第四章 动量定理

∫
vt
v0
dv =
Mt
∫
M0
−u
dM M
由此得
vt − v0 = u ln
M0 Mt
此式表明，火箭在燃料燃烧后所增加的速度和喷气速度成正比，出现的始末 质量比的自然对数成正比。 如果只以火箭本身作为研究的系统，以 F 表示喷出气体对火箭体的推力， 则 根据牛顿第二定律，应有
F=M
dv dt
将 − udM = udm = Mdv 代入上式，可得
∫
t2
t1
� � � � (F1 +F12 )dt = m1 v1 − m1 v10
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∫
t2
t1
� � � � (F2 +F21) dt = m2v 2 − m 2v 20
将以上两式相加，则得
∫
t2
t1
� � t2 � � � � � � (F2 +F1 )dt + ∫ (F12 +F21) dt = ( m1v1+ m2v 2 ) − ( m2v 20 +m1v10 )
t2 n � n � n t2 � n � ( ∑ Fi ex )dt + ∫ ( ∑ Fi in )dt = ∑ mi vi − ∑ miv i0 n =1 t1 n =1 n =1 n =1
∫
t1
n � 由于内力总是成对出现，且大小相等方向相反，故 ∑ Fi in =0 n =1
则
∫
t2
t1
n � n � n � ( ∑ Fi ex )dt = ∑ mi vi − ∑ mi vi0 n =1 n =1 n =1
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§ 4 .1 动 量 定 理
一、动量 为了描述质点的运动状态，除了上一章讲座的动能之外，我们将再引进一个 物理量—动量。从实际经验可知，质点运动的动量的大小不仅与其运动速度大小 有关，而且与质点的质量大小有关。 设一质点的质量为 m ，速度为 υ ，我们把质点的质量与速度的乘积定义为质 � 点的动量，通常用 p 表示，即 p = mυ 动量是矢量，其方向与速度方向相同。 牛顿第二定律的一般表述形式应为 � � d ( mv ) F= dt (2) (1)
上式表明，从动力学角度看，要使质点的运动状态发生变化，亦即要使质点 的动量发生变化，就必须对质点施以力的作用。 在经典力学条件下，质量 m 不随时间变化，则上式可以写成
F = ma = m
dυ d ( mυ ) d P = = dt dt dt
(3)
实验表明，当质点的质量随时间变化时，虽然 (3) 式表示的牛顿定律不再成 立，但 (2)式依旧成立。可见，用动量形式表示的牛顿第二定律具有更大的普遍 性。 二、冲量 � � d ( mv ) 由F = 式说明，质点动量随时间的瞬时变化率与所受力的关系，如果 dt 我们要进一步研究质点在力的作用下，经过一定时间间隔动量是如何变化的， 将 上式改为 � � d ( mv ) = Fdt (4)
内求积分
I = ∫ Fdt = mυ 2 − mυ1
t1
t2
� t2 � 我们将力对时间的积累 ∫ Fdt 称为力的冲量，用 I 表示。
t1
则给定时间内， 外务作用于质点上的冲量， 等于质点在此时间内动量的增量， 这就是质点的动量定理。 � I 是个矢量，它的方向与 m∆υ 的方向相同。 对于动量定理的分量式如下： ⎧ I = t 2 F dt = mv − mv ⎫ 2x 1x ⎪ x ∫t 1 x ⎪ t2 ⎪ ⎪ ⎨ I y = ∫t1 Fy dt = mv2 y − mv1 y ⎬ ⎪ ⎪ t2 ⎪ I z = Fz dt = mv2 z − mv1 z ⎪ ∫t1 ⎩ ⎭ 三、质点系的动量定理 在系统 S 中有两个质点 1 和 2， 它们的质量分别为 系 m1 和 m 2 ，系统外的质点对它们的作用力叫做外力， 统内的质点间的相互作用力则叫做内力。如图所示 � � � � 其中， F1 和 F2 均为外力， F21和F12 为内力， 则 − mv1x = 2mv cos θ Fy ∆t = mv 2 y −mv 1 y = 0
根据牛顿第三定律，钢球对钢板的作用力大小等于钢板对钢球的作用力， 故 钢板所受到的平均作用力为
F=−
2mv cos θ ∆t
负号表示与所规定的方向相反。
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� � � 或 I=P-P0 上式表明，作用于系统的合外力的冲量，等于系统动量的增量，这就是质点 系的动量定理。 举例 一个质量为 0.05 kg ， 速率为 10 m / s 的钢球以与 法线呈 45� 角的方向撞击在钢板上，并以相同的速 率和角度弹回来， 设球与钢板的碰撞时间为 0 .05 s ，
�
θ = 37�
υ 3 = 1.0 ×10 2 m / s
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§ 4. 3 火 箭 的 运 动
一、火箭的运动简述 作为动量守恒定律的一个应用，我们在本节中讲座一下火箭的运动规律， 火 箭是一种利用燃料燃烧后喷出气体产生反冲推力的发动机。它自带燃料与助燃 剂，因而可以在空间任何地方发动。 设火箭在自由空间飞行，即它不受引力或空气阻力的作用。
举例 一原先静止的装置炸裂为质量相等的三块，已知其中两块在水平面内各以
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80m / s 和 60m / s 的速率沿互相垂直的两个方向飞开，求第三块的飞行速度。 解：以整个装置为研究对象，由于炸裂过程中内力远大于外力，故可认为动 量守恒，则必有 � � � � ( m1 + m2 + m3 ) v = m1 v1 + m2 v2 + m3 v3 因为原来静止，故 v =0，且 m1 = m2 = m3 ，则必有 � � � v1 + v2 + v3 = 0 题意表表，两个碎块的动量都处于 xy 平面内， 第 三个碎块的动量也必定处于 xy 平面内，设其方向与 x 轴成θ角，于是可将上式 写成如下分量式 −v1 + v3 cos θ = 0 −v2 + v3 sin θ = 0 两式联立，可解得
F =µ
dm dt dm 以及喷出气体的相对速度 dt
此式表明，火箭发动机的推力与燃料燃烧速率
u 成正比。
为了提高火箭的末速度以满足发射地球人造卫星或其他航天器的要求， 就得 提高喷射速度和质量比，但喷射速度和质量比由于实际条件的限制，并不能无限 制地提高。一般火箭的喷射速度最大只能达到 2.5km / s 左右，质量比只能达到 6 左右，相应地火箭能达到的速度是 4.5km / s ，我们知道，要使人造地球卫星到达 地球轨道，必须达到的第一宇宙速度是 7.9km / s ，因此，我们往往利用多级火箭 来完成发射任务。
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求钢板受到的平均撞击力。 解：以钢球为研究对象，根据质点的动量定理 � � � F ∆t = mv2 − mv1 则其分量式为
Fx ∆t = mv2 x − mv1 x = 2 mvcos θ Fy = mv2 y − mv1 y = 0
2mv cos θ F=− ∆t 则 F = Fx = 2mv cos θ ∆t
− dM (v + dv − u) + (m + dM )(v + dv) = Mv
将上式展开，则得
udM + Mdv = 0
或者
dv = −u
dM M
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设火箭点火时质量为 M 0 ，初速度为 v 0 ，燃烧完后火箭的质量为 M t ，达到 末速度 v t ，则可以对上式积分
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§4.4 碰 撞
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这里的 C1 为常量，但数值并不一定相同。 二、注意问题 1．系统的总动量不变是指系统内各物体的动量的矢量和不变，而不是指其 中的某一个物体的动量不变。 2．各物体的动量都应相对于同一惯性系。 3．系统的动量守恒是有条件的，这个条件就是系统所受的合外力必须为 0， 以下情况要注意： (1) 如果外力<< 内力，则可以忽略外力对系统的作用，可以认为系统的动量 是守恒的。 (2) 如一般的外力可以忽略，则碰撞过程前后，可以认为参与碰撞的物体系 统的总动量是守恒的。 4．如果系统所受到的外力的矢量和并不为 0 ，但是合外力在某个坐标轴的 分矢量为零，此时，该坐标轴的分动量是守恒的。 5．动量守恒定律比牛顿运动定律应用更加普遍，它与能量守恒定律一样， 是自然界最普遍的最基本的定律之一。 6．动量定理和动量守恒定律只在惯性系中才成立，因此，运用它来求解， 要选定一惯性系作为参考系。
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此式说明，质点动量要发生变化，不但要有力的作用，而且这个力还必须持 续作用一段时间，亦即力必须在时间上发生一定的累积作用。 � 在低速运动的牛顿力学中，质点的质量可视为不改变，故 d ( mv ) 可以写成
� mdv 。此外，由于质点的力随时间改变，即力是时间的函数，则对上式在定时间
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第四章
◆ 本章学习目标
动量定理
1．理解动量定理是力在时间上的积累效应。 2．能够利用动量守恒定律解决力学问题。 3．理解动量守恒定律在碰撞中的应用。 ◆ 本章教学内容 1．动量定理； 2．动量守恒定律； 3．火箭的运动； 4．碰撞。 ◆ 本章教学重点 1．动量定理的应用； 2．动量守恒定律的应用； 3．碰撞过程中的量的关系。 ◆ 本章教学难点 1．动量守恒定律的应用； 2．弹性碰撞及非弹性碰撞。 ◆ 本章学习方法建议及参考资料 1．重在加强学生对时间积累效应的理解； 2．加强讲练结合，注重学生对力学条件的分析。 参考教材： 东南大学等七所工科院校编， 《物理学》 ，高等教育出版，1999 年 11 月第 4 版