专题四：曲线运动、万有引力考点例析。
曲线运动+万有引力定律知识点总结
曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。
（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。
即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。
（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。
）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。
2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。
也可以说是：合外力不变的运动。
4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：0xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gty=得gyt2=（由下落的高度y决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
5．tan2tanθα=速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。
6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
曲线运动万有引力定律知识点总结
曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。
（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。
即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。
（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。
）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。
2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
3．匀变速运动： 加速度（大小和方向）不变的运动。
也可以说是：合外力不变的运动。
4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F 2改变速度的大小，沿径向的分力F 1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1． 速度：0x yv v v gt =⎧⎨=⎩ 合速度:22yx v v v +=方向：oxy v gtv v ==θtan 2．位移0212x v t y gt =⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：x =合 方向：ov gtx y 21tan ==α3．时间由:221gt y =得 g y t 2=（由下落的高度y 决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。
物理专题4曲线运动万有引力考点例析
专题四：曲线运动、万有引力考点例析本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。
（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。
（3）万有引力定律及其运用。
（4）运动的合成与分解。
注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。
近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。
卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。
本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。
一、夯实基础知识1、深刻理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
（2）曲线运动的特点：○1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。
○3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。
2、深刻理解运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：○1分运动的独立性；○2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；○3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
）3.深刻理解平抛物体的运动的规律（1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。
物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。
（2）．平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
4第四章 曲线运动 万有引力定律
第四章曲线运动万有引力定律[考点解读]顿第二定律、机械能守恒定律等知识在圆周运动中的具体应用。
本章中所涉及到的基本方法与第二章牛顿定律的方法基本相同，只是在具体应用知识的过程中要注意结合圆周运动的特点：物体所受外力在沿半径指向圆心的合力才是物体做圆周运动的向心力，因此利用矢量合成的方法分析物体的受力情况同样也是本章的基本方法；只有物体所受的合外力的方向沿半径指向圆心，物体才做匀速圆周运动。
根据牛顿第二定律合外力与加速度的瞬时A关系可知，当物体在圆周上运动的某一瞬间的合外力指向圆心，我们仍可以用牛顿第二定律对这一时刻列出相应的牛顿定律的方程，如竖直圆周运动的最高点和最低点的问题。
另外，由于在具体的圆周运动中，物体所受除重力以外的合外力总指向圆心，与物体的运动方向垂直，因此向心力对物体不做功，所以物体的机械能守恒。
[解题方法指导][例题1]关于互成角度的两个匀变速直线运动的合运动，下述说法中正确的是[ ] A．一定是直线运动B．一定是曲线运动C．一定是匀变速运动D．可能是直线运动，也可能是曲线运动[思路点拨] 本题概念性很强，正确进行判定的关键在于搞清物体曲线运动的条件：物体运动方向与受力方向不在同一直线上．另外题目中“两个匀变速直线运动”并没讲是否有初速度，这在一定程度上也增大了题目的难度．[解题过程] 若两个运动均为初速度为零的匀变速直线运动，如图5－1(A)所示，则合运动必为匀变速直线运动．若两个运动之一的初速度为零，另一个初速度不为零，如图5－1(B)所示，则合运动必为曲线运动．若两个运动均为初速度不为零的匀变速直线运动，则合运动又有两种情况：①合速度v与合加速度a不共线，如图5－1(C)所示．②合速度v与合加速度a恰好共线．显然前者为曲线运动，后者为直线运动．由于两个匀变速直线运动的合加速度必恒定，故不仅上述直线运动为匀变速直线运动，上述曲线运动也为匀变速运动．本题正确答案应为：C和D．[小结] 正确理解物体做曲线运动的条件是分析上述问题的关键．曲线运动由于其运动方向时刻改变(无论其速度大小是否变化)，必为变速运动．所以曲线运动的物体必定要受到合外力作用，以改变其运动状态．由于与运动方向沿同一直线的力，只能改变速度的大小；而与运动方向相垂直的力，才能改变物体的运动方向．故做曲线运动的物体的动力学条件应是受到与运动方向不在同一直线的外力作用．[例题2] 一只小船在静水中速度为u，若水流速度为v，要使之渡过宽度为L的河，试分析为使渡河时间最短，应如何行驶？[思路点拨] 小船渡河是一典型的运动合成问题．小船船头指向(即在静水中的航向)不同，合运动即不同．在该问题中易出现的一个典型错误是认为小船应按图5－2(A)所示，逆水向上渡河，原因是这种情况下渡河路程最短，故用时也最短．真是这样吗？[解题过程] 依据合运动与分运动的等时性，设船头斜向上游并最终垂直到达对岸所需时间为tA，则设船头垂直河岸渡河，如图5－2(B)所示，所需的时间为tB，则-６７ -高中物理习题汇编 第四章 曲线运动 万有引力定律省实验中学物理组倦怠乃人生之大患，人们常叹人生暂短，其实人生悠长，只是由于不知它的用途。
易错笔记专题4曲线运动万有引力
易错笔记专题4 曲线运动万有引力大悟一中王志平要点笔记1运动的合成与分解⑴合运动的性质和轨迹：由合初速度与合加速度的方向关系以及合加速度大小决定；⑵渡河问题讨论：垂直渡河，渡河时间最短的条件；⑶绳端物体速度的分解：将实际速度分解为沿绳伸长或缩短方向和垂直于绳绕滑轮转动的方向；2 •物体做曲线运动的条件•平抛物体的运动规律•特别注意平抛运动是匀变速曲线运动，速度的变化量v=gt且方向总在竖直方向上.3•圆周运动⑴匀速圆周运动的描述：线速度，角速度，周期，向心加速度等；⑵圆周运动中向心力的特点：方向总指向圆心；只改变速度的方向；⑶竖直平面内圆周运动的临界问题：分轻绳、环形轨道内侧类，杆、环形管道类和凸形轨道类.4•万有引力定律，行星的运动•注意天体质量的测定的观测对象：一定是绕该天体运行的其它天体. 5•人造卫星和宇宙飞船，三个宇宙速度及意义，卫星变轨问题.易错笔记易错类型一运动性质判断易错分析运动和力的关系在曲线运动中显得更复杂，如果不能深刻理解“物体是做直线运动还是做曲线运动，取决于所受合外力的方向与该时刻速度的方向关系”这一要点，正确判断物体的运动性质就是一句空话；加速度描述速度变化的快慢，包括速度大小的变化和方向的变化，不能正确理解加速度与速度以及加速度与运动的关系也是出错的重要原因.【典例1】下列关于运动和力的叙述中，正确的是A •做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的B •物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心C .物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动D •物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同【正确解答】C 物体是否做曲线运动由合外力（或加速度）的方向与该时刻速度的方向是否在一条直线上来决定，“是”则为直线运动，“否”则为曲线运动，与加速度方向是否变化没有关系，加速度的方向变化一定是曲线运动，但曲线运动的加速度方向不一定变化，A错C对；只有做匀速圆周运动的物体所受合外力才指向圆心，B错；只要合力与速度方向成小于90°的角，物体运动速率就会增大，D错.【易错反思】认为加速度方向变化是做曲线运动的充分必要条件，则会错选A ；审题时粗心大意，将“圆周运动”当成“匀速圆周运动”，或者对圆周运动的概念理解不透彻，则会错选B ;对加速度概念理解不透彻，加速度与速度变化之间的关系不明确而错选 D •【典例2】（原创）执行救灾任务的飞机水平匀速直线飞行，相隔0.5s先后释放形状和质量完全相同的两箱救灾物资1和2•假设空气阻力与物体速度成正比，这两箱物资在空中下落时，地面上的人可能看到的是A • 1号箱不可能在2号箱的正下方B •两箱的水平距离保持不变C •两箱的水平距离先增大后不变D .两箱的竖直距离一直增大【正确解答】BC 若沿着或逆着飞机飞行方向看， 1号箱在2号箱的正下方且两箱水平距 离为零，则A 错B 正确；由于2号箱后释放，释放时 2号的水平速度比1号大，两箱水平 距离增大，当两箱水平速度减小到零时空气阻力水平值为零， 距离不变.同理竖直方向也是如此，C 正确D 错.【易错反思】受陈题的影响，没有审清“地面上的人可能看到的”可以有不同的观看角度这 一隐含条件而错选 A 和漏选B ;认为B 与C 项矛盾而只选其一也是漏选原因；对运动的独 立性理解不够，因此对“假设空气阻力与物体速度成正比” 注意到水平方向而遗漏了竖直方向，或者相反，因此错选 D 项. 易错类型二 运动的合成与分解易错分析⑴对运动的独立性理解不够，不能就单方向运用运动和力的关系判断物体的运动性质； ⑵对渡河问题、绳端速度的分解问题不理解分解方向的意义， 将运动效果与力的作用效果混淆，采用了力的分解方法；⑶不能灵活运用正交分解法和三角形法则分析和解答临界问题和极值问题. 【典例3】如图2-4-1所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条 件下，当小车匀速向右运动时，物体 A 的受力情况是A .绳的拉力大于 A 的重力B .绳的拉力等于 A 的重力C .绳的拉力小于 A 的重力D .拉力先大于重力，后变为小于重力【正确解答】A 设某时刻汽车拉物体的绳子与水平方向成 的速度分解如图2-4-2所示，物体 A 的速度等于v 2，即v 2速上升，处于超重状态，绳子的拉力大于 A 的重力，A 选项正确.【易错反思】认为汽车匀速运动则物体 A 也匀速运动而错选 B ;由于汽 车速度的分解方向错误，如图2-4-3所示，得物体A 的速度V 2=V/COS图 2-4-3 随B的减小而减小，减速运动为失重而错选 C .【典例4】（原创）民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔弛的马背上,向侧向的固定目标.假设运动员骑马奔弛的速度为 直跑道离固定目标的最近距离为 d .plC .箭射到靶的最短时间为 一 V 2车向右运动时B 角减小，COS 增大，物体A 的速度v 2增大，故物体加 弯弓放箭射V 1，运动员静止时射出的弓箭速度为要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，贝ydv 1 V 2_V 2A .运动员放箭处离目标的距离为B .运动员放箭处离目标的距离为 V 2 图 2-4-2图 2-4-4dD .箭射到靶的最短时间为v；-v；【正确解答】BC 运动员射出的箭实际对地速度是马奔驰的速度 箭的速度V 2的矢量和，如图2-4-5(a)所示，因此箭 pl 的运动时间t=——，要想箭在空中飞行时间v 2 sin最短，则sin =1，即射出的箭的速度 V 2与奔跑方pl向的夹角 =90，箭射到靶的最短时间t= —，CV 2对D 错；如图2-4-5(b),则有运动员放箭处离目标【易错反思】考查的合成与分解，部分考生会因对 误而错选A ;对最短时间的判断和计算错误而错选 易错类型三 平抛物体的运动易错分析⑴没有熟练掌握平抛运动的基本规律，对分解计算的方法不理解；⑵对平抛运动的性质理解不透彻， 由于分解计算的强化，加之审题不仔细导致对位移、速度 等的计算仍按水平位移或竖直速度计算的错误；⑶不能灵活运用如初速度为零的匀加速运动、速度的变化量 v=gt 且方向总是竖直向下等特殊规律解答问题；【典例3】(原创)小球a 、b 以相同初速度V O 水平抛出，落地点到抛出点的水平距离分别 为S a 、S b ，且S a = 2S b ，以h a 、入分别表示两球抛出点到地面的高度，不计空气阻力，则A . h a : h b =1: 3B .h a : h b =4:1 C . h a : h b =3:1 D . h a : h b = 2:1【正确解答】B 由于两球抛出时初速度相等，且S a = 2s b ，因此下落时间为 t a =2t b ，由h=】gt 2可得4：入=4：1 , B 项正确.2【易错反思】在得出下落时间为t a = 2t b 的结论后，直接由初速度为零的匀加速运动在连续相 等时间内位移之比为 1: 3,错选A 或C .【典例4】做平抛运动的物体，在落地前的最后一秒内，其速度方向由与水平方向成 37°变为与竖直方向成 45°，求物体抛出时的初速度和下落的高度. (g=10m/s 2)【正确解答】平抛运动的加速度恒定且为重力加速度g ,因此在任意时间内速度的改变量V I 与运动员静止时射出的“运动员放箭处离目标的距离”的理解错u =gt ,其方向总是竖直向下的，如图2-4-6所示.由图可知:v 0= v 1 cos37 ①v 0= v 2 cos 45②v=gt= u sin 45 -u sin 37③ 联立解得：v 0=40 m/s④v 2y = v 0=40 m/s⑤的距离为 ,A 错B 对.U2 2h= v2y= 4m=80m ⑥2g 2 10【易错反】不能正确理解洛地前的最后一秒内的确切意义，画出如图所示的速度变化思情景是审题的主要障碍，不能抓住水平速度不变的特点列出①②两式，不能灵活运用v=gt 列出③式是计算中的主要出错点.易错类型四圆周运动和综合问题易错分析⑴对向心力的概念理解不透彻，不能灵活分析向心力产生的效果对物体运动状态的影响;⑵对竖直平面内圆周运动的三种临界条件的掌握和运用不准确，不熟练；⑶综合试题的审题【典例3】一小物块由某高处自由落下，从内壁粗糙的半球形碗边的A点滑入碗内，，由于摩擦力的作用，在下滑过程中小物块的速率恰好保持不变，如图2-4-7所示.则在下滑过程中：( )A .小物块所受合外力为零B •小物块所受合外力越来越大C.小物块所受合外力大小不变，方向时刻改变D .小物块所受摩擦力大小不变【正确解答】C 匀速圆周运动的性质是变加速曲线运动，加速度大小不变，方向时刻改变，速度时刻也在变，故合力不可能为零，A错；但由于物块速率不变做匀速圆周运动，所受合力大小不变，只是方向时刻改变,B错C对；对小物块进行受力分析得，同时受重力G,曲面的支持力N,摩擦力f三个作用,f始终垂直于N，速度大小不变，可知摩擦力f始终等于重力G在切向的分力，通过受力分析可知，在物体下落到碗底之前所受摩擦力一直变小，D错.【易错反思】将匀速圆周运动当作平衡状态而错选A;用光滑圆轨道内小球的运动小球在最低点时向心力最大的结论直接选B;不能对物块进行全面的受力分析和力的变化分析，不能换位思考“重力沿切向的分力总等于滑动摩擦力”，认为物块做匀速圆周运动时向心力大小恒定，并将此向心力当成轨道支持力N,由摩擦定律不得f= N，因而判断摩擦力大小不变而错选D .【典例4】(原创)飞机在高度为500m的低空水平匀速飞行，在距目标水平距离2000m处投弹，随即在水平面内以原速率做匀速圆周运动，准备返回，飞行员检测到飞机速度方向改变60°角时，看到炸弹恰好着地爆炸. (1)求飞机速度v; (2)匀速圆周运动的加速度大小？【正确解答】(1)炸弹飞行时间为t，则h= — gt2, t= f—h^^2 500s= 10s ①炸弹做平抛运动的初速度v0= X= 2000 m/s= 200m/s ②t 10即飞机的速度v = v0= 200 m/s ③(2)匀速圆周运动的轨道半径 2 R=vT= 6vt, R= 3vt④A •（:gR r 3【正确解答)AD匸)gR 2卫星所受地球万有引力等于其向心力，因此有r ，又G M¥=mg ，解得R2v v 2 2a= = m/s =20.9m/sR 3t【易错反思】不能将炸弹做平抛运动的时间与飞机做圆周运动的时间联系起来， 认为飞机做圆周运动的半径未知， 不能求出飞机的向心加速度是错误之一； 求飞机圆周运动的周期时没有将60°角转换成 计算，不能正确列出④式，即没有统一单位而出错，典型的错误算式3为 60=Lt T易错类型五 万有引力定律、人造卫星和宇宙飞船易错分析⑴对天体质量和密度的测量， 不明确观测对象：绕被测天体运行的其它天体； 不清楚最佳观测量：距离r 和周期T ;⑵对三个宇宙速度及意义理解不透彻，不能区别“宇宙速度”与卫星的“运行速度”；式没有完全掌握，理解不透彻，运用不熟练; ⑷不能正确建立变轨问题中的能量关系、 运动和力的关系等，缺乏将能量关系同运动和力的 关系综合起来进行推理判断的能力.【典例3】（原创）“嫦娥一号”在被月球俘获后也进行了几次变轨操作，最后一次变轨是从 周期为3.5h 的椭圆轨道转移到周期为 127min 的极月圆轨道，并于2007年12月4日传回了 第一幅月球背面的照片•关于“嫦娥一号”的下列说法正确的是A •拍摄月球背面的照片时间必须在农历每月15日左右，因为此时月球最圆最亮B •卫星从椭圆轨道转移到圆轨道，必须在椭圆轨道的近月点启动发动机减速C .卫星在圆轨道上的速度总小于在椭圆轨道上的速度D •卫星在圆轨道上的速度大于在椭圆轨道上经过近月点时的速度正确解答】B 当人们在农历15日看到月球最圆最亮时，其背面是月球的晚上，不便拍 照，A 错；卫星周期减小，则轨道半径减小，须在近月点变轨，由于在椭圆轨道上经过近月 点时的速度大于在圆轨道上的运行速度，故须在近月点减速， B 对D 错；卫星在椭圆轨道 上运行时，经远月点的速度小于在圆轨道上的速度， 在近月点的速度则大于在圆轨道上的速度，C 错.【易错反思】不清楚“月球背面”被太阳照亮的规律，认为地球上人看到的最圆最亮就是月 球“最大”的时刻，也是最佳拍照的时刻而错选A ;对卫星在椭圆轨道上运行时的能量变体化与速度变化的关系不明确，或者对变轨原理不明确而错选 CD •【典例4】某卫星在赤道上空飞行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为地球的自转方向相同.设地球的自转角速度为 0，地球半径为R,地球表面重力加速度为 g ,可能为（ 向心加速度 ⑶对G Mm ―=ma , r MmG-R^=mg 这两个基本公式及其变式,特别是对向心加速度 a 的种种变r ，飞行方向与在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方, 则到它下次通过该建筑物正上方所需的时间亨，若 > 0，则当地球转过角时卫星转过+2 角，如图2-4-8所示，且=0t, +2 = t，解得A项正确；若< °，则解得D正确；若=°，则卫星时刻在该建筑物上方.【易错反思】选B是计算错误；若把地球当作是静止不动的，则会错选C; 一般认为卫星的运行周期小于或等于地球自转周期，但实际上是可以大于地球自转周期的，因此容易漏选D项.【强化闯关】1 . （L1强化）（原创）下列运动能够发生的是A .物体做曲线运动而速度可能不变B .物体运动的速率不变面可能是做直线运动C.物体不受外力而做曲线运动 D •物体所受合外力恒定而没有做直线运动2. （L2强化）一艘轮船到水流速为2m/s的江中测试船速，设船速大小为一定值，在江中选两个浮标A,B之间为航线，AB间的距离s=1200m ,水流速度方向跟AB连线的夹角9=60 ° , 如图所示，测得船沿着AB连线航行一个来回用时为400s，求船速的大小.3. （L3强化）（原创）小球以初速度v0水平抛出，用v t表示小球某时刻的速度，V表示小球速度的改变量，s表示小球的位移的，E k表示小球某时刻的动能，不计空气阻力，则下列各图的关系正确的是A B C D图2-4-94. （L4强化）如图2-4-10所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直平面内做圆周运动. A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D点与圆心O在同一水平线上.物体对地面的压力为N，地面对物体的摩擦力为f，小滑块运动时，物体在地面上静止不动•则下列说法正确的是A .小滑块在A点时,B .小滑块在B点时, C.小滑块在C点时, D .小滑块在D点时, N> Mg, f方向向左N=Mg , f方向向右N> (M + m) g, f 为零N= (M + m) g, f方向向左图2-4-105. （L5强化）（原创）月球绕地球公转的周期与月球自转周期相同，约1个月时间，因此地球上的人永远看不见月球的背面，然而“嫦娥一号”却帮我们“看”到了.那么，绕月卫星要想在日照条件下拍下月球表面完整的系列照片，则A .需要大约一天时间C.需要大约一年时间B .需要大约一个月时间D .卫星轨道必须与月球赤道同平面6. （L5强化）已知地球半径为运动的角速度为30,在距地面R,—只静止在赤道上空的热气球（不计气球离地高度h高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球质量为）绕地心M ,热气球的质量为m,人造地球卫星的质量为m1,根据上述条件，有一位同学列出了以下两条式子:…一「， 一 Mm2-…丄口亠 -Mm 1 2…,对热气球有：G — =m 0R对人造卫星有： Gr=m 1 R+h R R+h 进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度 o •你认为该同学的解法是否正确？若认 为正确，请求出结果.若认为错误，请说明理由，并补充一个条件后，再求出 【参考答案】 强化闯关参考答案： 1 . BD 物体做曲线运动时，速度方向一定改变，即速度一定改变， 不变，若运动方向也不变，则是做直线运动， 变，不可能做曲线运动， c o. 直线上，则物体做曲线运动， 设水流速度为V 1,船速为 2. 则 A 错；物体运动的速率 B 正确；物体不受外力则加速度为零，速度不 C 项错；物体所受合外力恒定，若合外力方向与速度方向不在一条D 对. 由A 向B 运动时合速度为 V 2, V h1 ,由B 返回A 时合速度为V h2, 2s 2s s/v h1+s/v h2tV 2 cos +V 1 cos 60 = V h1 ② v 2 cos -v 1 cos60 = V h2 ③ v 2 sin =v 1 sin 60④联立①②③得v 2 cos④/⑤得 t —3- ⑥①10v 2 = 3■-_10 = 122+6.10 m/s = 6.4 m/scos的乘积，即 V=gt ， B B 平抛运动的速度V t = V ：+V ：项正确2 2 o+ gt , A 错;速度的改变量等于加速度与时间；位移 s= •, x 2+y 22.21 2 V o t + —gt21 2 1 2E k = mv t = mv 0+mgy 2 2 4. BC 小物块m 在A 点有向下的加速度 失重，在C 点有向上的加速度为超重， 对；小物块在 B 点时轨道支持力为向心力向右，因此地面摩擦力向右， 左，小物块在B 、D 两点对物体只有水平压力， B 对D 错.5. B 阳光将月球表面全部照亮一遍所需时间就是月球上的“一天” ，等于月球自转周期，因此要在日照条件下完整地拍下月球表面的系列照片， 至少需要月球上的 “一天”即地球上 的一个月的时间，AC 错B 对；若卫星轨道与赤道同平面，则月球的两极有“看”不到的地 方，要完成为一任务，卫星必须要经过高纬度的上空， D 错.6. 第一个式子（对热气球）不正确.1 2 二一 mV 0+ 2 2丄"1 gt 2 , D 错.A 错CD 点地面摩擦力向I=r速度应等于地球自转角速度. 解法参考如下：(1 )若补充地球表面的重力加速度 g 为已知，可以认为热气球受到的万有引力近似等于其式联立可得:此外若利用近地卫星运行的角速度也可求出重力，则有G 罟mg与第二个等式联列可得:(2)若补充同步卫星的离地高度H 为已知，有:(RMm?m°(R H )与第二个等(3)若补充第一宇宙速度v .为已知：Mm2m 也与第二个等式联立可得:RR R hR S。
曲线运动和万有引力经典例题及详细答案
第四章 曲线运动和万有引力§4.1 运动的合成和分解 平抛运动[知识要点]1、曲线运动（1）曲线运动的条件：合外力方向（或加速度方向）与速度方向不在一条直线上。
（2）曲线运动的特点及性质：曲线运动中质点的速度方向为某时刻曲线中这一点的切线方向，曲线运动一定是变速运动。
2、运动的合成和分解（1）已知分运动求合运动的过程叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程叫运动的分解。
（2）运动合成和分解的总原则：平行四边形定则（包括s 、v 、a 的合成和分解）。
运动的分解原则：根据实际效果分解或正交分解。
（3）运动合成和分解的特点：①等效性：几个分运动的总效果为合运动；某个运动（合运动）可以用几个分运动等效代替。
②独立性：各个分运动可以是不同性质的运动，且互不干扰，独立进行。
③等时性：合运动和分运动具有同时开始、同时结束的特性，物体运动的时间取决于具有某种约束的分运动，如平抛运动中物体下落的高度可能决定平抛运动的时间。
3、平抛运动（1）定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。
（2）性质：平抛运动是加速度a=g 的匀变速曲线运动。
（3）规律：以水平方向抛出速度V 0做匀速直线运动，v x =v 0 ,x=v 0t ；竖直方向做自由落体运动，v y =gt ，y=(1/2)gt 2。
（4）运动轨迹：由x= v 0t 和y=(1/2)gt 2得y=gx 2/2v 02，顶点为（0，0），开口向下的半支抛物线（x>0,y>0）。
【典型例题 】，[例1] 物体受到几个力的作用而处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能为（ ）A 、静止或匀速直线运动B 、匀变速直线运动C 、曲线运动D 、匀变速曲线运动 [例2] 某河宽d=100m ，水流速度为3m/s ，船在静水中的速度为4m/s ，问：（1）船渡河的最短时间多长？船的位移多大？（2）欲使船沿最短路径到达对岸，船应与河岸成多大的角度行驶？ 渡河时间多少？（3）若水流流速为4m/s ，船在静水中的速度为3m/s 时，欲使船沿最短路径到达对岸，船应与河岸成多大角度？ [例3] 在图所示的装置中，两个相同的弧形轨道M 、N ，分别用于发射小铁球P 、Q ；两轨道上端分别装有电磁铁C 、D ；调节电磁铁C 、D 的高度，使AC=BD ，从而保证小铁球P 、Q 在轨道出口处的水平初速度v 0相等。
易错笔记专题4 曲线运动 万有引力
易错笔记专题4 曲线运动万有引力大悟一中王志平要点笔记1．运动的合成与分解⑴合运动的性质和轨迹：由合初速度与合加速度的方向关系以及合加速度大小决定；⑵渡河问题讨论：垂直渡河，渡河时间最短的条件；⑶绳端物体速度的分解：将实际速度分解为沿绳伸长或缩短方向和垂直于绳绕滑轮转动的方向；2．物体做曲线运动的条件．平抛物体的运动规律．特别注意平抛运动是匀变速曲线运动， v且方向总在竖直方向上．速度的变化量=gt3．圆周运动⑴匀速圆周运动的描述：线速度，角速度，周期，向心加速度等；⑵圆周运动中向心力的特点：方向总指向圆心；只改变速度的方向；⑶竖直平面内圆周运动的临界问题：分轻绳、环形轨道内侧类，杆、环形管道类和凸形轨道类．4．万有引力定律，行星的运动．注意天体质量的测定的观测对象：一定是绕该天体运行的其它天体．5．人造卫星和宇宙飞船，三个宇宙速度及意义，卫星变轨问题．易错笔记易错类型一运动性质判断易错分析运动和力的关系在曲线运动中显得更复杂，如果不能深刻理解“物体是做直线运动还是做曲线运动，取决于所受合外力的方向与该时刻速度的方向关系”这一要点，正确判断物体的运动性质就是一句空话；加速度描述速度变化的快慢，包括速度大小的变化和方向的变化，不能正确理解加速度与速度以及加速度与运动的关系也是出错的重要原因．【典例1】下列关于运动和力的叙述中，正确的是A．做曲线运动的物体，其加速度方向一定是变化的B．物体做圆周运动，所受的合力一定指向圆心C．物体所受合力方向与运动方向相反，该物体一定做直线运动D．物体运动的速率在增加，所受合力方向一定与运动方向相同【正确解答】C物体是否做曲线运动由合外力（或加速度）的方向与该时刻速度的方向是否在一条直线上来决定，“是”则为直线运动，“否”则为曲线运动，与加速度方向是否变化没有关系，加速度的方向变化一定是曲线运动，但曲线运动的加速度方向不一定变化，A错C对；只有做匀速圆周运动的物体所受合外力才指向圆心，B错；只要合力与速度方向成小于90°的角，物体运动速率就会增大，D错．【易错反思】认为加速度方向变化是做曲线运动的充分必要条件，则会错选A；审题时粗心大意，将“圆周运动”当成“匀速圆周运动”，或者对圆周运动的概念理解不透彻，则会错选B；对加速度概念理解不透彻，加速度与速度变化之间的关系不明确而错选D．【典例２】（原创）执行救灾任务的飞机水平匀速直线飞行，相隔0.5s先后释放形状和质量完全相同的两箱救灾物资1和2．假设空气阻力与物体速度成正比，这两箱物资在空中下落时，地面上的人可能看到的是A．1号箱不可能在2号箱的正下方B ．两箱的水平距离保持不变C ．两箱的水平距离先增大后不变D ．两箱的竖直距离一直增大【正确解答】BC 若沿着或逆着飞机飞行方向看，1号箱在2号箱的正下方且两箱水平距离为零，则A 错B 正确；由于2号箱后释放，释放时2号的水平速度比1号大，两箱水平距离增大，当两箱水平速度减小到零时空气阻力水平值为零，距离不变．同理竖直方向也是如此，C 正确D 错．【易错反思】受陈题的影响，没有审清“地面上的人可能看到的”可以有不同的观看角度这一隐含条件而错选A 和漏选B ；认为B 与C 项矛盾而只选其一也是漏选原因；对运动的独立性理解不够，因此对“假设空气阻力与物体速度成正比”注意到水平方向而遗漏了竖直方向，或者相反，因此错选D 项．易错类型二 运动的合成与分解易错分析⑴对运动的独立性理解不够，不能就单方向运用运动和力的关系判断物体的运动性质； ⑵对渡河问题、绳端速度的分解问题不理解分解方向的意义，将运动效果与力的作用效果混淆，采用了力的分解方法；⑶不能灵活运用正交分解法和三角形法则分析和解答临界问题和极值问题．【典例３】如图2-4-1所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A 的受力情况是A ．绳的拉力大于A 的重力B ．绳的拉力等于A 的重力C ．绳的拉力小于A 的重力D ．拉力先大于重力，后变为小于重力【正确解答】A 设某时刻汽车拉物体的绳子与水平方向成θ角，则汽车的速度分解如图2-4-2所示，物体A 的速度等于2v ，即2cos =θv v ，汽车向右运动时θ角减小，cos θ增大，物体A 的速度2v 增大，故物体加速上升，处于超重状态，绳子的拉力大于A 的重力，A 选项正确．【易错反思】认为汽车匀速运动则物体A 也匀速运动而错选B ；由于汽车速度的分解方向错误，如图2-4-3所示，得物体A 的速度2cos =/θv v 随θ的减小而减小，减速运动为失重而错选C ． 【典例４】（原创）民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔弛的马背上，弯弓放箭射向侧向的固定目标．假设运动员骑马奔弛的速度为v 1，运动员静止时射出的弓箭速度为v 2，直跑道离固定目标的最近距离为d ．要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则A ．运动员放箭处离目标的距离为1d v vB ．运动员放箭处离目标的距离为22122+d v v vC ．箭射到靶的最短时间为2d vD ．箭射到靶的最短时间为2221-v v图2-4-1 A v 图2-4-2 θ v 1v v 2 图2-4-3 θ v 1 vv 图2-4-4【正确解答】BC 运动员射出的箭实际对地速度是马奔驰的速度v 1与运动员静止时射出的箭的速度v 2的矢量和，如图2-4-5(a )所示，因此箭的运动时间2sin d t=θv ，要想箭在空中飞行时间最短，则sin 1=θ，即射出的箭的速度v 2与奔跑方向的夹角90=θ︒，箭射到靶的最短时间2d t=v ，C 对D 错；如图2-4-5(b )，则有运动员放箭处离目标的距离为()22212212d +s=d +t =v v v v ，A 错B 对． 【易错反思】考查的合成与分解，部分考生会因对“运动员放箭处离目标的距离”的理解错误而错选A ；对最短时间的判断和计算错误而错选D ．易错类型三 平抛物体的运动易错分析⑴没有熟练掌握平抛运动的基本规律，对分解计算的方法不理解；⑵对平抛运动的性质理解不透彻，由于分解计算的强化，加之审题不仔细导致对位移、速度等的计算仍按水平位移或竖直速度计算的错误；⑶不能灵活运用如初速度为零的匀加速运动、速度的变化量=gt ∆v 且方向总是竖直向下等特殊规律解答问题；【典例３】（原创）小球a 、b 以相同初速度0v 水平抛出，落地点到抛出点的水平距离分别为a b s s 、，且2a b s =s ，以a b h h 、分别表示两球抛出点到地面的高度，不计空气阻力，则A ．:1:3a b h h =B ．:4:1a b h h =C ．:3:1a b h h =D ．:2:1a b h h =【正确解答】B 由于两球抛出时初速度相等，且2a b s =s ，因此下落时间为2a b t =t ，由212h=gt 可得:4:1a b h h =，B 项正确． 【易错反思】在得出下落时间为2a b t =t 的结论后，直接由初速度为零的匀加速运动在连续相等时间内位移之比为1：3，错选A 或C ．【典例４】做平抛运动的物体，在落地前的最后一秒内，其速度方向由与水平方向成37°变为与竖直方向成45°，求物体抛出时的初速度和下落的高度．(g =10m/s 2)【正确解答】平抛运动的加速度恒定且为重力加速度g ，因此在任意时间内速度的改变量υ=gt ∆，其方向总是竖直向下的，如图2-4-6所示．由图可知：01cos37=︒v v ① 02cos 45=︒v v ②21sin 45sin 37=gt=υ-υ∆︒︒v ③联立解得：040m/s =v ④ 2040m/s y ==v v ⑤图2-4-5 υ1 △υ υ2 45° 37° 图2-4-622240m 80m 2210y h===g ⨯v ⑥ 【易错反思】不能正确理解“落地前的最后一秒内”的确切意义，画出如图所示的速度变化情景是审题的主要障碍，不能抓住水平速度不变的特点列出①②两式，不能灵活运用=gt ∆v 列出③式是计算中的主要出错点．易错类型四 圆周运动和综合问题易错分析⑴对向心力的概念理解不透彻，不能灵活分析向心力产生的效果对物体运动状态的影响； ⑵对竖直平面内圆周运动的三种临界条件的掌握和运用不准确，不熟练；⑶综合试题的审题【典例３】一小物块由某高处自由落下,从内壁粗糙的半球形碗边的A 点滑入碗内,，由于摩擦力的作用，在下滑过程中小物块的速率恰好保持不变，如图2-4-7所示．则在下滑过程中：（ ）A ．小物块所受合外力为零B ．小物块所受合外力越来越大C ．小物块所受合外力大小不变，方向时刻改变D ．小物块所受摩擦力大小不变【正确解答】C 匀速圆周运动的性质是变加速曲线运动，加速度大小不变，方向时刻改变，速度时刻也在变，故合力不可能为零，A 错；但由于物块速率不变做匀速圆周运动，所受合力大小不变，只是方向时刻改变，B 错C 对；对小物块进行受力分析得，同时受重力G ，曲面的支持力N ，摩擦力f 三个作用，f 始终垂直于N ，速度大小不变，可知摩擦力f 始终等于重力G 在切向的分力，通过受力分析可知，在物体下落到碗底之前所受摩擦力一直变小，D 错．【易错反思】将匀速圆周运动当作平衡状态而错选A ；用光滑圆轨道内小球的运动小球在最低点时向心力最大的结论直接选B ；不能对物块进行全面的受力分析和力的变化分析，不能换位思考“重力沿切向的分力总等于滑动摩擦力”，认为物块做匀速圆周运动时向心力大小恒定，并将此向心力当成轨道支持力N ，由摩擦定律不得f=N μ，因而判断摩擦力大小不变而错选D ．【典例４】（原创）飞机在高度为500m 的低空水平匀速飞行，在距目标水平距离2000m 处投弹，随即在水平面内以原速率做匀速圆周运动，准备返回，飞行员检测到飞机速度方向改变60°角时，看到炸弹恰好着地爆炸．(1)求飞机速度v ；(2)匀速圆周运动的加速度大小?【正确解答】（1）炸弹飞行时间为t ，则212h=gt , 22500s 10s 10h t===g ⨯ ① 炸弹做平抛运动的初速度 02000m/s 200m/s 10x===t v ② 即飞机的速度0200m/s =v =v ③(2)匀速圆周运动的轨道半径 326tR=T=t R=ππv v v ， ④A v图2-4-7向心加速度 222m/s 20.9m/s 3a===R tπv v ⑤ 【易错反思】不能将炸弹做平抛运动的时间与飞机做圆周运动的时间联系起来，认为飞机做圆周运动的半径未知，不能求出飞机的向心加速度是错误之一；求飞机圆周运动的周期时没有将60°角转换成3π计算，不能正确列出④式，即没有统一单位而出错，典型的错误算式为602260=T=t t T ππ，得． 易错类型五 万有引力定律、人造卫星和宇宙飞船易错分析⑴对天体质量和密度的测量，不明确观测对象：绕被测天体运行的其它天体；不清楚最佳观测量：距离r 和周期T ；⑵对三个宇宙速度及意义理解不透彻，不能区别“宇宙速度”与卫星的“运行速度”； ⑶对22Mm Mm G =ma G =mg r R，这两个基本公式及其变式，特别是对向心加速度a 的种种变式没有完全掌握，理解不透彻，运用不熟练；⑷不能正确建立变轨问题中的能量关系、运动和力的关系等，缺乏将能量关系同运动和力的关系综合起来进行推理判断的能力．【典例３】（原创）“嫦娥一号”在被月球俘获后也进行了几次变轨操作，最后一次变轨是从周期为3.5h 的椭圆轨道转移到周期为127min 的极月圆轨道，并于2007年12月4日传回了第一幅月球背面的照片．关于“嫦娥一号”的下列说法正确的是A ．拍摄月球背面的照片时间必须在农历每月15日左右，因为此时月球最圆最亮B ．卫星从椭圆轨道转移到圆轨道，必须在椭圆轨道的近月点启动发动机减速C ．卫星在圆轨道上的速度总小于在椭圆轨道上的速度D ．卫星在圆轨道上的速度大于在椭圆轨道上经过近月点时的速度【正确解答】B 当人们在农历15日看到月球最圆最亮时，其背面是月球的晚上，不便拍照，A 错；卫星周期减小，则轨道半径减小，须在近月点变轨，由于在椭圆轨道上经过近月点时的速度大于在圆轨道上的运行速度，故须在近月点减速，B 对D 错；卫星在椭圆轨道上运行时，经远月点的速度小于在圆轨道上的速度，在近月点的速度则大于在圆轨道上的速度，C 错．【易错反思】不清楚“月球背面”被太阳照亮的规律，认为地球上人看到的最圆最亮就是月球“最大”的时刻，也是最佳拍照的时刻而错选A ；对卫星在椭圆轨道上运行时的能量变体化与速度变化的关系不明确，或者对变轨原理不明确而错选CD ．【典例４】某卫星在赤道上空飞行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同．设地球的自转角速度为0ω，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下次通过该建筑物正上方所需的时间可能为（ ）A ．)(2032ωπ-r gR B ．)1(2023ωπ+gR r C ．232gR r π D 203()gR -r ω 【正确解答】AD 卫星所受地球万有引力等于其向心力，因此有22Mm G =m r r ω，又2Mm G =mg R ，解得23R g =rω0>ωω，则当P ω0ω φ地球转过ϕ角时卫星转过()2+ϕπ角，如图2-4-8所示，且02=t +=t ϕωϕπω，，解得A 项正确；若0<ωω，则解得D 正确；若0=ωω，则卫星时刻在该建筑物上方．【易错反思】选B 是计算错误；若把地球当作是静止不动的，则会错选C ；一般认为卫星的运行周期小于或等于地球自转周期，但实际上是可以大于地球自转周期的，因此容易漏选D 项．【强化闯关】1．（L1强化）（原创）下列运动能够发生的是A ．物体做曲线运动而速度可能不变B ．物体运动的速率不变面可能是做直线运动C ．物体不受外力而做曲线运动D ．物体所受合外力恒定而没有做直线运动2．（L2强化）一艘轮船到水流速为2m/s 的江中测试船速，设船速大小为一定值，在江中选两个浮标A ，B 之间为航线，AB 间的距离s =1200m ，水流速度方向跟AB 连线的夹角θ=60°，如图所示，测得船沿着AB 连线航行一个来回用时为400s ，求船速的大小．3．（L3强化）（原创）小球以初速度0v 水平抛出，用t v 表示小球某时刻的速度，∆v 表示小球速度的改变量，s 表示小球的位移的，k E 表示小球某时刻的动能，不计空气阻力，则下列各图的关系正确的是4．（L4强化）如图2-4-10所示，质量为M 的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m 的小滑块沿该圆形轨道在竖直平面内做圆周运动．A 、C 点为圆周的最高点和最低点，B 、D 点与圆心O 在同一水平线上．物体对地面的压力为N ，地面对物体的摩擦力为f ，小滑块运动时，物体在地面上静止不动．则下列说法正确的是A ．小滑块在A 点时，N ＞Mg ，f 方向向左B ．小滑块在B 点时，N =Mg ，f 方向向右C ．小滑块在C 点时，N > (M ＋m ）g ，f 为零D ．小滑块在D 点时，N = (M ＋m ）g ，f 方向向左5．（L5强化）（原创）月球绕地球公转的周期与月球自转周期相同，约1个月时间，因此地球上的人永远看不见月球的背面，然而“嫦娥一号”却帮我们“看”到了．那么，绕月卫星要想在日照条件下拍下月球表面完整的系列照片，则A ．需要大约一天时间B ．需要大约一个月时间C ．需要大约一年时间D ．卫星轨道必须与月球赤道同平面6．（L5强化）已知地球半径为R ，—只静止在赤道上空的热气球(不计气球离地高度)绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h 高处圆形轨道上有一颗人造地球卫星，设地球质量为M ，热气球的质量为m ，人造地球卫星的质量为m 1，根据上述条件，有一位同学列出了以下两条式子： t t v A Ot ∆v B Ot s C OtkE D O 图2-4-9 图2-4-10对热气球有：202Mm G =m R R ω 对人造卫星有：()()2112Mm G =m R+h R+h ω 进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω．你认为该同学的解法是否正确？若认为正确，请求出结果．若认为错误，请说明理由，并补充一个条件后，再求出ω．【参考答案】强化闯关参考答案：1．BD 物体做曲线运动时，速度方向一定改变，即速度一定改变，A 错；物体运动的速率不变，若运动方向也不变，则是做直线运动，B 正确；物体不受外力则加速度为零，速度不变，不可能做曲线运动，C 项错；物体所受合外力恒定，若合外力方向与速度方向不在一条直线上，则物体做曲线运动，D 对．2．设水流速度为v 1，船速为v 2，由A 向B 运动时合速度为v h 1，由B 返回A 时合速度为v h 2，则1222h h s s =s/+s/t v v ① 211cos cos 60h +=θ︒v v v ② 212cos cos 60h -=θ︒v v v ③ 21sin sin 60=θ︒v v ④联立①②③得2cos 3=θv ⑤④/⑤得tan θ ⑥2 6.4m/s =v ⑦ 3．B平抛运动的速度t v A 错；速度的改变量等于加速度与时间的乘积，即=gt ∆v ，B 项正确；位移，C 错；2201122k t E =m =m +mgy v v ()2201122=m +m gt v ，D 错． 4．BC 小物块m 在A 点有向下的加速度 失重，在C 点有向上的加速度为超重，A 错C 对；小物块在B 点时轨道支持力为向心力向右，因此地面摩擦力向右，D 点地面摩擦力向左，小物块在B 、D 两点对物体只有水平压力，B 对D 错．5．B 阳光将月球表面全部照亮一遍所需时间就是月球上的“一天”，等于月球自转周期，因此要在日照条件下完整地拍下月球表面的系列照片，至少需要月球上的“一天”即地球上的一个月的时间，AC 错B 对；若卫星轨道与赤道同平面，则月球的两极有“看”不到的地方，要完成为一任务，卫星必须要经过高纬度的上空，D 错．6．第一个式子（对热气球）不正确．因为热气球不同于人造卫星，热气球静止在空中是因为浮力与重力平衡，它绕地心运动的角1 图2-4-11速度应等于地球自转角速度．解法参考如下：（1）若补充地球表面的重力加速度g 为已知，可以认为热气球受到的万有引力近似等于其重力，则有2Mm G mg R==与第二个等式联列可得：ω=（2）若补充同步卫星的离地高度H 为已知,有：202()()Mm G m R H R H ω''==++与第二个等式联立可得：320()R H R hωω+=+ （3）若补充第一宇宙速度1v 为已知：有212Mm G m R R''=v 与第二个等式联立可得：ω=v 此外若利用近地卫星运行的角速度也可求出ω．。
曲线运动+万有引力定律知识点总结
曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。
（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。
即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。
（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。
（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。
）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。
2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。
3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。
也可以说是：合外力不变的运动。
4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
（举例：匀速圆周运动）平抛运动基本规律1．速度：0xyv vv gt=⎧⎨=⎩合速度:22yxvvv+=方向：oxyvgtvv==θtan2．位移212x v ty gt=⎧⎪⎨=⎪⎩合位移：22x x y=+合方向：ovgtxy21tan==α3．时间由:221gty=得gyt2=（由下落的高度y决定）4．平抛运动竖直方向做自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。
5．tan 2tan θα= 速度与水平方向夹角的正切值为位移与水平方向夹角正切值的2倍。
6.平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度方向延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。
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专题四：曲线运动、万有引力考点例析。
本章知识点，从近几年高考看，主要考查的有以下几点：（1）平抛物体的运动。
（2）匀速圆周运动及其重要公式，如线速度、角速度、向心力等。
（3）万有引力定律及其运用。
（4）运动的合成与分解。
注意圆周运动问题是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，要加深对牛顿第二定律的理解，提高应用牛顿运动定律分析、解决实际问题的能力。
近几年对人造卫星问题考查频率较高，它是对万有引力的考查。
卫星问题与现代科技结合密切，对理论联系实际的能力要求较高，要引起足够重视。
本章内容常与电场、磁场、机械能等知识综合成难度较大的试题，学习过程中应加强综合能力的培养。
一、夯实基础知识1、深刻理解曲线运动的条件和特点（1）曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动。
（2）曲线运动的特点：○1在曲线运动中，运动质点在某一点的瞬时速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向。
②曲线运动是变速运动，这是因为曲线运动的速度方向是不断变化的。
○3做曲线运动的质点，其所受的合外力一定不为零，一定具有加速度。
2、深刻理解运动的合成与分解物体的实际运动往往是由几个独立的分运动合成的，由已知的分运动求跟它们等效的合运动叫做运动的合成；由已知的合运动求跟它等效的分运动叫做运动的分解。
运动的合成与分解基本关系：○1分运动的独立性；○2运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；○3运动的等时性；○4运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。
）3.深刻理解平抛物体的运动的规律（1）．物体做平抛运动的条件：只受重力作用，初速度不为零且沿水平方向。
物体受恒力作用，且初速度与恒力垂直，物体做类平抛运动。
（2）．平抛运动的处理方法通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。
(3)．平抛运动的规律以抛出点为坐标原点，水平初速度V 0方向为沿x 轴正方向，竖直向下的方向为y 轴正方向，建立如图1所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t.①位移分位移t V x 0=, 221gt y =,合位移2220)21()(gt t V s +=,02tan V gt =ϕ. ϕ为合位移与x 轴夹角.②速度图1分速度0V V x =, V y =gt, 合速度220)(gt V V +=,0tan V gt =θ. θ为合速度V 与x 轴夹角(4)．平抛运动的性质做平抛运动的物体仅受重力的作用，故平抛运动是匀变速曲线运动。
4.深刻理解圆周运动的规律(1)匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这种运动就叫做匀速周圆运动。
(2)．描述匀速圆周运动的物理量①线速度v ，物体在一段时间内通过的弧长S 与这段时间t 的比值，叫做物体的线速度，即V=S/t 。
线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向。
线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动。
②角速度ω，连接运动物体和圆心的半径在一段时间内转过的角度θ与这段时间t 的比值叫做匀速圆周运动的角速度。
即ω=θ/t 。
对某一确定的匀速圆周运动来说，角速度是恒定不变的，角速度的单位是rad/s 。
③周期T 和频率f(3)．描述匀速圆周运动的各物理量间的关系:r fr Tr V ωππ===22 (4)、向心力：是按作用效果命名的力，其动力学效果在于产生向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小。
对于匀速圆周运动物体其向心力应由其所受合外力提供。
r mf r Tm r m r V m ma F n n 22222244ππω=====. 5.深刻理解万有引力定律（1）万有引力定律：○1自然界的一切物体都相互吸引，两个物体间的引力的大小，跟它们的质量乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。
○2公式：221r m m G F =， G=6.67×10-11N.m 2/kg 2.○3适用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。
（2）万有引力定律的应用：○1讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况： 物体的重力近似为地球对物体的引力，即mg=G 2)(h R Mm +。
所以重力加速度g= G 2)(h R M +，可见，g 随h 的增大而减小。
○2求天体的质量：通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。
○3求解卫星的有关问题：根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。
由G 2r Mm =m r V 2得V=r GM ，由G 2rMm = mr(2π/T)2得T=2πGM r 3。
由G 2r Mm = mr ω2得ω=3r GM ，由E k =21mv 2=21G r Mm 。
(3)三种宇宙速度：○1第一宇宙速度V 1=7.9Km/s,人造卫星的最小发射速度；○2第二宇宙速度V 2=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；（3）第三宇宙速度V 3=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
二、解析典型问题问题1：会用曲线运动的条件分析求解相关问题。
例1、质量为m 的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F 1时，物体可能做( )A ．匀加速直线运动；B ．匀减速直线运动；C ．匀变速曲线运动；D ．变加速曲线运动。
分析与解：当撤去F 1时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F 1，方向与F 1方向相反。
若物体原来静止，物体一定做与F 1相反方向的匀加速直线运动。
若物体原来做匀速运动，若F 1与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A 、B 正确。
若F 1与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C 正确，D 错误。
正确答案为：A 、B 、C 。
例2、图1中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹，a 、b 是轨迹上的两点。
若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是（ ）A ． 带电粒子所带电荷的符号；B ． 带电粒子在a 、b 两点的受力方向；C ． 带电粒子在a 、b 两点的速度何处较大；D ． 带电粒子在a 、b 两点的电势能何处较大。
分析与解：由于不清楚电场线的方向，所以在只知道粒子在a 、b 间受力情况是不可能判断其带电情况的。
而根据带电粒子做曲线运动的条件可判定，在a 、b 两点所受到的电场力的方向都应在电场线上并大致向左。
若粒子在电场中从a 向b 点运动，故在不间断的电场力作用下，动能不断减小，电势能不断增大。
故选项B 、C 、D 正确。
问题2：会根据运动的合成与分解求解船过河问题。
图1例3、一条宽度为L 的河流，水流速度为V s ,已知船在静水中的速度为V c ，那么：（1）怎样渡河时间最短？（2）若V c >V s ,怎样渡河位移最小？（3）若V c <V s ,怎样注河船漂下的距离最短？分析与解：（1）如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V 1=V c sin θ,渡河所需时间为：θsin c V L t =. 可以看出：L 、V c 一定时，t 随sin θ增大而减小；当θ=900时，sin θ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，cV L t =min .(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。
为了使渡河位移等于L ，必须使船的合速度V 的方向与河岸垂直。
这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。
根据三角函数关系有：V c cos θ─V s =0.所以θ=arccosV s /V c ,因为0≤cos θ≤1,所以只有在V c >V s 时，船才有可能垂直于河岸横渡。
（3）如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。
怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头V c 与河岸成θ角，合速度V 与河岸成α角。
可以看出：α角越大，船漂下的距离x 越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以V s 的矢尖为圆心，以V c 为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，根据cos θ=V c /V s ,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosV c /V s . 船漂的最短距离为：θθsin )cos (min c c s V L V V x -=. 此时渡河的最短位移为：L V V L s cs ==θcos .问题3：会根据运动的合成与分解求解绳联物体的速度问题。
对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体2 图2甲图2乙图2丙的速度在绳的方向上的投影相等。
求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。
例4、如图3所示，汽车甲以速度v 1拉汽车乙前进，乙的速度为v 2，甲、乙都在水平面上运动，求v 1∶v 2分析与解：如图4所示，甲、乙沿绳的速度分别为v 1和v 2cos α，两者应该相等，所以有v 1∶v 2=cos α∶1例5、如图5所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M 。
滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。
某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率V m . 分析与解：杆的端点A 点绕O 点作圆周运动，其速度V A 的方向与杆OA 垂直，在所考察时其速度大小为：V A =ωR 对于速度V A 作如图6所示的正交分解，即沿绳BA 方向和垂直于BA 方向进行分解，沿绳BA 方向的分量就是物块M 的速率V M ，因为物块只有沿绳方向的速度，所以 V M =V A cos β由正弦定理知， R H αβπsin )2sin(=+ 由以上各式得V M =ωHsin α.问题4：会根据运动的合成与分解求解面接触物体的速度问题。
求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。
例6、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。