北方工业大学考研信号与系统第五章资料
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社 第五章-4及总结
1 2 jn x n X e d 2 0
(2)熟记性质：注意对比与Ch4的异同 (3)掌握求解方法
(4)熟记常用的傅里叶变换对
a u( n)
n
1 1 ae j
, a 1
na u( n)
n
1 ae
ae j
j 2
( n 1)a n u( n)
2
s
X (k )
x ( n) 总之，连续时间信号对应的频域函数为非周期的；
0
离散时间信号对应的频域函数为周期的； 2 2 t 0 周期信号对应的频域函数为离散的。
5
2
第五章
总结
一 离散傅里叶级数
(Discrete-Fourier-Series,DFS)
二 离散时间傅里叶变换 (Discrete-Time-Fourier-Translate,DTFT) 三 离散系统的频域分析
~ ~ n 1 x X k e N k N
jk
2 n N
周期序列的频谱：离散性、周期性（周期为N） 2. DFS的计算
3. DFS的性质
二 离散时间傅里叶变换DTFT 1. 非周期序列的DTFT
x ne (1)明确物理意义 X n
jn
§5.5 几种傅里叶变换的关系
一 连续时间傅里叶级数(CTFS)
二 连续时间傅里叶变换(CTFT)
三 离散时间傅里叶级数(DTFS) 四 离散时间傅里叶变换(DTFT)
一 连续时间傅里叶级数(CTFS) 周期信号
fT ( t )
k
Fk e jkt , t ( t0 , t0 T )
第5章 北邮信号与系统课后习题解答
1 s2
e s 1
（4）
2
(t)
3e 2 t u (t )
2
s
3
2
（5）L
[
1 2a
3
(sin
at
at
cos at)]
1 2a3
(s2
a
a2
a
d ds
( s2
s
a2
))
1 2a2
( s2
1 a2
s2 a2 (s2 a2)2
)
1 (s2 a2)2
1)]
e(s2) s2
其波形题 5-3 解图所示。
f1 (t ) 1
f2 (t) 1
t
1
t
f3 (t) e2
t
f4 (t)
e-2
1
t
5-4 解：
题 5-3 解图
（a）L [ f1(t)] L [E[u(t t1) u(t t1 )] E[u(t t2) u(t t2 )]]
1[ (s2
s 1)2
]
1 2
t
sin
t
由拉氏变换的积分性质
L
1[
(
s
2
2
1)2
]
t
sin d
sin t
t cos t
，t
0
0
或：
s
1 2
1
sin
t
，
(s2
2 1)2
sin t *sin t
sin t t cos t
东大考研信号与系统第五章 复频3-6
0
e ( t )
t
1
(t )
0
0
LT
1
0
1 1 f (t ) s 1 s
1
0
1 0
0
1
0 1
f (t ) (t ) e (t )
t
1 1 s 1 s
LT
0 1
f 2 (t ) (t ) et (t )
N ( s ) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 F ( s) D( s ) an s n an 1s n 1 ... a1s a0
1、m<n, D(s)=0无重根 假设D(s)=0的根为s1，s2， …，sn，则可以将F(s)表示为：
1 3 7 s2 s3
f ( t ) ( t ) (7e 3 t 3e 2 t ) ( t )
2.)求F（s）分母多项式等于零的根，将F（s）分解成 部分分式之和 3.)求各部分分式的系数 4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
一、部分分式展开法（Haviside展开法）
2、左边信号拉普拉斯变换的收敛区
3、双边信号拉普拉斯变换的收敛区
对右边函数f(t) 若存在0 使 f1(t)=f(t) e-t
lim f ( t )e t 0
> 0
t
f 1 ( t ) f ( t )e t 有界
例1：求信号 f ( t ) e 2 t ( t )
1、单个脉冲信号（有限时间信号），收敛区间为整个s平面， ∈（ - ， + ） Re[s]> - 2、阶跃信号(t)的收敛区间为 >0的整个右半平面，即∈ （0，+） 3、单边指数信号eat(t)的收敛区间为 >a 的右半平面，即 ∈ （ a ， + ） 。
信号与系统王明泉1-8章完整答案
第1章信号与系统的概述1.1 学习要求（1）了解信号与系统的基本概念与定义，会画信号的波形；（2）了解常用基本信号的时域描述方法、特点与性质，并会灵活应用性质；（3）深刻理解信号的时域分解、运算的方法，会求解；（4）深刻理解线性是不变系统的定义与性质，会应用性质求解系统1.2 本章重点（1）基本的连续时间信号的时域描述和时域特性；（2）单位冲激信号的定义、性质与应用；（3）信号的时域运算及其综合应用；（4）线性时不变系统的性质与应用。
1.3 本章的知识结构1.4 本章的内容摘要1.4.1信息、消息和信号的概念所谓信息，是指存在于客观世界的一种事物形象，一般泛指消息、情报、指令、数据和信号等有关周围环境的知识。
消息是指用来表达信息的某种客观对象，如电报中的电文、电话中的声音、电视中的图像和雷达探测的目标距离等等都是消息。
所谓信号，是指消息的表现形式，是带有信息的某种物理量，如电信号、光信号和声信号等等。
信号代表着消息，消息中又含有信息，因此信号可以看作是信息的载体。
1.4.2信号的分类以信号所具有的时间函数特性来加以分类，可以将信号分为确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等等。
1.4.3 常用信号 （1）正弦型信号)cos()(ϕω+=t A t f (1-3)（2）指数信号st Ae t f =)( (1-8)（3）矩形脉冲⎪⎩⎪⎨⎧><=2/02/1)(ττt t t f（4）三角脉冲⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=2/02/21)(τττt t tt f (1-18)（5）抽样信号ttt sin )Sa(=(1-19)性质：（1）)Sa()Sa(t t =-，偶函数 （2）1)Sa(,0==t t ，即1)Sa(lim 0=→t t（3）π,0)Sa(n t t ±==， 3,2,1=n （4）⎰∞=02πd sin t t t ，⎰∞∞-=πd sin t tt（5）0)Sa(lim =±∞→t t该函数的另一表示式是辛格函数，其表示式为ttsi t c ππn )(sin =(1-20) (6) 斜变信号⎩⎨⎧≥<=000)(t t t t f (1-24)（7）单位阶跃信号⎩⎨⎧><=0100)(t t t u 或⎩⎨⎧><=-0100)(000t t t t u如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用)(t G T)2()2()(Tt u T t u t G T --+=下标T 表示其矩形脉冲宽度。
信号与系统 第五章
∞
∞ 0
n n 1 n2 n n 1 2 = {t } = {t} s s s s s n n 1 2 1 n n 1 2 1 1 = {ε (t )} = s s s s s s s s s n! = n +1 σ >0 s n! n σ> 0 即: t n + 1
s
n + s
n
n Kk Kk 1 1 1 } } = ∑ { ∴ f (t ) = { F ( s )} = {∑ s sk k =1 k =1 s sk
= ∑ K k e sk t ε (t )
k =1
n
这里是单边拉氏变换. 这里是单边拉氏变换.
例:求 F (s) =
4s 2 +11s +10 2s + 5s + 3
st
∞
称为复变量
则
F (s) =
∫
∞ ∞
f (t ) e
dt
称上式为信号 f (t ) 双边拉普拉斯变换的定义式 双边拉普拉斯变换的定义式 拉普拉斯变换 反变换: f ( t ) e σ t = 1 ∞ F ( s ) e j ω t d ω 反变换: 2π ∞ 1 ∞ ∴ f (t ) = F ( s ) e σ t e jω t d ω 2π ∫ ∞ 1 ∞ = F ( s ) e st d ω 2π ∫ ∞
∫
∞
0
t
n 1
e
st
n n 1 dt = {t } s
利用上述结果有: 利用上述结果有: 1 n =1 t 2 s 三,冲激函数 Aδ (t )
{ Aδ t )} = (
n=2
t
2 s3
∫
∞
北理工信号与系统第五章作业参考答案
5.3 已知x(t)=sin(4πt)/πt,当对x(t) 抽样时，求能 恢复原信号的最大抽样间隔 解：F{x(t)}=F{4sinc(ωct)}=(4π/ωc)G2ωc(ω), ωc=4π, 可知信号带宽为 Bw=ωc=4π rad/s
则，最大抽样间隔为 Ts=2π/(2Bw)=0.25(s).
e jk 2 / N e jk 2 / N e j 3k 2 / N e j 3k 2 / N ~ jk0 X (e ) Nck N 2 2 j
由0 2 N / 4
e jk0 e jk0 e j 3k0 e j 3k0 ~ jk0 X (e ) N 2 2 j
1 e e
1 n j ( )( N 1) / 2 3 4
e
1 n j ( )( N 1) / 2 3 4
e e
1 n j ( )( N 1) / 2 3 4 1 n j ( ) / 2 3 4
e
1 n j ( ) / 2 3 4
e
1 n j ( ) / 2 3 4
x[n]=x0[n-2] Re{X(ejΩ)}e-j2Ω,
所以 argX(ejΩ)=-2Ω;
(c)
X (e
j
)d X (e j )e jn |n 0 d 2x[0]
4
(d)
X (e )
j
n
x[n]e
jn
n
n ( 1 ) x[n]
P211.
5.2 已知x(t)为一个有限带宽信号，其频带宽度为BHz， 试求x(2t)和x(t/3)的奈奎斯特抽样率和抽样间隔。 解:（1） x(2t)在时域压缩2倍，对应的周期减半，频域 将扩大两倍，带宽成为2BHz，所以 奈奎斯特抽样率fs=4 BHz 奈奎斯特抽样间隔Ts=1/fs=1/(4B）s (2) x(t/3)在时域扩展3倍，对应的周期扩大3倍，频域缩 沟通小3倍，信号带宽成为B/3 Hz，所以 奈奎斯特抽样率fs=2B/3 Hz 奈奎斯特抽样间隔Ts=1/fs=3/(2B）s
北理工信号与系统5
连续时间系统的付里叶分析§5.1引言第一章信号与系统的基本定义和分类第二章连续时间系统的时域分析第三章离散时间系统的时域分析第四章连续时间信号的付里叶分析第五章连续时间系统的付里叶分析，注意一点：它仍然是连续时间，但第四章是对信号，而第五章是对系统。
x(t)，系统的单位冲激响应h(t),求y(t)？第一种方法：y(t)与x(t)的微分方程如:第二种方法：如下图：x(t)y(t)dtdy(t)a dt y(t)d =++22τττd t h x t y t y t h t x )()()()()()(-==*⎰∞∞-*h(t)=y(t)x(t)y(t)h(t)X(jω)H(jω)Y(jω)= X(jω) H(jω)第三种方法：付里叶变换分析法x(t)*h(t)X(jω)H(jω)∴Y(jω)=X(jω)H(jω)1、把积分运算变成了代数运算2、对于实际问题给予频率域的物理解释。
例如：歌唱家、唱出的美妙歌曲。
又如：电视图像。
5.2连续时间系统的频率响应H(j ω)一、H(j ω)的引出和定义我们从三个不同的角度引出H(j ω)的三种定义方法1.H(j ω)是系统对复指数信号响应的复函数。
假如x(t)=则y(t)=x(t)*h(t)=t j eωtj e ω⎰∞∞)(τh ()ττωd e t j -H(j ω)本身是复数所以，有模有角，因此它将对输出产生幅度和相位的变化2、H(j ω)是h(t)的付里叶变换式h(t)H(j ω)H(j ω)代表了系统本身固有的性质。
3、H(j ω)是系统的零状态响应Y(j ω)和激励信号付里叶变换X(j ω)之比。
)()()()()()(ωωj X j Y s H s H s X s Y =∴=上述第一H(jω)的实验测量方法。
第二个定义方法反映了系统本身频率域和时间域相互关系。
第三个定义方法是本章用付代变换法分析系统的关键式。
、H(j ω)的计算1、从微分方程入手：例：方程两边进行付氏变换为：(j ω)Y(j ω)+4(j ω)Y(j ω)+3Y(j ω)=j ωX(j ω)+2X(j ω)[(j ω)+4(j ω)+3]Y(j ω)=[j ω+2]X(j ω)∴H(j ω)==∴h(t)=[]u(t))(2)()(3)(4)(22t x dt t dx t y dt t dy dt t y d +=++22)()(ωωj X j Y 1213213)4)22+++=+++j ωj ω (j (j j ωωωt t e e 32121--+、从电路的频域模型入手用R,L,C 的频域模型代替时域模型，然后设计出H (j ω)R i +-u)(t i L +-)(t u L Li u R =IL j j U dt di L u L ωω==)(R R →时域频域Lj L ω→时域频域)(t i C +-)(t u C C)()()(ωωωj U Cj j IC dtdu Ct i C CC ==Cj C ω1→时域频域)(ωj E Cj ω1R)(2ωj V )(t e R 例：C)(2t v1、H(j ω)一定是零状态响应。
北京工业大学信号与系统课后习题
信号与系统-作业习题Signals and Systems课程编码：学时数：80学分数：5适用专业：电子信息工程、通信工程专业一．课程教学目标：信号与系统课程是电子学、信息技术、通信、自动化、计算机、信号处理、雷达、测量、系统工程等专业的重要技术基础课。
它继《电路分析基础》之后，集中研究确定信号经线性时不变系统进行传输、处理的基本理论、基本分析方法和工程应用。
本课程目的是为后续众多专业课程，如：模拟电子电路，数字电路，数字信号处理，通信原理，自动控制原理，计算机网络等奠定基础。
二．教学内容基本要求及学时分配本课程在信号分析方面要求学生掌握信号分析的基本理论和方法，包括：连续周期信号的付里叶级数，连续非周期信号的付里叶变换、连续信号的拉普拉斯变换、离散信号(序列)的z变换等。
在性系统分析方面，要求学生掌握系统的各种描述方法，包括：连续系统微分方程的建立、离散系统差分方程的建立，系统的转换算子及转移函数的计算。
在分析方法应用方面，则主要涉及卷积积分、卷积和以及付里叶级数、付里叶变换、拉普拉斯变换、z变换等方法求解线性系统；应用线性系统的稳定性判定条件对连续系统和离散系统进行稳定性分析；用模拟图、信流图概念对系统进行模拟以及状态方程的建立、由输入-输出方程求状态方程；连续系统状态方程的复频域和时域解法；离散系统状态方程的解以及由状态方程作系统的模拟等内容。
本课程的教学重点和难点主要集中在信号在正交函数空间的分解及线性时不变系统的特征函数这两个最基本的概念的展开上。
重点和难点内容包括两个卷积(卷积积分与卷积和)、五个线性变换(傅里叶级数变换，傅里叶积分变换，拉普拉斯变换，Z变换和傅里叶Z 变换)。
学习本课程前应先修《高等数学》，《线性代数》，《积分变换》，《复变函数》，《电路分析基础》等课程。
以本课程为基础的后续课程主要有《模拟电子线路》，《数字电路》，《通信电路》，《数字信号处理》，《通信系统》，《信号检测》，《计算机网络》等等。
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H (j1) 1 (1) 45 sin t :
2
1 sin( t 45) 2
H (j2) 1 (2) 63 sin2t: 5
1 sin(2t 63 ) 5
H (j3) 1 (3) 72 sin3t: 10
1 sin(3t 72 ) 10
r(t) 1 sin( t 45) 1 sin( 2t 63) 1 sin( 3t 72)
K
O
无失真传输系统的频域特点：
t0
O
(1)幅频特性 |H(j)| 为与频率无关的常数 K，系统的
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
系统的稳态响应为 H(j0) Em sin 0t (0)
10
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
Em
e j0t
h( )e j0 d
H(j0 ) ej0t
等于激励e(t)乘以加权函数 H(j0) .
任意激励
e(t)
1
2
Ej e j
t
d
的零状态响应为
1
2
E(j) H (j)e j t d
1
2
R(j) e j t d = r(t)
系统对信号的处理过程就是利用系统函数 H(j)
对不同频率分量加权以后再叠加的过程。
sin( 0t)
Em
1 2j
e j0t
e j0t
e j0t H ( j0 )e j0t , e j0t H ( j0 )e j0t
r(t) Em 2j
H ( j0 )e j0t H ( j0 )e j0t 偶函数
奇函数
Em 2j
H (j0 ) ej (0 ) ej0t H ( j0 ) ej (0 ) ej0t
第五章 傅里叶变换应用于 通信系统——滤波、调制与抽样
“当代通信系统和信号处理技术的发展处处伴随 着傅里叶变换方法的精心运用。”
本章介绍应用傅里叶变换分析系统的方法。
§ 5.1 引 言
傅里叶变换形式的系统函数。
一. 傅里叶变换形式的系统函数
et ht rt E H R
r(t) = e(t) h(t)
H () H (s) sj H (j)
H (j)
R( j ) E ( j )
H (s)
s j
对于一般的因果稳定系统，冲激响应h(t)的拉氏变换
H(s)为复频域系统函数，傅氏变换H()为频域系统函
数，且 H () H (s) sj H (j。)
4
二、系统的频率响应特性
H(j ) H(j ) ej( ) H(j ) ~ ：系统的幅频特性 ( ) ~ ：相频特性
说明：正弦信号激励下，系统达到稳态时，其响应为
与激励同频的正弦信号，幅值被 |H(j)| 加权， 相位增加()。 H(j)代表了系统对输入信号的处理效果。
12
例1
若H j 1 ， 求输入为 sin t sin 2t sin 3t 时
1 j
的输出。
H(j ) 1 12
( ) arctan
6
三、系统函数的物理意义
R(j) E(j) H (j)
设 E(j) E(j) e je() R(j) R(j) e jr () H (j) H (j) e jh ()
则 R(j ) E(j ) H(j )
E(j)的幅度由 |H(j)|加权
r ( ) e( ) h ( )
E(j)的相位由 h() 修正
7
总结
系统可以看作是一个信号处理器：
Hj 是一个加权函数，对信号各频率分量进行加权。 ， 信号的幅度由 H(j ) 加权，信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信
号分解，求响应再叠加的过程。
8
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
•正弦信号激励下的稳态响应 •非周期信号激励下系统的响应
et
r t
h(t)
(1) 幅度可以成比例变化； (2) 可以有时移。
et
—— 波形形状不变
o
r t
o t0
频域：
t
H ( j) R( j) KE( j) e j t0
E( j)
E( j)
Ke j t0
t
16
频谱图 H( j) Ke j t0
H ( j) K
t0
H j
☆ 线性系统引起的失真——幅度，相位变化，不产生新 的频率成分；
★ 非线性系统引起非线性失真——产生新的频率成分。
对系统的不同用途有不同的要求： ● 无失真传输；● 利用失真信号处理。
15
二．无失真传输条件
时域：若系统输入信号为e(t)，输出信号为r(t)，当
r(t) = Ke(t t0) 时，认为信号没有失真。
Em 2j
H ( j0 ) e j[ (0 )0t] e j[ (0 )0t]
Em H( j0) sin 0t (0) 11
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
系统的稳态响应为 H(j0) Em sin 0t (0)
设 e(t) E(), h(t) H (), r(t) R() R() E() H ()
H () R() E ( )
傅里叶形式的系统函数 频域系统函数
3
H() 与 H(s) 的关系
H () F [h(t)], H (s) L [h(t)]
对于一般的因果稳定系统，H(s)的极点都位于 s 平 面的左半平面，其收敛域包含虚轴——
2
5
10
13
§5.3 无失真传输
• 失真 • 无失真传输条件
一．失真
信号经系统传输，被系统函数 H(j) 加权，输出波
形发生了变化，与输入波形不同，则产生了失真。
线性系统引起的信号失真可能包含两方面的因素： ● 幅度失真：不同频率分量的幅度被改变的程度不同； ● 相位失真：不同频率分量的相位被改变的值不同；
• 可以根据H(j)的表达式用解析法求解；
• 也可以在 s 平面用几何方法求解。
m
j
ω
z
j
m N je j j
Hjω Hs sjω K
j 1 n
K
j 1 n
jω pi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Mie ji
i 1
i 1
5
三、系统函数的物理意义
分析：激励为虚指数信号 e(t) ej0t 时的零状态响应
r(t) h(t) e(t) h( )e j0(t ) d