3.5函数的微分

函数的微分
我们在这一章一开始就讲过，微分学有两个最基本的概念：一个是导数，另一个是微分。

我们这一节就介绍微分的概念。

一、微分概念
有一边长为x的正方形，面积为y。

则y=x2。

假设x在x0点有一个增量∆x，此时面积相应的增量为：
∆y=(x0+∆x)2−x02=2x0∆x+∆x2
我们观察面积增量∆y这两部分
显然2x0∆x是∆y的线性主要部分，∆x→0时，∆x2=o(∆x)，由于∆x2非常小，所以在计算∆y时，∆x2可以忽略不计，因此
∆y≈2x0∆x我们把2x0∆x称为y=x2在x0点关于∆x的微分。

接下来我们给出微分的定义：
设函数y=f x在x0某个邻域U(x0)有定义，若自变量在x0有一个增量∆x
x0 x0+∆x ∆x
f x0 f x0+∆x∆y
如果∆y可表示为：
∆y=A∆x+o(∆x)
则称y=f x在点x0处可微，并称A∆x为f x在x0相应于∆x的微分。

=A∆x。

记为：dy|x=x
其中A是一个常数，与∆x无关。

其中o∆x叫做∆x的高阶无穷小。

就是它非常小，比∆x还要小。

微分概念的引入并不难，但是要理解它还是要下点功夫。

微分的几何意义是函数y=f x在x0点切线的纵坐标的改变量。

二、微分与导数的关系。

那么这里面的A到底是什么呢？接下来有一个定理：
函数y=f x在x0可微的充分必要条件是f x在x0可导，且
dy|x=x
0=)
x(
f'∆x
也就是说函数在这一点可微则在这一点可导，反过来函数在这一点可导那么在这一点也可微。

可微与可导是等价的。

因此微分的定义可写为：
∆y=)
x(
f'∆x+o(∆x)
函数的增量是由两部分构成：
o∆x叫做∆x的高阶无穷小。

就是它非常小，比∆x还要小。

)
x(
f'∆x是关于∆x的线性函数，我们把这一部分叫函数改变量的线性主要部分。

如果是在任意一点x处函数y=f x的微分为
dy=)(x
f'∆x
例如：
y=x2，dy=2x∆x
y=sin x，dy=cos x∆x
y=x，dy=dx=∆x 因此微分可写成：
dy=)(x
f dx
三、微分法则
d u±v=du±dv。