矩阵的初等变换与线性方程组的求解.
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换是指对矩阵进行一系列特定的行变换、列变换或行列变换，其目的是简化矩阵的形式或者解方程组。
常见的初等变换包括以下三种：
1.交换两行或两列：将矩阵中的两行或两列进行交换。
2.某一行或列乘以一个非零常数**：将矩阵中的某一行或某一列的所有元素乘以一个非零常数。
3.某一行或列加上另一行或列的若干倍**：将矩阵中的某一行或某一列的元素分别加上另一行或列对应位置元素的若干倍。
矩阵的初等变换可以应用于多个领域，主要包括以下几个方面的应用：
1.线性方程组的求解：通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。
2.矩阵的求逆：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。
3.矩阵的标准形式：利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。
4.特征值和特征向量的求解：通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，
从而求得矩阵的特征值和特征向量。
5.线性空间的基变换：在线性代数中，我们可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。
总的来说，矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，能够简化计算、找出规律、解决实际问题。
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组说明与要求:上一章已经介绍了求解线性方程组的克莱姆法则．虽然克莱姆法则在理论上具有重要的意义，但是利用它求解线性方程组，要受到一定的限制．首先，它要求线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，其次还要求方程组的系数行列式不等于零．即使方程组具备上述条件，在求解时，也需计算n +1个n 阶行列式．由此可见，应用克莱姆法则只能求解一些较为特殊的线性方程组且计算量较大．本章讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，当m =n 时，系数行列式也有可能等于零．因此不能用克莱姆法则求解．对于线性方程组(I )，需要研究以下三个问题：(1)怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？ (2)方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？ (3)当方程组的解不唯一时，解与解之间的关系如何？ 目的与要求：掌握矩阵的初等变换，能用初等变换化矩阵为行阶梯形、行最简形和标准型。
理解矩阵的秩概念、掌握用初等变换求矩阵的秩。
了解初等矩阵的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法。
掌握用初等变换求解线性方程组。
本章重点：矩阵的初等变换；解线性方程组；秩；线性方程组解的判定. 。
本章难点：秩；线性方程组解的判定.§3.1 矩阵的初等变换在本章的§2.3节中给出了矩阵可逆的充分必要条件，并同时给出了求逆矩阵的一种方法——伴随矩阵法．但是利用伴随矩阵法求逆矩阵，当矩阵的阶数较高时计算量是很大的．这一节将介绍求逆矩阵的另一种方法——初等变换法．为此我们先介绍初等矩阵的概念，并建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系．一. 初等变换定义下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1．互换两行（记）；2．以数乘以某一行（记）；3．把某一行的倍加到另一行上（记）。
第3章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
↔
1 0 B = 0 2 0 0
矩阵等价性具有如下性质： （1）反身性： A ↔ A （2）对称性：如果 A ↔ B ，那么 B ↔ A （3）传递性：如果 A ↔ B, B ↔ C ，那么 A ↔ C
第 i行
| E ( i , j ) |= −1,
第j行
E ( i , j ) −1 = E ( i , j )
第i列
第j列
-12-
2、倍乘初等矩阵
1 E ( i ( k )) = O 1 k 1 O
↑ 第i列
← 第 i行 1
r
Pl L P2 P1 A = E
问 A − 1 = Pl L P2 P1 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 ( A E ) 作行变换
P1 ( A E ) = ( P1 A P1 E )
P2 P1 ( A E ) =
( P2 P1 A
P2 P1 E )
Pl L P2 P1 ( A E ) = ( Pl L P2 P1 A Pl L P2 P1 E )
A ↔ B,
如何把它们用等号联系起来？
-11-
定义
对单位矩阵E做一次初等变换得到的矩阵称
为初等矩阵。 共有三种初等矩阵，分别为 1、交换初等矩阵
1 O 1 0 1 L ← 1 E ( i, j ) = M O M 1 1 L 0 ← 1 O 1 ↑ ↑
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解
§3.1 矩阵的初等变换 §3.2 初等矩阵 §3.3 矩阵的秩 §3.4 线性方程组的解
矩阵的初等变换与线性方程组
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组本章的重点是研究矩阵更深层的性质——秩，它是矩阵理论的核心概念，是由德国数学家佛洛本纽斯在1879年首先提出的。
为了研究矩阵秩的概念，首先要介绍一个重要的工具———矩阵的初等变换概念，它不仅解决了求矩阵秩的问题，还是帮助求解线性方程组、求逆阵、判定向量组相关性等的有力工具，然后我们将应用秩理论解决方程组的求解问题，最后还要将初等变换概念在理论层次上加以提炼，即介绍初等方阵的概念。
§1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换是矩阵之间的一种十分重要的变换，是从实际问题的解决中抽象得到的。
一、引例求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+=+--979634226442224321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x(1)(1) )(1B )(2B)(3B ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+-=+-+00304244324321x x x x x x x x )(4B 问题10共采取了几种变换将(1)变为)(4B 的？（三种：(ⅰ) 交换方程的次序；(ⅱ) 用数)0(≠k 乘某方程； (ⅲ) 将某方程的k 倍加到另一方程上。
且这三种变换都可以看成是只对方程组的系数和常数项进行的）20在这三种变换下，(1)与)(4B 是否同解？即这三种变换是否都可逆？ （都可逆，即同解变换） 30采取这三种变换的目的是为了将(1)变为什么形状以便得到解？ （阶梯形。
其寓意：方程④表明方程组有一个多余的方程； 将③代入②得32x x =，表明3x (或2x )可任意取值，称之为自由未知量，其余的未知量称为非自由未知量，当某层的阶宽多于一个未知量时，就必有自由未知量，一般我们取每层阶梯的第一个未知量为非自由未知量，由于一旦确定下自由未知量，任给自由未知量一组数值，就可得到方程组的一个解，所以我们特别重视自由未知量）40 由于(1)与其增广矩阵)(b A B =构成一一对应，那这三种变换在矩阵中对应的效果是什么？⎝⎛=B ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------97963211322111241211 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------34330635500222041211⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----310620000111041211 5000310000111041211B =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---. 对于矩阵的行只作了三种变换，也就是说，为解线性方程组对方程组作变换，就相当于对其增广矩阵的行作同类变换，下面给出这三种对矩阵的行作的变换在矩阵中的正式定义：②-③ ③-2① ④-3① ①②③④①↔ ② ③ ÷③↔④ ④-2③ ③↔④ ④-2③ ①②③④②-③ ③-2①④-3① ②÷ 2③+5② ④-3②二、初等变换1、定义1 以下三种变换称为矩阵的初等行变换：(ⅰ) 对调两行（对调i 、j 两行记作：j i r r ↔）；(ⅱ) 以数k ≠0乘某行中的所有元素（第i 行乘k 记作：k r i ⨯）；(ⅲ) 将某行所有元素的倍加到另一行对应元素上去（将第j 行的k 倍加到第i 行记作：j i r k r +）。
矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换在矩阵运算中有着广泛的应用，其中包括以下几种常见的应用：
1. 线性方程组求解：将系数矩阵经过矩阵初等变换变成一个上三角矩阵或行简化阶梯形矩阵，然后利用高斯-约旦消元法或高斯消元法求解线性方程组。
2. 矩阵求逆：通过利用矩阵初等变换将待求逆的矩阵转换成单位矩阵，然后将初等变换应用到一个单位矩阵上得到该矩阵的逆。
3. 矩阵乘法：矩阵乘法可通过矩阵初等变换实现。
例如，通过在左侧乘一个初等矩阵将矩阵进行行变换、在右侧乘初等矩阵将矩阵进行列变换、以及在左右两侧同时乘同一个初等矩阵进行对称变换等等。
4. 特征值与特征向量求解：通过利用初等变换将待求特征值的矩阵转换成上三角矩阵或者特征分解形式，然后求解特征值与特征向量。
5. 矩阵分解：通过初等变换将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和一个正交矩阵的乘积（QR分解）、或者将矩阵分解成一个对称矩阵和一个特殊矩阵的乘积（奇异值分解）等等。
总之，在矩阵运算中，矩阵初等变换是一种非常有用的工具，它可以简化计算过程、提高计算效率、为后续计算提供便利。
第2章_矩阵的初等变换与线性方程组
解
3 − 7 r2 + r1 1 4 r3 − 3r1 r1 ↔ r3 A → − 1 − 3 − 17 4 → 3 2 6 9
3 − 7 3 − 7 1 4 1 4 r3 +10r2 0 1 − 14 − 3 → 0 1 − 14 − 3 0 0 − 143 0 0 − 10 − 3 30
= = = =
B
3 − 7 1 4 即为行阶梯形矩阵。 B = 0 1 − 14 − 3 即为行阶梯形矩阵。 0 0 − 143 0
特点： 特点： (1) 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； 可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2) 每个台阶只有一行，阶梯数即是非零行 每个台阶只有一行， 的行数， 的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元 素为非零元，即非零行的非零首元。 素为非零元，即非零行的非零首元。
1 0 0 5 称为行最简形矩阵 行最简形矩阵。 → 0 1 0 − 3 = C 称为行最简形矩阵。 0 0 1 0
r2 + 14 r3 r1 − 59 r3
在具备行阶梯形矩阵特点的同时， 在具备行阶梯形矩阵特点的同时，非零行的 特点： 特点： 非零首元为1，且其所在列的其他元素全为 。 非零首元为 ，且其所在列的其他元素全为0。
将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 消元过程与增广矩阵的 解 将方程组的消元过程与增广矩阵的变换过程 进行对比。 进行对比。
x1 + 2 x 2 + 3 x 3 2 x1 − x2 + 2 x3 x + 3x 2 1 = −7 = −8 =7
1 2 3 − 7 2 − 1 2 − 8 1 3 0 7
第三章%20%20矩阵的初等变换与线性方程组[1]
![第三章%20%20矩阵的初等变换与线性方程组[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/795084155f0e7cd184253641.png)
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
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第11讲 线性方程组的解
对于线性方程组Ax=b, R(A)=r. 不妨设 B = ( A, b ) 的行最简形为
⎛1 ⎜0 ⎜M ⎜0 ⎜0 ⎜0 ⎜M ⎜0 ⎝ 0 1 M 0 0 0 M 0 L 0 b11 L 0 b21 M M L 1 br 1 L0 0 L0 0 M M L0 0 L b1,n− r L b2,n− r 2 M M ⎟ L br ,n− r d r ⎟ L 0 d r +1 ⎟ L 0 0 ⎟ M M ⎟ 0 ⎟ L 0 ⎠
r (1) A ~ B 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P， 使得 PA = B. c (2) A ~ B 的充分必要条件是存在n阶可逆阵Q， 使得 AQ = B.
(3) A ~ B 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P 及n阶可逆阵Q, 使得 PAQ = B.
r 推论 方阵A可逆的充分必要条件是 A ~ E
14 September 2009 河北科大理学院
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
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四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题
A −1 ?
r ( A , E ) ~ ( E , A −1 )
⎛ 0 −2 1 ⎞ 例1 设 A = ⎜ 3 0 −2 ⎟ , 求 A−1 . ⎜ −2 3 0 ⎟ ⎝ ⎠
14 September 2009
相容 不相容 d1 ⎞ 特解 通解 d ⎟
(cii ≠ 0, i = 1, 2, L , n) (1) 当 d r +1 ≠ 0 时,方程组无解; (2) 当 d r +1 = 0 时,方程组有解; 且 r = n 时,有唯一解, r < n 时,有无限多个解.
矩阵的初等变换与线性方程组12页
矩阵的初等变换与线性方程组12页1. 初等变换的定义初等变换是指对一个矩阵进行以下三种操作：交换矩阵的两行；将某一行乘以一个非零数；将某一行加上另一行的若干倍。
2. 线性方程组与矩阵对于一个线性方程组，可以将其表示为矩阵乘向量的形式，即A*x=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b为常数向量。
3. 初等变换与线性方程组通过初等变换可以将一个线性方程组转化为与之等价的线性方程组，这一性质可以通过矩阵的等价变换得到。
4. 高斯消元法高斯消元法是一种使用初等变换求解线性方程组的经典方法。
通过对系数矩阵进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，即可逐步求解未知向量。
5. 求解线性方程组的基本思路求解线性方程组的基本思路是，对系数矩阵进行初等变换，将其转化为一个上三角矩阵，然后通过回带求解未知向量。
如果系数矩阵不可逆，那么方程组可能无解或者有无穷多解。
6. 矩阵求逆的基本方法矩阵求逆也可以通过对系数矩阵进行初等变换得到。
具体方法是利用矩阵的增广形式构造一个方阵，然后对该方阵进行初等变换，将其转化为一个单位矩阵。
最终得到的矩阵就是原矩阵的逆矩阵。
7. 线性方程组的解的存在唯一性定理线性方程组的解的存在唯一性定理指出，对于一个线性方程组，只有当系数矩阵满秩时，才存在唯一解。
如果系数矩阵不满秩，那么方程组可能无解或者有无穷多解。
8. 向量空间与子空间向量空间是指满足一定运算法则的向量集合。
子空间是指一个向量空间的子集，且满足加法和数乘运算的封闭性。
9. 基和维数基是指一个向量空间中的一组线性无关的向量集合。
维数是指一个向量空间中的基向量个数。
10. 极大线性无关组和极大线性无关组成基极大线性无关组是指在一个向量集合中，能够选出一组线性无关的向量，并且在该向量集合中没有其他向量能够加入这组向量。
这组向量就是该向量集合的极大线性无关组。
极大线性无关组可以通过初等变换得到线性无关的基向量。