第二章 可靠性特征量(二)(2011-9-21)

(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<3> 平均寿命θ
θ = ∫ tf ( t ) dt
0 ∞
= ∫ t ⋅λ ⋅e
0
∞
− λ ( t −ν )
dt
∞
令t-ν=x:
θ = ∫ x⋅λ ⋅e
0
∞
−λ x
dx + ∫ ν ⋅ λ ⋅ e− λ x dx
0
=
1
λ
+ν
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(1) 指数分布
第二章 可靠性特征量
2.1 失效密度函数及累积失效分布函数 2.2 可靠性特征量 2.3 失效率曲线 2.4 常见失效分布 2.5 可靠性特征量的估计
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2.4 常见失效分布类型
2.4.1 常见的失效分布类型 2.4.2 失效分布类型的估计方法 2.4.3 失效分布类型的检验方法
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m<1
ν
t
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(2) 威布尔分布
<2> 位置参数ν 位置参数ν
ν决定了分布的起始点。 决定了分布的起始点 分布的起始点。
f(t) 不变(m=2,t0=1)， ν 取不同值时的 失效密度曲线 ： 失效密度曲线： 当 m, t0 不变 ， 取不同值时的失效密度曲线 。
ν<0: 表示有些元件开始工作时已经
λ(t)
早期失效
t0
t
早期失效期 失效率较高又迅速下降的时期 其失效原因是， 的时期。 是失效率较高又迅速下降的时期。其失效原因是，批量产品中混杂各种 劣质或隐患的产品，多为设计上的失误，制造上的差错、缺陷， 劣质或隐患的产品，多为设计上的失误，制造上的差错、缺陷，或包装 运输上的损坏等。 运输上的损坏等。 Page 4
Page 24
例题2-5 例题
某种型号的设备用于系统上，已知该设备的失效率为常数 某种型号的设备用于系统上，已知该设备的失效率为常数 λ=1.67×10-5/h。系统对设备的要求是可靠度不低于 × 。系统对设备的要求是可靠度不低于98%， ， 该设备的允许工作时间。若要求可靠度为99%，则允许 求该设备的允许工作时间。若要求可靠度为 ， 的工作时间又为多少？ 的工作时间又为多少？ 允许工作时间实际是规定可靠水平的可靠寿命 规定可靠水平的可靠寿命。 解： 允许工作时间实际是规定可靠水平的可靠寿命。 可靠寿命： 可靠寿命： t0.98 = −
2.3 失效率曲线
λ(t)
早期失效 偶然失效 耗损失效
O
t0
有效寿命
t1
t
耗损失效期 为产品工作的后期，失效率随工作时间的延长而迅速增加。 为产品工作的后期，失效率随工作时间的延长而迅速增加。失效原因系 因老化、磨损（又称磨损失效期 磨损失效期） 疲劳等所致， 因老化、磨损（又称磨损失效期）、疲劳等所致，是产品性能下降的时 期。 Page 6
R(t) 1
λ(t) λ
O
t
O
t
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(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
<3> 平均寿命θ 表示） （指数分布时，平均寿命用θ 表示） 指数分布时，
∞ 0
θ = ∫ tf ( t ) dt
= ∫ t ⋅ λ ⋅ e− λt dt
0
∞
= −t ⋅e
= 1
− λt ∞ 0
+ ∫ e− λt dt
1> 失效率函数等于常数λ，指数分布具有“无记忆性” 失效率函数等于常数 指数分布具有“无记忆性” 2> 单参数指数分布的平均寿命θ与失效率λ互为倒数 单参数指数分布的 指数分布的平均寿命 3> 单参数指数分布的平均寿命θ与寿命标准离差σ相等 单参数指数分布的 指数分布的平均寿命 与寿命标准离差σ
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ln R ( t0.98 ) ln R ( t0.99 )
λ
=− =−
ln ( 0.98 ) 1.67 ×10 h ln ( 0.99 ) 1.67 ×10 h
−5 −4
= 1210h = 600h
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t0.99 = −
λ
(2) 威布尔分布
失效密度函数 m 形状参数 − (t −ν ) 尺度参数 m ( t −ν )m−1 e t0 , t ≥ ν f (t ) = t 0 位置参数 t <ν 0 , 累积失效分布函数
0
∞
λ
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(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
寿命方差σ 和标准离差σ <4> 寿命方差σ2和标准离差σ
σ = ∫ t f ( t ) dt − µ = ∫ t 2 ⋅ λ ⋅ e− λt dt − θ 2
2 2 2 0 0 ∞ ∞
= −t ⋅e
2
− λt ∞ 0
+ 2∫ te dt − θ
m=3
m<1: f(t)随时间单调下降 随时间单调下降 m=1: f(t)为指数曲线 为指数曲线 m>1: f(t)呈单峰型 呈单峰型
m=2 m=1 m=0.5
t
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(2) 威布尔分布
m对失效率曲线的影响 对失效率曲线的影响
λ(t)
m>1 m=1
m<1: λ(t)随时间单调下降 随时间单调下降 (早期失效 早期失效) 早期失效 m=1: λ(t)为常数 偶然失效 为常数(偶然失效 为常数 偶然失效) m>1: λ(t)呈随时间递增迅 呈随时间递增迅 耗损失效) 速上升(耗损失效 速上升 耗损失效
其累积分布函数
1 − e − λt , 0 ≤ t ≤ ∞ F (t ) = ∫ λe −λt dt = 0 0 , − ∞ < t < 0
t
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(1) 指数分布
单参数指数分布
f(t) F(t) 1
λ
O
t
O
t
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(1) 指数分布
单参数指数分布的可靠性特征量
可靠度函数R(t) <1> 可靠度函数
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(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
<5> 可靠寿命 R和中位寿命t0.5 可靠寿命t 和中位寿命
R ( tR ) = e
两侧取对数: 两侧取对数
− λ ( t R −ν )
=R
−λ ( t R −ν ) = ln R
tR = ν − 1 ln R
λ 1 t0.5 = ν − ln 0.5 = 0.307ν + 0.693θ λ
其累积分布函数
υ为位置参数
1 − e− λ (t −ν ) , − λ ( t −ν ) F ( t ) = ∫ λe dt = 0 0 ,
t
ν ≤t ≤∞ t <ν
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(1) 指数分布
双参数指数分布
f(t) F(t) 1
λ
O
υ
t
O
υ
t
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(1) 指数分布
双参数指数分布的可靠性特征量
µ = ∫ tfF σ
f ( t ) = λ ( t ) e ∫0
−
t
λ ( t ) dt
f(t)
σ=
f (t ) = F ′ (t )
∫0 ( t − µ )
∞
2
f ( t ) dt
λ(t)
λ (t ) =
R (t )
f (t )
÷
F(t)
F ( t ) = 1 − R(t )
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(1) 指数分布
双参数指数分布的特点
1> 失效率函数λ(t)在t≥ν时等于常数λ，在t<ν时等于 。 在 ν 等于常数 ν 等于0。 2> 双参数指数分布的平均寿命θ与失效率λ不再互为倒数 双参数指数分布的 指数分布的平均寿命 3> 双参数指数分布的寿命标准离差σ与失效率λ仍互为 双参数指数分布的寿命标准离差σ 指数分布的寿命标准离差 倒数， 倒数，但与平均寿命θ不再相等 指数分布是最为常用的分布之一， 指数分布是最为常用的分布之一，对应于产品的最佳工 最为常用的分布之一 作期——偶然失效期。 偶然失效期。 作期 偶然失效期
(1) 指数分布 (2) 威布尔分布 (3) 正态分布 (4) 对数正态分布
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(1) 指数分布
单参数指数分布
如果随机变量T(可以代表产品寿命) 如果随机变量T(可以代表产品寿命)的密度函数为 T(可以代表产品寿命
λe − λt , t ≥ 0 f (t ) = 0 , t < 0 则称T服从单参数指数分布 单参数指数分布。 则称T服从单参数指数分布。
指数、正态、对数正态、威布尔
R ( t ) = e ∫0
−
t
λ ( t ) dt
tR t0.5 Te-1
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R(t)
第二章 可靠性特征量
2.1 失效密度函数及累积失效分布函数 2.2 可靠性特征量 2.3 失效率曲线 2.4 常见失效分布 2.5 可靠性特征量的估计
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2.3 失效率曲线
2.3 失效率曲线
λ(t)
早期失效 偶然失效
O
t0
有效寿命
t1
t
偶然失效期 失效呈随机性，失效率低，基本恒定（又称恒定失效期 恒定失效期） 失效呈随机性，失效率低，基本恒定（又称恒定失效期）。产品在规定的条 件下正常工作，失效则由于偶然因素引起，是产品的最佳工作时期。 件下正常工作，失效则由于偶然因素引起，是产品的最佳工作时期。 有效寿命。 偶然失效期也是产品有效工作的时期，这段时间称为有效寿命 偶然失效期也是产品有效工作的时期，这段时间称为有效寿命。 Page 5