高考数学小题狂练1

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2021届高三数学新高考小题狂练(1)(答案解析)

2021届新高考小题狂练（1）-答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【答案】B 【解析】{}2,3,5A =,{}2,5U B =,则{}2,5U A B ⋂=（）,故选B.考点：本题主要考查集合的交集与补集运算. 2. 【答案】C 【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- 考点：全称命题与特称命题 3. 【答案】C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模.详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=：则1z =：故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4. 【答案】C 【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r rr n x +T =，令2r得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．5. 【答案】B 【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来． 6. 【答案】A 【解析】分析：先求出A：B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解：直线x y 20++=分别与x 轴：y 轴交于A ：B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2：0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 7.【答案】C 【解析】分析：首先根据g ：x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解：将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)x e x >去掉），再画出直线y x =-：并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时：满足y x a=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-：之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点，此时满足1a -≤：即1a ≥-：故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 8. 【答案】D 【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==3442338R V R =∴=π=⨯=π，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=又90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴===AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=，22121222x x x ∴+=∴==，PA PB PC ∴===，又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴==2R ∴=，344338V R ∴=π=π⨯=，故选D . 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 【答案】ABD 【分析】观察折线图，掌握折线图所表达的正确信息，逐一判断各选项.【详解】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：在A 中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A 正确；在B 中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B 正确；在C 中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C 错误；在D 中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查学生对于折线图的理解能力，考查图表的识图能力，属于基础题. 10. 【答案】ABD 【解析】【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确；由11//B D 平面ABCD ，可知//EF 平面ABCD ，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，1111224BEF S =⨯⨯=△，三棱锥A BEF -的体积为1134224⨯⨯=D 正确；很显然，点A 和点B 到的EF 距离是不相等的，C 错误. 故选：ABD【点睛】本题主要考查空间线、面的位置关系及空间几何体的体积与面积，属于中档题. 11. 【答案】AC【解析】【分析】对各选项逐一作出正确的判断即可. 【详解】如图：对于A 选项，经计算显然正确；对于B 选项，0m =时，可以得出3AFE π∠=，当1m =时，4AFE π∠<，根据对称性，存在m 使FAB 为直角三角形，故B 错误；对于C 选项，根据椭圆对称性可知，当0m =时，四边形FBEA 面积最大，故C 正确；对于D 选项，由椭圆的定义得：FAB 的周长(2)(2)4AB AF BF AB a AE a BE a AB AE BE =++=+-+-=+--；∵AE BE AB +≥；∴0AB AE BE --≤，当AB 过点E 时取等号； ∴44AB AF BF a AB AE BE a ++=+--≤；即直线x m =过椭圆的右焦点E 时，FAB 的周长最大；此时直线1x m c ===；但11m -<<，所以不存在m ，使FAB 的周长最大.故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及几何性质，考查学生识图能力，属于中档题. 12. 【答案】AB 【解析】【分析】根据题意，对各选项逐一作出正确的判断即可.【详解】对于A 选项，反例2,13()10,3x x f x x ⎧≤<=⎨=⎩，此函数满足性质P 但不连续，故A 错误；对于B 选项，()f x x =-具有该性质，但是22()f x x =-不具有该性质，故B 错误；对于C 选项，由性质P 得，()(4)2(2)2f x f x f +-≥=，且()1f x ≤，(4)1f x -≤，故()1f x =，故C 正确；对于D 选项，121234342314++221()=()()()42222x x x x x x x x x x x x f f f f ++++++⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦[]12341()()()()4f x f x f x f x ≤+++，故D 正确. 故选：AB【点睛】本题主要考查函数的概念，函数的性质，考查学生分析能力，推理判断能力，属于中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【答案】16 【解析】分析】首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.【详解】根据题意：没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.【点睛】该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.14. 【答案】14【解析】【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解】由360a b -+=可知36a b -=-：且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ：20x >恒成立，结合均值不等式的结论可得：3122224ab-+≥==.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.【综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15.【答案】 (1). 1- (2). 2【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=：解得椭圆M 的离心率.详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M 的离心率为1.c a == 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±：由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，：222222234 2.m n m m e e m m ++∴===∴=，点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得()()1'4cos 1cos 2f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，从而确定出函数的单调区间，减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，确定出函数的最小值点，从而求得sin 22x x =-=-代入求得函数的最小值. 详解：()()21'2cos 2cos24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调减，当1cos 2x >时函数单调增，从而得到函数的减区间为()52,233k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦，函数的增区间为()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，所以当2,3x k k Z ππ=-∈时，函数()f x 取得最小值，此时sin x x ==，所以()min 2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.。

高三数学理小题狂做

高三理科数学小题狂做〔1〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1、全集{}2U 1x x =>，集合{}2430x x x A =-+<，那么U A =〔〕A ．()1,3B ．()[),13,-∞+∞C ．()[),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-+∞2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭〔〕 A ．2i - B ．4i - C ．2iD ．4i3、抛物线的焦点()F ,0a 〔0a <〕，那么抛物线的标准方程是〔〕A ．22y ax =B ．24y ax =C ．22y ax =-D ．24y ax =-4、命题:p x ∃∈N ，32x x <；命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞，函数()()log 1a f x x =-的图象过点()2,0，那么〔〕A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真5、执行右边的程序框图，那么输出的A 是〔〕A ．2912 B ．7029 C ．2970 D ．169706、在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，C 90∠AB =，2C 2CD AB =B =，那么cos D C ∠A =〔〕A ．B ．C ．D 7、2sin 21cos 2αα=+，那么tan 2α=〔〕A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或08、32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为〔〕 A ．8- B ．12- C ．20-D ．209、函数()sin 2cos f x x x =+的值域为〔〕A ．⎡⎣ B ．[]1,2 C ．⎡⎣ D ．⎤⎦10、F 是双曲线C :22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．假设2F F A =B ，那么C 的离心率是〔〕A ．B ．2C ．D 11、直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A ，B ，那么AB 的最小值为〔〕A．3B．2C．324D．3212、某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．4B．213+C．3312+D．3312+2二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分．〕13、()a=-，()1,1,3=，假设()2a b ab t-⊥，那么b=．14、为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化繁殖情况，得如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.850.25=-．由以上信息，得到下y x表中c的值为．天数t〔天〕34567繁殖个数y〔千2.534 4.5c个〕15、在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，假设B被球所截得图形的面积为．C D2AB=A=A=，那么平面CD16、x，Ry∈，满足22z x y=+的取值范围4++=，那么22246x xy y为．高三理科数学小题狂做〔1〕参考答案一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕1314、615、16π16、[]4,12。

高中小题狂练试题及答案

高中小题狂练试题及答案一、选择题1. 根据题目分析，下列哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 光速是可变的C. 氧气是可燃的D. 水在标准大气压下沸点是100℃答案：D2. 以下哪个历史事件标志着中国近代史的开端？A. 鸦片战争B. 甲午战争C. 辛亥革命D. 五四运动答案：A3. 在数学中，下列哪个表达式表示的是二次方程？A. \( x + 2 = 0 \)B. \( x^2 + 3x + 2 = 0 \)C. \( x^3 - 5x^2 + 6x = 0 \)D. \( 2x - 1 \)答案：B二、填空题4. 根据题目所给信息，中国最大的淡水湖是________。

答案：鄱阳湖5. 在化学中，元素周期表的第1族元素被称为________。

答案：碱金属6. 根据题目所给信息，下列哪个方程式表示的是光合作用？\( 6CO_2 + 6H_2O + \text{光能} \rightarrow \text{有机物} + 6O_2 \)答案：正确三、简答题7. 请简述牛顿第三定律的内容。

答案：牛顿第三定律，也称为作用与反作用定律，指出：对于任何两个相互作用的物体，它们之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反。

8. 请解释什么是温室效应，并简述其对环境可能造成的影响。

答案：温室效应是指地球大气层中的某些气体（如二氧化碳、甲烷等）能够吸收和重新辐射地表反射的太阳辐射，导致地球表面温度升高的现象。

温室效应可能导致全球气候变暖，极端天气事件增多，海平面上升，生态系统受到影响等。

四、计算题9. 已知一个物体的质量为5千克，受到的重力加速度为9.8米/秒²，求该物体受到的重力大小。

答案：物体受到的重力大小可以通过公式 \( F = m \times g \) 计算，其中 \( m \) 是质量，\( g \) 是重力加速度。

所以，\( F = 5 \times 9.8 = 49 \) 牛顿。

结束语：本试题及答案涵盖了高中阶段的多个学科，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题能力。

(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种；〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种；〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

文科数学小题狂做16套(1)

2019高三文科数学小题狂做（1）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}11,R x x x A =-≤∈，{}2,xx x B =≤∈Z ，则A B =I （）A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2.已知复数z 满足()()211i z i +=-，则z 的共轭复数的虚部为（） A ．2 B ．2- C ．1- D ．13.设角A 、B 、C 是C ∆AB 的三个内角，则“C A+B <”是“C ∆AB 是钝角三角形”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4.如图所示的算法框图中，e 是自然对数的底数，则输出的i 的值为（参考数值：ln 20167.609≈）（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85.双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为2y x =，则C 的离心率是（）A ．5B ．2C ．2D ．5 6.已知0a >，0b >，11a b a b +=+，则12a b+的最小值为（） A ．4 B ．22 C ．8 D ．16 7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（） A ．5π B ．9π C ．16π D ．25π8.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当(],0x ∈-∞时，()f x 为减函数，若()0.32a f =，12log 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 5c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（） A ．24里 B ．12里 C ．6里 D ．3里10.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的递增区间为（） A ．52,21212k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z B ．5,1212k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．52,266k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．5,66k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z11.C ∆AB 是边长为1的等边三角形，已知向量a r ，b r满足a b AB =+u u u r r r ，C a b A =-u u u r r r ，则下列结论错误的是（）A ．32a =rB ．12b =rC ．()14a b a +⋅=-r r rD ．a b ⊥r r12.已知函数()()22,191,1x x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是（）A ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭UC ．(),0-∞D ．()4,0,23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若832S =，则2562a a a ++= ．14.若x ，y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，2z x y =-，则z 的取值范围是．15.某学校高二年级共有女生300人，现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介于30分钟到90分钟之间，右图是统计结果的频率分布直方图，则她们的平均运动时间大约是分钟．16.已知抛物线C:28x y =的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则F FQ P ⋅u u r u u u r的最小值为．2017高三文科数学小题狂做（2）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}12x x A =-<<，{}03x x B =<<，则A B =U （）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 2.i 是虚数单位，复数5225ii-=+（） A ．i - B ．i C ．21202929i -- D ．4102121i -+ 3.已知双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为5，则C 的渐近线方程为（）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±4.已知向量()1,1a =-r，向量()1,2b =-r ，则()2a b a +⋅=r r r （）A ．1-B ．0C ．1D ．25.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如下图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为（）A ．1203cmB ．803cmC ．1003cmD ．603cm 7.某算法的程序框图如图所示，若输入的a ，b 的值分别为60与32，则程序执行后的结果是（）A ．0B ．4C ．7D ．288.已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =（） A ．2 B ．1 C ．12D ．189.设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（）A ．252B ．492C ．12D ．1410.点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，C C 3AB =B =A =，若四面体CD AB 体积的最大值为3，则这个球的表面积为（） A ．16916π B ．8π C ．28916π D ．2516π11.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲，乙，丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（）A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油12.已知函数()F xx e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,22-∞B ．(,22-∞ C ．(0,22 D ．()22,+∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.给出下列命题：①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；②由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程:l ˆybx a =+，则l 一定经过点(),x y P ； ③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；④在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好；⑤在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位，其中真命题的序号是．14.在三棱锥C S -AB 内任取一点P ，使得C C 1V V 2S P-AB -AB >的概率是． 15.已知圆C:()()22341x y -+-=和两点(),0m A -，(),0m B （0m >），若圆上存在点P ，使得90∠APB =o，则m 的取值范围是．16.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = ．2017高三文科数学小题狂做（3）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若全集U R =，集合{}124xx A =<<，{}10x x B =->，则U A B =I ð（）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x <<C ．{}01x x <<D ．{}12x x ≤< 2.已知a ，R b ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=（） A ．54i - B ．54i + C ．34i - D ．34i +3.已知命题:p 0x ∀≥，21x≥；命题:q 若x y >，则22x y >．则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ⌝∨ 4.在区间[]2,4-上随机地抽取一个实数x ，若x 满足2x m ≤的概率为56，则实数m 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．95.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f =（）A ．2B ．2-C ．98-D ．986.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为（） A ．312π B ．36π C ．34π D ．33π7.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（） A ．0，4 B ．0，3 C ．2，4 D ．2，38.设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为为（）A ．4B ．14-C ．2D ．12-9.已知3sin 5ϕ=，且,2πϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（） A ．35- B ．45-C ．35D ．4510.已知C ∆AB 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()0,1，)，()0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足C 1P =u u u r ，则OA +OB +OP u u u r u u u r u u u r的最小值是（）A1 B1 C1 D111.过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若F 2F B =A u u u r u u u r，则此双曲线的离心率为（）ABC ．2 D12.已知三棱锥C S -AB 的所有顶点都在球O 的球面上，C ∆AB 是边长为1的正三角形，C S 为球O 的直径，且C 2S =，则此棱锥的体积为（） A．6 B．6 C．3 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.某中学高中一年级、二年级、三年级的学生人数比为5:4:3，现要用分层抽样的方法抽取一个容量为240的样本，则所抽取的二年级学生的人数是．14.若实数x ，y 满足约束条件2202402x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则x y 的取值范围是．15.设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意n *∈N ，都有242n n n S a a =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 的通项公式为n a = ．16.已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足F 2F A =B u u u r u u u r，则弦AB 中点到抛物线准线的距离为．2017高三文科数学小题狂做（4）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合{}24,R x x x A =≤∈，{}4,xx x B =≤∈Z ，则A B =I （）A ．()0,2B ．[]0,2C ．{}0,1,2D ．{}0,22.已知:p R x ∀∈，210x x -+>，:q ()0,x ∃∈+∞，sin 1x >，则下列命题为真命题的是（）A ．()p q ∨⌝B ．()p q ⌝∨C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 3.将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是（） A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭4.如下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的全面积为（） A ．12 B ．16 C ．434+ D ．434+ 5.已知向量()3,4a =r ，()sin ,cos b αα=r ，且a r 与b r共线，则tan α=（）A ．43 B ．43- C ．34 D ．34- 6.等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程2160x x c -+=（64c <）的两根，则该数列的前11项和11S =（）A ．58B ．88C ．143D ．1767.三棱柱111C C AB -A B 中，侧棱1AA ⊥底面111C A B ，底面三角形111C A B 是正三角形，E 是C B 中点，则下列叙述正确的是（）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．C A ⊥平面11ABB A C ．11C AE ⊥BD ．11C //A 平面1AB E8.执行如图所示的程序框图，若输出15S =，则框图中①处可以填入（） A ．4?n ≥ B ．8?n ≥ C ．16?n ≥ D ．16?n <9.记集合(){}22,16x y xy A =+≤，集合()(){},40,,x y x y x y B =+-≤∈A 表示的平面区域分别为1Ω，2Ω．若在区域1Ω内任取一点(),x y P ，则点P 落在区域2Ω中的概率为（） A ．24ππ- B ．324ππ+ C ．24ππ+ D ．324ππ-10.如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在A 点测得公路北侧山顶D 的仰角为30o，汽车行驶300m 后到达B 点测得山顶D 恰好在正北方，且仰角为45o，则山的高度CD 为（） A ．1502B ．1503C ．3002D ．300311.已知圆:M (22536x y ++=，定点)5,0N，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP上，且满足2Q NP =N u u u r u u u r ，GQ 0⋅NP =u u u r u u u r，则点G 的轨迹方程是（）A ．22194x y += B ．2213631x y += C ．22194x y -= D ．2213631x y -= 12.已知函数()221ln f x x x a x =-++有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，则（）A ．()212ln 24f x +<-B ．()212ln 24f x -<C ．()212ln 24f x +>D ．()212ln 24f x ->二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.数列{}n a 中，12a =，23a =，12n n n a a a --=（n *∈N ，3n ≥），则2011a = ． 14.已知x ，y 均为正实数，且32x y +=，则2x yxy+的最小值为． 15.已知点(),x y P 满足72x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，过点P 的直线与圆2250x y +=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为．16.函数()()()()0340x a x f x a x a x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦对定义域中的任意两个不相等的1x ，2x 都成立，则a 的取值范围是．2017高三文科数学小题狂做（5）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合U ＝R ，A ＝{x ｜（x －2）（x ＋1）≤0}，B ＝{x ｜0≤x ＜3}，则C U（AUB ）＝A ．（－1，3]B ．（－∞，－1]U [3，＋∞）C ．[－1，3]D ．（－∞，－1）U [3，＋∞）2．欧拉（Leonhard Euler ，国籍瑞士）是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他发明的公式ixe ＝cosx ＋i sinx（i 为虚数单位），将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位．被誉为“数学中的天桥”．根据此公式可知，4ie -表示的复数在复平面中位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知向量a ＝（1，－2），b ＝（k ，4），且a ∥b ，则实数k 的值为A ．－2B ． 2C ． 8D ．－8 4．命题“x ∀＞0且x ∈R ，2x ＞2x ”的否定为A ．0x ∃≥0且0x ∈R ，02x ＞20xB ．x ∀≥0且x ∈R ，2x ≤2x C ．0x ∃≥0且0x ∈R ，02x≤20x D ．0x ∃＜0且0x ∈R ，02x ≤20x5．一只蝴蝶（体积忽略不计）在一个长、宽、高分别为5，4，3的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”．则蝴蝶“安全飞行”的概率为 A ．110 B ．25 C ．45πD ．4545π－6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．3 B 3 C 433 D 5337．已知x ，y 均为正实数，且12x ＋＋12y ＋＝16，则x ＋y 的最小值为 A ． 24 B ．32 C ．20 D ．288．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 的值分别是21，28，则输出的值为 A ．14 B ．7C ．1D ．0 9．若函数y ＝sin （2x ＋ϕ）（0＜ϕ＜2π）的图象的对称中心在区间（6π，3π）内有且只有一个，则ϕ的值可以是 A ．12π B ．6π C ．3πD ．512π10．已知函数f（x）＝132221xxx＋＋＋＋的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于A．0 B．2 C．4 D．811．已知双曲线C：22221x ya b－＝（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若｜PF1｜＝2｜PF2｜，且∠MF2N＝120°，则双曲线的离心率为A．23B2C3D712．已知函数f（x）＝lna xx（a∈R）的图象与直线x－2y＝0相切，当函数g（x）＝f（f（x））－t恰有一个零点时，实数t的取值范围为A．{0} B．{0，1} C．[0，1）D．（－∞，0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知x ，y满足2,220,y xx y⎧⎪⎨⎪⎩≤－＋＋＋≥则z＝x－2y的最大值为____________．14．已知圆C经过原点O和点A（4，2），圆心C在直线x＋2y－1＝0上，则圆心到弦OA的距离为______________．15．已知侧棱与底面垂直的三棱柱ABC－A1B1C1满足AA1＝2AB＝2BC＝4，∠ABC＝90°，则其外接球的表面积为___________．16．如图，平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC7，cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，则BC的长为__________．2017高三文科数学小题狂做（6）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{x ｜2x －2x ≥0}，B ＝{y ｜y ＝2x ，x ∈A}，则A ∩B ＝A ．[0，1）B ．[1，2]C ．（2，4]D ．[2，4] 2．设复数z 满足34z i ＋＝34ii1－－（其中i 为虚数单位），则z ＝ A ．75i －－ B ．75i －＋ C ．75i ＋ D ．75i － 3．设命题p ：函数f （x ）＝ln 11x x e e －＋＋为奇函数；命题q ：0x ∃∈（0，2），20x ＞02x，则下列命题为假命题的是A ．p ∨ qB ．p ∧（q ⌝）C ．（p ⌝）∧qD ．（p ⌝）∨（q ⌝） 4．若将函数f （x ）＝sin （2x ＋6π）的图象向左平移4π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为A ．（6π，－1）B ．（3π，－1）C ．（6π，0）D ．（3π，0） 5．已知变量x ，y 满足40,2,20,x y x x y ⎧⎪⎨⎪⎩－2＋≥≤＋－≥则目标函数z ＝2x y x ＋＋3＋的最大值为A ．52 B ．53 C ．54D ．16．已知O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，双曲线C 上一点P 满足1PF ⊥2PF ，且｜1PF ｜｜2PF ｜＝22a ，则双曲线C 的离心率为A 2B 3C ．2D ．57．执行如图所示的程序框图，则输出的s ＝A ．－1 008B ．－1 007C ． 1010D ．1 0118．已知变量x 与y 的取值如下表所示，且2．5＜n ＜m ＜6．5，则由该数据算得的线性回归方程可能是x 2 3 4 5 y6.5mn2.5A ．ˆy＝0．8x ＋2．3 B ．ˆy ＝2x ＋0．4 C ．ˆy＝－1．5x ＋8 D ．ˆy ＝－1．6x ＋109．已知圆C 1:22x y ＋＋4x －4y －3＝0，动点P 在圆C 2：22x y ＋－4x －12＝0上，则△PC 1C 2面积的最大值为 A ．25 B ．45 C ．85 D ．20 10．北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即下底）由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为S ＝6n [（2b ＋d ）a ＋（b ＋2d ）c]＋6n（c －a ）．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为A ．83B ．84C ．85D ．8611．已知当x ＝θ时，函数f （x ）＝2sinx －cosx 取得最大值，则sin2θ＝ A ．45 B ．35 C ．－35 D ．－4512．已知函数f （x ）＝log (2),1,51,3a x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－≤－－≤≤7（a ＞0，且a ≠1）的图象上关于直线x ＝1对称的点有且仅有一对，则实数a 的取值范围是A ．[17，15]∪{3} B ． [3，5]∪{17} C ．[17，13）∪{5} D ．[3，7）∪{15}第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知向量a ＝（3，1），b ＝（1，3），c ＝（k ，－2），若（a －c ）⊥（a －b ），则k ＝___________．14．已知函数f （x ）＝21,0,,0,x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－－≤＞若f[f （0x ）]＝1，则0x ＝__________.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2acosC －a ＝c －2ccosC ，若c ＝3，则a ＋b 的最大值为___________．16．已知在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝4，AA 1＝a ．棱BB 1的中点为E ，棱B 1C 1的中点为F ，平面AEF 与平面AA 1C 1C 的交线与AA 1所成角的正切值为23，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的半径为______________．2017高三文科数学小题狂做（7）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A ＝{（x ，y ）｜22x y ＋＝16，x ∈Z ，y ∈Z}，则集合A 的子集个数为 A ．8 B ．16 C ．32 D ．15 2．已知命题P ：x ∀∈R ，13x 2＋＞0，命题q ：“0＜x ＜2”是“ 2log x ＜1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A ．p ⌝B ．p ∧qC ．p ∧（q ⌝）D ．（p ⌝）∨q 3．下列函数既是奇函数又在（－1，1）上是减函数的是 A ．y ＝tanx B ．y ＝x－1C ．y ＝lnx x 2－2＋ D ．y ＝13（3x －3x－） 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ，c 是方程2x －5x ＋6＝0的两根，且A ＝3π，则a ＝A ．2B ．3C ．7D ．7 5．已知函数f （x ）＝320,x x x x ,⎧⎨⎩log ＞≤0，若f （－1）＝2f （a ），则a 的值等于A ．3或－22 B ．3 C ．－22 D ．±226．已知不等式2x ＋m ＋81x －＞0对一切x ∈（1，＋∞）恒成立，则实数m 的取值范围是A ．m ＜－8B ．m ＜－10C ．m ＞－8D ．m ＞－107．已知函数f （x ）＝22x ＋ax －b （a ，b ∈R ）的两个零点分别在区间（12，1）和（1，2）内，则z ＝a ＋b 的最大值为A ．0B ．－4C ．－143D ．－68．在等比数列{n a }中，a 1＋n a ＝82，a 3·2n a －＝8l ，且数列{n a }的前n 项和n S ＝121，则此数列的项数n 等于 A ．5 B ．7 C ．6 D ．49．在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，∠BAC ＝60°，且BD uuu r ＝2DC uuu r ，则AD uuu r ·BC uu ur ＝A ．1B ．－1C ．7D ．710．函数f （x ）＝4x －3 tanx 在（－2π，2π）上的图象大致为11．如图是某几何体的三视图，当xy 最大时，该几何体的体积为____________A ．21515πB ．1＋12πC 1515πD ．115π12．如果对定义在R 上的函数f （x ），对任意m ≠n ，均有mf （m ）＋nf （n ）－mf （n ）－nf （m ）＞0成立，则称函数f （x ）为“M 函数”．给出下列函数：①f （x ）＝ln 2x －5；②f （x ）＝－3x ＋4x ＋3；③f （x ）＝22－2（sinx －cosx ）；④f （x ）＝ln 00,x x x ⎧,⎪⎨⎪⎩≠＝0．其中函数是“M 函数”的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知20172m ii ＋＝n ＋i （m ，n ∈R ），其中i 为虚数单位，则n －m ＝__________14．已知非零向量a r ，b r ，｜a r ｜＝2，a r ⊥（a r ＋2b r ），则向量b r 在向量a r方向上的投影为__________15．已知数列{n a }中，a 1＝2，n 1n a ＋＝2（n ＋1）n a ，则a 5＝__________16．若半径为2的球O 内切于一个正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，则该三棱柱的体积为________2017高三文科数学小题狂做（8）一、选择题：本大题共12小题。

高考数学小题专项训练(共40套)

3；
（ 30， 40 ] ， 4；（40， 50 ] ， 5；（ 50， 60 ] ， 4；（ 60， 70 ] ， 2. 则样本在区间（10，
50 ] 上
的频率为
（）
A ． 0.5
8．在抛物线 y 2
（ m, n ），
B ．0.7
C． 0.25
D． 0.05
4x 上有点 M ，它到直线 y x 的距离为 4 2 ，如果点 M 的坐标为
A.S T
B.T S
C.S=T
D.S ≠T
8．有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有
A ． 36 种
B． 48 种
C． 72 种
D． 96 种
（）
9．已知直线 l 、m，平面 α、 β，且 l ⊥ α,m β.给出四个命题：（ 1）若 α∥ β,则 l⊥ m;
f 2 (1) f ( 2) f 2 (2) f ( 4) f 2 (3) f (6) f 2 ( 4) f (8)
=
．
f (1)
f ( 3)
f (5)
f (7)
答案：一．
1 D; 2 A ; 3 B; 4 A ; 5 C; 6 C; 7 C; 8 C ; 9 D ; 10 B; 11 A ; 12 A . 二．
A
F
1．如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、 C、 D、 E、F、 O 中的任意一点为始点，与始点不 B
同的另一点为终点的所有向量中，除向量 OA 外，与向量
O
E
OA 共线的向量共有（
）
A ．2 个
B． 3 个
C．6 个

高考数学小题专项训练及答案解析

小题专项训练小题专项训练1 集合与简易逻辑一、选择题1．(2019年河南模拟)已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{x |x <2－x }，则A ∪B ＝( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <2}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >－2}【答案】B【解析】由x 2<4得－2<x <2，则A ＝{x |－2<x <2}．由x <2－x 得x <1，则B ＝{x |x <1}．所以A ∪B ＝{x |x <2}．故选B ．2．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12【答案】D【解析】命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12”即可． 3．若集合A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】由题意，B 中的元素有：2×3＝6,2×4＝8,3×4＝12，所以B ＝{6,8,12}．故选A ．4．(2019年浙江模拟)设a ，b 是两个平面向量，则“a ＝b ”是“|a|＝|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】相等向量的模一定相等，模相等的向量不一定相等(因为方向可能不同)，所以“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要条件．故选A．5．(2018年山东济宁模拟)设全集U＝A∪B，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，集合A，B分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A －B的是()A BC D【答案】C【解析】A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，即A－B表示集合A中的元素去掉集合A∩B中的元素．故选C．6．下列命题正确的是()A．“x<1”是“x2－3x＋2>0”的必要不充分条件B．若给定命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则¬p：∀x∈R，x2＋x －1≥0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2－3x＋2＝0，则x≠2”【答案】B【解析】由x<1，可得x2－3x＋2>0，而由x2－3x＋2>0，可得x<1或x>2，所以“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，A错误；易知B正确；C中还有可能p与q一真一假，C错误；D中条件“若x2－3x＋2＝0”也应该否定．故选B．7．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)D．(－∞，－1]【答案】D【解析】A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>a}．因为A⊆B，所以a≤－1.8．(2019年四川成都模拟)命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中是真命题的是() A．p∧q B．(¬p)∧qC．(¬p)∨q D．p∨(¬q)【答案】D【解析】x∈R时，x2＋1＞0恒成立，故p是真命题．对任意θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1，不可能等于1.5，故q是假命题．所以p∧q，(¬p)∧q，(¬p)∨q都是假命题，p∨(¬q)是真命题．故选D．9．(2019年浙江模拟)设a>0，b>0，则“lg(ab)>0”是“lg(a＋b)>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当lg(ab)>0时，ab>1，结合a>0，b>0可知a，b中至少有一个大于1，则a＋b>1，可以推出lg(a＋b)>0.当lg(a＋b)>0时，a＋b>1，则ab>1不一定成立，如a＝b＝23时，a＋b>1但ab<1，所以推不出lg(ab)>0.综上所述，“lg(ab)>0”是“lg(a＋b)>0”的充分不必要条件．10．(2018年山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝kx－1，则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若f(x)≥g(x)，则x2－(2＋k)x＋4≥0，所以f(x)≥g(x)在R上恒成立⇔(2＋k)2－16≤0⇔－6≤k≤2；而|k|≤1⇔－1≤k≤1.所以“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的充分不必要条件．故选A．11．设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j ＝A k，k为i＋j除以4的余数(i，j＝0,1,2,3)，则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】因为x∈S＝{A0，A1，A2，A3}，故x的取值有四种情况．若x＝A0，根据定义得(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2，不符合题意，同理可以验证x＝A1，x＝A2，x＝A3三种情况，其中x＝A1，x＝A3符合题意．故选C．12．在下列结论中，正确的是()①命题p：“∃x0∈R，x20－2≥0”的否定形式为¬p：“∀x∈R，x2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”．A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确；∵OA→·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →，同理可知OA→⊥BC →，OC →⊥BA →，故点O 是△ABC 的垂心，②正确；∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，∴当M >N 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23M <⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ，当⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N 时，M <N ，∴“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N”的既不充分也不必要条件，③错误；由逆否命题的写法可知④正确．综上，正确的结论是①②④.二、填空题13．已知A ＝{y |y ＝10x －1}，B ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则(∁R A )∩B ＝________.【答案】(－2，－1]【解析】∵A ＝{y |y ＝10x －1}＝{y |y >－1}， ∴∁R A ＝{y |y ≤－1}．又B ＝{x |－2<x <2}， ∴(∁R A )∩B ＝(－2，－1]．14．(2018年广西防城港期末)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________．【答案】23【解析】当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3.15．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]【解析】由C ∩A ＝C ，可得C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，解得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32<a ≤－1.由①②得a ≤－1.16．设命题p ：2x －1x －1<0；命题q ：关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x＋a (a ＋1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12【解析】由2x －1x －1<0，得(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.由x 2－(2a＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1.由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎨⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12. 小题专项训练2 函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)【答案】C【解析】由题意知x ≥0且x ≠1.故选C ．2．(2019年福建厦门模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (log 26)的值为( )A ．3B ．6C ．8D ．12【答案】D【解析】因为log 24<log 26<log 28，即2<log 26<3，所以f (log 26)＝f (log 26＋1)＝2log 26＋1＝2log 212＝12.故选D ．3．(2019年北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1【答案】A【解析】设太阳的星等是m 1＝－26.7，天狼星的星等是m 2＝－1.45，由题意可得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，则E 1E 2＝1010.1.故选A ．4．(2019年上海)已知ω∈R ，函数f (x )＝(x －6)2·sin ωx ，存在常数a ∈R ，使得f (x ＋a )为偶函数，则ω可能的值为( )A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π5【答案】C【解析】若f (x ＋a )为偶函数，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又y ＝(x －6)2关于x ＝6对称，所以a ＝6且y ＝sin ωx 也关于x ＝6对称．所以6ω＝π2＋k π，k ∈Z .当k ＝1时，得ω＝π4.故选C ．5．(2019年浙江)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a ＞0且a ≠1)的图象可能是( )A B C D【答案】D【解析】当0＜a ＜1时，y ＝1a x 是增函数，图象恒过(0,1)，y ＝log a⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是减函数，图象恒过⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除A ，B ；当a ＞1时，y ＝1a x 是减函数，图象恒过(0,1)，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是增函数，图象恒过⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除C ．故选D ．6．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，g (x )，x ＜0，是奇函数，则f (g (－2))的值为( )A ．1B ．－1C ．52 D ．－25【答案】A【解析】因为f (x )是奇函数，所以当x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3.所以g (－2)＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝1.7．函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72【答案】B【解析】∵f (x ＋2)是偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即f (x )的图象关于x ＝2对称．又∵y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，∴y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．∵f (1)＝f (3)，72>3>52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点，设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )ABC D【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，当P 移动到体对角线BD 1的中点O 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，排除A ，C ；当P 在BO 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，排除D ．故选B ．9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【答案】C【解析】∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；若0<a <1，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋ax －2a 在(1，＋∞)上一定是增函数．10．(2018年湖南名校高三联考)已知函数f (x )＝(e x －e －x )x 2，若实数m 满足f (log 3m )－f (log 13m )≤2f (1)，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 C ．(0,9] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(3，＋∞) 【答案】A【解析】由题意得函数的定义域为R ，∵f (－x )＝(e －x －e x )(－x )2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又当x ≥0时，f ′(x )＝(e x ＋e －x )x 2＋(e x －e－x)·2x ≥0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则在R 上奇函数f (x )为增函数，∴f (log 3m )－f (log 13m )＝f (log 3m )－f (－log 3m )＝2f (log 3m )≤2f (1)，即f (log 3m )≤f (1)，∴log 3m ≤1，解得0<m ≤3.故选A ．11．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，若存在x 1，x 2∈D ，对任意x ∈D ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】作出f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，知f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.12．(2019年新课标Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83 【答案】B【解析】因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －1)．因为x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0，所以x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x－1)＝2(x －1)(x －2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，所以x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)∈[－1,0]．f (x )的大致图象如图所示．由4(x －2)(x －3)＝－89，解得x ＝73或x ＝83.若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则由图象可知m ≤73.二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(0,4]【解析】f (x )＝x ＋a x ，则f ′(x )＝1－ax 2.由题意知在(2，＋∞)上f ′(x )≥0，所以a ≤x 2，则0＜a ≤4.14．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．【答案】12【解析】∵f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72.又当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫72－32＝|log 42|＝12.15．(2018年新课标Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.【答案】－2【解析】f (a )＋f (－a )＝ln(1＋a 2－a )＋ln(1＋a 2＋a )＋2＝2，则f (－a )＝2－f (a )＝2－4＝－2.16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题的序号是________．【答案】②③④【解析】对于①，当x1＝2，x2＝－2时，f(x1)＝4＝f(x2)，①错误；对于②，f(x)＝2x为单调递增函数，②正确；③④显然正确．故真命题的是②③④.小题专项训练3不等式一、选择题1．(2019年山东临沂模拟)已知集合A＝{x|x2<x＋2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)【答案】C【解析】解不等式x2<x＋2，得－1<x<2，则A＝{x|x2<x＋2}＝{x|－1<x<2}．又B＝{x|x<a}，要使A⊆B，则a≥2.故选C．2．(2018年山西运城模拟)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A．ac>bd B．ac<bdC．ad<bc D．ad>bc【答案】B3．(2019年北京)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为()A．－7B．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由|x |≤1－y ，可得y －1≤x ≤1－y ，即x －y ＋1≥0且x ＋y －1≤0.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1表示的平面区域，解相应的方程组可得A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)．令z ＝3x ＋y ，化为y ＝－3x ＋z ，由图可知，当直线y ＝－3x ＋z 过点A (2，－1)时，z 有最大值为3×2－1＝5.故选C ．4．(2019年湖南模拟)周长为20的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π【答案】B【解析】设矩形的两邻边长分别为x ，y 且y 为圆柱的高，则x＋y ＝10，圆柱的侧面积S ＝2πxy ≤2π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝50π，当x ＝y ＝5时等号成立，所以该圆柱侧面积的最大值为50π.故选B ．5．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 的值为( )A ．52 B ．72 C ．152 D ．172【答案】A【解析】由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0.因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a .由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.6．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝yx ＋1的最小值为( )A ．1B ．34 C ．13 D ．12【答案】D【解析】作出实数x ，y 满足条件的平面区域如图．z ＝yx ＋1的几何意义是点P (x ，y )与点D (－1,0)连线的斜率．易求得A (1,1)，由图可知当P 经过A 时，z 取得最小值11＋1＝12.7．已知a >0，函数f (x )＝ax 2－(a 2＋1)x ＋a ，若f (x )<0在x ∈(1,2)时恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)【答案】B【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，解得0<a ≤12或a ≥2.8．已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A ．1B ．2C ．94 D ．92【答案】C【解析】令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号，所以4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94.9．(2018年甘肃兰州诊断)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．92B ．25C ．322 D ．5【答案】A【解析】约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x ＋y ＝3的距离．∵原点到直线x ＋y ＝3的距离为32，∴x 2＋y 2的最小值为92.10．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2千克、B 原料4千克，生产乙产品每件需用A 原料3千克、B 原料2千克．A 原料每日供应量限额为60千克，B 原料每日供应量限额为80千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的最大利润为( )A ．500元B ．550元C ．600元D ．650元【答案】D【解析】设每日生产甲、乙两种产品分别为x ，y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ∈N ，y ∈N .设每日获得的利润z ＝30x ＋20y ，画出不等式组所表示的平面区域如图所示．根据目标函数z ＝30x ＋20y 的几何意义知，当目标函数对应的直线20y ＋30x －z ＝0，过B 点时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝60，4x ＋2y ＝80，解得B (15,10)，所以z max ＝30×15＋20×10＝650.故选D ．11．(2018年河北邢台检测)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A ．12B ．32 C ．34 D ．34【答案】C【解析】∵圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，∴4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122×(22a )×1＋2b 2≤122×12×[](22a )2＋(1＋2b 2)2＝142 (8a 2＋1＋2b 2)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34.12．(2018年江苏联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，174 【答案】D【解析】由x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.由x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，则a ≤x ＋y ＋1x ＋y.易得当x ＋y ＝4时，x ＋y＋1x ＋y取得最小值174，所以a ≤174.故选D ．二、填空题13．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1.14．(2018年广东惠州模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2.15．(2018年江苏扬州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．【答案】(－1,0)【解析】因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ≠0)，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以f (x )必有两个不同的零点．所以f (－2)f (－1)＜0，即(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜ a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.16．(2019年天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为________．【答案】43【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥22xy ·6xy ＝43，当且仅当2xy ＝6xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝32时等号成立，所以(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为4 3.小题专项训练4 函数与导数一、选择题1．(2019年天津模拟)下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝sin x B ．(log 2x )′＝xln 2 C ．(2x )′＝12xD ．(3x )′＝3x log 3e【答案】C【解析】(cos x )′＝－sin x ，A 错误；(log 2x )′＝1x ln 2，B 错误；(2x )′＝2(x )′＝2×12·1x ＝12x ，C 正确；(3x )′＝3x ln 3，D 错误．故选C ．2．(2018年江西模拟)已知函数f (x )＝ln(ax －1)的导函数是f ′(x )，且f ′(2)＝2，则实数a 的值为( )A ．12 B ．1 C ．34 D ．23【答案】D【解析】因为f (x )＝ln(ax －1)，所以f ′(x )＝aax －1.所以f ′(2)＝a 2a －1＝2，解得a ＝23.3．(2019年福建宁德模拟)函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞【答案】B【解析】由f (x )＝3＋x ln x ，得定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝ln x ＋1，令ln x ＋1<0，解得0<x <1e .故选B ．4．已知函数y ＝f (x )满足f (1)＝2，f ′(1)＝－1，则曲线g (x )＝e x f (x )在x ＝1处的切线斜率是( )A ．－eB ．eC ．2eD ．3e【答案】B【解析】∵g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )，∴g ′(1)＝e f (1)＋e f ′(1)＝e.5．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a －b 的值为( )A ．21B ．－21C ．27D ．－27【答案】A【解析】因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24.所以a －b ＝－3＋24＝21. 6．(2019年内蒙古模拟)函数f (x )＝x sin x 的图象在点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2处的切线的倾斜角为( )A ．π6B ．π4 C ．3π4 D ．5π6【答案】C【解析】由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝sin 3π2＋3π2cos 3π2＝－1.由导数的几何意义可得切线的斜率k ＝－1，则切线的倾斜角为3π4.故选C ．7．f (x )是一次函数，过点(2,3)，且⎠⎛01f (x )d x ＝0，则函数f (x )的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．1B ．12 C ．14 D ．18【答案】C【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得2k ＋b ＝3，①⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪10＝0，即12k ＋b ＝0，②联立①②，解得k ＝2，b ＝－1，所以f (x )＝2x －1.直线y ＝f (x )与坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0与(0，－1)，所以所求的面积为12×12×1＝14.8．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为x (x ∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为( )A ．3.1%B ．3.2%C ．3.4%D ．3.5%【答案】B【解析】依题意知存款额是kx 2，银行应支付的存款利息是kx 3，银行应获得的贷款利息是0.048kx 2，所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，故y ′＝0.096kx －3kx 2.令y ′＝0，解得x ＝0.032或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0.∴当x ＝0.032时，y 取得极大值也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．9．(2018年宁夏银川二模)设f (x )是定义在非零实数集上的函数，f ′(x )为其导函数，且x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，记a ＝f (20.2)20.2，b ＝f (0.22)0.22，c ＝f (log 25)log 25，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又log 25＞log 24＝2,1＜20.2＜2,0.22＝0.04，∴log 25＞20.2＞0.22，∴g (log 25)＜g (20.2)＜g (0.22)，∴c ＜a ＜b .10．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12D ．(－∞，－2)【答案】D【解析】∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3.由f (x )的图象，可得f ′(x )在(－∞，－2)上大于0且单调递减，故y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．故选D ．11．(2019年浙江)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＜0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0，若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a ＜－1，b ＜0B ．a ＜－1，b ＞0C ．a ＞－1，b ＜0D ．a ＞－1，b ＞0【答案】C【解析】当x ＜0时，由y ＝f (x )－ax －b ＝(1－a )x －b ＝0，得x ＝b 1－a，y ＝f (x )－ax －b 有一个零点；当x ≥0时，y ＝f (x )－ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax －ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2－b ，y ′＝x 2－(a ＋1)x ，当a ＋1≤0，即a ≤－1时，y ′≥0，y ＝f (x )－ax －b 在[0，＋∞)上递增，y ＝f (x )－ax －b 最多有一个零点，不合题意；当a ＋1＞0，即a ＞－1时，令y ′＝0，得x ＝a ＋1，易知函数在(a ＋1，＋∞)上递增，在(0，a ＋1)上递减，函数最多有2个零点．函数恰有3个零点，则y ＝f (x )－ax －b 在(－∞，0)上有一个零点，在(0，＋∞)上有2个零点．所以b1－a ＜0且⎩⎨⎧－b ＞0，13(a ＋1)3－12(a ＋1)(a ＋1)2－b ＜0，即⎩⎨⎧b <0，－16(a ＋1)3<b ，得b <0，－1<a <1.故选C ．12．(2019年天津)已知a ∈R .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]【答案】C【解析】当x ＝1时，f (1)＝1－2a ＋2a ＝1＞0恒成立；当x ＜1时，f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，等价于2a ≥x2x －1恒成立．令g (x )＝x 2x －1＝－x 21－x ＝－(1－x －1)21－x ＝－(1－x )2－2(1－x )＋11－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－x ＋11－x －2≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1－x )·11－x －2＝0，∴2a ≥g (x )max ＝0，∴a ≥0.当x ＞1时，f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，等价于a ≤xln x 恒成立．令h (x )＝xln x ，则h ′(x )＝ln x －1(ln x )2.当x ＞e 时，h ′(x )＞0，h (x )递增；当1＜x ＜e 时，h ′(x )＜0，h (x )递减．∴x ＝e 时，h (x )取得最小值h (e)＝e.∴a ≤h (x )min ＝e.综上，a 的取值范围是[0，e]．二、填空题13．(2019年浙江台州模拟)已知函数f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋2x ＋5，则f ′(1)＝__________，f ′(2)＝__________.【答案】1 2【解析】显然f ′(1)为常数，则f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2，可得f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2，解得f ′(1)＝1.所以f ′(x )＝x 2－2x ＋2，则f ′(2)＝2.14．(2018年云南昆明模拟)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.【答案】4【解析】由题意得f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a .∵f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，∴a ＝2.又f (1)＝b ，∴2×1－b ＝0，解得b ＝2.故a ＋b ＝4.15．已知函数f (x )＝e x －ax (a ∈R )，若函数f (x )在区间[2,4]上是单调增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】[－e 2，＋∞)【解析】∵f (x )在区间[2,4]上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0在区间[2,4]上恒成立，即(x －1)e x ＋a ≥0在区间[2,4]上恒成立．记g (x )＝(x －1)e x ＋a ，则g ′(x )＝x e x .∵x ∈[2,4]，∴g ′(x )＞0，故g (x )在[2,4]递增，∴g (x )min ＝g (2)＝e 2＋a ≥0，解得a ≥－e 2.16．(2018年东北三校联考)已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，给出以下几个命题：①0<x 0<1e ；②x 0>1e ；③f (x 0)＋x 0<0； ④f (x 0)＋x 0>0.其中正确的命题是________．(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③【解析】由已知得f ′(x )＝ln x ＋x ＋1(x >0)，显然的f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e >0，x →0时，f ′(x )<0.x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，则0<x 0<1e ，①正确，②错误；∵ln x 0＋x 0＋1＝0，∴f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋1)－12x 20＝－12x 20<0，③正确，④错误．综上，①③正确．小题专项训练5 三角函数与三角恒等变换一、选择题1．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－32【答案】D【解析】因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在单位圆上，所以sin α＝cos 5π6＝－32.2．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45【答案】B【解析】因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35.3．函数y ＝4sin x cos x －1的最小正周期T 和最大值M 分别为( )A ．π，1B ．2π，1C ．π，2D ．2π，2【答案】A【解析】y ＝4sin x cos x －1＝2sin 2x －1，故其最小正周期T ＝2π2＝π，最大值M ＝2－1＝1.4．(2019年河南模拟)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6，则tan 2α＝( )A ．－43B ．－32 C ．43 D ．32【答案】A【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，可得12sin α－32cos α＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α，则2sin α＝－3cos α，所以tan α＝－32.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－4 3.故选A ．5．(2018年四川泸州模拟)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称【答案】A【解析】∵y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝0.∴y ＝cos(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．故选A ．6．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．－12 B ．12 C ．－2 D ．2【答案】C【解析】∵sin β＝35，且π2<β<π，∴cos β＝－45，tan β＝－34.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，∴tan α＝－12，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.7．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【答案】D【解析】f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π.故ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.8．(2018年山西太原模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3＋φ的一个对称中心是(2,0)，且f (1)＞f (3)，要得到函数f (x )的图象，可将函数y ＝2cos πx3的图象( )A ．向左平移12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移12个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度【答案】C【解析】∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3＋φ的一个对称中心是(2,0)，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故可取φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，满足f (1)＞f (3)．故选C ．9．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A ．74 B ．34 C ．35 D ．45【答案】B【解析】由已知得(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋378，于是sin θ＋cos θ＝3＋74.又(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ＝1－378，所以sin θ－cos θ＝3－74.可得sin θ＝34.10．已知f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋sin ωx )(ω＞0)的图象在x ∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，5π8B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π8，5π8C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤3π8，5π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，5π8【答案】B【解析】f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋2sin 2 ωx ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋1.设g (x )＝2ωx －π4，g (0)＝－π4，g (1)＝2ω－π4，f (x )的图象在x ∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，∴π2≤2ω－π4<π，解得3π8≤ω<5π8.故选B ．11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB→·BC →＝－|AB →|2，则ω等于( )A ．π2B ．π3 C ．π4 D ．π6 【答案】A【解析】由三角函数的对称性知AB→·BC →＝AB →·2BD →＝2AB →·BD →＝2|AB →|2cos(π－∠ABD )＝－|AB →|2，所以cos ∠ABD ＝12，即∠ABD ＝π3.|AD |＝23tan π6＝2，所以f (x )的最小正周期T ＝4.所以ω＝2π4＝π2.故选A ．12．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0.若将函数f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋62＝10，得|x 1－x 2|＝8.∴T ＝2|x 1－x 2|＝16.∴2πω＝16，ω＝π8，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.由f (2)＝0，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0.又－π2≤φ≤π2，∴φ＝－π4，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4.将f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度，得对应的函数g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意得g (x )的图象关于y 轴对称，∴π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故正数t 的最小值为2.二、填空题13．(2018年山东日照二模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________．【答案】116【解析】cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝116.14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【答案】±2【解析】由题意可得f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.15．(2019年广东中山模拟)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 【解析】y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 16．(2019年山西运城模拟)给出下列四个语句： ①函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4上为增函数；②函数y ＝cos 2x 的最小正周期为2π；③函数y ＝tan x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称；④若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4，则x 1－x 2＝k π，其中k ∈Z .以上四个语句中正确的有________(填写正确语句前面的序号)．【答案】①③【解析】x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故①正确．y ＝cos 2x＝cos 2x ＋12的最小正周期为π，故②不正确．由正切函数y ＝tan x 的图象可得③正确．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4＝2k π或⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，即x 1－x 2＝k π或x 1＋x 2＝k π＋3π4(k ∈Z )，故④不正确．综上所述，正确的有①③.小题专项训练6 解三角形一、选择题1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b,2a sin B ＝b ，则A 等于( )A ．π3B ．π4 C ．π6 D ．π12【答案】C【解析】由2a sin B ＝b 及正弦定理，得2sin A sin B ＝sin B ，故sin A ＝12.又△ABC 为锐角三角形，则A ＝π6.2．(2019年四川模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则角B 的值为( )A ．π6B ．π3 C ．π6或5π6 D ．π3或2π3 【答案】C【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 结合已知可得cos B ＝12tan B ，则cos B ＝cos B 2sin B .由tan B 有意义，可知B ≠π2，则cos B ≠0，所以sin B ＝12，则B ＝π6或5π6.故选C ．3．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522 m【答案】A【解析】由正弦定理得AB sin ∠ACB＝ACsin B ，所以AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50 sin 45°sin 30°＝502(m)．4．(2019年吉林四平模拟)在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若BD ＝3，CD ＝4，AD ＝5，AB ＝7，则BC ＝( )A ．22B ．23C ．37D ．13【答案】D【解析】如图，∠ADB ＋∠CDB ＝180°，则cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，即32＋52－722×3×5＝－32＋42－BC 22×3×4，解得BC ＝13.故选D ．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A ．74B ．34C ．73 D ．13【答案】A【解析】由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，可得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，得b ＝2a .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 6．(2018年江西南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．14B ．12 C ．1 D ．2【答案】B【解析】由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)．又bc ＝2，得S △ABC ＝12bc sin A ＝12.7．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b ，则A ＝( )A ．π6B ．π3 C ．2π3 D ．π3或2π3【答案】B 【解析】由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b 及结合正弦定理，得b －a b －c ＝ca ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由A 为三角形的内角，知A ＝π3.8．(2018年河南开封一模)已知锐角三角形ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a (a ＋c )，则sin 2Asin (B －A )的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【答案】C【解析】由b 2＝a (a ＋c )及余弦定理，得c －a ＝2a cos B ．由正弦定理，得sin C －sin A ＝2sin A cos B ．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋B )－sin A ＝2sin A cos B ，∴sin(B －A )＝sin A ．∵△ABC 是锐角三角形，∴B －A ＝A ，即B ＝2A .∴π6＜A ＜π4，则sin 2A sin (B －A )＝sin A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22.9．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均有可能【答案】A【解析】由题意可知c 边最大，即c >a ，c >b ，则a 2c ＋b 2c >a 3＋b 3＝c 3，则a 2＋b 2－c 2>0.由余弦定理得cos C >0，∴0<C <π2.∴△ABC为锐角三角形．10．设a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，若tan A tan Btan A ＋tan B ＝1 009tan C ，且a 2＋b 2＝mc 2，则m ＝( )A ．1 008B ．1 009C ．2 018D ．2 019【答案】D【解析】由tan A tan B tan A ＋tan B＝1 009tan C ，得1tan A ＋1tan B ＝11 009×1tan C ，即cos A sin A ＋cos B sin B ＝11 009×cos C sin C ，sin 2C sin A sin B ＝cos C1 009.根据正、余弦定理，得c 2ab ＝11 009×a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2－c 2c 2＝2 018，则a 2＋b 2c 2＝2 019，所以m ＝2 019.11．(2019年贵州模拟)在锐角三角形ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且3b ＝2a sin B ，a ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】B【解析】由3b ＝2a sin B 结合正弦定理得3sin B ＝2sin A sin B ，由锐角三角形知sin B ≠0，所以sin A ＝32，则cos A ＝12.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝b 2＋c 2－bc ，所以16≥2bc －bc ＝bc ，当b ＝c 时等号成立．所以S ＝12bc sin A ≤12×16×32＝43，即△ABC 面积的最大值为4 3.故选B ．12．(2018年辽宁沈阳五校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C ，3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18.设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A ．529 B ．729 C ．928 D ．1128 【答案】C【解析】在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 及正弦定理，得c ＝3a －3b .再根据3b ＝2a ，2≤a 2＋ac ≤18，得a ＝c,1≤a ≤3.由余弦定。

解密高考小题狂练1_学生版

解密高考小题狂练 (三角函数)1. 若函数b x a x a x x f +-+-=||)3(2||31)(23有六个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是2.已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ ,2342013()12342013x x x x g x x =-+-+-- ,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（）A ．8B ．9C ． 10D ． 113.已知角α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是() A ．2 B.2sin 1C ．2sin 1D ．sin 25.求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．6.已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos (－π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为_______7.已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜α＜π.求sin α－cos α的值．8.化简：(1)tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°·tan 35°；(2)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .9.若cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－22，则sin 2α的值为_______________10.已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．11.已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为．12.已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 13.在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 14.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a cos A ＝c cos B ＋b cos C .(1)求cos A 的值；(2)若a ＝1，cos B ＋cos C ＝233，求边c 的值．15.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值．。

2020届高三数学小题狂练一含答案

2020届高三数学小题狂练一姓名得分1．已知2{230}A x x x =--≤，{}B x x a =<，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .2．已知2()|log |f x x =，则=+)23()43(f f .3．若平面向量b 与向量a =(1,2)-的夹角是180o ，且|b |=b = . 4．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题：①若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α； ②若l α⊥，l ∥β，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若αβ⊥，α∥γ，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是 .5．设函数()24xf x x =--，0x 是()f x 的一个正数零点，且0(,1)x a a ∈+，其中a ∈N ，则a = . 6．已知α为第二象限的角，且53sin =α，则=+)4cos(πα . 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，3=a ，1=b ，则=c .8．已知函数()cos f x x x =，则'()3f π=_________. 9．已知等差数列{n a }中，0n a ≠，若m ∈N ，1m >，2110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则m = .10．若关于x 的方程10kx +=有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是 .11．设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且2)1(->f ，mm f 3)2(-=，则m 的取值范围是 . 12．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 .答案1．(3,)+∞2．13．(3,6)-4．②④5．26． 7．28．12 9．1010．1[,0)2- 11．)3,0()1,(⋃--∞ 12．35。