搜索算法---回溯
回溯算法详解
回溯算法详解
回溯算法是一种经典问题求解方法，通常被应用于在候选解的搜索空间中，通过深度优先搜索的方式找到所有可行解的问题。
回溯算法的本质是对一棵树的深度优先遍历，因此也被称为树形搜索算法。
回溯算法的基本思想是逐步构建候选解，并试图将其扩展为一个完整的解。
当无法继续扩展解时，则回溯到上一步并尝试其他的扩展，直到找到所有可行的解为止。
在回溯算法中，通常会维护一个状态向量，用于记录当前已经构建的解的情况。
通常情况下，状态向量的长度等于问题的规模。
在搜索过程中，我们尝试在状态向量中改变一个或多个元素，并检查修改后的状态是否合法。
如果合法，则继续搜索；如果不合法，则放弃当前修改并回溯到上一步。
在实际应用中，回溯算法通常用来解决以下类型的问题：
1. 组合问题：从n个元素中选取k个元素的所有组合；
2. 排列问题：从n个元素中选择k个元素，并按照一定顺序排列的所有可能；
3. 子集问题：从n个元素中选择所有可能的子集；
4. 棋盘问题：在一个给定的n x n棋盘上放置n个皇后，并满足彼此之间不会互相攻击的要求。
回溯算法的时间复杂度取决于候选解的规模以及搜索空间中的剪枝效果。
在最坏情况下，回溯算法的时间复杂度与候选解的数量成指数级增长，因此通常会使用剪枝算法来尽可能减少搜索空间的规模，从而提高算法的效率。
总之，回溯算法是一种非常有用的问题求解方法，在实际应用中被广泛使用。
同时，由于其时间复杂度较高，对于大规模的问题，需要慎重考虑是否使用回溯算法以及如何优化算法。
基本算法-回溯法（迷宫问题）
基本算法-回溯法（迷宫问题）作者：翟天保Steven版权声明：著作权归作者所有，商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处前言本文介绍一种经典算法——回溯法，可作为迷宫问题的一种解法，以下是本篇文章正文内容，包括算法简介、算法应用（迷宫问题）、算法流程和C++代码实现。
一、回溯法简介回溯法（Backtracking）是枚举法的一种，可以找出所有或者一部分的一般性算法，且有效避免枚举不对的解。
当发现某个解的方向不准确时，就不再继续往下进行，而是回溯到上一层，减少算法运行时间，俗称“走不通就回头换路走”。
特点是在搜索过程中寻找问题的解，一旦发现不满足条件便回溯，继续搜索其他路径，提高效率。
二、算法应用（迷宫问题）1.问题描述迷宫问题是回溯法的一种应用。
迷宫问题的描述为：假设主体（人、动物或者飞行器）放在一个迷宫地图入口处，迷宫中有许多墙，使得大多数的路径都被挡住而无法行进。
主体可以通过遍历所有可能到出口的路径来到达出口。
当主体走错路时需要将走错的路径记录下来，避免下次走重复的路径，直到找到出口。
主体需遵从如下三个原则：1.一次步进只能走一格；2.遇到路径堵塞后，退后直到找到另一条路径可行；3.走过的路径记录下来，不会再走第二次。
2.解题思路首先创建一个迷宫图，比如用二维数组人为定义MAZE[row][col]，MAZE[i][j]=1时表示有墙无法通过，MAZE[i][j]=0时表示可行，假设MAZE[1][1]为入口，MAZE[8][10]为出口，创建如下初始迷宫图：图1 初始迷宫图当主体在迷宫中前行时，有东南西北（即右下左上）四个方向可以选择，如下图所示：图2 方向示意图视情况而定，并不是所有位置都可以上下左右前进，只能走MAZE[i][j]=0的地方。
通过链表来记录走过的位置，并将其标记为2，把这个位置的信息放入堆栈，再进行下个方向的选择。
若走到死胡同且未到达终点，则退回到上一个岔路口选择另一个方向继续走。
回溯法
回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i是递归深度；n是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。
回溯法
回溯法回溯法也是搜索算法中的一种控制策略，但与枚举法不同的是，它是从初始状态出发，运用题目给出的条件、规则，按照深度优秀搜索的顺序扩展所有可能情况，从中找出满足题意要求的解答。
回溯法是求解特殊型计数题或较复杂的枚举题中使用频率最高的一种算法。
一、回溯法的基本思路何谓回溯法，我们不妨通过一个具体实例来引出回溯法的基本思想及其在计算机上实现的基本方法。
【例题12.2.1】n皇后问题一个ｎ×ｎ（1≤n≤100）的国际象棋棋盘上放置ｎ个皇后，使其不能相互攻击，即任何两个皇后都不能处在棋盘的同一行、同一列、同一条斜线上，试问共有多少种摆法？输入：n输出：所有分案。
每个分案为n+1行，格式：方案序号以下n行。
其中第i行（1≤i≤n）行为棋盘i行中皇后的列位置。
在分析算法思路之前，先让我们介绍几个常用的概念：1、状态（state）状态是指问题求解过程中每一步的状况。
在ｎ皇后问题中，皇后所在的行位置i(1≤i≤n)即为其时皇后问题的状态。
显然，对问题状态的描述，应与待解决问题的自然特性相似，而且应尽量做到占用空间少，又易于用算符对状态进行运算。
2、算符（operater）算符是把问题从一种状态变换到另一种状态的方法代号。
算符通常采用合适的数据来表示，设为局部变量。
n皇后的一种摆法对应1．．ｎ排列方案（a1，…，a n）。
排列中的每个元素a i对应ｉ行上皇后的列位置（1≤i≤n）。
由此想到，在ｎ皇后问题中，采用当前行的列位置i(1≤i≤n)作为算符是再合适不过了。
由于每行仅放一个皇后，因此行攻击的问题自然不存在了，但在试放当前行的一个皇后时，不是所有列位置都适用。
例如(l，ｉ)位置放一个皇后，若与前1．．l-1行中的j行皇后产生对角线攻击(｜ｊ－l｜=｜a j －i｜)或者列攻击(ｉ≠a j)，那么算符ｉ显然是不适用的，应当舍去。
因此，不产生对角线攻击和列攻击是ｎ皇后问题的约束条件，即排列（排列a1，…，a i，…，a j，…，a n）必须满足条件(｜ｊ－ｉ｜≠｜a j－a i｜) and (a i≠a j) (1≤i，j≤n)。
算法设计中的回溯思想
算法设计中的回溯思想从最初的计算机发明，到现在人工智能的飞速发展，算法设计一直是计算机技术的核心。
算法是指根据特定的计算规则，通过计算一系列数值来解决具体问题的方法，包括搜索、排序、过滤、处理等过程，而在这些过程中，回溯思想屡屡被提及。
本文将从计算机算法设计的角度，深入探讨回溯思想。
一、简述算法设计中的回溯思想在算法设计中，回溯是一种常用的解决问题的思想。
其本质是一种深度优先搜索算法。
回溯思想用于在搜索过程中，根据具体场景和实际情况，迭代地枚举每一个可能的结果，直到搜索到正确的解。
其过程包括了搜索树的深入和回溯到树枝的上层，检查还有哪些其他的解是没有被搜索到的。
为了更好地理解回溯思想，可以通过解决具体问题的例子来进行分析。
在解数独的问题中，回溯思想很常见。
在这个问题中，计算机需要找到数独的解决方案。
每个格子必须填上数字1-9 中的一个，并且每行、每列和每个 3x3 的宫格都必须包含数字1-9中的每个数字。
这些约束条件使得这个问题非常难以解决。
对于每个未填数字的格子，计算机需要尝试所有可用的数字，然后递归地探索下去，直到填完整个数独。
在填格子的过程中，如果遇到不符合规则的数字，那么回溯算法会退回到前一个格子，并更新前面已填的数字值。
这就好像是你在数独上填数字时，发现前面填的数字不对，就要擦除重填，直到达到正确的答案为止。
二、回溯思想在算法设计中的应用除了解数独外，回溯思想在算法设计中有很多其他的应用。
比如，回溯可以用来解决排列组合的问题，如最短路径、最大子序列、图的最短路径等。
这些问题的解决方法都需要枚举所有的排列组合方案，并找出最符合要求的那一种。
在回溯算法的实现过程中，一般需要利用递归来实现搜索。
随着搜索的深入，每一层递归都需要遍历所有的选择，直到找到可用的解决方案。
如果遍历完成后还没有找到解决方案，则需要回溯到上一层递归，重新选择不同的方案，继续搜索，直到找到正确的解。
回溯思想是一种非常高效和强大的算法设计思想。
计算方法之——回溯算法
引言寻找问题的解的一种可靠的方法是首先列出所有候选解，然后依次检查每一个，在检查完所有或部分候选解后，即可找到所需要的解。
理论上，当候选解数量有限并且通过检查所有或部分候选解能够得到所需解时，上述方法是可行的。
不过，在实际应用中，很少使用这种方法，因为候选解的数量通常都非常大（比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的计算机也只能解决规模很小的问题。
对候选解进行系统检查的方法有多种，其中回溯和分枝定界法是比较常用的两种方法。
按照这两种方法对候选解进行系统检查通常会使问题的求解时间大大减少（无论对于最坏情形还是对于一般情形）。
事实上，这些方法可以使我们避免对很大的候选解集合进行检查，同时能够保证算法运行结束时可以找到所需要的解。
因此，这些方法通常能够用来求解规模很大的问题。
算法思想回溯（backtracking）是一种系统地搜索问题解答的方法。
为了实现回溯，首先需要为问题定义一个解空间（solution space），这个空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。
下一步是组织解空间以便它能被容易地搜索。
典型的组织方法是图(迷宫问题)或树(N皇后问题)。
一旦定义了解空间的组织方法，这个空间即可按深度优先的方法从开始节点进行搜索。
回溯方法的步骤如下：1) 定义一个解空间，它包含问题的解。
2) 用适于搜索的方式组织该空间。
3) 用深度优先法搜索该空间，利用限界函数避免移动到不可能产生解的子空间。
回溯算法的一个有趣的特性是在搜索执行的同时产生解空间。
在搜索期间的任何时刻，仅保留从开始节点到当前节点的路径。
因此，回溯算法的空间需求为O（从开始节点起最长路径的长度）。
这个特性非常重要，因为解空间的大小通常是最长路径长度的指数或阶乘。
所以如果要存储全部解空间的话，再多的空间也不够用。
算法应用回溯算法的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中<<数据结构>>(严蔚敏).(1) 幂集问题(组合问题) (参见《数据结构》（严蔚敏）)求含N个元素的集合的幂集。
第5章 搜索与回溯算法(C 版)
【参考程序】
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstdlib> using namespace std; int a[10001]={1},n,total; int search(int,int); int print(int); int main() {
int print();
//输出方案
int main() {
cout<<"input n,r:"; cin>>n>>r; search(1); cout<<"number="<<num<<endl; }
//输出方案总数
int search(int k) {
int i; for (i=1;i<=n;i++) if (!b[i])
（r<n），试列出所有的排列。
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int num=0,a[10001]={0},n,r;
bool b[10001]={0};
int search(int);
//回溯过程
{
for (int j=0;j<=3;j++)
//往4个方向跳
if (a[i-1][1]+x[j]>=0&&a[i-1][1]+x[j]<=4
&&a[i-1][2]+y[j]>=0&&a[i-1][2]+y[j]<=8)//判断马不越界
17图的搜索算法之回溯法
17图的搜索算法之回溯法回溯法回溯算法实际是⼀个类似枚举的搜索尝试⽅法，它的主题思想是在搜索尝试中找问题的解，当不满⾜求解条件就”回溯”返回，尝试别的路径。
回溯算法是尝试搜索算法中最为基本的⼀种算法，其采⽤了⼀种“⾛不通就掉头”的思想，作为其控制结构。
【例1】⼋皇后问题模型建⽴要在8*8的国际象棋棋盘中放⼋个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃掉。
规则：皇后能吃掉同⼀⾏、同⼀列、同⼀对⾓线的任意棋⼦。
如图5-12为⼀种⽅案，求所有的解。
模型建⽴不妨设⼋个皇后为xi，她们分别在第i⾏（i=1，2，3，4……，8），这样问题的解空间，就是⼀个⼋个皇后所在列的序号，为n元⼀维向量（x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8）,搜索空间是1≤xi≤8（i=1，2，3，4……，8），共88个状态。
约束条件是⼋个（1,x1）,(2,x2) ,(3,x3),(4,x4) , (5,x5), (6,x6) , (7,x7), (8,x8)不在同⼀⾏、同⼀列和同⼀对⾓线上。
虽然问题共有88个状态，但算法不会真正地搜索这么多的状态，因为前⾯已经说明，回溯法采⽤的是“⾛不通就掉头”的策略，⽽形如(1,1,x3,x4, x5,x6,x7,x8）的状态共有86个，由于1，2号皇后在同⼀列不满⾜约束条件，回溯后这86个状态是不会搜索的。
算法设计1：加约束条件的枚举算法最简单的算法就是通过⼋重循环模拟搜索空间中的88个状态，按深度优先思想，从第⼀个皇后从第⼀列开始搜索，每前进⼀步检查是否满⾜约束条件,不满⾜时，⽤continue语句回溯，满⾜满⾜约束条件，开始下⼀层循环，直到找出问题的解。
约束条件不在同⼀列的表达式为xi xj；⽽在同⼀主对⾓线上时xi-i=xj-j, 在同⼀负对⾓线上时xi+i=xj+j，因此，不在同⼀对⾓线上的约束条件表⽰为abs(xi-xj) abs(i-j)（abs（）取绝对值）。
算法1：queen1（）{int a[9];for (a[1]=1;a[1]<=8;a[1]++) for (a[2]=1;a[2]<=8;a[2]++){if （ check(a,2)=0 ） continue; for (a[3]=1;a[3]<=8;a[3]++) {if（check(a,3)=0） continue;for (a[4]=1;a[4]<=8;a[4]++){if （check(a,4)=0） continue;for (a[5]=1;a[5]<=8;a[5]++){if （check(a,5)=0） continue;for (a[6]=1;a[6]<=8;a[6]++){if （check(a,6)=0） continue;for(a[7]=1;a[7]<=8;a[7]++) {if （check(a,7)=0） continue;for(a[8]=1;a[8]<=8;a[8]++){if （check(a,8)=0）continue;elsefor(i=1;i<=8;i++)print(a[i]);}} } } } } } }check(int a[ ],int n){int i;for(i=1;i<=n-1;i++)if (abs(a[i]-a[n])=abs(i-n)) or (a[i]=a[n]) return(0);return(1);}算法分析1:若将算法中循环嵌套间的检查是否满⾜约束条件的:“if （check(a[],i)=0）continue;i=2,3,4,5,6,7“语句都去掉，只保留最后⼀个检查语句：“if （check(a[],8)=0）continue;”相应地check（）函数修改成：check*(a[],n){int i,j;for(i=2;i<=n;i++) for(j=1;j<=i-1;j++) if(abs(a[i]-a[j])=abs(i-j))or(a[i]=a[j]) return(0);return(1);}则算法退化成完全的盲⽬搜索，复杂性就是88了算法设计2：⾮递归回溯算法以上的枚举算法可读性很好，但它只能解决⼋皇后问题，⽽不能解决任意的n皇后问题。
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4、输出解： procedure print; var j:integer; begin count:=count+1; write('answer',count,':'); for j:=1 to n-1 do write(x[j],' '); writeln(x[n]); end;
主程序：try（1）
B3
A2 A1 A B1 B2 C2 C1
D3
D2 E1 D1
跳马问题
5.
从C2出发，有四条路径可以选择，选择D4， 从D4出发又有两条路径，选择E1错误，返 回D4选择E2，从E2出发有两条路径，先选 择F1错误，返回E2选择B，而B恰好是我们 要到达的目标点，至此，一条路径查找成功。
B3 A2 A1 A B1 B2 C2 E2 E1 B
例2 皇后问题（p1249）
题目来源：《高级本》p5 [问题描述]
在n×n的国际象棋盘上，放置n个皇后，使任何一个皇后都不能吃 掉另一个,要使任何一个皇后都不能吃掉另一个，需满足的条件是： 同一行、同一列、同一对角线上只能有一个皇后。求放置方法. 如:n=4时,有以下2种放置方法.
*
* * * * *
*
*
方法一：分析:
1、问题解的形式： x:array [1..n] of integer; {x[i]:第i个皇后放在第i行，第x[i]列，保证所有皇后不同行} 问题的解变成求（x[1]，x[2]，。。。X[n]）
4皇后问题的解： （2，4，1，3）， （3，1，4，2）
*
*
*
* *
*
* *
2、放置第k(1<=k<=n)个皇后的递归算法：
递归算法：
procedure try(i:integer); var j:integer; begin if i=n+1 then print else for j:=1 to n do if a[j] and b[i+j] and c[i-j] then begin x[i]:=j; a[j]:=false; {列控制标志} b[i+j]:=false; {左下右上方斜线控制标志} c[i-j]:=false; {左上右下方斜线控制标志} try(i+1); {如果不能递归进行，既a[j] and b[i+j] and c[i-j]=false： 无法放置i+1个皇后，说明当前皇后i放置不正确，要回溯，消除标 志} a[j]:=true; b[i+j]:=true; c[i-j]:=true end; end;
非递归算法（预习掌握）：
procedure main;{非递归算法} var k:integer; begin x[1]:=0; {初始化，每次穷举下一列进行} k:=1; {从第一个皇后第一行开始} while k>0 do {行号大于0} begin x[k]:=x[k]+1;{枚举列，即第k个皇后在第k行的位置（列）} while (x[k]<=n)and(not (place(k,x[k]))) do inc(x[k]); if x[k]<= n then {第k皇后找到合适的列x[k]} if k=n then print else begin inc(k); {放置下一个皇后} x[k]:=0; {初始化，每次穷举下一列进行} end{if k=n} else {x[k]>n} dec(k);{第k个皇后无位置可放，回溯（重新放置第k-1个皇后）} end;{while} end;
procedure
try(k);
{搜索第k个皇后所在的列x[k]=？,前k -1个已放好,即已求得x[1]…x[k-1] } var i:integer;
begin
if k=n+1 then else print（输出放置方案：数组x）
for i:=1
to
n do {搜索第k个皇后所在的列j}
then
二、回溯的一般描述(竞赛指导p263)
program 程序名； const maxdepth=xxx; type statetype=****; {状态类型定义} var stack:array[1..maxdepth] of statetype; {存当前路径} total:integer; {路径数} procedure make(k:integer); {递归搜索以stack[k]为初始接点的所有路径} var i:integer; {子节点个数} begin if stack[k-1]是目标状态 then begin total:=total+1; 输出当前路径stack[1]..stack[k-1]; exit; {回溯（如果只需要一条路径，则exit改为halt即可）}} end; for i:=算符最小值 to 算符最大值 do begin 算符i作用于生成stack[k-1]产生子状态stack[k]; if stack[k]满足约束条件 then make(k+1);{若不满足，则通过for循环换一个算符扩 end; end;
搜索算法---回溯
搜索的本质
通用的解题法
一、两种题型： 1.简明的数学模型揭示问题本质。对于这一类试题，我们尽量用数学 方法求解。 2.对给定的问题建立数学模型，或即使有一定的数学模型，但采用数 学方法解决有一定困难。对于这一类试题，我们只好用模拟或搜索求 解。搜索的策略选择此时特别重要 二、搜索的本质： 搜索的本质就是逐步试探，在试探过程中找到问题的答案 三、搜索问题考察的范围 1.算法的实现能力 2.优化算法的能力
var x:array[1..n] of integer; a:array[1..n] of boolean; {列控制标志：true：可以放，false：不能放} b:array[2..2*n] of boolean; {左下右上方斜线控制标志，true：可以放，false：不能放} c:array[1-n..n-1]of boolean; {左上右下方斜线控制标志，true：可以放，false：不能放} 初始时： fillchar(x,sizeof(x),0); fillchar(a,sizeof(a),true); fillchar(b,sizeof(b),true); fillchar(c,sizeof(c),true);
跳马问题
马走日字，当马一开始在黄点时，它下一步 可以到达的点有以下的八个，但由于题目规 定了只能往右走的限制，所以它只能走到四 个绿色点之一。
跳马问题
1.
当马一开始位于左下角的时候，根据规则， 它只有两条线路可以选择（另外两条超出棋 盘的范围），我们无法预知该走哪条，故任 意选择一条，到达A1。
例3：跳马问题（p1570 p1003）
在n×m棋盘上有一中国象棋中的马：
1. 2.
马走日字； 马只能往右走。
请你找出一条可行路径，使得马可以从棋盘 的左下角（1，1）走到右上角（n，m）。
跳马问题
输入：9 5 输出：
(1,1)->(3,2)->(5,1)->(6,3)->(7,1)->(8,3)->(9,5)
例1：数字排列问题（全排列）
P1358 《高级本》p3
全排列的另类实现方法（思考）
[算法描述] 1.1,2……N依次赋给a[1]至a[n],输出第一种排列; 2.构造下一种全排列,分四步完成: (1) i的初值为1,在a[1]至a[n]中搜索找出相应的i,使i是 a[k]>a[k-1]的k中最大的,即i=max{k|a[k]>a[k1],k=2,3…n}; (2) 在a[x]至a[n]中搜索找出相应的j,使j是a[k]>a[i-1]的k 中最大的,即j=max{k|a[k]>a[i-1],k=i,i+1…n}; (3) 交换a[i-1]与a[j]形成新的序列; (4) 对新的序列从 a[i+1]……a[n]进行逆序处理,输出相 应序列. 3.重复2直到i=1时结束
A2 A1 A
跳马问题
2.
3.
当到达A1点后，又有三条线路可以选择， 于是再任意选择一条，到达B1。 从B1再出发，又有两条线路可以选择，先 选一条，到达C1。
B3 A2 A1 B1 A B2 C2 C1
Hale Waihona Puke 马问题4.从C1出发，可以有三条路径，选择D1。但到了D1 以后，我们无路可走且D1也不是最终目标点，因 此，选择D1是错误的，我们退回C1重新选择D2。 同样D2也是错误的。再回到C1选择D3。D3只可 以到E1，但E1也是错误的。返回D3后，没有其他 选择，说明D3也是错误的，再回到C1。此时C1不 再有其他选择，故C1也是错误的，退回B1，选择 C2进行尝试。
一、回溯的概念
从问题的某种可能情况出发，搜索所有能到达的可能情况，然 后以其中一种可能的情况为新的出发点，继续向下探索，当所 有可能情况都探索过且都无法到达目标的时候，再回退到上一 个出发点，继续探索另一个可能情况，这种不断回头寻找目标 的方法称为“回溯法”。
一、回溯的概念
回溯算法是一种有条不紊的搜索问题答案的方法，是一种能避 免不必要搜索的穷举式的搜索算法，其基本思想就是穷举搜索。 常用于查找问题的解集或符合某些限制条件的最佳解集。
procedure main; {非递归算法} var k:integer; begin x[1]:=0;{初始化，每次穷举下一列进行} k:=1; {从第一个皇后第一行开始} while k>0 do {行号大于0} begin if x[k]<>0 then {释放当前位置（回溯）,当前放法不可取,一般是dec(k)后执行} begin a[x[k]]:=true; b[x[k]+k]:=true; c[k-x[k]]:=true; end; inc(x[k]);{枚举列，即第k个皇后在第k行的位置（列）} while (x[k]<=n)and not(a[x[k]] and b[x[k]+k] and c[k-x[k]]) do inc(x[k]); if x[k]<=n then if k=n then print else begin a[x[k]]:=false; b[x[k]+k]:=false; c[k-x[k]]:=false; inc(k); x[k]:=0; end else dec(k);{当x[k]>n,即无法放置时皇后k，回溯，重新放置皇后k-1} end; end;