矩阵方程求解方法

矩阵方程求解方法

本文所述的矩阵方程是指形如Ax=b的方程，其中A是一个mxn的矩阵，称为方程的系数

矩阵。x和b是mx1的矩阵。特别的，当b=0时，这种方程又称为其次方程。本文将讨论

这种矩阵的有解条件和求解方法。

矩阵方程的有解条件

为了解释矩阵方程的有解条件，我们首先要熟悉一些概念。

一个矩阵方程的增广矩阵是系数矩阵A和b并在一起构成的矩阵，记作(A,b)。

假定 , ,则矩阵方程的增广矩阵就是

矩阵的秩定义为其行向量中极大线性无关组中包含向量的个数，等价的说法是，矩阵的秩

是r，则矩阵通过行列初等变换，变换成左上角是一个r阶单位矩阵，其他都是0的矩阵。矩阵A的秩记作r(A)，其中r是英文单词rank的缩写。

有了这两个基本概念，我们就可以准确描述矩阵方程的有解条件了：矩阵方程Ax=b的有

解条件是矩阵A的秩等于增广矩阵(A,b)的秩，也就是r(A)=r(A,b)。

证明很简单，既然矩阵A的秩是r，那么肯定可以找到两个可逆的矩阵P,Q，满足

--1)

其中I r表示r阶单位矩阵。

应用到原来的方程，可以得到:

--2)

我们把Q-1x当作一个未知的变量，PAQ当作系数，这就构成一个新的矩阵方程。而这个矩

阵方程的左侧系数除了前r行是有1的之外，其余行是0。为了它有解，Pb的后m-r行必

须也是0。这样(A,b)的秩必然是r。

必须注意到Q-1是可逆的，因此以Q-1x为未知变量的方程有解意味着以x为未知变量的原

方程也是有解的。

矩阵方程的解

对于矩阵方程Ax=b，如果满足r(A)=r(A,b)，则矩阵方程是有解的。为了求它的解，我们首先把矩阵方程通过行列初等变换变化成前文2）式的形式，代入1）式后得到：

--3)

其中Q-1x和Pb是一个列向量，我们可以把它们分割成rx1和(n-r)x1的两个矩阵，分别记作x’1和x’2，及b’1和b’2。则很显然我们可以得到：

--4)

很显然，b’2必须为0，因为展开后b’2等于0 x’1 +0 x’2 =0

而由4式可以看出，x’1= b’1，x’2可以为任意向量。

所以方程最后的解为：

--5)

从解的形式可以看出解空间有如下特性：

1．方程Ax=b的解空间的秩是n=r(A)

2．如果A是满秩的，则方程的解唯一。