回溯搜索算法
回溯算法的步骤
回溯算法的步骤
回溯算法是一种探索所有可能解决方案的算法。
其步骤如下：
1. 定义问题：确定问题的表述方式和解决问题的目标。
2. 定义解空间：确定问题的解空间，即所有可能的解决方案。
3. 状态表示：将问题的解空间表示为一棵树形结构，每个节点表示一个选择或决策。
4. 状态扩展：将当前节点扩展成多个子节点，每个子节点表示一种可行的选择。
5. 约束条件：定义约束条件，对扩展后的子节点进行筛选，剪去不符合要求的子节点。
6. 目标函数：定义目标函数，每次扩展节点时对扩展后的节点进行评估，并选择最优解。
7. 剪枝：在搜索过程中，如果发现当前节点不符合要求或者已经比当前最优解劣，则进行剪枝，回溯到上一个节点。
8. 搜索：从根节点开始进行深度优先搜索，不断扩展节点，直到找到最优解或者搜索结束。
回溯算法虽然简单，但是实现起来要考虑很多细节，需要仔细分析问题和设计算法。
回溯算法详解
回溯算法详解
回溯算法是一种经典问题求解方法，通常被应用于在候选解的搜索空间中，通过深度优先搜索的方式找到所有可行解的问题。
回溯算法的本质是对一棵树的深度优先遍历，因此也被称为树形搜索算法。
回溯算法的基本思想是逐步构建候选解，并试图将其扩展为一个完整的解。
当无法继续扩展解时，则回溯到上一步并尝试其他的扩展，直到找到所有可行的解为止。
在回溯算法中，通常会维护一个状态向量，用于记录当前已经构建的解的情况。
通常情况下，状态向量的长度等于问题的规模。
在搜索过程中，我们尝试在状态向量中改变一个或多个元素，并检查修改后的状态是否合法。
如果合法，则继续搜索；如果不合法，则放弃当前修改并回溯到上一步。
在实际应用中，回溯算法通常用来解决以下类型的问题：
1. 组合问题：从n个元素中选取k个元素的所有组合；
2. 排列问题：从n个元素中选择k个元素，并按照一定顺序排列的所有可能；
3. 子集问题：从n个元素中选择所有可能的子集；
4. 棋盘问题：在一个给定的n x n棋盘上放置n个皇后，并满足彼此之间不会互相攻击的要求。
回溯算法的时间复杂度取决于候选解的规模以及搜索空间中的剪枝效果。
在最坏情况下，回溯算法的时间复杂度与候选解的数量成指数级增长，因此通常会使用剪枝算法来尽可能减少搜索空间的规模，从而提高算法的效率。
总之，回溯算法是一种非常有用的问题求解方法，在实际应用中被广泛使用。
同时，由于其时间复杂度较高，对于大规模的问题，需要慎重考虑是否使用回溯算法以及如何优化算法。
回溯法
回溯法一、回溯法：回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。
它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。
如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。
回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。
而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。
这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
二、算法框架：1、问题的解空间：应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的解空间。
问题的解空间应到少包含问题的一个（最优）解。
2、回溯法的基本思想：确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。
这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。
如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。
换句话说，这个结点不再是一个活结点。
此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。
回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
运用回溯法解题通常包含以下三个步骤：（1）针对所给问题，定义问题的解空间；（2）确定易于搜索的解空间结构；（3）以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索；3、递归回溯：由于回溯法是对解空间的深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现回溯法如下：procedure try(i:integer);varbeginif i>n then 输出结果else for j:=下界 to 上界 dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end;end;end;说明：i是递归深度；n是深度控制，即解空间树的的高度；可行性判断有两方面的内容：不满约束条件则剪去相应子树；若限界函数越界，也剪去相应子树；两者均满足则进入下一层；二、习题：1、0-1背包：n=3,w=[16,15,15],p=[45,25,25],c=302、旅行售货员问题：某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程（或旅费）。
回溯算法
刚才的方法为生成皇后的摆放方案再去判断是否符合 要求，效率比较低，我们能不能每摆放一个皇后就看 这个皇后摆放的位置对还是不对，这样可以节省很多 无效的搜索 procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then inc(total) else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; if pd(dep) then try(dep+1); end; end;
procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to 4 do{每个城市有四种颜色} begin a[dep]:=i; if check(dep) then search(dep+1); end; end;
主要代码： procedure search(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; search(dep+1); end; end;
program pailie(input,output); var n:integer; a:array[1..20] of integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to n do write(a[i]); writeln; end;
代码实现： procedure try(dep:longint); var i:longint; begin if dep>n then print else for i:=1 to n do begin a[dep]:=i; try(dep+1); end; end;
深度优先搜索与回溯算法
8、字符序列(characts) 【问题描述】 从三个元素的集合[A，B，C]中选取元素生成一个N个字符组成的序列，使 得没有两个相邻字的子序列（子序列长度=2）相同。例：N = 5时ABCBA是合 格的，而序列ABCBC与ABABC是不合格的，因为其中子序列BC，AB是相同的。 对于由键盘输入的N(1<=N<=12)，求出满足条件的N个字符的所有序列和其 总数。 【输入样例】 4 【输出样例】
72
•9、试卷批分(grade) •【问题描述】
•某学校进行了一次英语考试，共有10道是非题，每题为10分，解答用1表示“是”， 用0表示“非”的方式。但老师批完卷后，发现漏批了一张试卷，而且标准答案也丢 失了，手头只剩下了3张标有分数的试卷。
•试卷一：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
•0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 得分：70
【例6】数的划分(NOIP2001) 【问题描述】 将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同 (不考虑顺序)。例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。 • 1，1，5； 1，5，1； 5，1，1； • 问有多少种不同的分法。 • 【输入格式】 • n,k (6<n≤200，2≤k≤6) • 【输出格式】 • 一个整数，即不同的分法。 • 【输入样例】 • 7 3 • 【输出样例】 • 4 { 4种分法为：1,1,5；1,2,4；1,3,3; 2,2,3 说明部分不必输出 }
【课堂练习】
1、输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列。 【参考过程】 int Search(int i) { Int j; for (j=1;j<=n;j++) if (b[j]) { a[i]=j; b[j]=false; if (I<n) Search(i+1); else print(); b[j]=true; } }
第5章 回溯法
（1）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的最终解，则输出这个解。 如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其 他解； （2）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的部分解，则继续构造解 向量的下一个分量； （3）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)既不是问题的部分解也不是问题 的最终解，则存在下面两种情况： ① 如果xi+1= ai＋1k不是集合Si＋1的最后一个元素，则令xi+1= ai＋ 1k＋1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量； ② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假 设xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1； 否则，就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)； 15
2 3
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3ห้องสมุดไป่ตู้
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10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 52 54 57 59 62 64 n=4的TSP问题的解空间树
8
解空间树的动态搜索（1）
回溯法从根结点出发，按照深度优先策略遍历 解空间树，搜索满足约束条件的解。 在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应 的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函 数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优） 解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子 树的搜索，即所谓剪枝（ Pruning ）；否则，进入 以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。
回溯算法
题一：N皇后问题
在一个n*n的国际象棋棋盘上放置n个皇后，使得它们中任意2个之 间都不互相“攻击”，即任意2个皇后不可在同行、同列、同斜线上。 输出N，⑴求N皇后问题的一种放法；
⑵求N皇后问题的所有放法
分析： N=4时，右图是一组解
要素一： 解空间
一般想法：利用二维数组，用[i,j]确定一个皇后位置！
分析：状态恢复（回溯）在什 么地方实现？
{每层均有n种放法} {寻找放置皇后的位置}
{放置皇后) {８个皇后都放置好,输出} {若只想找一组解，halt} {继续递归放置下一个皇后}
end;
基本思想
由于皇后的摆放位置不能通过某种公式来 确定，因此对于每个皇后的摆放位置都要 进行试探和纠正，这就是“回溯”的思想。 在N个皇后未放置完成前，摆放第i个皇后和 第i+1个皇后的试探方法是相同的，因此完 全可以采用递归的方法来处理。
D2 E1 D1
5.
B3
A2 A1 A
B
B2 C2
B1 D4
E2
E1 F1
从上面的分析我们可以得知： 在无法确定走哪条线路的时候，任选一条线路 进行尝试；为方便路径表示，对马可以走到的四个 点（方向）都编上号； 当从某点出发，所有可能到达的点都不能到达 终点时，说明此点是一个死节点，必须回溯到上一 个点，并重新选择一条新的线路进行尝试。
算法描述： 1. 产生一种新放法 2. 冲突，继续找，直到找到不冲 突----不超范围 3. if 不冲突 then k<nk+1 k=n一组解 4. if 冲突 then 回溯
if k=n then print;flag ←false
递归写法：
procedure try(k:byte); var i:byte; begin for i:=1 to n do if place(k) then begin x[k]:=i; if k=n then print else try(k+1); end;
回溯算法总结
回溯算法总结对回溯法的理解：回溯法本质就是深搜，对所有可能的结果进⾏搜索匹配，由于很多情况下结果很多，就需要进⾏适当的剪枝和分界限制来加快得到解。
回溯法⽤的最多的就是递归，其实也可⽤递推，但是递归⽐较符合⼈类逻辑。
回溯法的解题通常是有模板的：Void backtrack(){If(到达边界){输出答案/记录答案}Else{ 记录这个点，现存结果更新，递归，现存结果还原，取消该点记录}}回溯法的有三种情况：1）：找所有可能解：通过⼀个结果数组记录搜索得到的解，然后再到达边界时输出2）：寻找其中过⼀个的解：同上；2）：寻找最优（选和不选）在边界点记录/更新最优值 + 在else中除了要对选取这个点的结果进⾏搜索还要对忽略这个点的结果进⾏搜索回溯法的常⽤剪枝：1) :判断该点在之后的所有点组合起来能不能到达最优或者超过当前最优。
不能就剪枝2）当前点是不是访问过，访问过忽略2) 加上当前点是不是会越过限制条件，是的话剪枝3) 如果只要求输出⼀个解，设⽴⼀个flag，有了⼀个答案之后设置flag为1，当flag为1时，全部return⼦集和问题的解空间结构和约束函数：假设给定集合 C = { x1,x2,x3 ……… xn}; 给定正整数P解空间结构 C’ ={ xi,..xk} （1<=i<k<=n）约束函数：1：假设当前的搜索点为 Xi (（1<=i<n）),如果 {Xi+1 ,Xi+2,Xi+3………Xn}的和⼩于P，说明这个这个点取了也没⽤，剪枝；如果⼤于说明接下来的有可能得到P，那就继续搜索2：如果当前点⼤于P，该点不取3: 如果当前点加上当前总和结果⼤于P，不取本章学习遇到的问题:主要是剪枝不充分，导致算法超时问题.结对编程中问题：主要是背包问题的剪枝，要按照严格限界，不然会超时。
这个限界也是之前没有⽤过限界函数.下⾯总结⼀下这个限界函数:⾸先先要把数组进⾏降序排序，预测当前背包剩余容量最⼤可以装下多少价值的物品如果剩余容量能够能够承载的最⼤价值 + 当前的背包价值⼤于当前的最优值，说明这个点可以继续搜索下去。
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补充2 回溯法解回溯法的深度优先搜索策略z理解回溯法的深度优先搜索策略。
z掌握用回溯法解题的算法框架（1）递归回溯（2）迭代回溯（3）子集树算法框架（4）排列树算法框架通过应用范例学习回溯法的设计策略z通过应用范例学习回溯法的设计策略。
Sch2-1z Sch2-1方法概述搜索算法介绍（1）穷举搜索（2）盲目搜索—深度优先(DFS)或回溯搜索( Backtracking);—广度优先搜索( BFS );(Branch &Bound)—分支限界法(Branch & Bound)；—博弈树搜索( α-βSearch)（3）启发式搜索—A* 算法和最佳优先( Best-First Search )—迭代加深的A*算法—B*AO*SSS*等算法B , AO , SSS 等算法—Local Search, GA等算法Sch2-1z Sch2-1方法概述搜索空间的三种表示：—表序表示：搜索对象用线性表数据结构表示；—显示图表示：搜索对象在搜索前就用图（树）的数据结构表示；—隐式图表示：除了初始结点，其他结点在搜索过程中动态生成。
缘于搜索空间大，难以全部存储。
z 搜索效率的思考：随机搜索—上世纪70年代中期开始，国外一些学者致力于研究随机搜索求解困难的组合问题，将随机过程引入搜索；—选择规则是随机地从可选结点中取一个从而可以从统计角度分析搜选择规则是随机地从可选结点中取一个，从而可以从统计角度分析搜索的平均性能；—随机搜索的一个成功例子是：判定一个很大的数是不是素数，获得了第个多式时算法第一个多项式时间的算法。
Sch2-1z Sch2-1方法概述回溯法：—回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法；它在包含问题的所有解的解空间树中按照深度优先的策略从根结—它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
——系统性—算法搜索至解空间树的任一结点时，判断该结点为根的子树是否包含算法搜索至解空间树的任结点时，判断该结点为根的子树是否包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过以该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯。
否则，进入该子树，继续深度优先的策略进行搜索。
——跳跃性—这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解得算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。
Sch2-1z 问题的解空间Sch2-1方法概述—问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示成一个n元式(x 1,x 2,…,x n )的形式。
—显约束：对分量x i 的取值限定。
—隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的约束。
—解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
注意：同一个问题可以有多种表示，有些表示方法更简单，所需表示的状态空间更小（存储量少，搜索方法简单）。
n=3时的0-1背包问题用完全二叉树表示的解空间Sch2-1 方法概述Sch2-1Sch2-1z 基本思想：Sch2-1方法概述—搜索从开始结点（根结点）出发，以深度优先搜索整个解空间。
—这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。
在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。
这个新结点就成为新的活结点，并成索移新这新成新并成为当前扩展结点。
—如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向扩展，则当前扩展结点就成为死。
结点—此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点；直到找到一个解或全部解。
Sch2-1z Sch2-1方法概述基本步骤：①针对所给问题，定义问题的解空间；②确定易于搜索的解空间结构；③以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索搜索。
常用剪枝函数：①用约束函数在扩展结点处剪去不满足约束的子树；②用限界函数剪去得不到最优解的子树。
Sch2-1z二类常见的解空间树：Sch2-1方法概述类常见的解空间树：①子集树：当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时相应的解空间树称为子集树子集树通常有2个叶子结点子集时，相应的解空间树称为子集树。
子集树通常有2n 个叶子结点，其总结点个数为2n+1 -1，遍历子集树时间为Ω(2n ) 。
如0-1背包问题，叶结点数为2n ，总结点数2n+1；当所给问题是确定个元素满足某种性质的排列时相应的②排列树：当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。
排列树通常有n!个叶子结点，因此，遍历排列树需要Ω(n!)的计算时间。
如TSP问题，叶结点数为n!，遍历时间为Ω(n!)。
Sch2-1例1 [0-1背包]：n=3, w=( 16, 15, 15), v=( 45, 25, 25), c=30Sch2-1方法概述(1) 定义解空间：X={(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0),…, (1,1,0), (1, 1, 1) }(2)构造解空间树：Sch2-1 方法概述Sch2-1Sch2-1z 例2[TSP问题]:Sch2-1方法概述（1）定义解空间：X={12341, 12431, 13241, 13421, 14231, 14321}（2）构造解空间树：（3）从A出发按DFS搜索整棵树：最优解：13241，14231成本：25Sch2-1z 用回溯法解题的一个显著特征是在搜索过程中动态产生问Sch2-1方法概述用回溯法解题的个显著特征是在搜索过程中动态产生问题的解空间。
在任何时刻，算法只保存从根结点到当前扩展结点的路径。
如果解空间树中从根结点到叶结点的最长路径的长度为h(n)，则回溯法所需的计算空间通常为O(h(n))。
而显式地存储整个解空间则需要O(2h(n))或O(h()!)内存空间O(h(n)!)内存空间。
Sch2-2z 回溯法对解空间作深度优先搜索，因此在一般情况下可用递归函数来实现溯法Sch2-2算法框架实现回溯法：z子集树回溯算法Backtrack( int t) //搜索到树的第t层{ //由第t层向第t + 1层扩展，确定x[t]的值if t>n then output(x); //叶子结点是可行解elsewhile( all Xt) do //Xt为当前扩展结点的所有可能取值集合{x[t] = Xt中的第i个值；if( Constraint(t) and Bound(t) )Backtrack( t+1 );();}}执行时，从Backtrack(1)开始。
Sch2-2z Sch2-2算法框架排列树回溯法Backtrack( int t) //搜索到树的第t层{ //由第t层向第t+1层扩展，确定x[t]的值if t>n then output(x); //叶子结点是可行解elsefor i=t to n dofor i t to n do {swap( x[t], x[i]);if(C t i t(t)d B d(t))if( Constraint(t) and Bound(t) )Backtrack( t+1);swap(x[t], x[i]);}}Sch2-3z问题定义：给定正整数n，生成1, 2, …, n所有排列。
Sch2-3排列生成问题z 解空间树（排列树）：当n 3时当n=3时，Sch2-3 排列生成问题Sch2-3Sch2-4 TSP问题Sch2-4TSPz问题描述：略z基本思想：利用排列生成问题的回溯算法Backtrack(2)，对x[]={1, 2…n}的x[2n]进行全排列则(x[1]x[2])(x[2]x[3])…(x[n] 2, , n}的x[2..n]进行全排列，则(x[1], x[2])，(x[2], x[3])，, (x[n],x[1])构成一个回路。
在全排列算法的基础上，进行路径计算保存以及进行限界剪枝。
进行限界剪枝z main( int n ){a[n][n]; x[n] = {1,2,…,n}; bestx[]; cc=0.0;bestv= ∞; //bestx保存当前最佳路径，bestv保存当前最优值input( a ); //输入邻接矩阵TSPBacktrack(2);output( bestv, bestx[] );output(bestv bestx[]);}Sch2-4TSP TSPBacktrack( int i){//cc记录(x[1]x[2])(x[i 1]x[i])的距离和Sch2-4 TSP问题{ // cc记录(x[1],x[2]),…, (x[i-1],x[i])的距离和if (i>n){ //搜索到叶结点，输出可行解与当前最优解比较if ( cc + a[x[n]][1] < bestv or bestv = ∞ ) {bestv cc +a[x[n]][1]bestv = cc + a[x[n]][1];for( j=1 ; j <= n; j++) bestx[j] = x[j];}}else{for( j = i ; j<=n; j++ )if ([[i 1]][[j]]b b ){//界裁剪树if ( cc + a[x[i-1]][x[j]] < bestv or bestv = ∞ ){ //限界裁剪子树swap( x[i], x[j]);cc += a[x[i-1]][x[i]];TSPBacktrack( i+1);cc -= a[x[i-1]][x[i]];swap(x[i],x[j]);}}Sch2-5z 问题描述：Sch2-5n 皇后问题在4 x 4棋盘上放上4个皇后，使皇后彼此不受攻击。
不受攻击的条件是彼此不在同行（列）斜线上。
求出全部的攻击的条件是彼此不在同行（列）、斜线上。
求出全部的放法。
解表z 解表示：Sch2-5 n皇后问题Sch2-5Sch2-5 n皇后问题Sch2-5Sch2-5 n皇后问题Sch2-5Sch2-6 符号三角形问题Sch2-6下图是由4个和4个组成的符号三角形。
个同号下面都是下图是由14个“+”和14个“-”组成的符号三角形。
2个同号下面都是“+”，2个异号下面都是“-”。
+ + -+ -+ ++----+-+ + + --+ + --+ ---+在一般情况下，符号三角形的第一行有n个符号。
符号三角形问题要求在一般情况下符号三角形的第一行有n个符号。
符号三角形问题要求对于给定的n，计算有多少个不同的符号三角形，使其所含的“+”和“”的个数相同-的个数相同。
Sch2-6z解向量：用n元组x[1:n]表示符号三角形的第一行，x[i]=1Sch2-6 符号三角形问题表示符号三角形的第一行第i个符号为“+”，x[i]=0表示符号三角形的第一行第i个符号为“-”。