 1 1 1 2 ,B = 3 6
(a)
于是有 X=
- 1 - 1 PL PL - 1
… P1- 1B 。
解 设A=
。
证 因| A| ≠ 0 ,故 A 可逆 ,即 A - 1 存在。由引理 2 ,知
… Q 1- 1 … … … Q 1- 1
………
- 1 - 1 BQ S QS - 1
B E 4 - 1 6 - 3 =
… 1 … 0 … 0
… 。
X A
(f )
→
- 4 0
→
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 0 0 1
… 1 … 0 … 0 … 0
… 0 0 1 4
2 - 2 0 - 1 3 - 3
… =
B
…
1 0 4
…
2 1 5
…
3 2 3
→
…
1 0 4
…
0 1 - 3
…
0 2 - 9
… 1 … 2 … 3 3
- 6 - 8 - 3 - 6 - 2
3 0 1
4 3 … 1
→0
0 1
… 0 … 0 … 1 … 0 … 0
→0
0
福建商业高等专科学校学报 2005 年 6 月 84
… ,
X
可得解矩阵方程 AXB = C 的简单解法 例3 解下列矩阵方程 。
1 (i) 2 3 2 2 4 3 1 X 3 2 5 1 3 1 1 = 2 3 0 ;
…
- 4
…
- 3 1 (ii) X 4 7
…
3 2 5 8 3
于是有 X = ( - 4 - 3 3) 。
1 4 2 5 8 2 5 8 3 1 3 6 1 2 1 5 3 2 。 3 1 4 1 4 7 2 1 5 3 2 。 3 0 - 3 - 6 0 - 6 - 20 6 = 0 1 1 7 1 4 A 7
初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的 n 阶初等矩 阵。 引理 2 若 A 为可逆方阵 , 则存在有限个初等矩阵
P1 ,P2 , … PL ,使 A = P1 P2 … PL 。
… P1- 1B) =
(E ┊ X) (c)
即对矩阵 (A ┊ B) 施行初等行变换 ,当把 A 变成 E 时 ,
… 9 … 2 … 1 … 3 … 2
= (E ┊ X)
… 0 0 0 3 1
2 - 2 0 - 1 3
… 4 … 2 1
2 1 0 0 2 0 1 1 3 1 0 0 0 2 - 4 3 - 9 1 2 0 0 0 1 0 0 X=
于是 X=
。
→0 1 0
… 3 →0 1 0
- 3 由引理 2 及引理 3 又可得 : 若 XA = B ,且| A| ≠ 0 ,则
→
…
1 - 2 2
…
- 1 4 - 4
→ 于是求得 X=
0 (ii) 1 0 1 0 0 0 1
- 10 4 0 0 1 0 1 = 2 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1
- 4 0
3 - 1 。
1 0
0 1
0 X 0
…
- 2 10 - 10
…
1 - 4 4
E =
… ,
X
- 2 0 1 0 0 0 1 1 , 0 0
解 设A=
( 3) ( 4)
1 B= 0 0 0
2 1 0 0
5 2 - 4 0
由 XA = B ,得
X = BA - 1 。
。
将 ( 3) 代入 ( 4) ,即得
- 1 - 1 X = BQ S QS Q 1- 1 。 - 1 …
证毕
1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0
- 1 - 1 X = PL PL - 1 … P1- 1B 。 证毕
,再左乘 B 即得 X。 ,再右乘 B 即得 X。
- 1 - 1
若 XA = B ,则有 XAA - 1 = BA - 1 ,即 X = BA - 1 。于是
- 1
(1) (2)
又若 AXB = C ,则有 A AXBB
CB
解法一 设A= 1
1 - 4 0 3 - 1 。
0 ,B = 0
- 2
1 - 4 。
C= 2
所以 X =
B 就变成 X。(c) 式提供了一个具体解矩阵方程 AX = B 的
引理 3 初等矩阵皆可逆 ,且其逆矩阵也是初等矩阵。 由引理 2 及引理 3 可得 :若 AX = B ,且| A| ≠ 0 ,则存在 有限个初等矩阵 P1 ,P2 , … PL ,使
- 1 - 1 PL PL - 1 … P1- 1 A = E - 1 - 1 即 PL PL - 1 … P1- 1 = A - 1 。
Ξ 收稿日期 :2005 - 1 - 10 ) 男 福建商业高等专科学校 讲师 作者简介 :陈逢明 (1962 -
福建商业高等专科学校学报 2005 年 6 月 82
1 ( A 1 0 0 1 3 0 1 0 - 1 - 1 2 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 - 1 1
… 2 … 3 … 6 → →
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0
… 1 … 0 … 0
0 1 0 0
0 1 0
3 2 - 2
1 - 1 3 - 3 = (E ┊ X) ,
┊ B ) … 2 … 7 … 4
0 1
= 1 0 1 0 1 0
- 2 1
1 … 4
→ 0 3 0
A B
- 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1
存在有限个初等矩阵 P1 ,P2 , … PL ,使
A = P1 P2 … PL 。
又由引理 3 ,可得 PL- 1 PL- -1 1 … P1- 1 A = E , 即 PL- 1 PL- -1 1 … P1- 1 = A - 1 。 由 AX = B ,得 X = A - 1B 。 将 (1) 代入 (2) ,即得
- 1
=A
- 1
CB
- 1
,即 X =
- 1
。 于是只要分别求出 A 与 B 的逆矩阵 A
与
,再分别左乘与右乘于 C ,即得 X。
上面的 (a) 式表明矩阵 A 经一系列初等行变换可变成
E 。( b) 式表明矩阵 B 经这同一系列初等行变换即变成 X。 ( b) 两式可合 用分块矩阵形式 ,及按矩阵的分块乘法 , ( a) 、
即对矩阵 … 施行初等列变换 ,当把 A 变成 E 时 ,B
B 就变成 X 。(f ) 式提供了一个具体解矩阵方程 XA = B 的
简单方法 。 例2 解下列矩阵方程 。
2005 年 6 月第 3 期 三种典型矩阵方程的简单解法 3 (i) X - 1 3 1 2 4 0 1 2 3 - 1 3 3 A - 1 = 3 1 2 4 2 1 0 0 1 2 = (0 2 3) ; 1 2 4 0 1 2 3 0 0 5 0 1 2 1 2 0 1 2 3 - 1 3 ,B = ( 0 2 3) 。 1 4 7 0 1 2 0 0 - 8 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0
… 1 … 0 … 0 … 0
0 1 0 0 1 0 2 0
… 0 0 1 10
2 - 4 0 - 4 3 - 3 0 1 0 1 2
两式可合并写成
A
- 1 - 1 … QS QS Q 1- 1 = - 1 … - 1 - 1 AQ S QS - 1
( d)
- 1 - 1 于是有 X = BQ S QS Q 1- 1 。 - 1 …
( e)
。
证 因| A| ≠ 0 , 故 A 可逆 , 即 A
A = Q1 Q2 … QS 。
- 1
存在 。由引理 2 ,
知存在有限个初等矩阵 Q1 ,Q 2 , … QS , 使 又由引理 3 ,可得
- 1 AQ - 1 Q 1- 1 = E SQ S - 1 … - 1 及 Q- 1 Q 1- 1 = A - 1 。 SQ S - 1 …
0 1 1 3
… 1 … 0 … 0
2 1 0
5 2 - 4 0
2 - 4 3 - 9
上面的 ( d) 式表明矩阵 A 经一系列初等列变换可变 → 成 E 。( e) 式表明矩阵 B 经这同一系列初等列变换即变
( e) 成 X 。用分块矩阵形式 , 及按矩阵的分块乘法 , ( d) 、
(A ┊ B) =
…
0 - 1/ 3 1/ 4
… =
0 0 3/ 8
… ,
X
→
0
→
0
→
…
2 1 0 0
…
3 0 1 0
…
- 6 0 0 1 =
…
- 4 E
…
3
…
15
…
- 4
…
3
…
3
1
0 - 1/ 3
0 0
于是有 X = 4/ 3
。
3/ 8 1/ 4 3/ 8 利用上述矩阵方程 AX = B , XA = B 的解法 , 综合之
2005 年 6 月第 3 期 三种典型矩阵方程的简单解法
81
三种典型矩阵方程的简单解法
Simple Solution of Three T ypical Matrix Equations