第四章数字控制器的直接设计资料
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13最少拍无差系统设计
1
2
Tz ( 2 z z ) C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 (1 z )
2
Tz 1 ( 2 z 1 z 2 ) C ( z ) ( z ) R( z ) 1 2 (1 z )
C ( z ) 2Tz 3Tz 4Tz
Φ (z)
R(z) r(t) + e*(t) u*(t) G(z) C(z) c(t)
D(z)
E(z) U(z)
H(s)
GC(s)
D( z )G( z ) C(z) ( z ) 系统的误差传递函数Фe(z) R( z ) 1 D( z )G( z )
为：
E ( z ) R( z ) C ( z ) C(z) e (z) 1 1 ( z ) R( z ) R( z ) R( z )
1 z 1
0
e( ) lim 1 z
z 1
1
1 ( z )R( z ) 0
典型输入Z变换的一般形式为：
A( z ) R( z ) (1 z 1 )q
A( z ) 1 ( z ) 0 e( ) lim1 z 1 q z 1 (1 z )
制时，很难满足要求。 此时，往往从被控对象的特性出发，
直接根据采样系统理论设计控制器，
这种方法称为直接设计法。
直接设计法
假定对象本身是离散化模型或者用 离散化模型表示的连续对象，以采 样理论为基础，以Z变换为工具，在 Z域中直接设计出数字调节器D(z)。
数学工具：差分方程、Z变换
由于D(z)是依照稳定性、准确性和快
E( z) e (z) 1 ( z ) R( z )
数字控制器的连续化设计步骤-概述说明以及解释
数字控制器的连续化设计步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数字控制器的连续化设计步骤是指将传统的离散控制器转化为连续化控制器的过程。
在数字控制领域，离散控制器常常由于采样时间过长或采样频率过低而导致性能不佳，无法满足实际控制需求。
为了克服这一问题，连续化设计步骤被提出，旨在将离散控制器转化为连续时间域的控制器，从而提高控制系统的动态性能。
在连续化设计步骤中，首先需要对系统进行建模和分析，以获得系统的数学模型。
然后，通过使用连续化设计方法，对离散控制器进行调整和改进。
这个过程包括参数调节和滤波器设计等步骤，以获得更高的控制性能。
通过连续化设计，离散控制器可以更好地适应连续时间域的控制系统，从而提高了系统的响应速度和稳定性。
此外，连续化设计还可以有效地减少系统的抖动和震荡现象，使系统更加平稳。
本文将详细介绍数字控制器的连续化设计步骤。
首先，会对连续化设计的概念和背景进行概述，阐明其在数字控制领域的重要性和意义。
接下来，会详细介绍连续化设计的具体步骤，包括系统建模、参数调节和滤波器设计等内容。
最后，对连续化设计的优点和局限性进行总结，并展望其未来的发展方向。
通过本文对数字控制器的连续化设计步骤的详细介绍，读者将能够深入了解如何将离散控制器转化为连续时间域的控制器，并在实际应用中取得更好的控制效果。
同时，本文还将展示连续化设计在控制领域的巨大潜力，并为相关领域的研究和应用提供有益的参考。
1.2 文章结构文章结构部分的内容：本文主要围绕数字控制器的连续化设计步骤展开讨论，分为引言、正文和结论三个主要部分。
引言部分主要对本文的研究背景和意义进行介绍。
首先对数字控制器进行了概述，指出了数字控制器在工业自动化领域的重要性和应用广泛性。
随后介绍了本文的结构，以便读者更好地理解本文的组织框架。
最后明确了本文的目的，即通过对数字控制器的连续化设计步骤进行研究，为相关领域的研究人员提供指导和参考。
正文部分按照步骤进行了详细的介绍。
计算机控制数字控制器的连续设计方法
第5章
数字控制器旳连续设计措施
引言
自动化控制系统旳关键是控制器。控制器旳任务是按照一定旳控制规律，产生满足工艺要求旳控制信号，以输出驱动执行器，到达自动控制旳目旳。在老式旳模拟控制系统中，控制器旳控制规律或控制作用是由仪表或电子装置旳硬件电路完毕旳，而在计算机控制系统中，除了计算机装置以外，更主要旳体目前软件算法上，即数字控制器旳设计上。
目旳：希望混合系统和等效连续系统旳特征尽量接近
量化单位
模拟量经A/D转换之后才干进入计算机，所以模拟量经过了整量化，假如整量化单位过大，相当于系统中引入了较大旳干扰。但是这个问题在工程上能够实现旳条件下，能够经过增长A/D转化旳位数来将干扰限制在很小旳程度。例如一种5V基准电源转换器，当位数n=8时，辨别率δ=20mV;当n=12时，辨别率 δ=1.25 mV，量化单位已很小，完全能够看成连续信号。
5.1.1 混合系统概念
图5-1 混合系统
5.1.2 等效连续系统
图5-2 等效连续系统
怎样确保离散化后信息不丢失？问题：按连续系统设计措施设计数字控制系统旳条件是什么？
量化单位：经过增长A/D转换旳位数实现。采样周期旳选择：采样频率旳高下会影响系统旳动态特征
5.1.3 等效连续系统旳两个条件
香农采样定理: 采样角频率ωs≥2ωmax,ωmax为连续信号旳最大频率分量，连续信号能够由它旳采样信号复现。 零阶保持器旳传递函数为
其频率特征是
采样周期旳选择
图5-3 零阶保持器旳幅频和相频特征
零保持器带来旳附加相移为：
当采样频率取为10倍信号主频率旳最高频率时，
结论：采用连续设计措施，用离散控制器去近似连续控制器，要求有相当短旳采样周期。
数字控制器旳连续设计措施
引言
自动化控制系统旳关键是控制器。控制器旳任务是按照一定旳控制规律，产生满足工艺要求旳控制信号，以输出驱动执行器，到达自动控制旳目旳。在老式旳模拟控制系统中，控制器旳控制规律或控制作用是由仪表或电子装置旳硬件电路完毕旳，而在计算机控制系统中，除了计算机装置以外，更主要旳体目前软件算法上，即数字控制器旳设计上。
目旳：希望混合系统和等效连续系统旳特征尽量接近
量化单位
模拟量经A/D转换之后才干进入计算机，所以模拟量经过了整量化，假如整量化单位过大，相当于系统中引入了较大旳干扰。但是这个问题在工程上能够实现旳条件下，能够经过增长A/D转化旳位数来将干扰限制在很小旳程度。例如一种5V基准电源转换器，当位数n=8时，辨别率δ=20mV;当n=12时，辨别率 δ=1.25 mV，量化单位已很小，完全能够看成连续信号。
5.1.1 混合系统概念
图5-1 混合系统
5.1.2 等效连续系统
图5-2 等效连续系统
怎样确保离散化后信息不丢失？问题：按连续系统设计措施设计数字控制系统旳条件是什么？
量化单位：经过增长A/D转换旳位数实现。采样周期旳选择：采样频率旳高下会影响系统旳动态特征
5.1.3 等效连续系统旳两个条件
香农采样定理: 采样角频率ωs≥2ωmax,ωmax为连续信号旳最大频率分量，连续信号能够由它旳采样信号复现。 零阶保持器旳传递函数为
其频率特征是
采样周期旳选择
图5-3 零阶保持器旳幅频和相频特征
零保持器带来旳附加相移为：
当采样频率取为10倍信号主频率旳最高频率时，
结论：采用连续设计措施，用离散控制器去近似连续控制器，要求有相当短旳采样周期。
第四章 可编程序控制器(PLC)原理与应用)
表4-3 按PLC的功能分类
分类 低档机 主要功能 具有逻辑运算、定时、计数、移位及自诊断、监控 等基本功能。有些还有少量模拟量I/O功能和算术运 算等功能 应用场合 开关量控制、定时、计数控制、顺序控制等场合， 有模拟量I/O功能的低档PLC应用更广 适用于既有开关量又有模拟量的较为复杂的控制 系统，如过程控制、位置控制等
年份 第一代1969~1972 第二代1973~1975 功能特点 逻辑运算、定时、计数、中小规模集成电路CPU，磁芯 存储器 增加算术运算、数据处理功能，初步行程系列，可靠性 进一步提高 增加复杂数值运算和数据处理，远程I/O和通信功能， 采用大规模集成电路，微处理器，加强自诊断、容错技 术 高速大容量多功能，采用32位微处理器，编程语言多样 化，通信能力进一步完善，智能化功能模块齐全 取代继电器控制 能同时完成逻辑控制，模拟量控制 适应大型复杂控制系统控制需要并用于联网、通信、 监控等场合 构成分级网络控制系统，实现图像动态过程监控， 模拟网络资源共享 应用范围
输 入 继 电 器
05 06 1000~1715 07 08 09 10 11 12 13 14
15
主机
15
15
扩Ⅰ
15
15
扩Ⅱ
15
15
扩Ⅲ
15
表4-7 输出继电器区域（共128点）
名称 范围 20CH 00 01 02 03 04 21CH 00 01 02 03 04 05 06 07 （08） （09） （10） （11） （12） （13） （14） 22CH 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 继电器地址通道 23CH 00 01 02 03 04 05 06 07 （08） （09） （10） （11） （12） （13） （14） 24CH 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 25CH 00 01 02 03 04 05 06 07 （08） （09） （10） （11） （12） （13） （14） 26CH 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 27CH 00 01 02 03 04 05 06 07 （08） （09） （10） （11） （12） （13） （14）
分类 低档机 主要功能 具有逻辑运算、定时、计数、移位及自诊断、监控 等基本功能。有些还有少量模拟量I/O功能和算术运 算等功能 应用场合 开关量控制、定时、计数控制、顺序控制等场合， 有模拟量I/O功能的低档PLC应用更广 适用于既有开关量又有模拟量的较为复杂的控制 系统，如过程控制、位置控制等
年份 第一代1969~1972 第二代1973~1975 功能特点 逻辑运算、定时、计数、中小规模集成电路CPU，磁芯 存储器 增加算术运算、数据处理功能，初步行程系列，可靠性 进一步提高 增加复杂数值运算和数据处理，远程I/O和通信功能， 采用大规模集成电路，微处理器，加强自诊断、容错技 术 高速大容量多功能，采用32位微处理器，编程语言多样 化，通信能力进一步完善，智能化功能模块齐全 取代继电器控制 能同时完成逻辑控制，模拟量控制 适应大型复杂控制系统控制需要并用于联网、通信、 监控等场合 构成分级网络控制系统，实现图像动态过程监控， 模拟网络资源共享 应用范围
输 入 继 电 器
05 06 1000~1715 07 08 09 10 11 12 13 14
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主机
15
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扩Ⅰ
15
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扩Ⅱ
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扩Ⅲ
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表4-7 输出继电器区域（共128点）
名称 范围 20CH 00 01 02 03 04 21CH 00 01 02 03 04 05 06 07 （08） （09） （10） （11） （12） （13） （14） 22CH 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 继电器地址通道 23CH 00 01 02 03 04 05 06 07 （08） （09） （10） （11） （12） （13） （14） 24CH 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 25CH 00 01 02 03 04 05 06 07 （08） （09） （10） （11） （12） （13） （14） 26CH 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 27CH 00 01 02 03 04 05 06 07 （08） （09） （10） （11） （12） （13） （14）
第4章复杂数字控制器设计
的传递函数，
表示被控对象的传递函数，
其中
为被控对象不包含纯滞后部分的传递函数，
为对象纯滞
后部分的传递函数。系统的闭环传递函数为
由于在 以控制的原因。
的分母中包含有纯滞后环节
它降低了系统的
稳定性。的值大到一定程度，系统将不稳定，这就是大纯滞后系统难
为了提高大纯滞后系统的控制质量，引入一个与被控对象并联的补偿器，
称之为 smith 预估器，其传递函数为 传递函数为 带有 smith 预估器的 与反馈量 之间的 系统如图所示。由该图可知，经补偿后控制量
二、 Smith 预估器的数字实现
当大纯滞后系统采用计算机控制时，smith 预估控制器可用计算机实现。
数字 Smith 预估器的输出为
式中，
为一中间变量，其算式与对象模型有关。
达到稳定，且
必须满足条件
3) 如果 的选择使得 都有可能使控制回路无法稳定。
异号，则不管如何压制控制增量，
3．控制时域长度 4．误差权矩阵 5．控制权矩阵 6．误差校正向量
本章完
具有纯滞后特性的过程被认为是较难控制的过程，其控制的难度随着纯滞 后时间占整个动态过程的份额的增加而增加。一般认为，纯滞后时间与过程 的时间常数之比大于0.5，则认为该过程是具有大纯滞后特性的控制过程。
大纯滞后系统的控制是人们研究的课题之一，其中， Smith预估控制是 一种应用较多的有效的控制方法。 一、连续系统 Smith 预估器工作原理 单回路控制系统，其被控对象有纯滞后环节。该图中 表示控制器
2．优化策略 动态矩阵控制采用了所谓“滚动优化”的控制策略，在采样时刻 的优化性能指标可取为
式中，qi和rj 为权系数，P和M分别称为优化时域长度和控制时域长度。 性能指标中第一项中，通过选择M个时刻的控制增量，使系统在未来P个时
4第四章 自动控制仪表
双位控制的特点是：控制器只有最大与最小两个输出值， 调节机构只有开与关两个极限位置。
因此，对象中物料量或能量总是处于严重不平衡状态。 也就是说，被控变量总是剧烈振荡，得不到比较平稳的控 制过程。
怎么办？
25
如何克服在双位控制系统中产生持续的等幅振荡过程？？
为了避免这种情况，应该使控制阀的开度(即控制器 的输出值)与被控变量的偏差成比例，根据偏差的大 小，控制阀可以处于不同的位置， 这样就有可能获得与对象负荷相适应的操纵变量，从 而使被控变量趋于稳定，达到平衡状态。
图4-4 具有中间区的双位控制过程
20
具有中间区的双位控制过程
当液位y低于下限值 yL时，电磁阀是开的，流体流入贮槽。 由于进入的流体大于流出的流体，故液位上升。 当升至上限值yH时，阀门关闭，流体停止流入。由于此时 槽内流体仍在流出，故液位下降，直到液位值下降到下限 值yL 时，电磁阀再重新开启，液位又开始上升。 图 中上面的曲线是调节机构（或阀位）的输出变化与时 间的关系；
13
Note:
特别注意
控制器总是按照人们事先规定好的某种规律来动作的， 这些规律都是长期生产实践的总结。 控制器可以具有不同的工作原理和各种各样的结构型 式，但是它们的动作规律不外乎几种类型。 在工业自动控制系统中最基本的控制规律有：双位控 制、比例控制、积分控制和微分控制四种，
下面几节将分别叙述这几种基本控制规律及其对过渡 过程的影响。
4
第一节 概论
自动控制仪表（控制器）在自动控制系统中的作用
控制器是自动控制系统中的核心组成部分。
它的作用是将被控变量的测量值与给定值相比较， 产生一定的偏差，控制器根据该偏差进行一定的 数学运算，并将运算结果以一定的信号形式送往 执行器，以实现对被控变量的自动控制。
数字控制器的连续化设计方法
第四章数字控制器的连续化设计方法模拟控制系统的控制过程是通过传感器把被测的各个模拟参量，比如温度、流量、压力、液位、成份等，变换成电信号(电流、电压) ，再送给模拟调节器。
在调节器中，被测模拟参量转换成的电信号与设定值进行比较后，经过PID控制器送到执行机构，改变进给量，达到自动调节的目的。
系统的控制器是连续模拟环节，也称为模拟调节器。
而在数字控制系统中，用数字控制器来代替模拟调节器。
传感器输出的电信号通过A/D转换器转换成数字信号，送给数字控制器。
控制器按照一定的控制算法进行运算处理后，输出控制量，再经过D/A转换成模拟量，通过执行机构去控制生产过程，使控制参数达到给定值。
在计算机控制系统中，用计算机来控制和调节被控对象，实现数字控制器的功能。
计算机控制系统的设计，是指在给定系统性能指标的条件下，设计出控制器的控制规律和相应的控制算法，并通过控制程序加以实现，对硬件电路、外围设备、执行机构等进行控制，实现控制功能。
为什么要用计算机实现数字控制器的功能？主要是因为它有以下优点：(1) 可以分时控制，实现多回路控制计算机的运行速度比较快，而被控对象变化一般都比较缓慢，因此用一台计算机可以控制多个外围设备。
计算机采用分时控制，轮流为每个外围设备服务，既提高了控制系统的速度，又大大节省了硬件开销。
(2) 控制算法灵活，功能强大，能实现复杂的控制规律使用计算机，通过控制程序实现控制算法，可根据实际需要调节控制参数，不需要修改硬件就可改变控制方案，因此非常灵活。
此外计算机不仅可以实现数字PID控制，而且还可以应用直接数字控制、模糊控制、自适应控制等各种控制方法。
计算机控制系统中，计算机不仅要完成控制任务，还可实现监控、数据采集、显示、报警等各种功能，因此控制系统的功能非常强大，可以节约人力、物力。
(3) 系统的可靠性高，稳定性好用应用软件实现数字控制器的功能，比用硬件组成的调节器具有更高的可靠性和稳定性，而且容易调试，维修方便。
数字控制器的设计、Z平面根轨迹和W撇变换
t T 2T 3T
b 斜坡输入 无稳态误差最少拍响应
t T 2T 3T
c 抛物线输入
最少拍无差系统的设计
典型输入 闭环脉冲传递 函数 数字控制器D(z) 最少拍 （T）
1(t) t
1 1 − z −1
Tz −1 (1 − z −1 ) 2
T 2 z −1 (1 + z −1 ) (1 − z −1 )3
由于系统误差脉冲传递函数 Ge(z)与闭环脉冲传递 函数GB(z)存在以下关系: Ge(z)=1 - GB(z)
E(z)=[1 - GB(z) ]R(z) 根据终值定理 e (∞)= lim (1-z –1) [1 - GB(z) ] R ( z ) z →1
B(z) 当 r(t) = A0 + At + A2t + ... 时， R(z) = 1 (1− z−1)q 其中 B(z)是不含1− z−1因子的关于z−1的多项式
G e (z)
和 G B (z) 。
例[4-2] ，已知离散系统结构如图4-3所示，采样周期T=0.2 秒，求D(z)，使系统对单位阶跃响应为最少拍响应系统 E2(z) 1 − e −Ts s
r(t)
E1(z) —
D (z )
10 s (0.1s + 1)(0.05s + 1)
y(t)
图4-3 最少拍响应系统
按上式选择D(z)，可使系统为最少拍无差的响 应系统，由于E ( Z ) = 1, Y ( Z ) 跟踪输入，所以系统在 一拍内可结束过渡过程，达到稳态。
最少拍无差系统的设计
2）斜坡输入
此时，为使系统为无稳态误差的最少拍系统，可选取 Ge ( z ) = (1 − z −1 ) 2 2z −1 C*(t) 则 G B ( z ) = 2 z −1 − z − 2 = 2 z
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系统的误差传递函数
为
（1）
根据准确性要求，系统无稳态误差，而
（2）
又根据终值定理，有
（3）
对于时间t为幂函数的典型输入函数 其z变换的一般形式为
（4） （5）
其中
为不包括
因子的关于 Z-1的多项式，所以
（6）
为使稳态误差为零，
必须含有因子
，即 （7）
其中P≥q，q为对应于典型输入函数
中分母
因子的阶次。
是不包含零点z=1的z-1的多项式。
根据快速性要求，即，使系统的稳态误差尽快为零，故必然有
所以，对于典型的输入来说，有
（8） （9）
1.单位阶跃输入 由式（8）、 （9）有
即
（10） （11）
（12）
说明系统只需一拍，输出就能跟随输入。此时 用长除法可得 输出序列如下图（a）所示。
（13）
将（10）、（11）代人上图有
第四章 数字控制器的直接设计
第一节 最少拍无差系统的设计 第二节 最少拍无波纹系统的设计 第三节 大林算法
给定值 输入通道 A/D
计算机
输出通道 D/A
被控变量 广义对象
y
输入通道 A/D
模拟化设计方法，又称间接设计法。
离散化设计方法，又称直接设计法。
下面阐述直接设计法的基本原理和设计步骤：
如下图所示的离散控制系统中， 为广义对象的脉冲传递函数，其中
(二)稳定性要求
在最少拍系统中，不但要保证输出量在采样点上的稳定，而且要保证控制变量收 敛，方能使闭环系统在物理上真正稳定。
要使系统补偿成稳定的系统，就必须采取其他方法，即必须在确定闭环脉冲
传递函数
时增加附加条件。
可知，要避免 必须使得：
在单位圆外或圆上的零极点与
的零极点抵消，则
1)当
有单位圆上或圆外的零点时，在
在单位圆上和圆外的零
综合考虑系统的准确性、快速性和稳定性要求，闭环脉冲传递函数 必须选择为
式中，m为广义对象的瞬变滞后； bi为
在z平面单位圆外或圆上的零
点，u为
在z平面单位圆外或圆上的零点数；V为
在z平面单位圆外
或圆上的极点数。 当典型输入分别为阶跃、单位速度、单位加速度输入时，q分别取
值1，2，3。
，就可
1）求得带零阶段保持器的被控对象的广义脉冲传递函数
。
2）根据系统的性能指标要求以及实现的约束条件构造闭环传递函数 。
3）依据上式确定数字控制器的传递函数
。
4）由确定控制算法并编制程序。
第一节 最少拍无差系统的设计
最少拍无差系统，是指在典型的控制输入信号作用下能在最少几个采样 周期内达到稳态无静差的系统。其闭环z传递函数具有如下形式：
（22）
说明系统的过渡过程共需三拍，此时，输出为
（23）
看P117页表4-1 二、最少拍控制器的可实现性和稳定性要求
（24）
（一）物理上的可实现性要求
所谓物理上的可实现性是指控制器当前的输出信号，只能与当前时刻的输入
信号，以前的输入信号和输出信号有关，而与将来的输出信号无关。这就要求
数字控制器的z传递函数
不能有z的正幕项。
的一般表达式为
上式要求 n≥m，且a0≠0。
若被控对象G（z）含有纯滞后z-p，根据式（4—2）求取D（z）， D（z）将含有因子 zp ，故不能实现。为实现控制，Φ（z）必须含 有z-p，即把纯滞后保留，此时
Φ（z）=z-p（m1z-1+ m2z-2+…+ mlz-l）
这样的最少拍控制器才是可实现的。
应当指出，当 中有z=1的极点时，稳定性条件与准确性条件取得一致，
即q个方程中第一个方程与v个方程中的
因此， 的设计要作
一定的降阶处理。
四、最少拍控制系统的局限性
（1）系统的适应性差
最少拍控制器
的设计是根据某类典型输入信号设计的，对其他类型
的输入信号不一定是最少拍，甚至会产生很大的超调和静差。
（2）对参数变化的灵敏度大 当系统的结构和参数发生变化时，系统的性能指标将受到严重影响。
作为其零点而保留。
2)当
有单位圆上或圆外的极点时，在
作为其零点而保留。
三、最少拍快速有波纹系统设计的一般方法 设广义对象的脉冲传递函数为
表达式中应把这些零点。 表达式中应把这些极点。
式中，
为对象的S传递函数，当
中有延滞环节时，一般m>l。
中不含有延迟环节时，m=1;当
是 Z-m的部分。
中不包含单位圆外或圆上的零极点，以及不包含延滞环节 是广义对象在单位圆外和圆上的u个零点，
对最少拍控制系统设计的具体要求如下： 1．准确性要求 对典型的参考输入信号，在到达稳态后，系统在采样点的输出值能准确 跟踪输入信号，不存在静差。 2．快速性要求 在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中，系统准确跟踪输入信 号所需的采样周期数应为最少。
3．稳定性要求 数字控制器 必须在物理上可以实现且闭环系统必须是稳定的。 下面，具体讨论最少拍无差系统的设计及其特点。 一、典型输人下最少拍系统的设计方法
为被控制对象， 代表零阶段保持器，
代表被设
计的数字控制器，
为系统的闭环脉冲传递函数，其表达式为：
系统设计的目标，是要设计一个数字控制的脉冲传递函数 控制被控制对象，达到期望的性能指标。由上一表达式可得：
，利用它来
由此表达式可知，当已知
时，只要根据设计要求选择好
求得
。因此，在已知对象特性的前提下，设计步骤为：
（14）
2.单位速度输入 由式（8）、（9），有：
即
（15） （16）
（17）
说明系统只需要两拍，在采样点上偏差即为零，输出就跟随输入。此时，输 出为
（18）
输出序列如右图（b）所示
将式（15）、（16）代入式（a）有
（19）
3.单位加速度输入
输入函数
，由式（8）、（9），源自：即（20） （21）
由准确性条件式(8)知，
包含有
的因子；由稳定性条件知，
必须包含
在z平面单位圆外和圆上的极点，即
包含有
的因子，其中，ai为 非重极点个数。
在z平面单位圆外或圆上的非重极点；V为
而
，所以，上一式中q+v个待定系数
可由下列q+v个方程所确定，
显然，准确性条件决定了前q个方程，另外由于
是
的极点，由稳定性条件得到了后v个方程。
是广义对象在单位圆外或单位圆上的v个极点。
1)设定
，把
中所有单位圆上和圆外的极点作为自己的零点。即
是关于Z-1的多项式，且不包含
中不稳定极点ai 。
2）设定
，把
中所有单位圆上和圆外的零点作为自己的零点，
即
是关于z-1的多项式，且不包含 的零点bi 。
中在单位圆上和圆外
考虑上述条件后，数字控制器中显然不再包含 极点，在物理上具有可实现性。即